- NhËn biÕt ®−îc ý nghÜa cña sè nguyªn ©m trong mét sè bµi to¸n thùc tiÔn.. TÝnh chia hÕt trong tËp hîp c¸c sè nguyªn.[r]
(1)(2)(3)(4)ba toán hay chứng minh tam giỏc u
PGS TS lê quốc hán - Khoa Toán, Đại học Vinh
Nguyễn Thanh Tùng -Trờng THCS Đức Long, Đức Thọ, Hà Tĩnh Bài viết xin giới thiệu ba
toỏn hay chứng minh tam giác Bài toán Cho hai đ−ờng thẳng xy, zt cắt O cho xOz 60 Trên tia = o Ox, Oz, Oy, Ot thứ tự lấy điểm A, B, C, D cho OA = OB, OC = OD Gọi M, N, P lần l−ợt trung điểm OA, OD, BC Chứng minh ΔMNP tam giỏc u
Lời giải (Hình 1)
Ta chng minh đ−ợc hai tam giác AOB COD tam giác
Suy BM ⊥ OA; CN OD
Trong tam giác vuông BMC có đờng trung tuyÕn MP nªn MP= 1BC
2 (1)
Tơng tự NP= 1BC (2)
Mặt khác, MN đờng trung bình tam giác AOD nên MN= AD
2 (3)
XÐt hai tam gi¸c AOD vµ BOC cã OA = OB, OD = OC; AOD BOC.=
Suy ΔAOD = ΔBOC (c.g.c) Do AD = BC (4)
Từ (1), (2), (3) (4) suy PM = PN = MN Vậy ΔMNP tam giác
Bài toán Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M khác A, B Dựng tam giác AMC, BMD nửa mặt phẳng với bờ đ−ờng thẳng AB Gọi N, P lần l−ợt trung điểm đoạn thẳng AD, BC Chứng minh ΔMNP tam giác
Lời giải (Hình 2)
Xét hai tam giác AMD CMB có
(5)Do AD = CB ⇒ AN = CP
Ta lại có MN MP lần lợt đờng trung tuyến tam giác AMD CMB nên MN = MP
Xét hai tam giác AMN CMP có AM = CM, MN = MP, AN = CP Suy raΔAMN = ΔCMP (c.c.c) Từ suy AMN CMP = Do NMP AMC 60 = = o Vậy ΔMNP tam giác
Bài tốn Cho tam giác ABC có góc nhỏ 120o Dựng tam giác ABC tam giác BCA1, CAB1, ABC1 gọi I, J, K t−ơng ứng trực tâm tam giác Chứng minh ΔIJK tam giác
Lời giải Tr−ớc hết ta nhận xét AA1, BB1, CC1 đồng quy điểm M tam giác ABC (Hình 3a) ta có AMB BMC=
o AMC 120
= = (Xem TTT2 sè 187, trang 7) Điểm M đợc gọi điểm Torixenli tam giác ABC
Trên tia KM lấy ®iÓm M’ cho KM’ = KA = KB
Gọi Kx tia đối tia KM (Hình 3b)
Khi hai tam giác AKM’, BKM’ cân K nên AKx 2.AM K,= ’ BKx 2.BM K= ’
Do
o o
1
AMB (AKx BKx) 240 120 AMB
2
= + = = =
’
Kết hợp với M, M’ thuộc tia KM nên M ≡ M’
Từ suy KM = KA
Tơng tự ta có JA = JM nên KJ đờng trung trực AM
Do ú KJ ⊥ AM
T−¬ng tù ta cã KI ⊥ BM
Mà AMB 120= o nên suy IKJ 60 = o T−¬ng tù ta cã KIJ 60 = o
Suy ΔIJK tam giác Bài tập vận dụng
Bài Cho tam giác ABC có BAC 60 ≠ o Dựng phía tam giác ABC tam giác ABD, ACE Dựng hình bình hành DAEF Chứng minh ΔFBC tam giác
(6)K× nμy Loμi chim no? Chim báo hiệu xuân sang
Chim biểu t−ợng gian hịa bình Chim đội mũ xinh
Chim g× hay móa lung linh đuôi xòe Chim tên có vần oe Chim mà mùa hè hay kêu
Chim chộp cá siêu Chim có tính nghe nhiều nói theo
Chim mặt giống nh mèo Chim tên vần eo kì
Chim tiếng hãt mª li
Chim b−ớc, chẳng phi lên trời Thảo dân đến với “Rừng C−ời” Đáp nhanh, ỏp ỳng ta thi thng ngay!
Trần Thị Sen, Hồ Thị Thu Hờng (Trờng TH Vợng Lộc, Can Lộc, Hµ TÜnh)
(TTT2 số 199) Hoa gì? Hoa sim tím ngắt l−ng đồi Hoa bèo tím hay trơi sơng nhà
Hoa ly tªn mét danh ca
Hoa mai đón Tết, quê ph−ơng nam M−ời nói đến thời gian
Hoa quỳnh đêm nở chứa chan h−ơng thầm Hoa mắt làm bạn nhìn nhầm
Hoa tai đôi dành phần chị em Loa kèn trông giống kèn Hoa hậu danh hiệu khen p ngi
Hớng dơng tên có mặt trêi Hoa tay khÐo lÐo thêi xøng danh
Nhận xét Vua Tếu vui mừng nhận đợc nhiều câu trả lời thần dân khắp nớc gửi Kì có năm thần dân đợc Vua Tếu ban thởng: Nguyễn Hằng Nga, 7D, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lơng, Nghệ An; LÃ Hoàng Quế Đan, 7A3, THCS Trng Vơng, Mê Linh, Hà Nội; Trần Viết Hng, 8A, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Phạm Bảo Kim Ngân, 8A4, THCS Giấy Phong Ch©u, Phï Ninh, Phó Thä; Ngun Ngäc Hun Anh, 8A, THCS Nguyễn Hiền, Nam Trực, Nam Định
(7)số no thích hợp? Theo bạn hình tròn (có dấu ?) số thích hợp? Vì sao?
Đỗ thị thúy ngọc - Phòng Giáo dục Trung học, Sở GD&ĐT Ninh Bình (Su tầm giới thiệu)
CHọN Hình NàO ĐúNG? (TTT2 số 199)
Quy luật Sau bớc, số chấm trắng tăng thêm theo chiều dọc chiều ngang, chấm trắng đợc nối với nhau, không nối với chấm xanh
Vậy hình đợc chọn thay vào chỗ dấu ? hình E
Nhn xột Đa số bạn chọn đáp án Một số bạn không nêu đủ dấu hiệu quy luật Các bạn đ−ợc th−ởng kì này: Bạch Thái Sơn, 7A1, THCS Vĩnh Yên, TP Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc; Phạm Minh Châu, 7A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Lê Văn Quang Hiếu, 7D, THCS Lý Nhật Quang, Đô L−ơng, Nghệ An; Trần Nhật Huy, 9B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ; Nguyễn Duy Lộc, 7/2, THCS Lê Văn Thiêm, TP H Tnh, H Tnh
Các bạn sau đợc tuyên dơng: Nguyễn Quang Mạnh, 7A, THCS Lý Tự Trọng, Bình Xuyên, Vĩnh Phúc; Nguyễn Nh Ngọc, 7D, THCS Nguyễn Cao, Quế Võ, Bắc Ninh; Nguyễn Đức Học, 7D, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lơng, Nghệ An; Trần Nguyên Anh Kiệt, 7I; Đặng Quang Huy, 8G, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An
NGUYễN XUÂN BìNH
(8)Các bạn hÃy giải toán sau tiếng Anh gửi tòa soạn nhé! Năm bạn có giải tốt đợc nhận quà
Problem 10(202) The sum of two natural numbers is 100 Show that their product cannot be greater than 2500
TS Đỗ ĐứC THàNH Trờng liên cấp Tiểu học THCS Ngôi Sao Hà Nội
Problem 7(199)
Let x be his age on his last birthday and y (y ≤ 12) be the number of months elapsed after that birthday, we have:
x(12x + y) = 1800 12x2≤ 1800 or x2≤ 150
The largest integral value of x satisfying this inequality is 12
Thus, James’ age on his last birthday is 12
Nhận xét Các bạn sau có lời giải đúng, đ−ợc th−ởng kì này: Trần Minh Hồng, 7E, THCS Nguyễn Trãi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh; Trần Trung Phúc, 8A4, THCS Ngơ Gia Tự, Hồng Bàng, Hải Phịng; Trần Duy H−ng, 8G, Phan Hữu C−ờng, 7B, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh,
Nghệ An
Đỗ ĐứC THµNH
(TiÕp theo trang 29) CLB5
Qua D vẽ đờng thẳng song song với BE cắt AM K
Tam gi¸c ABM cã DK // BM nªn AK = AD
AM AB
(định lí Thales)
Tam giác ABC có DE // BC nên AE = AD
AC AB
(định lí Thales)
Do = ⎛⎜= ⎞⎟
⎝ ⎠
AK AE AD
AM AC AB
XÐt ΔAMC cã AK = AE
AM AC nên KE // MC (định lí Thales đảo) hay KE // MD
Mặt khác có DK // ME
Do tứ giác DKEM hình bình hành Vậy N trung điểm DE
NhËn xÐt Các bạn sau có lời giải tốt đợc thởng kì này: Nguyễn Phạm Thanh Nga, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Trần Minh Hoàng, 7E, THCS Nguyễn TrÃi, Nghi Xuân,
Hà Tĩnh; Trần Anh Vũ, 9A, THCS Hợp Tiến, Nam Sách, Hải Dơng; Nguyễn Thanh Tuấn, 8G; Ngô Thị An Bình, 8E, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, NghÖ An
(9)kÕt luËn nh− thÕ
đã ch−a?
trÇn anh tuấn
Trờng THCS Phú Phúc, Lý Nhân, Hà Nam
Bài tốn Cho tứ giác lồi ABCD Tìm vị trí điểm M nằm tứ giác ABCD cho MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ
Một bạn học sinh có lời giải nh− sau:
Xét tam giác MAC ta có MA + MC > AC Xét tam giác MBD ta có MB + MD > BD Do MA + MB + MC + MD > AC + BD Vậy không tồn điểm M nằm tứ giác ABCD để MA + MB + MC + MD đạt giá tr nh nht
Các bạn có ý kiến lời giải không?
