BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH §1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. Khi nói ta có bất đẳng thức A B mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá t[r]
(1)CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH §1 BẤT ĐẲNG THỨC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa :
Cho a b, hai số thực Các mệnh đề "a b", "a b", "a b", "a b" gọi bất
đẳng thức
Chứng minh bất đảng thức chứng minh bất đẳng thức đúng(mệnh đề đúng)
Với A B, mệnh đề biến "A B" mệnh đề chứa biến Chứng minh bất đẳng thức A B (với điều kiện đó) nghĩa chứng minh mệnh đề chứa biến "A B" với tất giá trị biến(thỏa mãn điều kiện đó) Khi nói ta có bất đẳng thức A Bmà khơng nêu điều kiện biến ta hiểu bất đẳng thức xảy với giá trị biến số thực
2 Tính chất :
* a b b c a c
* a b a c b c
* a b c d a c b d * Nếu c a b ac bc Nếu c a b ac bc
* a b a b
* a b a2 b2 *a b an bn
3 Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối * a a a với số thực a * x a a x a ( Với a 0)
* x a x a
x a ( Với a 0)
4 Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy) a) Đối với hai số không âm
Cho a 0,b 0, ta có
a b
ab Dấu '=' xảy a b Hệ :
* Hai số dương có tổng khơng đổi tích lớn hai số * Hai số dương có tích khơng đổi tổng nhỏ hai số b) Đối với ba số không âm
Cho a 0,b 0,c 0, ta có 3
a b c
abc Dấu '=' xảy a b c B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN 1 Phương pháp giải
Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A B ta sử dụng cách sau:
Ta chứng minh A B Để chứng minh ta thường sử dụng đẳng thức để phân tích A B thành tổng tích biểu thức khơng âm
Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương BĐT cần chứng minh 2 Các ví dụ minh họa
Loại 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức
Ví dụ : Cho hai số thực a b c, , Chứng minh bất đẳng thức sau
a)
2 2
a b
ab b)
2
(2)c) 3a2b2c2a b c 2 d) a b c 2 3ab bc ca
Lời giải
a) Ta có a2 b2 2ab (a b)2 a2 b2 2ab Đẳng thức a b b) Bất đẳng thức tương đương với
2
0
a b
ab 2
2
2
a ab b ab a b
(đúng) ĐPCM
Đẳng thức xảy a b
c) BĐT tương đương 2 2 2
3 a b c a b c 2ab2bc2ca
2 2 2
0
a b b c c a
(đúng) ĐPCM Đẳng thức xảy a b c
d) BĐT tương đương 2
2 2
a b c ab bc ca ab bc ca
2 2
2 a b c ab bc ca
2 2 2
0
a b b c c a
(đúng) ĐPCM Đẳng thức xảy a b c
Nhận xét: Các BĐT vận dụng nhiều, xem "bổ đề" chứng minh bất đẳng thức khác
Ví dụ : Cho năm số thực a b c d e, , , , Chứng minh
2 2 2 ( )
a b c d e a b c d e
Lời giải
Ta có : a2 b2 c2 d2 e2 a b( c d e)
2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
4 4
a a a a
ab b ac c ad d ae e
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
a a a a
b c d e đpcm
Đẳng thức xảy
2 a
b c d e
Ví dụ : Cho ab Chứng minh : 21 21
1 ab
a b
Lời giải
Ta có 21 21 ( 21 ) ( 21 )
1 1
1 ab ab ab
a b a b
2 2
2 1 ( 2) 1 2
( 1)(1 ) ( 1)(1 ) 1 (1 )(1 )
ab a ab b a b b a a b b a a b b a
ab ab
a ab b ab b a b a
2
2 2
( )( 1) ( ) ( 1)
0
1 (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )
a b a b ab a b ab
ab b a ab b a (Do ab 1)
Nhận xét : Nếu b BĐT có chiều ngược lại :
2
1
1
1 ab
a b
Ví dụ 4: Cho số thực x Chứng minh
a) x4 4x b) x4 5 x24x c) x12x4 1 x9x Lời giải
a) Bất đẳng thức tương đương với x4 4x 3 0
2
1 3
x x x x x x x
2 2
1 1
x x
(3)Đẳng thức xảy x1 b) Bất đẳng thức tương đương với
4
x x x
2 2
4 2
2 4
x x x x x x
Ta có x212 0,x22 0 x212 x 22 0 Đẳng thức xảy
2
1
2
x x
(không xảy ra) Suy x212 x 22 0 ĐPCM
c) Bất đẳng thức tương đương với 12
1
x x x x
+ Với x1 : Ta có x12 x9 x4 x x12x41x5 1 x
Vì x1 nên
1 x 0, 1x 0 12
1
x x x x + Với x1 : Ta có x12 x9 x4 x x9x3 1 x x3 1 Vì x1 nên x3 x12 x9 x4 x Vậy ta có x12 x4 1 x9 x
Ví dụ 5: Cho a b c, , số thực Chứng minh a) a4 b4 4ab
b) a4 b2 2 ab
c) a2 b2 ab a b2 b a2 Lời giải
a) BĐT tương đương với a4 b4 2a b2 2a b2 4ab
2
2 2 1 0
a b ab (đúng)
Đẳng thức xảy a b
b) BĐT tương đương với a4 b4 2b2 a b2 2ab 4 2 2 2 4 2 4 1 0
a b a b a ab b a a
2 2 2
(a b ) 2(a b) (a 1) 0(đúng) Đẳng thức xảy a b
c) BĐT tương đương với 6 a2 b2 2ab 8 4 a b2 1 b a2 1 0
2 4 1 4 1 4 1 4 1 2 0
a a b b b b a a a ab b
2 2
2
2 a
a b b a b (đúng)
Đẳng thức khơng xảy
Ví dụ 6: Cho hai số thực x y, thỏa mãn x y Chứng minh rằng; a) x3 y3 x y
b) x3 3x y3 3y Lời giải
a) Bất đẳng thức tương đương 4 x y x2 xy y2 x y 0
2 2
4 3
x y x xy y x y x y x xy y
2 2
3
2
y y
