Đề thi thử THPT quốc gia

Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I cần máy thứ nhất làm việc trong 3 giờ và máy thứ hai làm việc trong 1 giờ.. Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại II cần máy thứ nhất làm việc trong 1 giờ v[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2017 - 2018

MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi: 04/04/2018 (Đề thi gồm 01 trang) Câu I (2,0 điểm)

1) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số

2

6 4x 2018 ( 1) 2( 1)

x y

m x m x

  

    có tập xác định

2) Cho hai hàm số y x2 2m1x2m y2x3 Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểmAvàBphân biệt cho OA2 OB2nhỏ (trong Olà gốc tọa độ)

Câu II (3,0 điểm)

1) Giải phương trình 5 x 5x 4 2x7

2)Giải bất phương trình 11x2 19x19 x2   x 2x1 3) Giải hệ phương trình    

 

2

4

2 14

xy xy y y y

xy x y x y

     

 

   

 Câu III (3,0 điểm)

1) Cho tam giácABCcóAB6;BC 7;CA5.GọiM điểm thuộc cạnhABsao cho

2

AM  MB N điểm thuộc AC cho AN k AC (k ).Tìm k cho đường thẳngCM vng góc với đường thẳngBN

2) Cho tam giácABC có BC a CA, b AB, c p nửa chu vi tam giác Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác Biết ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

2

c p a a p b b p c

IA IB IC

     

Chứng minh tam giác ABC

3) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng ABlà

2

x y  Biết phương trình đường thẳng BD x7y140và đường thẳng ACđi qua điểm

(2,1)

M Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật Câu IV (1,0 điểm)

Một xưởng sản xuất có hai máy, sản xuất hai loại sản phẩm I II Một sản phẩm loại I lãi triệu đồng, sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng Để sản xuất sản phẩm loại I cần máy thứ làm việc máy thứ hai làm việc Để sản xuất sản phẩm loại II cần máy thứ làm việc máy thứ hai làm việc Mỗi máy không đồng thời làm hai loại sản phẩm lúc Một ngày máy thứ làm việc không giờ, máy thứ hai làm việc không Hỏi ngày nên sản xuất loại sản phẩm để tiền lãi lớn nhất?

Câu V (1,0 điểm)

Chứng minh với số thực a b c, , dương thỏa mãn a2 b2 c2 27thì:

2 2

1 1 12 12 12

63 63 63

abbcca  a  b  c  Hết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

DỰ THẢO HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT – NĂM HỌC 2017 - 2018

MƠN: TỐN

(Dự thảo hướng dẫn chấm gồm trang)

Câu Nội dung Điể

m Câu

I.1 1,0 đ

Tìm tất giá trị tham số m để hàm số sau có tập xác định

2

6 4x 2018 ( 1) 2( 1)

x y

m x m x

  

   

Hàm số có tập xác định

( ) ( 1) 2( 1) 0,

f x  m x  m x   x

0,25 Với m1, ta có f x( ) 4 0,  x Do m1 thỏa mãn

0,25

Vớim1, ( ) 0, 2

( 1) 4( 1) m

f x x

m m

 

        

 0,25

1

( 1)( 5) m

m m

 

     

1 m

   Vậy1 m 0,25

Câu I.2 1,0 đ

Cho hàm số  

2

yx  m x m hàm số y2x3 Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểm A B cho OA2 OB2nhỏ (trong Olà gốc tọa độ) Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị

 

2

2 2

x  m x m x hay x2 2mx2m 3 0(*) 0,25 Ta có:  ' m2 2m 3 0 với m nên (*) ln có hai nghiệm phân biệt hay hai đồ

thị cắt hai điểm phân biệt A,B 0,25 Gọi xA,xB hai nghiệm phương trình (*) Khi A x A; 2xA3 , B xB; 2xB3

Ta có OAxA; 2xA 3 , OBxB; 2xB 3

   

   

     

