Đáp án đề HK2 toán 8 trường Amsterdam các năm

Gọi X là một người bất kỳ có thể nói được tối đa ba người kia (một thứ tiếng). Trong 5 người còn lại X không thể nói chuyện. Gọi Y là một người trong năm người đó và Y có thể n[r]



Sưu tầm

TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC KÌ MƠN TỐN LỚP AMSTERDAM

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2002-2003 MƠN: TỐN (Thời gian làm 90 phút, không kể thời gian giao đề)

ĐỀ

Câu Cho biểu thức

2

2

8 24 15

2 :

6 3

x x x x

A

x x x x x x

 

  

     

     

a) Rút gọn A

b) Tìm x thỏa mãn A0 c) Tìm x cho A  3 3x

Câu Một xưởng đóng giày theo kế hoạch phải hoàn thành số giày quy định 26 ngày, làm việc có hiệu vượt mức ngày nên sau 24 ngày hồn thành kế hoạch mà cịn vượt mức 60 giày Tính số giày mà xưởng phải đóng theo quy định Câu Cho xAy 90 Một điểm O cố định tia Ay, điểm Cdi động tia Ax, vẽ COB vuông

ở O cho OC2OB Gọi E D hình chiếu vng góc O B tia BC Ay

a) Chứng minh CA DB AO DO b) Chứng minh ACE∽DOE

c) Tính 2 OB

BC Nếu

2

9 cm

AED

S  , tính EA, ED

d) Chứng minh C di động tia Ax B di động tia cố định Câu a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P25x2 y2123x4y2

b) Cho ABC, đường cao cắt H Gọi S diện tích ABC Chứng minh rằng:

2 2 2

AB HC BC  AH  AC HB AB HC BC HA AC HB 4S

c) Cho a, b, c0 a2b2c2 1 Chứng minh 2 2 2 2 2 2 3

2

a b c

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ II TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM MƠN TỐN (2002 – 2003)

Câu Cho biểu thức

2

2

8 24 15

2 :

6 3

x x x x

A

x x x x x x

 

  

     

     

a) Rút gọn A

b) Tìm x thỏa mãn A0

c) Tìm x cho A  3 3x

Lời giải a) Điều kiện: x0, x3 Khi đó, ta có:

 

2

2

8 24 15

2 :

6 3

x x x x A

x x x x x x

                          2

8 3 15

2 :

3

x x x x x x

A x x x                  2

8 15

2 :

3

x x x x x

A x x x                  

8 3

2 :

3

x x x

A x x x               

8 3

2

2

3

x x x x A x x        2

4

2

3

x x x A x x         Vậy

4

3 x x A x    

b) Ta có:

4

0 x x A x      

 

    3 3 x x x x x x                                       3

2 , do 1

3 2 3 x x x x x x x x x x                                             3 x x         Vậy 3 x A x         

c) Ta có:

  

 

2

3 3

3

x x

A x x

x

 

    



Điều kiện: x1, x0

Trường hợp 1:

  

 

2

3 x x x x           

2 x 2x 3 x x

       x x       

So với điều kiện ta nhận x1,

7

x

Trường hợp 2:

  

 

2

3 x x x x            

2 x 2x 3 x x

      15 x x       

Vậy A  3 3x x1

7

x , x 15

Câu Một xưởng đóng giày theo kế hoạch phải hoàn thành số giày quy định 26 ngày, làm việc có hiệu vượt mức ngày nên sau 24 ngày hồn thành kế hoạch mà cịn vượt mức 60 giày Tính số giày mà xưởng phải đóng theo quy định

Lời giải

Gọi số giày mà xưởng phải đóng theo quy định x (chiếc), điều kiện * x Năng suất theo kế hoạch xưởng

26

x

(chiếc/ngày)

Năng suất thực tế xưởng

26

x

 (chiếc/ngày)

Số giày xưởng sản suất 24 ngày 24 26

x

    

  (chiếc)

Do xưởng hoàn thành xong kế hoạch 24 ngày vượt mức 60 giày nên ta có phương trình:

24 60

26

x

x

        

12

1 60

13

x 

     

1

60 780

13x x

    (nhận)

Vậy số giày mà xưởng phải đóng theo kế hoạch là: 780 (chiếc)

Câu Cho xAy 90 Một điểm O cố định tia Ay, điểm Cdi động tia Ax, vẽ COB vuông O cho OC2OB Gọi E D hình chiếu vng góc O B tia

BC Ay

a) Chứng minh CA DB AO DO b) Chứng minh ACE∽DOE c) Tính

2 OB

BC Nếu

2

9 cm

AED

S  , tính EA, ED

d) Chứng minh C di động tia Ax B di động tia cố định Lời giải

   180 AOCBOCBOD 

 90  180

AOC BOD

     

  90 AOC BOD

   

Mà AOCACO90 (vì COA vng A) Do ACOBOD

Xét ACO DOB:

 

ACOBOD (chứng minh trên)   90

CAOODB 

ACO DOB

  ∽ (g - g)

AC AO

CA DB AO DO DO DB

    b) Chứng minh ACE∽DOE

  90

ECOEBO  (vì COB vng O)   90

EOBEBO  (vì EOB vng E)  

EOB ECO

 

Xét ECO EOB:  

EOBECO (chứng minh trên)   90

CEOOEB 

ECO EOB

  ∽ (g – g)

2

EC CO EO OB

    1 Ta có: ACO DOB AC AO CO

DO DB OB

 ∽      2

Từ  1  2 , ta có: EC AC

EO  DO  Ta có:

 

 

EOB ECO BOD ACO

 

 

  

   

EOB BOD ECO ACO

    ACEDOE

Xét ACE DOE:

2

EC AC EO  DO 

 

ACEDOE ACE DOE

  ∽ (c – g – c)

c) Tính 2 OB

BC Nếu

2

9 cm

AED

Ta có: 2

BC OB OC 2

4

BC OB OC

  

2

2

2

1

5

OB BC OB

BC

    Ta có: ACE∽DOE , nên CEAOED

Mà CEA OEA90 nên OEDOEA 90 CEO 90 Xét EAD vuông E:

2

1

cm 18

2

AED

S  AE ED AE ED Mà AE AC

ED DO (vì ACE∽DOE )

AE ED

 

Do đó,

2ED 18ED 3 AE6 Vậy ED3 cm , AE6 cm 

d) Chứng minh Cdi động tia Ax B di động tia cố định

Có BDO∽OAC

2

BD OB OA CO

  

2

BD OA

  B

 cách Ay khoảng

2OA (khơng đổi)

Khi C A BI với IO Ay O

2

IO OA, I thuộc nửa mặt phẳng có bờ tia Ay có chứa C, B nên I cố định

Vậy B thuộc tia cố định It, với It//Ay, It cách Ay khoảng không đổi

2OA, It thuộc

nửa mặt phẳng có bờ có bờ OI không chứa tia Ax

Bài 4. a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P25x2 y2123x4y2

b) Cho ABC, đường cao cắt H Gọi S diện tích ABC Chứng minh rằng:

2 2 2

c) Cho a, b, c0 2

1

a b c  Chứng minh 2 2 2 2 2 2 3

2

a b c

b c c a a b  Lời giải

a) Ta có:

 2  2  2    2

25 12 25 144 24 4

P x  y   x y  x y   x y  x y

   2

2 324 576

25 36 25 48 36 12 4 72

25 25

x x y y x y x y

     

           

 

   

 

2

2

18 24

5 72 72

5

x y x y

   

          

   

Dấu xảy

18

5

5 24

5

5

6

x y

x y



 

  

 

 

  

  

18 25 24 25 x y

     

   

Vậy

18 25

min 72

24 25 x P

y

   

  

   

b) Hình vẽ:

Chứng minh 2 2 2

AB HC BC AH  AC HB Cách

Gọi P, N, M chân đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C ABC

Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vng ABP HPC ta có:

2 2

2 2

AB BP AP CH PC PH

   



  



   

2 2 2

Tương tự:

   

2 2 2

AB HC  BN AN  HN NC  2  2 2 BN NC AN HN BC AH

      Vậy AB2HC2BC2AH2  AC2HB2

Cách

Gọi P, N, M chân đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C ABC

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vng ABP HPC ta có:

2 2

2 2

AB BP AP CH PC PH

   



  



   

2 2 2

AB AH BP PC AP PH

     

BP PC2 2PB PC AP PH2 2AP PH

     

   

2

2

BC AH AP PH PB PC

   

Xét APB CPH có APBCPH 90 BAPHCP ( phụ góc B) APB CPH

  ∽ (g – g)

AP PB

AP PH PB PC CP PH

     2

Từ  1  2 AB2HC2 BC2AH2 Chứng minh tương tự ta có:

       

2 2 2 2 2

BC AH  BN NC  AN NH  BN NH  NC AN

 2  2  

2

BN NH NC AN NC AN BN NH

     

 

2 2 . .

