Đang tải... (xem toàn văn)
Mặt phẳng LTV chia hình chóp thành hai khối đa diện, hãy tính thể tích của khối đa diện chứa đỉnh S.. có thể tích bằng 1.[r]
(1)TÀI LIỆU VD-VDC TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TNTHPT 2020
Câu (Chun Biên Hịa - Hà Nam - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Hai điểm M, N thuộc đoạn thẳng AB AD (M N không trùng với A) cho AB 3AD
AM AN Kí hiệu V , V1 thể tích khối chóp S ABCD
S MBCDN Tìm giá trị lớn tỉ số V1
V
A 13
16 B
11
12 C
1
6 D
2
Câu (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Gọi P trung điểm SC Mặt phẳng chứa AP cắt hai cạnh SD, SB M N Gọi V thể tích khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ tỉ số V
V
A 3
8 B
1
3 C
2
3 D
1
Câu (Chuyên Hưng Yên - 2020)Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có đáy tam giác vng A, AB2, AC Góc CAA 90, BAA 120 Gọi M trung điểm cạnh BB (tham khảo hình vẽ) Biết CM vng góc với A B , tính thể tích khối lăng trụ cho
A
3 33 V
B 33
8
V C
3 33 V
D 33
4 V
Câu (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác vuông cân C, AB2a góc tạo hai mặt phẳng ABC ABC 60 Gọi M N, trung điểm A C BC Mặt phẳng AMN chia khối lăng trụ thành hai phần Thể tích phần nhỏ
A
7 24
a
B
3
6 a
C
3
7 24 a
D
3
3 a
Câu (Chuyên KHTN - 2020) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh a Gọi , , , , ,
M N P Q R S tâm mặt hình lập phương Thể tích khối bát diện tạo sáu đỉnh , , , , ,
M N P Q R S
A
2 24 a
B
4 a
C
12 a
D
6 a
TUYỂN CHỌN CÂU HỎI VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TRÊN CẢ NƯỚC NĂM 2020
(2)trung điểm cạnh BC C D DD, ' ', ' (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích khối hộp 144, thể tích khối tứ diện AMNP
A 15 B 24 C 20 D 18
Câu (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho khối chóp S ABCD có chiều cao đáy hình bình hành có diện tích 10 GọiM N P, , Q trọng tâm mặt bên SAB SBC SCD, , SDA Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm
, , , ,
M N P Q B D
A 9 B 50
9 C 30 D
25 .
Câu (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh 3, chiều cao Gọi M trung điểm SB, Nlà điểm thuộc SDsao cho
2 SN ND
Thể tích tứ diện ACMNbằng
A V 9 B V6 C V18 D V3
Câu (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình hộp đứng ABCD A B C D ' ' ' 'có AA'2, đáy ABCD hình thoi với ABC tam giác cạnh Gọi M,N,Plần lượt trung điểm B C' ',
' '
C D , DD' Qthuộc cạnh BCsao cho QC 3QB Tính thể tích tứ diện MNPQ
A 3 B 3
2 C
3
4 D
3
Câu 10 (Chun Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp tam giác S ABC có SA2 Gọi D, E trung điểm cạnh SA, SC Thể tích khối chóp S ABC biết BD AE
A 4 21
7 B
4 21
3 C
4 21
9 D
4 21 27
Câu 11 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh Gọi , , ,
M N P Q tâm hình vng ABB A A B C D ADD A , , CDD C Tính thể tích MNPR với R trung điểm BQ
A
12 B
2
24 C
1
12 D
1 24
Câu 12 (Chuyên Bến Tre - 2020)Cho hình hộp ABCD A B C D có cạnh 2a Biết BAD60,
120
A AB A AD Tính thể tích V khối hộp ABCD A B C D
A 4 2a3 B 2 2a3 C 8a3 D 2a3
Câu 13 (Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Cho hình chópS ABC , mặt phẳngSBCvng góc với mặt phẳng ABC, cạnhSBSC1ASBBSCCSA600 Gọi
,
M Nlần lượt điểm cạnh SA SB, choSAxSM x 0 , SB2SN Giá trị củax để thể tích khối tứ diện SCMN bằng
(3)TÀI LIỆU VD-VDC TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TNTHPT 2020
A 5
2 B 2 C
4
3 D
3
CÂU 14 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh ,A ABa Gọi I trung điểm BC, hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng ABC điểm H thỏa mãn IA 2IH, góc SC mặt phẳng ABC
60 Thể tích khối chóp S ABC
A
5 a
B
3
5 a
C
3
15 a
D
3
15 12 a
Câu 15 (Chuyên Lào Cai - 2020)Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có tất cạnh bằnga Gọi S điểm đối xứng A qua BC' Thể tích khối đa diện ABCSB C' '
A
3
3 3
a
B a3 C
3
3 6
a
D
3
3 2
a
Câu 16 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020)Cho hình hộp ABCD A B C D có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a BAC60 Gọi I, J tâm mặt bên
,
ABB A CDD C Biết a
AI , AA 2avà góc hai mặt phẳng ABB A , A B C D
bằng 60 Tính theo a thể tích khối tứ diện AOIJ
A
3 64 a
B
3
3 48
a
C
3
3 32
a
D
3
3 192
a
Câu 17 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020)Cho nhơm hình vng cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x(cm), gập nhôm lại để hộp không nắp( tham khảo hình vẽ bên) Tìm x để hộp nhận tích lớn (giả thiết bề dày tôn không đáng kể)
A x2 B x3 C x4 D x6
Câu 18 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hình chóp S.ABC tích Mặt phẳng (Q) thay đổi song song với mặt phẳng (ABC) cắt cạnh SA, SB, SC M, N, P Qua M, N, P kẻ đường thẳng song song với cắt mặt phẳng (ABC) M’, N’, P’ Tính giá trị lớn thể tích khối lăng trụ MNP.M’N’P’
A 4
9 B
1
3 C
1
2 D
8 27
Câu 19 (Chuyên Quang Trung - 2020)Cho hình chóp S ABCD đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng ABCD, SAa M K, tương ứng trọng tâm tam giác SAB SCD, ; N trung điểm BC Thể tích khối tứ diện SMNK m.a3
n với m n, ,m n, 1 Giá trị m n bằng:
(4)Câu 20 (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D có đáy hình thoi có cạnh 4a, A A 8a, BAD120 Gọi M N K, , trung điểm cạnh AB B C BD, , Thể tích khối da diện lồi có đỉnh điểm A B C M N K, , , , , là:
A
12 3a B 28 3
3 a C
3
16 3a D 40 3
3 a
Câu 21 (Chuyên Quang Trung - 2020)Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD hình vng, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M trung điểm cạnh
CD Biết khoảng cách từ A đến SBM 19
a Thể tích khối chóp SABCD
A
3 a
B 3a3 C
3
3 12
a
D
3
2 18 a
Câu 22 (Chuyên Quang Trung - 2020)Cho số a0 Trong số tam giác vng có tổng cạnh góc vng cạnh huyền a, tam giác có diện tích lớn
A
3 a B
2
3
6 a C
2
3
9 a D
2
3 18 a
Câu 23 (Chun Sơn La - 2020)Cho hình chóp tứ giác S ABCD. có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 60 Gọi M điểm đối xứng C qua D, N trung điểm SC Mặt phẳng
(BMN)chia khối chóp S ABCD. thành hai phần (như hình vẽ bên) Tỉ số thể tích hai phần
SABFEN BFDCNE
V
V
A 7
5 B
7
6 C
7
3 D
(5)TÀI LIỆU VD-VDC TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TNTHPT 2020
Câu 24 (Chun Thái Bình - 2020)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2 Cạnh bên SA vng góc với đáy SA3 Mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt cạnh
, ,
SB SC SD M N P, , Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP
A 32
3
B 64
3
C 108
3
D 125
6
Câu 25 (Chuyên Thái Bình - 2020)Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC tam giác vuông A, cạnh BC2a ABC600 Biết tứ giác BCC B hình thoi có B BC nhọn Mặt phẳng BCC B vng góc với ABC mặt phẳng ABB A tạo với ABC góc 450 Thể tích khối lăng trụ ABC A B C
A
3
7 a
B
3
3 7 a
C
3
6 7
a
D
3
7 21
a
Câu 26 (Chuyên Thái Nguyên - 2020)Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh B, AB4, SASBSC12 Gọi M N E, , trung điểm AC BC AB, , Trên cạnh SB lấy điểm F cho
3 BF
BS Thể tích khối tứ diện MNEF
A 8 34
3 B
4 34
3 C
8 34
9 D
16 34
Câu 27 (Chun Vĩnh Phúc - 2020)Cho hình vng ABCD cạnh a Trên đường thẳng vng góc với ABCD A lấy điểm S di động khơng trùng với A Hình chiếu vng góc A lên SB SD, H, K Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện ACHK
A
6 32 a
B
3
6 a
C
3
3 16 a
D
3
2 12 a
Câu 28 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020)Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C có đáy tam giác Mặt phẳng A BC tạo với đáy góc
30 tam giác A BC có diện tích Tính thể tích V khối lăng trụ cho
A 64 B 2 C 16 D 8
Câu 29 (Đại Học Hà Tĩnh - 2020)Cho khối tứ diện ABCD tích V Gọi G1, G ,2 G G3, 4 trọng tâm bốn mặt tứ diện ABCD Thể tích khối tứ diện G1G2G G3 4 là:
A 12 V B V C 27 V D 18 V
Câu 30 (ĐHQG Hà Nội - 2020) Hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABa Trên BB' lấy M cho B M' 2BM Cho biết A M' B C' Tìm thể tích lăng trụ
A 3
16 a B
3
3
8 a C
3
3
8a D
3
3 4a
Câu 31 (Sở Hưng n - 2020)Khối chóp có đáy hình bình hành, cạnh đáy a cạnh bên a Thể tích khối chóp có giá trị lớn
A 2 6a3 B 8a3 C 2
3 a D
3
7 12
a
Câu 32 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối lăng trụ ABC A B C ' ' 'có đáy ABClà tam giác vng ,
A ABa BC, 2a Hình chiếu vng góc đỉnh ’A lên mặt phẳng ABC trung điểm cạnh Hcủa cạnhAC Góc hai mặt phẳng BCB C' 'và ABC
(6)4 8 16
Câu 33 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, ABa, SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Góc hai mặt phẳng SBC SCD , với
1 os
3
c Thể tích khối chóp cho
A
3 a
B a3 C
3 2
3 a
D
3
2 a
Câu 34 (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho hình lập phương ABCD A B C D tích V Gọi M điểm thuộc cạnh BB cho BM 2MB Mặt phẳng ( ) qua M vng góc với AC cắt cạnh DD DC BC, , N P Q, , Gọi V1 thể tích khối đa diện CPQMNC Tính tỷ số
1
V V
A 31
162 B
35
162 C
34
162 D
13 162
Câu 35 (Sở Ninh Bình) Cho lăng trụ ABCD A B C D có đáy ABCD hình chữ nhật với AB 6,
AD , A C 3 mặt phẳng AA C C vng góc với mặt đáy Biết hai mặt phẳng AA C C , AA B B tạo với góc có tan
4
Thể tích khối lăng trụ
ABCD A B C D
A V 12 B V 6 C V 8 D V10
Câu 36 (Sở Bắc Ninh - 2020)Cho tứ diện ABCD tích 18 Gọi A1 trọng tâm tam giác
BCD; P mặt phẳng qua Asao cho góc P mặt phẳng BCD 600 Các đường thẳng qua B C D; ; song song với AA1 cắt P B C D1; 1; 1 Thể tích khối tứ diện
1 1
A B C D bằng?
