Ghi chú:Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa..[r]
(1)SỞ GD&ĐTNGHỆ AN
TRƯỜNG THPT NGUYỄN DUY TRINH ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI TỈNHLỚP 11- NĂM HỌC 2019-2020 Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu (7,0 điểm). Giải phương trình sau:
a)
2 2
sin cos 2sin sin sin
2
x
x x x x
b) x 4 3 x 12 x x x 2x5
Câu (7,0 điểm).
a)Có số tự nhiên có chữ số cho số có chữ số xuất hai lần, chữ số lại xuất khơng q lần
b)Giải hệ phương trình
3
( , )
5
3 2
2
x y x y
x y x
y xy y
Câu (4,0 điểm).
a)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABCvuông C, có phân giác AD với
7
( ; )
2
D
thuộc BC Gọi EvàFlần lượt thuộc cạnhABvà ACsao cho
AE AF Đường thẳng EF cắt BC K Biết
3
( ; )
2
E
, Fcó hồnh độ nhỏ phương trình đường thẳng AK x 2y 0 Viết phương trình cạnh tam giác ABC
b) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng :d x y 0 đường tròn
T : x12y42 5 Từ điểmM thuộc đường thẳngd kẻ hai tiếp tuyến MA MB, (A B, các
tiếp điểm) cát tuyến MCD đến đường tròn T với C nằm M D; AB cắt CD N . Tìm tọa độ điểm Mbiết CD1
5
ND
Câu (2,0 điểm) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn x y z 3 Chứng minh rằng:
2
4 4
x y z y z x z x y
xyz
yz zx xy
HẾT
(2)HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ Mơn: TỐN
Câu Đáp án Điểm
1
(7,0đ) a) (3,5đ) Giải phương trình
2 2
sin cos 2sin sin sin
2
x
x x x x
(1)
(1) 1 2sin cosx x 1 cosx2 sin2x4sinx sinx 0,5
2 4sinx 2sin cosx x cosx 2 sin2x 3 sinx
1,0
2 2sinx cosx 2sinx sinx 2sinx
2sinx 1 sinx cosx 2
2sin
3 sin cos
x
x x
1,0
+) sinx cosx sin x
2 ,
6
x k x k k
0,5
+)
2
1
2sin sin
5
2
x k
x x k
x k
Vậy phương trình cho có nghiệm
5
2 , ,
3 6
x k x k x k k
0,5
b) (3,5đ) Giải phương trình x 4 3 x 12 x x x 2x5
ĐK:
5
3
2 x
Đặt
2
2
4 12 , ( 0)
2
t
t x x x x t 0,5
Khi phương trình trở thành: 7
1
2
t
t x x
1,0
Suy t2 + 2t = a2 + 2a vớia 2x5, (a0) (t a t a )( 2) 0 t a 1,0 Với t a ta có x 4 3 x 2x 5 12 x x x
1 89
4
x 1,0
2
(7,0đ) a) (3,5đ) xuất hai lần, chữ số cịn lại xuất khơng q lần.Có số tự nhiên có chữ số cho số có chữ số +TH1: Chữ số xuất lần
Có C32cách chọn vị trí cho chữ số
Có A92cách xếp chữ số chữ số vào vị trí cịn lại Vậy có C A32. 92số có chữ số thỏa mãn trường hợp
1,0
+TH2: Chữ số a (khác 0) xuất lần a vị trí (vị trí hàng nghìn)
Có cách chọn a
(3)A
E Có cách chọn thêm vị trí cho a
Có A92cách xếp chữ số chữ số vào vị trí cịn lại Vậy có 9.3.A92số có chữ số thỏa mãn trường hợp
+TH3: Chữ số a (khác 0) xuất lần a không xuất vị trí hàng nghìn
Có cách chọn a
Có C32 cách chọn vị trí cho chữ số a
Có cách chọn chữ số (khác khác a) vào vị trí hàng nghìn Có cách chọn chữ số vào vị trí cịn lại