(4)Đẳng thức xảy x y
b) Bất đẳng thức tương đương x3 y3 3x 3y 4 Theo câu a) ta có 3
4
x y x y , ta cần chứng minh
1
3
4 x y x y (*), Thật vậy, BĐT (*) x y 12 x y 16
2
2
x y x y x y
2
2
x y x y (đúng vớix y )
Đẳng thức xảy không xảy
Loại 2: Xuất phát từ BĐT ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh
Đối với loại thường cho lời giải không tự nhiên ta thường sử dụng biến có ràng buộc đặc biệt
* Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng
;
a a a *
, , ; * *
a b c a b c a b c
Ví dụ : Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh :
2 2 2( )
a b c ab bc ca
Lời giải
Vì a,b,c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có :
a b c ac bc c Tương tự 2;
bc ba b ca cb c cộng ba BĐT lại với ta có đpcm
Nhận xét : * Ở tốn ta xuất phát từ BĐT tính chất độ dài ba cạnh tam giác Sau cần xuất bình phương nên ta nhân hai vế BĐT với c
Ngoài xuất phát từ BĐT |a b | c bình phương hai vế ta có kết
Ví dụ : Cho a b c, , [0;1] Chứng minh : a2 b2 c2 a b2 b c2 c a2 Lời giải
Cách 1: Vì a b c, , [0;1] (1 a2)(1 b2)(1 c2) 2 2 2 2 2 2
1 a b b c c a a b c a b c (*)
Ta có : a b c2 2 0; a b2 b c2 c a2 a b2 b c2 c a2 nên từ (*) ta suy 2 1 2 2 2 1 2
a b c a b b c c a a b b c c a đpcm
Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với a 12 b b2 c c2 a
Mà a b c, , 0;1 a2 a b, b c, c
2 1 1 1 1 1 1
a b b c c a a b b c c a
Ta cần chứng minh a b b c c a Thật vậy: a b c, , 0;1 nên theo nhận xét * * ta có abc a b c a b c ab bc ca a b b c c a BĐT ban đầu chứng minh
(5)Lời giải
Vì a2 b2 c2 a b c, , [ 1;1] nên ta có :
(1 a)(1 b)(1 c) a b c ab bc ca abc (*) Mặt khác :
2
(1 )
0
2
a b c
a b c ab bc ca (**) Cộng (*) (**) ta có đpcm
Ví dụ 10: Chứng minh a 4,b 5,c a2 b2 c2 90 16
a b c Lời giải
Từ giả thiết ta suy a 9,b 8,c áp dụng * ta có
4 0, 0,
a a b b c c nhân cộng BĐT chiều
lại ta được: 2
a b c 13(a b c) 118 0suy 2
1
118 16 13
a b c a b c a2 b2 c2 90
vậy a b c 16 dấu “=” xảy a 4,b 5,c
Ví dụ 11: Cho ba số a b c, , thuộc 1;1 không đồng thời không Chứng minh 4
2012
2 2012 2012
3 a b b c
b a
c a c Lời giải
Vì ba số a b c, , thuộc 1;1 nên a b c2, ,2
Suy ra(1 b2)(1 b2 a4) a4 b4 a b4 (*) Mặt khác a4 a2012,b4 b2012
với a b, thuộc 1;1 Suy a4 b4 a b4 a2012 b2012 a b4 (**)
Từ (*) (**) ta có a2012 b2012 a4b2 1 hay
2012 2012 20
4
12 2012
1 b
a b
c
a c
Tương tự ta có
2012 2012 20
4
12 2012
1 b c a
b
a c
2012 2012 20
4
12 2012
1 c a b
b
a c
Cộng vế với ta
4 2012 2012 2012 2012 2012 201
2
2
2 3
3
a b b c c a b
b
a c
a c
Hay
4 2012
2 2012 2012
3 a b b c
b a
c a
c ĐPCM
3 Bài tập luyện tập
Bài 4.0. Cho số thực a b c, , số thực Chứng minh rằng:
a) a b c ab bc ca b) a2 b2 ab a b
c) a2 b2 c2 2(a b c) d) a2 b2 c2 2(ab bc ca) Bài 4.1: Cho a b c d, , , số dương Chứng minh
a) a a c
b b c với a
b b)
a b c
a b b c c a
c) a b c d
(6)d) a b b c c d d a
a b c b c d c d a d a b
Bài 4.2: Chứng minh bất đẳng thức sau
a) (ax by bx)( ay) (a b xy)2 ( vớia b, 0; ,x y R) b)
2 2
c a c b
c a c b với a b 0; c ab
c)
2
a b c b
a b c b với a b c, ,
1
a c b
d) a b( c)2 b c( a)2 c a( b)2 a3 b3 c3 với a b c, , ba cạnh tam giác Bài 4.3: Cho x y z Chứng minh rằng:
a) xy3 yz3 zx3 xz3 zy3 yx3 b)
2 2 2
x y y z z x x z y x z y
z x y y z x
Bài 4.4: Cho bốn số dương a b c d, , , Chứng minh rằng:
1 1
1 1 1
a b c d a c b d
Bài 4.5: Cho a b c, , 1;3 thoả mãn điều kiện a b c Chứng minh 2 14
a b c
DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
1 Phương pháp giải
Một số ý sử dụng bất đẳng thức côsi:
* Khi áp dụng bđt cơsi số phải số không âm
* BĐT côsi thường áp dụng BĐT cần chứng minh có tổng tích * Điều kiện xảy dấu ‘=’ số
* Bất đẳng thức cơsi cịn có hình thức khác thường hay sử dụng Đối với hai số:
2
2 2 ; 2 ( ) ;
2
x y x y
x y xy x y xy
Đối với ba số:
3 3
,
3
a b c a b c
abc abc
2 Các ví dụ minh họa
Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức cơsi
Ví dụ 1: Cho a b, số dương thỏa mãn a2 b2 Chứng minh a) a b a2 b2
b a b a b)
5 2 2
16 1
a b ab a b
Lời giải
a) Áp dụng BĐT cơsi ta có
2 2
2
2 2,
a b a b a b a b
b a b a b a b a ab
Suy a b a2 b2
b a b a ab (1)
(7)Từ (1) (2) suy
2
a b a b
b a b a ĐPCM
Đẳng thức xảy a b
b) Ta có a b a2 2ab b2 a3 3ab2 3a b2 b3 Áp dụng BĐT cơsi ta có
2 2 2 2 2 4
a ab b ab a b ab
3 3 3 2 3 3 4 1 2 1
a ab a b b a ab a b b ab b a
Suy a2 2ab b2 a3 3ab2 3a b2 b3 16ab a2 b2 Do a b 16ab 1 a2 1 b2