A 12 B 18 C 9 D 12
Câu 37 (Sở Bình Phước - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a,
cạnh bên a Xét điểm M thay đổi mặt phẳng SCD cho tổng
2 2 2 2
Q MA MB MC MD MS nhỏ Gọi V1 thể tích khối chóp S ABCD
2
V thể tích khối chóp M ACD Tỉ số
V V
A 11
140 B
22
35 C
11
70 D
11 35
Câu 38 (Sở n Bái - 2020) Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác cạnh 3a,
900
SAB SCB , góc (SAB) (SCB) 600 Thể tích khối chóp S ABC
A
3
3
a
B
3
2
a
C
3
2 24
a
D
3
9
a
Câu 39 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp có đáy tam giác vuông , , , hai mặt phẳng , vng góc với mặt đáy, mặt bên
tạo với đáy góc Thể tích khối chóp
A B C D
S ABC A
30
ABC BCa SAB SAC SBC
0
45 S ABC
3
64
a
16
a
9
a
(7)TÀI LIỆU VD-VDC TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TNTHPT 2020
Câu 40 (Đơ Lương - Nghệ An - 2020)Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC tam giác vuông A, cạnh BC2a ABC60 Biết tứ giác BCC B hình thoi có B BC nhọn Biết BCC B vng góc với ABC ABB A tạo với ABC góc 45 Thể tích khối lăng trụ ABC A B C
A a B 3 a C a D 3 a
Câu 41 (Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2020)Cho hình chóp tam giác đềuS ABC có cạnh bên tạo với đường cao góc30o, Olà trọng tâm tam giácABC Một hình chóp thứ haiO A B C ' ' 'cóSlà tâm tam giácA B C' ' 'và cạnh bên hình chópO A B C ' ' ' tạo với đường cao góc60osao cho cạnh bên SA SB SC, , cắt cạnh bênOA OB OC', ', '.GọiV1là phần thể tích phần
chung hai khối chópS ABC vàO A B C ' ' ',V2 thể tích khối chópS ABC Tỉ số
V
V bằng:
A
16 B C 27 64 D 64
Câu 42 (Kim Liên - Hà Nội - 2020)Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a, tâm đáy O Gọi M N, tương ứng trung điểm cạnh SA SC, Gọi E giao điểm
SD mặt phẳng BMN Tính thể tích V khối chóp O BMEN
A
3 18 a
V B
3 24 a
V C
3 12 a
V D
3 36 a V
Câu 43 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AC, BD thỏa mãn
2
16
AC BD cạnh lại Thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn
A 32
3 B
16
3 C
16
3 D
32 3
Câu 44 (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020)Cho hình chóp có cạnh đáy Mặt bên tạo với đáy góc Mặt phẳng chứa tạo với đáy góc cắt
Tính thể tích khối chóp theo
A B C D
Câu 45 (Liên trường Nghệ An - 2020)Cho hình chóp S ABC , đáy tam giác ABC có ABBC 5,
2
AC BC , hình chiếu S lên ABC trung điểm O cạnh AC Khoảng cách từ A đến SBC Mặt phẳng SBC hợp với mặt phẳng ABC góc thay đổi Biết giá trị nhỏ thể tích khối chóp S ABC a
b ,
* ,
a b , a số nguyên tố Tổng ab
A 8 B 7 C 6 D 5
Câu 46 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020)Xét khối chóp S ABC có đáy tam giác vng cân A, SA vng góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC Gọi góc hai mặt phẳng SBC ABC, tính cos để thể tích khối chóp S ABC nhỏ
A cos
3
B cos
3
C cos
3
D cos
2
Câu 47 (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020)Cho hình hộp ABCD A B C D có chiều cao diện tích đáy 11 Gọi M trung điểm AA N, điểm cạnh BB cho BN3B N P
S ABCD a
60o P AB 30o SC SD, M
N V S ABMN a
(8)khối đa diện lồi có đỉnh điểm , , , ,A B C D M N P, , Q
A 88
3 B 42 C 44 D
220
Câu 48 (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy ABCD có diện tích 27
4 (đvdt) Một mặt phẳng qua trọng tâm tam giác SAB song song với mặt đáy ABCD chia khối chóp S ABCD thành hai phần, tính thể tích V phần chứa điểm S
A V 8 B V 24 C V36 D V 12
Câu 49 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020)Cho hai hình chóp tam giác có chiều cao Biết đỉnh hình chóp trùng với tâm đáy hình chóp kia, cạnh bên hình chóp cắt cạnh bên hình chóp Cạnh bên có độ dài a hình chóp thứ tạo với đường cao góc 300, cạnh bên hình chóp thứ hai tạo với đường cao góc 450 Tính thể tích phần chung hai hình chóp cho?
A
3
3 64 a
B
3
2
32 a
C
3
9 64 a
D
3
27 64 a
Câu 50 (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020)Cho hình chóp S ABCDcó đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA y y0 vng góc với mặt đáy ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M đặt AM x 0xa Tính thể tích lớn Vmax khối chóp S ABCM , biết x2y2 a2 A
3 3
9 a
B
3 3
3 a
C
3 3
8 a
D
3 3
5 a
Câu 51 (Hải Hậu - Nam Định - 2020)Cho hình chóp S ABC với điểm M N, thứ tự nằm cạnh BC AC, (khác , ,A B C) P giao điểm AM BN (hình vẽ minh họa)
Biết thể tích khối chóp SABP, SAPN, SCNP thứ tự 30, 20,10 Thể tích khối chóp S ABC thuộc khoảng sau đây?
A 72;75 B 65;69 C 69;72 D 75;78
Câu 52 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt phẳng chứa AK cắt cạnh SB, SD M N Gọi
1
V , V theo thứ tự thể tích khối chóp S AMKN khối chóp S ABCD Giá trị nhỏ tỉ số
2
V V
A 3
8 B
1
2 C
1
3 D
(9)TÀI LIỆU VD-VDC TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TNTHPT 2020
Câu 53 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành có diện tích
12a ; khoảng cách từ S tới mặt phẳng ABCD 4a Gọi L trọng tâm tam giác ACD ; gọi T V trung điểm cạnh SB SC Mặt phẳng LTV chia hình chóp thành hai khối đa diện, tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh S
A.
20
a
B.8a3 C.
3
28
a
D.
3
32
a
Câu 54 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020)Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích Gọi M trung điểm SA N điểm đối xứng của A qua D Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp thành hai khối đa diện Gọi (H) khối đa diện có chứa đỉnh Thể tích khối đa diện (H)
A.
12 B.
4
7 C.
5
12 D.
3
Câu 55 (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020)Cho tứ diện ABCD tích V Gọi M N P Q R, , , , trung điểm cạnh AB AD AC DC BD, , , , G trọng tâm tam giác ABC (như hình vẽ) Tính thể tích khối đa diện lồi MNPQRG theo V
A
2 V
B
6 V
C
3 V
D.
5 V
Câu 56 (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020)Cho lăng trụ ABC A B C tích Gọi M N, P điểm nằm cạnh A B B C , và BC cho M trung điểm A B ,
4
B N B C
BP BC Đường thẳng NP cắt đường thẳng BB Evà đường thẳng EM cắt đường thẳng AB Q Thể tích khối đa diện lồi AQPCA MNC '
A. 23
3 B.
23
6 C.
59
12 D.
19 Q
R P
M N
B D
C A
G
(10)-Câu (ChuyênBiên Hịa-Hà Nam -2020)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Hai điểm M, N thuộc đoạn thẳng AB AD (M N không trùng với
A) cho AB 3AD
AM AN Kí hiệu V , V1 thể tích khối chóp S ABCD S MBCDN Tìm giá trị lớn tỉ số V1
V A. 13
16 B.
11
12 C.
1
6 D.
2 Lờigiải
ChọnA
Ta có: SADB SADB
SANM SANM
V AD AB V AD AB
V AN AM V AN AM
1
1
2
1
2
AD AB
V AD AB V V V AN AM
AD AB AD AB
V V AN AM V V
AN AM AN AM
Đặt x AD AB , 1x x 2
AN AM
Khi
1
2
8 1
1
8 3
x x
V
V x x x x
Đặt 21 , 1 2
3
f x x
x x
Ta có:
2
3
x
f x
x x
2
6 4 13
0
3 16
3
x
f x x f
x x
Bảng biến thiên hàm số y f x
TUYỂN CHỌN CÂU HỎI VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ TRÊN CẢ NƯỚC NĂM 2020
CHƯƠNG THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 56 CÂU HỎI VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO
M
N C
A
D S
(11)Dựa vào bảng biến thiên ta hàm số đạt giá trị lớn 13 16
4 x
Vậy giá trị lớn tỉ số V1 V
13 16
Câu (Chun ĐH Vinh - Nghệ An -2020)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Gọi P trung điểm SC Mặt phẳng chứa AP cắt hai cạnh SD, SB M N Gọi V thể tích khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ tỉ số V
V
A.
