[r]
(1)CH Đ : NH N D NG TAM GIÁCỦ Ề Ậ Ạ Ch đ 1: NH N D NG TAM GIÁC CÂNủ ề Ậ Ạ
- Các tốn thu c lo i có d ng nh sau: cho tam giác ộ ạ ABC tho mãn m t u ả ộ ề ki n đó, thệ ường cho dướ ại d ng h th c Hãy ch ng minh ệ ứ ứ ABC cân
- Ph i l u ý tính đ i x ng c a toán đ đ nh ố ứ ủ ể ị ướng phép bi n đ i Ch ng h n cân ế ổ ẳ t i C t p trung vào ch ng minh A=B.ạ ậ ứ
- Các toán v nh n d ng tam giác cân có th chia thành lo i nh sau:ề ậ ể LO I I: S D NG CÁC PHÉP BI N Đ I Đ NG TH CẠ Ử Ụ Ế Ổ Ẳ Ứ
T gi thi t đ n k t lu n b ng cách v n d ng h th c lừ ả ế ế ế ậ ằ ậ ụ ệ ứ ượng tam giác, công th c bi n đ i lứ ế ổ ượng giác
Ví d 1.ụ Cho ABC có 2
2 sin
cos
c a
c a B
B
(1) CM ABC cân
Ta th y (1) ch a c y u t góc c nh Đ i v i tốn ta có th CM ấ ứ ả ế ố ố ể ABC cân theo cách A=B ho c a=b.ặ
Tuỳ vào bi u th c c a toán mà ta ch n bi n đ i v góc hay v c nh cho thu n l i ể ứ ủ ọ ế ổ ề ề ậ ợ h n.ơ
Cách 1:
(1)
2
2
2
4 sin
cos
c a
c a B
B
c a
c a B B
2 cos
1 cos
2
Áp d ng đ nh lý hàm Sin ta đụ ị ược:
C A
C A
B B
sin sin
2
sin sin
2 cos
cos
B C B
A C
A B
sínC B A C
A sin 2sin cos cos 2sin sin 2sin cos sin cos sin
2
C B
Acos 2sin sin
4
2sin(AB)sin(A B)2sinC
sinC sin(A B) 2sinC
2
sin(A B)0 AB
ABC cân t i Cạ
Cách 2:
(1)
2
2
4 ) ( cos sin
2 cos
c a
c a B
B B
2 tan
2
a c
B a c
2 2
2
2 2
2 ( )( ) ( ) ( )
tan 1
2 ( ) ( ) ( )
B a c p c p a a c b c a a c b c a a c
a c p p b a c c a b a c c a b a c
2 2 2 2
2
4
(2 ) ( ) 2
( )
ac a
c a c c a b ac c c a ca b b a
c a b a c
a = b ABC cân t i Cạ
Chú ý: Ta có B tan
S B
r p
p b
( )( )( ) ( )( )
tan
2 ( ) ( ) ( )
p p a p b p c
B S p a p c
p p b p p b p p b
Ví d 2.ụ Cho ABC tho ả sin 2cos sin 2cos
3 B B A
A
(2)Giải:
2
3
sin sin
2
(1) tan (1 tan ) tan (1 tan ) (*)
2 2
cos cos
2
A B
A A B B
A B
3 2
(tan tan ) tan tan (tan tan )(1 tan tan tan tan )
2 2 2 2 2
0 , tan , tan
2 2 2
A B A B A B A A B B
A B A B
Vì
Nên tan tan 2
A B A B
ABC B
A
cân t i Cạ NX: T (1) ta có th bi n đ i nh sauừ ể ế ổ
) sin ( cos sin ) sin ( cos
sin A B B B A A
Ti p t c chuy n v đ t th a s chung ta đế ụ ể ế ặ ố ược: sin 0
B A Cách khác:
T (*) ta xét f(x)x(1x2),x0
0 ,
0 ) (
'
x x
x f
f
hàm tăng (0,)
Vì v y: (*) ậ tan2 tan2
A B
f f
tan tan
A B
