Đề thi Olympic Toán học thiếu niên Balkan - JBMO năm 2020

Tiếp theo, Bob chọn một số từ tập A rồi đến lượt Alice chọn, các số được chọn phải thỏa các điều kiện sau: ban đầu Bob chọn bất kỳ số nào anh ta muốn, sau đó số được chọn ở mỗi bước [r]

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC THIẾU NIÊN BALKAN – JBMO

NĂM 2020 Câu 1

Tìm tất cả các bộ số thực a b c thỏa mãn: , , 

     





     



Câu 2

Cho tam giác ABC có  BAC 90 0 Gọi E là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC,

Z là điểm trên đường thẳng AB sao cho ABBZ Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEZ cắt CZ

tại điểm D và FD là đường kính của AEZ Đường thẳng FE cắt đường thẳng CZ tại điểm P

Tiếp tuyến tại Z của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEZ cắt PA tại T Chứng minh rằng bốn điểm T E P Z, , , đồng viên

Câu 3

Alice và Bob chơi một trò chơi như sau: Alice chọn một tập A1, 2, ,n với n là số tự nhiên

lớn hơn 2 Tiếp theo, Bob chọn một số từ tập A rồi đến lượt Alice chọn, các số được chọn phải thỏa các điều kiện sau: ban đầu Bob chọn bất kỳ số nào anh ta muốn, sau đó số được chọn ở mỗi bước tiếp theo phải khác với tất cả các số đã chọn và nguyên tố với số vừa được chọn trước đó Trò chơi kết thúc khi tất cả các số từ tập A được chọn Alice thắng nếu tổng của tất cả các số mà

cô ấy đã chọn là hợp số (không phải là số nguyên tố) Nếu không thì Bob thắng

Hỏi ai là người chơi có chiến lược để thắng?

Câu 4

Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho 1

p q





 là số nguyên tố

-HẾT -

LỜI GIẢI ĐỀ THI JBMO NĂM 2020 Câu 1

Tìm tất cả các bộ số thực a b c thỏa mãn: , , 

     





     



Lời giải

Ta có: abc 0

Theo giả thiết, ta có:

2 2

ab bc ca

ab bc ca abc ab bc ca a b c

Mặt khác a b c 1 1 1,

2 2 2

1

0

abc ab bc ca

a b c ab bc ca ab bc ca abc

abc

ab bc ca





 Nếu abbcca thì 0 a   Suy ra b c 0 2 2 2

0

a b c  hay a  b c 0, vô lí Nếu abc   thì 1 a  b c abbcca Khi đó ta có: 0

1a1b1     c 1 a b c abbccaabc 0

Không mất tính tổng quát giả sử a   Ta có 1 bc 1 Khi đó b c,  t,1

t



  với t,t0.

Trong trường hợp này, nghiệm của hệ là hoán vị của bộ 1; ;t 1

t

Nếu abc  thì 1 a  b c abbcca Khi đó ta có:

1a1b1     c 1 a b c abbccaabc 0

Không mất tính tổng quát, giả sử a 1 Ta có bc 1 Khi đó b c,  t,1

t



  với t,t0.

Trong trường hợp này, nghiệm của hệ là hoán vị của bộ 1; ;t 1

t

Tóm lại a b c là hoán vị của bộ , ,  1; ;t 1

t

  hoặc là hoán vị của bộ

1 1; ;t

t

Câu 2

Cho tam giác ABC có  BAC 90 0 Gọi E là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC,

Z là điểm trên đường thẳng AB sao cho ABBZ Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEZ cắt CZ

tại điểm D và FD là đường kính của AEZ Đường thẳng FE cắt đường thẳng CZ tại điểm P

Tiếp tuyến tại Z của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEZ cắt PA tại T Chứng minh rằng bốn điểm T E P Z, , , đồng viên

Lời giải

T

P

F

D

O

E

Z

C

A

B

Tứ giác AEDZ nội tiếp nên EDCEAZ.EAB

Mặt khác ABC đồng dạng với EAB nên EABBCA Suy ra EDC.BCA

90

90

EPD EDC BCAEAC

Hay tứ giác ACPE nội tiếp Suy ra   0

90

CPACEA Tam giác APZ vuông tại có B là trung điểm AZ nên PB là trung tuyến

Suy ra ABBZPB hay tam giác PBZ cân tại B Suy ra  BPZ .BZP

Lại có: 2

,

CA CE CB CP CZ nên tứ giác PEBZ nội tiếp (1)