8 B.
1
3 C.
2
3 D.
1
Lời giải
Chọn B
Do qua A, P, M , N nên bốn điểm đồng phẳng Áp dụng công thức
S AMNP S ABCD
V a b c d
V a b c d
với SA a SA ,
SC c SP ,
SD d SM ,
SB b
SN thỏa mãn a c b d
Theo đề ta có: SA
SA , SC
SP đặt SD
d
SM ,
SB b SN Khi đó:
4.1.2
V b d
V b d
với 2 b d b d 3
Vậy ta có: 2 3
4.1.2 4.2
V b d V V
V b d V b d V bd
Theo bất đẳng thức bản:
2
9
4
b d bd
bd
suy 3
4
V
V bd
Dấu “=” xảy
2
bd b d Vậy V
V
có giá trị nhỏ
3
Câu (Chuyên Hưng Yên - 2020)Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có đáy tam giác vuông A, AB2, AC Góc CAA 90, BAA 120 Gọi M trung điểm cạnh BB
(12)A 33
8 V
B 33
8
V C
3 33 V
D 33
4
V Lời giải
Chọn C
DoACAB, AC AA nên AC ABB A Mà A B ABB A nên AC A B Có A B AC, A B CM nên A B AMCA B AM
Đặt AA xx0 Ta có A B ABAA AM ABBM AB AA
Suy ra A B AM
2 AB AA AB AA
2 .
2
AB AA AB AA
2 . .cos
2
AB AA AB AA BAA
22 1.2 .cos120
2x x
4
2x 2x
Do A B AM nên A B AM 0
4 2x 2x
33
2
x
Lại có sin 2.1 33.sin120
ABB A
S AB AA BAA
3 33
(đvdt)
Do AC ABB A nên .
3 33
1 1 33
3 2
C ABB A ABB A
V AC S
(đvtt)
Mà . .
3
C A B C ABC A B C
V V . . . .
3
C ABB A ABC A B C C A B C ABC A B C V V V V
Vậy . .
3 33
3 33
2 2
ABC A B C C ABB A V V
(đvtt)
(13)lượt trung điểm A C BC Mặt phẳng AMN chia khối lăng trụ thành hai phần Thể tích phần nhỏ
A
3
24 a
B
3
6 a
C
3
24 a
D
3
3 a
Lời giải
Chọn A
Gọi I trung điểm AB, suy ABCIC nên góc C AB ABC góc
CI C I, , suy C IC 60
Tam giác C IC vuông C nên tan tan 60
AB
C C CI C IC a
Diện tích tam giác ABC 2
ABC
S AB CI a
Thể tích khối lăng trụ 3 2 3
ABC
V CC S a a a
Trong ACC A , kéo dài AM cắt CC O
Suy C M đường trung bình OAC, OC2CC2a Thể tích khối chóp . 1
3
O ACN ACN ABC
V S OC S CC V
Thể tích khối chóp . 1 1
3 24
O C ME C ME A B C
V S OC S OC V
Do
3
1 7
3
3 24 24 24 24
C EM CAN O ACN O C ME
a
V V V V V V a
Vậy phần thể tích nhỏ
3
7 24
C EM CAN
a
V
Câu (Chuyên KHTN - 2020) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh a Gọi , , , , ,
(14)A
3 24 a
B
3
4 a
C
3
12 a
D
3
6 a Lời giải
Chọn D
Ta có: dễ thấy MNPQRS bát giác nên V VR MNPQ. VS MNPQ. 2VR MNPQ.
Dễ thấy:
2
a
RO
Lại có hình chóp R MNPQ có tất cạnh nên: 2
a
MR OR
3
1
2
3
VR MNPQ MN ORa
Câu (Chuyên Lam Sơn - 2020)Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có M N P, , trung điểm cạnh BC C D DD, ' ', ' (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích khối hộp 144, thể tích khối tứ diện AMNP
A 15 B 24 C 20 D 18
(15)
NPCDE Đặt DC2d, BC2 r
3
5
2
EMA ECBA EMC ABM
S S S S dr drdr dr
' ' ' '
1 5
( , ( )) ' ' 30
3 24 24
NEAM EMA EMA ABCD A B C D V S d N EMA S CC dr CC V
1
15
NPAM NEAM
V V
Câu (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020)Cho khối chóp S ABCD có chiều cao đáy hình bình hành có diện tích 10 GọiM N P, , Q trọng tâm mặt bên SAB SBC SCD, , SDA Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm
, , , ,
M N P Q B D
A 9 B 50
9 C 30 D
25 . Lời giải
Chọn B
Theo tính chất trọng tâm tam giác, ta có đường thẳng BM DQ SA, , đồng quy trung điểm E SA Tương tự, đường thẳng BN DP SC, , đồng quy trung điểm F
SC
Ta phân chia khối đa diện lồi có đỉnh điểm M N P Q B, , , , D thành khối chóp
B MNPQ khối tứ diện BDPQ
Cũng theo tính chất trọng tâm, ta có mặt phẳng MNPQ song song với mặt phẳng ABCD
và 4
9 9
MNPQ XYZT ABCD ABCD
S S S S (trong X Y Z T, , , trung điểm , , ,
AB BC CD DA) Hơn nữa,
, , , , ,
2 3
d B MNPQ d X MNPQ d S MNPQ d S ABCD d S ABCD
Do đó, . . . 1
3 27
B MNPQ S ABCD S ABCD
V V V
(16)
4
9
4
, ,
4 1
9 4
4 1
=
9
BDPQ BDEF DPQ DEF
ODEF
SACD OEF SAC
S ABCD S ABCD
V V S S
V d B DEF d O DEF
V S S
V V
trong đó, O tâm hình bình hành ABCD
Từ 1 2 , ta . 9.101 50
27 27 9
MNPQBD S ABCD
V V
(đvtt)
Câu (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh 3, chiều cao Gọi M trung điểm SB, Nlà điểm thuộc SDsao cho
2
SN ND
Thể tích tứ diện ACMNbằng
A V 9 B V 6 C V18 D V 3 Lời giải
Chọn B
Ta có . 1.9.8 24
ABCD S ABCD
S V
1
12;
2
S ABD S ABCD S ABO S ADO
V V V V
Vì Mlà trung điểm SB, Nlà điểm thuộc cạnh SDsao cho SN2ND 1,
2
SM SN
SB SD
+)
1 1
2 3
S AMN
S AMN S ABD S ABD
V SM SN
V V
V SB SD
+)
1
3
2
M AOB
M AOB S AOB S AOB
V MB
V V
V SB
+)
1
2
3
N AOD
N AOD S AOD S AOD
V ND
V V
V SD
Ta có VC AMN. 2VO AMN. 2VS ABD. VS AMN. VM AOB. VN AOD. Vậy VC AMN. 2VO AMN. 2 12 4 3 26
Câu (Chuyên Thái Bình - 2020)Cho hình hộp đứng ABCD A B C D ' ' ' 'có AA'2, đáy ABCD hình thoi với ABC tam giác cạnh Gọi M,N,Plần lượt trung điểm B C' ',
' '
C D , DD' Qthuộc cạnh BCsao cho QC3QB Tính thể tích tứ diện MNPQ
A 3 B 3
2 C
3
4 D
3 Lời giải
(17)Gọi Ovà O'lần lượt tâm đáy ABCD A B C D' ' ' ' ABC
cạnh , Olà trung điểm BC OB2 3, OC2
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz, tia Oxtrùng tia OC, tia Oytrùng tia OB, tia Oz trùng tia OO'
Khi đó: C2;0;0, B0; 3; 0, B' 0; 3; 2 , C' 2;0; 2 , D0; 3; 0 , D' 0; 3; 2
M trung điểm B C' 'M1; 3; 2 N trung điểm C D' 'N1; 3; 2 P trung điểm DD'P0; 3;1
Q thuộc cạnh BCsao cho QC 3QB
CQ CB
3
2
4
0
3
0 0
4 Q
Q
Q x y z
1 3
2 Q
Q
Q x
y z
Suy 3; ; 2 Q
Ta có: ,
6 MNPQ
V MN MP MQ
0; 3; 0
MN
, MP 1; 3; 1 MN MP, 2 3; 0; 3
1 ; ; 2 MQ
1 3
2 3
6 2
MNPQ
V
Câu 10 (Chuyên Bắc Ninh - 2020)Cho hình chóp tam giác S ABC có SA2 Gọi D, E trung điểm cạnh SA, SC Thể tích khối chóp S ABC biết BDAE
A 4 21
7 B
4 21
3 C
4 21
9 D
4 21
27
(18)Gọi O tâm tam giác ABC Do S ABC hình chóp nên ta có SOABC
Ta có
2
AESESA SCSA
;
2
BDSDSB SA SB
Đật ASCBSCASB
BDAE BD AE 1
2SA SB 2SC SA
2
1 1
4SASC 2SA 2SB SC SA SB
2 cos 2 cos cos cos
3
Áp dụng định lý hàm số côsin tam giác SAC, ta có:
2 2
2 cos
3
AC SA SC SA SC AC Diện tích tam giác ABC
3
ABC
S
2 2
3 3
AO ; 2
3
SO SA AO
Thể tích khối chóp S ABC 21
3 3 27
ABC
V SO S
Câu 11 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh Gọi
, , ,
M N P Q tâm hình vng ABB A A B C D ADD A , , CDD C Tính thể tích MNPR với R trung điểm BQ
A
12 B
2
24 C
1
12 D
1 24 Lời giải
Chọn D
D
E
O
A B
C S
(19)Dựng hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ Tọa độ điểm sau: 0; 0; ; 0;1; ; 1;1; ; 1; 0; 0
A B C D
0; 0;1 ; 0;1;1 ; 1;1;1 ; 1; 0;1
A B C D
1 1 1 1 1
0; ; ; ; ;1 ; ; 0; ; 1; ; ; ; ;
2 2 2 2 2 4
M N P Q R Ta có: 1; 0;1 ; 1; 1; ; 1; ;
2 2 2 4
MN MP MR
1
, ; ;1
4 4
MN MP
,
4
MN MP MR
Vậy ,
6 24
MNPR
V MN MP MR
Câu 12 (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hình hộp ABCD A B C D có cạnh 2a Biết
60
BAD , A AB A AD 120 Tính thể tích V khối hộp ABCD A B C D A 4 2a3 B 2 2a3 C 8a3 D 2a3
Lời giải Chọn A
Từ giả thuyết ta có tam giác ABD, A AD A AB tam giác H
B
A D
C D'
C' B'
A'
x
(20)A A A B A D
nên hình chiếu H A mặt phẳng ABCD tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
2 3
.2
3
AH a a
2 2
3
A H A A AH a
Thể tích khối hộp ABCD A B C D :
2
3
.2
3
ABCD
a
V A H S a a
Câu 13 (Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020)Cho hình chópS ABC , mặt phẳngSBCvng góc với mặt phẳng ABC, cạnhSBSC1
60
ASBBSCCSA Gọi M N, điểm cạnh SA SB, choSAxSM x 0 , SB2SN Giá trị củax để thể tích khối tứ diện SCMN bằng
32 A 5
2 B 2 C
4
3 D
3 Lờigiải
Chọn B
Vì mặt phẳngSBCvng góc với mặt phẳngABC, cạnhSBSC1, nên gọi Hlà trung điểm củaBC thìSHABC
Từ giả thiết ta cóSBA SCABA CA AH BC ĐặtSAa, ta có: 2 2 2
SA SH HA SH AC HC
Trong tam giácSACcó: 2 2 .cos 60
AC SA SC SA SC a a
Tam giácSBCđều cạnh nên
SH
Vậy ta có:
2
2 1
2 2
a a a a HA
1
3
S ABC
V SH AH BC
(21)
1
4 S CMN
S CAB
V SM SN
x
V SA SB
Câu 14 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh ,A ABa Gọi I trung điểm BC, hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng ABC điểm H thỏa mãn IA 2IH, góc SC mặt phẳng ABC 60 Thể tích khối chóp S ABC
A
3 5 a
B
3 5 a
C
3 15 a
D
3 15 12 a
Lời giải
Chọn C
2
1
2
2
ABC
S AB AC a a a ,
BC a IAa,
2
a IH
Tam giác HIC vuông I ta có
2
2 2 5.
