Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.[r]
(1)§ Bài : HÀM SỐ LIÊN TỤC A Lý thuyết :
1 CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
1.1 Hàm số liên tục điểm: Hàm số y=f x( ) liên tục x0 ( ) ( )
0
® =
lim
x x f x f x .
1.2 Hàm số liên tục khoảng: Hàm số y=f x( ) liên tục khoảng (a b; ) liên tục điểm thuộc khoảng
1.3 Hàm số liên tục đoạn é ùë ûa b; :Hàm số y=f x( ) liên tục é ùë ûa b; liên tục khoảng (a b; ) : ( ) ( )
( ) ( )
+
-® ®
ìï =
ïïï
íï =
ïïïỵ lim lim x a x b
f x f a
f x f
2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC
2.1 Định lí 1:
Hàm số đa thức liên tục ¡
Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng 2.2 Định lí 2: Giả sử y=f x( ), y=g x( ) liên tục điểm x0 Khi đó
Các hàm số y=f x( )+g x( ), y=f x( )- g x( ), y=f x g x( ) ( ). liên tục x0
Hàm số
( ) ( ) =f x y
g x
liên tục x0 g x( )0 ¹ 0.
2.3.Định lí : Nếu y=f x( ) liên tục é ùë ûa b; Đặt
( ) ax ( )
é ù é ù
ë û ë û
= =
; ;
min ,
a b a b
m f x M m f x
Khi với CỴ (m M; ) ln tồn số cỴ (a b; ) cho f c( )=C
Hệ 1: Nếu f x( )0 >0 liên tục é ùë ûa b; f a f( ) ( ). <0 tồn số cỴ (a b; ) cho ( )=0
f c
Nói cách khác: Nếu y=f x( ) liên tục é ùë ûa b; f a f( ) ( ). <0 phương trình f x( )=0 có nghiệm cỴ (a b; )
Hệ 2: Nếu y=f x( ) liên tục é ùë ûa b; f x( )¹ 0, " Ỵx (a b; ) f x( ) khơng đổi dấu (a b; ) B CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Cho hàm số
( ) ( ) ( )
1
2
ìï ¹
ïï =íï
= ïïỵ
f x x x
f x
f x x x
Để xét tính liên tục xác định giá trị tham số để hàm số liên tục điểm x0, ta thực bước sau
● Bước 1: Tính giới hạn ( ) ( )
1
® = ® =
lim lim
x x f x x x f x L. ● Bước 2: Tính f x( )0 =f x2( )0
● Bước : Đánh giá giải phương trình L=f x2( )0 , từ đưa kết luận
Bài Xét tính liên tục hàm số :
( )
2 2
2
2 ìï
-ïï ¹
ï =í
-ïï
ï =
ïỵ x
x
f x x
x
(2)Lời giải :
Hàm số xác định với xỴ ¡ Ta có :
( ) ( )( ) ( )
2 2
2
2
2 2
2
® ® ® ®
- +
-= = = + =
-
-lim lim lim lim
x x x x
x x
x
f x x
x x Và f( )2 =2 2.
Do
( ) ( )
2
lim 2
x
f x f
® = = nên hàm số liên tục x= 2.
Bài 2: Xét tính liên tục hàm số
( )
2
4
2
2 ìï
-ïï ¹
ï
=í
-ïï
ï =
ïỵ x
x
f x x x
x
tại x=2.
Lời giải:
Hàm số xác định với xỴ ¡ Ta có :
( ) ( )( )
( )
2
2 2
2
4
2
2
® ® ® ®
- +
- +
= = = =
-lim lim lim lim
x x x x
x x
x x
f x
x x x
x x Và f( )2 =2
.
Do : xlim®2f x( )=f( )2 =2 nên hàm số liên tục x=2. Bài : Xét tính liên tục hàm số
( ) 2
1
ìï -
-ïï ¹
ï
=í
-ïï =
ïïỵ
x
x
f x x
x
x=2.
Lời giải:
Hàm số xác định với xỴ ¡ Ta có :
( ) ( )
( )( ) ( )
2 2
2
1
1
2 2 1 2 3 1 2 3
® ® ® ®
-= = = =
- - + - +
-lim lim lim lim
x x x x
x x
f x
x x x x
.
( )2 =1 f
.
Do : xlim®2f x( )=f( )2 =1 nên hàm số liên tục x=2. Bài : Xét tính liên tục hàm số
( )
ìïï ¹
ïï
=í
-ïï - =
ïïỵ sin x
x
f x x
x p
p
tại x=1.
Lời giải:
Hàm số xác định với xỴ ¡ Ta có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1 1
1
1 1
® ® ® ® ®
é ù
- + - - ê - ú
= = = = ê- ú
= - - êë - úû
sin sin sin
sin
lim lim lim lim lim .
x x x x x
x x x
x f x
x x x x
p p p p p
p p p
p
( )1
=-f p
(3)
( )
3 2 2
1
3
ìï - +
-ïï ¹
ï
=í
-ïï + =
ïïỵ
x x x
x
f x x
x m x
tại x=1.
Lời giải:
Hàm số xác định với xỴ ¡ Ta có :
( ) ( )( ) ( )
2
3
2
1 1
1
2
2
1
® ® ® ®
- +
- +
-= = = + =
-
-lim lim lim lim
x x x x
x x
x x x
f x x
x x .
( )1
f = +m
.
Để f x liên tục x= Û + = Û1 m m=0 Vậy với m=0 hàm số liên tục x=1
Bài : Tìm m để hàm số liên tục điểm
( ) khi
ìïï ¹
ïï =í
ïï =
ïïỵ sin
x x
f x x
m x
tại x=0.
Lời giải:
Hàm số xác định với xỴ ¡ Ta có
2
0£ x sin £x
x Mà
2
lim
x® x = Do ( )
2
0
1
® = ® =
lim lim sin
x f x x x x .
