Đáp án HSG Toán học lớp 9 cấp huyện Krông Ana, Đắk Lắk 2014-2015 - Học Toàn Tập

Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại E.[r]

(1)

1 PHỊNG GD&ĐT KRƠNG ANA

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MƠN TỐN LỚP

Câu Nội dung Điểm

1

a

Câu (3 điểm) Cho biểu thức

2

1

a a a a

P

a a a a

 

 

   

Hãy rút gọn biểu thức: M  P a  1 a

Giải:

P =

2

1

a a a a

 



    (ĐKXĐ: a0)

( 1)( 1) ( 1)( 1)

1

( 1) ( 1)

( 1)

a a a a a a a a

a a a a

     

 

   

   

    

1

M  P a  a

= a   a a  a12  a a    1 a a a1

1,5

3

b

Tìm giá trị nhỏ biểu thức A =

M

Giải:

A = 1 2

5

1

2

M a a

a

  

      

 

 

(Vì

2

1 5

,

2 4

a a

 

      

  )

Dấu “=” xảy

2

1 1

0

2 2

a a a a

 

          

  (tmđk)

Vậy minA =

5 a =

1,5

2 a

Câu (3 điểm)

Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình: x2 = y2 + y +

Giải:

Ta có:

x2 = y2 + y +  4x2 = 4y2 + 4y + 20 4x2 - (2y + 1)2 = 19

 (2x + 2y + 1)( 2x - 2y - 1) =19

Vì x, y nguyên dương nên 2x + 2y + > 2x + 2y + > 2x - 2y -

(2)

2

Do ta có: 2 19

2 1

x y x

x y y

   

 



     

  (nhận)

Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên dương là: (x; y) = (5; 4)

b

Vẽ đồ thị hàm số: y   x x Giải:

2

y   x x

+ Với x < y = - 2x + + Với 2 x y = + Với x > y = 2x -

Đồ thị hàm số đường gấp khúc mABn hình vẽ sau:

n m

y

x

3

1 A B

O

1,5

3

a

Chứng minh rằng:  12 12 4  10 10 6 x y x y  x y x y Giải:

     

  

   

12 12 4 10 10 6

16 12 4 12 16 16 10 6 10 16 12 4 12 10 6 10

4 8 4 2 2 4 2 6

2

4 2 2

0

( )

( ) ( )

0

x y x y x y x y

x x y x y y x x y x y y

x y x y x y x y

x y x x y y x y

x y x x y y x y

x y x y x y

x y x y x x y y

    

       

    

    

 

     

   

    

Bất đẳng thức cuối với x, y Vậy  12 12 4  10 10 6

x y x y  x y x y

2

3

b

6 2

in os 3sin os

s c  c 

Giải:

Ta có: 6 2

in os 3sin os

(3)

3

 

6 2 2

3

2

in os 3sin os sin os sin os

s c c c

c                4 a

Giải phương trình: x 4 1 x 2 x

Giải:

Ta có: x 4 1 x 2 x  x 4 2 x 1x

1

4 2 (1 )(1 ) x

x

x x x x x

                 2

2

x

x x x

           2

2

(2 1)

x x

x x x

              1 1 2 2 7 x x x x x x x                            Vậy tập nghiệm phương trình là: S = {0}

4

b

Giải hệ phương trình:

2 10 20 xy y xy x          Giải:     2

10 20

5 xy y xy x         

Từ phương trình (1)

20 y y 20 y

      

Từ phương trình (2)

5

x x y x

   

(vì x2 + > 0, x xy > xy x y )

 2

2

2 5

5 5

*) 5

x x x

x y x y                       

Vậy hệ phương trình có nghiệm:

 x y,  5; ,  5;2 5

2

5 a

Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O), phân giác góc B cắt cạnh AC D, cắt (O) E

Chứng minh: BD ED = AD CD Giải :

(4)

4

Ta có :

AE (hai góc nội tiếp chắn BC) 1

B C (hai góc nội tiếp chắn AE)

ABD

  ECD g( g)

(1)

BD AD

BD ED AD CD CD ED

   

1,5

b

Chứng minh: BD2

= BC AB – AD CD

Ta có :

AE (hai góc nội tiếp chắn BC) 2( )

B B gt

ABD

  EBC (gg)

BD AB

BD EB AB BC

BC EB

   

 BD(BD + DE) = AB BC

 BD2 =AB BC – BD ED (2)

Từ (1) (2)  BD2 =AB BC – AD CD

1,5

6 a

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O ; R) Gọi M, N, P trung điểm BC, AB, AC

Tính cạnh tam giác ABC theo góc đối diện R Giải :

P N

M

1

O

C B

A

4

O

1

E

D C

B

(5)

5

Ta có :

BAC BOC (1) (góc nt góc tâm chắn BC)

BOC

 cân O OM vừa đường trung tuyến vừa đường cao vừa đường phân giác

BOC2O1 (2) Từ (1) (2)BACO1

Áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng BOM, ta :

BM = OBsinO1 = RsinBAC BC = 2RsinA (vì BC = 2BM) Chứng minh tương tự ta : AC = 2RsinB ; AB = 2RsinC

2

b

Chứng minh: sin sin sin cos cos cos

A B C

    

Áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng AON, AOP, ta :

ON = OAcosAON = RcosC

OP = OAcosAOP = RcosB

Ta có : NP đường trung bình ABCNP = sin 2BC R A Xét NOP có NP < ON + OP RsinA < R (cosB + cosC)  sinA < cosB + cosC Tương tự ta có : sinB < cosA + cosC

sinC < cosA + cosB

Từ ta : sin sin sin cos cos cos

A B C

    

2

Lưu ý:

- Với tốn hình, HS khơng vẽ hình không cho điểm phần làm liên quan

(6)

6 Câu (3 điểm)

a) Tìm số nguyên tố a cho: a + ; a + 10 a + 14 số nguyên tố Giải:

Bất kì số tự nhiên có dạng: 3k, 3k + 3k + 2, k  N

Nếu a = 3k + a + = 3k + 3; a + 14 =3k + 15 không số nguyên tố Nếu a = 3k + a + 10 = 3k + 12 3, không số nguyên tố

Do a = 3k

Mà a nguyên tố nên a =  a + = 11; a + 10 = 13; a + 14 = 17 số nguyên tố

Vậy a =

Câu

Cho tam giác ABC có đường phân giác AD với D thuộc đoạn BC cho BD = a CD = b (a > b) Tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC E Tính AE theo a b

Giải:

b a

1 3

2

1

O

E C D B

A

Ta có:

A3 B (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nt chắn AC) A2 A gt1( )

BA1 D1 (t/c góc ngồi tam giác) Mà EAD A3A2EAD B A1D1

EAD

  cân E EA = ED  EC = EA – b EB = EA + a Mặt khác ta có: EA2

= EC EB (EAC EBA )

 EA2 = (EA – b)(EA + a) EA ab a b

 

(7)

7

Vậy EA ab a b

 