(TTT2 số 199)
một lời giải nh− đúng
Lời giải mắc lỗi sai phép biến đổi: Chia vế bất đẳng thức chiều, lỗi sai hầu hết em phát sửa lại lời giải
Lời giải áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số d−ơng ta có
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ − ⎟≤ ⎜ − ⎟
+ +
+ ⎝ + ⎠ ⎝ ⎠
bc a a
1
2 a b c
a bc a bc
Đẳng thức xảy b = c T−¬ng tù ta cã: ≤ ⎛⎜ − ⎞⎟
+ +
+ ⎝ ⎠
ca b
1 ,
2 a b c
b ca
⎛ ⎞
≤ ⎜ − ⎟
+ +
+ ⎝ ⎠
ab 1 c .
2 a b c
c ab
Từ suy
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
≤ ⎜ − ⎟+ ⎜ − ⎟
+ + + +
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ ⎜ − ⎟= ⎜ − ⎟=
+ + + +
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 a b
P 1
2 a b c a b c
1 c a b c
1
2 a b c a b c
Suy P ≤
Đẳng thức xảy a = b = c VËy Pmax lµ a = b = c
Nhận xét Các bạn sau đợc thởng kì này: Phạm Ngọc Trinh, 9B, THCS Hồ Xuân Hơng, Quỳnh Lu, Nghệ An; Nguyễn Phạm Thanh Nga, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ;
Đặng Vũ Cờng, 9A5, THCS Cầu Giấy, Q Cầu Giấy, Hà Nội; Hoàng Thị Yến Linh, 9A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh; Lê Thị Diệu Thúy, 9A, THCS Bình Thịnh, Đức Thọ, Hà Tĩnh
(10)hng dẫn giải đề THI imc 2019
vâ quèc b¸ cẩn
Trờng Archimedes Academy, Q Cầu Giấy, Hà Nội (Su tầm dịch)
(Đề đăng TTT2 số 200+201) Trong này, trình bày lời gi¶i
chi tiết cho số câu hay khó Các câu cịn lại, chúng tơi ghi đáp ỏn
Đáp án phần trắc nghiệm:
1 A; A; C; C; B;
6 A; A; B; 9; 10 1;
11 40
105; 12 48
Hớng dẫn giải chi tiết câu lại:
13 Gọi A biểu thức cho
Sử dụng bất đẳng thức a + ≥ +b a b ta có
− + − ≥ − + − =
− + − ≥ − + − =
…
− + − ≥ − + − =
− ≥
x 2019 x x 2019 x 2018,
x 2018 x x 2018 x
x 1009 1011 x x 1009 1011 x 2,
x 101
016,
0
2
0
Cộng bất đẳng thức theo vế, ta đ−ợc
≥ + + +201 =
A 1019090
Đẳng thức xảy x 1010 =
VËy Amin =1019090 x = 1010
14 Gọi S tổng cần tính Mỗi số hạng
S (ngoại trừ số hạng đầu) có dạng
− = −
n
n n
2 1
1
2 víi n 1, 2, , 11 = …
Do = −⎛⎜ + + ⎞⎟
⎝ + 11⎠
1
S 12
2 2
1 Từ đây, ta có
= − + +⎜ + ⎟
⎝ + 10⎠
1
1
2S 24
2 2 2
Suy
⎛ ⎞
= − = − −⎜ ⎟= + =
⎝ 11⎠ 11
1 22529
S 2S S 12 11
2048
2
15 Theo đề bài, ta có
− − + = + ∀ ∈
(a b)x (a b)y a b, a, b
Suy
− − − + + = ∀ ∈
a(x y 1) b(x y 1) 0, a, b
Điều xảy
− − = =
⎧ ⎧
⇔
⎨ ⎨
+ + = = −
⎩ ⎩
x y x
x y y
(11)16 Gọi A biểu thức cho Nếu x >
− −
= = = −
−
2x 3x x
A
2x 5x 3x
NÕu x th× <
− − −
= = =
− − −
( 2x) 3x 5x
A
2x ( 5x) 7x
VËy giá trị nhỏ biểu thức A
3
đạt đ−ợc x >
17 Hình chữ nhật dới thỏa mÃn
u cầu đề bài, hình vng màu trắng có cạnh a đơn vị, hình chữ
nhật màu xám có kích thớc a ì b
hỡnh vuụng mu xanh cú cnh b đơn vị
18 Theo gi¶ thiÕt, ta cã 8x−7
2 số
nguyên
Theo tính chất phần nguyên, ta có [ ] [ ]
− + − < + ≤ +
(2x 1) (3x 1) 2x 3x 2x 3x
Suy 5x 8x− < − ≤7 5x
2
Giải bất phơng trình này, ta đợc 1< x
Suy 1<8x− ≤7 35 2
Mặt khác 8x7
2 số nguyªn nªn ta cã
∈
−7 {1, 2, 3, 4, 8x
2 5}
Suy ∈⎧⎨ ⎫⎬
⎩ ⎭
9 11 13 15 17
, , , ,
16 16 16 16
x
1
B»ng phÐp thử trực tiếp, ta tìm đợc giá
trị x thỏa mÃn yêu cầu x =13
16 vµ = 17 x
16
Cách đặt mua tạp chí năm 2020 Đặt b−u điện VNPT: Tạp chí Tốn Tuổi thơ 1: C169; Tạp chí Tốn Tuổi thơ 2: C169.1; Tổng tập Tốn Tuổi thơ năm 2018: C169.2; Tổng tập Toán Tuổi thơ năm 2018: C169.3; Tổng tập Toán Tuổi thơ năm 2017: C169.4; Tổng tập Toán Tuổi thơ năm 2017: C169.5
(12)nh÷ng sè
trên điện thoại nạn nhân
Trần Phơng Nam (ghi lại)
ột lần hỏi thám tử Sê Lốc Cốc: Có nhờ số hình hình học mà thám tử tìm thủ phạm không?
Thỏm t i v phớa đồng hồ treo t−ờng hiệu b−ớc lại bên kể:
Một lần cảnh sát tr−ởng nhờ tơi đến thẩm vấn kẻ tình nghi thủ phạm vụ án mạng Cảnh sát tr−ởng cho biết: “Hiện tr−ờng vụ án có đồng hồ treo t−ờng chạy tốt điện thoại nạn nhân Khơng hiểu lẽ mà thủ phạm lại không lấy điện thoại này.”
Cả kẻ tình nghi chối tội cảnh sát tr−ởng ch−a biết có cách để khẳng định thủ phạm
Tôi đề nghị cảnh sát tr−ởng cho xem điện thoại nạn nhân Cảnh sát tr−ởng
cho biết đ−ợc cho vào túi giấy bảo quản Tôi mở túi giấy thấy hình có dãy số dấu gạch nối: 2-4-8-10
Tơi nhìn đồng hồ phòng cảnh sát tr−ởng đề nghị cho gặp kẻ tình nghi
Khi kẻ tình nghi b−ớc vào phịng, tơi phát điều đặc biệt: ng−ời có vết xăm hình tay, ng−ời xăm hình tam giác, ng−ời xăm hình chữ nhật ng−ời xăm hình vng
Tơi nói với cảnh sát tr−ởng: “Nạn nhân kịp nhắn cho đặc điểm thủ phạm!” Cảnh sát tr−ởng kẻ bị tình nghi tỏ thái độ ngạc nhiên nghe tụi núi
Ngài cảnh sát trởng nhìn kẻ tình nghi mÃi mà cha biết đợc điều h¬n
(13)Cịn bạn có biết thủ phạm khơng? Nếu biết đ−ợc xác bạn xứng đáng có t− tốt đấy! Hãy gửi ý kiến bạn tạp chí Toán Tuổi thơ nhé! Những phần quà chờ tặng cho bạn hiểu ý thám tử Sê Lốc Cốc
(TTT2 sè 199)
bÝ mËt nằm thơ?