ĐPCM Đẳng thức xảy a b
Ví dụ 2: Cho a b c, , số dương Chứng minh
a) a b c
b c a
b) a2(1 b2) b2(1 c2) c2(1 a2) 6abc c) (1 a)(1 b)(1 c) abc
d) a bc2 b ac2 c ab2 a3 b3 c3 Lời giải
a) Áp dụng BĐT cơsi ta có
1 1
2 a, b, c
a b c
b b c c a a
Suy a b c a b c
b c a b c a ĐPCM
Đẳng thức xảy a b c b) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có
2
1 a a 2a, tương tự ta có 1 b2 2 , 1b c2 2c Suy a2(1 b2) b2(1 c2) c2(1 a2) a b2 b c2 c a2 Mặt khác, áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có
2 2 3 .2 3 a b b c c a a bb c c a abc
Suy a2(1 b2) b2(1 c2) c2(1 a2) 6abc ĐPCM Đẳng thức xảy a b c
c) Ta có (1 a)(1 b)(1 c) ab bc ca a b c abc Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có
2
3
3
ab bc ca ab bc ca abc a b c 33abc
Suy
2
3 3
(1 a)(1 b)(1 c) abc abc abc abc ĐPCM Đẳng thức xảy a b c
d) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có
2 , 2 , 2
2 2
b c a c a b
a bc a b ac b c ab c
Suy
2 2 2
2 2
2
a b b a a c c a b c c b
a bc b ac c ab (1)
(8)3 3 3 3 3
2 , , ,
3 3
a a b b b a a a c
a b b a a c
3 3 3 3 3
2 , ,
3 3
c c a b b c c c b
c a b c c b
Suy a b2 b a2 a c2 c a2 b c2 c b2 a3 b3 c3 (2) Từ (1) (2) suy a bc2 b ac2 c ab2 a3 b3 c3 Đẳng thức xảy a b c
Ví dụ 3: Cho a b c d, , , số dương Chứng minh
a)
4
a b c d
abcd b)
3 3 16
a b c d
a b b c
b c d a
c)
8
4
( )( )( )
a b c abc
a b b c c a
abc Lời giải
a) Áp dụng BĐT cơsi ta có
2 , d
a b ab c d c ab cd ab cd 24abcd
Suy 2
4
a b c d ab cd
abcd ĐPCM Dấu xảy a b c d
b) Áp dụng câu a) ta có
3 3 3 3
4
4
a b c d a b c d
b c d a b c d a abcd
Suy
3 3
4
.2 16
a b c d
a b c d ab cd
b c d a abcd ĐPCM
Đẳng thức xảy a b c d c) Áp dụng câu a) ta có
3
4
3
8
8
3 4
( )( )( ) ( )( )( ) 27( )( )( )
3
a b c
a b c abc a b c abc
VT
a b b c c a a b b c c a a b b c c a
abc abc
Như ta cần chứng minh
3
4
27( )( )( )
a b c
a b b c c a
3
8 a b c 27 a b b c c a (*) Áp dụng BĐT cơsi cho ba số ta có
3
8
3 27
a b b c c a a b c
a b b c c a
Suy BĐT (*) nên BĐT ban đầu ĐPCM Đẳng thức xảy a b c
Nhận xét: BĐT câu a) bất đẳng côsi cho bốn số không âm Ta có BĐT cơsi cho n số khơng âm sau: Cho n số không âm a ii, 1,2, ,n
Khi ta có
1
n n
n
a a a
a a a
(9)Ví dụ 4: Cho a b c, , số dương thỏa mãn a2 b2 c2 Chứng minh a) a b2 b c2 c a2
b) 2 2 2
4
3 3
ab bc ca
c a b
Lời giải
a) Ta có a2 b2 c2 a4 b4 c4 2a b2 2b c2 2c b2 (1) Áp dụng BĐT cơsi ta có a4 b4 2a b b2 2, c4 2b c c2 2, a4 2c a2
Cộng vế với vế lại ta a4 b4 c4 a b2 b c2 c a2
(2) Từ (1) (2) ta có a b2 b c2 c a2 3
(3) Áp dụng BĐT cơsi ta có
2 2 2 2. 2 2
a a b a a b a b, tương tự ta có b2 b c2 2b c c2 , c a2 2c a2 Cộng vế với vế ta a2 b2 c2 a b2 b c2 c a2 2 a b2 b c2 c2a
(4) Từ giả thiết (3), (4) suy a b2 b c2 c a2 3
ĐPCM Đẳng thức xảy a b c
b) Áp dụng BĐT côsi ta có
2 2 2 2
3 a 3 b c b c b c
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 1
2 4
3 3 3 3
bc bc b c b c b c
a b c c b c b b a c a
Tương tự ta có 2 2 2 2 2 , 2 2 2 2 2
4
3
ab a b ca c a
c a c b c b c b a b
Cộng vế với vế ta 2 2 2
4
3 3
ab bc ca
c a b ĐPCM
Đẳng thức xảy a b c Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp
Để chứng minh BĐT ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt biểu thức) để tạo biểu thức giản ước sau áp dụng BĐT cơsi
Khi gặp BĐT có dạng x y z a b c(hoặc xyz abc), ta thường chứng minh x y 2a(hoặcab x2), xây dựng BĐT tương tự cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy điều phải chứng minh
Khi tách áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc đảm bảo dấu xảy ra(thường dấu xảy biến biên)
Ví dụ 5: Cho a b c, , số dương Chứng minh rằng: a) ab bc ac a b c
c a b b) 2
1 1
a b c
a b c
b c a
Lời giải
a) Áp dụng BĐT cơsi ta có ab bc ab bc 2b
c a c a
Tương tự ta có bc ac ,c ac ba 2a
a b b c
Cộng vế với vế BĐT ta
2 ab bc ac a b c ab bc ac a b c
c a b c a b ĐPCM
(10)b) Áp dụng BĐT côsi ta có a2 a2.1
a a b
b b
Tương tự ta có b2 2, c2
b c c a
c a
Cộng vế với vế BĐT ta
2 2 2
1 1 2 1
a b c a b c
a b c a b c a b c
b c a b c a ĐPCM
Đẳng thức xảy a b c
Ví dụ 6: Cho a b c, , dương cho a2 b2 c2 Chứng minh a)
3 3 3 3
a b b c c a
abc
c a b
b) ab bc ca
c a b
Lời giải
a) Áp dụng BĐT cơsi ta có
3 3 3 3
3
2
a b b c a b b c
b ac
c a c a
Tương tự ta có
3 3 3 3
3
2 ,
b c c a c a a b
abc a bc
a b b c
Cộng vế với vế ta có 2 a b3 b c3 c a3 2abc a2 b2 c2
c a b
3 3 3 3
a b b c c a
abc
c a b ĐPCM
Đẳng thức xảy a b c b) BĐT tương đương với