( )0
f =m
Để f x liên tục x= Û0 limfx®0 ( )x =f( )0 Û m=0.
Vậy với m=0 hàm số liên tục x=0
Bài 7: Tìm m để hàm số liên tục điểm
( ) ( )2
1
khi ìï +
ï ¹
ïïï
=í
-ïï
ï =
ïïỵ
cosx x
f x x
m x
p p
p
x=p Lời giải:
Hàm số xác định với xỴ ¡ Ta có
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
2
2 2 2 2 2
1 2 1
2
2
® ® ® ® ®
ộ ự
ổ ửữ ổ ửữ
ỗ - ữ ỗ - ữỳ
ỗ ữ ờ ỗ ữỳ
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ø
+ ê ú
= = = = ờổ ử ỳ=
ữ
- - - ờỗỗ - ữữỳ
ờỗố ữứ ỳ
ở ỷ
sin sin
cos cos
lim lim lim lim lim
x x x x x
x x
x x
f x
x
x x x
p p p p p
p p
p
p p p
( )=
f p m
Để f x( ) liên tục
1
= Û =
x p m
Vậy với = m
hàm số liên tục x=p
Bài : Tìm m để hàm số liên tục điểm ( )
2
2
2
1
1
khi
ìï +
ïï + ¹
-ï +
ïï =íï
- - +
ïï
=-ïïïỵ
x x
mx x
x f x
x x
x
x x=- 1.
Lời giải :
Hàm số xác định với xỴ ¡ Ta có
( ) 2
1 1 1
2 2
2 2 2
1
đ- đ- đ- đ-
đ-ổ + ửữ +
ỗ ữ
ỗ
= ỗỗ + + ữữữ= + + =- + =-
-ỗố ứ
lim lim lim lim lim
x x x x x
x x x x
f x mx mx m x m
x x
(4)( )1 1 1
+ -
=
= -f
Để f x( ) liên tục x=- Û -1 2m- 2=- 2Û m=0 Vậy với
2 2 -= m
hàm số liên tục x=-
Cho hàm số:
( ) ( ) ( )
1
2
ìï <
ïï =íï
³ ïïỵ
f x x x
f x
f x x x
Để xét tính liên tục xác định giá trị tham số để hàm số liên tục điểm x0, ta thực bước sau
● Bước 1: Tính f x( )0 =f x2( )0 ● Bước : (Liên tục trái) Tính giới hạn
( ) ( )
0
1
-
-® = ® =
lim lim
x x f x x x f x L . Đánh giá giải phương trình L1=f2( )x0 , từ đưa kết luận ● Bước 3: (Liên tục phải) Tính giới hạn
( ) ( )
0
1
+ +
® = ® =
lim lim
x x x x
f x f x L
Đánh giá giải phương trình L2=f2( )x0 , từ đưa kết luận ● Bước 4: Đánh giá giải phương trình L1=L2, từ đưa kết luận.
Bài 9: Xét tính liên tục hàm số :
( )
( )2
5
5
ìï
-ï >
ïïï
-=í ïï
ï - + £
ïïỵ x
x x
f x
x x
tại x=5.
Lời giải:
Hàm số xác định với xỴ ¡ Ta có :
( )5 =3 f
( ) ( )2
5
5 3
-
-® ®
é ù
= êê - + =úú
ë û
lim lim
x x
f x x
( ) ( )( )
5 5
5
5
3
2
2
+ + + +
® ® ® ®
- - +
- - +
= = = =
-lim lim lim lim
x x x x
x x
x x
f x
x
x .
Do xlim®5- f x( )=xlim®5+ f x( )=f( )5 nên hàm số liên tục x=5. Bài 10: Xét tính liên tục hàm số :
( )
ìï - £
ï =íï
+ >
ïỵ
cosx x f x
x x
tại x=0.
V
(5)Lời giải:
Hàm số xác định với xỴ ¡ Ta có ( )0 cos 0
f = - =
( ) ( )
0
lim lim cos cos 0
x® - f x =x® - - x = - = . ( )
0
lim lim 1
x x
f x x
+ +
® = ® + = + = .
Do ( ) ( )
lim lim
x x
f x f x
+
-đ đ nờn khụng tn ti limx®0f x( ) Vậy hàm số f x( ) gián đoạn x=0.
Bài 11: Xét tính liên tục hàm số
( )
3
3
1
1
ìïï + £
ïï ïï
=íï +
-ï >
ïï +
-ïïỵ
x x
f x x
x
x x=0.
Lời giải :
Hàm số xác định với xỴ ¡ Ta có : ( )0
2
f =
( )
0
3 lim lim
2
x® - f x x® - x
ỉ ửữ
ỗ ữ
= ỗỗỗố + ữữ= ứ
( ) ( )
( )
( )
2 3
3 2
3
3
0 0
1 1
1 1
1
lim lim lim lim
2
1 1 1
x x x x
x x x
x x
x f x
x x x x
+ + + +
đ đ đ đ
ổ ửữ
ỗ + + + + ữ
ỗ ữ
ỗ ữ + + + +
ỗố ứ
+
-= = = =
+ - + + + +
Do ( ) ( )
lim lim
x x
f x f x
- +
® = ® nên hàm số liên tục x=0.
Bài 12: Tìm m để hàm số liên tục điểm ( )
2 khi 1
2 1
ìï + <
ïï ïï
=íï =
ïï + >
ïïỵ
x x x
f x x
mx x
x=1 Lời giải:
Hàm số xác định với xỴ ¡ Ta có ( )1 =2
f
( ) ( )
1+ 1+ 1
® = ® + = +
lim lim
x f x x mx m .