Con s cui bi thơ chìa khóa để tìm mật mã thơ Số 131151 gồm chữ số, chữ số số thứ tự từ cần lấy câu thơ (tính từ xuống) Do số (câu 1) “Bãi”; số (câu 2) “gửi”; số (câu 3) “xe”; số (câu 4) “đ−ờng”; số (câu 5) “ven”; số câu “biển” Ghép từ ta đ−ợc “Bãi gửi xe đ−ờng ven biển” Đây địa điểm mà gã chủ tiệm tạp hóa nhận hàng cấm Với tài thám tử Sê Lốc Cốc thơ gã chủ tiệm tạp hóa đ−ợc giải mã cách nhanh chóng
Nhận xét Thám tử Sê Lốc Cốc vui kì có nhiều bạn tham gia “phá án” Các “thám tử Tuổi Hồng” tài tình phán đốn xác Phần q Sê Lốc Cốc xin đ−ợc gửi tới bạn sau: Nguyễn Ngân Giang, Đỗ Hữu
S¬n, 7A2, THCS Tr−ng V−¬ng, Mê Linh, Hà Nội; Nguyễn Thị Kim Yến, 9A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Hồng Nam, 7A, THCS Lý Tự Trọng, Bình Xuyên,
Vĩnh Phúc; Nguyễn ThÞ Kim Anh, 8A, THCS Ngun HiỊn, Nam Trùc, Nam Định; Lê Thị Diệu Thúy, 9A, THCS Bình Thịnh, Đức Thä,
Hµ TÜnh
Các “thám tử nhí” sau cng rt ỏng khen:
Nguyễn Kim Dung, Phạm Ngân Linh, 9A5, THCS Cầu Giấy, Q Cầu Giấy, Hà Nội;
NguyÔn Nh− Ngäc, 7C, THCS NguyÔn Cao, QuÕ Vâ, Bắc Ninh; Dơng Quốc Bảo, 6C, THCS Vĩnh Tờng, Vĩnh T−êng, VÜnh Phóc;
Vị Hång Phóc, 9A, THCS Hïng Vơng, TX Phú Thọ; Hoàng Đức Dơng, 7A1, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ; Trịnh Ngọc Khanh, 7A2, THCS Mộc Lỵ, Mộc Châu, Sơn La; Nguyễn Đăng Quang, 6B,
Trần Thị Khánh Ly, 7D, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lơng; Lê Duy Mạnh, 7B,
Nguyễn Thị Ngọc Linh, 9C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Đặng Đình Khánh, 8/2, THCS Lê Văn Thiêm, TP Hà Tĩnh; Phan Nguyễn Quốc Bảo, Trần Viết Hng, 8A, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh
(14)mạch kiến thức “số đại số”
những yêu cầu cần đạt lớp
1 Số tự nhiên
Số tự nhiên tập hợp số tự nhiên Thứ tự tập hợp số tự nhiên
- Sử dụng đợc thuật ngữ tập hợp, phần tử thuộc (không thuộc) tập hợp; sử dụng đợc cách cho tập hợp
- Nhận biết đợc tập hợp số tự nhiên - Biểu diễn đợc số tự nhiên hệ thập ph©n
- Biểu diễn đ−ợc số tự nhiên từ đến 30 cách sử dụng ch s La Mó
- Nhận biết đợc (quan hệ) thứ tự tập hợp số tự nhiên; so sánh đợc hai số tự nhiên cho trớc
Các phép tính với số tự nhiên Phép tính l thõa víi sè mị tù nhiªn
- Thùc đợc phép tính: cộng, trừ, nhân, chia tập hợp số tự nhiên
- Vn dng c tính chất giao hốn, kết hợp, phân phối phép nhân phép cộng tính tốn
- Thực đợc phép tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên; thực đợc phép nhân phép chia hai luỹ thừa số với số mũ tự nhiên
- Nhận biết đợc thø tù thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh
- Vận dụng đ−ợc tính chất phép tính (kể phép tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên) để tính nhẩm, tính nhanh cách hợp lí
- Giải đ−ợc vấn đề thực tiễn gắn với thực phép tính (ví dụ: tính tiền mua sắm, tính l−ợng hàng mua đ−ợc từ số tiền có, )
TÝnh chia hÕt tËp hợp số tự nhiên Số nguyên tố Ước chung bội chung
- Nhận biết đợc quan hệ chia hết, khái niệm ớc bội
- Vận dụng đ−ợc dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 9, để xác định số cho có chia hết cho 2, 5, 9, hay không
- Nhận biết đợc khái niệm số nguyên tố, hỵp sè
- Thực đ−ợc việc phân tích số tự nhiên lớn thành tích thừa số nguyên tố tr−ờng hợp đơn giản - Xác định đ−ợc −ớc chung, −ớc chung lớn nhất; xác định đ−ợc bội chung, bội chung nhỏ hai ba số tự nhiên; nhận biết đ−ợc phân số tối giản; thực đ−ợc phép cộng, phép trừ phân số cách sử dụng −ớc chung lớn nhất, bội chung nhỏ
- Nhận biết đ−ợc phép chia có d−, định lí phép chia có d−
(15)2 Sè nguyªn
Số nguyên âm tập hợp số nguyên Thứ tự tập hợp số nguyên
- Nhận biết đợc số nguyên âm, tập hợp số nguyªn
- Biểu diễn đ−ợc số nguyên trục số - Nhận biết đ−ợc số đối số nguyên - Nhận biết đ−ợc thứ tự tập hợp số nguyên So sánh đ−ợc hai s nguyờn cho trc
- Nhận biết đợc ý nghĩa số nguyên âm số to¸n thùc tiƠn
C¸c phÐp tÝnh víi sè nguyên Tính chia hết tập hợp số nguyên
- Thực đợc phép tính: cộng, trừ, nhân, chia (chia hết) tập hợp số nguyên
- Vận dụng đ−ợc tính chất giao hốn, kết hợp, phân phối phép nhân phép cộng, quy tắc dấu ngoặc tập hợp số ngun tính tốn (tính viết tính nhẩm, tính nhanh cách hợp lí)
- Nhận biết đ−ợc quan hệ chia hết, khái niệm −ớc bội tập hợp số nguyên - Giải đ−ợc vấn đề thực tiễn gắn với thực phép tính số nguyên (ví dụ: tính lỗ lãi bn bán, )
3 Ph©n sè
Phân số Tính chất phân số So sánh phân số
- Nhận biết đợc phân số với tử số mẫu số số nguyên âm
- Nhận biết đợc khái niệm hai phân số nhận biết đợc quy tắc hai phân số
- Nêu đợc hai tính chất phân số - So sánh đợc hai phân số cho trớc
- Nhận biết đ−ợc số đối phân số - Nhận biết đ−ợc hỗn số d−ơng
Các phép tính với phân số
- Thực đợc phép tính cộng, trừ, nhân, chia với phân sè
- Vận dụng đ−ợc tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối phép nhân phép cộng, quy tắc dấu ngoặc với phân số tính tốn (tính viết tính nhẩm, tính nhanh cách hợp lí)
- Tính đ−ợc giá trị phân số số cho tr−ớc tính đ−ợc số biết giá trị phân số số
- Giải đ−ợc số vấn đề thực tiễn gắn với phép tính phân số (ví dụ: tốn liên quan đến chuyển động Vật lí, )
4 Sè thËp ph©n
Số thập phân phép tính với số thập phân Tỉ số tỉ số phần trăm
- Nhận biết đ−ợc số thập phân âm, số đối ca mt s thp phõn
- So sánh đợc hai sè thËp ph©n cho tr−íc - Thùc hiƯn đợc phép tính cộng, trừ, nhân, chia với số thËp ph©n
- Vận dụng đ−ợc tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối phép nhân phép cộng, quy tắc dấu ngoặc với số thập phân tính tốn (tính viết tính nhẩm, tính nhanh cách hợp lí)
- Thùc hiƯn đợc ớc lợng làm tròn số thập phân
- Tính đ−ợc tỉ số tỉ số phần trăm hai đại l−ợng
- Tính đ−ợc giá trị phần trăm số cho tr−ớc tính đ−ợc số biết giá trị phần trăm số
- Giải đ−ợc số vấn đề thực tiễn gắn với phép tính số thập phân, tỉ số tỉ số phần trăm (ví dụ: tốn liên quan đến lãi suất tín dụng, liên quan đến thành phần chất Hoá học, )
(16)K× 46
HÃy thay chữ khác chữ số khác khác cho:
TOAN TOAN TUOITHO.× =
hà aNH đứC (Hà Nội)
K× 44 (TTT2 sè 199)
V× MMGBBT TTT nên T =
Vì T2 có chữ số tận T nên
xảy T = T = T =
ãVới T = 1, ta cã = = ≠ 2
TTT 111 12321 MMGBBT VËy T = kh«ng tháa m·n
•Víi T = 5, ta cã
= = ≠ 2
TTT 555 308025 MMGBBT Vậy T = không thỏa mÃn
ãVới T = 6, ta cã
= = =
2 2
TTT 666 443556 MMGBBT Vậy T = thỏa mãn yêu cầu đề Đáp số: M = 4, G = 3, B = 5, T =
Nhận xét Các bạn sau giải tốt đợc thởng kì này: Phạm Minh Châu, 7A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Đức Dũng, 6E, THCS Trần Mai Ninh, Ba Đình, Thanh Hóa;
Trần Viết Hng, 8A, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ, Hµ TÜnh; Ngun Hång Nam, 7A, THCS Lý Tù Träng, Bình Xuyên, Vĩnh Phúc; Bùi Thị Linh Nhi, 7D, THCS Nguyễn Hiền, Nam Trực, Nam Định