Vậy có 9.8.8.C32số có chữ số thỏa mãn trường hợp
1,0
Vậy có C A32. 92 9.3.A92 9.8.8.C32 3888số thỏa mãn đề 0,5
b) (3,5đ) Giải hệ phương trình
3 (1)
5
3 2 (2)
2
x y x y
x
y xy y
ĐK:
2
; 5;3
3
y x y x
2
(1) ( 3) 4(3 )( 1) ( 9)( 1)
2
x y
PT x y x y x y x y
x y
1,0
TH1: x6y
Từ PT (1), x3 6y 93 y1 Suy hệ PT vô nghiệm 0,5 TH2: x2y1 Thay vào PT (2) ta có
2 2( 2)
3 2 (2 1)( 2)
3 2
y
y y y y y y
y y
1,0
2
2
3 2
y
y
y y
PT
2
2
3y 2 y2 y vơ nghiệm
2
;
2
3y 2 y2 y
Vậy hệ PT có nghiệm (x; y) với x3,y2
1,0
3
(4,0đ) a) (2,0đ) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy, cho tam giác ABCvng C, có phân giác AD với
7
( ; )
2
D
thuộc BC Gọi EvàF lần lượt thuộc cạnhAB ACsao cho AEAFĐường thẳng EFcắt BC K Biết
3
( ; )
2
E
, Fcó hồnh độ nhỏ phương trình đường thẳng AK x 2y 0 Viết phương trình
các cạnh tam giác ABC
Gọi I là giao điểm ADvà EF , suy I là trung điểm EF Chứng minh DF AK
(4)B
C D
F I
K
M A
B
C
D N
I K Phương trình DF là: 4x2y 0 Gọi
7
( ; ) ( ; )
2
t t
F t t I (3 ; t), (11 ; )
4
t t
IE ID t
Do IE ID 0 (3 )(11 ) 16( t t t 3)(t 4) 0
2
9
20 140 225
5
t
t t
t
Vì F có hồnh độ nhỏ nên
5
( ; ) (2; 2)
2
F I
1,0
Do đường thẳng ADcó phương trình x y 0 A(1; 1)
Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giácABC là:
: 0; : 0; : 14
AC x y AB x y BC x y
0,5 b) (2,0đ) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOxy, cho đường thẳngd x y: 0 và đường tròn
2
:
T x y M điểm thuộc d, qua M kẻ hai tiếp tuyến
,
MA MB đến ( )T (A B, tiếp điểm) cát tuyến MCD đến đường tròn( )T với
C nằm M D; AB cắt CD N Tìm tọa độ điểm Mbiết CD1 và
9
ND
+ Gọi K trung điểm DC, I tâm đường trịn (T), IK vng góc CD Mà IA vng góc MA suy đường trịn đường kính MI qua I, K, A,B (Kí hiệu đường tròn (T’))
Đường tròn (T) tâm I(1;-4), R2=5.
0,5
+
5 4
1, ,
9 9 18
CD DN NC NK
N điểm ( T) ta có: ND.NC=NA.NB=20/81
(5)Tương N (T’) : NK.NM=NA.NB=20/81 Suy
40
NM
Mặt khác
2 2 2 19 2 385
4 81
IK ID KD R KD IN IK KN
+ Sử dụng định lý cosintrong tam giác INM ta có:
2 2 2 . ( ) IN2 2 . ( )
IM IN NM IN NM cos INM NM IN NM cos INK (*) Với cos
(INM) cos( INK) cos INK( ) KN
IN
, thay vào (*) ta có:IM2=IN2+NM2+2NK.NM=
385 1600 40 2025
25
81 81 81 81 .Vậy IM = 5.
0,5
Vậy giao đường tròn (I;5) (d) cho ta điểm M cần tìm (1;1)
(-4;-4) 0,5
4
(2,0đ) Cho
, ,
x y z số thực dương thỏa mãn x y z 3 Chứng minh rằng:
2
4 4
x y z y z x z x y
xyz
yz zx xy
(1)
Ta có
2 2
9
yz zx xy x y z yz zx xy
1
4 4
y z z x x y
yz yz zx zx xy xy
(2)
0,5 Tacó
2 2
4 2 2
y z yz
yz yz yz yz yz yz yz yz yz
0,5 Do
1 1
2
4 4 2
18 18
2 6
y z z x x y
yz yz zx zx xy xy yz zx xy
yz zx xy
Vậy (2) Suy đpcm
1,0