Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại E.[r]
(1)1 PHỊNG GD&ĐT KRƠNG ANA
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MƠN TỐN LỚP
Câu Nội dung Điểm
1
a
Câu (3 điểm) Cho biểu thức
2
1
a a a a
P
a a a a
Hãy rút gọn biểu thức: M P a 1 a
Giải:
P =
2
1
a a a a
a a a a
(ĐKXĐ: a0)
( 1)( 1) ( 1)( 1)
1
( 1) ( 1)
( 1)
a a a a a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
1
M P a a
= a a a a12 a a 1 a a a1
1,5
3
b
Tìm giá trị nhỏ biểu thức A =
M
Giải:
A = 1 2
5
1
2
M a a
a
(Vì
2
1 5
,
2 4
a a
)
Dấu “=” xảy
2
1 1
0
2 2
a a a a
(tmđk)
Vậy minA =
5 a =
1,5
2 a
Câu (3 điểm)
Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình: x2 = y2 + y +
Giải:
Ta có:
x2 = y2 + y + 4x2 = 4y2 + 4y + 20 4x2 - (2y + 1)2 = 19
(2x + 2y + 1)( 2x - 2y - 1) =19
Vì x, y nguyên dương nên 2x + 2y + > 2x + 2y + > 2x - 2y -
(2)2
Do ta có: 2 19
2 1
x y x
x y y
(nhận)
Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên dương là: (x; y) = (5; 4)
b
Vẽ đồ thị hàm số: y x x Giải:
2
y x x
+ Với x < y = - 2x + + Với 2 x y = + Với x > y = 2x -
Đồ thị hàm số đường gấp khúc mABn hình vẽ sau:
n m
y
x
3
1 A B
O
1,5
3
a
Câu (3 điểm)
Chứng minh rằng: 12 12 4 10 10 6 x y x y x y x y Giải:
12 12 4 10 10 6
16 12 4 12 16 16 10 6 10 16 12 4 12 10 6 10
4 8 4 2 2 4 2 6
2
4 2 2
0
( )
( ) ( )
0
0
x y x y x y x y
x x y x y y x x y x y y
x y x y x y x y
x y x x y y x y
x y x x y y x y
x y x y x y
x y x y x x y y
Bất đẳng thức cuối với x, y Vậy 12 12 4 10 10 6
x y x y x y x y
2
3
b
6 2
in os 3sin os
s c c
Giải:
Ta có: 6 2
in os 3sin os
(3)3
6 2 2
3
2
in os 3sin os sin os sin os
s c c c
c 4 a
Câu (4 điểm)
Giải phương trình: x 4 1 x 2 x
Giải:
Ta có: x 4 1 x 2 x x 4 2 x 1x
1
1
4 2 (1 )(1 ) x
x
x x x x x
2
2
x
x x x
2
2
(2 1)
x x
x x x
1 1 2 2 7 x x x x x x x Vậy tập nghiệm phương trình là: S = {0}
4
b
Giải hệ phương trình:
2 10 20 xy y xy x Giải: 2
10 20
5 xy y xy x
Từ phương trình (1)
20 y y 20 y
Từ phương trình (2)
5
x x y x
(vì x2 + > 0, x xy > xy x y )
2
2
2 5
5 5
*) 5
*) 5
x x x
x x x
x y x y
Vậy hệ phương trình có nghiệm:
x y, 5; , 5;2 5
2
5 a
Câu (3 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O), phân giác góc B cắt cạnh AC D, cắt (O) E
Chứng minh: BD ED = AD CD Giải :
(4)4
Ta có :
AE (hai góc nội tiếp chắn BC) 1
B C (hai góc nội tiếp chắn AE)
ABD
ECD g( g)
(1)
BD AD
BD ED AD CD CD ED
1,5
b
Chứng minh: BD2
= BC AB – AD CD
Ta có :
AE (hai góc nội tiếp chắn BC) 2( )
B B gt
ABD
EBC (gg)
BD AB
BD EB AB BC
BC EB
BD(BD + DE) = AB BC
BD2 =AB BC – BD ED (2)
Từ (1) (2) BD2 =AB BC – AD CD
1,5
6 a
Câu (4 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O ; R) Gọi M, N, P trung điểm BC, AB, AC
Tính cạnh tam giác ABC theo góc đối diện R Giải :
P N
M
1
O
C B
A
4
O
1
1
E
D C
B
(5)5
Ta có :
BAC BOC (1) (góc nt góc tâm chắn BC)
BOC
cân O OM vừa đường trung tuyến vừa đường cao vừa đường phân giác
BOC2O1 (2) Từ (1) (2)BACO1
Áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng BOM, ta :
BM = OBsinO1 = RsinBAC BC = 2RsinA (vì BC = 2BM) Chứng minh tương tự ta : AC = 2RsinB ; AB = 2RsinC
2
b
Chứng minh: sin sin sin cos cos cos
A B C
A B C
Áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng AON, AOP, ta :
ON = OAcosAON = RcosC
OP = OAcosAOP = RcosB
Ta có : NP đường trung bình ABCNP = sin 2BC R A Xét NOP có NP < ON + OP RsinA < R (cosB + cosC) sinA < cosB + cosC Tương tự ta có : sinB < cosA + cosC
sinC < cosA + cosB
Từ ta : sin sin sin cos cos cos
A B C
A B C
2
Lưu ý:
- Với tốn hình, HS khơng vẽ hình không cho điểm phần làm liên quan
(6)6 Câu (3 điểm)
a) Tìm số nguyên tố a cho: a + ; a + 10 a + 14 số nguyên tố Giải:
Bất kì số tự nhiên có dạng: 3k, 3k + 3k + 2, k N
Nếu a = 3k + a + = 3k + 3; a + 14 =3k + 15 không số nguyên tố Nếu a = 3k + a + 10 = 3k + 12 3, không số nguyên tố
Do a = 3k
Mà a nguyên tố nên a = a + = 11; a + 10 = 13; a + 14 = 17 số nguyên tố
Vậy a =
Câu
Cho tam giác ABC có đường phân giác AD với D thuộc đoạn BC cho BD = a CD = b (a > b) Tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC E Tính AE theo a b
Giải:
b a
1 3
2
1
O
E C D B
A
Ta có:
A3 B (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nt chắn AC) A2 A gt1( )
BA1 D1 (t/c góc ngồi tam giác) Mà EAD A3A2EAD B A1D1
EAD
cân E EA = ED EC = EA – b EB = EA + a Mặt khác ta có: EA2
= EC EB (EAC EBA )
EA2 = (EA – b)(EA + a) EA ab a b
(7)7
Vậy EA ab a b