( ) ( )
1
2
-
-® = ® + =
lim lim
x x
f x x x
Để f x( ) liên tục ( ) ( ) ( )
1 1
+
-® ®
= Û lim =lim = Û + = Û =
x x
x f x f x f m m
Vậy với m=1 hàm số liên tục x=1
(6)( )
2 3 2
khi 1
khi
ìï - +
ïï ¹
ï
=íï
-ïï =
ïỵ
x x
x
f x x
a x
a) Tìm a để hàm số liên tục trái điểm x=1
b) Tìm a để hàm số liên tục phải điểm x=1 c) Tìm a để hàm số liên tục điểm x=1 Lời giải :
Ta có
( )
2 khi
- >
= =
- <
ìïï ïï íï ïï ïỵ
x x
f x a x
x x
a) Để f x( ) liên tục trái x=1 xlim®1- f x( ) tồn xlim®1- f x( )=f( )1 .
Ta có :
xlim®1- f x( )=xlim 2®1-( - x)=1 f( )1 =a.
Vậy với a=1 hàm số liên tục trái x=1
b) Để f x liên tục phải x=1thì xlim®1+ f x( ) tồn xlim®1+f x( )=f( )1 .
Ta có
xlim®1+f x( )=xlim®1+(x- 2)=- 1 f( )1 =a.
Vậy với a=- hàm số liên tục ti x=1
c) Do xlimđ1- f x( )ạ xlimđ1+f x( ) nên hàm số không liên tục x=1.
Bài 1: Cho hàm số f x( ) xác định
( )
2 2 khi 3
3
khi
- - ³
=
< < +
-ìïï ïï íï ïï ïỵ
x x x
f x x
x
x .
Chứng minh hàm số liên tục khoảng (- 1;+¥ ) Lời giải:
● Nếu x>3 Hàm số ( )
2 2
f x =x - x
hàm đa thức nên liên tục (3;+¥ ) ( )1
● Nếu - < <1 x Hàm số
( )
1
x f x
x
-=
+ - Ta có
1
x+ - ¹ với xỴ -( 1; 3).
x- x+ -1 2 liên tục (- 1; 3).
Do hàm số f x( ) liên tục (- 1; 3) ( )2
● Xét x=- Ta có
( ) ( )( ) ( )
3 3
3
lim lim lim lim
3
x x x x
x x
x
f x x
x x
- - -
-® ® ® ®
- + +
-= = = + + =
-+ - .
(7)( ) ( )
3
lim lim
x® +f x =x® + x - x- = . Vì ( ) ( )
lim lim
x x
f x f x
- +
® = ® = nên hàm số f x( ) liên tục x=3 ( )3
Từ ( )1 , ( )2 ( )3 ta kết luận hàm số liên tục khoảng (- 1;+¥ )
Bài 2. Xác định a để hàm số
( )
2 1
khi 1
khi
- ạ
=ỡùùùùớ
-= ùù
ùùợ x
x
f x x
a x
liên tục đoạn é ùë û0 1; Lời giải:
Hàm số xác định liên tục éë0 1; ) Xét bên trái x=1 Ta có
( )1 =
f a
( ) ( )( )
1 1
1
1
1
- -
-® ® ®
- é ù
= = ê + + ú=
ë û
-lim lim lim
x x x
x
f x x x
x .
Để hàm số liên tục bên trái xlim®1- f x( )=f( )1 Û 4=a.
Vậy với a=4 hàm số liên tục é ùë û0 1;
\
Thường hay sử dụng định lý sau :
1 Định lý: Nếu hàm số f x( ) liên tục đoạn é ùë ûa b; f a f( ) ( ) <0 tồn số cỴ ( )a b; cho f c( )=0
2 Hệ quả: Nếu hàm số f x( ) liên tục đoạn é ùë ûa b; f a f( ) ( ) <0 phương trình f x( )=0 có nghiệm khoảng ( )a b; .
3 Chú ý.
● Nếu f a f( ) ( ). £0 phương trình có nghiệm thuộc é ùë ûa b;
● Nếu f x( ) liên tục é +Ơởa; ) v ( ) ( ) đ+Ơ < lim
x
f a f x
phương trìn f x( )=0 có nghiệm thuộc (a;+¥)
● Nếu f x( ) liên tục (- Ơ ;bựỷ v ( ) đ- Ơ ( ) < lim
x ff x
phương trình f x( )=0 có nghiệm thuộc (- ¥ ;b). ● Để chứng minh f x( )=0 có n nghiệm é ùë ûa b; , ta chia đoạn é ùë ûa b; thành n đoạn nhỏ rời nhau, chứng
minh khoảng phương trình có nghiệm
Bài Chứng minh phương trình
a) x2cosx+xsinx+ =1 có nghiệm thuộc khoảng (0;p)
b) x3+ + =x có nghiệm âm lớn -
c) x4- 3x2+5x- 6=0 có nghiệm thuộc khoảng ( )1 2; Lời giải :
a) Xét hàm số ( )
2 1 0
= cos + sin + =
f x x x x x
đoạn é ùë û0;p Hàm số f x( ) liên tục đoạn éë0;pùû
(8)Mặt khác ( )
( ) 2
0
1
ìï = > ïï
íï = + + = - <
ïïỵ cos sin
f
f p p p p p p
suy f( ) ( )0 . p <0
Do tồn số cỴ (0;p) cho f c( )=0 nghĩa phương trình x2cosx+xsinx+ =1 có nghiệm thuộc khoảng (0;p)
b) Xét hàm số ( )
3
1
= + + =
f x x x
đoạn é-ë1 0; ùû Hàm số f x( ) liên tục đoạn é-ë1 0; ùû
Mặt khác ( ) ( )
1 0 ìï - =- < ïïí
ï = > ïïỵ
f f
suy f( ) ( )- . <0
Do tồn số cỴ -( 1; 0) cho f c( )=0 nghĩa phương trình x3+ + =x có nghiệm âm lớn hơn-
c) Xét hàm số ( )
4 3 5 6 0
f x =x - x + x- =
đoạn é ùë û1; Hàm số f x( ) liên tục đoạn é ùë û1;
Mặt khác ( ) ( )
1 32
f f
ìï =- < ïïí
ï = >
ïïỵ suy f( ) ( )1 <0
Do tồn số cỴ ( )1; cho f c( )=0 nghĩa phương trình x4- 3x2+5x- 6=0 có nghiệm thuộc khoảng ( )1;
Bài 2: Chứng minh phương trình
a) x3+mx2- =1 ln có nghiệm dương
b) ( )
3
1
- + = +
x mx m
ln có nghiệm lớn Lời giải :
a) Xét hàm số ( )
3 1
= +
-f x x mx
¡ Hàm số f x( ) liên tục ¡ Ta có
● f( )0 =- <1 0. đ+Ơ ( )
= +Ơ lim
x f x nên tồn c>0 để f c( )>0. Suy f( ) ( )0 .c <0
Vậy phương trình f x( )=0 ln có nghiệm thuộc khoảng ( )0;c hay phương trình x3+mx2- =1 ln có nghiệm dương
b) Đặt t= x- Điều kiện: t³
Khi phương trình trở thành t3+mt2- =1 Xét hàm số ( )
3 1
f tt=mt+
-trên é +¥ë0; ) Hàm số f t( ) liên tục é +¥ë0; ) Ta có ● f( )0 =- <1 0.