2

2 2

2 2

2 3

5 12 18

5 12 18 10

A A B B

A B A B

A B A B A B

OA OB x x x x

x x x x

x x x x x x

      

    

     

0,25

Theo định lí Vi-et ta có xA xB 2 ,m x xA B  2m3

Khi (1) trở thành 2

20 44 48

OA OB  m  m 20( 11)2 119

10

m

  

Tìm 2

OA OB nhỏ 119

5

11 10

m  Vậy 11

10

m  giá trị m cần tìm

CâuII. 1 1,0 đ

Giải phương trình: 5 x 5x 4 2x7

Điều kiện: (*) 5 x

3 5 x 5x 4 2x7

 

3 x (7 x) 5x x

       

0,25

 2

2 3 4 5

0

3 (7 )

x x x x

x x x x

     

  

    

 2

4

3 (7 )

x x

x x x x

 

      

    

  (**)

0,25

do

3 5 x (7x) 5x 4 x 

4 [ , 5]

5

x

  nên

(**)

1

x x x

x

     

   



0,25

Đối chiếu điều kiện thấy thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình S {1; 4} 0,25 CâuII.

2 1,0 đ

Giải bất phương trình 2

11x 19x19 x   x 2x1

Điều kiện:

2

2

6

2

11 19 19

x x

x x

x x

   

    



   

 0,25

Bất phương trình cho tương đương với

2

11x 19x19 (x2)(x32 2x1

26 17 (2 1)(

0

1 x  x  x x ) x2

 0,25

2

5(2x 5x 3) 2x 5x x (x 2)

         

2

2 5

5

2

2

x x x x

x x

   

  

  

2

2

1

x x

x  

 



2

2x 5x x 2x 6x

        

Ta 19 19

2 x

   

Kết hợp điều kiện x3 3 19

x 

 

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: [3;3 19)

S  

0,25

CâuII. 3 1,0 đ

Giải hệ phương trình:    

 

2

4

2 14

xy xy y y y

xy x y x y

     

 

   



Hệ phương trình      

    

2 2 2

2

2 12

xy y x y y

x y xy y

            0,25 Xét y= không nghiệm hpt

Xét y0 chia vế phương trình (1) cho

y , chia vế phương trình (2) cho y ta được:

   

2

1

2

1

2 12

x x y

y

x y x

y                       0,25 Đặt 2 a x y

b x y

         có HPT 3 12 a a b b ab              0,25 hay x y x y           

Giải hệ ta nghiệm (-2;1) 1;       0,25 Câu III.1 1,0 đ

Cho tam giác ABCcó AB = ; BC = ;CA = M điểm thuộc cạnh AB cho AM = 2MB ; N thuộc AC cho AN k AC Tìm k để CM vng góc với BN

2

CM  AM AC  ABAC BN  ANABk ACAB

0,25

Suy 2( )( ) 2 2

3 3

k

CM BN  ABAC k ACAB  AB AC AB k AC AB AC

0,25

 2 2

2

2

AB AC BC

ABAC CB AB AC    

2

3

2

.6 36 25 21 18

3

k

BN CM BN CM AB AC AB k AC AB AC

k

k k k

       

            0,25

Câu III.2 1,0 đ

Cho tam giácABC có BC a CA, b AB, c p nửa chu vi tam giác Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác Biết ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

2

c p a a p b b p c

IA IB IC

     

Chứng minh tam giác ABC

Gọi M tiếp điểm AC với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Khi ta có

,

AM  p a IM r Áp dụng định lí Pitago tam giác AIM ta có

2 2 2

( )

IA  AM MI  pa r

0,25

Gọi S diện tích tam giác ABC r S p

 nên IA2 (p a)2 ( )S

p

  

0,25 Mà S2  p p( a p)( b p)( c) nên IA2 (p a)2 (p a p)( b p)( c) (p a bc)

p p

   

   

Suy c p( 2a) p b IA



 Tương tự a p( 2b) p

c IB

 

b p( 2c) p a IC

 