Chú ý: Trong toán CM tam giác cân ta thường g p v c a bi u th c đ i x ng Trong ặ ế ủ ể ứ ố ứ trường h p ta có th s d ng phợ ể ụ ương pháp hàm s :ố
Tính ch tấ : N u hàm ế tăng (ho c gi m) kho ng (a,b) ặ ả ả Thì : f(u)f(v) uv,u,v(a,b)
LO I II: S D NG B T Đ NG TH CẠ Ử Ụ Ấ Ẳ Ứ
- Khác v i tam giác đ u có vơ s h th c “đ p” thớ ề ố ệ ứ ẹ ường s d ng BĐT đ ch ng minh, ụ ể ứ nh ng h th c đ p c a tam giác cân r t ít.ữ ệ ứ ẹ ủ ấ
- Cho ABC có c nh góc th a mãn m t h th c:ạ ỏ ộ ệ ứ F(A,B,C,a,b,c)=0
CM ABC cân t i C b ng BĐT nh sau:ạ ằ
Dùng BĐT ch ng minh F(A,B,C,a,b,c)ứ
D u b ng x y ch a=b (ho c A=B)ấ ằ ả ỉ ặ V y F(A,B,C,a,b,c)=0 ậ a=b ABC cân t i Cạ
Ví d 3.ụ Cho a,b,c, đ dài c nh c a m t tam giác Bi t r ngộ ủ ộ ế ằ ab
ac bc c b a
p 2
4
CM tam giác tam giác cân Gi i:ả
(1) ( )( ) 2 ( )( )
2
a b c
a b c a c b c a b c a c b
(c a) (c b) (c a c b)( )
(3)Đ (2) x y (3) x y d u đ ng th c T c a=b hay tam giác cho tam ể ả ả ấ ẳ ứ ứ giác cân
NX: T (2) ta hồn tồn có th gi i theo cách thông thừ ể ả ường b ng cách l y bình phằ ấ ương v , ta đế ược:
(ac) (cb)2 0 cacb
* Cách đ cho toán nh n d ng tam giác b ng BĐT Cauchy:ề ậ ằ T a=b ho c A=B ặ
+) Ta bi n đ i v đ đế ổ ế ể ược m t đ ng th c tộ ẳ ứ ương đương Đ t VT=ặ , VP= Áp d ng BĐT Cauchy cho s ụ ố,
T i v trí d u “=” x y ta đạ ị ấ ả ược toán ch ng minh ứ ABC cân t i Cạ
T toán ta có th ti p t c bi n đ i đ đừ ể ế ụ ế ổ ể ược toán ph c t p h n d a vào ứ ự phép bi n đ i tế ổ ương đương hay bi n đ i lế ổ ượng giác
Ví d 4.ụ Cho ABC tho mãn h th c: ả ệ ứ ha p(p a) (1) CM ABC tam giác cân Gi i: Ta có: ả a
c p b p a p p a
s ha
) )( )( (
2
+) Do (1) ( )
) )( )( (
a p p a
c p b p a p p
p b p c a
( )( ) (2)
+) Áp d ng BĐT Cauchy cho s : p-b, p-c ụ ố
) ( ) ( ) )( (
2 p b p c p b p c
a c p b
p
( )( ) (3)
+) D u “=” x y ấ ả p bp c bc
V y t (2) suy (3) x y d u đ ng th c, t c ta có b = c ậ ả ấ ẳ ứ ứ ABC cân t i A.ạ NX: N u không áp d ng BĐT t (2) ế ụ 4(p-b)(p-c)=a2
2
2 )
4 a c b a b c a
a2(c b)2 a2
b c b
c ( )2
Bài t p t luy nậ ự ệ
BT1. Cho ABC th a: ỏ
3 ) cos( ) sin( )
sin(BC CA AB
(1) Tam giác ABC tam giác ?
BT2. Cho ABC th a mãn h th cỏ ệ ứ
tan tan ( ) tan
2
A B a B b A a b
và C≠ 900 (1) CM ABC tam giác cân.