● ( )
lim
tđ+Ơ f t = +Ơ nờn tn ti c>0 để f c( )>0. Suy f( ) ( )0 .c <0
Do phương trình f t( )=0 ln có nghiệm t0 thuộc khoảng ( )0;c Khi x- 1=t0Û x=t02+ >1
Vậy phương trình ( )
3
1
x- +mx= +m
ln có nghiệm lớn hon
Bài 3: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm
a) x5- 3x+ =3 0. b) x4+x3- 3x2+ + =x 0.
Lời giải:
a) Xét hàm số ( )
5 3 3
(9)Ta có ( ) ( )
2 32 17 0
f f
ìï - =- + + =- <
ïïí
ï = >
ïïỵ suy f( ) ( )- . <0
Mà ( )
5 3 3
f x =x - x+
đa thức nên liên tục é-ë2 0; ùû
Vậy phương trình x5- 3x+ =3 có nghiệm (- 0; ) b) Xét hàm số ( )
4 3 1
f x =x +x - x + +x
Ta có ( ) ( )
1 1 1 0
f f
ìï - = - - - + =- < ïïí
ï = >
ïïỵ suy f( ) ( )- 1. <0
Mà ( )
4 3 1
f x =x +x - x + +x
đa thức nên liên tục é-ë1 0; ùû
Vậy phương trình x4+x3- 3x2+ + =x có nghiệm (- 0; )
Bài 4: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm
a) ( )( )
2
1- m x+1 +x - x- 3=0
. b) ( )
2 5 1 0
m + +m x +x - =
.
c) ( ) ( ) ( )( )
4
1
m x+ x- - x- x- =
.
Lời giải :
a) Xét hàm số ( ) ( )( )
3
2
1
f x = - m x+ +x - x -
Ta có ( )
( )
1 2 , f
f m m
ìï - =- < ïï
íï - = + > "
ïïỵ suy f( ) ( )- . - <0
Mà ( ) ( )( )
3
2
1
f x = - m x+ +x - x
đa thức nên liên tục éë- 2;- 1ùû Vậy phương trình ( )( )
3
2
1- m x+1 +x - x- 3=0
có nghiệm (- 2;- 1)với giá trị m
b) Xét hàm số ( ) ( )
2 5 1
f x = m + +m x +x -
Ta có ( )
( ) 2
0
1 19
1
2 , f
f m m m m
ìï =- < ïï
ïïí ỉ
ï = + + =ỗ + ữữ+ > "
ù ỗ ữ
ù ỗỗố ữứ
ùùợ suy f( ) ( )0 . <0
Mà ( ) ( )
2 5 1
f x = m + +m x +x
đa thức nên liên tục é ùë û0 1;
Vậy phương trình ( )
2 5 1 0
m + +m x +x - =
có nghiệm ( )0 1; với giá trị m
c) Xét hàm số ( ) ( ) ( ) ( )( )
4
1
f x =m x+ x- - x- x -
Ta có ( ) ( )
1 16 81
f m
f m
ìï
=-ïïí
ï =
ïïỵ suy f( ) ( )1 .m3 =-16 81 .
● Nếu m=0 phương trình có nghiệm x=1 x=3 ● Nếu m¹ ( ) ( )
2
1 . 16 81 .
f m =- <
Mà ( ) ( ) ( ) ( )( )
4
1
f x =m x+ x- - x- x
đa thức nên liên tục é ùë û1 3; nên phương trình cho có nghiệm ( )1; với giá trị m
Vậy phương trình cho ln có nghiệm với m
Bài Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm
(10)c)
1
cosx- sinx=m. Lời giải :
a) Xét hàm số f x( )=cosx+mcos2x liên tục ¡
Ta có
2
4 2
3 3
4 2
cos cos
cos cos
f m
f m
p p p
p p p
ỡù ổ
ù ỗ ữ
ù ỗ ữữ= + =
ù ỗố ứ ùùớ
ù ổ
ù ỗ ữ
ù ỗ ữ= +
=-ù ỗố ứữ
ùùợ suy
3
0
4 ,
fỗỗỗố ứ ố ứổ ổ ửpữữữìmỗỗỗ p÷÷÷=- < " Vậy phương trình cosx+mcos2x=0 có nghiệm
3 4; p p
ổ ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứvi mi giỏ tr ca m.
b) Xét hàm số f x( )=m(2cosx- 2)- 2sin5x- liên tục ¡
Ta có
2
1
f f
p p ì ỉ
ï ÷
ù ỗ ữ=
-ù ỗ ữỗ ù ỗố ứữ ùùớ
ù ổ ù ỗ- ữữ=
-ù ỗ ữ
ù ỗỗố ữứ
ùùợ suy f .m4 0,
p p
ổ ổ ửữ ữ ỗ- ữ ỗ ữ< "
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ .
Vậy phương trình m(2cosx- 2)=2sin5x+1 có nghiệm 4 ; p p
ổ ửữ
ỗ- ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứvi mi giỏ tr ca m.
c) Điều kiện: x k p ¹
, (kẻ Â)
Phng trỡnh ó cho tng ng với sinx- cosx- msin cosx x=0 Xét hàm số f x( )=sinx- cosx- msin cosx x liên tục đoạn
0 ;p
é ù
ê ú
ê ú
ë û.
Ta có
( )0 1 0
f f p ìï =- < ïïï ỉ ư
ớ ỗ ữ
ù ỗ ữ= >
ù ỗ ữ
ù ố ứ
ùợ suy f( )0 m2 0,
p ỉ ư÷ ỗ ữ
ìỗ ữỗố ứ=- < "
Vậy phương trình f x( )=0 có nghiệm thuộc khoảng
2 ;p ỉ ư÷
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ cú ngha phương trình
1
cosx- sinx=m ln có
nhất nghiệm thuộc khoảng 0;
2
p
ổ ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ
Bi Chứng minh phương trình
a) 4x4+2x2- x- 3=0 có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (- 1; ) b) x5- 5x4+4x- =1 có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0 5; ) Lời giải:
a) Xét hàm số ( )
4
4
f x = x + x - x
liên tục ¡
Ta có ( )
( ) f
f ìï - = ïïí
ï
=-ïïỵ suy f( ) ( )- 1. =- 12<0
Do phương trình có nghiệm thuộc khoảng (- 0; )
Ta có ( ) ( )
0 f f
ìï
=-ïïí
ï =
ïïỵ suy f( ) ( )0 . =- <6
Do phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( )0 1; Vậy phương trình 4x4+2x2- x- 3=0 có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (- 1; ) b) Xét hàm số ( )
5 5 4 1
f x =x - x + x
liên tục ¡
Ta có
( )0 1 23
0 32 f
f
ỡù =- < ùùù ổử
ớ ỗ ữ
ù ỗ ữ= > ù ỗ ữỗ ữ ù ố ø
ïỵ suy ( )
1
0
2 . f ổửỗ ữ<ỗ ữỗ ữữ
ỗố ứ Do ú phng trỡnh có nghiệm thuộc khoảng
2 ; ổ ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ÷
(11)Ta có ( ) 23
0 32 1 f
f ì ỉư
ï ÷
ï ç ÷= > ï ç ÷ ï ç ÷çè ø íï
ï =- <
ïïỵ suy ( )
1
1 .
fổửỗ ữỗ ữỗ ữữ <
ỗố ứ Do phương trình có nghiệm thuộc khoảng
1 2; ổ ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ.
Ta có ( ) ( )
1 19 f
f
ìï =- < ïïí
ï = >
ïïỵ suy f( ) ( )1 <0
Do phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( )1 5; Vậy phương trình x5- 5x4+4x- =1 có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 5)
Bài 7.Chứng minh phương trình
a) 2x2+3x- 4=0 có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (- 1; ) b) x3- 3x2+ =3 có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (- 3; ) c) 2x+6 13 - x=3 có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (- 9; ) Lời giải :
a) Xét hàm số ( )
2
2
f x = x + x
liên tục (- 1; )
Ta có ( )
( )
3 0 f
f
ìï - = > ïïí
ï =- <
ïïỵ suy f( ) ( )- . <0
Do phương trình có nghiệm thuộc khoảng (- 0; )
Ta có ( ) ( )
0 1 f
f
ìï =- < ïïí
ï = >
ïïỵ suy f( ) ( )0 . <0
Do phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( )0 1; Vậy phương trình 2x2+3x- 4=0 có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (- 1; )
b) Xét hàm số ( )
3 3 3
f x =x - x +
liên tục (- 3; )
Ta có ( )
( )
1 0 f
f
ìï - =- < ïïí
ï = >
ïïỵ suy f( ) ( )- 1. <0
Do phương trình có nghiệm thuộc khoảng (- 0; )
Ta có ( ) ( )
0 f
f
ìï = > ïïí
ï =- <
ïïỵ suy f( ) ( )0 . <0
Do phương trình có nghiệm thuộc khoảng (0 2; )
Ta có ( ) ( )
2 3 f
f
ìï =- < ïïí
ï = >
ïïỵ suy f( ) ( )2 . <0
Do phương trình có nghiệm thuộc khoảng (2 3; ) Vậy phương trình x3- 3x2+ =3 có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (- 3; )
c) Đặt t= -31 x Khi phương trình trở thành 2tt3- + =1 Xét hàm số ( )
3
2
f tt= t - +
liên tục ¡ Ta có :
f( )- =- 0; f( )=1 1; ( )=- 2; ( )=5 Do :
● f( ) ( )- . =- <3 Do phương trình có nghiệm t1Ỵ -( 0; ) suy
3
1 1
x = - t
thuộc ( )1 9; ● f( ) ( )0 . =- <3 Do phương trình có nghiệm t2Ỵ ( )0 1; suy
3
2
x = - t
thuộc ( )0 1; ● f( ) ( )1 . =-15<0 Do phương trình có nghiệm t3Ỵ ( )1 2; suy
3
3
x = - t
thuộc (- 0; ) Vậy phương trình 2x+6 13 - x=3 có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (- 7; 9)
Bài 8. Tìm m để phương trình ( )
3 3 2 2 3 0
x - x + m- x+ -m =
có ba nghiệm phân biệt x1, x2,x3 thỏa mãn x1<- <1 x2<x3
Lời giải :
Xét hàm số ( ) ( )
3 3 2 2 3
f x =x - x + m- x+ -m
(12)● Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 cho x1<- <1 x2<x3
Khi : f x( ) (= x- x1)(x- x2)(x- x3)
Ta có f( ) (- = - -1 x1) (- -1 x2)(- -1 x3)>0 (do x1<- <1 x2<x3).
