Đề thi thử THPT quốc gia

Lưu ý: Phương pháp này sử dụng tính chất của các phương trình lượng giác ,các biểu thức lượng giác,sử dụng bất đẳng thức côsi và bunnhiaxcopki... 1.[r]

PHẦN 1: CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ 1 Kiến thức cần nhớ

a) sin cos xác định  R Ta có: sin( + k2) = sin

cos( + k2) = cos 1  sin  ,cos  

b)  m  R, 1≤m≤ tồn   cho sin = m sin =m c) tan xác định  



+ k  , k  Z cot  xác định   k  , k  Z

d) Dấu giá trị lượng giác Góc phần tư

Góc lượng giác I II III IV

sin + +  

cos +   +

tan +  + 

cot +  + 

2 Bảng giá trị lượng giác số cung hay góc đặc biệt : Gó

c Giá trị lượng giác

0(00) /6(300) /4(450) /3(600) /2(900)

Sin 1/2 2/2 3/2

Cos 3/2 2/2 1/2

Tg 3/3 ||

Cotg || 3/3

|| : không xác định 3 Các đẳng thức lượng giác bản

Với k  Z ta có : sin2 + cos2 =

) (

cot

) (

sin

1 cot

1

) ( cos

1

1

2

2

  



  



   



k g

tg

k g

k tg

 

 



  



4 Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt. a) Cung đối :   

sin() = sin  cos() =  cos  tan() = tan  cot() = cot 

cos() = cos tan()= tan cot()= cot 

c) Cung  :   +  sin(+) = sin

cos(+) = cos tan(+) = tan cot(+) =cot 

d) Cung phụ :  

  sin(/2) = cos

cos(/2)= sin tan(/2) = cot cot(/2) = tan

e) Cung /2 :  

+ (Xem) sin(/2+) = cos 

cos(/2+) = sin  tan(/2+) = cot  cot(/2+)= tan  5 Công thức cộng

Với số thực a , b ta có :

cos(a  b) = cosa.cosb + sina.sinb cos(a + b) = cosa.cosb  sina.sinb sin(a  b) = sina.cosb  cosa.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

tgatgb

tgb tga ) b a ( tg

   

(a  /2 + k ;b  /2 + k ;a+b  /2 + k  ;ab  /2 + k  ) 6.Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina.cosa cos2a = cos2a  sin2a

= 2cos2a 

=  2sin2a

tg2a = tg a tga

2

 ( a  /2 + k  , a  /4 + k /2 ) cot2x=

7.Công thức nhân ba

sin3a = 3sina  4sin3a

cos3a = 4cos3a  3cosa

tg3a = 3tg a a tg tga

2 



2

3

1 cos cos2

sin ; cos

2

3sin sin 3cos cos3

sin ; cos

4

a a

a a

a a a a

a a

 

 

 

 

9 Cơng thức tính sina, cosa, tga theo t = tg2 a

(không học) Giả sử a   + k  ,đặt t = tg2

a

,ta có :

2

2

2 1 t

t tga ; t t a cos ; t t a sin        10 Cơng thức biến đổi tích thành tổng

cosa.cosb =

[cos(a+b) + cos(ab)] sina.sinb = 2

1

[cos(a+b)  cos(ab)] sina.cosb =

1

[sin(a+b) + sin(ab)] cosa.sinb =2

1

[sin(a+b)  sin(ab)] 11 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2cos cos

2

cos cos 2sin sin

2

sin sin 2sin cos

2

sin sin 2cos sin

2

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b                

12 Biến đổi biểu thức cosx + sinx thành tích

Khi ta có công thức : sinx cosx 2sin(x 4)

) x cos( x sin x cos ) x sin( ) x cos( x sin x cos               

13 Công thức bậc cao

Sinx+ cosx=1- sin 2x= (3+ cos4x) Sin x+ cos x= 1- sin 2x

Sin x+ cos x= (35+28cos4x+ cos8x)

 Phng phỏp chung:

Để giải PTLG , nói chung ta tiến hành theo bớc sau:

Bc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa Các điều kiện bao hàm điều kiện để có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức logarit có nghĩa Ngồi PTLG có chứa biểu thức chứa tanx va cot gx cần điều kiện để tanx

cot gx cã nghÜa.