BT3. Cho ABC tho mãn h th c:ả ệ ứ 4(sinB2sinC)3(cosB2cosC)15 (1) CM ABC cân
BT4. Cho ABC tho mãn u ki n ả ề ệ
cos sin
sin A B c
CM ABC cân
BT5. CM u ki n c n đ đ ề ệ ầ ủ ểABC cân cos
0
15 cos 2 cos
2
B A
, bi t C = 120ế
Chủ đề 2: NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG
(4)b ng s đo c a hai góc cịn l i T xa x a Pitago phát hi n m t d u hi u đ nh n d ng ằ ố ủ ệ ộ ấ ệ ể ậ tam giác vuông đ nh lý Pitago Trong ph n xin cung c p m t s d u hi u ị ầ ấ ộ ố ấ ệ đ nh n bi t tam giác vuông.ể ậ ế
Đ nh n d ng tam giác vuông ta thể ậ ường đ a v m t s d u hi u sau đây:ư ề ộ ố ấ ệ sinA = cosA = sin2A =
4 cos2A = -1 tan 1
A
6 tanA = cotanB sinA=Sin(B-C) a2 = b2 + c2
LO I I:S D NG PHẠ Ử Ụ ƯƠNG PHÁP BI N Đ I TẾ Ổ ƯƠNG ĐƯƠNG
Ví d 5.ụ Ch ng minh r ng ứ ằ ABC tho mãn: ả sin 22 Asin 22 Bsin 22 C2 (1) ABC vng
Ta có: sin2A + sin2B +sin2C =2+2cosA.cosB.cosC
T (1) suy cosA.cosB.cosC =0
BC
cos cos
0 cos
A C
B A
vng
Ví d 6.ụ Cho tam giác ABC thoã mãn h th c rệ ứ c = r + + rb (2) v i rớ a bán kính đường
tròn bàng ti p.Ch ng minh r ng ế ứ ằ ABC vng
Gi i: ả +) Ta có S = pr
S r
p
S = (p-a) a S r
p a
+) Khi (2) tương đương v i p a S
= p c
S b p
S P S
c p b p p a
p
1 1
) )( ( ) ( ) )( ( ) (
) (
c p b p
a a
p p
a c
p b p
b p c p a p p
a p p
) )(
( ) )(
(abc bc a ac b ab c
2 2 2
2
2
2 ( ) ( ) ( ) 2
)
(bc a a b c bc b c a a b c
ABC vuông
+) N u áp d ng h th c c b n tam giác, ta cóế ụ ệ ứ ả
rc = ptg
, ( ) tan , tan , tan
2 a b
C C A B
r p c r p r b
T (2) ta đừ ược ptg ( ) tan tan tan
C C A B
p c p p
tan tan tan
2 2
C A B
c p
(2’)
+) M t khác p = R(sinA+ sinB + sinC)=4Rcosặ 2cos2cos2
(5)T (2) ta có 2RsinC.ừ
sin
tan cos cos cos
2 2 2 cos cos
2
A B
C A B C
R
B C
2 2
sin cos tan
2 2
C C C
Do
0
90 45
2
2 C
C C
tg C
tg
.ABC vuông
Chú ý: Khi g p tốn có ch a y u t khác c nh góc ta nên chuy n v ặ ứ ế ố ể ề tốn có ch a góc ho c c nh đ gi i, có nhi u cơng c đ gi i h n.ứ ặ ể ả ề ụ ể ả
LO I II: S D NG B T Đ NG TH CẠ Ử Ụ Ấ Ẳ Ứ
Ví d 7.ụ Cho ABC có A, B nh n tho mãn h th c sinọ ả ệ ứ 2A + sin2B =3 sinC (1) Ch ng minh r ng ứ ằ ABC vuông
Gi iả : +) Vì < sinC ≤ nên 3sinC sin2C. T (1) sin2 Asin2 Bsin2Ca2b2 c2 2 2 cos