Suy ra EPDEACCBA.EBA

Khi đó, ta có: PAEPCEZPBPBEPZBPZEEZB

Suy ra PA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEZ

Do đó TZTA hay tam giác TZATAZPAB.APB

Do đó PTZB là tứ giác nội tiếp (2)

Từ (1) và (2) suy ra T E P Z, , , đồng viên

Câu 3

Alice và Bob chơi một trò chơi như sau: Alice chọn một tập A1, 2, ,n với n là số tự nhiên

lớn hơn 2 Tiếp theo, Bob chọn một số từ tập A rồi đến lượt Alice chọn, các số được chọn phải thỏa các điều kiện sau: ban đầu Bob chọn bất kỳ số nào anh ta muốn, sau đó số được chọn ở mỗi bước tiếp theo phải khác với tất cả các số đã chọn và nguyên tố với số vừa được chọn trước đó Trò chơi kết thúc khi tất cả các số từ tập A được chọn Alice thắng nếu tổng của tất cả các số mà

cô ấy đã chọn là hợp số (không phải là số nguyên tố) Nếu không thì Bob thắng

Hỏi ai là người chơi có chiến lược để thắng?

Lời giải

Alice có chiến lược chiến thắng có nghĩa là cô ấy có thể tìm một số n để tạo thành tập A sao cho

cô ấy có thể trả lời một cách chính xác tất cả các lựa chọn của Bob và luôn luôn nhận được tổng hợp các số của cô ấy là hợp số

Nếu n không tồn tại, điều này có nghĩa là Bob có một chiến lược chiến thắng

Alice có thể thử trước để kiểm tra các giá trị nhỏ của n Thật vậy, điều này mang lại chiến lược chiến thắng sau đây cho cô ấy: ban đầu cô ấy chọn n 8 và trả lời tất cả các lựa chọn có thể có của Bob như trong danh sách bên dưới (trong mỗi hàng, lựa chọn của Bob và Alice được đưa ra lần lượt, bắt đầu với Bob):

1 2 3 4 5 6 7 8

2 3 1 4 5 6 7 8

2 3 4 1 5 6 7 8

3 2 1 4 5 6 7 8

3 2 4 5 1 6 7 8

3 2 4 5 6 1 7 8

4 5 3 6 2 1 7 8

4 5 3 6 7 8 2 1

4 5 6 7 3 2 1 8

4 5 6 7 3 2 8 1

4 5 6 7 8 3 2 1

5 4 3 2 1 6 7 8

5 4 3 2 6 7 1 8

5 4 3 2 6 7 8 1

5 4 6 3 2 1 7 8

5 4 6 3 7 8 2 1

6 7 5 4 3 8 2 1

6 7 5 4 8 3 2 1

6 7 8 5 4 3 2 1

7 6 8 5 4 3 2 1

7 6 5 8 4 3 2 1

8 7 6 5 4 3 2 1

Trong mọi trường hợp, tổng của Alice là số chẵn lớn hơn 2 hoặc là khác 15 hoặc 21, do đó Alice luôn thắng

Câu 4

Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho 1

p q





 là số nguyên tố

Lời giải

Rõ ràng: pq Đặt 1 ,

r

p q



 khi đó r là số nguyên tố

p q





Theo định lý Fermat nhỏ, ta có: p qq p  qmodp

Mà r1pqrqqmodp Suy ra: rq  q qmodprq0 mod p

Do pq nên r chia hết cho p Mà r là số nguyên tố nên r p

Suy ra p qq p p1pq.

Nếu p là số nguyên tố lẽ, áp dụng định lý Fermat nhỏ, ta có: q p mod 

Do pq nên p 2 0 mod q hay p 2 chia hết cho q

Suy ra q  p 2 p Ta có: q p  1 ,

p q  p pq suy ra:

Mà gcdq p , 1 nên đặt 1 kordp1 q   và p k k p Suy ra k 1

Khi đó ta có: q 1 0 mod p  1 q p, vô lí

Do đó p chẵn, suy ra p 2 Khi đó ta có: 2q q2  q 2

Với mọi số nguyên q 6, ta có 2qq2  Suy ra q 2 q 5

Thử trực tiếp ta thấy q 5 thỏa mãn

Thử lại thấy p2, q5 là hai số nguyên tố cần tìm