Cỏc bn sau có lời giải đ−ợc khen: Đồng Quốc Khánh, 7B, THCS ng Thai
Mai, TP Vinh; Thái Thị Mỹ Hạnh, Nguyễn Đăng Quang, Thái Minh Quân, Lê Văn Thắng, Nguyễn Hải Triều, 6B; Lê Văn Quang Hiếu, 7D, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lơng,
Nghệ An; Nguyễn Hữu Niêm, Nguyễn Thị Kim Yến, 9A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Bảo Linh, 9A3;
Phạm Thị Thanh Loan, Lơng Hà Phúc, 6A5, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh; Hoàng Minh Vũ, 7D, THCS Văn Lang, TP Việt Trì;
Hà Quang Tùng, 9A3, Đỗ Ngọc Tiến, 7A3, THCS L©m Thao, L©m Thao, Phó Thä;
Ngun Huy Hoàng Sơn, 6A2, THCS Yên Lạc, Yên Lạc; Bạch Thái Sơn, 7A1, THCS Vĩnh Yên, TP Vĩnh Yên, Vĩnh Phóc; Ngun Anh Th−, 7A1, THCS KÕ An, KÕ S¸ch, Sóc Trăng
(17)góc sút lớn nhÊt
Bài toán Trong trận thi đấu, cầu thủ tiền đạo dẫn bóng theo đ−ờng thẳng d Vị trí cầu mơn đối ph−ơng AB
Các em giúp cầu thủ tìm đ−ờng thẳng d vị trí để có góc sút lớn giúp anh dễ dàng sút bóng vào cầu mơn đối ph−ơng nhộ
Vũ ĐìNH HòA (Hà Nội) (TTT2 sè 199)
có tồn hay khơng? Ta đặt x + 1996 = a (a số tự nhiên)
Khi ta có
+ = + + −
= + +
= − + = −
x o
2
30 (x 1975)(x 2020 3.45 ) (x 1975)(x 2017)
(a 21)(a 21) a 441 Ta cã 30x +445 a= Xét trờng hợp:
Nếu x = 446 = a không thỏa mÃn Nếu x = 475 = a không thỏa mÃn
Nếu x > 30x +445 bội nh−ng bội 25, a bội a phải bội 25 Do khơng tồn x a thỏa mãn
+ =
x
30 445 a
Vậy không tồn số tự nhiên x thỏa mãn yêu cầu đề
Nhận xét Các bạn sau có lời giải đúng, đ−ợc th−ởng: Đỗ Ngọc Tiến, 7A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Thanh Tuấn, 8G, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Nguyễn Đức Dũng, 6E, THCS Trần Mai Ninh, Ba Đình, Thanh Hóa; Nguyễn Trung
Kiªn, 8A, THCS Ngun HiỊn, Nam Trực,
Nam Định; Trần Minh Hoàng, 7E, THCS Nguyễn TrÃi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh
Các bạn sau đợc khen: Nguyễn Phạm Thanh Nga, Hà Quang Tùng, 9A3, THCS L©m Thao, L©m Thao, Bïi Kim Chóc, 9A3 THCS GiÊy Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ; Phạm Ngọc Trinh, 9B, THCS Hồ Xuân Hơng, Quỳnh Lu, Ngô Thị An Bình, 8E, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Nguyễn Hữu Niêm, Ngô Gia Đức, 9A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, B¾c Ninh; Ngun Anh Th−, 7A1, THCS KÕ An, Kế Sách, Sóc Trăng; Nguyễn Quang Huy, 9B, THCS Hoàng Xuân HÃn, Lê Thị Diệu Thúy, 9A, THCS Bình Thịnh, §øc Thä, Hµ TÜnh
(18)Bµi 1(199).TÝnh: × × − = × × × × ×
20182018 2017 2017 2018
M
2018 20172017 673
Lêi gi¶i Ta cã
5
20182018 2017 2017 2018 M
2018 20172017 673
× × −
= ×
×
× × ×
5
2018 10001 2017 (2016 1) 2018 2018 10001 2017 (2 7) (3 673)
× × + × −
= ×
× ×
× × × ×
5
(2016 1) 2018 (2 7) (3 673) 2016 2018 2018
2016 2019 2016 2018 2016
2016 2019 2016 (2018 1)
2016 2019 2016 2019 2016 2019 + × − = × × × × × + − = × × + = × × + = × × = × =
VËy M =
Nhận xét Đây toán nên nhiều em tham gia giải giải Các bạn sau trình bày đẹp giải hoàn chỉnh cả: Bạch Thái Sơn, 7A1, THCS Vĩnh Yên, TP Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc; Nguyễn Thị Trà My, Lê Thị Ph−ơng Thảo, Nguyễn Thị Ph−ơng Nhi, Nguyễn Thị Thảo, 7A, THCS Bình An Thịnh, Lộc Hà; Trần Minh Hoàng, 7E, THCS Nguyễn Trãi, Nghi Xuõn, H Tnh;
Đỗ Ngọc Tiến, 7A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Văn Việt, Nguyễn Đăng Quang, Nguyễn Hải Triều, 6B; Nguyễn Hằng Nga, Lê Thị Khánh Hằng, 7D, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lơng; Nguyễn Gia Bảo,
7B; Trần Chí Đạt, 8E, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Phạm Trung Kiên, 7B, THCS Hàn Thuyên, Lơng Tài, Bắc Ninh
phùng kim dung Bài 2(199) Tìm số thực x, y thỏa m·n 2019|x − 1| + 2020|y − 2| + 2021|y − 3| + 2022|y − 4| = 4042
Lêi gi¶i Sư dơng tÝnh chÊt |a| ≥ a, ta cã 2019|x − 1| + 2020|y − 2| + 2021|y − 3|
+ 2022|4 − y| = 2019|x − 1| + 2020|y − 2|
+ 2019|y − 3| + 2|y − 3| + 2022|4 − y|
≥2019.0 + 2020(y − 2) + 2019.0 + 2(y − 3) +
2022(4 − y) = 2020y − 4040 + 2y − + 8088
− 2022y = 4042
Do đẳng thức xảy nên
x − = 0, y − ≥ 0; y − ≥ 0; y − = VËy x = vµ y =
Nhận xét Nhiều bạn có lời giải Các bạn sau có lời giải tốt: D−ơng Trung Quốc, 6D, THCS Lập Thạch, Lập Thạch; Bạch Thái Sơn, 7A1, THCS Vĩnh Yên, TP Vĩnh Yên,
Vĩnh Phúc; Nguyễn Văn Hùng, Vơng Viết Lợng, 7A; Nguyễn Hằng Nga, 7D, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lơng; Nguyễn Gia Bảo, 7B, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Trần Minh Hoàng, 7E, THCS Nguyễn TrÃi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh; Nguyễn Anh Th, 7A1, THCS Kế An, Kế Sách, Sóc Trăng
(19)Lời giải Gọi S tổng cần tìm; S1 tổng số có hai chữ số; S2 tổng số có hai chữ số chia hết cho 5; S3 tổng số có hai chữ số chia hết cho 9; S4 tổng số có hai chữ số chia hết cho
ãTa có: S1=10 11 12 99 + + + +
Sè số hạng tổng S1
+ =
(99 10) :1 90 sè h¹ng
= + =
1
S (10 99).90 : 4905
•Ta cã S2 =10 15 20 95 + + + +
Sè c¸c sè hạng tổng S2
+ =
(95 10) : 18 sè h¹ng = + =
2
S (95 10).18 : 945
•Ta cã S3 =18 27 36 99 + + + +
Số số hạng tổng S3 lµ
− + =
(99 18) : 10 sè h¹ng
= + =
3
S (99 18).10 : 585
•Ta cã S4 =45 90 135 + =
Do số hạng chia hết cho đợc tính lần tổng S2 S3 nªn
= − + −
= − + − =
1
S S (S S S )
4905 (945 585 135) 3510 Vậy tổng cần tìm 3510
Nhn xột Đây tốn khơng khó nh−ng nhiều bạn qn khơng tính S4 nên dẫn đến kết sai Có nhiều bạn tham gia giải có lời giải đúng: Phan Thùy Trâm, 7C, THCS Bạch Liêu, thị trấn Yên Thành; Phan Hữu C−ờng, Nguyễn Gia Bảo, 7B, Trần Chí Đạt, 8E, Phạm Văn Đại, 6D, THCS Đặng Thai Mai, Đô L−ơng; Trần Ph−ơng Mai, 7B, THCS Hồ Xuân H−ơng, Quỳnh L−u; Lê Thị Khánh Hằng, Nguyễn Đức Học, Trần Thị Khánh Ly, Vũ ánh D−ơng, Nguyễn Cảnh Nam Khánh, Hoàng Văn Hùng, Lê Thị Khánh Hằng, 7D, Nguyễn Danh Tiến Nam, 8C, THCS Lý Nhật Quang, Đô L−ơng, Nghệ An; Bạch Thái Sơn, 7A1, THCS Vĩnh Yên, TP Vĩnh Yên; Đào Quang Minh, Đỗ Thành
Nam, 6A; Dơng Trung Quốc, 6D; Đỗ Thị Kiều Oanh, 6A, THCS Lập Thạch, Lập Thạch, Vĩnh Phúc; Trần Minh Hoàng, 7E, THCS Nguyễn TrÃi, Nghi Xuân; Phạm Thị Thu Ngân, 7C; Trần Gia Huy, 8C, THCS Hoàng Xân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Lê Hồng Hạnh, 7A4, THCS Giấy Châu Phong, Phù Ninh; Phạm Minh Châu, 7A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Đoàn Nguyễn Vũ, 6B, THCS Nguyễn Hiền, Nam Trực, Nam Định; Chu Thanh Ngọc, 7D, THCS Nhữ B¸ Sü, Ho»ng Hãa, Thanh Hãa;
Ngun Anh Th−, 7A1, THCS Kế An, Kế Sách, Sóc Trăng; Hoàng Anh Khôi, Nguyễn Triết Khoa, 7C, THCS Achimedes Academy, Q Cầu GiÊy, Hµ Néi
lê đức thuận Bài 4(199) Tìm số nguyên tố có hai chữ số, biết viết chữ số số theo thứ tự ng−ợc lại ta đ−ợc số nguyên tố tổng hai số số có hai chữ số