4
a a a
HC HI IC a HC
15
tan tan
2
SH a a
SCH SH HC SCH
HC
Vậy
3
1 15 15
3
S ABC ABC
a a
V SH S a
Câu 15 (Chuyên Lào Cai - 2020)Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có tất cạnh bằnga Gọi S điểm đối xứng A qua BC' Thể tích khối đa diện ABCSB C' '
A
3 3 a
B a3 C
3
3 6 a
D
3
3 2 a
Lời giải
Chọn A
(22)' ' ' ' ' '
ABCSB C ABCC B S BCC B
V V V
Gọi M trung điểm BC.
Ta có: ' '
'
AM BC
AM BCC B
AM BB
Tam giác ABC
3 2 a AM
Thể tích khối chóp A BCC B. ' ' là:
3
' ' ' '
1 1 3 3
. . .
3 3 2 6
A BCC B BCC B
a a
V AM S a
Thể tích khối chóp S BCC B. ' ' là:
' ' ' ' ' ' ' ' 1 ; ' ' 3 1 ; ' ' 3 BCC B S BCC B
A BCC B
BCC B
d S BCC B S
V
V d A BCC B S
; ' ' 1 ; ' '
d S BCC B SI
d A BCC B AI
3 3
' ' ' ' ' ' ' ' ' '
3 3 3 3
6 6 6 3
S BCC B A BCC B ABCSB C A BCC B S BCC B
a a a a
V V V V V
Câu 16 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020)Cho hình hộp ABCD A B C D có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a BAC60 Gọi I, J tâm mặt bên
,
ABB A CDD C Biết
2
a
AI , AA 2avà góc hai mặt phẳng ABB A , A B C D 60 Tính theo a thể tích khối tứ diện AOIJ
A
3
3 64
a
B
3
3 48
a
C
3
3 32
a
D
3 192 a Lời giải Chọn C
Ta có
2 2
2 2 2
2 3
2
AA AB A B
AI A B AA AB AI a A B a Do A B 2AB2 AA2 nên tam giác
A AB vuông B
2 3 A AB a S Tam giác ABC cạnh a nên
2 3
4
ABC a S
Theo đề góc hai mặt phẳng ABB A , A B C D 60, nên suy
2 sin 60
3
A AB ABC A ABC
S S a
(23)
3
1 1 1
; ;
3 2 4 32
AOIJ IAJ B AD B ABD A ABC a V d O IAJ S d B B AD S V V Bổ sung: Công thức tính nhanh thể tích tứ diện theo góc hai mặt phẳng
Cho tứ diện ABCD có diện tích tam giác ABC S1, diện tích tam giác BCD S2và góc hai mặt phẳng (ABC) (DBC) Khi ta có: 2.sin
3
ABCD
S S V
BC
Chứng minh: Gọi H hình chiếu A lên (BCD), kẻ HI BC I AIBC
ABC ; DBC AI HI; AIH; AH AIsin
2
2 sin
1 1
sin sin
3 3
ABC ABCD DBC
S S S
V AH S AI S S
BC BC
Câu 17 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020)Cho nhơm hình vng cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x(cm), gập nhơm lại để hộp khơng nắp( tham khảo hình vẽ bên) Tìm x để hộp nhận tích lớn (giả thiết bề dày tôn không đáng kể)
A x2 B x3 C x4 D x6
Lời giải Chọn A
Hình hộp có đáy hình vng cạnh 12 2x , chiều cao x Điều kiện 0x6
Thể tích khối hộp V 12 2 x2.x4 6 x2.x
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương 36 6 .2 6 6
3
x x x
x x x
φ
D B
C A
H
I
12 –2x
(24) x x 2x
4 6 x2.x2.43 V 128 (hằng số) Dấu xảy 6 x 2x x 2
Vây thể tích khối hộp lớn x2
Câu 18 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020)Cho hình chóp S.ABC tích Mặt phẳng (Q) thay đổi song song với mặt phẳng (ABC) cắt cạnh SA, SB, SC M, N, P Qua M, N, P kẻ đường thẳng song song với cắt mặt phẳng (ABC) M’, N’, P’ Tính giá trị lớn thể tích khối lăng trụ MNP.M’N’P’
A 4
9 B
1
3 C
1
2 D
8 27 Lời giải
Chọn A
Gọi SM x0 x 1
SA
SN SP
x
SB SC
2
.sin
2 .
1
.sin
MNP ABC
NM NP MNP
S NM NP
x
S BA BC ABC BA BC
MNP ABC S x S
Gọi chiều cao hình chóp SH , chiều cao lăng trụ MH:
MH AM x
SH AS
MH'1x SH
.
3
S ABC ABC ABC
V SH S SH S
VMNP M N P. ' ' ' MH S' MNP1x SH x S ABCx2 1 x SH S ABC =
2
x x Xét hàm số: f x 3x23x3 với x0;1
f' x 6x9x2
0 ( )
' 2
3
x loai
f x
x
(25)Vậy:maxV . ' ' ' MNP M N P
Câu 19 (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hình chóp S ABCD đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng ABCD, SAa M K, tương ứng trọng tâm tam giác
,
SAB SCD; N trung điểm BC Thể tích khối tứ diện SMNK m.a3
n với
, , ,
m n m n Giá trị m n bằng:
A 28 B12 C 19 D 32
Lời giải Chọn A
Ta có:
3
1
3
S ABCD ABCD a
V SA S
Gọi I trung điểm AB, J trung điểm CD Ta có: SMN đồng dạng với SIJ
theo tỉ số
3 Do
2
2
3
SMNK P SMN P SIJ P SIJ V V V V
4
9 2
3 1
0 x f'(x)
f(x)
0
(26)-Mặt khác
4
PIJ ABCD
S S Do đo
3
1
4 12
P SIJ S PIJ S ABCD a
V V V
Nên
3
4
9 12 27 SMNK
a a
V
Vậy m1,n27m n 28
Câu 20 (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D có đáy hình thoi có cạnh 4a, A A 8a, BAD120 Gọi M N K, , trung điểm cạnh AB B C BD, , Thể tích khối da diện lồi có đỉnh điểm A B C M N K, , , , , là:
A
12 3a B 28 3
3 a C
3
16 3a D 40 3 a Lời giải
Chọn A
1
/ / ;
2
MN AC MN AC, MNCA hình thang
MNKABC K MNCA B MNCA
V V V
DK cắt (B’AC) B’,
; ( )
' 1
' ; ( ) K MNCA D MNCA
d K MNCA B K
V V
B D d D MNCA Mà: VB MNCA. VD MNCA. nên ta có: . . .
2
MNKABC B MNCA B MNCA B MNCA
V V V V
Mặt khác: ' ' ' ' ' ' '
3 3
4 4
MNCA B AC B MNCA B B AC B ABC ABCD A B C D
S S V V V V a
3
3
8 12
2
MNKABC B MNCA
V V a a
Câu 21 (Chuyên Quang Trung - 2020)Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD hình vng, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M trung điểm cạnh
CD Biết khoảng cách từ A đến SBM 19
(27)A
3
6 a
B 3a3 C
3
3 12
a
D
3
18 a
Lời giải
Chọn A
Gọi H trung điểm AB SH ABSH ABCD ( Vì tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy)
Ta có: AB2HBd A SBM , 2dH,SBM
Từ H kẻ HKBM BM (SHK)SHK SBMmà SHK SBMSK
,
19
HPSKHP SBM d H SBM HPHPa Giả sử hình vng ABCD có độ dài cạnh x x0
SAB
cạnh x xSH
2
x
BM BC CM
Trong BHM vng H có HM HK 5
HB HM x
HK BM HB
MB
Trong SHK có 12 12 2
HP HS HK xa
Vậy
3
1 3
3 6
SABCD ABCD
x a
(28)Câu 22 (Chuyên Quang Trung - 2020)Cho số a0 Trong số tam giác vng có tổng cạnh góc vng cạnh huyền a, tam giác có diện tích lớn
A
3 a B
2
3
6 a C
2
3
9 a D
2
3
18a
Lời giải Chọn D
Đặt ABx,
2
a x
Theo giả thiết: ABBC aBCax
Tam giác ABC vuông A: AC BC2AB2 a22ax
Diện tích tam giác ABC: 2 2 2
2
ABC
a
S x a ax x a x Theo BĐT Cơ – si ta có:
3 2
2
2 18
a a x x a x a
x x a x
Dấu " " xảy
3
a xa xx
Vậy tam giác có diện tích lớn
3 18
a
Câu 23 (Chuyên Sơn La - 2020)Cho hình chóp tứ giác S ABCD. có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 60 Gọi M điểm đối xứng C qua D, N trung điểm SC. Mặt phẳng (BMN)chia khối chóp S ABCD. thành hai phần (như hình vẽ bên) Tỉ số thể tích hai phần SABFEN
BFDCNE
V
V
A 7
5 B
7
6 C
7
3 D
7 4
(29)Ta có N trung điểm SO, D trung điểm CMnên E trọng tâm tam giác SCM Ký hiệu h S V, , tương ứng chiều cao, diện tích đáy thể tích khối chóp S ABCD. ta có
1 .
