Trong trường hợp bất kì, mặt phẳng P chia tứ diện SABC thành hai phần.. Tìm m để hàm số có cực đại.. Trong trường hợp SABC là tứ diện đều cạnh a , xác định và tính theo a d[r]
(1)ĐỀ HSG 12 TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM 2019
MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT
Câu (2.0 điểm)
a Cho hàm số
1
y x
có đồ thị đường cong
C điểm5 ;
I
Viết phương trình đường thẳng d qua I cắt
C hai điểm M , N cho I trung điểm MNb Cho hàm số
2 2 y x x x m
, với m tham số Tìm m để hàm số có cực đại Câu (2.0 điểm)
a Giải phương trình sau tập số thực :
3 7x2 9x 12 x 3 x 2 5 x 3 x 3 1
x
b Cho sáu thẻ, thẻ ghi số tập E
1;2;3; 4;6;8
(các thẻ khác ghi số khác nhau) Rút ngẫu nhiên ba thẻ, tính xác suất để rút ba thẻ ghi ba số số đo ba cạnh tam giác có góc tùCâu (2.0 điểm) Cho tích phân
20
( ) sin d
t
I t
x x x a Tính I t( ) t .b Chứng minh I t( )I t( ) 0, t
Câu (3.0 điểm) Cho khối tứ diện SABC hai điểm M N, thuộc cạnh SA SB, cho
1
,
2
SM SN
MA NB Gọi
P mặt phẳng qua hai điểm M N, song song với đường thẳng SC.a Trong trường hợp SABC tứ diện cạnh a, xác định tính theo a diện tích thiết diện khối tứ diện SABC với mặt phẳng
Pb Trong trường hợp bất kì, mặt phẳng
P chia tứ diện SABC thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phầnCâu (1.0 điểm) Chứng minh với số ngun dương n1 ta ln có:
1
logn n1 logn n2
(2)GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HSG 12 TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM 2019
MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT
Câu (2.0 điểm).
a Cho hàm số
1
y x
có đồ thị đường cong
C điểm5 ;
I
Viết phương trình đường thẳng d qua I cắt
C hai điểm M N, cho I trung điểm MNLời giải
Tác giả:Trần Thị Thúy; Fb: Thúy Minh, Huyen Nguyen
Cách :
+ Gọi d qua điểm
5 ;
I
có hệ số góc k có phương trình là:
5
6
y k x
12 10 15
12
kx k
y
+ Xét phương trình hồnh độ giao điểm
C d:1 12 10 15
12
kx k x
0
12 10 15 12 *
x
g x kx k x
+ Đường cong
C cắt d hai điểm M N, phương trình
* có hai nghiệm phân biệt khác
0
0
k
g
20
10 15 4.12
12
k
k k
0
219 84 50
219 84 50
k
k
k
.
+ Với k thỏa mãn
1 , gọi x x1; 2 hoành độ hai điểm M N, , với x x1; 2 hai nghiệm phương trình
*+ Theo định lý Vi-et ta có:
1
5
12
k x x
k
+ I trung điểm MN khi:
1 2 I x x x
5
12
k k
2
k k k
(3)+ Với
3
k
ta có phương trình đường thẳng d là: 3x 2y 5
Cách 2:
+
1 ;
M m C
m
, I trung điểm MN nên ta có:
2 ;2
;53
I M I M
N x x y y m
m
5
;
3
m m m
+ Vì N
C suy5
2
m
m m
5 0;
3
5
m m
m m m
2
5
0;
3
3 3
m
m m
m
m m
.
+ Với m2 ta có
1
2; ; ;3
2
M N .
+ Với
1
m
ta có
1
;3 ; 2;
3
M N .
+ Đường thẳng d qua hai điểm M , nhận
7 7
; 2;3
3
MN
làm vecto phương, hay nhận n
3; 2
làm vecto pháp tuyến :
3 2
2
x y
3x 2y 5 0.