2 ab bc ca
c a b
2 2 2
2 2
2
ab bc ca ab bc ca
a b c
c a b c a b
Áp dụng BĐT cơsi ta có
2 2
2
2
ab bc ab bc
b
c a c a
Tương tự ta có
2 2
2
2 , 2a
bc ca ca ab
c
a b b c
Cộng vế với vế rút gọn ta
2 2
3
ab bc ca
c a b ĐPCM
Đẳng thức xảy a b c
Ví dụ 7: Cho a b c, , số dương thỏa mãn a b c Chứng minh a) a b b c c a a b c
b) 2a 2b 2c abc Lời giải
a) Áp dụng BĐT cơsi ta có
2
3
2
a b b c a
a b b c
Tương tự ta có
2
3
,
4
c a
(11)Nhân vế với vế lại ta a b b c c a 64 a b c Suy a b b c c a a b c ĐPCM
Đẳng thức xảy a b c
b) * TH1: Với 2a 2b 2c 0: BĐT hiển nhiên * TH2: Với 2a 2b 2c 0:
+ Nếu ba số , 3a , 3b 2c dương Áp dụng BĐT cơsi ta có
2
3
3
2
a b
a b c , tương tự ta có
2
3 2b 2c a , 2c 2a b
Nhân vế với vế ta 3 2a 3 2b 3 2c a b c2 2 Hay 2a 2b 2c abc
+ Nếu hai ba số , 3a , 3b 2c âm số dương Khơng tính tổng qt giả sử 2a 0, 2b 0suy racó 2a 2b c 0(không xảy ra)
Vậy BĐT chứng minh
Đẳng thức xảy a b c
Ví dụ 8: Cho a b c, , số dương Chứng minh
2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
Lời giải
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dương ta có :
2
2
4
a b c a b c
a
b c b c
Tương tự ta có
2
;
4
b c a c a b
b c
c a a b
Cộng ba BĐT lại với ta đươc :
2 2
2
a b c a b c
a b c
b c c a a b
2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
Đẳng thức xảy a b c Lưu ý :Việc ta ghép
4
a b c
b c đánh lí sau:
Thứ ta cần làm mẫu số đại lượng vế trái (vì vế phải khơng có phân số), chẳng hạn đại lượng
2 a
b c ta áp dụng BĐT cơsi cho đại lượng với đại lượng chứa b c Thứ hai ta cần lưu ý tới điều kiện xảy đẳng thức BĐT côsi hai số Ta dự đốn dấu xảy a b c
2
2
a a
b c b c 2a ta ghép Ví dụ 9: Cho a b c, , số dương thỏa mãn a b c Chứng minh rằng:
a)
2
1 1
a b c
b c a
b)
3 3 3
3 3
a b c
(12)Lời giải a) Đặt
1 1
a b c
P
b c a
Áp dụng BĐT cơsi ta có
3
2
3
4
1 1
a b a b
a a a a a
b b b b
Tương tự ta có
2 3 2 3 2
,
4
1 1
b c c a
b b b c c c
c c a a
Cộng vế với vế ba BĐT ta
2
2
4
P ab bc ca a b c a b c
15 2
8
P ab bc ca (vì a b c 3)
Mặt khác ta có a b c ab bc ca (theo ví dụ 1) Do ab bc ca
Suy 15 2.3
8
P ĐPCM
Đẳng thức xảy a b c
b) Đặt 3
3 3
a b c
Q
b c a
Ta có
2 2
3 3
a b c
Q
a b b c c a
Áp dụng BĐT cơsi ta có a b 4a b 4a b Suy
2 4
4
3
a a
a b
a b , tương tự ta có
2 4 2 4
,
4
3
b b c c
b c c a
b c c a
Cộng vế với vế lại ta 4
4 4
a b c
Q L
a b b c c a
Áp dụng BĐT cơsi ta có
2
4
4
4 16 16
a a
a b a b a
a b a b
Tương tự ta có
2
4
4 ,
4 16 16
b c
b c b c a c
b c c a
Cộng vế với vế lại ta 16
L a b c a b c
Vì a b c nên
L suy
Q ĐPCM
(13)Ví dụ 10: Cho a b c, , số dương thỏa mãn abc Chứng minh
2 2
1 1
3 a b c
a b c
Lời giải
Ta có a b b c c a a b c Do khơng tính tổng quát giả sử
1 1 2
a b ab a b ab c a b c
Do ta cần chứng minh 12 12 12 ab c
a b c
2 2
1 1
1 ab c
a b c
Áp dụng BĐT cơsi ta có 12 12 2 ,c 12 2ab
ab c
a b c (do abc 1)
Cộng vế với vế ta 12 12 12 ab c
a b c ĐPCM
Đẳng thức xảy a b c Ví dụ 11: Tìm giá trị nhỏ biểu thức
a)
2 ( )
2 x f x
x với x b)
1 ( )
1
g x x
x với x c) h x x
x với x d)
1
k x x
x với
1
0
2 x Lời giải
a) Ta có
2 2 1 1
( ) 2
2
x x
f x x
x x
Do x nên 0, x
x Áp dụng BĐT cơsi ta có
1
2 2
2
x x
x x
Suy f x
Đẳng thức xảy 2 1
2
x x x
x (loại) x 3(thỏa mãn)
Vậy minf x x
b) Do x nên x Áp dụng BĐT cơsi ta có
2
1
( ) 1
1
g x x x x x
x x
Đẳng thức xảy
2
1 1
1
x x x
x (thỏa mãn)
Vậy ming x x
c) Ta có 3
4
x x
h x
x
Áp dụng BĐT cơsi ta có 3 3
4
x x
(14)Mặt khác x suy 3
4 4
x x
h x
x Đẳng thức xảy
3
2
2 x
x x
x
Vậy
2
h x x
d) Ta có 12 72
8
k x x x
x x
Áp dụng BĐT cơsi ta có
2
1
3
2
8
x x x x
x x
Mặt khác 72
2
x
x suy
3
5
2
k x
Đẳng thức xảy
1
1
2 x
x x
x
Vậy mink x
x
Loại 3: Kĩ thuật tham số hóa
Nhiều khơng dự đốn dấu xảy ra(để tách ghép cho hợp lí) cần đưa tham số vào chọn sau cho dấu xảy
Ví dụ 12: Cho a b c, , số dương thỏa mãn a2 b2 c2 Tìm giá trị lớn
1 2
A a bc
Phân tích
Rõ ràng ta đánh giá biểu thức A để làm xuất a2 b2 c2 Trước tiên ta đánh giá a qua a2
2
2 2 2 a
a m ma a m
m (với m 0) Do b c, bình đẳng nên dự đốn dấu A đạt giá trị nhỏ b cnên ta đánh giá
2
2bc b c Suy
2
2 1
a
A m b c B
m Tiếp tục ta sử dụng BĐT côsi dạng
2
2
x y
xy để xuất a2 b2 c2 nên ta tách sau
2
2 2
2 2
1
1
2
a m m b c
B a m m b c
m m
Suy A 2
4m m m
Dấu xảy a m b, c a, m2 m 1 b2 c2
a2 b2 c2 Từ ta có
3
m Do ta có lời giải sau: Lời giải
Áp dụng BĐT côsi ta có
2
2 4 2
9 3
a
(15)Suy
2
2
3
1
2
a
A b c