Bớc 2: Bằng phơng pháp thích hợp đa phơng trình cho phơng trình

Bớc 3: Nghiệm tìm đợc phải đối chiếu với điều kiện đặt Những nghiệm không thoả mãn điều kiện bị loại

Ta dùng cách sau để kiểm tra xem có nhận nghiệm hay khơng: - Cách 1: Thay giá trị x vừa tìm vào điều kiện thử xem có thoả mãn

- Cách 2: Biểu diên ngộn cung điều kiện ngộn cug tìm đường tròn đơn vị.Ta loại bỏ ngộn cung nghiệm trùng với điều kiện - Cách 3: So sánh điều kiện trình giải phương trình

Dạng 1: phương trình lượng giác bn Phng phỏp:

1.1 Giải biện luận phơng trình sinx m (1)

Do sinx 1;1 nên để giải phơng trình (1) ta biện luận theo bớc sau

Bíc1: NÕu |m|>1 ph¬ng trình vô nghiệm

Bớc 2: Nếu |m|<1 ,ta xét khả

-Kh nng 1: Nu m c biểu diễn qua sin góc đặc biệt ,giả sử  phơng trình có dạng đặc biệt

2

sin sin ,

2

x k

x k

x k

 



  

  

   

  





-Khả 2: Nếu m khơng biểu diễn đợc qua sin góc đặc biệt đặt m=

sin Ta cã:

2

sin sin ,

2

x k

x k

x k

 



  

  

   

  





Nh vËy ta cã thÓ kết luận phơng trình có họ nghiệm

1.2 Giải biện luận phơng trình lợng giác cosx m ( )b

Ta cịng ®i biƯn ln (b) theo m

Bíc 2: NÕu m ta xét khả năng:

-Kh nng 1: Nếu m đợc biểu diễn qua cos góc đặc biệt, giả sử góc Khi phơng trình có dạng

2

cos cos ,

2

  

   

 





x k

x k

x k

 



 

-Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua cos góc đặc biệt

đặt m=cos Ta có:

2

cos cos ,

2

  

   

 





x k

x k

x k

 



 

Nh vËy ta cã thể kết luận phơng trình có họ nghiệm

1.3 Giải biện luận phơng trình lợng giác tanx m c ( )

Ta cịng biƯn ln phơng trình (c) theo bớc sau:

Bớc 1: Đặt điều kiện

cos ,

2

     

x x  k k

Bớc 2: Xét khả

-Khả 1: Nếu m đợc biểu diễn qua tan góc đặc biệt , giả sử  phơng trình có dạng

tanxtan  x  k ,k 

-Khả 2: Nếu m khơng biểu diễn đợc qua tan góc đặc biệt , đặt m= tan ta đợc

tanxtan  x  k ,k 

NhËn xét: Nh với giá trị tham số phơng trình có nghiệm

1.4 Giải biện luận phơng trình lợng giác cotx m ( )d

Ta cịng ®i biƯn ln theo m

Bớc1: Đặt điều kiện sinx x k k Bớc 2: Xét khả

-Kh 1: Nếu m đợc biểu diễn qua cot góc đặc biệt , giả sử  phơng trình có dạng

cotxcot  x   k ,k 

-Khả 2: Nếu m khơng biểu diễn đợc qua cot góc đặc biệt , đặt m= cot ta đợc

cotxcot  x   k ,k 

Nhận xét: Nh với giá trị tham số phơng trình (d) có nghiệm

Bài 1: (Dạng phương trình: sinx=m;cosx=m;tanx=m;cotx=m) a) sinx= b) cosx= c) tanx= d)cotx=

f) sin4x= sin g) cox(3x-15 )=cos150 h)tan(3x+2)=tan

Bài 2: (Dạng phương trình: sin[f(x)]=m;cos[f(x)]=m;tan[f(x)]=m;cot[f(x)]=m) 1.sin (cosx) = 7.sin(x -4x)=0

cos(8sinx) = -1 8.cot(x +4x+3)=cot6 3 tan(cosx ) = cot( sinx)

4 cos(sinx) = cos(3sinx) 5 tan( cosx) = tan(2 cosx) 6 sinx2 =

1

Bài 3: (Phương trình đưa phương trình lượng giác bản) sin2x-cos3x=0 tan (x+ )=1

2.cot +cot(2x-30)=0 7.sinx-cosx= cos3x

3.cosx= sinx 8.tanx+cotx=4

4.cot(x+ )+tan( -3x)=0 cosx.cos2x.cos4x.cos8x= 5.cot2x.cot(x+ )=-1 10 cos4x- sin4x=cosx-sinx 11 sin x-sin (x+ )=4sin cos cosx