HB AC NC AN BN NH

   

Mà NC AN BN NH (học sinh tự chứng minh) nên BC2AH2 AC2HB2 Vậy AB2HC2BC2AH2  AC2HB2

Chứng minh AB HC BC HA  AC HB 4S

Ta có: 2

S AP BCAP BC S

Tương tự: HP BC 2SHBC Suy :

2 HBC

AP HP BC 2S 2SHBC

   

2 HBC

AH BC S S

  

Tương tự: 2

2

HAB HAC AB HC S S AC HB S S

 

 

 

 



Suy AB HC BC HA AC HB 6S2SHBCSHABSHAC6S2S4S (đpcm) c) Ta có:

2 2 2 2 2

1 1

a b c a b c b c c a a b  a  b  c

Ta chứng minh 2

3

1

x

x x 

 với x0;1  *

Ta có:

2

3

1

x

x x 

  

2

2x 3x x

   3 3x43 3x22x0

4

9x 9x 3x

    3 32

3

x x

 

    

 

(luôn đúng)

Áp dụng  * ta có 2

2

2

3

1

3

1

3

1

a

a a

b

b b

c

c c



 

  

 

  

 

 

 2 2

2 2

3 3

1 1 2

a b c

a b c a b c

      

  

Dấu xảy

3

abc

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2003 – 2004 MƠN: TỐN (Thời gian làm 90 phút, không kể thời gian giao đề) Bài Cho

2 2

3

:

2 2

y A

x y x y x y x y

 

   

   

 

a) Rút gọn A

b) Với giá trị x, y nguyên dương thỏa mãn x2y14 A nhận giá trị nguyên dương Bài Giải phương trình bất phương trình:

a) 2 1

4 3 2

x

x x x x

            

b) x24x52x1x34 c) x 1 2x  3 x

Bài Giải tốn cách lập phương trình:

Lúc 15 phút, hai ô tô khởi hành từ A đến B Vận tốc xe thứ 40 km/h, vận tốc xe thứ hai 60 km/h Xe thứ nửa quãng đường nghỉ lại 15 phút Xe thứ hai đến B nghỉ 45 phút quay lại gặp xe thứ C cách B 10 km Tính quãng đường AB cho biết họ gặp lúc giờ?

Bài Cho đoạn thẳng AB2a , trung điểm I Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia Ax, By

cùng vng góc với AB Lấy CAx , DBy cho

AC BDa

a) Chứng minh ICD vuông ICD∽AIC

b) Hạ IH CD HCD Chứng minh HAB vuông

c) Hạ HK ABK AB Chứng minh AD, BC, HK đồng quy d) Tìm vị trí C để diện tích tứ giác ACDB có giá trị nhỏ Bài (Dành cho học sinh lớp 8D, 8E)

Cho tam giác ABC có B C nhọn, đường cao AF, trung tuyến AD, phân giác AE Biết

14 AED ABC

S  S 50 AFD ABC

S  S Tính BAC

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ II TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM Năm học: 2003 – 2004

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Bài Cho

2 2

3

:

2 2

y A

x y x y x y x y

 

   

   

 

a) Rút gọn A

b) Với giá trị x, y nguyên dương thỏa mãn x2y14 A nhận giá trị nguyên dương Lời giải

a) Điều kiện xác định: y2x, y 2x,

5

x y Ta có :

2 2

3

:

2 2

y A

x y x y x y x y

                           

2 2 2

2

3 2 2 4

2 2

x y x y x y x y x y x y

A

x y x y x y y

       



  

  

2 2 2 2

2 2

12 24 15 24 10 4

4

x xy y x xy y x y x y

A

y x y x y

       



 

  

2 2

2 2

24

4

y x y

A

y x y x y

     24 A x y   

Vậy 24

2 A x y   

b) Ta có: 24

2 A x y   

Với x2y14 x142y

Khi

 

24 24

2 14 28

A

y y y

       24 0 28 A y      28

28

9

y y

    

Mà y nguyên dương nên y1;2;3 Với y  1 x 12 (thỏa mãn điều kiện)

Với y  2 x 10 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x y; 12;1 ; 10;2 ; 8;3     Bài Giải phương trình bất phương trình

a) 2 1

4 3 2

x

x x x x

            

b) x24x52x1x34 c) x 1 2x  3 x

Lời giải

a) 2 1

4 3 2

x

x x x x

            

Điều kiện xác định: x 1, x 3 Ta có

2

4 1

1

4 3 2

x

x x x x

            

       

2

8 2

6

2 3

x x x x x

x x x x

     

 

   

2

2x 6x

     2x26x02x x 30

 

 

0

x x

   

  

thoûa mãn điều kiện

không thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình có tập nghiệm S 0 b) x24x52x1x34

  2 

4 4

x x x x

        1

Đặt x24x 5 a a0, phương trình  1 trở thành:

2

a   a a1a20

 

 

2

a a

   

  

thỏa mãn điều kiện

không thỏa mãn điều kiện Khi

4

x  x 

4

x x

    x1x30

3 x x

 

  



Vậy phương trình có tập nghiệm S 1;3 c) x 1 2x  3 x  2

* Nếu 1 1

2 2

x x

x x

x x x

   

 

 

  

    

 

* Nếu 1

2 2

x x

x x

x x x

  

  

 

  

    

 

Bất phương trình trở thành:

1

x x  x  x6 (thỏa mãn điều kiện)

* Nếu 1

2 2

x x

x x

x x x

  

  

 

   

    

 

Bất phương trình trở thành:

1

x  x x  x 2 (khơng thỏa mãn điều kiện)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm Sx x0;x6 Bài Giải tốn cách lập phương trình:

Lúc 15 phút, hai ô tô khởi hành từ A đến B Vận tốc xe thứ 40 km/h, vận tốc xe thứ hai 60 km/h Xe thứ nửa quãng đường nghỉ lại 15 phút Xe thứ hai đến B nghỉ 45 phút quay lại gặp xe thứ C cách B 10 km Tính quãng đường AB cho biết họ gặp lúc giờ?