Vậy phương trình đường thẳng d cần tìm là: 3x 2y 5 b Cho hàm số
2
2x m
y x x
, với mlà tham số Tìm mđể hàm số có cực đại Lời giải
Tác giả:Đặng Ân; Fb:Đặng Ân Nguyễn Văn Diệu; Fb Dieupt Nguyên
Hàm số
2 2x m
y x x
TXĐ: .
Trường hợp 1: m1 x2 2x m 0 với x . +
2 2x m x2 x m
y x x
, hàm số có đồ thị Parabol nên có cực tiểu, suy m1 khơng thỏa mãn.
(4)+
2
2
khi ;1 1 ;
2
3 1 ;1
x x m x m m
x m
x x m x m m
y x x
+
2 ;1 1 ;
2 1 ;1
x x m m
y
x x m m
.
+)
1
2
2
x x
Dễ thấy
1
1
2
m
với m1
1
1
2
m m
+)
3
2
2
x x
Dễ thấy
3
1
2
m
với m1
3
1
2 m m4 .
+) Với
3
m
, ta có bảng xét dấu y:
Hàm số đạt cực đại
3
x +) Với
3
1
4m , ta có bảng biến thiên
Hàm số khơng có cực đại Dễ thấy
3
m
hàm số khơng có cực đại Vậy hàm số có cực đại với
3
m Câu (2.0 điểm)
a Giải phương trình sau tập số thực :
3 7 9 12 3 2 5 3 3 1
x x x x x x x Lời giải
Tác giả: Đặng Mai Hương, Ngô Quốc Tuấn, FB: Đặng Mai Hương, Quốc Tuấn
Cách 1:
3 7 9 12 3 2 5 3 3 1
x x x x x x x
(điều kiện x3)
4
3
3
3
3
x
x x x x x x
x
2
4
5 15
3
3
x
x x x x x
x x
x
(5)
4 Nhan
8 12
x
x x x x
.
Giải
1 :
8 12
x x x x Đặt t x 0
Phương trình
1 trở thành:
2 2 3 3 2 t t t t
(Phân tích phương trình
2 sau:
2
VT t at b t ct dt e
Đồng hệ số )
2
2
3
1
2 :
3 vo nghiem t
t t
t t t t
t t
.
1
Nhan
1
2 3 Nhan
2
1
0 Loai
t
x x
t
.
Vậy tập nghiệm phương trình cho
9
4;
S
.
Cách 2: Điều kiện: x3.
Phương trình cho tương đương với:
2
2 3
4 3
3
x x x x
x x x x
x
2
4 Nhan
5 3
3
3
x
x x x x
x x
x
Giải (1):
2
2 3 3 3 0
3
x x x x
x x
x
x2 3x 3
x 3 1
x2 5x 6 5
x 3
x 3 0
9 2x x 8x 12 x
3 12 46 57 8 12 4 3 0
x x x x x x x
x 3
x2 9x 19
x2 8x 12
x 4 x 3
0
x 3
x 4 x 3
x 4 x 3
x2 8x 12
x 4 x 3
0 (6)
x x 3
x 3
x x 3
x2 8x 12
x x 3
3 x
x x
3
3
x x
x x x
*Giải (2):
4 9 5
3 2
2
9 19
9
2
x
x x
x x x
x x x .
*Giải
3 :
3 x
x 3 x0
x 3
3 x(vô nghiệm x3)
Vậy phương trình cho có tập nghiệm
9
4;
S
.
Cách 3:Phương trình cho tương đương với:
4
3 3
3
2 5 3
3
x
x x x x x x
x
Nhan3 3
3
x
x x x x x
x . Giải (1):
2 3 3 3
3
x x
x x x
x
2 3 3 2 5 3
3
x x x x
x x
4 5( 4)
4
x x x x
x x
.
Xét hàm số
2 5 1
,
1
t t
f t t
t .
2 0, t tf t t
t
, suy hàm số
2 5 1
1 t t f t t
đồng biến
0;
.Suy x 3 x
4 x x x 9 19
(7)Vậy phương trình cho có tập nghiệm
9
4;
S
.
b) Cho sáu thẻ, thẻ ghi số tập E
1;2;3; 4;6;8
(các thẻ khác ghi các số khác nhau) Rút ngẫu nhiên ba thẻ, tính xác suất để rút ba thẻ ghi ba số số đo ba cạnh tam giác có góc tùLời giải
Cách Admin Nguyễn Trung Kiên.