3 2 2
BCM N BCM
h V
S SV S
Khi
2 1 1 1
. . . .
3 2 6 2 6 12
M EDF
M EDF M NCB
V ME MD MF V V
V
V MN MC MB
Như 5 7 7
2 12 12 12 5
SABFEN BFDCNE SABFEN
BFDCNE
V
V V V V
V V
V
Câu 24 (Chuyên Thái Bình - 2020)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2 Cạnh bên SA vng góc với đáy SA3 Mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt cạnh SB SC SD, , M N P, , Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP
A 32
B 64
3
C 108
3
D 125
6
Lời giải
Chọn A
Ta có: SA BC BC SAB BC MA
AB BC
Lại có MASCMASBCMAMC 1 Tương tự: APPC 2
Mặt khác ANNC 3
Gọi I trung điểm AC, từ 1 2 3 ta có IN IM ICIPIA Mặt cầu ngoại tiếp CMNP mặt cầu tâm I, bán kính IA
2 2 2 22
2
2
AC IA
Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diệnCMNP là: .23 32
3
(30)Câu 25 (Chuyên Thái Bình - 2020)Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC tam giác vng A, cạnh BC2a ABC600 Biết tứ giác BCC B hình thoi có B BC nhọn Mặt phẳng BCC B vng góc với ABC mặt phẳng ABB A tạo với ABC góc 450 Thể tích khối lăng trụ ABC A B C
A
7 a
B
3
7 a
C
3
7 a
D
3 21
a Lời giải
Chọn B
Có
BCC B ABC
BCC B ABC BC Do BCC B kẻ B H vng góc với BC H thìB H ABC hay B H chiều cao hình lăng trụ
Trong ABC kẻ HK vng góc với AB K Khi ABB HK
Ta có
,
ABB A ABC AB B HK AB
B HK ABB A B K B HK ABC KH
Góc ABB A ABC góc B K KH
B HK vuông H nên B KH góc nhọn Do B KH 45
B HK vng H có B KH 45 B HK vuông cân H B H KH Xét hai tam giác vuông B BH BKH , ta có
tan sin sin 60
2
B H KH
B BH ABC
BH BH
2
2
1 21
sin cos 1
3 7
tan 1
4 B H
B BH B BH
B B B BH
21 21
7
a B H B B
(vì BCC B hình thoi có cạnh BC2a)
Ta có
2
0
1 1 3
.cos 60 sin 60
2 2 2
ABC
a
S AB AC BC BC a a
Vậy
2
2 21 3
7
ABC A B C ABC
a a a
V B H S
Câu 26 (Chuyên Thái Nguyên - 2020)Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh B, AB4, SASBSC12 Gọi M N E, , trung điểm AC BC AB, , Trên cạnh SB lấy điểm F cho
3
BF
BS Thể tích khối tứ diện MNEF
K
H C
A
B' C'
A'
(31)TỔNG HỢP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
A 8 34
3 B
4 34
3 C
8 34
9 D
16 34
9
Lời giải Chọn C
Vì SASBSC nên hình chiếu S lên ABC tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, suy
SM ABC
Từ AB4AC4
Tam giác SAM vuông M nên SM SA2AM2 1222 22 2 34 Thể tích . 1 1 42 34 16 34
3 3
S ABC ABC
V S SM AB SM Suy thể tích
1 1 1 32 34 34
,
3 12 12
MNEF MNE ABC S ABC
V S d F MNE S SM V
Câu 27 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020)Cho hình vng ABCD cạnh a Trên đường thẳng vng góc với ABCD A lấy điểm S di động không trùng với A Hình chiếu vng góc A lên
,
SB SD H, K Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện ACHK A
3 32 a
B
3
6 a
C
3 16 a
D
3 12 a
Lời giải
(32)Ta có
2
3
S ABD ABD
a x
V S SA
Lại có
2 4
2 2
S AHK S ABD
V SH SK SA SA x
V SB SD SB SD x a
4
2 2 2 2
6 S AHK S ABD
x a x
V V
x a x a
Gọi OACBD G, SOHK I, AGSC
Ta có BC AB BC SAB BC AH,AH SAB
BC SA
Lại có AH SB AH SBC AH SC
AH BC
Chứng minh tương tự ta có AK SC
Vì SC AK SC AHK,AI AHK SC AI
SC AH
Xét tam giác SAC vng A, đặt SAx0 có ACa 2, AI SC
2 2
2
2
IC AC a a
CI SI
IS AS x x
2
2 2 2
1 2
3 3
ACHK AHK AHK S AHK
a a a x
V S CI S SI V
x x x a
Ta lại có
2
2 2 3
2
2 2
2 2
3 16
3 3 3 16
AM GM
x x x x a x
x a a
a
x a
(Dấu “=” xảy
khi xa 3)
Suy
4 3 3 3
3 16 16
ACHK ACHK
a a
V V
a
Vậy giá trị lớn thể tích khối tứ diện ACHK 3 16 a
(33)TỔNG HỢP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Đặt SAx x, 0
2
1
3
S ABCD S ABD S ABCD
a x a x
V V V
Gọi OACBDO trung điểm AC d A HOK , d C HOK ,
2 AHOK CHOK ACHK AHOK
V V V V
Xét tam giác SAB vng A, có
2
2 2
SH SA x
AH SB
SB SB x a
Tương tự tam giác SAD ta có
2
2
SK x
SD x a Lại có
4
2 2
2 2 2
6 S AHK
S AHK S ABD S ABD
V SH SK x x a x
V V
V SB SD x a x a x a
Mặt khác
2
2 2
,
, ,
d H ABCD BH a a x
d H ABCD
BS x a x a
d S ABCD
Mà 2 ABO ABD a
S S
4
2
1
,
3 12
H ABO ABO
a x
V S d H ABO
x a
Tương tự, ta có
4
2
1 12 K ADO a x V x a
2
2 2 2
1
2 2
6 6
ACHK AOHK S ABD S AHK HABO KADO
a x a x a x
V V V V V V
x a x a 2 ACHK a x V x a
Xét hàm số
2 x f x x a
khoảng 0;
Ta có
2 2
3 2
;
x a x
f x f x x a
x a
(34)Quan sát bảng biến thiên, ta thấy f x đạt giá trị lớn xa Vậy giá trị lớn VACHK
3
4
2
2
3 3
3 16
3
a
a a
a a
SAa
Câu 28 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020)Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C có đáy tam giác Mặt phẳng A BC tạo với đáy góc 300 tam giác A BC có diện tích Tính thể tích V khối lăng trụ cho
A 64 B 2 C 16 D 8 Lời giải
Chọn D
Gọi I trung điểm cạnh BC
Vì ABC A B C lăng trụ đứng có đáy tam giác nên ABC A B C khối lăng trụ Do ta có: A B A C Suy tam giác A BC cân A A I BC
Mặt khác: tam giác ABC AI BC Suy BCA IA
Vậy góc mặt phẳng A BC mặt đáy góc A IA 300 Ta có: tam giác ABC hình chiếu tam giác A BC mặt đáy nên
0 cos 8.cos 30 ABC A BC
S S
I
C
B A
C'
(35)Đặt ABx
2 3
4
4 ABC
x
S x
Ta có: 3 tan
2 x
AI AAAI AIA
Suy ra: VABC A B C. AA S ABC 2.4 38
Câu 29 (Đại Học Hà Tĩnh - 2020)Cho khối tứ diện ABCD tích V Gọi G1, G ,2 G G3, 4 trọng tâm bốn mặt tứ diện ABCD Thể tích khối tứ diện G1G2G G3 4 là:
A
12
V
B
4
V
C
27
V
D
18
V Lời giải
Chọn C
Gọi H E F, , trung điểm BD BC CD, ,
Ta có 3
2
/ / HE
3
AG AG
G G AE AH
Tương tự
3
2
2
/ / HF
AG AG
G G AF AH Từ
4
1 , G G G / / DBC
1
; G ; ;
3
d G G G G d BCD d A BCD
Tam giác G2G G3 4 đồng dạng tam giác HEF 2
3
G G AG HF AF
2
2
2 1
3 9
G G G HEF ABC ABC
S S S S
Thể tích khối tứ diện G1G2G G3 4 là:
1
;
3 G G G
V d G G G G S 1 ; 3d A BCD
1
9 ABC 27 ABCD 27
V
S V
Câu 30 (ĐHQG Hà Nội - 2020)Hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABa Trên BB' lấy M cho B M' 2BM Cho biết A M' B C' Tìm thể tích lăng trụ
A 3
16 a B
3
3
8 a C
3
8a D
3
4a Lời giải
(36)Chọn a1 Gọi AA'x Ghép hệ trục toạ độ Oxyz vào hình vẽ với ACOysuy
0; 0; , ' 0; 0; , 1; ; ; ' 1; ; ; 0;1; 0 1; ;
2 2 2
x A A x B B x C M
3
; ; ; ; ;
2 2
x
MA CB x
Mà
2
3
2
x
MA CB x x
Vậy thể tích lăng trụ là:
3
3 3
4
a
a
Câu 31 (Sở Hưng n - 2020)Khối chóp có đáy hình bình hành, cạnh đáy a cạnh bên a Thể tích khối chóp có giá trị lớn
A 2 6a3 B 8a3 C 2
3 a D
3
12 a
Lời giải Chọn D
Gọi ACBDO
Ta có SA SB SC SD a SO AC SO ABCD SO BD
O
tâm đường trịn ngoại tiếp hình bình hành ABCD ABCD
hình chữ nhật
Khơng tính tổng qt, giả sử ADa đặt , 0 2
ABx x OA x a
Xét SOA vuông O, ta có
2
2 2 2
2
4
x a
SO SA OA a SO a x '
C '
B '
A
M
C B
(37)Lại có SABCD a x nên
2 2 3
2
7
1
3 6 12
AM GM S ABCD ABCD
x a x
a a
V S SO a x a x
Dấu “=” xảy 14
2
a x Vậy thể tích lớn khối chóp cho
3
12 a
Câu 32 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối lăng trụ ABC A B C ' ' 'có đáy ABClà tam giác vng ,
A ABa BC, 2a Hình chiếu vng góc đỉnh ’A lên mặt phẳng ABC trung điểm cạnh Hcủa cạnhAC Góc hai mặt phẳng BCB C' 'và ABC 60 Thể tích 0 khối lăng trụ cho bằng:
A
3
a
B
3
3
a
C
3
3
a
D
3
3 16
a Lời giải
Chọn C
Ta có BCa Từ Hkẻ HIvng góc vớiBC
Ta có HICBACnên
HI HC AB HC a
HI
AB BC BC
Gọi Klà trung điểm ’ ’A C từ K kẻ KM vng góc với ’ ’B C Tứ giác KMIHlà hình bình hành nên
4 a
KM IH
Gọi Nlà điểm ’ ’B C cho M trung điểm ’C N ' a
A N KM
Do A H' ABC nên A NIH' ABC Mà A N' HInên HIN góc tù Suy
0 0
120 ' 60
HIN A NI
Gọi H’ hình chiếu củaI lên ’A Nsuy H’ trung điểm ’A N
' ' ' tan 60
a
A H IH NH
2
3 3
'
4
ABC
a a a
V A H S
(38)Câu 33 (Sở Phú Thọ - 2020)Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, ABa, SA vng góc với mặt phẳng đáy SAa Góc hai mặt phẳng SBC SCD , với os
3
c Thể tích khối chóp cho
A
2
a
B a3 C
3
2
a
D
3
3 a
Lời giải
Chọn A
Đặt ADm, m0