Mà f( )- =- m- 5, suy - m- 5> Û0 m<- ● Điều kiện đủ: Ta cú
xđ- Ơlim f x( )=- Ơ nên tồn a<- 1 cho f a( )<0. ▪ Do m<- nên f( )- =- m- 5>0
▪ f( )0 = -m 3<0
▪ ( )
lim
xđ+Ơ f x = +Ơ nên tồn b>0 cho f( )>0. Vậy m<- thỏa mãn yêu cầu toán
Bài Chứng minh phương trình x4- x- 3=0 ln có nghiệm x0 thỏa mãn điều kiện x0>712.
Lời giải : Xét hàm số ( )
4 3
f x =x - x
liên tục ¡
Ta có ( ) ( )
0 11 f
f
ìï =- < ïïí
ï = >
ïïỵ suy f( ) ( )0 . <0
Do phương trình x4- x- 3=0 có nghiệm x0Ỵ (0 2; )
Vì x0 nghiệm phương trình nên x40- x0- 3= Û0 x04=x0+3 x0>0.
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
4 7
0 3 3. 12 12
x =x + ³ x Û x ³ x Û x ³ Û x ³
Dấu "=" xảy khi: x0=3 Do x0Ỵ (0 2; ) nên đẳng thức khơng xảy ra.
Vậy phương trình: x4- x- 3=0 ln có nghiệm x0 thỏa mãn điều kiện x0>712. Bài 10. Chứng minh m<- phương trình ( ) ( ) ( )
2
3m + -m x + 3m- x + m+1 x- 3=0
có nghiệm thuộc khoảng (- 1; )
Lời giải:
Xét hàm số ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3
f x = m + -m x + m- x + m+ x
liên tục é-ë1 1; ùû
Ta có ●
( )1 (3 1) (3 2) ( 1) 3 3 5 3 59 0
6 12 , f - =- m + -m + m- - m+ - =- m + -m =- ỗổỗỗm- ữữửữữ- < "m
ỗố ứ .
( )1 (3 1) (3 2) ( 1) 3 3 5 5 3 85
6 12 f = m + -m + m- + m+ - = m + m- = ỗổỗỗỗốm+ ữữửữữ
-ứ
Theo giả thiết, ta có
5 13
6 m<- Û m+
<- Suy
2
5 169 85
6 36 12
m m
ổ ửữ ổ ửữ
ỗ + ữ> ỗ + ữ- >
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ỗ
è ø è ø
Do m<- f( ) ( )- 1. <0 nên phương trình ( ) ( ) ( )
2
3m + -m x + 3m- x + m+1 x- 3=0
có nghiệm thuộc khoảng (- 1; )
Bài 11 Cho a b c, , số thực khác Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm a) ax2+bx+ =c với 2a+3b+6c=0
b) ax2+bx+ =c với
0
2
a b c
(13)Lời giải:
a) Xét hàm số ( )
2
f x =ax +bx+c
liên tục ¡
Ta có ( )0
2 4 4
2
3 3 12
f c
a b c a b c c c
f a b c a b c
ìï =
ïïï ỉư ỉ ư ỉ ư ỉ ư
í ỗ ữ ỗ ữ ỗ + + ữ ỗ ữ
ù ỗ ữ= + + = ỗ + + ữ= ỗ ữ= ỗ + + - ữ
=-ù çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷
ï è ø è ø è ø è ø
ïỵ .
Suy
( )0 2 3
. c
f ổửỗ ữ=-ỗ ữỗ ữữ Ê ỗố ứ
Vy phng trỡnh ax2+bx+ =c với 2a+3b+6c=0 ln có nghiệm b) Xét hàm số ( )
2
f x =ax +bx+c
liên tục ¡
Ta có ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
0
1
1
2
2 2 1
f c
c
m c m
m a b
m m f
m m m m m
ìï =
ïï
ï é ù
-ïï ỉ ư + + =
ớ ỗ + ữ ỳ
ù ỗ ữ= ờ + + ỳ +
ù çç ÷÷
ï è + ø + ê + + ú
ï ê + ú
ï ë û
ïỵ .
Suy
( )0 ( )
2
. m c
f
m m m
æ + ữử
ỗ ữ=- Ê
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ +
ố ứ +
Vậy phương trình ax2+bx+ =c với
0
2
a b c
m+ +m+ +m= m>0 ln có nghiệm. Nhận xét Câu a) trường hợp đặc biệt câu b) với m=1
Bài 12 Chứng minh 2a+3b+6c=0 phương trình atan2x+btanx+ =c có nghiệm khoảng
; kp p kp
æ ửữ
ỗ + ữ
ỗ ữ
ỗố ø
Lời giải :
Xét phương trình
2 0
tan tan
a x+b x+ =c ( )1
Đặt t=tanx với x thuộc ; kp p kp
ỉ ư÷
ỗ + ữ
ỗ ữ
ỗố ứ
, suy tỴ ( )0;1 Khi phương trình trở thành : at2+bt+ =c ( )2
Bài tốn trở thành chứng minh phương trình ax2+bx+ =c với 2a+3b+6c=0 ln có nghiệm thuộc khoảng ( )0 1;
(Xem Bài 1)
Bài 13 Chứng minh phương trình bậc ba ax3+bx2+cx+ =d (a¹ 0) ln có nghiệm Lời giải
Xét hàm số ( )
3
f x =ax +bx +cx+d
liên tục ¡ ● Nếu a>0
( ) lim
xđ- Ơ f x =- ¥ nên tồn x1<0 để f x( )1 <0.