a b a b ab C CosC C 900. +) N u C = 90ế
A+ B = 900 sin2A+sin2B= sin2A+cos2A =
+) V y n u ABC tam giác vuông t i C thỗ mãn h th c cho.ậ ế ệ ứ
+) N u C < 90ế 0 T gi thi t ta có ừ ả ế
3 sin
2 cos
2 cos
C B
A
- cos (A+B).cos(A-B) = sinC 1cosC.cos(A B)3 sinC (3)
+) Ta có sinC < M t khác A, B, C nh n nên cosC > 0, cos(A-B) > 0, v y t (3) ta suy ặ ọ ậ u vơ lý Do trề ường h p C < 90ợ 0 không x y V y ABC tam giác vuông t i C.ả ậ ạ
Nh n xétậ :
* N u C = 90ế 0 ta không th l i mà k t lu n ử ạ ế ậ
ABC vuông khơng ch t chẽ Vì ặ ABC ch a ch c tho mãn (1).ắ ả
* N u xét trế ường h p C < 90ợ 0 ta đ n k t lu n lo i trế ế ậ ạ ường h p T ta ph i có C = ợ ừ ả
900, không c n th l i.ầ ử ạ
* Đi m quan tr ng c a t p ch v i a ể ọ ủ ậ ỗ R, <a ≤1 ta có an > am , < n < m, n,m Q T đ y tốn (1) có th m r ng n u sinừ ấ ể ộ ế 2A + sin2B = n sinC,n1 ABC vuông
Bài t p t luy nậ ự ệ
Ch ng minh r ng ứ ằ ABC tam giác vuông n u tho m t u ki n sauế ả ộ ề ệ Bài 1: cos2A + cos2B + cos2C = -1
Bài 2: a) sinA + sinB + sinC = + cosA + cosB + cosC
(6)b) sinA + sinB + sinC = 1- cosA + cosB + cosC Hướng d n: Ch ng minh vuông t i C.ẫ ứ
Bài 3: B C
a c
c B b
sin sin
cos
cos
Hướng d n: A p d ng đ nh lý hàm sinẫ ụ ị
Bài 4: r(sinA + sinB)= .sin 2cos
B A B
c
Hướng d n: Ta s d ng h th c c b nẫ ụ ệ ứ ả
r = 4Rsin 2.sin 2.sin vaøc2RsinC
C B A
Bài 5: r + + rb + rc = a + b + c
Áp d ng công th c lụ ứ ượng c b n r =ptgơ ả 2, ( )
A tg a p r A
a
p = 4Rcos 2cos2cos
C B A
đ nh hàm sin.ị
Hay có th áp d ng cơng th c S = rể ụ ứ c(p-c), S=rp
Bài 6: 3cosB + 4sinB + 6sinC +8cosC =15 (6)
HD: Áp d ng BĐT Schwartz cho c p (3,4), (cosB,sinB) (6,8), (sinC,cosC).ụ ặ
Cách khác: Bài có th v n d ng phép bi n đ i tể ậ ụ ế ổ ương đương tính ch t b ch n c a ấ ị ặ ủ hàm sinx, cosx
(6) 5cos ) 15
4 sin ( 10 ) cos sin (
5
B B C C
(6’)
Đ t ặ sin ,0 90
, cos
4
Thì t (6ừ ’) ta suy ra
5sin(B+) + 10cos(C-) = 15
ABC C
B C
B
900
1 ) cos(
1 ) sin(
vuông Bài 7: sin3A + sin2B = 4sinAsinB (7)
HD: Dùng công th c bi n đ i t ng thành tích cho v trái tích thành t ng, rút g n ta ứ ế ổ ổ ế ổ ọ cos(A-B).(sinC-1) = cosC
cos2(A-B).(sin2C-1) = – sin2C
(1-sinC)[cos2(A-B)(1-sinC) - 1- sinC] = 0.