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, gốc tọa độ trùng với A, tia Ox Oy Oz, , trùng với tia AB AD, , AS.Khi tọa độ điểm là:
;0;0 ; 0; ; ; ; ;0 ; 0;0;
B a D m C a m S a
; 0; ; 0; ; 0 , ; 0;
SB a a BC m SB BC ma ma
0; ; ; ; 0; 0 , 0; ;
SD m a DC a SD DC a ma
Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng SBClà SB BC, ma; 0;ma
, mặt phẳng SCD
, 0; ;
SD DC a ma
Theo giả thiết:
2
2 2
2
1
os 2
3
m a
c m a m m a
a a m ma
Thể tích khối chóp S ABCD
3
1
3 ABCD 3
a
V SA S a a a
Câu 34 (Sở Hà Tĩnh - 2020)Cho hình lập phương ABCD A B C D tích V Gọi M điểm thuộc cạnh BB cho BM 2MB Mặt phẳng ( ) qua M vng góc với AC cắt cạnh DD DC BC, , N P Q, , Gọi V1 thể tích khối đa diện CPQMNC Tính
tỷ số V1 V A 31
162 B
35
162 C
34
162 D
13
162
Lời giải Chọn B
m a
a
D
C B
A
x
(39)Theo giả thiết ( ) DDN, ( ) CDP, ( ) BCQ Từ tính chất hình lập phương ta có (ACC ) BD suy BDAC BD//( ) , từ ta suy MN BD PQ BD// ; // ta có DN2ND
Ta xác định vị trí , P Q sau: Ta có AB B C B C (ABC) B C AC
BC B C
( )//B C MQ B C// , ta BQ2QC, theo PQ BD// ta lại có DP2PC Vậy điểm M N P Q, , , hoàn toàn xác định
Gọi S điểm cạnh CC thỏa mãn CS2SC R điểm đường thẳng CC thỏa mãn MB CR hình bình hành Khi ta có R nằm mặt phẳng ( )
(MNS)//(A B C D )
Đặt V0VRCPQ;V2VC MSN V1VRMNSVC MSN VRCPQ Đặt cạnh hình lập phương AB3x ta có
3
3
3
3 (3 ) 27
1
6
1
6
1
6
RMNS
C MSN
RCPQ
V x x
V SN SM SR x
x
V SM SN SC
x
V CP CQ CR
3
3
1
3
9
35
2
27 162
x
x x
V
V x
Vậy 35 162 V
V
Câu 35 (Sở Ninh Bình)Cho lăng trụ ABCD A B C D có đáy ABCD hình chữ nhật với AB 6,
3
AD , A C 3 mặt phẳng AA C C vng góc với mặt đáy Biết hai mặt phẳng
AA C C , AA B B tạo với góc có tan
Thể tích khối lăng trụ
ABCD A B C D
A V 12 B V 6 C V 8 D V 10 Lời giải
(40)Gọi M trung điểm AA Kẻ A H vng góc với AC H, BK vng góc với AC K, KN vng góc với AA N
Do AA C C ABCD suy A H ABCD BKAA C C BKAA
AA BKN AA NB
suy AA C C , AA B B KNB Ta có: ABCD hình chữ nhật với AB 6, AD suy BD 3 AC Suy ACA cân C Suy CM AAKN//CM
AK AN NK AC AM MC
Xét ABC vng B có BK đường cao suy BK BA BC
AC
2
AB
AB AK AC AK AC
Xét NKB vng K có tan tan
KNB
4
KB
KN KN
Xét ANK vng N có
KN , AK 2 suy
3
AN
2
1
2 3 3
3 2
AM AA
AM MC CM
Ta lại có: 2.2
3
CM AA A H AC CM AA A H
AC
Suy thể tích khối lăng trụ cần tìm là:
V A H AB AD
Câu 36 (Sở Bắc Ninh - 2020)Cho tứ diện ABCD tích 18 Gọi A1 trọng tâm tam giác BCD; P mặt phẳng qua Asao cho góc P mặt phẳng BCD
60
Các đường thẳng qua B C D; ; song song với AA1 cắt P B C D1; 1; 1 Thể tích khối tứ diện A B C D1 1 1 1 bằng?
A 12 B 18 C 9 D 12
Lời giải Chọn B
α N
M
B' C' D'
C
A D
B H
A'
(41)Từ giả thiết A1 trọng tâm tam giác BCD nên ta suy Acũng trọng tâm tam giác B C D1 1 1 Do
1
A BCD A A BC B AA C V V V
1.1 1 1 1
A B C D A AB C B AA C
V V V
Mặt khác quan hệ song song nên 1 1 1
1 1
1 1
; ;
B AA CC B AA CC
B AA C B AA C AA C AA C
d d
V V
S S
Vậy nên
1 1 18
A B C D A BCD
V V
Câu 37 (Sở Bình Phước - 2020)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a,
cạnh bên a Xét điểm M thay đổi mặt phẳng SCD cho tổng
2 2 2 2
Q MA MB MC MD MS nhỏ Gọi V1 thể tích khối chóp S ABCD V2 thể tích khối chóp M ACD Tỉ số
1 V V A 11
140 B
22
35 C
11
70 D
11 35
Lời giải Chọn C
Gọi O tâm hình vng ABCD I điểm đoạn thẳng SO cho 4IOIS0
Ta có: 2
Q MO OA MO OB MO OC MO OD MS
22 2 2 2 2 2 2 2
4MO MS 4OA MI IO MI IS 4OA 5MI 4IO IS 4OA
C
1 D
B
1 A B
C
(42)Vì 4IO2IS24OA2const nên Q nhỏ MI nhỏ Mlà hình chiếu I (SCD)
Gọi E trung điểm CD H, hình chiếu O (SCD)M H, SE
Ta có 6, 7,
2
a a a
SO SE SH
Vì 4
5
SM SI
SH SO
12 11
5 10
a a
SM ME SE SM
Ta có
, ( ) 11
, ( ) 35
d M ABCD ME
d S ABCD SE
2
1
, ( )
11 11
3 . .
1 35 2 70
, ( )
ACD
ABCD
d M ABCD S
V
V d S ABCD S
Câu 38 (Sở Yên Bái - 2020) Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác cạnh 3a,
900
SAB SCB , góc (SAB) (SCB) 600 Thể tích khối chóp S ABC A
3
8
a
B
3
3
a
C
3
2 24
a
D
3
8
a Lời giải
Chọn D
Trong mặt phẳng (ABC) lấy D nằm đường trung trực AC cho SD (ABC)
900
BCD BAD SAB SCB 900
Gọi
2
2 3
BC
O AC BD BD a CD a
OB
Dựng AM SB, SAB SCBCM SB ((SAB SCB),( )) ( AM CM, )
+ Nếu 600 0
sin30 OC
AMC MC a BC vơ lí tam giác MBC vng M
+ Nếu 1200 0 3
2
sin60
OC a a
AMC MC SC SB
2
2
6 1 9
2 S ABC ABC
a a a a
SD SB BD V S SD
Câu 39 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp có đáy tam giác vuông , , , hai mặt phẳng , vng góc với mặt đáy, mặt bên tạo với đáy góc Thể tích khối chóp
S ABC A
30
ABC BCa SAB SAC
SBC
(43)A B C D
Lời giải Chọn D
Ta có Vậy
Ta có nửa tam giác có cạnh nên
Từ kẻ ta có
Suy tam giác vuông cân Trong tam giác vuông đường cao ta có
Vậy
Câu 40 (Đô Lương - Nghệ An - 2020)Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC tam giác vng A, cạnh BC2a ABC60 Biết tứ giác BCC B hình thoi có B BC nhọn Biết BCC B vng góc với ABC ABB A tạo với ABC góc 45 Thể tích khối lăng trụ ABC A B C
A
3
7
a
B
3
3
a
C
3
6
a
D
3
3
a Lời giải
Chọn B
64
a
16
a
9
a
32
a
A
B
C S
M
SAB ABC
SAC ABC SA ABC
SAB SAC SA
S ABC ABC
V SA S
ABC BCa ,
2
a a
AC AB
2
1 3
2 2
ABC
a a a
S AB AC
A AMBC M ABC , SBCSM AM, SMA SMA450 SAM ASA AM
ABC A AM
3
2 2 3
4
a a
AB AC a a
AB AC AM BC AM SA
BC a
2
1 3
3 32
S ABC ABC
a a a
(44)Gọi H chân đường cao hạ từ Bcủa tam giác B BC Do góc B BC góc nhọn nên H thuộc cạnh BC BCC B vng góc với ABC suy B H đường cao lăng trụ
ABC A B C
BCC B hình thoi suy BB BC2a Tam giác ABC vuông A, cạnh BC2a
ABC60 suy ABa, ACa 3
Gọi K hình chiếu H lên AB, tam giác ABC tam giác vuông A nên
//
HK AC BK BH BH 2BK
BA BC
Khi mặt phẳng B HK vng góc với AB nên góc hai mặt phẳng ABB A
ABC góc B KH Theo giả thiết, B KH 45 B K h 2, với B H h Xét tam giác vng B BH có B H 2BH2B B hay h24BK2 4a2 1 Xét tam giác vuông B BK B K : 2BK2B B hay 2h2BK2 4a2 2 Từ 1 2 ta có
7 a
h
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC A B C
3
1
2
ABC
a V S h AB BC h
Câu 41 (Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp tam giác đềuS ABC có cạnh bên tạo với đường cao góc30o, Olà trọng tâm tam giácABC Một hình chóp thứ haiO A B C ' ' 'cóSlà tâm tam giácA B C' ' 'và cạnh bên hình chópO A B C ' ' ' tạo với
đường cao góc60osao cho cạnh bên
, ,
SA SB SClần lượt cắt cạnh bênOA OB OC', ', '.GọiV1là phần thể tích phần chung hai khối chópS ABC vàO A B C ' ' ',V2 thể tích khối chópS ABC Tỉ số
2 V
V bằng: A
16 B
1
4 C
27
64 D
9 64
Lời giải Chọn A
K
C' A'
A C
B
B'
(45)GọiEOA'SA F; OB'SB G; OC'SC Theo hình vẽ thể tích V1VSEFGO;V2VS ABC. ĐặtSOx
Do S ABC hình chóp vàO tâm tam giácABCnênSOABC
Do O A B C ' ' 'là hình chóp vàSlà tâm tam giácA B C' ' 'nênOSA B C' ' '
Từ ta cóABC / / A B C' ' 'OA/ /SA'vàSOOA OS; SA'
Ta có theo kiện tốn ta cóASO30 ; 'o A OS60o
(46)3
2 2
3
2
1
' '
1
2
'
3 '
SE x x
SE OE SO SO x SA SA SO OA x OA
OA SA x
OA SA SA SA x SO Ta có:
2 3
' ' ' ' ' ' 3
AB OA AB OA x
A B SA A B SA x
Ta có: 3 ' ' '
1 3
3 12
3
1 3
3 4
S ABC
O A B C
x x
V V x
x x V x Ta có: 3 3 3 3 ' ' ' ' ' '
27 27
2
64 64 12
2
3
1 1 3
2
' ' ' ' 64 64 64
S EFG
S EFG S ABC
O EFG
O EFG O A B C O A B C
x
V SE SF SG SE x
V V SA SB SC SA x
x
V OE OF OG OE x
V V
V OA OB OC OA x
3
1
2
3
3 64
64 16
12
S EFG O EFG
x x V
V V V
V x
Câu 42 (Kim Liên - Hà Nội - 2020)Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a, tâm đáy O Gọi M N, tương ứng trung điểm cạnh SA SC, Gọi E giao điểm SD mặt phẳng BMN Tính thể tích V khối chóp O BMEN
A
2 18
a
V B
3
2 24
a
V C
2 12
a
V D
2 36
a V
(47)Gọi K MNSO, BK cắt SD E Kẻ OO/ /BE
Do MN đường trung bình SAC nên K trung điểm SO Suy VO BMEN. VS BMEN.