( ) lim
xđ+Ơ f x =+Ơ nên tồn x2>0 để f x( )2 >0.
Suy f x( ) ( )1 .f x2 <0 nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng (x x1; 2) ● Nếu a<0
( ) lim
xđ- Ơ f x =+Ơ nờn tồn x1<0 để f x( )1 >0.
( ) lim
xđ+Ơ f x =- Ơ nờn tồn x2>0 để f x( )2 <0.
(14)Bài 14 Chứng minh phương trình bậc bốn ax4+bx3+cx2+dx+ =e với a e <0 có nghiệm Lời giải :
Xét hàm số ( )
4
f x =ax +bx +cx +dx+e
liên tục ¡ Từ giả thiết a e. <0, ta giả sử a>0 suy e<0
Ta có
( )0 f = <e
( ) lim
xđ+Ơ f x = +Ơ (do a>0) nờn tồn x0>0 để f x( )0 >0.
Suy f( ) ( )0 .x <0 nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng (0;x0)
Vậy phương trình bậc bốn ax4+bx3+cx2+dx+ =e với a e. <0 ln có nghiệm
Bài 15.Cho a b c, , ba số dương phân biệt Chứng minh phương trình
( )( ) ( )( ) ( )( )
a x b x c- - +b x a x c- - +c x a x b- - = ln có hai nghiệm phận biệt
Lời giải :
Do vài trò a b c, , nên ta giả sử a< <b c
Xét hàm số f x( )=a x b x( - )( - c)+b x c x a( - )( - )+c x a x b( - )( - ) liên tục ¡ Ta có fb b c b a( )= ( - )( - )<0 hệ số x2 f x( ) a+ + >b c
Do phương trình f x( )=0 ln có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn x1< <b x2.
Nhận xét Ở ta sử dụng sở lý thuyết: ax2+bx+c có hai nghiệm x1< <a x2 Û a f. ( )a <0.
C BÀI TẬP :
Bài : Xét liên tục hàm số sau:
1.
( )
2
6
x
1
-
x x
x f x
x
ìï - +
ïï ¹
ïï
-=í ïï
ï =
ïïỵ tại x0=2.
2.
( )
2 4
2
-4 x
x
f x x
x ìï
-ïï ¹
-ï =í +
ïï
=-ïïỵ tại x0=- 2.
3.
( )
2
3
1
1
x x
x
f x x
x
ìï - +
ïï ¹
ï
=í
-ïï
ï =
ïỵ tại x0=1.
4.
( ) x 2
1 x x
f x x
ìï -
-ïï ¹
ï
=í
-ïï =
ïïỵ tại x0=2.
5.
( )
2
1
1-1
x f x
x
x x
ìï
-ï =
ïï ïï =íï
+
ïï ¹
ïïïỵ tại x0=0.
9.
( )
3
2
1
1
x x x
x
f x x x
x
ìï - -
-ïï ¹
ï
=í - +
ïï
ï =
ïỵ tại x0=1.
10.
( )
3 1
1
-3
x x x
x
f x x
x
ìï - -
-ïï ¹
ï
=í
-ïï =
ïïỵ tại x0=1.
11.
( ) - sin x
x
f x x
x p
p
ìïï ạ
ùù
=ớ
-ùù =
ùùợ tại x0=1.
12.
( )
1
cos sin
x
x x
f x
x ìï
-ïï ¹
ïïï =í ïï
ï =
ïïïỵ tại x0=0.
13.
( )
3
3
1
1
x f x
x
x x
ìïï =
ïï ïï
=íï +
-ï ¹
ïï +
-ïïỵ tại x0=0.
14.
( )
2
2
cos
sin
x
f x x
x x
ìï =
ïïï
=í -ù ạ
ùù
ùợ ti x0=0
(15)6.
( )
2
1
3
x f x
x x x
x x x ìïï = ïï ïï =íï - - - -ïï ¹ ïï - +
ïỵ tạix0=1
7.
( )
2 7 8
8
-9
x x
x
f x x
x ìï + -ùù -ù =ớ + ùù =
ùùợ tạix0=-
8. ( ) 2
6 10 16 2 x x x
f x x
x x x x ìï -ï > ïï + -ïï ï = -íï = ïï - + ïï < ï
-ïỵ x0=2
15.
( )
2
0 1-1
x
f x x
x x x ìï = ïï ï =íï + ¹ ïï ï
-ỵ x0=0
16.
( )
( )2
2
3
1
khi
2 1 x x x x
f x x
x x x ìïï - + -ïï > ïï ïï ï =íï = ïï -ïï < ïï +
ïïỵ tạix0=1
Bài : Định a để hàm số liên tục điểm xo cho trước
1 ( )
( )
2 2
2
1 x -
x x
x
f x x
a x ìï - -ïï ¹ ï =í -ïï + =
ïïỵ tại x0=2
2 ( )
4
2
3
1
a +
x x
x
f x x
x ìï - + ïï ¹ ï =í -ïï ï =
ïỵ tại x0=1
3
( ) 25 - 9a
x
x
f x x
x ìï -ïï ¹ ï =í + ïï ï =
ïỵ tại x0=4
4 ( )
1
2a + x x x x f x x x x ìï - - + ïï ¹ ïï =íï -ï = ïï +
ïỵ tại x0=0
5
( )
3
a.x +1 x
x
f x x x
x ìï + -ïï ¹ ï =í - + ïï ï =
ïỵ tại x0=1
6
( ) ( )
3
2
1
7
2 + 2a -
x
x x
f x
a a x
ìï -ïï ¹ ïï -ï =í ïï ï - =
ïïïỵ tại x0=1
7
( )
1
x + ax + x
x
f x x
x ìï -ïï ¹ ï =í + -ïï ï =
ïỵ tại x0=1
8 ( )
2 7 8
8
a -
x x
x
f x x
x ìï + -ïï ¹ -ï =í + ïï =
ïïỵ tại x0=2
9 ( )
3 2 2
1
-9a -
x x x
x
f x x
x ìï - + -ùù ù =ớ -ùù =
ùùợ tại x0=1
10 ( )
3
3
1 10
3a - 12 + x
x x
x
f x x x
x ìï + - -ïï ¹ ï =í -ïï ï =
ïỵ tại x0=7
11 ( )
2
2
10 2
-ax +5a
x x x x
x
f x x
x ìïï + + - - + ï ¹ ïï =í -ïï ï = ïïỵ
tại x0=2
12
( ) ( )
2
3
2011 2011
1-2a
.