Lời giải

Đổi: 15 phút

 giờ, 45 phút



Gọi quãng đường AB xkm x10 Thời gian xe thứ nửa quãng đường AB

80 x

(giờ)

Thời gian xe thứ tiếp đến C 20 80 x

(giờ)

Thời gian xe thứ hai từ A đến B 60

x

(giờ)

Thời gian xe thứ hai từ B đến C (giờ)

Vì hai xe xuất phát lúc gặp C nên ta có phương trình:

1 20

80 80 60

x x x

     10

40 60

x x

   30

120

x

 

30 80

x

    x110 (thỏa mãn)

Thời gian xe thứ hai từ A đến chỗ gặp C là: 110 10 : 60  2 (giờ) Hai xe gặp lúc: 30 phút + = 30 phút

Vậy quãng đường AB dài 110 km họ gặp lúc 30 phút

Bài Cho đoạn thẳng AB2a, trung điểm I Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Lấy CAx , DBy cho AC BD. a2

a) Chứng minh ICD vuông ICD∽AIC

b) Hạ IH CD HCD Chứng minh HAB vng

d) Tìm vị trí C để diện tích tứ giác ACDB có giá trị nhỏ Lời giải

a) Chứng minh ICD vuông ICD∽AIC

Do I trung điểm AB AB2a nên IAIBa Ta có: AC BD a2 AC BD IA IB AC IA

IB BD

 

Xét hai tam giác vuông AIC BDI có: CAIIBD90 AC IA IB  BD

 AIC∽BDI CIABDI Mà  BDIBID90

Từ đó: CIA BID  90  CID180 CIA BID  90 ICD vuông I b) Hạ IH CD HCD Chứng minh HAB vuông

Theo chứng minh câu a), AIC∽BDI  AC IC

BI  ID  1 Do ICD vng I có IH đường cao nên CIHHDI (cùng phụ với HID) Xét hai tam giác vng HIC HDI có: CHIIHD90 CIHHDI

 HIC∽HDI (g – g)  HC IC

HI  ID  2

Từ  1  2  AC HC IC

BI  HI  ID 

AC HC AI  HI 

Xét hai tam giác vuông AIC HIC có: CHICAI90 AC AI HC  HI

 AIC∽HIC  AICCIH

Mặt khác, hai tam giác vng AIC HIC có chung cạnh CI

 AIC HIC  IHIAa

Tam giác HAB có trung tuyến kẻ từ H có độ dài nửa cạnh đáy tương ứng BC nên HAB vuông H

c) Hạ HK  AB KAB Chứng minh AD, BC, HK đồng quy

Gọi O giao điểm AD BC Ta chứng minh H , K, O thẳng hàng Theo chứng minh câu b), ta có AIC HIC ACCH

Cũng theo chứng minh câu b), HIC∽HDI  HI HC

HD  HI 

2

HD HCHI a



HD ACa Lại có: AC BD. a2

 AC BD HD AC  HDBD

Hai Ax, By vng góc với AB Ax//By hay AC//BD

Ta có: AO AC

OD  BD (Hệ định lý Talet)

 AO CH

OD  HD

 HO//AC (Định lý Talet đảo tam giác ACD)

 HOAB Mà HK AB

 H, K, O thẳng hàng  AD, BC, HK đồng quy O d) Tìm vị trí C để diện tích tứ giác ACDB có giá trị nhỏ Trước hết ta rằng, với hai số dương x y ta có:

2

2 x y

xy



 



 

 

2

2 x y

xy



 



 

  

 2

4 x y

xy



  x22xyy24xy x22xyy2  0 xy2 0 (Hiển nhiên đúng) Dấu “=” xảy x y

Hơn nữa, với hai số dương m n thỏa mãn m2 n2 mn

Rõ ràng 2

m n  2

m n  m n m n   0 mn (Do m n hai số dương) Tứ giác ACDB hình thang vng có chiều cao AB2a hai đáy AC, DB nên diện tích tứ giác ACDB có giá trị nhỏ ACDB nhỏ

Ta có:

2

AC DB

AC DB



 



 

  

2 2

AC DB a



 



 

  

AC DB a



 ACDB2a ACDB nhỏ 2a ACDB Khi ACDBa

Bài (Dành cho học sinh lớp 8D, 8E)

Cho tam giác ABC có B C nhọn, đường cao AF, trung tuyến AD, phân giác AE Biết

14 AED ABC

S  S 50 AFD ABC

S  S Tính BAC Lời giải

Ta có: 1

14 14

AED ABC

S  S ED BC

7

50 50

AFD ABC

S  S FD BC

 1

14

EC EDDC BC BC BC EBBCEC BC



4 EB EC 



4

AB EB

AC EC

 

  

 

(theo tính chất đường phân giác)

Hơn nữa, SABF SABDSAFD

2 50

ABF ABC ABC S  S  S

25SABC



ABF ACD AFD

S S S 

2 50

ABF ABC ABC S  S  S 16

25SABC





16 ABF ACF S S

 

 

4 FM

Gọi I , J trung điểm cạnh AB, AC

Các tam giác ABF, AFC vuông F 

2

FI AB,

FJ  AC

4 FI AB FJ  AC 

Từ đó: FM FI

FN  FJ  MIF∽NJF (cạnh huyền – cạnh góc vng) 

  MIF NJF

Mà tam giác IBF cân I, AJF cân J

 IFBFAJ  1

Tam giác IAF cân I  IFAIAF  2

Từ  1  2   IAFFAJ IFA IFB  90 BAC90

v

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2007-2008 MƠN: TỐN (Thời gian làm 90 phút, không kể thời gian giao đề)

Bài (2 điểm) Cho hai biểu thức

2

2

1

2 :

1

x x

A

x x

 



 

     

 

   

;

2

1

2

x B

x x

 

 

a) Tìm điều kiện x để A B có nghĩa, sau chứng minh AB b) Tìm giá trị x cho A 2

Bài (2 điểm) Giải phương trình sau:

a) 3 2

2 1

x

x x x



 

  

b) 24

1 1

a x a x a

a a a

 

 

   (điều kiện a 1 a tham số)

Bài (2 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình

Lan từ nhà đến trường Trong 12 phút đầu Lan 700 m nhận thấy đến trường muộn 13 phút Vì quãng đường lại Lan với vận tốc km/h Do Lan đến sớm 5phút Hỏi nhà Lan cách trường ki-lô-mét?

Bài (4 điểm) Cho ABC biết B có số đo lần C

a) Chứng minh C60 Tìm điều kiện C để ABC khơng có góc tù

b) Trên tia đối tia BA lấy điểm K cho BKBC Chứng minh ABCACK ta có

hệ thức 2

AC AB  AB BC

c) Chứng minh điều kiện cần đủ để AC2AB2  AB BC. B2C.

d) Kẻ AP, AH vng góc với CK BC (tại P H) AP cắt BC I Chứng minh HA2HI HC.

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM Năm học: 2007 – 2008

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Bài (2 điểm) Cho hai biểu thức

2

2

1

2 :

1 x x A x x                  ; 2 x B x x    

a) Tìm điều kiện x để A B có nghĩa, sau chứng minh AB b) Tìm giá trị x cho A 2

Lời giải

a) Điều kiện:

2

1

2

x x x           1 x x          2

2 :

1 x x A x x                  2 2

2 1

:

1

x x x

x x             2

1 1

1 2

x x x x x x

        1 x x    x x    2 x B x x           1

1

x x x x      x x   

Vậy AB

b) Ta có: A 2

2 x x      2 x x      x x    

Trường hợp 1:

3

5

2 1

2 x x x x x                   

Trường hợp 2:

3

5

2 1

2 x x x x x                   

Kết hợp điều kiện

Vậy để A 2

3

x x

      

x 1

Bài (2 điểm) Giải phương trình sau:

a) 3 2

2 1

x

x x x



 

  

b) 24

1 1

a x a x a

a a a

 

 

   (điều kiện a 1 a tham số)

Lời giải

a) Điều kiện:

2 x 

2

2 3

2 1

x

x x x



 

  

  

2 3

0

2 2

x

x x x x



   

   

     

  

2 3

0

2

x x x x x

    

 

 

  

7

0

2

x

x x



 

 

7x

  

3 x

  (không thỏa mãn)

Vậy

7

S   

 

b) Điều kiện a 1 a tham số

4

1 1

a x a x a

a a a

 

 

  

a xa 1 a xa 1 4a

      

 

2

4

a a ax x a a ax x a

        

ax a

 

Nếu a0 phương trình có dạng 0.x0 (ln với  x )

Nếu a0 phương trình có nghiệm x1

Vậy a0 phương trình có vơ số nghiệm

a  ; a0 phương trình có nghiệm x1

1

a ; a 1 phương trình vơ nghiệm

Lan từ nhà đến trường Trong 12 phút đầu Lan 700 m nhận thấy đến trường muộn 13 phút Vì quãng đường lại Lan với vận tốc km/h Do Lan đến sớm 5phút Hỏi nhà Lan cách trường ki-lô-mét?