Lời giải Số nguyên tố phải tìm có hai chữ nên chữ số khơng thể 2, 3, 5, 6, số viết ng−ợc lại hợp số Một hai chữ số khơng thể tổng hai số số có chữ số, trái với đề Suy chữ số số nguyên tố phải tìm 1, 3,
Nếu lấy chữ số hàng chục 1, ta có số nguyên tố 13, 17 Số viết ngợc lại 31, 71 số nguyên tố tổng chúng 44, 88, thỏa mÃn toán
Nếu lấy chữ số hàng chục 3, ta có số nguyên tố 31, 37 Số viết ngợc lại 13, 73 số nguyên tố nhng 37 bị loại 37 + 73 = 110, số có chữ số trái với yêu cầu toán
Nếu lấy chữ số hàng chục 7, ta có số nguyên tố 71, 73 Số viết ngợc lại 17, 37 số nguyên tố nhng 73 bị loại 73 +
(20)Vậy số nguyên tố phải tìm là: 13, 17, 31, 71
NhËn xÐt Cã nhiỊu b¹n tham gia giải Các bạn sau có lời giải tốt: Nguyễn Triết Khoa, Hoàng Anh Khôi, 7C1, Archimedes Academy, Q Cầu Giấy, Hà Nội; Nguyễn Anh Th, 7A1, THCS Kế An, Kế Sách, Sóc Trăng; Phạm Minh Châu, 7A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Trần Đức Quang, 6B, Phạm Thị Thu Ngân, 7C, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Lê Đức Thắng, 6B, Đỗ Thành Nam, 6A, THCS Lập Thạch, Lập Thạch; Dơng Nh Quỳnh, 7A, THCS Lý Tự Trọng, Bình Xuyên, Vĩnh Phúc;
Phan Hữu Cờng, 7B, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh; Nguyễn Cảnh Nam Khánh, 7D, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lơng; Phan Thùy Trâm, 7C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành, Nghệ An
cao văn dũng Bài 5(199) Tìm tất số ph−ơng cho đổi chỗ chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị số ta đ−ợc số ph−ơng khác s ban u
Lời giải Gọi số phải tìm A = Xab với a, b chữ số khác X số tự nhiên (cã thĨ b»ng 0)
Theo gi¶ thiÕt Xab = x2, Xba = y2 (x, y ∈ ) Ta cã thĨ gi¶ sư a > b
Ta thÊy a, b ∈ {0; 1; 4; 5; 6; 9}
NÕu b = th× x2 chia hÕt cho vµ suy x cịng chia hÕt cho vµ
Do x chia hết cho 10
Suy Xa0 = x chia hÕt cho 100
⇒a = (lo¹i)
NÕu b = th× x2 suy x
⇒ Xa5 = x2 25 ⇒ a5 25 Suy a = hc a = (loại)
Nếu b = x số chẵn nên Xa4 = x2
Suy a4 a số chẵn
Do ú a = (loại y2= X46 khơng chia hết cho 4)
NÕu b = th× a =
Khi x − y 2 = X96 − X69 = 27
Suy (x − y)(x + y) = 1.27 = 3.9 Từ tìm đ−ợc x = (loại) x = 14 Từ A = 196 (thỏa mãn)
NÕu b = a số chẵn (vì a số lẻ x = Xa1 a1 ≡ 10a + ≡ 10(a − 1)
+ 11 (mod 4)
Điều vô lí nên suy a {4, 6}
ãVới a = th× y2= X14≡ 14 ≡ (mod 4): vô lí
ãVi a = thỡ x − y2= X61−X16 = 45 Suy (x − y)(x + y) = 1.45 = 3.15 = 5.9 Từ ta tìm đ−ợc x ∈ {23; 9; 7}
Các giá trị không thỏa mãn
Vậy có hai số thỏa mãn đề 169 196
Nhận xét Có nhiều bạn gửi đến tịa soạn Hầu hết bạn có lời giải Các bạn sau có lời giải đúng, trình bày tốt:
Ngun Danh TiÕn Nam, 8C, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lơng; Ngô Thị An Bình, 8E, THCS Đặng Thanh Mai, TP Vinh, Nghệ An;
Nguyễn Anh Th, 7A1, THCS Kế An, Kế Sách, Sóc Trăng; Trần Minh Khôi, 9C, THCS Văn Lang, TP Việt Trì; Vũ Minh Đức,
Tạ Đức Quý, 7A3; Nguyễn Phạm Thanh Nga, Hoàng Thị Yến Nhi, Hà Quang Tùng, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ
trịnh hoài dơng Bài 6(199) Giải phơng trình
+ =
+ + +
1
x 3x 1 x
Lêi gi¶i (Dùa theo lời giải bạn Lê Duy Anh, 9C1, THCS Archimedes Academy, Q Cầu Giấy, Hà Nội)
ĐKXĐx ≥
(21)XÐt x ≠
Víi c¸c sè thùc a, b ta cã
+ = + + − ≥ +
+
⇒ + ≥
2 2 2
2
2(a b ) (a b) (a b) (a b) a b
a b (1)
Đẳng thức xảy a = b
¸p dơng (1), ta cã
≤ = + + + + + + − = − ≤ = + + + + + − + = −
1
x x x 2
2( x 2) , x
1
3x 2x x 2x x
2( 2x x 1) x
Suy +
+ +
1
x 3x
+ − − + ≤ + − − − = = − +
2( x 2) 2( 2x x 1)
x x
2( x 1)
(2) x x Đẳng thøc ë (2) x¶y
⎧ + =
⎪ ⇔ =
⎨
= +
⎪⎩
x
x
2x x (loại x 1).
Vy phng trỡnh cho có nghiệm x =
Nhận xét Ngồi lời giải trên, ta tiếp cận toán theo cách khác nh− sau: Tr−ớc hết, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có ≤ ⎛⎜ + ⎞⎟
+
+ ⎝ ⎠
1 1 , 2 x x + ⎛ ⎞ ≤ ⎜ + ⎟ + + + ⎝ ⎠
x x x x x x
+ ≤ ⎛ + ⎞
⎜ + ⎟
⇒
+ ⎝ ⎠
1 x x x x
Một cách tơng tự, ta cã
+ ⎛ ⎞ ≤ ⎜ + ⎟ + + + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ≤ ⎜ + ⎟ + + ⎝ ⎠
1 1 x ; x 3x 3x
x 1 2x ; 2 3x 3x
Suy
+ ≤ ⎛ + ⎞
⎜ + ⎟
+ ⎝ ⎠
1 x 2 x 3x Do ⎛ ⎞ + ⎜ + ⎟≤ + + ⎝ ⎠ 1
(1 x)
x 3x
Bài toán đ−ợc đ−a xét dấu đẳng thức đánh giá ta thu đ−ợc nghiệm x nh= − lời gii trờn
Ngoài bạn Lê Duy Anh, bạn sau có lời giải tốt: Trần Trọng Trung, 8A4, THCS Thanh Xuân, Q Thanh Xuân, Hà Nội; Trần Quang Đạt, Triệu Hoàng ánh Dơng, Trần Thị yến Khanh, Hà Quang Tïng, 9A3, THCS L©m Thao, L©m Thao, Phó Thä
võ quốc bá cẩn Bài 7(199) Cho số thùc x, y, z tháa m·n ≤ x, y, z Tìm giá trị lớn biểu
thøc = + +
+ + +
x y z
P
1 yz xz 2xy
Lời giải áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số d−ơng ta có
= + + + + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ≤ ⎜ + ⎟+ ⎜ + ⎟+ + ⎝ + ⎠ + ⎝ ⎠
x y z
P 1
1 yz xz 2xy
1 x y z
1
2 yz xz 2xy
⇒ − ≤ + +
+ + +
≤ + +
+ + + + + +
x y z
2P
1 yz xz xy 2x 2y 2z
yz x xz y xy z
Mặt khác (1 x)(1 y) 0− − ≥ ⇒1 xy x y + ≥ +
(22)Suy
− ≤ + + =
+ + + + + +
⇒ ≤
2x 2y 2z
2P 2
x y z x y z x y z P
VậyPmax = chẳng hạn x = y = 1, z =
Nhận xét Bài toán bất đẳng thức thuộc dạng bản, khơng q khó Các bạn sau có lời giải tốt: Trần Quang Đạt; Hà Quang Tùng, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao,
Phó Thä; Bïi Hµ Linh, 9D; Nguyễn Quốc Bảo Long, 9C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Đặng Vũ Cờng, 9A5, THCS Cầu Giấy, Q Cầu Giấy; Phạm Duy Nguyên Lâm, 8A1; Trần Trọng Trung, 8A4, THCS Thanh Xuân, Q Thanh Xuân, Hà Nội
NGUYễN QUANG TUấN Bài 8(199) Cho tam giác nhọn ABC với hai đờng cao BD CE cắt H Gọi M, N thứ tự trung điểm cña BC, DE Chøng minh r»ng 2MN BC DE= −
AH DE BC
Lêi gi¶i
Do tam giác DBC EBC vuông D E tơng ứng có đờng trung tuyến DM, EM nên MD=BC=ME
2
Suy MN vuông góc với DE (vì N trung điểm DE)
Ta cã
−
− =
⋅ −
= =
⋅ ⋅
2
2 2
BC DE BC DE DE BC DE BC
4MD 4ND 2MN (1) DE 2MD DE MD Ta chứng minh đợc
MND CEA (g.g); ΔDEC ΔHAC (g.g) Do
= =
MN CE DE (2) MD CA AH
Tõ (1) vµ (2), ta suy
− = ⋅ =
BC DE DE MN 2MN
2
DE BC AH DE AH Đó điều phải chứng minh
Nhận xét Bài toán tổng quát cho tứ giác nội tiếp Các bạn sau có lời giải ngắn gọn, trình bày xúc tích không dùng lợng giác: Bùi Hà Linh, 9D;
Ngô Thị An Bình, 8E, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, NghƯ An; Ngun Anh Th−, 7A1, THCS Kế An, Kế Sách, Sóc Trăng; Nguyn Tuấn Dơng, 9D5, THCS Chu Văn An, Ngô Quyền, Hải Phòng; Trần Minh Khôi, 9C THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thä
(23)Trận đấu thứ trăm sáu m−ơi bảy Ng−ời thách đấu: Nguyễn Duy Liên, GV THPT chun Vĩnh Phúc Bài tốn thách đấu: Có n đội bóng tham gia giải thi đấu bóng đá (n ∈ , n ≥ 2) Giải đấu tổ chức theo thể thức thi đấu vòng tròn l−ợt Cách tính điểm trận đấu nh− sau: Đội thắng đ−ợc điểm, đội thua đ−ợc điểm, trận đấu có kết hịa đội đ−ợc điểm Khi kết thúc giải khơng có hai đội có điểm Hỏi đội đứng đầu đội xp cui bao nhiờu im?