Đánh giá cos2(A-B)(1-sinC)- – sinC < T suy sinC = 1ừ
C = 900
(7)G i ý: Nh n xét v trí c a H v n d ng t s lợ ậ ị ủ ậ ụ ỉ ố ượng giác c a ủ ABC đ đ a toán thành ể bi u th c theo góc.ể ứ
Bài 9: ABC có đ c m n uặ ể ế cosA (1 – sinB) = cosB
G i ý: – sinB cosB ch a nhân t chung ợ ứ cos2 sin
B B
Bài 10: ABC có đ c m n uặ ể ế
2sin2A – sin2B = sinC + sinC
1
HD: Dùng phương pháp đánh giá đ gi i.ể ả
BT6. Ch ng minh r ng n u tam giác ABC thoứ ằ ế ả
sin4A + 2sin4B+ 2sin4C = 2sin2A (sin2B + sin2C) (1) Ch ng minh ứ
ABC vuông cân Ch đ 3:NH N D NG TAM GIÁC Đ Uủ ề Ậ Ạ Ề
Trong m c này, m t s phụ ộ ố ương pháp hay s d ng đ nh n d ng tam giác đ u nhử ụ ể ậ ề Loại I:Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương
1/ Phương pháp s d ng toán nh n d ng tam giác đ u.ử ụ ậ ề
2/ Phương pháp s d ng m nh đ ụ ệ ề
n i A
A A
A n
n
, ,
0
2
A1 = A2 = … =An =
3/ Nh n d ng tam giác đ u t m t h u ki n.ậ ề ộ ệ ề ệ Loại II:Sử dụng bất đẳng thức
LO I I:S D NG PHẠ Ử Ụ ƯƠNG PHÁP BI N Đ I TẾ Ổ ƯƠNG ĐƯƠNG Phương pháp s d ng toán c b n nh n d ng tam giác đ u.ử ụ ả ậ ề * ABC tho mãn h th c sau ả ệ ứ ABC tam giác đ u.ề
a) cos A + cosB + cosC =2
f) cotgA + cotgB + cotgC =
b) sin A
sin B
sin
C =
1
g) sinA + sinB + sinC = 3
c) cosA cosB cosC =18 h) cos
A
+ cos2
B
+ cos
C =
3
d) sin2A + sin2B + sin2C = 4
9
i) sin
A
+ sin
B
+ sin
C =2
3
e) tan tan tan
A B C
(8)Ví d 8.ụ Gi s ả ử ABC tho mãn u ki n: 2(acosA + bcosB + ccosC) = a + b + c Ch ng ả ề ệ ứ minh ABC đ u.ề
Gi i: +) Áp d ng đ nh lý Sin ta có a=2RsinA , b = 2RsinB , c = 2RsinC ( v i R bán kính ả ụ ị đường trịn ngo i ti p ế ABC), h th c cho tệ ứ ương đương v i:ớ
2sinA cosA + 2sinB cosB + 2sinCcosC = sinA + sinB + sinC sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC (*)
Tacó sin2A + sin2B + sin2C = 2sin(A + B)cos( A – B ) – 2sin( A + B)cos( A + B) = 2sin (A + B)(cos(A + B) – cos (A + B)) = 4sinAsinBsinC
Tacó sinA + sinB + sinC = 2sin cos 2cos 2cos
B A C B
A B
A
2 cos cos cos cos cos cos
2 2 2
C A B A B A B C
( ) sin sin sin cos cos cos
2 2
8sin sin sin cos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2
A B C
A B C
A B C A B C A B C
1 sin sin sin
2 2
A B C
(d ng toán c b n) V y ả ậ ABC đ u.ề Ví d 9.ụ CMR n u A,B,C ba góc c a m t tam giác tho mãnế ủ ộ ả
3 cos cos cos 3 cos cos
cos3 A B 3C A B C
tam giác y đ uấ ề H th c cho tệ ứ ương ng v iứ
cos cos
cos
2 3 cos 3 cos cos 3 cos cos 3 cos
3 cos cos cos 3 cos cos cos
3
3
3
3
C B
A
C C
B B
A A
C B
A C
B A
( d ng toán c b n) ả V y ậ ABC đ u.ề
2 Phương pháp s d ng m nh đử ụ ệ ề
0 ,
1 ,
0
2
1
n i
n
A A A n
i A
A A
A