Lời giải

Đổi: 12 phút

5

 giờ; phút

12

 giờ; 13 phút 13

60

 giờ; 700 m

10

 km Vận tốc ban đầu Lan hay vận tốc dự định là: :1

10 52 km/h Gọi quãng đường từ nhà Lan đến trường x (km,

10 x )

Thời gian dự định là: :7

2

x x   h

Quãng đường lúc sau là:

10

x km

Thời gian lúc sau là:

10

10

6 60

x

x





  h

Thời gian thực tế thời gian dự định là: 13 126010 h Nên ta có phương trình

2 10

7 60 10

x  x    

 

2

7 60 10

x x

    

3, 22 x

  (thỏa mãn)

Vậy nhà Lan cách trường 3,22 km

Bài (4 điểm) Cho ABC biết B có số đo lần C

a) Chứng minh C60 Tìm điều kiện C để ABC khơng có góc tù

b) Trên tia đối tia BA lấy điểm K cho BKBC Chứng minh ABCACK ta có hệ thức AC2AB2 AB BC.

c) Chứng minh điều kiện cần đủ để AC2AB2  AB BC B2C

d) Kẻ AP, AH vuông góc với CK BC (tại P H) AP cắt BC I Chứng

minh

HA HI HC

Lời giải

a) Xét ABC ta có:   A B C  180 (áp dung định lý tổng ba góc tam giác) Do B2C nên A3C 180 

 

180

60 60

3

A A C  

      

 

90 90

B A

   



  



 

2 90

180 90

C C

  

  

   

 



30 C 45

Vậy với 30 C45 ABC khơng có góc tù

b)

Ta có:   ABCBCKK (tính chất góc ngồi tam giác)

Mặt khác BCBK (giả thiết) nên BCK cân B  BCKK (tính chất tam giác cân) Nên ABC2K, mà ABC2ACB (giả thiết)  KACB

Xét ABC ACK ta có:

A góc chung

 ACBK

ABC ∽ACK (g – g)

AB AC AC AK

  (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

2 AC AB AK

  (tính chất tỉ lệ thức)

 

2 .

AC AB AB BK

   BAK

2 .

AC AB AB BK

  

2 AC AB AB BK

   (đpcm)

c)

*   Đã chứng minh câu b)

*   Giả sử ta có: 2

AC AB AB BK Ta chứng minh B2C I

H

P

K

A

B

Từ 2

AB AC

AC AB AB BK

AC AK

   

Xét ABC ACK ta có:

A góc chung

AB AC

AC  AK (từ điều giả sử) ABC

  ∽ACK (c – g – c)

 AKC ACB

  (2 góc tương ứng)

Mà  BCKK (chứng minh trên)

Nên   ABCBCKK 2ACB (tính chất góc ngồi tam giác) Vậy chứng minh ABC2ACB

d)

Gọi I giao điểm AP BC

Ta có: AHI vuông H nên HAI AIH90 PIC

 vuông P nên  PCIPIC90 Mà  AIH PIC (hai góc đối đỉnh)

 

HAI PCI

 

Mặt khác: PCI ACB (chứng minh trên)

 

HAI ACB

 

Xét HAC HIA ta có:



H góc chung

 

HCA HAI

HAC HIA

  ∽ (g – g)

HA HC HI HA

  (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

2 .

HA HC HI

  (đpcm)

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2008-2009 MƠN: TỐN (Thời gian làm 90 phút, không kể thời gian giao đề)

ĐỀ 13 Bài Xét biểu thức:  

3

3

2

1

1

1 :

1

a

a a

A a

a a a a



     

     

  

   

a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị a để A A2

Bài Một người xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30 km/h Khi đến B người nghỉ 20 phút quay A với vận tốc trung bình 25 km/h Tính quãng đường AB biết thời gian lẫn nghỉ 50 phút

Bài Giải phương trình bất phương trình sau:

a) x35x28x 4 b) 5

4

x x x x

      

Bài Cho ABC vng A có CB2AC Lấy điểm M cạnh AB, hạ BH vng góc xuống tia CM (tại H), gọi K giao điểm BH tia CA

a) Chứng minh MA MB MH MC b) Tính độ lớn AHC

c) Tia KM cắt BC P, chứng minh BH BK CA CK không đổi

d) (Dành cho lớp 8C) Lấy điểm E cạnh AB cho KEC90 điểm F cạnh CH cho KFB90 Chứng minh KFE cân

Bài Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức

2

1 x P

x x

 

 

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ II TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM Năm học: 2008 – 2009

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Bài Xét biểu thức:   3 1

1 :

1

a

a a

A a

a a a a

                    a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị a để A A2

Lời giải a) Điều kiện xác định: a0; a 1

  

 

     

2

1 1 1

1 :

1 1

a a a a a a a a

A a

a a a a

                                     2 1

1

1

a a a

A a a a

a a a

                                  2 3 1

1

a a a a

A a

a a a

                        2 1

1

a

A a

a a a

       1 A a a   Vậy   1 A a a 

 với a0; a 1

b) Tìm giá trị a để AA2 Với a0; a 1 ta có:

2 A A

  2 2

1

0

1 1

a a a a

    

 

 2

2 1 a a a a     

1 

a a

    (Vì  a điều kiện xác định)

2

1

a a

   

 

1

a a

    

Vì  

2

2 1

1

2

a  a a  a       a       

Nên không tìm giá trị a để a2 a 10 Vậy khơng tìm giá trị a để A A2

Bài Một người xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30 km/h Khi đến B người nghỉ 20 phút quay A với vận tốc trung bình 25 km/h Tính quãng đường AB biết thời gian lẫn nghỉ 50 phút

Lời giải

Đổi 50 phút 35 

6

 h ; 20 phút 1 

3

 h Gọi độ dài quãng đường AB là: xkm, x0 Thời gian xe máy từ A đến B là:  

30

x h

Thời gian xe máy từ B A là:  

25

x h

Vì thời gian lẫn nghỉ 50 phút nên ta có phương trình:

1 35

30 25

x x

  

33

30 25

x x

  

1 33

30 25

x 

     

11 33

150

x

 

33 11 : 150

x

 

75 x

  (thỏa mãn)

Vậy độ dài quãng đường AB 75km Bài Giải phương trình bất phương trình sau:

a)

5

x  x  x  b) 5

4

x x x x

       Lời giải

a) x35x28x 4

   

4 4

x x x x x

      

   

4 4

x x x x x

      

  

1 4

x x x

    

x 1x 22

1

2

x x

  

   



1 x x

 

  



Vậy tập nghiệm phương trình là: S 1; 2

b) 5

4

x x x x

      

       

15 12 60 20

60 60 60 60

x x x  x

   

       

15 2x 12 x 60 x 20 3x

       

30x 75 36 12x 60x 60 100 60x

       

30x 12x 60x 60x 75 36 60 100

        

78x 199

   

199 78

x

 

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: 199

78

Sx x   

Bài Cho ABC vng A có CB2AC Lấy điểm M cạnh AB, hạ BH vng góc xuống tia CM (tại H), gọi K giao điểm BH tia CA

e) Chứng minh MA MB MH MC f) Tính độ lớn AHC

g) Tia KM cắt BC P, chứng minh BH BK CA CK không đổi

h) (Dành cho lớp 8C) Lấy điểm E cạnh AB cho KEC90 điểm F cạnh CH cho KFB90 Chứng minh KFE cân

Lời giải

a) Xét AMC HMB có:

  90 

MACMHB  

P M

F E

K

H

C B

AMCHMB (đối đỉnh)

Do AMC∽HMB gg MA MC

MH MB

  (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

MA MB MH MC

 

b) Xét ABC vng A có

2

AC BC ABC30

Vì MA MC

MH  MB (chứng minh trên)