Lấy ba thẻ từ 6thẻ có số cách lấy C63, nên số phần tử không gian mẫu
3 20 C
Gọi biến cố A: “rút ba thẻ ghi ba số số đo ba cạnh tam giác có góc tù” Giả sử rút ba số
a b c; ;
, với a b c , 4c, nên c
4;6;8
.a, b, c ba cạnh tam giác ABC, với BC a , CA b , AB c có góc C tù
2 2
cos
2
a b c
C
ab c a b
2 2
4
a b c
c a b
a2b2 c a b, với c
4;6;8
. +Xét c4 có
a b;
2;3
thỏa mãn.+Xét c6, a b c , 6 c a b 2b, nên b4 a3 Suy có
a b;
3; 4
thỏa mãn+Xét c8, a b c , 8 c a b 2b, nên b6 a3 a4 Suy có hai bộ
a b;
3;6
hoặc
a b;
4;6
thỏa mãn Suy số phần tử biến cố A A 4.Nên xác suất cần tìm
4
20
A
p
.
Câu (2.0 điểm) Cho tích phân
20
sin d
t
I t
x x x a Tính I t
t.Lời giải
Tác giả: Trần Quốc Khang, Hà Lê; Fb: Bi Trần, Ha Le
a Khi t, ta có:
+
2 2
0
1
sin d cos d
2
I x x x x x x
3
2
0
1
cos d
2
x
x x x
1.6 J
(8)+ Với
2
0
cos d
J x x x
Đặt
2 d d
1 sin
d cos d
2
u x x u x
v x
v x x
+ Ta có
0
0
sin sin d sin d
2
x
J x x x x x x x
Đặt
1
1
d d
1
d sin d cos
2
u x
u x
v x x v x
0
1
cos cos d
2
x
J x x x
1
cos sin
2
x
x x
.
+ Vậy
3 1 1
6 2
I J b Chứng minh rằng: I t
I
t 0Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Bình; Fb:Nguyễn Bình
+ Xét
2
0
( ) ( sin ) d
t
I t x x x
Đặt xu, suy dxdu. Đổi cận: x0 u0; xt u t .
Khi đó:
2
20
( ) sin( ) du sin d
t t
I t
u u
x x xVậy
2
0
( ) ( ) ( sin ) d ( sin ) d
t t
I t I t
x x x
x x x(đpcm)
Nhận xét: Nếu làm trắc nghiệm làm nhanh Do hàm số y( sin )x x hàm chẵn nên ta có tính chất:
0
2
0
( sin ) d ( sin ) d
t
t
x x x x x x
Khi đó:
2
0
( ) ( ) ( sin ) d ( sin ) d
t t
I t I t x x x x x x
0
2
0
( sin ) d ( sin ) d
t
t
x x x x x x
Câu (3.0 điểm) Cho khối tứ diện SABC hai điểm M , N thuộc cạnh SA, SB cho
1
,
2
SM SN
MA NB Gọi
P mặt phẳng qua hai điểm M , N song song với đường thẳng SC.a Trong trường hợp SABC tứ diện cạnh a, xác định tính theo a diện tích thiết diện khối tứ diện S ABC với mặt phẳng
PLời giải
(9)*) Xác định thiết diện
Ta có:
/ /
SC P
SC SAC
M P SAC
P SAC
MF
MF/ /SC F; AC
.Ta có:
/ /
SC P
SC SBC
N P SBC
P SBC
NE
NE SC E BC/ / ;
. Thiết diện tứ giác MNEF .Mặt khác ta có: +)NE/ /MF
/ /SC
+) SMNCFE MNFE.
+)
1 / /
3
NE BN a
NE SC NE
SC BS
+)
2
/ /
3
MF AM a
MF SC MF
SC AS
(10)XétSMN có
2 2. . .
