Chuyên đề 6 - Dạng toán chứng minh chia hết

[r]

Chuyên đề : Dạng toán chứng minh chia hết 1.Kiến thức vận dụng

* Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5,

* Chữ số tận 2n, 3n ,4n, 5n ,6n, 7n, 8n, 9n * Tính chất chia hết tổng

Bài tập vận dụng:

Bài : Chứng minh : Với số nguyên dương n :

2

3n 2n  3n 2nchia hết cho 10

HD: ta có 2

3n 2n  3n 2n= 2

3n  3n 2n 2n

= 2

3 (3n  1) (2n 1)

=

3 10 5n     n 10 2n n 10

= 10( 3n -2n)

Vậy 2

3n 2n  3n 2n 10 với n số nguyên dương

Bài 2 : Chứng tỏ rằng:

A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 số chia hết cho 100

HD: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 = 75.( 42005 – 1) : + 25

= 25( 42005 – + 1) = 25 42005 chia hết cho 100

Bài 3 : Cho m, n  N* p số nguyên tố thoả mãn:

1  m p = p n m (1) Chứng minh : p2 = n +

HD : + Nếu m + n chia hết cho p p m( 1) p số nguyên tố m, n  N*  m = m = p +1 từ (1) ta có p2 = n +

+ Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1)  (m + n)(m – 1) = p2 Do p số nguyên tố m, n  N*  m – = p2 m + n =1

m = p2 +1 n = - p2 < (loại)

Vậy p2 = n +

Bài 4: a) Số 1019984

A có chia hết cho khơng ? Có chia hết cho không ? b) Chứng minh rằng: 38 33

41 36 



A chia hết cho

HD: a) Ta có 101998 = ( + 1)1998 = 9.k + ( k số tự nhiên khác không)

= 3.1 +

Suy : A1019984 = ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho , không chia hết cho

b) Ta có 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7.185 + 1) 19 = 7.k + ( k  N*)

4133 = ( 7.6 – 1)33 = 7.q – ( q N*)

Suy : 38 33

41 36 



A = 7k + + 7q – = 7( k + q)

Bài :

a) Chứng minh rằng: n n n n

2

3 2 4  chia hết cho 30 với n nguyên dương

b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c  17 a - 11b + 3c  17 (a, b, c  Z)

Bài : a) Chứng minh rằng: 3a2b1710ab17 (a, b  Z ) b) Cho đa thức f(x)ax2 bxc (a, b, c nguyên)

CMR f(x) chia hết cho với giá trị x a, b, c chia hết cho HD a) ta có 17a – 34 b 17 3a + 2b 1717a34b3a2 17b 2(10a16 ) 17b

10a16 17b (2, 7) = 10a17b16 17b 10a b 17 b) Ta có f(0) = c f(0) 3c

f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , f(1) f(-1) chia hết cho 2 3b b ( 2, 3) =

f(1) 3  a b c b c chia hết cho a Vậy a, b, c chia hết cho

Bài 7 : a) Chứng minh 2006

10 53

9 

là số tự nhiên

b) Cho 2n 1 số nguyên tố (n > 2) Chứng minh 2n 1 hợp số

HD : b) ta có (2n +1)( 2n – 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) Do 4n- chia hêt cho 2n 1 số nguyên tố (n > 2) suy 2n -1 chia hết cho hay 2n -1 hợp số