Bài 4: (Phương trình đưa phương trình tích phương trình bản) (2sinx cos )(1 cos ) sinx  x  2x 3sinx2cosx 2 3tanx

2 sin cos x xcosxsin 2x 2sinxcotx2sin 2x1

3 ( +cot2x)(3tanx- )=0

1

1 tan 2sin

cos

x x

x

  

4 =0 cot 2x tan 2x cos2xsin 2x

(2sinx+1) =(2sinx+1)(sinx- ) 10 2sin x+cos2x=sinx 11 8cos x-1=0 12.sin x+sin 2x+sin 3x= 13 cosx+ cos2x+cos3x+cos4x=0

14 tan2x.sinx+ (sinx- tan2x)- =0

Bài 5:( Giải biện luận phương trình theo tham số m) sinx+m=m.sinx

2 mcosx-2(m-1)=(2m+3)cosx-1 3tanx-m=(m+2)tanx

4 mcotx-1=cotx+m+2

Dạng 2: Phương trình bậc sinx cosx  Phương pháp:

Ta cã thÓ lùa chän c¸ch sau:

C¸ch 1: Thùc hiƯn theo c¸c bíc

Bíc 1:KiĨm tra

-NÕu a2 b2<c2 phơng trình vô nghiệm

-Nu a2 b2 c2 để tìm nghiệm phơng trình ta thực tiếp bớc

2 2 2

sin cos

a b c

x x

a b  a b  a b

V×

2

2 2

( a ) ( b )

a b  a b  nên tồn góc cho

2 2

cos , sin

a b

a b   a b  

Khi phơng trình (1) có dạng

2 2

sin cosx sin cosx c sin(x ) c

a b a b

      

 

Đây phơng trình sin mà ta biết cách giải

C¸ch 2: Thùc hiƯn theo c¸c bíc

Bíc 1: Víi

cos ( )

2

x

x  k  k

     

thử vào phơng trình (1) xem có nghiƯm hay kh«ng?

Bíc 2: Víi

cos ( )

2

x

x  k  k Z

    

Đặt

tan

x t

suy

2

2

2

sin , cos

1

t t

x x

t t



 

 

Khi phơng trình (1) có dạng

2

2

2

( ) (2)

1

t t

a b c c b t at c b

t t



       

 

Bớc 3: Giải phơng trình (2) theo t , sau giải tìm x

* Dạng đặc biệt:

sin cos sin( ) cos( )

4

x x x  x 

sin cos sin( ) cos( )

4

x x x   x

π π

sinx 3cosx 2sin(x ) 2cos(x )

3

    

π π

sinx 3cosx 2sin(x ) 2cos(x + )

3

   

Bài tập áp dụng:

Bài ( Dạng phương trình bậc sinx cosx)

2.3sinx2cosx 13 0 4 5sinx 2cosx 6

sinx+ cosx=1 (1+ )sinx+ (1- )cosx=2 Bài 2.(Dạng tìm m để phương trình sau có nghiệm)

1 2sinx m cosx 1 m 2 msinx (m1)cosx 1

3 4sin cosx x m cos2x 0 4 mcos2xsin 2x m 1

Bài 3.(Dạng phương trình asinP(x)+bcosP(x)=csinQ(x)+d.cosQ(x) (trong đó: a +b =c +d )

1 sin 2xcos2x2sin 3x 4 sin 3x cos3x sinx

2 2sinx 3cosx 13cos5x0 5 3sinx4cosx 5cos6x cos3x sin 2x  3(cos2xsin3 )x 6.cos4x- sin4x= cosx-sinx 2( sinx-cosx)= sin2x+3( cos x- sin x)

cos2x+sin2x+2.sin(2x- )

Bài (Phương trình đưa phương trình bậc sinx cosx)

1. 3sin(x+ )- 4sin( -x)+5=0

2. sin x+ cos x= sin4x+1

3. 4sin x.cos3x+4cosx.sin3x+ cos4x=3

4. Cos x- sin2x= 1+ sin x

5. (sinx+cosx).cosx=3+ cos2x

6. cos2x+ sin2x+2.sin(2x- )=

7 3sin3x cos9x 4sin 3x  ,

8.

4

sin x cos (x 4)4

9 3(1 cos2 ) cos2sin





x x

x ,

10.