Áp dụng BĐT côsi ta có
2
2 2
2
2 2 2
10
1
3 10 9 98
1 1
2 2 27
a b c
a
b c a b c
Suy A 98
27, đẳng thức xảy 2 2 2
2
3
3
10 1
9 18
1 a
a
b c
a b c b c
a b c
Vậy max 98 27
A
a
18
b c
Ví dụ 13: Cho a b c, , số dương thỏa mãn 2a 4b 3c2 68 Tìm giá trị nhỏ 2
A a b c
Phân tích
Ta cần đánh giá biểu thức A qua biểu thức 2a 4b 3c2 Do ta cho thêm vào tham số vào đánh sau (m n p, , dương)
2 2 , 2 2
a m am b n bn
3
3
4
2
c c
p pc
Suy a2 b2 c3 m2 n2 4p3 2am 2bn 3pc(*) Để 2am 2bn 3pc2 bội số 2a 4b 3c2
2
2
m n p n
m p
Mặt khác dấu BĐT (*) xảy a m b, n c, 2p Hay a m b, ,m c 2m 2m 2m 2m 68
2
12m 10m 68 m 2(nhận) 17
m (loại)
Suy p 2,n ta có lời giải sau Lời giải
Áp dụng bĐT cơsi ta có 4 4 , 16 8
a a b b
3
2 32
2
c c
c Cộng vế với vế ta
2 52 4 8 6
a b c a b c , kết hợp với 2a 4b 3c2 68 Suy a2 b2 c3 84
Đẳng thức xảy a 2,b 4,c Vậy A 84 a 2,b 4,c
Ví dụ 14: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau a)
2
3
x x
A
x với x
(16)Lời giải a) Ta có
2
2
1
x x
A
x x x
Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có
2 2
2 2 1
1
2
2 2
x x x x x
x x x x x x
Suy
2
3
2
2
x x
A
x x
Đẳng thức xảy 2 1 1 3 1 0 13
2
x x x x x x
Vậy
min A 2
x
3 13
2 x
b) Ta có
2
11 11
( 3)(7 ) ( 2)(5 )
4 21 10
x x
B
x x x x
x x x x
Với x x 11 ;x ; x x; ; x số không âm nên theo BĐT cơsi ta có :
1 (2 6) (7 ) 13
( 3)(7 ) (2 6)(7 )
2
2 2
x x x
x x x x (1)
1 (2 4) (5 )
( 2)(5 ) (2 4)(5 )
2
2 2
x x x
x x x x (2)
Từ (1) (2) suy ( 3)(7 ) ( 2)(5 ) 11 x
x x x x , từ ta có B
Dấu xảy (1) (2) đồng thời xảy dấu x Vậy
2
1
min
3
x B x
Loại 4: Kĩ thuật cơsi ngược dấu
Ví dụ 15: Cho a b c, , số thực dương Tìm giá trị lớn
2 2
bc ca ab
P
a bc b ca c ab
Lời giải
Áp dụng BĐT cơsi ta có 1 1
2
2
bc a a
a b c
a bc a bc
Tương tự ta có 1 , 1
2
2
ca b ab c
a b c a b c
b ca c ab
Cộng vế với vế BĐT ta
3
2
a b c
P
a b c a b c a b c
Đẳng thức xảy a b c Vậy minP a b c
(17)a) 2 2 2
1 1
a b c
b c a
b)
2 2
3 3
2 2
a b c
a b b c c a
Lời giải
a) Áp dụng BĐT cơsi ta có:
2 2 2
2 2
1
2
1 1
a b b
a ab ab ab
a a a
b
b b b
Tương tự ta có 2
2
b bc
b
c 1 2
c ca
c a Cộng vế theo vế BĐT ta được:
2 2 2 2
1 1
a b c ab bc ca ab bc ca
a b c
b c a
Mặt khác ta có a b c ab bc ca ab bc ca
Do 2 2 2 3
2
1 1
a b c
b c a ĐPCM
Đẳng thức xảy a b c b) Theo bất đẳng thức Cơsi ta có :
3 3
2
3 3
2 2 2
3
2 3
a a b ab
a ab b a
a a
a b a b ab
Tương tự ta có
3
2
3
2
,
3
2
b c b c a c
b c
b c c a
Cộng vế theo vế BĐT ta được:
2 2
3 3
3 3
2
2 2
a b c
a b c b a a c c b
a b b c c a
Mặt khác a b c ta cần chứng minh: b a3 c b3 a c3 3 Thật vậy, theo bất đẳng thức Cơsi ta có :
3 . 1
3
ab b
b a b a a
Tương tự ta có 2 , 2
3
bc c ca a
c b a c
Cộng vế theo vế BĐT ta có:
3 3 2 2
3 3 3
ab b bc c ca a
b a c b a c ab bc ca a b c
Từ suy ra: 3 2.3 1.3 3
3
b a c b a c ĐPCM
Đẳng thức xảy a b c
Ví dụ 17: Cho a b c, , số thực không âm thỏa mãn a2 b2 c2
Chứng minh
1 1
c b a
ab ac bc
Lời giải Đặt
1 1
c b a
P
ab ac bc
(18)1 2 ca cb
c abc abc ca cb
c c c c
ab ab ab
Tương tự ta ta có ,
1 4
b ba bc a ab ac
b a
ac bc
Cộng vế theo vế BĐT ta được:
ab bc ca
P a b c
Mặt khác a2 b2 c2 1 a b c 1 2 ab bc ca (*) Hay
2
a b c
ab bc ca
Suy
2
( 1)(3 )
1
1
a b c a
a b c
P a b c b c (1)
Từ giả thiết ta có a b c, , [0;1] a b c (2) Và từ (*) suy a b c (3)
Từ (1), (2) (3) suy P ĐPCM
Dấu xảy ba số a, b, c có số hai số lại 3 Bài tập luyện tập
Bài 4.6: Cho x y z, , dương Chứng minh 32 x 2 32 y 2 32 z 2 12 12 12
x y y z z x x y z
Bài 4.7: Cho số dương x, y, z thỏa mãn xyz Chứng minh rằng:
3 3 3
1 1
3
x y y z z x
xy yz zx
Bài 4.8: Với số dương a, b, c, d sao cho:
1 1
a b c d
a b c d
Chứng minh rằng: 81 abcd
Bài 4.9: Với số dương a, b, c sao cho:
1 1
a b c
b c a
Chứng minh rằng: b 1 c 1 a
a b c
Bài 4.10: Cho ba số dương x y z, , thoả mãn hệ thức xyz x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y x .z
Bài 4.11: Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn ab bc ca Chứng minh
2 2
3
1 1
a b c
a b c
Bài 4.12: Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c Chứng minh
2
ab bc ca
(19)Bài 4.13: Cho ba số thực dương a b c, , Chứng minh ab bc ca a b c Bài 4.14: Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn abc
Chứng minh : 1
1 1
a b b c c a
Bài 4.15: Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c
Chứng minh rằng:
2 2
a b b c c a
ab bc ca
Bài 4.16: Cho ba số thực dương a b c, , Chứng minh
3
1 a b c a b c
