Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng trong các đỉnh đó, bất kỳ một bộ gồm có 9 đỉnh nào đều chứa 4 đỉnh tạo nên một hình thang cân... Ta gọi các cạnh song song với nhau là cùng một hướng[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LẠNG SƠN ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019
MƠN THI: TỐN Ngày thi: 23/3/2019 Câu (4 điểm)
Cho biểu thức 2 3
2 3
x x
x x x
A
x
x x x x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị nhỏ biểu thức A
Câu (4 điểm)
Cho phương trình
2
x m xm m
a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m
b) Tìm mngun dương để phương trình cho có hai nghiệm x x1; 2sao cho
2
1
1
60
x x P
x x
đạt giá trị nguyên
Câu (4 điểm)
a) Giải phương trình : x x
x x
b) Tìm tất cặp x y; nguyên thỏa mãn
2 2
2
2 2 2
x y x y xy y
Câu (6 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC AB ACnội tiếp đường tròn O ,các đường cao ,
BE CF cắt H E AC F, AB
a) Gọi K EFBC L, AK O với L A.Chứng minh tứ giác AEHFnội tiếp
HLAK
b) Chứng minh đường thẳng HLđi qua trung điểm BC
c) Gọi Tlà điểm đoạn thẳng FCsao cho ATB90 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp hai tam giác KLTvà CETtiếp xúc
(2)ĐÁP ÁN Câu
a) Ta có
2 3 3
3 3
1
3
3 24
1
1 3
x
x x x
A
x x
x x
x x x x x
x x
x x
x x x x x
x
x x x x
b) Ta có:
1 x A x x x
Vì x 1 0, x 0;x9nên áp dụng BĐT Cô si ta có:
2
1
A x
x
Đẳng thức xảy
x x
x
Vậy Amin 4 x
Câu
a) Ta có: ' m42 m2 8m 9 25 0 Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m
b) Áp dụng định lý Vi-et ta có:
1
2
8
x x m m
x x m m
2
2
1 2
1
1 2
2 60 60 x x x x x x
P
x x x x
2 2
2
2 8 60 8 11 5
4
2 4
m m m m m
P m
m m m
(3)Pnguyên
m
nguyên m 4là ước
4 1;
m
Mà mnguyên dương nên m1 Câu
a) Điều kiện :x0
Đặt 1
2
t x x t
x x
đến phương trình:
2 1( )
4
3( ) t ktm t t t tm Do
3
1 2
3
3
2
x y
x x x
x x y
Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm: 5;
2
x x
b) Ta có:
2
2
2 2 2
2 2
2
2
2 2 2
4 4 4
4 4 4
4 2 1
x y x y xy x y
x y x x y y x y xy xy
x y xy x x y x x
x x y y x y
1: 1 3;
2 : 1 1;
3 : 1 3;
4 : 1 1;
TH x y x y
TH x y x y
TH x y x y
TH x y x y
(4)Câu
a) Ta có: AFH AEH 900suy tứ giác AEHFnội tiếp đường tròn đường kính
AH
Ta có tứ giác ALBCnội tiếp KB KC KL KA (1) Vì tứ giác BFECnội tiếp KB KC KF KE (2)
Từ (1), (2) suy tứ giác ALFEnội tiếp đường tròn đường kính AH b) Gọi M HL O Vì LH AKAM đường kính
M T
I L
K
H F
E A
B
(5)Ta có: MC AC MC/ /BH(3) BH AC
Ta có: CH AB CH / /MB(4) MB AB
Từ (3) (4) Tứ giác BHCMlà hình bình hành HLđi qua trung điểm BC
c) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ABTthì AT2 AF AB ý BFECnội tiếp nên AF AB AE AC
Do đó,
AT AE AChay AT tiếp tuyến đường tròn (CET)
Hơn nữa, KFB ACBKLBnên suy KLFBnội tiếp, AF AB AL AK nên
AT AL AKtức ATlà tiếp tuyến KLT
Vậy CETtiếp xúc với KLTvì có AT tiếp tuyến chung
Câu
Ta gọi cạnh song song với hướng Chú ý hai cạnh hai đường chéo song song với tạo thành hình thang cân
B
N M
C E
(6)Ta thấy đa giác ncạnh gồm có nhướng (cụ thể hình vẽ
, ,
AB MN CEcùng hướng, AB AC, khác hướng) Với gồm kđỉnh sinh 1
2 k k
đoạn thẳng, số đoạn thẳng lớn n
thì có hai cạnh có hướng nên chúng se tạo thành hình thang cân Do đó, điều kiện để kđiểm chứa bốn điểm tạo thành hình thang cân nếu:
2
1 1 1
2 2
2 4
k k
n k n n k n k n
Bây giờ, áp dụng toán cho n30ta suy 60 1