MA MH MC MB

 

Xét AMH CMB có MA MH

MC  MB (chứng minh trên)

AMHCMB (đối đỉnh)

Do AMH∽CMB c-g-cAHM CBM (hai góc tương ứng) Hay AHCCBA

Mà CBA30 AHC30

c) Xét BCK có M giao điểm đường cao BA CH M

 trực tâm BCK KM BC

Ta chứng minh BHC∽BPK (g – g) BH BP

BC BK

  (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

BH BK BC BP

 

Ta chứng minh CAB∽CPK (g – g) CA CP

CB CK

  (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

CA CK CB CP

 

Khi BH BK CA CK BC BP CB CP  BC BP CP  BC2 (không đổi)

d) Ta chứng minh KAE∽KEC (g – g) KA KE

KE KC

  (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

2

KE KA KC

   1

Tương tự KF2 HK KB  2

Mặt khác KAB∽KHC (g – g) KA KH

KB KC

  (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

KA KC KH KB

   3

Từ  1 ,  2 ,  3 suy KE2 KF2KEKF KEF cân K Bài Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức

2

1 x P

x x

 

 

Ta có:

2

1 x P

x x

 

 

2

2

2 2

1

x x x x

x x

    



 

 2

2

1 x x x

  

 

Vì  

2

2

0 x x x

 

  , x nên

 2

1

2

1 x x x



 

  , x

Dấu “=” xảy x1

Vậy maxP2 x1

Ta lại có

2

1 x P

x x

 

 

2

2

2 2

3 3 3

1

x x x x

x x

    



 

 2

2

2

3

x x x



 

 

Vì  

2

2

0 x x x

 

  , x nên

 2

2

2

3 3

x x x



 

  , x

Dấu “=” xảy x 1

Vậy

3

P x 1

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010-2011 MƠN: TỐN (Thời gian làm 90 phút, không kể thời gian giao đề) Bài Cho biểu thức

2

2

3 1

:

6

x x x x x

P

x x x x x x

 

     

    

       

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị x cho P1 c) Khi x3 Tìm giá trị nhỏ P Bài Giải toán sau cách lập phương trình:

Một xe tải xe khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B Xe tải với vận tốc40km/h , xe với vận tốc 60 km/h Sau nửa quãng đường AB xe nghỉ phút chạy tiếp đến B, xe tải nghỉ 10 phút nửa quãng đường lại tăng vận tốc thêm

và đến B chậm xe 40 phút Tính quãng đường AB Bài Giải phương trình bất phương trình sau:

a) x132x3327x38.

b)  2  

1

x   x x   x 

c)  2  

3

x  x  x  x  

d)

2

x

x x

 

 

Bài Cho ABC vuông A có AB10cm, AC24cm, đường cao AH a) Tính độ dài đoạn thẳng BC, AH, BH

b) Đường thẳng d song song với BC cắt cạnh AB AC hai điểm M N Gọi O giao điểm MC NB Tia Ny song song AB cắt MC F , tia Mx song song

AC cắt BN điểm E Chứng minh ON2OB OE c) Chứng minh EF BC//

d) Chứng minh

MN EF BC

Bài Cho ba số thực x, y,z thỏa mãn xyz1 x y z 1 x y z

     Tính giá trị biểu thức

   2011 

1 1

Q x  y  z 

HẾT

40

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ II TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM Năm học: 2010-2011

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Bài Cho biểu thức

2

2

3 1

:

6

x x x x x

P

x x x x x x

 

     

    

       

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị x cho P1 c) Khi x3 Tìm giá trị nhỏ P

Lời giải a) Rút gọn P

2

2

3 1

:

6

x x x x x

P

x x x x x x

                                        2

1

:

2 3 2

3

x x x x x x x

x x x x x x

x                                        2

1 4

:

2 3 2

3

x x x x x x x

x x x x x x

x                                           2

1 1 2

:

2

3

x x x x x x x

x x x

x x

      

 

  

 

 22

3 x x   

b) Tìm giá trị x cho P1 Ta có:

 2  2

0

1 2

3

x x

x x

P      

    1

Xét  1 :  

2 2

2 4

1 0

3 3

x x x x

x x x

   

    

  

2 3 7 x x x      19 x x          

   x (vì

2 19 x       

  , x)

3

x

 

Kết hợp với điều kiện xác định suy x3, x1; x2 P1

c) Khix3 Tìm giá trị nhỏ P

 22 2

4

3 3

x x x x x x

P

x x x

       

  

  

 2  

2 6 9 2 6 1 3 2 3 1

3 3 3

x x

x x x

x x x x x x

 

  

     

     

1

3

3 x

x

   



Khi x3 x 3 0; x 

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm: x3;

x ta được:

 

1

3

3

x x

x x

    

 

Dấu “=” xảy

3

x x

x

   

 (thỏa mãn điều kiện x3)

Do P  2 4 Vậy minPx4 Vậy x4; 2;14 ; 8 

Bài Giải toán sau cách lập phương trình:

Một xe tải xe khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B Xe tải với vận tốc40km/h , xe với vận tốc 60 km/h Sau nửa quãng đường AB xe nghỉ phút chạy tiếp đến B, xe tải nghỉ 10 phút nửa quãng đường lại tăng vận tốc thêm

và đến B chậm xe 40 phút Tính quãng đường AB Lời giải

Gọi độ dài quãng đường AB x km

Đổi: 40 phút

 ; 10 phút

6



1

1

1

2

40 50 80 100

x x x x

t       (giờ)

Thời gian xe từ tỉnh A đến tỉnh B (tính thời gian nghỉ ) là:

2

1

2 2

2

60 60 120 120 60

x x

x x x

t         (giờ)

Vì xe tải đến B chậm xe 40 phút 3h

 nên ta có :

1 2 t t 

1 2

80 100 60 3

x x  x       

 

40

1 2

80 100 60 3

x x x

     

2

80 100 60 3

x x x

     

1 1

80 100 60

x 

      

7 7

: 200

1200 6 1200

x x

    

Vậy quãng đường AB dài 200km

Bài Giải phương trình bất phương trình sau:

a)  3  3

1 27

x  x  x 

b) x2123x x 212x20 c) x23x22x23x 8 0.

d)

2

x

x x

 

 

Lời giải a) x132x3327x38

   2     2    2

1 1 3 3 2

x x  x x x x  x  x x 

             

   

3x 2x2 2x 1 2x2 3x 2x 3 4x2 12x 9 3x 2 9 x2 6x 4

               

3x 2x2 2x 1 2x2 3x 2x 3 4x2 12x 9 3x 2 9 x2 6x 4

               

     

3x 3x 9x 13 3x 9x 6x

       

     

3x 9x 6x 3x 3x 9x 13

        

  

3x 6x 15x

    

  

3x 6x 15x

    

   

3 3x x 2x

    

3x 2x 2 x 1

    

2

3 3

3

2 1

2 x x

x x

x

x

 

    

 

    





   

  



Vậy tập nghiệm phương trình cho 2;3;

3

S   

 

b)x2123x x 212x20 Cách

 2  

1

x   x x   x 

 2 2  2  2  2  2

1 1

x x x x x x x

        

 2 2  2 

1

x x x x x

      

x2 1 xx2 1 x x 0

      

x2 x 1x 12 0

    

2 1 0

1

x x x

   

    

2

1 3

0

2 4

1

x x x

x

     

    

     

      

   

vơ nghiệm, >0 với giá trị

Vậy tập nghiệm phương trình cho S  1 Cách

Đặt ax21; bxa23ab2b20a b a2b0 Từ giải phương trình tích

c)  2  

3

x  x  x  x  

 2  

3

x  x  x  x  

 2  

3

x x x x

      

 2

3

x x

    

 2 2 2

3

x x

    

x2 3x 1 3x2 3x 1 3 0

       

x2 3x 4x2 3x 2 0

      , có x23x4  x23x2

   

