Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lạng Sơn năm 2018- 2019

Chứng minh rằng trong các đỉnh đó, bất kỳ một bộ gồm có 9 đỉnh nào đều chứa 4 đỉnh tạo nên một hình thang cân... Ta gọi các cạnh song song với nhau là cùng một hướng[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LẠNG SƠN ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019

MƠN THI: TỐN Ngày thi: 23/3/2019 Câu (4 điểm)

Cho biểu thức 2 3

2 3

x x

x x x

A

x

x x x x

   

 

    



     

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị nhỏ biểu thức A

Câu (4 điểm)

Cho phương trình  

2

x  m xm  m 

a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m

b) Tìm mngun dương để phương trình cho có hai nghiệm x x1; 2sao cho

2

1

1

60

x x P

x x

 



 đạt giá trị nguyên

Câu (4 điểm)

a) Giải phương trình : x x

x x

    

b) Tìm tất cặp  x y; nguyên thỏa mãn

  2 2  

2

2 2 2

x y  x  y  xy  y 

Câu (6 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC AB  ACnội tiếp đường tròn  O ,các đường cao ,

BE CF cắt H E AC F, AB

a) Gọi K EFBC L,  AK O với L A.Chứng minh tứ giác AEHFnội tiếp

HLAK

b) Chứng minh đường thẳng HLđi qua trung điểm BC

c) Gọi Tlà điểm đoạn thẳng FCsao cho ATB90 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp hai tam giác KLTvà CETtiếp xúc

ĐÁP ÁN Câu

a) Ta có

                   2 3 3

3 3

1

3

3 24

1

1 3

x

x x x

A

x x

x x

x x x x x

x x

x x

x x x x x

x

x x x x

                                

b) Ta có:

1 x A x x x        

Vì x   1 0, x 0;x9nên áp dụng BĐT Cô si ta có:

 

2

1

A x

x

   



Đẳng thức xảy

x x

x

   

 Vậy Amin   4 x

Câu

a) Ta có:  ' m42 m2 8m 9 25 0 Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m

b) Áp dụng định lý Vi-et ta có:  

1

2

8

x x m m

x x m m

    

 

  



 2

2

1 2

1

1 2

2 60 60 x x x x x x

P

x x x x

  

 

 

 

 2  2 

2

2 8 60 8 11 5

4

2 4

m m m m m

P m

m m m

      

    

Pnguyên

m



 nguyên  m 4là ước

 

4 1;

m

     Mà mnguyên dương nên m1 Câu

a) Điều kiện :x0

Đặt 1

2

t x x t

x x

       đến phương trình:

2 1( )

4

3( ) t ktm t t t tm          Do

3

1 2

3

3

2

x y

x x x

x x y                      

Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm: 5;

2

x  x 

b) Ta có:

     

            

2

2

2 2 2

2 2

2

2

2 2 2

4 4 4

4 4 4

4 2 1

x y x y xy x y

x y x x y y x y xy xy

x y xy x x y x x

x x y y x y

                                                      

1: 1 3;

2 : 1 1;

3 : 1 3;

4 : 1 1;

TH x y x y

TH x y x y

TH x y x y

TH x y x y

      

       

       

        

Câu

a) Ta có: AFH AEH 900suy tứ giác AEHFnội tiếp đường tròn đường kính

AH

Ta có tứ giác ALBCnội tiếp KB KC KL KA (1) Vì tứ giác BFECnội tiếp KB KC KF KE (2)

Từ (1), (2) suy tứ giác ALFEnội tiếp đường tròn đường kính AH b) Gọi M HL O Vì LH AKAM đường kính

M T

I L

K

H F

E A

B

Ta có: MC AC MC/ /BH(3) BH AC



 

 



Ta có: CH AB CH / /MB(4) MB AB

 



 



Từ (3) (4) Tứ giác BHCMlà hình bình hành HLđi qua trung điểm BC

c) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ABTthì AT2  AF AB ý BFECnội tiếp nên AF AB AE AC

Do đó,

AT  AE AChay AT tiếp tuyến đường tròn (CET)

Hơn nữa, KFB ACBKLBnên suy KLFBnội tiếp, AF AB  AL AK nên

AT  AL AKtức ATlà tiếp tuyến KLT

Vậy CETtiếp xúc với KLTvì có AT tiếp tuyến chung

Câu

Ta gọi cạnh song song với hướng Chú ý hai cạnh hai đường chéo song song với tạo thành hình thang cân

B

N M

C E

Ta thấy đa giác ncạnh gồm có nhướng (cụ thể hình vẽ

, ,

AB MN CEcùng hướng, AB AC, khác hướng) Với gồm kđỉnh sinh  1

2 k k

đoạn thẳng, số đoạn thẳng lớn n

thì có hai cạnh có hướng nên chúng se tạo thành hình thang cân Do đó, điều kiện để kđiểm chứa bốn điểm tạo thành hình thang cân nếu:

 

2

1 1 1

2 2

2 4

k k

n k n n k n k n

  

            

 

Bây giờ, áp dụng toán cho n30ta suy 60 1