2

sin sin

2

 

x x

11

1 3sinx + cosx =

cosx

12. tanx 3cotx4(sinx cos )x 13. cos7x - 3sin7x + = ;

2π 6π

x ( ; )

5



14.2sin15x + 3cos5x + sin5x =

Bài (Phương pháp đặt ẩn phụ- giải phương trình bậc sinx cosx)

1

1 3sinx + cosx = 3+

3sinx + cosx +1

2 Sinx+ cosx+ = 3sinx-4cosx+ =

4 (sin2x+ cos2x) -5 = cos(2x- )

1 1+cot2x=

2 Tanx-sin2x-cos2x+2(2cosx- )=0 Tanx-3cotx = 4(sinx+ cosx) 2cos x+cos2x+ sinx=0 1+ sin 2x+ cos 2x = sin4x Sin2x+2cos2x=1+sinx-4cosx

Dạng 3: Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Phương pháp:

D¹ng3 1:

2

sin sin ( 0; , , )

a x b x c  a  a b c (1)

Cách giải: Đặt tsinx , điều kiện | |t

Đa phơng trình (1) phơng trình bậc hai theo t , giải tìm t ý kết hợp với điều kiện giải tìm x

Dạng3 2:

2

cos cos ( 0; , , )

a x b x c  a a b c (2)

Cách giải: Đặt tcosx điều kiện | |t ta đa phơng trình (2) phơng trình bậc hai theo t, giải tìm t tìm x

Dạng 3.3:

tan tan ( 0; , , )

a x b x c  a  a b c  (3)

Cách giải: Điều kiện

cos ,

2

x  x k k 

Đặt t tanx t  ta đa phơng trình (3) phơng trình bậc hai theo t, ý tìm đợc nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay khơng

D¹ng3 4:

2

cot cot ( 0; , , )

a x b x c  a a b c (4)

Cách giải: Điều kiện sinx x k k

Đặt t cotx (t ) Ta đa phơng trình (4) phơng trình bậc hai theo ẩn t

Bi áp dụng:

Bài ( Phương trình bậc hai hàm số lượng giác) 1.4sin2x 4sinx 0 7 8sin2x6cosx 0

cos4x cos2x 1 6sin 22 xcos8x 14 0

4

sin cos sin

2

x x x

9

6

2(sin cos ) sin cos

0 sin

x x x x

x

 

 

4 tan2x(1 3) tanx 0 10 2cot2 x 3cotx 0

5

4

tan

cos 2x  x  11

3

3cot

2

2 tan

cos

x

x

 

Bài (Phương trình bậc ba hàm số lượng giác) 4sin3x 8sin2xsinx 3

2 sin 3xsinx

3 cos3x3cos2x2(1 cos ) x tan3x 2tan2x3tanx 0

5

2

1

cot 3cot

sin

x x

x

   

6

1

2cos2 8cos

cos

x x

x

  

Bài 3.(Tổng hợp)

5sin x 4sinx 0 cos2x 3cosx 0

2

5

3tan 3tan

2

x x 

cos(4x2) 3sin(2 x1) 2

sin2x+cos2x=cos 4x

4 25

cos 6cos

16

x x

4

2

sin

tan

2cos 2sin

4

x

x

x 

 

2

1 2sin sin sin

1

2sin cos

x x x

x x

  

 

5

4

1

cot 25

sin

x

x

 

Bài ( Giải biện luận theo tham số m) Cho phương trình: cos2s+5sinx+m=0 a) Giải phương trình với m=-4

b)Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2 Cho phương trình: cos2x-(2m+1)cosx+m+1=0 a) Giải phương trình với m =

b)Tìm m để phương trình có nghiệm: x  ( ; ) Cho phương trình : 5-4sin x- 8cos =3m

a) Giải phương trình với m=

b) Tìm m ngun để phương trình sau có nghiệm

Dạng 4: Phương trình bậc hai sinx cosx. Phương pháp:

Cách1: Chia tõng vế phơng trình (1) cho ba hạng tư sin ,cos2x x hc

sin cosx x Chẳng hạn chia cho cos2x

ta làm theo bớc sau:

Bớc 1: Kiểm tra:

cos ,

2

x  x k k

xem có phải nghiệm phơng trình(1) hay không?

Bc 2: Vi cos x0 chia hai vế cho cos2 x lúc phơng trình (1) trở thành

2

2

tan tan (1 tan )

( ) tan tan

a x b x c d x

a d x b x c d

   

     

Đây phơng trình bậc hai theo tan ta biết cách giải

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

2 cos2 cos sin

sin ; cos ; sin cos

2 2

x x x

x  x  x x

đa phơng trình cho phơng trình bsin 2x(c a )cos2x d c a  

Đây phơng trình bậc sin cos ta biết cách giải

*Chú ý: Đối với phơng trình đẳng cấp bậc n (n3) với dạng tổng quát

(sin ,cos ,sinn n k cos ) 0h

A x x x x  k h n k h n  ; , ,  

Khi ta làm theo bớc :

Bíc 1: KiĨm tra xem cosx0 có phải nghiệm phơng trình hay kh«ng?