0,25

Từ

2 2

( ) ( ) ( )

c p a a p b b p c

IA IB IC

      p p p

a  b  c

1 1

( )( )

2 a b c a b c

     

Dấu đạt a b c Vậy ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

2

c p a a p b b p c

IA IB IC

     

tam giác ABC

0,25

Câu III.3 1,0 đ

Trong mặt phẳng toạ độ C, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB:

2

x y  , phương trình đường thẳng BD: x7y140, đường thẳng AC qua M(2; 1) Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật

21

2 21 13

( ; )

7 14 13 5

5 x

x y

B

x y

y      

  

    

  



0,25

Do ABCD hình chữ nhật nên góc hai đường thẳng AC AB góc hai đường thẳng AB BD Giả sử 2

( ; ), ( 0) AC

n  a b a b  VTPT AC Khi

2

2

os( , ) os( , )

3

2

7

7

AB BD AC AB

c n n c n n

a b a b

a b

a ab b b

a 

   

   

    

   

0,25

+ Với a b Chọn a = 1, b = -1 Phương trình AC: x – y – =

AABAC nên toạ độ A nghiệm hệ: ( 3; 2)

2

x y x

A

x y y

   

 

 

     

 

Gọi I giao AC BD toạ độ I nghiệm hệ:

1

( ; )

7 14 2

2 x x y

I

x y

y      

  

    

  



Do I trung điểm AC BD nên tính (4;3); (14 12; )

5

C D

0,25

+ Với b 7a( Loại AC khơng cắt BD)

0,25 Câu

IV 1,0 đ

Một xưởng sản xuất có hai máy sản xuất hai loại sản phẩm I II Một sản phẩm I lãi triệu đồng, sản phẩm II lãi 1,6 triệu đồng Để sản xuất sản phẩm loại I máy thứ làm việc máy thứ hai làm việc Để sản xuất sản phẩm loại II máy thứ làm việc máy thứ hai làm việc Mỗi máy không đồng thời làm hai loại sản phẩm lúc Một ngày máy thứ làm việc không , máy thứ hai làm việc không Hỏi ngày sản xuất loại sản phẩm để tiền lãi lớn nhất?

Gọi x, y số sản phẩm loại I, II cần sản xuất ngày (x y; 0)

Tiền lãi ngày L2x1, 6y (triệu đồng) Một ngày máy thứ làm việc 3x y giờ, máy thứ hai làm việc xy

Theo gt có:

;

3

4 x y x y x y

 

   

   

0,25

Khi tốn trở thành tìm x; y thỏa mãn hệ cho L2x1, 6y đạt giá trị lớn

nhất 0,25

-6 -5 -4 -3 -2 -1 10

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

x y

O

A B C

0,25

L đạt giá trị lớn đỉnh tứ giác.Thay tọa độ điểm

(0; 0), (2; 0), (1;3), (0; 4)

O A B C vào biểu thức L ta L đạt giá trị lớn B(1; 3) Khi L2x1, 6y2.1 1, 6.3 6,8 Vậy để thu tiền lãi cao ngày sản xuất sản phẩm loại I sản phẩm loại II

0,25

Câu V 1,0 đ

Chứng minh với số thực a b c, , dương thỏa mãn 2

27

a b c  thì:

2 2

1 1 12 12 12

63 63 63

abbcca  a  b  c 

1 1 1

2

2 ( )( )

abbc  ab bc  ab bc  a bc Chứng minh tương tự ta có

1

2

bc ac  a cb

1

2

abac b ac

Suy 1 1

2 2

a b c b a c b a c a b c b c a

 

      

          

0,25

Ta chứng minh 2

2 63

b ac  a  Thật vậy:

2 2

2 2

1

2 63

63 12 36 12

2( 3) ( 3) ( 3)

b a c a

a b a c a b c b a c

a b c



  

            

      

Điều Dấu đạt a  b c

0,25

Vậy 1 2 2 2

2 2 63 63 63

b aca bcb ca  a  b  c  Suy 1 212 212 212

63 63 63