3

x x x x

         

  

1 0,

0 ,

x x x x

x x x x

     

   

     

 

4

1

0

x x

x x

   

    



  

 

1

1

x x

x

  

   



 

 

Vậy tập nghiệm bất phương trình 1 x1 2x4

d)

2

x

x x

 

 

Điều kiện:

2

x ; x2

2

2

x

x x

 

 

2

0

2

x

x x



  

 

    

  

2 2

0

2

x x x

x x

   

 

 

  

2

4

0

2

x x

x x

  

 

 

  

2

2

0

2

x x x x

 

 

 

  

  

1

0

2

x x x x

 

 

 

Ta lập bảng xét dấu:

Kết hợp với điều kiện xác định suy x 1

2x x3 Bài Cho ABC vng A có AB10cm, AC24cm, đường cao AH

a) Tính độ dài đoạn thẳng BC, AH, BH

b) Đường thẳng d song song với BC cắt cạnh AB AC hai điểm M N Gọi O giao điểm MC NB Tia Ny song song AB cắt MC F , tia Mx song song AC cắt

BN điểm E Chứng minh ON2OB OE c) Chứng minh EF BC//

d) Chứng minh MN2EF BC

a) Tính độ dài đoạn thẳng BC, AH, BH

Xét ABC vuông A Theo định lý Pi-ta-go có: BC2 AB2AC2 102242 676

 

676 26

BC cm

   Xét AHB CAB có:

AHBCAB90  

HABACB (cùng phụ ABC) AHB CAB

  ”  (g – g)

 

10.24 120

26 13

AH CA AB AC AH

AB CB BC

      cm 10.10 50 

26 13

BH BA AB AB BH

AB CB  BC   cm b) Chứng minh ON2 OB OE

Vì MN BC ON OM

OB OC

 

//  1 (Định lý Ta-lét)

Vì Mx AC ME NC OE OM

ON OC

  

// //  2 (Định lý Ta-lét)

Từ  1  2 ta có: ON OE OM OB ON OC

      

2

ON OE OB

  c) Chứng minh EF//BC

Vì Ny AB NF MB ON OF

OB OM

  

// // (Định lý Ta-lét)

OE OF ON ON OM OB

     

 EF//MN (Định lý Ta-lét đảo)

Lại có d//BCMN//BC

 

EF BC MN

 // //

d) Chứng minh MN2EF BC

Vì MN EF FE OE

MN ON

 

// (Định lý Ta-lét)

Vì MN BC MN ON

BC OB

 

// (Định lý Ta-lét)

Mà ON OE

Suy FE MN MN2 FE BC MN  BC  

Bài Cho ba số thực x, y,z thỏa mãn xyz1 x y z 1 x y z

     Tính giá trị biểu thức

   2011 

1 1

Q x  y  z 

Lời giải Xét x1y1z1xyzxy yzzx  xyz1

 

1 xyz xyz xyz x y z

z x y

 

       

 

x y z 1 x y z

 

      

 

Vậy ba số x, y, z có số 1, suy    2011 

1 1

Q x  y  z  

Vậy Q0

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2011-2012 MƠN: TỐN (Thời gian làm 90 phút, không kể thời gian giao đề)

Bài Cho biểu thức

2 3

3 2

2 1

1

1 1

x x x x x x

P

x

x x x x x

       

     



    

   

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị x để P x23. c) Tìm giá trị lớn biểu thức P2

x

Bài Một xe máy ô tô khởi hành từ A để đến B Vận tốc xe máy 30 km/h, vận tốc ô tô 45 km/h Sau

4 quãng đường AB, ô tô tăng vận tốc thêm km/h qng đường cịn lại Tính quãng đường AB biết ô tô đến B sớm xe máy 20

phút

Bài Giải bất phương trình sau:

a) 2

2

x x

x x

 

 

  b)    

2

3 x2  57x 3 1x

Bài Cho ABC vuông A ABAC, kẻ đường cao AH Gọi D, E hình chiếu H AB, AC Đường thẳng qua A vng góc với DE cắt BC O

a) Chứng minh O trung điểm BC

b) Kẻ đường thẳng d vng góc với AO A, cắt đường thẳng BC K Chứng minh BK CK

BH CH

c) Chứng minh: AH2 HB HC. AD BD.  AE EC.  AH2.

d) Gọi I, J giao điểm HD, HE với đường thẳng d Chứng minh BI//CJ Bài Cho biểu thức 32 1

4

x A

x x

 

  Chứng minh biểu thức A ln có giá trị nhỏ với

mọi giá trị thực A xác định

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ II TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM Năm học: 2011 – 2012

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Bài Cho biểu thức

2 3

3 2

2 1

1

1 1

x x x x x x

P

x

x x x x x

       

     



    

   

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị x để P x23. c) Tìm giá trị lớn biểu thức P2

x Lời giải a) Rút gọn P

Điều kiện xác định x 1 Ta có:

      

2

3

1 1

1

2

1

1 1

x x x x x x

x x x

P

x

x x x x

      



  

 

   

  

   

   

 

2

2

2

1

x x x

P x x x

x

    

     



 

    

2

2

1

2

1

x x

P x x

x x x

   

 

   

    

 

 2

1

1

1

P x x

x

    



b) Tìm giá trị x để P x23

3

P x  x 1 x2  3 x2x20   1 x2

Kết hợp với điều kiện: x 1 ta giá trị x thoả mãn là:  1 x2; x1

c) Tìm giá trị lớn biểu thức P2 x Từ suy

2

2 2

1 1 1 1 1 1

4 4

P x

x x x

x x x x

    

           

   

Do giá trị lớn P2

x

1

4, đạt

1

0

2 x

x   

Bài Một xe máy ô tô khởi hành từ A để đến B Vận tốc xe máy 30 km/h, vận tốc ô tô 45 km/h Sau

4 quãng đường AB, ô tô tăng vận tốc thêm km/h quãng đường cịn lại Tính qng đường AB biết tơ đến B sớm xe máy 20

phút

Gọi x độ dài quãng đường AB (x0 tính km ) Thời gian dự kiến để xe máy đến nơi 1

30 x

t  (giờ)

Thời gian dự kiến để ô tô đến nơi 1 45

x

t  (giờ)

Thời gian để xe ô tô

4 quãng đường AB 3

4 45 60

x x

t  

Thời gian để ô tô hết

4 quãng đường AB với vận tốc 50 km/h 4

50 200

x x

t   (giờ)

Đổi 20 phút

Theo ta có phương trình

30 60 200

x x x

   1

30 60 200

x 

    

 

 

200 km x

 

Đáp số quãng đường AB dài 200 (km) Bài Giải bất phương trình sau:

a) 2

2

x x

x x

 

 

 

b) 3x22 57x 3 1 x2

Lời giải

a) 2

2

x x

x x

 

 

 

Điều kiện xác định x 2

2

1

2

x x

x x

 

 

    

2

1

2 2

x x

x x x

 

  

  

2 1

1

2

x

x x



  

 

2

1

2 x x



  



2 2

0

x x

x

  

 



x x

 

   2 x0

Với  2 x0 thỏa mãn bất phương trình b) 3x22 57x 3 1 x2

Bất phương trình xác định với x

+ Nếu

7

x ta có 3x22 57x 3 1 x2

   2

3 x 4x 7x 2x x

        

4

x x

     

Ta có:

7 x

+ Nếu

x ta có 3x22 57x 3 1 x2

   2

3 x 4x 7x 2x x

        

14

13 14

13

x x

     