b c a abc
Bài 4.17: Cho a b c, , độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị lớn biểu thức
2 2
2 2 2
a b c
P
b c a c a b a b c
Bài 4.18: Với số dương a, b, c, chứng minh rằng:
a) a3 b3 c3 ab2 bc2 ca2 b)
3 3
a b c
ab bc ca
b c a
c)
6 6 4
3 3
a b c a b c
c a b
b c a
Bài 4.19: Với số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab bc ca Chứng minh 3
3
a b c
Bài 4.20: Với số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 3abc
Chứng minh rằng: 13 13 13
a b c
Bài 4.21: Với số dương a, b, c Chứng minh rằng:
a)
3 3 1
2
a b c
a b c
b b c c c a a a b
b)
3 3
2 2
2
2 2
a b c
a b c
b c c a a b
Bài 4.22: Cho x y z, , dương thỏa mãn xyz Chứng minh : 3
x y z x y z
Bài 4.23: Cho a b c, , dương a b c 1.Chứng minh rằng:
4 4 2
9(a b c ) a b c
(20)4 4
1 1
(1 ) (1 ) (1 ) 768
x y z
Bài 4.25: Choa b, dương thỏa mãn a b Chứng minh a) 2 2
ab a b b) 2
1
4ab 11 ab
a b c)
2
2
1 289
16
a b
b a
Bài 4.26: Cho hai số thực dương a b, Chứng minh
2 3 2 2
4 2
a b b a a b
Bài 4.27: Cho số thực dương x y z, , thỏa mãnxy yz zx 3.Chứng minh rằng:
1
( )( )( )
xyz x y y z z x
Bài 4.28: Cho x y z, , dương thỏa mãn x y z Chứng minh
3 3
3 3
1
9 27
8 8
x y z
xy yz zx
y z x
Bài 4.29: Cho a b c, , dương Chứng minh
2 2
2 2 2
1
3 14 14 14
a b c
a b c
a b ab b c bc c a ca
Bài 4.30: Cho ba số thực dương x y z, , Chứng minh rằng:
16 16 16
1 x y z
y z z x x y
Bài 4.31: Cho a b c, , số dương thỏa mãn abc Chứng minh 1 1 1 2
a b c a b c
Bài 3.32: Cho a b c, , số dương Chứng minh a)
2
1 1
a b c
a b c
b c a a b c
b)
3 3
3 3
3 3
a b c
a b c b c a c a b
Bài 3.33: Cho x y z, , số thực không âm thỏa mãn x3 y3 z3 Chứng minh
xy yz zx xyz
Bài 3.34: Cho a b c, , thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ M a3 64b3 c3 Bài 3.35: Cho x y z, , dương thỏa mãnxy yz zx Tìm GTNN P x2 2y2 3z2 Bài 3.36: Cho a b c, , không âm thỏa mãn a2 b2 c2 Chứng minh 3 3
7
a b c
Bài 3.37: Cho x y z, , dương thỏa mãn z
x xy xy Chứng minh x y z Bài 3.38: Cho a b c, , dương Chứng minh
2 16 1
(64 )
9
a b c
c a b
b c c a a b
Bài 3.39: Chox y z, , dương thỏa mãn
2
2 1
2 x
(21)Bài 3.40: Cho x y z, , dương thỏa mãn xy yz zx Tìm giá trị nhỏ của:
2 2
x y z
T
x y y z z x
Bài 3.41: Cho x y z, , dương thỏa mãn x y z 3.Tìm giá trị nhỏ
2 2
2 2
x y z
A
x y y z z x
DẠNG 4: ĐẶT ẨN PHỤ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC 1 Phương pháp giải
Điều quan trọng kĩ thuật phát ẩn phụ (ẩn phụ
, , , , , , , ,
x f a b c y g a b c z h a b c ẩn phụ t f a b c; ; ) Ẩn phụ có biểu thức bất đẳng qua số phép biến đổi, đánh giá
2 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số dương a b c, ,
a) Chứng minh
2
a b b c a b c
a b c a b b c
b) Tìm giá trị nhỏ
4a 16
a b b c c a
P
a b c b c c a b
Lời giải
a) Đặt x a b c y, 2a b z, b c
Suy a x z b, 2x y ,z c 2x y z
Bất đẳng thức trở thành x y z 4x 2y 4z x y
x y z
4
1 y z x z x y
x x y y z z
4 4z
10
y x z x y
x y x z y z (*)
Áp dụng BĐT cơsi ta có y 4x 4, z x 2, 4z y
x y x z y z
Suy BĐT (*) ĐPCM Đẳng thức xảy
2
2
2
x y
x z x y z
z y
suy không tồn a b c, , Dấu đẳng thức không xảy
b) Đặt x a b c y, b c ,a z c a 16b
Suy , , 21
3 15 15
y x z x x y z
a b c
Khi ta có 16
15 15
x y z x y x z
P
x y z
4 16
3 15 15
y x z x
P
(22)Áp dụng BĐT cơsi ta có 4, z 16
3 3 15 15 15
y x y
x y y z
Suy 16
3 15 15
P , đẳng thức xảy 5
3
b c
x y z a
Vậy 16 15
P 5
3
b c
a
Ví dụ 2: Cho a b c, , ba cạnh tam giác có chu vi 2p Chứng minh
a b c b c c a a b
p a p b p c p a p b p c
Lời giải
Đặt x p a y; p b z; p csuy a y z b; z x c; x y Do a b c, , ba cạnh tam giác nên x y z, , dương
Bất đẳng thức cần chứng minh đưa dạng:
2 2
y z z x x y y z z x x y
x y z x y z
Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: y z y z y z
x x x
Tương tự ta có z x z x 6, x y x y
y y z z
Cộng vế với vế BĐT ta
4 y z z x x y y z z x x y 18
x y z x y z
Vì ta cần chứng minh 18
4
y z z x x y y z z x x y
x y z x y z
6
y z z x x y
x y z
Ta có y z z x x y y x y z x z
x y z x y z y z x
Áp dụng BĐT cơsi ta có y x y x 2, y z 2, x z
x y x y z y z x
Suy y z z x x y
x y z ĐPCM
Đẳng thức xảy a b c hay tam giác
Nhận xét : Đối với BĐT có giả thiết a b c, , ba cạnh tam giác ta thực phép đặt ẩn phụ
, ,
2 2
a b c a b c a b c
x y z a y z b; z x c; x y
, ,
(23)Ví dụ 3: Cho x y z, , số dương Chứng minh 3 3 1590 1331
x y z x y z
Lời giải Ta có BĐT
3 3
2
x y z