Thời hạn: Trớc ngày 08.01.2020 theo dÊu b−u ®iƯn
Trận đấu thứ trăm sáu m−ơi lăm (TTT2 số 199) Đề Cho số thực d−ơng a, b, c thỏa
m·n a2+ b2+ c2= 3abc Tìm giá trị nhỏ
cđa biĨu thøc
+ +
= + + +
+ + + + +
ab bc ca 2(a b c)
P
c a b ab bc ca
Lêi gi¶i Tr−íc hÕt ta cã nhËn xÐt sau: Víi mäi số thực dơng a, b, x, y
+ − + −
+ − = =
2 a 3a (a 1)(a a 2)
1) a
a a a
− +
=(a 1) (a 2)2 ≥0
a
Suy a2+ a
Đẳng thức xảy a =
( ) ⎛ ⎞ + + = + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − + = + + ≥ + + = +
2 2
2
2 2
2 2
a b a y b x
2) x y a b
x y x y
(ay bx) 2abxy
a b
xy a b 2ab (a b) Suy + ≥ +
+
2 2
a b (a b)
x y x y
Đẳng thức xảy ay = bx ⇔ =a b
x y
¸p dơng c¸c nhận xét ta đợc + +
= + + +
+ + + + +
ab bc ca 2(a b c)
P
c a b ab bc ca
+ +
= + + +
+ + + + +
2 2
(ab) (bc) (ca) 2(a b c)
ab(c 2) bc(a 2) ca(b 2) ab bc ca
+ + + ≥ + + + + + + + + + + + + ≥ + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + = + ≥ + + + + 2 2 2
(ab bc) (ca) 2(a b c)
ab(c 2) bc(a 2) ca(b 2) ab bc ca
(ab bc ca) 2(a b c)
ab(c 2) bc(a 2) ca(b 2) ab bc ca (ab bc ca) 2(a b c)
3abc 2(ab bc ca) ab bc ca (ab bc ca) (a b c)
2
ab bc ca (a b c)
= ⇔ = =
+ + +
ab bc ca
P ,
ab(c 2) bc(a 2) ca(b 2)
+ + =
+ + a b c
1
ab bc ca ⇔ = = =a b c
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa P b»ng a = b = c =
Nhận xét Học sinh Trung học sở đ−ợc dùng trực tiếp bất đẳng thức AM-GM cho hai số thực không âm, bất đẳng thức cổ điển khác dùng phải kèm theo chứng minh lại bất đẳng thức Trên tinh thần đó, võ sĩ gửi lời giải tới tòa soạn, võ sĩ Lê Thành Trung, 9D, THCS Điện Biên, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa võ sĩ đ−ợc đăng quang trận đấu
(24)phơng trình nghiệm nguyên
lê anh tuấn (Quỳnh Lu, Nghệ An) hơng trình nghiệm nguyên
chuyờn đề hay quan trọng với học sinh giỏi kiến thức để giải toán phong phú Những kiến thức th−ờng đ−ợc sử dụng để giải ph−ơng trình nghiệm ngun?
1 §−a biĨu thức chứa ẩn dạng tích
Nhiều phơng trình nghiệm nguyên đa dạng tích thừa số chứa ẩn số nguyên
Bài toán Tìm nghiệm nguyên phơng
trình y3x3=91 (1)
Lời giải Phơng trình (1) tơng đơng với
− 2+ + =
(y x)(x xy y ) 91 (2)
V× x2+ xy + y2> víi mäi x, y nªn tõ (2) suy
ra y x >
Mặt khác 91 = 1.91 = 7.13 vµ x2 + xy + y2,
y − x số nguyên d−ơng nên ta có tr−ờng hợp sau:
TH1 ⎧⎪⎨ − =
+ + =
⎪⎩ 2
y x
x xy y 91
Giải ta đợc (x, y) = (6; 5); (5; 6) TH2 ⎧⎪⎨ − =
+ + =
⎪⎩ 2
y x 91
x xy y (v« nghiƯm) TH3 ⎧⎪⎨ − =
+ + =
⎪⎩ 2
y x
x xy y 13
Gi¶i ta đợc (x, y) = (3; 4); (4; 3) TH4 ⎧⎪⎨ − =
+ + =
⎪⎩ 2
y x 13
x xy y (vô nghiệm) Vậy phơng trình có nghiệm nguyên (x; y) ∈ {(−6; −5); (5; 6); (−3; 4); (−4; 3)}
Bài toán Tìm nghiệm nguyên phơng
tr×nh x2+4x y (1) + =
Lời giải Phơng trình(1) tơng đơng với
+ 2− 4= ⇔ + − + + =
(x 2) y (x y )(x y ) KÕt hỵp víi x y+ − 2≤ + +x y nªn ta cã 2
⎧ + − = − ⎪ ⎨ + + = − ⎪⎩ 2
x y x y hc
⎧ + − = ⎪ ⎨ + + = ⎪⎩ 2
x y x y Giải hệ ta đợc
(x; y) {(4; 1); (4; 1); (0; 1); (0; 1)}
Bài toán Tìm nghiệm nguyên phơng
trình x2 =y(y 1)(y 2)(y 3) (1) + + +
Lời giải Phơng trình(1) tơng ®−¬ng víi
= + + +
2 2
x (y 3y)(y 3y 2) Đặt t y= 2+3y ta đợc
+ = + − =
⇔ + − + + =
2 2
t(t 2) x (t 1) x (t x)(t x)
Từ dễ dàng tìm đ−ợc nghiệm ngun ph−ơng trình
(x; y) ∈ {(0; 0); (0; −1); (0; −2); (0; 3)}
Bài toán Tìm nghiệm nguyên không âm
của phơng trình
+ 4+ = + +
(y 1) y (x 1) x (1)
Lời giải Phơng trình(1) tơng đơng víi
+ + + = +
⇔ + + + + + = + +
⇔ + + = + +
4 2
4 2 2 2
y 2y 3y 2y x x
(y 2y y ) 2(y y) x x (y y 1) x x
Đặt t y= 2+ +y t ; t ta đ ợc
= + + ⇔ = + +
⇔ − + =
⇔ − − + + =
2 2 2
t x x 4t 4x 4x 4t (2x 1)
(2t 2x 1)(2t 2x 1)
(25)Chó ý r»ng 2t + 2x + ≥ nªn ta cã 2t + 2x + = vµ 2t − 2x − =
Từ ph−ơng trình có nghiệm ngun khơng âm (x; y) = (0; 0)
2 Sư dơng tÝnh chia hÕt
Ngoài quy tắc chia hết cho số, cần lu ý thêm số d số phơng chia cho số
Bài toán Giải phơng trình nghiệm
nguyên x2+ 4y2 = 2019
Lời giải Một số phơng chia cho
có số d
Mà x2; (2y)2 là số phơng nên
chia số cho có số d
Do x2+ 4y2 chia cho có số d−
0; 1;
Mặt khác 2019 chia cho d− nên ph−ơng trình cho khụng cú nghim nguyờn
Bài toán Giải phơng trình nghiệm
nguyên
+ + + + + + + =
x(x 1)(x 2)(x 3) y(y 1)(y 2)(y 3) 2019
Lêi gi¶i TÝch cđa n số nguyên liên tiếp
chia hết cho n mµ x(x 1)(x 2)(x 3)+ + + vµ
+ + +
y(y 1)(y 2)(y 3) tích số nguyên liên tiếp nên chúng chia hết cho Từ ta có tổng
+ + + + + + +
x(x 1)(x 2)(x 3) y(y 1)(y 2)(y 3) chia hÕt cho
MỈt khác 2019 không chia hết cho
Vy phng trỡnh ó cho khụng cú nghim nguyờn
Bài toán Giải phơng trình nghiệm
nguyên x22y2 =5 (1)
Lời giải Vì 2y2 số chẵn, số lẻ nên xlà
số lẻ
Đặt x = 2k + (k Z), thay vào (1) ta đợc
+ + = + − =
2 2
4k 4k 2y 2(k k 1) y Suy y số chẵn
Đặt y = 2t (t ∈Z), ta cã
+ − = ⇔ + = +
2 2
2(k k 1) 4t k(k 1) 2t (2) Ta thÊy k(k + 1) số chẵn, 2t2 + số lẻ
nên phơng trình (2) vô nghiệm
Bài toán Tìm nghiệm nguyên phơng
trình 6x2+5y2 =74
Lêi gi¶i Ta thÊy nÕu (xo; yo) nghiệm
phơng trình (xo; yo); (xo; yo); (xo; yo)
cũng nghiệm phơng trình Bởi ta cần tìm nghiệm (xo; yo) với xo, yo≥
Ta cã 6(x2− 4) = 5(10 − y2)
Suy x2− ⇒ x2+
Mặt khác 6x2< 74 nên
⇒0 x< 2<74 =121
⇒ x< 2≤12
⇒⎡⎢ = ⎢ = ⎣ 2 x x (v× x
2+ 5)
NÕu x2= ⇒ y2= 10 (lo¹i)
NÕu x2= ⇒ y2=
Vậy phơng trình có nghiệm nguyên (x; y) {(3; 2);(3; 2);(3; 2);(3; 2)}
Bài toán Tìm nghiệm nguyên phơng
trình xy2+2xy 243y x − + =
H−ớng dẫn giải Ta viết ph−ơng trình cho
vỊ d¹ng x(y 1)+ =243y
Nếu y =1 phơng trình trở thành =243 (không thỏa mÃn)
Nếu y phơng trình tơng đơng với =
+
243y x
(y 1)
V× x số nguyên nên 243y (y + 1)2
Mµ (y ; y + 1) = nªn 243 (y + 1)2
Suy ⎡ + = ⎢ ⎢ + = ⎢ ⎢ + = ⎣ 2 2
(y 1) (y 1) (y 1)
Từ ta tìm đ−ợc nghiệm nguyên ph−ơng trình
Bài tốn 10 Tìm số ngun x để giá trị
của y số nguyên, biết = + +
2
x x y
x
H−ớng dẫn giải Ta viết ph−ơng trình cho
vỊ d¹ng = − + +
9 y x
x V× x, y số nguyên nên
+
9
x số nguyên
(26)Từ suy x { 1; 3; 9} + ∈ ± ± ± ⇔ x { 1; 3; 1; 5; 7; 11} ∈ − − − −
Từ ta tìm đ−ợc nghiệm ngun ph−ơng trình
3 Sắp thứ tự ẩn
Nu cỏc ẩn x, y, z,… có vai trị bình đẳng, ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ … để tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện Từ đó, dùng phép hốn vị để suy nghiệm cũn li ca phng trỡnh ó cho
Bài toán 11 Tìm nghiệm nguyên dơng
phơng trình x y z xyz (1) + + =
Lêi gi¶i Không tính tổng quát ta giả sử
≥ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤
x y z 3x xyz yz NÕu yz = ⇒ y = z =
Thay vµo (1) ta cã x + = x (v« lÝ) NÕu yz = ⇒ z = 1, y =
Thay vµo (1) ta cã x + = 2x ⇒ x = NÕu yz = y ≥ z ⇒ z = 1, y =
Thay vµo (1) ta cã x + = 3x ⇒ x = (m©u thn víi gi¶ thiÕt)
Do x = 3; y = 2; z =
Vì vai trị bình đẳng x, y, z nên nghiệm nguyên d−ơng ph−ơng trình hốn vị (1, 2, 3)
Bài toán 12 Tìm nghiệm nguyên dơng
phơng tr×nh 1+ + =1 2.(1) x y z
Lời giải Không tính tổng quát giả sử
≥ ≥ ≥
x y z
Ta cã 2= + + ≤1 1 3⇒z≤3 ⇒z 1.=
x y z z Thay vµo (1) ta cã
+ + = ⇒ = + ≤ ⇒ ≤
1 1
1 y x y x y y
NÕu y = ⇒ =0
x (v« lÝ) NÕu y = ⇒ = 1⇒x 2.=
x VËy x = y = 2, z =
Vì vai trị bình đẳng x, y, z nên nghiệm nguyên d−ơng ph−ơng trình hốn vị (1, 2, 2)
Bµi toán 13 Tìm số nguyên dơng x, y
tho¶ m·n 1+ =1 x y (1)
Lời giải Do vai trị bình đẳng x, y nên
gi¶ sư x≥ ≥y
Tõ (1) ta cã 1< ⇔ >1 y y (2) Mặt khác x y nên ≤1
x y
⇒ 1= + ≤ + =1 1
3 x y y y y
⇒y (3) ≤
V× y số nguyên nên từ (2) (3) ta cã
≤ ≤
4 y
Từ ta có nghiệm nguyên d−ơng ph−ơng trình
∈
(x; y) {(4; 12); (12; 4); (6; 6)}
Bµi tËp vËn dơng
Bài Giải phơng trình nghiệm nguyên:
a) x2− 4xy = 23;
b) 3x − 3y + = 0;
Bài Tìm nghiệm nguyên dơng
phơng trình sau: a) 4xy 3(x + y) = 59; b) 5(xy + yz + zx) = 4xyz;
Bài Chứng minh phơng trình
sau nghiệm nguyên a) x3+ y3+ z3= x + y + z + 2020;
b) 19x2+ 28y2= 729;
c) x2+ 4y2+ 9z2= 2015
(27)đề thi chọn học sinh giỏi lớp quận cầu giấy, TP h ni
Năm học 2019 - 2020 Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1.(5 ®iĨm)
1 Cho biĨu thøc =⎛⎜⎜ + − − + ⎞⎟⎟ − + −
− + − −
⎝ ⎠
2x x x x x x x x
P
x
x x 2x x x
a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có nghĩa rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P
2 Cho sè d−¬ng x, y, z tháa m·n: x2 + y2 + z2 = (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 a) TÝnh x + y + z biÕt xy + yz + zx =
b) Chøng minh r»ng nÕu z ≥ x; z y z > x + y
Bài (5 điểm)