Ta có:
1
2
S BME S BAD
V SM SE SE
V SA SD SD
1
2
S BNE S BCD
V SN SE SE
V SC SD SD Suy . . . .
2
S BMEN S BME S BNE S ABCD SE
V V V V
SD
Vì OO/ /BEO trung điểm ED
Mặt khác: KE/ /OOE trung điểm SO Do SEEOO D
3 SE SD
Suy . . S BMEN S ABCD
V V
Ta có:
ABCD
S a
Xét SOA vng O có:
2
2 2 2
2 2
BD a a
SO SA OA SA a
Do đó:
3
1
3
S ABCD ABCD
a V S SO
Vậy
3
1 2
6 36
S BMEN
a a
V
Câu 43 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AC, BD thỏa mãn
2
16
AC BD cạnh lại Thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn
A 32
3 B
16
3 C
16
3 D
32
3
Lời giải
(48)Gọi I , K trung điểm AC, BD
Ta có: ACIB AC, IDACBIDVABCD2.VABID
1 1
3 2
ABID IBD
V AI S AC IK BD(Do IBIDnên tam giác IBDcân I )
2
16
BD AC ; 0 AC4
2 2 2
2 2
32
2 4 4
IB ID BD BD AC BD
IK ID AD IK 4
2
1 2
2 .4 16 16 ,
12
ABCD
V AC AC AC AC AC Đặt t AC, (0 t 4)
Xét f t( )t 16t2, (0 t 4) Ta có:
Vậy thể tích khối tứ diện cần tìm đạt giá trị lớn 16
3
Tìm giá trị lớn thể tích, ta dùng cách khác sau: Áp dụng BĐT Cauchy cho số: AC2 16AC2
Ta có: 2 2 2
16 16
AC AC AC AC AC 16AC2 8
Đẳng thức xảy AC2 16AC2 AC2
Vậy thể tích khối tứ diện cần tìm đạt giá trị lớn 16
3
Câu 44 (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020)Cho hình chóp có cạnh đáy Mặt bên tạo với đáy góc Mặt phẳng chứa tạo với đáy góc cắt
và Tính thể tích khối chóp theo
A B C D
Lời giải Chọn D
S ABCD a
60o P AB 30o SC SD,
M N V S ABMN a
3
3
a V
3
5
48
a V
3
3
a V
3
3 16
(49)Gọi ACBD O SOABCD (vì S ABCD hình chóp đều)
Gọi I J, hình chiếu vng góc Otrên
,
DC AB gọi
, 60o
SO P E SDC ABCD SOI
P , ABCD EJO30o
Khi tam giác SIJ Mà 30
o
E JO SJI JE
phân giác góc SJI F trung điểm SI 1 (với
JESI F ) Mặt khác
// // //
CD ABCD P CD MN
Từ 1 2 suy MN đường trung bình tam giác
1
SM SN SBC
SC SD
Khi ta có
1 1
2
1 1 1
2 4
S ABM
S ABM S ABC S ABCD S ABC
S AMN
S AMN S ACD S ABCD S ACD
V SM
V V V
V SC
V SM SN
V V V
V SC SD
1
*
4 8
S ABMN S ABM S AMN S ABCD S ABCD S ABCD
V V V V V V
Tam giác SIJ cạnh a
3
3 1 3
2*
2 S ABCD ABCD
a a a
SO V SO S a
Thay 2 * vào * ta
3
3 3
8 16
S ABMN
a a
V
Câu 45 (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho hình chóp S ABC , đáy tam giác ABC có
ABBC , AC2BC 2, hình chiếu S lên ABC trung điểm O cạnh AC Khoảng cách từ A đến SBC Mặt phẳng SBC hợp với mặt phẳng ABC góc thay đổi Biết giá trị nhỏ thể tích khối chóp S ABC a
b , *
,
a b , a số nguyên tố Tổng ab
A 8 B 7 C 6 D 5
Lời giải
Áp dụng định lý Hê-rơng tam giác ABC ta diện tích
ABC
S BC
60o 30o
J
N
O S
E
F
A
B C
D M
(50)Từ O kẻ OI BC I , suy góc tạo SBC ABC SIO Từ O kẻ OH SI H d A SBC , 2d O SBC , OHOH 1 Tam giác OHI vuông H nên 12
sin sin OH OI
Tam giác SOI vuông O nên tan tan
sin cos
OH
SO OI
Mà diện tích
2
2
2
2 ,
sin ABC
ABC ABC
S
S BC OI d A BC BC OI BC S OI
BC
Thể tích khối chóp 1 12 ABC sin cos
V S SO
Xét hàm số 2
f x x x x x 0;1, f x 3x21, 3 f x x Bảng biến thiên
Suy 3, 0;1
f x x
Do 1 cos2 cos 1 2 1 9 cos cos 3
x x V
Vậy a3,b2ab5
Câu 46 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020)Xét khối chóp S ABC có đáy tam giác vuông cân A, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC Gọi góc hai mặt phẳng SBC ABC, tính cos để thể tích khối chóp S ABC nhỏ A cos
3
B cos
C cos
D cos 2
(51)Gọi H trung điểm BCAHBC (vì tam giác ABC vng cân A)
Ta có
AH BC cmt
BC SAH BC SH SA BC SA ABC
Ta có , ,
ABC SBC BC
AH BC ABC SBC AH SH SHA
SH BC
Kẻ AKSH, với KSH
Ta có
,
AK SH gt
AK SBC d A SBC AK AK BC BC SAH
Tam giác SHK vng K có sin sin
AK AH
Tam giác SAK vng K có
3
sin 90 cos
AK SA
Tam giác ABC vng cân A có H trung điểm sin
BC BC AH
6 2 sin BC
AB AC
Vậy 92
2 2 sin sin sin ABC
S AB AC
2
1 9
3 sin cos cos cos
S ABC ABC
V S SA
Xét hàm số cos cos
y với 0;
Đặt 2
cos 0;1
t t y t t t t
Suy 0;1
1
3 0;1 t y t t
Ta có 0 , 1 , 3
3
y y y
Vậy để thể tích khối chóp nhỏ 1 cos2 cos
lớn
3
cos
3
Câu 47 (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020)Cho hình hộp ABCD A B C D có chiều cao diện tích đáy 11 Gọi M trung điểm AA N, điểm cạnh BB cho BN3B N P điểm cạnh CC cho 6CP5C P Mặt phẳng MNP cắt cạnh DD Q Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm , , , ,A B C D M N P, , Q
A 88
3 B 42 C 44 D
220
3
Lời giải Chọn B
(52)Cho hình lăng trụ hình vẽ, . .
ABC MNP ABC A B C
AM BN CP
V V
AA BB CC
Chứng minh:
ABC MNP N ACB N ACPM
V V V
'
1
3
N ACB B ACB ABC A B C
BN BN
V V V
BB BB
1
1
2 .