x y z x y z x y z
Đặt a x ,b y ,c z a b c, ,
x y z x y z x y z dương a b c
BĐT trở thành 2 3 1590 1331
a b c
Áp dụng BĐT cơsi ta có
3
3 6 18
11 11 11
a a,
3
3 3 18
2 2
11 11 11
b b,
3
3 2 18
3 3
11 11 11
c c
Cộng vế với vế BĐT ta
3 2 3 588 18 18
1331 11 11
a b c a b c
Suy 3 3 1590 1331
a b c
Nhận xét: Phương pháp đặt ẩn phụ áp dụng BĐT đồng bậc(Người ta gọi phương pháp chuẩn hóa)
Ví dụ 4: Cho x y z, , số dương thỏa mãn
x y z
Chứng minh 1 15
2
x y z
x y z
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có:
1 1
3
x y z xyz
3
x y z xyz nên 1
x y z x y z
Suy x y z 1 x y z
x y z x y z
Đặt
2
t x y z t
Khi ta cần chứng minh 9 15
2
x y z t
x y z t
Áp dụng BĐT cơsi ta có
9 27 27 15
2
4 4
4
t t t
t t t t ĐPCM
Đẳng thức xảy
x y z
Ví dụ 5: Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn 1 1
2 2
a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b c 3
(24)Ta có 1 1
2 2 abc ab bc ca
a b c
Áp dụng BĐT cơsi ta có ab bc ca 33 abc
Suy abc ab bc ca abc 33 abc t3 3t2, với t abc
3 3 4 0 1 2 0 1
t t t t t
Cũng theo BĐT côsi ta có
3
4
3
P a b c abc
abc abc
Suy P 3t 3t
t t t
Áp dụng BĐT cơsi ta có 3t 3 t
t t , mặt khác
1
1
t
t
Do P 3t
t , đẳng thức xảy t hay a b c Vậy minP a b c
Ví dụ 6: Cho x y z, , dương thỏa mãn 1 1 1
x y z
Tìm giá trị lớn 2 22 14
4 15
x y z xyz
P
x y z xyz
Lời giải
Ta có 1 1 1 8xyz x y z xy yz zx xyz
x y z
2
2 2 14 2 2 1
x y z xyz x y z x y z
Áp dụng BĐT cơsi ta có: 1 1 1 xyz
x y z xyz
Từ (1) (2) ta có
2
2
2
2 2 2
4 15
4 15
x y z x y z t t
P
t
x y z với x y z t
Xét
2
2
2 2
3
2
0
4 15 12 45 12 45
t
t t t t
t t t
Suy
2
2
3
4 15
t t
t
1
P
Đẳng thức xảy t hay x y z Vậy max
3
P x y z 3 Bài tập luyên tập
Bài 4.42: Cho x y z, , dương , CMR 25x 4y 9z 12
y z z x x y
Bài 4.43: Cho số dương a b c, , Chứng minh
4
12 17
2
a b c c
(25)Bài 4.44: Cho x y z, , số dương thoả mãn xyz x y z Chứng minh
x y z
Bài 4.45: Cho a b c, , số thực dương
Chứng minh 11 11 11 2 23 6
a b c a b c
bc ca ab a b c
Bài 4.46: Cho x y z, , số không âm thoatr mãn x2 y2 z2 xyz Chứng minh
x y z
Bài 4.47: Cho x y z, , số thực thỏa mãn x2 y2 z2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thứcP x3 y3 z3 3xyz
Bài 4.48: Cho x y z, , (0;1) xyz (1 x)(1 y)(1 z) Chứng minh 2
x y z
Bài 4.49: Cho số thực x y, thỏa x 2y Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
2 2
2
(2 13 )
( )
x y xy xy
P
x y
DẠNG 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ 1 Phương pháp giải
Điều quan trọng dạng toán cần phát bất đẳng thức phụ Bất đẳng thức phụ BĐT có từ đặc điểm BĐT cần chứng minh dự đoán đưa BĐT phụ từ vận dụng vào tốn
2 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho a b c, , số dương Chứng minh rằng: a) a3 b3 c3 a b c
abc
b c a
b) 3 31 3 31 3 13
abc
a b abc b c abc c a abc
Lời giải
Trước tiên ta chứng minha3 b3 a b2 b a2
BĐT tương đương vớia3 b3 a b2 b a2 0 a a2( b) b b2( a) 0
(a b a) ( b) (đúng với a 0,b ) 3 2
a b a b b a Đẳng thức xảy a b a) Ta có a3 b3 a b2 b a2 a3 12 12
ab
b a b
Hồn tồn tương tự ta có b3 12 12 1, c3 12 12
bc ac
c b c a c a
Cộng vế với vế rút gọn ta a3 b3 c3 1
a b c
b c a
Hay a3 b3 c3 a b c abc
b c a , đẳng thức xảy a b c b) Theo tốn ta có : a3 b3 a b2 b a2 ab a( b)
3
3
1
( )
( ) ( )
c
a b abc ab a b c
ab a b c abc a b c
a b abc
Tương tự : 3 31 ; 3 13
( ) ( )
a b
abc a b c abc a b c
(26)Cộng ba BĐT lại với ta có đpcm Đẳng thức xảy a b c
Ví dụ 2: Cho a b, số thực Chứng minh rằng: a) 3(a b 1)2 3ab
b) 64a3 3b (a2 b2)2 a b Lời giải
a) Áp dụng bất đẳng thức
2
2 a b
ab nên ta chứng minh3( 1)2 3( )2
a b a b (*)
Thật : (*) 12(a b)2 24(a b) 16 3(a b)2
2
9(a b) 24(a b) 16 (3a 3b 4) 0(đúng) ĐPCM Đẳng thức xảy
3
a b
b) Dễ thấy bất đẳng thức ab Xét ab Áp dụng BĐT
2
2 a b
ab ta có
2
2 2 2
3 2 1 2 2 ( )
64 ( ) ( 16
2
) a b ab a b
a b a b ab aba b a b
Suy 64a3 3b (a2 b2)2 a b Đẳng thức xảy khia b
Ví dụ 3: Cho a số dương b số thực thỏa mãn a2 b2 Tìm giá trị nhỏ P 2a3 2a 2b
a
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức a2 b2 c2 d2 ac bd 2(*), dấu đẳng thức xảy ad bc
Ta có a2 b2 25 a 2b a 2b Suy 2b a
Do
3
2 2
2 1
2 5
a a a a
P b a a
a
a a a (1)
Áp dụng BĐT cơsi ta có a 2,a a 12
a a
Do 3a 12
a a (2)
Từ (1) (2) suy sa P Đẳng thức xảy a 1,b Vậy minP a 1,b
Nhận xét: Bất đẳng thức (*) bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số Ta tổng quát bất đẳng thức Cho 2n số a a1, , , , , , ,2 a b bn 1 2 bn Khi ta có bất đẳng thức