3
a MN SM SN SM SN cosMSN
KẻNH MF, MNEFlà hình thang cân
MF NE a
MH
11
6
a NH
Vậy diện tích thiết diện là:
2
1 11 11
2 3 12
MNEF
a a a a
S NE MF NH
.
b Trong trường hợp bất kì, mặt phẳng
P chia tứ diện SABC thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phầnLời giải
Tác giả: Trương Hồng Hà & Vũ Việt Tiến; Fb: Trương Hồng Hà & Vũ Việt Tiến
Cách 1: Vì mp P
qua M N, song song với SC nên:
P SAC
MF F,
AC MF, / /SC
;
P SBC
NE E BC NE SC,
, / /
Khi1
CF SM
CA SA ;
2
CE SN
CB SB .
Mặt phẳng
P chia khối tứ diện SABC thành hai khối: MNEFSC MNEFAB + Gọi VSABC V V, MNEFSC V V1, MNEFAB V2.+ Ta có V1 VMNEFSC VCSEFVSFMEVSMNE. +
2
9
CSEF
CSEF CSBA
V CE CF
V V
V CB CA .
+
1
SFME SFAE
V SN
(11)+ Mà
, , AEF SFAE AEF SABC ABC ABC d S AEF SV S
V d S ABC S S
2 ,, 4
3
2
1 , . ,
2
d B AC AC
d E AF FA
d B AC AC d B AC AC
4 9 SFAE SFAE SABC V V V V
2 Từ (1) (2) suy1 4
3 27
SFME
V V V
+
1 2
3
SMNE SABE
V SM SN
V SA SB
3+ Mà
, , ABE SABE ABE SABC ABC ABC d S ABE SV S
V d S ABC S S
1
, 1
2
1 3
,
2
d A BE BE BE BC d A BC BC
1 3 SABE SABE SABC V V V V
4 Từ (1) (2) suy2
9 27
SABE
V V V
+ Do
2 4
9 27 27
CSEF SFME SMNE
V V V V V V V V 2
9 V V + Vậy V
V V V
Cách 2: Vì MF/ /NE SC/ / nên tứ giác MNEF hình thang Gọi I FEMN IAB.
Theo định lý Mennelaus, ta có
+
SM AI BN AI
AM BI SN BI
1 IB IA
+ 1
AB IE FC IE
IB FE AC FE E trung điểm FI. +
1 1
4 2 16
IBNE IAMF
V IB IN IE
V IA IM IF
15
MNEFAB IAMF IBNE IAMF
V V V V V
Mặt khác IAMF BAMF V IA
V BA
4 IAMF BAMF V V + 2 ; 3 ABF ABC AM S S AS
9 BAMF SABC V V
15 4
16 SABC
V V V
1
9 V V + Vậy V
V V V
Câu (1.0 điểm) Chứng minh với số nguyên dương n1 ta có:
1
(12)Lời giải
Tác giả:Hoàng Văn Phiên; Fb:Phiên Văn Hoàng
Cách 1
+ Xét
1
1
log
log log
log
n
n n
n n
A n n
n
+ Áp dụng bất đẳng thức AM GM cho hai số dương logn1n logn1
n2
ta được:
1
1
log log
log log
2
n n
n n
n n
n n
log
2
2
n n n
+ Mà n22n n 22n1 nên
2
2 2 1
n n n
2
1 1
log log log
1
2 2
n n n n n n n n
1
1 1
log
log log 1 log log
log
n
n n n n
n n
n n n n
n
Cách 2
Tác giả:; Fb:Nguyen Trang
+ Với số nguyên dương n1 ta có:
1
logn n1 logn n2
ln ln
ln ln
n n
n n
.
+ Xét hàm số
ln
ln
x y
x
với x1.
+ Ta có:
2
ln
ln
ln ln
1
ln ln
x x
x x x x
x x
y
x x x x
+ Với x 1 x 1 x1; ln
x1
lnx0 xlnx
x1 ln
x1
0.0,
y x
.
Suy hàm số nghịch biến