Ta có 14

7 x13 thỏa mãn bất phương trình

Kết luận: Vậy với 14

13 x

   thỏa mãn bất phương trình

Bài Cho ABC vuông A ABAC, kẻ đường cao AH Gọi D, E hình chiếu H AB, AC Đường thẳng qua A vng góc với DE cắt BC O

a) Chứng minh O trung điểm BC

b) Kẻ đường thẳng d vng góc với AO A, cắt đường thẳng BC K Chứng minh BK CK

BH CH

c) Chứng minh: AH2 HB HC AD BD  AE EC  AH2

d) Gọi I, J giao điểm HD, HE với đường thẳng d Chứng minh BI//CJ Lời giải

a) Gọi M giao điểm AO ED Ta có: A1D1 (cùng phụ với MAD)  1

Ta có: AEH” AHC (g – g) AE AH AE AC AH2

AH AC

   

Tương tự, ta có AD AB  AH2

Do đó: AE AC AD AB AE AD

AB AC

  

Xét AED ABC có 

A chung AE AD

AB  AC  AED” ABC (c – g – c)

 

1

D C

   2 Từ  1  2 suy A1C1 OAC cân OOAOC

Ta có:

       

 

1 1

1 90 90 cmt A OAB

C B OAB B OAB

A C

   

 

      

 

  

cân O

OA OB

 

b) Ta có:

      

 

3

1

90 90 cmt A B

A OAB A A

B OAB

   

 

     

 

  

AB tia phân giác OAK

Xét OAK có AB đường phân giác BK AK

BH AH

   3

Ta có AB tia phân giác OAK Mà AC  AB AC tia phân giác ngồi OAK

Xét OAK có AC đường phân giác CK AK

BH AH

   4

Từ  3  4 suy BK CK BH CH

c) Xét AHB CHA có: AHBCHA90; A2C1 (cùng phụ với HAC)

AH HB

AHB CHA AH HB HC

HC AH

  ”     

Tứ giác ADHE có ADE 90o ADHE

hình chữ nhật  AH  DE

Ta có: ADH” HDB (g – g) AD HD AD BD. HD2

HD BD

   

Ta có: AEH” HEC (g – g) AE HE AE EC HE2

HE EC

   

2 2

AD BDAE ECHD HE ED AH

d) Xét AHJ có AE đường cao, đồng thời đường phân giác  AHJ cân A AH AJ

 

Xét AHC AJC có: AC chung; HACA4; AH AJ

 

AHC AJC AHC AJC

      Mà AHC90 AJC90 CJ AJCJ d

Lại có OAd (giả thiết) CJ//OA Chứng minh tương tự ta có BI//AO Do BI//CJ

Bài Cho biểu thức 32 1

4

x A

x x

 

  Chứng minh biểu thức A ln có giá trị nhỏ với

mọi giá trị thực A xác định

Lời giải Ta có:

   

2 2

5 4 20

4 12

4 4 4

x x x x

x x

A

x x x x x x

    

 

  

     

 

2

2

2

5 .2

5 25 5

5

4

x x x

x x x

   

    

   

   

   

  

Ta có:

2 1

5

5 5

x

 

  

 

  , x;  

2

2x1 0,

2 x

 

2

2

2

5

5

0

2

x x

 

 

 

 

 



,

2 x

  

 

2

2

2

5

5

5

2

x x

          



Vậy biểu thức A ln có giá trị nhỏ với giá trị thực A xác định

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2012 -2013 MƠN: TỐN

(Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) Bài Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x2 x

b)

2013 2012 2013

x  x  x

Bài a) Cho x  y z 1; x2y2z21và a b c

x y  z Hãy tính giá trị biểu thức Pab bc ca 

b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

3

4

x x A

x x

 



 

Bài a) Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng: 2 2 1x 1y 1xy

b) Giải phương trình: 2x1x1 2 2x318

Bài Hình thang ABCD AB CD//  có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M , N

a) Chứng minh OM ON

b) Chứng minh 1

ABCD  MN

c) Biết 20122

AOB

S  (đơn vị diện tích); 20132

COD

S  (đơn vị diện tích) Tính SABCD

Bài Trong hội thảo quốc tế có nhà khoa học tham dự Người ta nhận thấy đại biểu ln có đại biểu nói chuyện với Ngồi đại biểu biết không thứ tiếng Chứng minh tìm đại biểu biết thứ tiếng

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ II TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM Năm học: 2012 -2013

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 x

b) x42013x22012x2013

Lời giải

a) x2  x x22x3x 6 x x 23x2  x3x2

b) x42013x22012x2013x4x2013x22013x2013

   

1 2013

x x x x

    

    

1 2013

x x x x x x

      

  

2013

x x x x

    

Bài a) Cho x  y z 1; x2y2z21và a b c

x y z Hãy tính giá trị biểu thức Pab bc ca 

b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

3

4

x x A

x x

 



 

Lời giải

a) Ta có x yz  1 xyz2 1 xyyzzx0  1 Theo dãy tỉ số ta có:

a b c

x y z

a b c a b c

a b c x y z

   

    

 

 

 

 

a x a b c b y a b c c z a b c

   



    

   

 2  2  2

; ;

a b xy a b c b c yz a b c c a a b c

         

  2

ab bc ca xy yz zx a b c

         2

Từ  1  2 ab bc ca  0

b) Điều kiện: x2

          2 2 2

3 + 13

3

3

4 x + 2 2

x x x x x

x x A

x x x x x x

      

 

     

     

2

2 7 3 37 37,

2 4

a a a   a

          

Với

2

a x

 

Dấu “=” xảy 7 12

2 2

a a x

x

 

        

 (thỏa mãn)

Vậy 37 12

4

A x

Bài a) Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng: 2 2 1x 1 y 1xy

b) Giải phương trình: 2x1x1 2 2x318 Lời giải

a) Ta có: 2 1 2

1x 1xy1y 1xy

     

2

2

1 1

0

1 1

xy x xy y

x xy y xy

     

  

   

     

2

2

1 1

xy x xy y

x xy y xy

                  

2

1 1

x y x y x y

x xy y xy

                   2 2 1

1 1

x y x y y x y x

x y xy

                 2 2 x

1 1

x y x xy y y

x y xy

    

 

  

   

1 21 21 

x y y x xy x y

x y xy

                 2

1 1

x y xy

x y xy

 

 

    *

Vì x1, y 1 xy 1 xy 1  ** Từ  *  **  đpcm

b) Giải phương trình: 2x1x1 2 2x318

Đặt x 1 t

Ta có phương trình 2 1t   t2 + =18t  t24t2118=04t4 t218=0

 

2

2

2 loại

t t

   

   

3

t

  

+) Với

2

t x

+) Với

2

t x

Vậy phương trình cho có hai nghiệm

2

x

2

x

Bài Hình thang ABCD AB CD//  có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M , N

a) Chứng minh OM ON

b) Chứng minh 1

ABCD  MN

c) Biết 20122

AOB

S  (đơn vị diện tích); 20132

COD

S  (đơn vị diện tích) Tính SABCD Lời giải

a) Vì OM //AB; ON//AB; CD//AB nên theo hệ định lí talet ta có: OM DO

AB  DB ON CO

AB  CA CO DO CA  DB

Suy OM ON OM ON

AB  AB  

b) Ta có: DO

1 1

ON OB OB OB DC  DB DC  DB ON  DB OM

Suy ra: 1 OD OB 1 OD OB

AB CD DB OM DB OM OM DB DB OM MN

 

       

 

c) Ta có hai tam giác ABO CDO đồng dạng với

Nên

2 2

2

2012 2012

2013 2013

AOB COD

S OA OB OA OB S OC OD OC OD

 

   

           

Mặt khác ta có: 2012 4025

4025 2012

AOB

ABD AOB ABD

S OB

S S

S BD



  

   

2013 4025

4025 2013

COD

DCB COD DCB

S OD

S S

S BD



  

   

Suy ra: .4025 .4025 2012 2 4025 2013 2 4025

2012 2013 2012 2013

ABCD ABD CBD AOB COD

S S S S S  

 

4025 2012 2013 4025

  

Bài Trong hội thảo quốc tế có nhà khoa học tham dự Người ta nhận thấy đại biểu ln có đại biểu nói chuyện với Ngồi đại biểu biết khơng q thứ tiếng Chứng minh ln tìm đại biểu biết thứ tiếng