Bớc 2: Nếu cosx0.Chia hai vế phơng trình cho cosnx ta đợc phơng trình bậc n theo tan Giải phơng trình ta đợc nghiệm phơng trình ban đầu

Bài 1: (Phương trình bậc hai sinx cosx) sin 22 x sin 4x 3cos 22 x0

2 8sin2x 8sin cosx x3cos2x2

3 6sin2x7 sin 2x 8cos2x 6

4 cos2x sin cosx xcos2x2

5

2

4cos sin sin

2 2

x x

x

  

6

1

3 sin cos2

cos2

x x

x

 

7 sin2x + 6sinxcosx + 2(1 + 3)cos2x – - 3 = 0

9 sin2x + 3 3sinxcosx - 2cos2x=4

10 sin2x+5 cos2x-2cos2x - 4sin2x=0

Bài 2.( Phương trình bậc ba,bậc4 sinx cosx). 4sin3x sin cos2 x x3cos3xsinx

2 Sin x+ sinx.sin2x- 3cos x=0

3 3cos x- 4sin x.cos x+ sin x=0

Bài 3: (Phương trình dạng: asin x+bsin xcosx+csinxcos x+dcos x+esinx+fcosx=0)

1. sinxcosx 4sin3x

2. sin 2xcos2xtanx2

3. sin 2x2 tanx3

4. (tanx3cot )sinx x4(sinx 3cos )x 5. sinx - 4sin3x + cosx =

6. (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 7. sin3x - sinx + cosx – sinx =

8. tanxsin2x - 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx)

9. 4cos3x + 2sin3x - 3sinx =

10.2cos3x = sin3x

11.cos3x - sin3x = cosx + sinx

12.sinxsin2x + sin3x = 6cos3x

13.sin3(x - /4) = 2sinx

Bài 5.( Định m để phương trình sau có nghiệm) Định m để phương trình sau có nghiệm:

a 3sin x -6sinxcosx-5cos x+m=0 b 6sin x+ msinxcosx-cos x=2+m

2.Cho phương trình : msin x-3sinxcosx-m-1=0 Tìm mđể phương trình có nghiện x( 0; )

Cos x-sinxcosx-2sin x-m=0 Giải biện luận theo m? Dạng 5: Phương trình đối xứng sinx cosx

Phương pháp: Dạng phương trình:

a(sinxcos )x bsin cosx x c 0 a b c, ,   (1)

C¸ch 1: Do

2

(sin ) sin cos

a x cosx   x x nên ta đặt

sin cos sin( ) cos( )

4

t x x x    x

§iỊu kiÖn | |t 

Suy

2 1

sin cos

2

t x x 

phơng trình (1) đợc viết lại:

2 2 ( 2 ) 0

bt  at b c 

C¸ch 2: Đặt

t x

th×

sin cos cos( ) cos

4

x x   x  t

2

1 1

sin cos sin cos( ) cos cos

2 2 2

x x x   x t t

nên phơng trình (1) trở thµnh

2

cos cos

2

b

b x x  c

Đây phơng trình bậc hai biết cách giải

*Chú ý:

-Hai cách giải áp dụng cho phơng trình

(sin cos ) sin cos

a x x b x x c  cách đặt t sinx cosx lúc đó

2

1 sin cos

2

t x x 

- Nếu đặt t= sinx+cosx S = sin x+ cos x= ; S = sin x+cos x= ; ; S = sin x+cos x= S t - S.( ) Bài tập áp dụng:

Bài 1: (Dạng phương trình đối xứng sinx cosx) 2(sinx +cosx) + sin2x + =

2 sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1) sin2x sin x

 

 

 



  

4 tanx 2sinx 1 

5 + tanx = 2sinx +

1

cosx sin x + cosx=

1 tanx -

1 cotx

7 sin3x + cos3x = 2sinxcosx + sin x + cosx

8 1- sin3x+ cos3x = sin2x

9 2sinx+cotx=2 sin2x+1 10 2sin2x(sin x + cosx) =

11 (1+sin x)(1+cosx)=2 12 + sin3 2x + cos32x =

3

2 sin 4x

13 2(sin x + cosx) = tanx + cotx

Bài 2: Phương trình đưa phương trình đối xứng- dạng:

2tan 2cot ( sin cos ) (1) 0

   

a x b x c a x b x ab

Cách giải: Phơng tr×nh (1) cã thĨ viÕt

2sin2 2cos2

( sin cos )

sin cos



 

a x b x

c a x b x

 ( sina x b cos )( sinx a x b cos )x c a( sinx b cos )x  ( sina x bcos ) ( sinx  a x bcos )x  csin cosx x 0

   

sin cos

sin cos sin cos

  

 

 

 

a x b x

a x b x c x x

*Quy íc: Khi cã nhiỊu dÊu   mét biĨu thøc hay mét hƯ hiểu lấy dòng lấy dòng dới

Bi ỏp dng: Giải phơng trình 2(sin x + cosx) = tanx - cotx

tanx 3cotx4(sinx cos ) (2)x

B i 3: à ( Phương trình đưa phương trình đối xứng dạng:

   

(tan sin ) (cot cos ) (  ) 0

a x x b x x a b

víi a b c d, , , ) (1)

Cách giải:

Ta cã:

   

   

 

(tan sin 1) (cot cos 1)

(sin sin cos cos ) (sin sin cos cos )

cos sin

( )(sin sin cos cos )

cos sin

     

      

    

a x x b x x

a b

x x x x x x x x

x x

a b

x x x x

x x

   

0 tan

cos sin

sin sin cos cos sin sin cos cos

 

  

 

 

 

     

 

 

a b b

x

x x a

x x x x x x x x

Đến biết cách giải

T¬ng tù cho ph¬ng tr×nh a(tanx sin )x b(cotx cos )x  a b

Bi ỏp dng: Giải phơng trình

tanx cotx sinx cosx 1 0 (3)

Bài 4: (Phương trình đưa phương trình tích ,trong có thừa số phương trìnhđối xứng sinx cosx)

1 Cotx-tanx=sinx+ cosx

2 Sinx+ sin x+sin x+sin x= cosx+ cos x+cos x+ cos x Sinx+sin x+cos x=0

4 2sin x-sinx= 2cos x-cosx+cos2x 2sinx+cotx= 2sin2x+1

Dạng 6: Phương trình đối xứng tanx cotx Phương pháp:

Nhận dạng:

1)Phương trình có dạng: a(tan x+cot x)+b(tanx+cotx)+c=0 (1) 2)Phương trình có dạng: a(tan x+cot x)+b(tanx-cotx)+c=0 (2) Điều kiện : cosx.sinx≠ 0 x≠

- Giải (1): Đặt t=tanx+cotx= + = (|t| 2) tan x+cot x=t -2

Khi đó,(1) có dạng:a(t -2)+bt+c=0  at +bt+c-2a=0.Giải phương trình theo t,chọn nghiệm t thoà mãn điêu kiện |t|

Với t=t  tanx+cotx=t  =t  sin2x= (Đây phương trình bản) -Giải(2): Đặt t=tanx-cotx  tan x+cot x=t +2

Khi đó,(2) có dạng:a(t +2)+bt+c=0  at +bt+c+2a=0.Giải phương trình theo t, Với t=t  tanx-cotx=t  tanx- =t  tan x-t tanx-1=0(Đây phương trình bậc hai theo tanx

Chú ý:

t=tanx+cotx tan x+cot x=t -3t ; tan x+ cot x= t -4t +2 t=tanx-cotx tan x+cot x=t +3t

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Giải phương trình sau:

1 2tanx+cotx= +

2 (tanx+7).tanx+ (cotx+7)cotx+14=0 3(tanx+cotx)- 2(tan x+cot x)-2=0

4 Tanx+ tan x+tan x+ cotx+cot x+cot x=6

5 tan x-cot x-3(tan x+cot x)-3(tanx-cotx)+10=0

3 2

tan xtan xcot xcot x 0

7

2

5(tanxcot ) 3(tanx  xcot ) 0x  

8

2

11

tan 2(tan cot )

3 sin

   

x x x

x

9

2

2

tan cot tan

sin x  x x x

10 sinxcosxtanxcotx 11

4

Dạng 7: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác Dạng 7.1.Sử dng cụng thc h bc

Phơng pháp: Ta thực hiƯn theo c¸c bíc sau:

Bớc 1:Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa

Bớc 2: Thực việc hạ bậc phơng trình cơng thức *Hạ bậc đơn:

   

   

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1 sin cos2 sin 3sin sin

2

1

2 cos cos cos 3cos cos3

2

sin cos2 3sin sin3

3 tan tan

cos cos2 3cos cos3

cos cos2 3sin sin

4 cot cot

sin cos2 3cos cos

x x x x x

x x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x x x

x x

x x x

   

   

 

  

 

 

  

  3x

* Hạ bậc toàn cục

4

4

6

6

3

sin cos cos4

4

sin cos cos2

5

sin cos cos

8

1

sin cos cos cos2

4

x x x

x x x

x x x

x x x x

  

 

  

  

Chú ý: (+) Tuỳ thuộc bậc toán ta lựa chọn việc hạ bậc cho phù hợp Chẳng hạn phơng trình bậc lẻ nhân tử bậc cao (giả sử 3) thông thờng ta không hạ bậc tất nhân tử mà chọn hai nhân tử để hạ bậc

(+) Với nhân tử bậc cao ta phải hạ bậc

Bi 1: Gii cỏc phương trình sau:

2 2

sin sin sin

2

x x x

2 cos2xcos 22 xcos 32 x 1

3 sin 32 x sin2xsin 22 x

4

2 23 2

sin sin cos cos

2

x x

x x

5

3

sin cos cos sin

8

x x x x

6 cos sin 33x xsin cos33x x sin 4x`

Bài 2: Giải phương trình sau: sinx- cos (x- )=

2 = cos 4x

3 Sin x+cos x= cot(x+ ).cot( -x) Sin x+sin (x+ )+ sin (x- )= Bài 3: (Hạ bậc-Đặt ẩn phụ)

1 Sin 2x+cos 2x = 2. Sin x+cos x =

3 Sin x+cos x= cos 2x Bài 4:

1

3 3

sin xcos xsin cotx x cos tanx x 2sin 2x

2

7 5

sin cos (sin cos )sin sin cos

2

x x x x x x x

3

4

2

sin cos 1 sin

2 tan sin tan

1 sin

x x

x

x x x

x

 

  



4

3

3

6

tan cot

sin sin

x x

x x

  

Dạng 7.2.Sử dụng công thức nhân đôi, nhân ba cos2a = cos2a  sin2a = 2cos2a  =  2sin2a

tg2a = tg a tga

2

 ( a  /2 + k  , a  /4 + k /2 ) ; cot2x= sin3a = 3sina  4sin3a ; cos3a = 4cos3a  3cosa ; tg3a = 3tg a

a tg tga

2 

 Bài 1: (Sử dụng công thức nhân đôi)

1 2cos x+cos2x+sinx=0 Cos2x+5sinx+2=0 Cos x+sin x= cos2x 4cosx-2cos2x-cos4x=1

5 Cos2x+5=2(2-cosx)(sinx-cosx) Bài 2: (Sử dụng công thức nhân ba)

1 Sin xcos3x+cos sin3x=sin 4x Cos x.cos3x+ sin x.sin3x= Cos x.cos3x+sin x.sin3x=cos 4x 8cos3(x +

π

3) = cos3x (Đặt t=x+ )

5 Sin( - )= sin( + ) (Đặt t= - )

Phng phỏp:

Ta đa phơng trình cần giải dạng

1

1

( ) ( ) ( )

( ) n

n

f x f x f x

f x

 



  

 



trong phơng trình: f x( ), , ( )1 f xn phơng trình có dạng chuẩn

Bài tập áp dụng: Bài 1:

1/cos2x - cos8x + cos4x = 2/ sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 3/ sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 4/ sin3 x + 2cosx – + sin2 x = 0

5/ 3sinx + 2cosx = + 3tanx 6/

3

2 sin2x + 2cos2x + 6cosx =

7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 8/

sin sin

3

x x



9/ 2cos2x - 8cosx + =

1 cosx 10/ cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) +

5

4cos2x 11/ + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 12/ + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 13/ sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3

14/ 2sin3x -

1

sinx = 2cos3x + cosx1

15/ tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx -

cosx ) =

16/ cos3x + cos2x + 2sinx – = 17/ cos2x - 2cos3x + sinx =

18/ sin2x = 1+ 2cosx + cos2x 19/ + cot2x = 1-cos2x

sin 2x 20/ 2tanx + cot2x = 2sin2x +

1

sin2x 21/ cosx(cos4x + 2) + cos2x -

cos3x =

22/ + tanx = sinx + cosx 23/ (1 - tanx)(1 + sin2x) = + tanx

24/ 2

π sin(x + )