2 N ACPM ACPM
B ACC A ACC A
CP AM
V S CP AM
V S AA CC AA
1
2
N ACPM ABC A B C
CP AM
V V
CC AA
Từ ta suy điều phải chứng minh Bây ta áp dụng vào giải tốn
Ta có:
//
//
ADD A BCC B
MQ MNP ADD A NP MQ NP MNP BCC B
, tương tự ta có MN PQ// Do MNPQ
là hình bình hành
Ta có OI đường trung bình hai hình thang AMPC BNQD suy 2OI MAPC DQNB MA PC BN DQ
AA CC BB DD
Dựa vào hình vẽ ta chia khối lăng trụ làm hai phần cắt mặt phẳng BDD B Do
44
(53)
ABCD MNPQ ABD MNQ BCD NPQ
V V V
1
3 ABD A B D BCD B C D
MA BN DQ CP BN DQ
V V
AA BB DD CC BB DD
1
3 ABC A B C
MA BN DQ CP BN DQ
V
AA BB DD CC BB DD
3
3.2 ABC A B C
MA CP
V
AA CC
2 ABC A B C
MA CP
V
AA CC
1
.88 42
2 11
Câu 48 (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020)Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng, mặt bên
SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy ABCD có diện tích 27
4 (đvdt) Một mặt phẳng qua trọng tâm tam giác SAB song song với mặt
đáy ABCD chia khối chóp S ABCD thành hai phần, tính thể tích V phần chứa điểm S A V 8 B V 24 C V 36 D V 12
Lời giải Chọn D
Gọi H trung điểm AB Do SAB SAB ABCD nên SH ABCD Ta có
2 3 27 3
4
SAB AB
S AB3 3 3
2 2
AB SH
2
2
1 1 81
3
3 3 2
S ABCD ABCD
V S SH AB SH
(đvtt)
Gọi G trọng tâm tam giác SAB, qua G kẻ đường thẳng song song với AB, cắt SA SB M , N Qua N kẻ đường thẳng song song với BC cắt SC P, qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD Q Suy MNPQ mặt phẳng qua G song song với ABCD
Khi
3
SM SN SP SQ SG
SA SB SC SD SH
Có
3
2
3 27 S MNP
S ABC
V SM SN SP
V SA SB SC
8
27 27 27
S MNP S ABC S ABCD S ABCD
V V V V
(54)Có
3
2
3 27 S MPQ
S ACD
V SM SP SQ
V SA SC SD
8
27 27 27
S MPQ S ACD S ABCD S ABCD
V V V V
Vậy . . . . . . 81 12
27 27 27 27
S MNPQ S MNP S MPQ S ABCD S ABCD S ABCD
V V V V V V (đvtt)
Câu 49 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020)Cho hai hình chóp tam giác có chiều cao Biết đỉnh hình chóp trùng với tâm đáy hình chóp kia, cạnh bên hình chóp cắt cạnh bên hình chóp Cạnh bên có độ dài a hình chóp thứ tạo với đường cao góc 300, cạnh bên hình chóp thứ hai tạo với đường cao góc 450 Tính thể tích phần chung hai hình chóp cho?
A
3 3
64
a
B
3
32
a
C
3
64
a
D
3 27
64
a
Lời giải
Chọn C
Hai hình chóp A BCD A B C D hai hình chóp đều, có chung đường cao AA, A tâm tam giác B C D A tâm tam giác BCD
Ta có: BCD // B C D ; AB AC ADa; BAA ; AA B Do AB cắt A B M nên AB//A B
Gọi N giao điểm AC A C ; P giao điểm AD A D Tương tự ta có: AC//A C , AD//A D
Từ suy cạnh BCD B C D song song với đơi
Ta có:
;
MB A B
MA AB
NC A C
NA AC
AB AC A B A C
MB NC
MA NA
MN//BC
Tương tự ta có: NP CD// MP//BD
Suy ra: MNP tam giác Gọi H giao điểm OO MNP, H tâm tam giác MNP
Trong tam giác AA D có: AA AD.cosa.cos 1
Đặt xMH Hai tam giác AHM tam giác A HM vuông H cho:
β α B'
A'
C B
D A
M
N
P C'
D'
(55)
.cot cot
cot cot cot cot
AH MH x
AA x
A H MH x
2 Từ 1 2 suy ra: cos cot cot cos
cot cot a
a x x
Tam giác MNP có cạnh MNx nên:
2 2
2 3 3 cos
4 4 cot cot
MNP
MN x a
S
Phần chung hai hình chóp A BCD A B C D hai hình chóp đỉnh A A có chung mặt đáy tam giác MNP Do thể tích là:
3
2
1 3.cos
3 MNP MNP cot cot
a
V S AH A H S AA
Với 30 45
3
2
9
9
64
32
a a
V
Câu 50 (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020)Cho hình chóp S ABCDcó đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA y y0 vng góc với mặt đáy ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M đặt AM x 0xa Tính thể tích lớn Vmax khối chóp S ABCM , biết
2 2
x y a
A
3 3
9
a
B
3 3
3
a
C
3 3
8
a
D
3 3
5
a Lời giải
Chọn C
Ta có: 1 1
2
ABCM
S AM BC AB x a a
Vậy thể tích khối chóp S ABCM 1 2
3 ABCM
a
V SA S y ax a xyay
2
2
2 2 2
2 36 36
a
V y x a V a x x a
a
Xét hàm số f x a2x2xa2 khoảng 0;a
Ta có: f x 2x x a22a2x2xa2xa 2 a2x
2
a
(56)Từ bảng biến thiên suy ra:
2
2
2 0;
27 max
2 16
a
a a a a
f x f a a
Vậy
2
max 0;
27
36 a 36 16
a a a a
V max f x
Câu 51 (Hải Hậu - Nam Định - 2020)Cho hình chóp S ABC với điểm M N, thứ tự nằm cạnh BC AC, (khác , ,A B C) P giao điểm AM BN (hình vẽ minh họa)
Biết thể tích khối chóp SABP, SAPN, SCNP thứ tự 30, 20,10 Thể tích khối chóp
S ABC thuộc khoảng sau đây?
A 72;75 B 65;69 C 69;72 D 75;78
Lời giải Chọn A
Gọi h chiều cao hình chóp Ta có
30 3
20 2
S ABP ABP S APN APN
V S BP
V S PN
Suy
, 3 3 3 3
2 10 15
1 2 2 2 2
,
CBP S CBP
S CBP S CPN
CPN S CPN
BP d C BP
S V
V V
S PN d C PN V
Vậy VS ABC. VS ABP. VS APN. VS CNP. VS CBP. 3020 10 15 75
Câu 52 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt phẳng chứa AK cắt cạnh SB, SD M N Gọi V1, V theo thứ tự thể tích khối chóp S AMKN khối chóp S ABCD Giá trị nhỏ tỉ số
(57)A 3
8 B
1
2 C
1
3 D
2
Lời giải Chọn C
Giả sử xSM SB ,
SN y
SD
Ta có ABCD hình bình hành nên . . .
2
S ABC S ACD S ABCD
V V V V
1 1 1
2 2
S AMKN S AMK S AKN S ABC S ACD SM SK SK SN
V V V V V x V y V V x y
SB SC SC SD
1
4
V xy
V
Mặt khác, VS AMKN. VS AMN. VS KMN. SM SN .VS ABD. SK SM SN .VS ABC. SB SD SC SB SD
1
1 1
2 2
V xy V xy V xyV
4
V xy V
Do 1 3
4 xy 4xy x y xy
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 2
3
xy x y xy xy xy Do 3 4.
4
V
xy V
Dấu " " xảy
3
x y xy
x y
x y
Vậy giá trị nhỏ V1
V
1
Câu 53 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành có diện tích 12a2 ; khoảng cách từ S tới mặt phẳng ABCD 4a Gọi
L trọng tâm tam giác ACD ; gọi T V trung điểm cạnh SB SC. Mặt phẳng
LTV chia hình chóp thành hai khối đa diện, tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh S A
3 20
3 a
B 8a3 C
3 28
3 a
D
3 32
3 a
Lời giải
(58)2
1
12 16
3
S ABCD
V V a a a
Mặt phẳng LTV cắt AB CD, M N cho MN/ /BC/ /TV Đặt V VS ADNMTV. VS ABMN. VS TVMN.
Ta có : .
3
S ADNM
V V
Xét khối chóp S MNCB có đáy hình bình hành :
1; 1; 2;
SM SN SB SC
a b c d
SM SN ST SV
Khi
3
4
S TVMN S MNBC
V a b c d
V abcd
.
3
S TVMN
V V V
Do 1
3 12
V V V V 16 28
12 a a
Câu 54 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020)Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích Gọi M trung điểm SA N điểm đối xứng của A qua D Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp thành hai khối đa diện Gọi (H) khối đa diện có chứa đỉnh Thể tích khối đa diện (H)
A
12 B
4
7 C
5
12 D
3
Lời giải Chọn A
Gọi O tâm hình vng ABCD ta có SO chiều cao hình chóp
Trong mặt phẳng (SAD) gọi I giao điểm MN SD ta suy I trọng tâm tam giác SAN
3
SI NI
SD NM
(59)Ta có SABN SABCD ( , ( ))
d M ABCD SO suy .
MABN S ABCD
V V (1)
Từ giả thiết ta có V(H) VS ABCD. VABM DJI. (2)
Xét khối chóp N ABM áp dụng cơng thức tính tỷ số thể tích ta có
1
6
NDJI
NDJI NABM NABM
V NI ND NJ
V V
V NM NA NB
5
6
ABM DJI NABM MABN
V V V (3)
Từ (1), (2) (3) ta tích (H)
( )
5
6 12
H S ABCD S ABCD
V V V
Vậy thể tích khối đa diện (H) 12
Câu 55 (Tiên Lãng - Hải Phịng - 2020) Cho tứ diện ABCD tích V Gọi M N P Q R, , , , trung điểm cạnh AB AD AC DC BD, , , , G trọng tâm tam giác ABC (như hình vẽ) Tính thể tích khối đa diện lồi MNPQRG theo V
A
2
V
B
6
V
C
3
V
D 2
5
V Lời giải
Chọn C
Ta có VMNPQRG VG MPQR. VN MPQR.
1
G MPQR B MPQR
V V .
3VB PQR
3VP BQR
.
3 2VA BQR
1 1
3 4VA BCD 12V
N MPQR N MPR
V V 2.VP MNR
Q R P
M N
B D
C A
G
Q R P
M N
B D
C A
(60)
2VC MNR
.
4VC ABD
1 4V
Vậy 1
12
MNPQRG
V V V V
Câu 56 (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020)Cho lăng trụ ABC A B C tích Gọi M N, P điểm nằm cạnh A B B C , và BC cho M trung điểm A B ,
3
B N B C
BP BC Đường thẳng NP cắt đường thẳng BB Evà đường thẳng EM cắt đường thẳng AB Q Thể tích khối đa diện lồi AQPCA MNC '
A. 23
3 B.
23
6 C.
59
12 D.
19
Lờigiải
ChọnC
Ta có
3
EB EQ EP BP
EB EM EN B N
Suy , ,
d E A B C d B A B C Mà ta lại có
8
B MN A B C
S B N B M S B C B A
Và . , .
3 16
E MB N MB N ABC A B C
V d E MB N S V
Ta lại có
3
1
27 E QPB
E MNB
V EQ EP EB EB
V EM EN EB EB
Suy . . 26 .
27 BQP B MN E MB N EBQP E MB N
V V V V
Vậy . . 26 59
27 12 AQPCA MNC ABC A B C BQP B MN
V V V