Lời giải Giả sử khơng có người nói thứ tiếng

Gọi X người nói tối đa ba người (một thứ tiếng) Trong người cịn lại X khơng thể nói chuyện

Gọi Y người năm người Y nói tối đa ba người Trong bốn người cịn lại ngồi Y có người Z khơng nói chuyện với Y Suy X khơng nói chuyện với Y, Y khơng nói chuyện với Z, Z khơng nói chuyện với X Mà ba người ln có hai người nói chuyện với

Suy mâu thuẫn với giả thiết (đpcm)

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2014 - 2015 MƠN: TỐN (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) Bài Cho biểu thức

2

3

2 1

:

8

x x x x

P

x x x x

       

      

     

 

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P với giá trị x thỏa mãn x23x 2. c) Tìm giá trị x để P1

Bài Giải phương trình a) 2x 1 x2 4x

b) x24x823x x 24x82x20 Bài Giải tốn cách lập phương trình

Một người dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 50 km/h Sau   quãng đường với vận tốc đó, đường khó nên người lái xe phải giảm vận tốc 10 km quãng đường lại Do tơ đến tỉnh B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đường

AB

Bài Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH , lấy M điểm đối xứng với H qua AB, lấy N điểm đối xứng với H qua AC Gọi E giao điểm MH với AB F giao điểm

NH với AC , đường thẳng MN cắt AB, AC theo thứ tự I , K a) Chứng minh: Tam giác AMN cân

b) Chứng minh: AE AB AF AC chứng minh AIK” ACB

c) Chứng minh: HA phân giác góc IHK chứng minh đường thẳng AH; BK; CI đồng quy J

d) Chứng minh:

BJ BKCJ CIBC

Bài 10 Cho a; b;c số dương, chứng minh rằng:

4 4 3

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ II TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM Năm học: 2014-2015

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Bài Cho biểu thức

2

3

2 1

:

8

x x x x

P

x x x x

       

      

     

 

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P với giá trị x thỏa mãn

3

x  x  c) Tìm giá trị x để P1

Lời giải a) Rút gọn P

Điều kiện:

1 x x       2

2 1

:

8

x x x x

P

x x x x

                                          2

1 2

2

:

8 1 2

x x x x

x x x

x x x x x x x x x

                                       2

2 3

:

1

2

x x x x x x x

x x x

x x x

                                 

1

:

2

x x x x x x

                    

2 3 3

1

:

2

x x x x

x x x x

                  2

2 3

x x

x

x x x

         x x    Vậy   x P x   

b) Tính giá trị P với giá trị x thỏa mãn

3

x  x 

Điều kiện để P xác định: x 1; x  3; x2 Ta có:

2 3 2 x  x 

2 3 2 0 x x

x 1x 2

   

1 x x

      



( Loại trường hợp x 1 theo điều kiện P)

2

x

  

Thay x 2 vào biểu thức P ta có:

 

2 1

3

P     

Vậy

9 P

Bài Giải phương trình a) 2x 1 x2 4x

b)  4 82 3  4 8 2 0

x  x  x x  x  x 

Lời giải a) 2x 1 x2 4x

Lập bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta chia trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu x  2 phương trình cho trở thành: 2x   1 x 4x

7x

  

3 x

   (loại )

Trường hợp 2: Nếu

2 x

   phương trình cho trở thành: 2 x   1 x 4x

5x

  

1 x

  ( loại )

Trường hợp 3: Nếu

2

x  phương trình cho trở thành: 2x   1 x 4x

x

  (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x3 b) x24x823x x 24x82x20

 2  

4 8

x x x x x x

       

 2    

4 8

x x x x x x x x x

    

2

4 8

x x x x x x x x x

          

  

4 8

x x x x x x

       

  

6 8

x x x x

     

2

2

6

5

x x x x

     

   

Với x26x 8 x2x40 x x

      



(thỏa mãn) Với

5

x  x 

2 25

2

2 4

x x

    

2

5

0

2

x

      

  (loại

2

5

0

2

x

      

  ; x)

Vậy phương trình cho có nghiệm S   2; 4 Bài Giải toán cách lập phương trình

Một người dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 50 km/h Sau   quãng đường với vận tốc đó, đường khó nên người lái xe phải giảm vận tốc 10 km qng đường cịn lại Do tơ đến tỉnh B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đường

AB

Lời giải Gọi chiều dài quãng đường AB là: xkm; x0 Thời gian ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B là:  h

50 x

Thời gian ô tô

3 quãng đường đầu là: 3: 50 150  h

x x



Thời gian ô tô quãng đường lại là: :40  h

3 60

x x



Do ô tô đến tỉnh B chậm 30 phút so với dự định nên ta có phương trình:

1

150 60 50

x x x

        

2 150

300 300 300 300

x x x

   

150 x

  (thỏa mãn)

Vậy chiều dài quãng đường AB là: 150 km

Bài Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH , lấy M điểm đối xứng với H qua AB, lấy N điểm đối xứng với H qua AC Gọi E giao điểm MH với AB F giao điểm

a) Chứng minh: Tam giác AMN cân

b) Chứng minh: AE AB AF AC chứng minh AIK” ACB

c) Chứng minh: HA phân giác góc IHK chứng minh đường thẳng AH; BK; CI đồng quy J

d) Chứng minh:

BJ BKCJ CIBC

Lời giải

a) Chứng minh tam giác AMN cân. Theo tính chất đối xứng ta có:

AM AH ;AN AH AM AN nên tam giác AMN cân A b) Chứng minh AE AB AF AC chứng minh AIK” ACB Ta có:

AEH AHB

 ”  (g – g) AE AH

AH AB

 

AE AB AH

   1

AFH AHC

 ”  (g – g) AF AH

AH AC

  AF AC AH2  2

Từ  1  2 ta có: AE AB AF AC  3

Từ  3 AE AF

AC AB

 

Lại có góc A chung  AEF” ACB (c – g – g)  4

Mặt khác FE đường trung bình tam giác MHN

//

EF MN

 IK//EF AIK∽AEF  5 Từ  4  5  AIK” ACB

c) Chứng minh HA phân giác góc IHK chứng minh đường thẳng AH ; BK ; CI đồng quy J

AMI AHI

   AHI AMI  6 ANK AHK

   AHK ANK  7

Mà tam giác AMN cân AMI ANK  8

E

J

F K I

A

B C

M

N

Từ  6 ;  7 ;  8 ta có: AHI AHK HA phân giác IHK Từ câu b ta có AIK∽ACB suy AIK ACB  9

Mà AIK MIBBIK  10

Từ  9  10 suy BIH BCA Tam giác BIH∽BCA (g – g)

ABC chung   BIH BCA

 BI BH BI BC

BC  BA BH  BA

BIC∽BHA (c – g – g) ABC chung

BI BC BH  BA

BICBHA90

AIH BIH

  CIKCIHCH phân giác KIH

Tương tự: BK phân giác IKH ta có AH; BK ; CI đồng quy J d) Chứng minh: BJ BK CJ CI BC2

 AKIIKBBKH HKC AKBBKC 90 BK AC

  Tương tự CIAB

BJH BCK

  ∽ (g – g) BJ BC

BH BK

  BJ BK BH BC Tương tựCJ.CI CH.BC

2

BI BK CJ CI BC

  

Bài Cho a; b;c số dương, chứng minh rằng:

4 4 3

3 3 2 a b c a b c b c a b c a

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho cặp hai số ta có:

4

3

3

2

2 2

a a a

b b b

a a

a

b b

a

b a b



 

  

 

  

  

4 3

3 2 2 2

a a a a a

a b a

b b b b b

       

4 3 a a

a b b b

     1

Tương tự: 3 b b

b c c c    2

4 3 c c

c a a  a    3

Cộng  1 ;  2 ;  3 ta được:

4 4 3

3 3 2 a b c a b c b c a  b c a Dấu “=” xảy a b c