4 =

1 +

sinx cosx 25/ 2tanx + cotx =

2

sin 2x



26/ cotx – tanx = cosx + sinx 27/ 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x =

B i 2: (à lựa chọn phép biến đổi cho cos2x) 1. 2cos3xcos 2xsinx0

Dạng 7.4.Sử dụng cơng thức biến đổi tổng,hiệu thành tích Bài tập áp dụng:

1 cos xcos 2xcos3x0

2 sin xcos3xcosxsin 2xcos2x

3 sinxsin2xsin3xsin4xcosxcos2xcos3xcos4x

4 Sinx+sin2x+sin3x=1+cosx+cos2x

5 Sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0 Sin3x-sinx+sin2x=0

7 Cosx+cos3x+2cos5x=0 Cos10x-cos8x-cos6x+1=0

Dạng 7.5 Phơng pháp biến đổi tích thành tổng Bài tập ỏp dụng:

1 sin sin 7x xsin sin 5x x

2 cos3 sin 5x xcos7 sin 9x x

3 cos cos3x x sin sin 6x xsin sin 4x x

4 cos cos6x xcos4x

5 sin3xcos2x  1 2sin cos2x x

6 cos tan 3x xsin 5x

7 sin sin 3x xsin sin8x x0

8. cos2xcos4xcos6xcos cos cos3x x x2 Dạng 7.6 Phương pháp tách hệ số

Bài tập áp dụng:

1 cosxcos3x2cos5x0

2

sin sin

3

x x



Dạng 7.8 Phơng pháp số biến thiên

1  

4

sin sin sin sin

2

x x

x  x  

(Đặt t=sin )

2 Sin2x+cos2x=1+sinx-3cosx (t=cosx) 2sinx+cotx=2sin2x+1 (t=sinx)

4 32sinx33sinx 10 3 sinx2 3 sinx0(t3sinx2 ,t 0)

2.  

1

2cos 8cos

cos

x x

x

  

(nhân hai vế của(1) với cosx≠ 0)

3.  

3

5

sin 5cos sin

2

x x

x

(Nhân hai vế phơng trình (2) với

cos

2

x



Dạng 7.10 Biến đổi tổng đại lượng không âm Phương pháp:

Các đại lượng không âm lượng giác bao gồm: A ,/A/, 1+cosx, 1-cosx,1+sinx, 1-sinx

Bước1: Biến đổi phương trình cho dạng: A +A + +A =0 (1) Bước 2: Dùng lập luận khẳng định: A  với i=1,2, n

Bước 3: Khi phương trình (1)  Bài 1: Giải phương trình sau:

1  

2 2

cos 4xcos 8xsin 12xsin 16x2

2  

3

cos 2x cos6x4(3sinx 4sin x 1)

3  

2

4cos x3tan x cosx2 tanx 4

4  

1

tan cot

sin

x x

x

   

5  

2 2

tan xtan ycot (x y ) 1

6 tan x-2tanx+2sin x+ sinx+2=0 cos2x- sin2x- sinx-cosx+4=0 cos x-2cosx+1+sin x=0

9 cos2x+ cos -2=0 10 sinx+cosx= (2-sin3x)

Dạng 7.11 Phương pháp đánh giá Bài 1: (Phương pháp đối lập) Nếu A=B=M

Lưu ý: Phương pháp sử dụng tính chất phương trình lượng giác ,các biểu thức lượng giác,sử dụng bất đẳng thức côsi bunnhiaxcopki

1 1+ (1+cosx)=cos2(x+2tanx) =2sinx-1

3 sinx cos sin 3x x2(Sử dụng tính chất hàm lượng giác biểu

thức lượng giác)

4

2007 2008

sin x  cos x1( Dạng pitago)

5

6

10 10

2

sin cos

sin cos (1)

sin 4cos

x x

x x

x x



 

 (Phương trình lượng giác dạng

pitago)

6

8

sin cos (1)

8

x  x 

( sử dụng bất đẳng thức cosi) Cos3x+ =2(1+sin 2x)

8

2

sinx  sin x sinx sin x 3

B i 2: ( à Phương pháp đối lập) Nếu

Đặc biệt:

sinu+ sinv=2 ; sinu-sinv=2 ; sinu+sinv=-2  Tương tự: sinu+cosv=2,sinu-cosv=-2, cosu-cosv=-2, Còn nhiều nội dung hay nữa!!!