1 Giải phơng trình 9x2+33x 28 4x 3x 4+ + − = + + 12x2+19x 21.
2 Tìm số nguyên (x, y) víi x ≥ 0; y ≥ tháa m·n x2 + 3y2 + 4xy + 4x + 10y − 12 =
Bài 3.(3 điểm)
1 Cho số thực không âm a, b, c thỏa mÃn a2 + b2 + c2 = Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc T = a + b2011 + c1954 − ab − bc − ac
2 Tìm số nguyên d−ơng x để 4x3 + 14x2 + 9x − số ph−ơng
Bài 4.(6 điểm)
Cho tam giỏc u ABC cạnh a, hai điểm M, N lần l−ợt di động hai đoạn AB, AC cho
+ =
AM AN
MB NC Đặt AM = x, AN = y a) BiÕt AM= 1,
AB tÝnh diƯn tÝch tam gi¸c AMN theo a b) Chøng minh r»ng MN = a − x − y
c) Gọi D trọng tâm tam giác ABC, K trung điểm AB Vẽ DI MN, chøng minh r»ng DI = DK
Bµi 5.(1 ®iÓm)
(28)HƯớNG DẫN GIảI đề thi
tun sinh LíP 10 thpt tP hå chÝ minh
Năm học 2019-2020 Môn thi: Toán
(Đề đăng TTT2 số 200+201) Bài a) Bảng giá trị
x 2
= −1
y x
2 −8 −2 −2 −8
x y = x − −4
b) Ph−ơng trình hồnh độ giao điểm (P) (d) nghiệm ph−ơng trình:
−1x2= − ⇔ − =x x2 2x 8− ⇔x2+2x 0.− =
2
Suy x1= 2; x2=4
ãVới x1= y1=2
ãVới x2=4 y2=8
Vậy giao điểm (P) vµ (d) lµ A(2; −2); B(−4; −8)
Bài Ph−ơng trình cho có dạng ax2+ bx + c = 0, a = > 0, c =−1 <
Vì a c trái dấu nên phơng trình có nghiệm phân biệt x1, x2
Mặt khác 2(1)2 3(1) = + 1 =
Phơng trình có nghiệm khác nên x1, x2
khác Theo hÖ thøc Vi-Ðt ta cã
−
+ = =
1
x x ; x x
2 Do
− − − + + − +
= + =
+ + + +
− + − + − −
= =
+ + + + + +
1 1 2
2 1
2 2
1 2
1 2 2
x x (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) A
x x (x 1)(x 1) x x (x x ) 2x x x x x x x x x x
⎛ ⎞ − ⎛− ⎞−
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= =
− + +
3 2
5 2
1 2
Bµi a) Với ngày 02 tháng năm 2019 ta cã n = 2, t = vµ H =
Do T = + = Số chia cho có số d
là nên ngày 02 tháng năm 2019 ngày thứ Hai
Với ngày 20 tháng 11 năm 2019 ta có n = 20, t = 11 vµ H =−2
Do T = 20 + (−2) = 18
Sè 18 chia cho d nên ngày 20 tháng 11 năm 2019 lµ ngµy thø T−
b) Hằng có ngày sinh nhật vào tháng 10 nên t = 10, H =
Ngµy sinh cđa H»ng lµ bội nên ngày sinh Hằng có dạng n = 3k víi k ∈ {1; 2; .; 10}
Ta cã T = n + H = 3k +
Mµ ngµy sinh cđa H»ng lµ thø Hai nªn ta cã 3k + = + (víi ∈ )
⇒3k = ⇒3k ⇒ k
Do vËy k = 7, suy n = 3k = 21
VËy ngµy sinh nhËt cđa H»ng lµ ngµy 21
Bài 4.a) Theo đề ta có
⎧
= + = =
⎧ ⇔⎧ ⇔⎪
⎨ = + ⎨ = ⎨
⎩ ⎩ ⎪⎩ =
1 a.0 b a.10 a
10 a.10 b b b 1. VËy a= , b 1.=
(29)b) y1= 2,85 (atm) Mặt khác 1= 1+
x y
10 Do 1+ = ⇒ =
1
x
1 2,85 x 18,5 (m)
10
Vậy ng−ời thợ lặn độ sâu 18,5 m
Bài Tổng số tiền ba bạn theo hợp đồng phải đóng góp là:
18000.(31 − 3) = 504000 (đồng)
Chi phí cho bạn theo hợp đồng phải đóng góp là: 504000 : = 168000 (đồng)
Vậy tổng chi phí cho chuyến là: 168000 31 = 5208000 (đồng)
Bµi Ta cã
a) AOB BOX AOX 72= − = o−47o=25 o Khoảng cách hai vị trí là:
≈
25
20000 2800 180 (km)
b) Gäi R lµ bán kính Trái Đất Ta có = = ≈
π
20000
R 20000 R 6400 (km) Độ dài đ−ờng xích đạo R 40000 (km)
Thể tích Trái Đất lµ:
3
4
.3,14.6400 1097509546700
3 (km
3) Bài Đổi 1,5 = 90
Gọi thời gian hơm cho hoạt động bơi Dũng x (phút), cho hoạt động chạy Dũng y (phút), (điều kiện x, y > 0)
Theo đề ta có hệ ph−ơng trình
+ = + =
⎧ ⎧
⇔
⎨ + = ⎨ + =
⎩ ⎩
x y 90 10x 10y 900 15x 10y 1200 15x 10y 1200
= =
⎧ ⎧
⇔⎨ + = ⇔⎨ =
⎩ ⎩
5x 300 x 60
x y 90 y 30 (nhËn)
Vậy hôm bạn Dũng 60 phút để bơi 30 phút để chạy
Bài a) Tứ giác BEDC có BEC BDC 90 = = o
Suy tứ giác BEDC tứ giác nội tiếp
Tam giác DBA vuông D có đờng cao DL nên suy BD2= BL BA
b) Tø gi¸c ADHE cã
+ = o+ o= o
ADH AEH 90 90 180 nên tứ giác ADHE nội tiếp
T ú BAK BDE =
Mµ BJK BAK (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n =
mét cung)
Do BJK BDE =
c) XÐt ΔBJD vµ ΔBDI cã JBD chung, BJD BDI =
Do ΔBJD ΔBDI (g.g) Suy BJ =BD ⇒BD2=BJ.BI
BD BI
Do BJ BI = BL BA (=BD2)
XÐt ΔBIL vµ ΔBAJ cã IBL lµ gãc chung,
=
BI BL
BA BJ (vì BJ.BI = BL.BA) Do ΔBIL ΔBAJ (c.g.c) Suy BIL BAJ.=
Từ tứ giác ALIJ tứ giác nội tiếp Suy ELI AJB =
Mà AJB ACB, ACB LEI (vì tứ giác BEDC = =
néi tiÕp)
Suy ELI LEI =
Do ΔIEL cân I ⇒IE = IL Mà ELI ILD LEI IDL 90 + = + = o
Do ILD IDL =
Từ tam giác IDL cân I Suy ID = IL
(30)Kì ny Magic Words
LÊ THị HUệ
Nhà xuất Giáo dục Việt Nam
Mt s t em thay đổi vị trí chữ tạo thành từ thú vị
Chẳng hạn nh:
Từ gốc ban đầu Từ míi sau xÕp l¹i
on no
now won
pot top
bat tab
sale seal
Các em thử thay đổi chữ từ d−ới
1 Change sore to a thorny flower Change bus to a type of underwater transportation Change add to a word for father Change not to a word for 2,000 pounds Change stone to little messages Change panel to a flying machine Change net to the number of fingers and toes you have Change low to a very wise bird Change raw to a word for battle
KÕt quả ô chữ các loài vật quen thuộc (TTT2 số 199)
Vào thăm V−ờn Anh kì tr−ớc, có đơng bạn nhiệt tình tham gia tìm đ−ợc nhiều lồi vật tiếng Anh chữ Có thể có nhiều từ tiếng Anh điền đ−ợc vào hàng Chủ V−ờn vui có khơng bạn tìm nhiều cách điền Sau đáp án loài vật theo thứ tự hàng ngang từ xuống: DOLPHIN – cá heo; FOX – cáo (hoặc DOG – chó; COW – bò); FROG – ếch; MOUSE – chuột (hoặc HORSE – ngựa); LEOPARD – báo; MONKEY – khỉ (hoặc DONKEY – lừa); GOAT – dê; LION – s− tử; HORSE – ngựa (hoặc MOUSE – chuột); GOOSE
con ngỗng (hoặc MOOSE nai sừng tấm); SPARROW - chim sỴ
Nhận xét Năm bạn tham gia tìm đủ lồi vật đ−ợc nhận quà tặng Chủ V−ờn: Vũ Ngọc Linh, 8G, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; L−ơng Hà Phúc, 6A5, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh,
Phó Thä;D−¬ng Nh− Qnh, THCS Lý Tù Träng, Bình Xuyên, Vĩnh Phúc; Nghiêm Minh Vũ, 7A3, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Trần Gia Huy, 8C, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh Xin chúc mừng bạn
(31)thi cõu lc b ttt
võ xuân minh
Kì 30
CLB1 Find the integers x and y such that
+ =
4 y
x 28562
CLB2 Find x and y satisfying
⎧⎪ + = − +
⎨ + = ⎪⎩
4 2
x y 8(x xy y )