Ví d 10.ụ Ch ng minh ứ ABC có hahbhc = 9r ABC đ u ề
Ta có + hb + hc = 9r
1 2
r c b a S r c
S b
S a
S
(9) 0 2 1 1 1 2 2 c b a ca a c bc c b ab b a c a a c b c c b a b b a c b a c b a c b a p r c b a pr
V y ậ ABC đ u.ề
Ví d 11.ụ CMR n u ế ABC ta có r p A c C b B a C c B b A a sin sin sin cos cos cos
( p: n a chu vi, R bán kính đử ường trịn ngo i ti p ế ABC) ABC tam giác đ u.ề
Ta có: (*)
R p R a c R c b R b a C C R B B R A A R 2 cos sin cos sin cos sin (**). sin sin sin 2 R c b a ca bc ab C B A
R
Ta có sin2A + sin2B + sin 2C = sinAsinBsinC =4.2 2 2 2R3 abc R c R b R a
(**) R
c b a R ca bc ab abc ) (
(ab + bc+ ca) (a + b + c)=9abc a2b + bc2+ ab2 + ac2+ b2c+ a2c = 6abc
b(a2+c2- 2ac) + a(b2+ c2 - 2bc) + c(a2 + b2 – 2ab)=0
b(a - c)2 + a(b - c)2 + c(a - b)2 0 b a c b c a
a=b=c V y ậ ABC đ u.ề
LO I II: S D NG B T Đ NG TH CẠ Ử Ụ Ấ Ẳ Ứ
- T u ki n c a toán (thừ ề ệ ủ ường h th c, b t đ ng th c)s d ng phép ệ ứ ấ ẳ ứ ụ bi n đ i lế ổ ượng giác đ d n đ n m t b t đ ng th c đ n gi n, có th đánh giá để ẫ ế ộ ấ ẳ ứ ả ể ược u ề ki n d u b ng x y ra.ệ ấ ằ ả
- Thi t l p m t h phế ậ ộ ệ ương trình xác đ nh m i quan h gi a góc, c nh c a tam giác,ị ố ệ ữ ủ qua nh n d ng đậ ược tam giác
Ví d 12.ụ Cho ABC th a u ki n ỏ ề ệ cos cos cos sin 2sin 2sin A B
A B C C
(*) Ch ng minh ứ ABC đ u.ề
Gi i: +) T gi thi t suy ả ả ế ABC nh n (cos A > 0, cos B > 0, cos C > 0)ọ
+) Ta có: cosA cosB = 21 cos( ) ) cos( ) cos( B A B A B
A
=2(1 cos ) sin
1 C C
V y < cosA cosB ậ sin
(10)+) Tương t ta có ự cos cos sin 2;0 cos cos sin
2
2 A C A B
C
B
Suy
2 sin sin sin cos
cos
cosA B C A B C
+) D u “=” x y ch khiấ ả ỉ
2
2
cos cos
cos( )
cos cos cos( )
cos( )
c
sin
2 1
si os cos
n
2
1 sin
2
A B
A B
B C B C
C A
C A B
C A
A = B = C
V y ậ ABC đ uề
Ví d 13.ụ Cho ABC th a đkỏ
) cos( cos
cos
90
B A B
A A B
C O
Xác đ nh d ng c a ị ủ ABC ? T u ki n ề ệ CBA900
, sin sin
90
0
C B B C cosA0,cosB0 M t khác sin2A + Sin2B =2sin(A+B)cos(A-B)ặ
cos cos
cos sin sin cos
sin sin
sin
cos sin cos sin ) sin(
2 sin sin ) cos(
B A
B C B A
C A
C
B B A
A B
A B A
B A
D u “=” x y ch ấ ả ỉ
C B
A
sin sin
0 cos
ho c SinA = SinB = SinCặ
V y ậ ABC vuông cân t i A ho c đ u.ạ ặ ề Bài t p t luy nậ ự ệ
BT7. Cho ABC đ u tho mãn h ng th c: ề ả ằ ứ a2b2 c2 4 3
2
2 ( ) ( )
)
(a b b c c a
S
Ch ng minh ứ ABC tam giác đ u.ề
BT8. CMR n u ế ABC ta có ha a
c b
ABC đ uề
BT9. Cho ABC tho ả
3
a b
c a c
b c b
a
(11)BT10.CMR ABC đ u n u ề ế sin
1 sin
1 sin
1 cos
1 cos
1 cos
1
C B
A C
B
A
BT11.Cho ABC, tho ả
1
3
3
c b a b
c a a
c b
(1) CMR ABC đ u d u ”=” x y ra.ề ấ ả
BT12.Cho ABC th a ỏ sin sin sin