2 2 2 2
1 2 2
(a b a b a bn n) (a a an)(b b bn) Ví dụ 4: Cho a, b, c dương thỏa mãn a b c Chứng minh
a)
3 3
a b c
(27)b) 12 12 12 a2 b2 c2
a b c
Lời giải
a) Áp dụng BĐT a2 b2 c2 ab bc ca hai lần ta có :
4 4 ( )2 ( )2 ( )2 2 2 2 ( )2 ( )2 ( )2
a b c a b c a b b c c a ab bc ca
( )
ab bc bc ca ca ab abc a b c abc(vìa b c )
Suy
4 4
a b c
abc hay
3 3
a b c
bc ca ab ĐPCM Đẳng thức xảy a b c
b) Áp dụng a2 b2 c2 ab bc ca
ta có 12 12 12 1
ab bc ca abc
a b c
Do ta cần chứng minh a2 b2 c2 abc a2 b2 c2 3
abc (*)
Lại áp dụng a b c ab bc ca (ví dụ 1) ta có 2
3
9
ab bc ca
ab bc ca abc a b c abc (**)
Áp dụng bất đẳng thức
3
3
a b c
abc (**) ta có
3
2 2 2 2
2 2 3
9
ab bc ca a b c a b c
abc a b c
Vậy BĐT (*) nên BĐT ban đầu ĐPCM Đẳng thức xảy a b c
Ví dụ 5: Cho a b c, , số dương Chứng minh
a) 1 1 1( 1)
2a b c 2a 2b c a b 2c a b c
b) 1 1 1
3 3 2
a b b c c a a b c a b c a b c
lời giải
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực khơng âm ta có:
1 1
( )( ) 2
1 1
2
a b ab
a b ab
a b ab
a b ab
Suy 1
a b a b (*) Đẳng thức xảy a b a) Áp dụng BĐT (*) ta có:
1 1 1 1
( ) ( )
2a b c (a b) (a c) a b a c 16 a b c Tương tự ta có 1 1( 1); 1 1( 2)
2 16 16
a b c a b c a b c a b c
Cộng ba BĐT ta có đpcm Đẳng thức xảy a b c b) Áp dụng BĐT (*) ta có:
1
3 2 2
a b a b c a b c a b c
(28)1 1 ;
3 2 2
b c a b c a b c c a a b c a b c
Cộng ba BĐT ta có đpcm Đẳng thức xảy a b c
Ví dụ 6: Cho a b c, , dương thỏa mãn a b c Chứng minh
a)
1 1
a b c
a b c
b) 2 12 2 1 30
ab bc ca
a b c
Lời giải
Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực dương ta có :
3
3
3
1 1
( )( ) 3
1 1
3
a b c abc
a b c abc
a b c abc
a b c abc
Suy 1
a b c a b c (*) Đẳng thức xảy a b c
a) Ta có BĐT 1 1 1
1 1
a b c
a b c
1 1 1
3 ( )
1 1 1
a b c a b c
Áp dụng BĐT (*) ta có 1 9
1 1
a b c a b c đpcm
Đẳng thức xảy
3
a b c
b) Áp dụng BĐT (*) ta có : 1
ab bc ca ab bc ca
2 2 2
1 1 1
ab bc ca ab bc ca
a b c a b c
2 12 2 1
ab bc ca ab bc ca ab bc ca
a b c
Mặt khác : 1( )2 21
3
ab bc ca a b c
ab bc ca
2 2 2
1 1
9
2( )
ab bc ca ab bc ca
a b c a b c ab bc ca
Suy : 2 12 2 1 21 30 ab bc ca
a b c đpcm
Đẳng thức xảy
3
a b c
Ví dụ 7: Cho a b c, , số thuộc 0;1 thỏa mãn 41 42 43 4a 4b 4c Tìm giá trị lớn P ab c2
Lời giải
Ta chứng minh bất đẳng thức sau
Với x y, thuộc [0,1], ta ln có 41 41 2 22
(29)4 2 4 2x 2y 4x y 4x 4y
4 2 4 2 8x y 10x y x y 4x y
2 2 2
(5 4x y )(x y ) (đúng với x y, [0,1]) Dấu xảy x y
Áp dụng BĐT (*) ta có: 41 41 2 22 , 41 41 2 22 4a 4c 4a c 4b 4c 4b c
Suy 41 41 42 2 22 2 22 42
4a 4b 4c 4a c 4b c 4abc (1)
Và 41 22 , 4 1 22
7
4 5
4 5
2
b b c c
Suy 41 41 22 22
7
4 5
4
4 5
2
2
bc
b c b c (2)
Ta lại có 2
2
4
4
4 4. 5
2 2
bc
abc ab c (3)
Từ (1), (2) (3) ta có 4 4 4
2
1
7
4 5
4
2
a b c ab c
Kết hợp giả thiết suy 3
8
7
4
2
ab c ab c
Dấu xảy
a b c
Vậy max 16
P
2
a b c
3 Bài tập luyện tập
Bài 4.50: Cho a, b, x, y R Chứng minh bất đẳng thức sau:
2 2 ( )2 ( )2
a x b y a b x y (1)
Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau:
a) Cho a, b thoả a b Chứng minh 1 a2 1 b2 5 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2
2
1
a b
b a
c) Cho x, y, z > thoả mãn x y z Chứng minh:
2 2
2 2
1 1
82
x y z
x y z
d) Cho x, y, z > thoả mãn x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 223 x2 223 y2 223 z2 Bài 4.51: Cho a b, dương Chứng minh 1
(30)a) 1 1
a b c a b b c c a ; với a, b, c >
b) 1 1
2 2
a b b c c a a b c a b c a b c ; với a, b, c > c) Cho a, b, c > thoả 1
a b c Chứng minh:
1 1
1 2a b c a 2b c a b 2c d)
2
ab bc ca a b c
a b b c c a ; với a, b, c >
e) Cho x y z, , dương thoả mãn x 2y 4z 12 Chứng minh:
2 4
xy yz xz
x y y z z x
f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng:
1 1 1
2
p a p b p c a b c
Bài 4.52: Cho a b c, , số dương Chứng minh 1
a b c a b c (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau:
a) ( 2 2) 1 3( )
2
a b c a b c
a b b c c a với a b c, , dương
b)
1 1
a b c
a b c Với a b c, , dương thoả a b c
c) 2 2 2
2 2
a bc b ac c ab Với a b c, , dương thỏa mãn a b c
d) 2 12 2 2009 670
ab bc ca
a b c Với a b c, , dương thỏa mãn a b c Bài 4.53: Cho a b c, , abc Chứng minh :
5 5 5
ab bc ca
a b ab b c bc c a ac
Bài 4.54: Cho ba số thực không âm a b c, , khơng có hai số đồng thời khơng Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b c ab2 bc2 ca2