x x
x
f x x
x ìï + - -ùù ù ù =ớ ùù ù = ùùợ
tại x0=0
13 ( )
3 2
5
1
a -
x x
x
f x x
x ìïï - - + ï ¹ ï =í -ïï ï =
ïỵ tại x0=1
14 ( )
3
1
1
9 x
x
f x x
x a x
ìï -ïï ¹ ï =í -ïï ï - - =
ïỵ tại x0=1
15 ( )
3 1 1
2 1
a +
x x
x
f x x x
x ìï - + + ïï ¹ ï =í + - + ïï ï =
ïỵ tại x0=0
16 ( )
4
2
4
1
3 x
x
f x x
a a x
ìï -
-ïï ¹
ï
=íï
-ïï - + =
ïỵ tại x0=1
Bài 1: Chứng minh phương trình :
1 3x3+2x- 2=0 có nghiệm 7.
4
+ - + =
x x x có hai nghiệm thuộc (- 2;1).
(16)2 2x3- 5x2+ + =x có hai nghiệm
3 x3- 2x2+3x- 7=0 có nghiệm lớn 4x4+2x2- x- 3=0 có hai nghiệm thuộc (- 1;1).
5 x4- -x 3=0 có nghiệm x0Ỵ ( )1; và 0> 12
x
6 x5- -x 2=0 có nghiệm 0>
x
8.x5+7x4- 8x3- 9x2+11x+ =2 có nghiệm 2x+6 13 - x=3 có ba nghiệm thuộc (- 7; 9).
10 x3+m x 2- =1 có nghiệm dương
11.4x10- x4- =1 có nghiệm nghiệm phân biệt x0 sao cho
8
1
<x <
Bài : Cho hàm số ( )
2 5 2 2
+
-= +
x x
f x
x .Chứng minh tồn điểm cỴ (0; 2) sao cho f c( )=- 0,8
Bài : Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm :
1 ( ) ( )
5
- - +2 - 3=0
m x x x
2 ( )
2+ +1 3+2 - 2=0
m m x x
3 (x- ) (x- 3)- m x.( +1 ) (x- 2)=0
4 ( ) ( )
2
+3 - +2 + =1
m x x x
5.( )
3+ . 3- 2. 2+ =3 0
m m x x
6 x5+ -x3 4x+ =1
7 ( ) ( )
4+ +2 3- 8 +6 + =1 0
m m x x
8 ( )
2+2 +2011 2011+2 - 2=0
m m x x
9 ( )
2+1 3- 2 2. 2- 4 + 2+ =1 0
m x m x x m
10 ( ) ( )
5
9 5- m x - m - x - =1
Bài : Chứng minh phương trình : ( ) ( ) 1 2 3
x +m x- x - =
ln có hai nghiệm phân biệt "m
Bài : Chứng minh phương trình : ( )
10 1 2011 1024 0
x + m + +m x - =
ln có nghiệm dương "m
Bài 6** : Cho hàm số : ( )
2
2 3
y= m x + + m + x - x+m
( m tham số ) CMR : pt y¢=0 ln có nghiệm "m.
Bài : Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm :
1 cosx+m cos x =0
2 m sin x +3.(sinx cos x- )=0
3 ab x( - a x b)( - )+bc x b x c( - )( - )+ac x c x a( - )( - )=0
4 ( )( ) ( )
2011 2012
2010 1 1 2 1000 500 0
m + x- x+ + x+ =
5 ( ) ( )
3
4m+1 x - m+1 x+ =m
6 x3+2ax2+bx+ =c
7 (x- a x b)( - ) (+ -x b x c)( - ) (+ -x c x a)( - )=0
8 ( ) ( ) ( )
3
1 2
m x- x- + m+ x- m- =
9 m x( - 1)(x+ +2) 2x+ =1
10 ( )( )( )
2002
3 1 2001 1 2 2 3 0
m - x - x+ + x+ =
Bài : Cho phương trình : ( )
2 0 0
ax +bx+ =c a¹
Chứng minh phương trình cho có nghiệm thuộc ( )0;1 Nếu thỏa điều kiện :
1 2a+3b+6c=0 12a+15b+20c=0
3 ( )
0
2
a b c
m m+ +m+ +m= " >
Bài 9** : Cho hàm số f : 0;1é ù é ùë û ë û® 0;1 , liên tục Chứng minh tồn số thực cỴ ë ûé ù0;1 cho f c( )=c
Bài 10**: Chứng minh phương trình : ( )
( ) ( )
α f a β f
f x
α β
+ =
+
có nghiệm é ùë ûa b; với f x( ) hàm số liên tục trêné ùë ûa b;
,
α β hai số dương
Bài 11** : Sử dụng giới hạn đặc biệt lim
x
x
e x
®
- =
chứng minh hàm số x