cos cos
cos
R c b a C c B b A a
C c B b A
a
(1) CMR ABC đ u.ề
BT13.Cho ABC tho tanả A
+ tan6 2
B
+ tan6 2
C =9
1
CMR ABC đ u.ề BT14.Cho ABC tho 2(lả a + lb + lc) = 3(a + b + c)
CMR ABC đ u.ề
Nh n d ng tam giác đ u b ng cách s d ng bđt Jensenậ ề ằ ụ
BT15.CMR ABC tho ả
12 sin
1 sin
1 sin
1
2
2
C B
A
đ uề BT16.Cho ABC nh n tho mãn ọ ả
(tan tan tan )(cot cot cot ) (tan tan tan )(cot cot cot )
2 2 2
A B C A B C
A B C A B C
Ch ng minh ứ ABC đ u.ề
Chủ đề 4:NHẬN DẠNG TAM GIÁC KHÁC
Ví d 14.ụ Xác đ nh góc c a ị ủ ABC n u: ế
3 cos sin
sinA B C
(1)
Cách 1: (1)
3 cos
cos sin
2
A B A B C
2 cos cos
cos
C C A B
0 2 cos cos 2 cos
2
C C A B
(1’)
Đ t t = ặ cos
2C
t (0,1)
(1’)
1 cos 2
t A Bt
=
Đ t ặ f(t) = 2 cos 2
t A B t
, t (0,1)
Ta có: ’ = cos ( )
t f B
A
(12)0 ) (t
f ) ( a b f a b t cos cos 2 cos
2 A B
B A C cos 2 cos B A C 60 B A C 0 30 120 B A C
Ví d 15.ụ Cho ABC tho b(aả 2-b2) = c(c2-a2) Nh n d ng tam giác này.ậ Ta có b(a2 b2)c(c2 a2) ba2 b3 c3 ca2
) )( ( ) ( )
( 3 2
c bc b c b c b a c b a c
b
2
2 b bc c a 2 2 60 cos cos
2
b c bc A b bc c A A Bài ta có th bi n đ i nh sau:ể ế ổ
( cos )
) cos ( ) ( )
( 2 2 2 2 2
A bc c b c c b A bc c b b a c c b a
b
) cos )( ( ) cos ( ) cos
(c2 bc A c bc A b2 bc2 b2c bc2 b2c A
b
0
60
1
cos
A A
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tam giác ABC có đ c m n u:ẳ ể ế sin6A + sin6B + sin6C =
HD: Dùng phép bi n đ i tế ổ ương đương chuy n v phể ề ương trình tích Bài 2: Nh n dang tam giác ABC n u thoậ ế ả
3 cos cos cos sin sin sin C B A C B A (2)
Bài 3: Cho tam giác ABC có c nh tho : ả
1
2 x x
a , b2x1, cx21, xR Hãy nh n d ng tam giác ABC.ậ ạ
HD: Xét u ki n c a x đ t n t i tam giácề ệ ủ ể
Bài 4: Nh n d ng tam giác ABC bi t: sin5A + sin5B + sin5C = 0ậ ế HD: Ta bi n đ i tế ổ ương đương đ ng th c v d ng:ẳ ứ ề
0 cos cos cos
4 C A B
Bài 5: Tính B C tam giác ABC biết:
5
cos cos cos
2
A B C
M t s h th c lộ ố ệ ứ ượng tam giác
1 2cos 2cos
4 cos sin sin
sin A B C A C
, sin2Asin2Bsin2C4sin A.sinB.sinC
3 sin2 Asin2 Bsin2C2(1cosA.cosB.cosC)
4 cos cos cos 4sin 2sin 2sin
C B A C
B
(13)5 tan AtanBtanCtan A.tanB.tanC (ABC không tam giác vuông) cot cotA Bcot cotB Ccot cotC A1
7 tan 2.tan tan 2.tan tan 2.tan 1
A C C
B B
A
8 tan tan tan tan tan tan
C Co B Co A Co C Co B Co A
Co
9 S
a c b A Co
4 tan
2 2
(Đ ng th c hàm Côsin suy r ng)ẳ ứ ộ
M t s b t đ ng th c lộ ố ấ ẳ ứ ượng tam giác:
1
3 cos cos
cosA B C
2
1 sin sin
sin A B C
3
1 cos cos
cosA B C
4
9 sin
sin
sin2 2
B C
A
5
3 sin sin
sin A B C
6
3 cos cos
cosA B C
7
3 sin sin
sin A B C
8 tan tan tan
C B
A
9 cotAcotBcotC