Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 của Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương năm 2018 - 2019

Cho tam giác MNP nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính.[r]

SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2018-2019

MƠN : TỐN Bài

a) Cho

3 3

y

x z

P

xy x yz y zx z

  

      xyz9.Tính 10P1

b) Cho , ,x y z0thỏa mãn x  y z xyz 4 Chứng minh rằng:

         

4 4

x  y z  y z x  z x  y   xyz Bài

a) Giải phương trình:

 

2

2

2 3

2

x

x x

x   

b) Giải hệ phương trình:

 

2

2 2

1 2

x y xy x

x x y x y

    

 

   



Bài

a) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x2 x 2y2  y 2xy2 xy3 b) Chứng minh a13 a23 a33 an3chia hết cho 3, biết a a a1; 2; 3; ;anlà

chữ số 20192018 Bài

Cho tam giác MNPnhọn nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Gọi Qlà trung điểm

của NPvà đường cao MD NE PF, , tam giác MNPcắt H a) Chứng minh MH 2OQ

b) Chứng minh MNMP2NPthì sinNsinP2sinM

c) Chứng minh ME FH MF HE  2R2biết NPR Bài

Cho , ,a b c0thỏa mãn 1

abbc ca  Tìm GTNNcủa

2 2

ab bc ca

P

a b b c c a

  

ĐÁP ÁN Câu

a) Ta có: xyz9

1

1

1 10

1 1

y xyz z

x P

xy x xyz yz y zx xyz z xyz

y yz

P

y yz yz y yz y

   

     

      

     

b) Ta có: x  y z xyz  4 4x4y4z4 xyz 16.Do đó:

      

 2  

4 16 4 4

2

x y z x y z yz x x xyz yz

x x yz x x yz

        

   

Tương tự ta có:

    

    

4

4

y z x y y zx

z x y z z xy

   

   

Vậy, ta có:

        

     

   

4 4 4

2 2

2

8 ( )

x y z y z x z x y

x x yz y y zx z z xy

x y z xyz xyz xyz

xyz dfcm

       

     

      

 

Câu

a) ĐKXĐ: x 2 Ta có phương trình:

    

  

2 2

4 2

2

2

3 4 4

3 16 36 12 6

6

3 3

3

x x x x x x x

x x x x x x x

x x

x x x

      

          

  

   

   

   

 

Vậy 6; 6; 3; 3

3

S       

 

b) Từ phương trình x2  y2 xy 1 2x2x2 2y2 2xy 2 4x

 

   

  

2

2

2 2

2

1

x x x y x xy x

x x y x y

x x y x y

       

 

      

     

Xét x0, vào phương trình x2 y2 xy 1 2xđược y2  1 0(vô nghiệm) Xét x     y y xthế vào phương trình x2  y2 xy 1 2xta được:

2

3

2

x y

x x

x y

   

    

    

Xét x      y y x 3thế vào phương trình x2  y2 xy 1 2xđược:

2

10

x  x  (vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm     x y;  1;0 ; 2; 1  Câu

a) Ta có

2 2 2

2 2 2

x  x y  y xy xy x  x x  y  xy  y xy

  

1 x 2y y x

      Ta xét trường hợp sau:

2

2

1 2

1:

1

2 2

1 0

2 : ( )

1

2 2

x x x

TH

y

y y x y y

x x x

TH ktm

y

y y x y y

    

  

   

        

 

   

  

   

        

 

Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương    x y;  2;1 b) Vì 20192018 nên a1a2  an Xét hiệu:

 3 3  

1 n n

a a a  a  a a  a

a1 1 a a1 1 a2 1 a a2 1 an 1 a an n 1

          chia hết cho Do đó, 3 3

1 n

Câu

a) Ta có MPKMNK 900hay KPMPvà KN MN

Suy KP/ /NHvà KN / /PHnên tứ giác KPHNlà hình bình hành, suy H Q K, , thẳng hàng

Xét KMHcó OM OK QH, QKnên OQlà đường trung bình KMH

2

MH OQ

 

b) Ta có sin sin

2 sin

MP MP MP

MNP MKP R

MK R MNP

    

Tương tự ta có:

sin MN R

MPN



sin NP R

NMP 

Do đó:

sin sin sin

MN MP NP

MPN  MNP  NMP

2

sin sin 2sin sin sin sin sin

MN MP NP

MPN MNP NMP

MPN MNP MPN MNP



    

 

c) Ta có 2

2

R

NPR NQ

K Q

H F

E

D

O M

N

Áp dụng Pytago có:

2

2 2

2

R R

OQ NO NQ  R   NQ

NOQ

  vuông cân QNOQ450

0 0

90 45 45

NOP NMP NHF PHE

      

Do tam giác NHFvà PHEvuông cân Suy NH  2FHvà PH  2HE

Theo câu athì MH 2OQR

Mặt khác

2

ND NH FH FH

NDH MEH ME FH R ND

ME MH R R

       

Tương tự PDH MFH MF HE R PD

 

ME FH MF HE R ND PD R NP R

     

Câu

Từ giả thiết 1 a b c 3abc

ab bc ca      Áp dụng BĐT Cơ si ta có:

   

2 2 2

3

3

3

3

ab bc ca ab bc ca abc

P

a b b c c a a b b c c a a b b c c a

    

        

Lại có: 3    2  2

3

a b c

a b b c c a

ab bc ca           abc

3

P

 

Vậy GTNNcủa Plà