Tiếp theo, Bob chọn một số từ tập A rồi đến lượt Alice chọn, các số được chọn phải thỏa các điều kiện sau: ban đầu Bob chọn bất kỳ số nào anh ta muốn, sau đó số được chọn ở mỗi bước [r]
(1)ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC THIẾU NIÊN BALKAN – JBMO
NĂM 2020
Câu
Tìm tất số thực
a b c, ,
thỏa mãn:2 2
2 2
1 1
1 1
a b c
a b c
a b c
a b c
Câu
Cho tam giác ABC có BAC90 Gọi E chân đường cao hạ từ đỉnh A tam giác ABC, Z điểm đường thẳng AB cho ABBZ Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEZ cắt CZ
tại điểm D FD đường kính
AEZ
Đường thẳng FE cắt đường thẳng CZ điểm P Tiếp tuyến Z đường tròn ngoại tiếp tam giác AEZ cắt PA T Chứng minh bốn điểm T E P Z, , , đồng viênCâu
Alice Bob chơi trò chơi sau: Alice chọn tập A
1, 2, ,n
với n số tự nhiên lớn Tiếp theo, Bob chọn số từ tập A đến lượt Alice chọn, số chọn phải thỏa điều kiện sau: ban đầu Bob chọn số muốn, sau số chọn bước phải khác với tất số chọn nguyên tố với số vừa chọn trước Trị chơi kết thúc tất số từ tập A chọn Alice thắng tổng tất số mà cô chọn hợp số (không phải số ngun tố) Nếu khơng Bob thắngHỏi người chơi có chiến lược để thắng? Câu
Tìm tất số nguyên tố p q cho
q p
p q
p q
số nguyên tố
(2)LỜI GIẢI ĐỀ THI JBMO NĂM 2020
Câu
Tìm tất số thực
a b c, ,
thỏa mãn:2 2
2 2
1 1
1 1
a b c
a b c
a b c
a b c
Lời giải Ta có: abc0
Theo giả thiết, ta có:
2 2
2 2
2
1 1
1 1 1
2
1 1
a b c
a b c a b c ab bc ca
a b c ab bc ca ab bc ca
ab bc ca abc ab bc ca a b c
Mặt khác a b c 1 1, a b c
nên:
2 2
1 1
1
1
0
abc ab bc ca
a b c
a b c ab bc ca ab bc ca
abc abc
ab bc ca
Nếu abbcca0 a b c Suy a2b2c20 hay a b c 0, vô lí Nếu abc 1 a b c abbcca0 Khi ta có:
1a
1b
1 c
a b c abbccaabc0Khơng tính tổng quát giả sử a 1 Ta có bc1 Khi
b c,
t,1 t
với t,t0
Trong trường hợp này, nghiệm hệ hoán vị 1; ;t t
(3)Nếu abc1 a b c abbcca Khi ta có:
1a
1b
1 c
a b c
abbccaabc0Khơng tính tổng qt, giả sử a1 Ta có bc1 Khi
b c,
t,1 t
với t,t0
Trong trường hợp này, nghiệm hệ hoán vị 1; ;t t
Tóm lại
a b c, ,
hốn vị 1; ;t t
hoán vị
1 1; ;t
t
Câu
Cho tam giác ABC có BAC90 Gọi E chân đường cao hạ từ đỉnh A tam giác ABC, Z điểm đường thẳng AB cho ABBZ Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEZ cắt CZ
tại điểm D FD đường kính
AEZ
Đường thẳng FE cắt đường thẳng CZ điểm P Tiếp tuyến Z đường tròn ngoại tiếp tam giác AEZ cắt PA T Chứng minh bốn điểm T E P Z, , , đồng viênLời giải T
P
F
D
O E
Z C
A
(4)Tứ giác AEDZ nội tiếp nên EDCEAZEAB
Mặt khác ABC đồng dạng với EAB nên EABBCA Suy EDCBCA Do
90
FED nên
90
PED Khi ta có:
90 90
EPD EDC BCAEAC
Hay tứ giác ACPE nội tiếp Suy
90
CPACEA
Tam giác APZ vng có B trung điểm AZ nên PB trung tuyến Suy ABBZPB hay tam giác PBZ cân B Suy BPZBZP Lại có:
,
CA CE CB CP CZ nên tứ giác PEBZ nội tiếp (1) Suy EPDEACCBAEBA
Khi đó, ta có: PAEPCEZPBPBEPZBPZEEZB Suy PA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AEZ Do TZTA hay tam giác TZATAZPABAPB Do PTZB tứ giác nội tiếp (2)
Từ (1) (2) suy T E P Z, , , đồng viên Câu
Alice Bob chơi trò chơi sau: Alice chọn tập A
1, 2, ,n
với n số tự nhiên lớn Tiếp theo, Bob chọn số từ tập A đến lượt Alice chọn, số chọn phải thỏa điều kiện sau: ban đầu Bob chọn số muốn, sau số chọn bước phải khác với tất số chọn nguyên tố với số vừa chọn trước Trị chơi kết thúc tất số từ tập A chọn Alice thắng tổng tất số mà cô chọn hợp số (khơng phải số ngun tố) Nếu khơng Bob thắngHỏi người chơi có chiến lược để thắng?
Lời giải
Alice có chiến lược chiến thắng có nghĩa tìm số n để tạo thành tập A cho trả lời cách xác tất lựa chọn Bob luôn nhận tổng hợp số cô hợp số
Nếu n không tồn tại, điều có nghĩa Bob có chiến lược chiến thắng
(5)1 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
Trong trường hợp, tổng Alice số chẵn lớn khác 15 21, Alice ln thắng
Câu
Tìm tất số nguyên tố p q cho
q p
p q
p q
số nguyên tố Lời giải
Rõ ràng: pq Đặt ,
q p
p q
r
p q
r số nguyên tố
Ta có:
1
q p
q p
p q
r p q r p q
p q
Theo định lý Fermat nhỏ, ta có: pqqp q
modp
(6)Suy pqqp
p1
pq
Nếu p số nguyên tố lẽ, áp dụng định lý Fermat nhỏ, ta có: q p
mod
p q p q
Mà
1 mod
p pq p p q Suy ra:
mod mod
p p p q p p q
Do pq nên p 2 mod
q
hay p2 chia hết cho q Suy q p p Ta có: q p
1
,p q p pq suy ra:
Mà gcd
q p, 1
nên đặt kordp1
q p k k p Suy k1Khi ta có: q 1 mod
p 1
q p, vơ líDo p chẵn, suy p2 Khi ta có: 2q q2 q Với số nguyên q6, ta có 2qq2 q Suy q5 Thử trực tiếp ta thấy q5 thỏa mãn
Thử lại thấy p2, q5 hai số nguyên tố cần tìm
0 mod 1 mod 1 mod
q p p p