x y
CLB3 Given real numbers x, y and z such that
+ − = − + =
x y z x y z
1
3
Find the value of the expression M = 3x + 6y − 5z
CLB4 Given the expression
− + − + − +
= + +
− − − − − −
2 2
a (a 1) bc b (b 1) ca c (c 1) ab
S
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
Where a, b and c are pair-sely different Prove that the value of S is always an integer
CLB5 Given right angle xAy Points B, C can move along on rays Ax and Ay respectively with the condition that AB + BC + CA = Find the minimum and the maximum value of the length of segment BC
đỗ đức thành(dịch)
K× 28 (TTT2 sè 199)
CLB1.Điều kiện a, b, a + 3b khác −
− = ⇒ + − +
+
= − ⇒ 2− − =
1 14
b(a 3b) 3a(a 3b)
a b a 3b
14ab 3a 6ab 3b
⇒a − − =2 b 0⇒a b− =2
b a b a
Do ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − =⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = + = 3 3 3
a b a b a b a b
M
b a b a b a
b a
2 3.2 14
CLB2
ãn = 2n = không số nguyên tố ã n = 2n = 2n + = số nguyên tố
ã n n 1, 2n, 2n + ba số tự nhiên liên tiÕp nªn cã mét sè chia hÕt cho
Mà 2n không chia hết cho
Do 2n − 2n + chia hết cho Mặt khác, n nên 2≥ n − 2n + lớn
Khi đó, 2n− 2n+ hợp số
Vậy có n = 2n − 2n + đồng thời số nguyên tố
CLB3 •Víi n = 2k (k∈ *) th×
[ ]
n n 1
k k k k 2k n
2 2
+
⎡ ⎤ ⎡+ ⎤= +⎡ + ⎤= + = =
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
• Víi n = 2k + (k∈ ) th×
[ ]
n n 1
k k
2 2
k k 2k n +
⎡ ⎤ ⎡+ ⎤ ⎡= + ⎤+ +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= + + = + =
VËy n n n
2
+
⎡ ⎤ ⎡+ ⎤=
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
CLB4.Tõ − ≥ ⇒ ≤⎛⎜ + ⎞⎟
⎝ ⎠
2
2 x y
(x y) xy
2 ta cã
+ − + −
(a b c)(b c a) + − + + − ⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 2 a b c b c a
b (1)
+ − + −
(b c a)(c a b) + − + + − ⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 2 b c a c a b
c (2)
+ − + −
(c a b)(a b c) + − + + − ⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 2 c a b a b c
a (3)
Mặt khác, a, b, c ba cạnh tam giác nên a + b − c > 0, b + c − a > c + a − b > Khi đó, nhân vế với vế (1), (2) (3) ta có
[ + − + − + − ] ≤
⇒ + − + − + − ≤
2
(a b c)(b c a)(c a b) (abc)
(a b c)(b c a)(c a b) abc
(32)Hỏi: Xem ảnh Noel nhiều n−ớc, em thấy ông già Noel tuyết rơi trông đẹp Quê em ch−a thấy tuyết rơi nh−ng có nơi n−ớc ta có tuyết rơi khụng anh?
Huỳnh Văn H
(8A1, THCS Mỹ Lộc, Phú Mỹ, Bình Định)
Đáp:
Thật lạnh có tuyết rơi Nớc ta có nơi thÊy råi
Sa Pa năm tr−ớc Sớm nhìn khung trời trắng tinh
Hái: Ngµy 20/11 hàng năm có ngời gọi Ngày Hiến chơng Nhà giáo nhng trờng em gọi Ngày Nhà giáo ViƯt Nam Sao thÕ anh?
Tr−¬ng T T
(Lớp 9B, THCS Nhữ Bá Sỹ, Hoằng Hoá, Thanh Hoá)
Đáp:
Hiểu lịch sử tờng Ngày giới, nớc lấy
Ngày công bố Hiến chơng Ngày thêm gắn bó yêu thơng thầy trò
Hi: Em trai em nm ti vo lớp 1, nghe nói học theo sách giáo khoa Nh− sách cũ mà em để dành không dùng đ−ợc cho em phải không anh?
Phïng K L
(Líp 7A2, THCS Nghi H−¬ng, Cử Lò, Nghệ An)
Đáp:
Cảm ơn chị g¸i biÕt lo
Dành sách cũ tặng cho em dùng Sang năm lớp vùng Học giáo khoa để đổi thay
Hỏi: Có bạn lớp em lên mạng xã hội để nói xấu em? Anh ơi! Nh− có phạm luật khơng?
Vâ T A
(Líp 6/1, THCS Lý Tù Träng, Tiªn Kỳ, Tiên Phớc, Quảng Nam)
Đáp:
Nhắc bạn phải xoá
Luật an ninh mạng điều nghiêm Tuổi nhỏ thân kết bạn hiền Nói xấu mạng phiền
(33)Các lớp & 7
Bài 1(202) Cho A = 5n2 +
10n + 601, víi n số tự nhiên Tìm giá trị nhỏ tổng chữ số A
tạ thập (TP Hồ Chí Minh)
Bài 2(202) Tìm số nguyên x, y, z tháa
m·n x2013 +y2016+z2019 =20182021
nguyễn đăng dũng (Số nhà 138, tổ 20A, P Yên Hòa,
Q Cầu Giấy, Hà Nội) Bài 3(202) ViÕt ngÉu nhiªn chÝn sè 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 vào chín ô vuông hình bên, ô chứa số Gọi x tổng số hàng, y tổng số cột, z tổng số đờng chéo Đặt S = x + y + z Tìm giá trị lớn S
trn quang vinh (Nhà xuất Giáo dục Việt Nam) Bài 4(202) Cho tam giác ABC có số đo độ dài cạnh số tự nhiên Gọi D điểm tùy ý cạnh BC (D không trùng với B C) Trên tia đối tia DA lấy điểm M cho AMB 60 Chứng minh MA= o + MB2+ MC2 khơng số ph−ơng
Huỳnh tâm
(Bu điện TX An Nhơn, Bình Định)
1(202) Given that A = 5n2 + 10n + 601,
where n is a natural number Find the minimum sum of the digits of A
2(202) Find integers x, y and z such that
2013 2016 2019 2021
x +y +z =2018
3(202) Nine numbers 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 are randomly filled in the below × grid with each number in one cell Let x be the sum of all of the numbers in the rows, y be the sum of all of the numbers in the columns and z be the sum of all the numbers in the diagonals Find the maximum value of S = x + y + z
4(202) Given equilateral triangle ABC with natural-number side length Let D be an arbitrary point on BC (D is neither B nor C) In the opposite ray of DA, construct point M such that AMB 60 = o
(34)C¸c líp THCS Bài 5(202) Giải phơng trình
+ + − =
−
1
1 2x 2
x x
l¹i quang thä (Phòng Giáo dục Đào tạo Tam Dơng,
Vĩnh Phúc) Bài 6(202) Cho số thực x, y, z, t tháa m·n < x, y, z, t ≤ Tìm giá trị nhỏ
của biểu thức = +
+ + + xyzt
Q
x y z t
cao minh quang (Trờng THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long) Bài7(202).Giải hệ phơng trình
+ + =
− + − + − =
⎪⎩
2 2
3 3 3
x y z
x y y z z x 32
vò hång phong (Tr−êng THPT Tiên Du 1, Tiên Du, Bắc Ninh) Bài 8(202) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao BD, CE ABC cắt H Gọi M trung điểm BC, N giao điểm AH DE, K giao điểm AO BC Chứng minh HM // NK
nguyễn đức Tấn (TP Hồ Chí Minh)
5(202) Solve the following equation
+ + − =
−
1
1 2x 2
x x
6(202) Given real numbers x, y, z and t such that < x, y, z, t ≤ Find the minimum
value of the expression = +
+ + + xyzt
Q
x y z t
7(202) Solve the following system of
equations
⎧ + + =
⎪ ⎨
− + − + − =
⎪⎩
2 2
3 3 3
x y z
x y y z z x 32
(35)(36)