Trắc nghiệm VD - VDC nón trụ cầu

Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách[r]

(1)

(2)

MỤC LỤC

1 MẶT NĨN TRỊN XOAY VÀ KHỐI NĨN………

2 MẶT TRỤ TRÒN XOAY VÀ KHỐI TRỤ……… …9

3 MẶT CẦU VÀ KHỐI CẦU……… 21

(3)

NÓN - TRỤ - CẦU

I - MẶT NĨN TRỊN XOAY VÀ KHỐI NĨN A – LÝ THUYẾT CHUNG

1 Mặt nón trịn xoay

Nội dung

Đường thẳng , cắt tạo thành góc với , chứa , quay quanh trục với

góc khơng đổi mặt nón trịn xoay đỉnh

gọi trục

được gọi đường sinh

Góc gọi góc đỉnh

2 Khối nón

Nội dung Hình vẽ

Là phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình nón Những điểm khơng thuộc khối nón gọi

điểm ngồi khối nón

Những điểm thuộc khối nón khơng thuộc hình nón

tương ứng gọi điểm khối nón Đỉnh, mặt đáy, đường sinh hình nón đỉnh, mặt đáy, đường sinh khối nón tương ứng

Cho hình nón có chiều cao h, đường sinh l bán kính đáy

Diện tích xung quanh: hình nón:

Diện tích đáy (hình trịn):

Diện tích tồn phần: của hình nón:

Thể tích khối nón:

3 MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ CƠNG THỨC GIẢI

3.1.Dạng Thiết diện hình nón cắt mặt phẳng

Thiết diện qua trục hình nón tam giác cân

d  O 

0

0   90 mp P  d  P 

  O.

 d

2

r

xq

S rl áy

S r2.





đ

tp

S rl r2.

 

  V r h2

(4)

Thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác cân có hai cạnh bên hai đường sinh hình nón

Thiết diện vng góc với trục hình nón đường trịn có tâm nằm trục

hình nón

3.2 Dạng Bài tốn liên quan đến thiết diện qua đỉnh hình nón

Cho hình nón có chiều cao , bán kính đáy đường sinh

Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện

Gọi M trung điểm AC Khi đó:

Góc góc SMI

Góc góc MSI

Diện tích thiết diện

3.3 Dạng Bài tốn hình nón ngoại tiếp nội tiếp hình chóp

Hình nón nội tiếp hình chóp hình nón có đỉnh

là , đáy đường trịn nội tiếp hình vng

Khi hình nón có:

Bán kính đáy ,

Đường cao , đường sinh

Hình chóp tứ giác đều

Hình nón ngoại tiếp hình chóp hình nón có

đỉnh , đáy đường trịn ngoại tiếp hình vng

Khi hình nón có:

Bán kính đáy:

Chiều cao:

Đường sinh:

h r l

d.

  AC  SMI

SAC ABC SAC SI

 

d I SAC, IH d

td SAC

S S SM AC SI IM AI IM

h d h d

r h

h d h d

2 2

2

2 2

1

.2

2



    

  

 

S ABCD

S ABCD

AB

r IM

2

 

h SI l SM.

S ABCD

C D M I

S

A B

S ABCD

S ABCD

AC AB

r IA

2

  

h SI. l SA.

S ABCD

D S

I A

(5)

Hình nón nội tiếp hình chóp hình nón có đỉnh , đáy đường trịn nội tiếp tam giác

Khi hình nón có

Bán kính đáy:

Chiều cao:

Đường sinh:

Hình chóp tam giác đều

Hình nón ngoại tiếp hình chóp hình nón có đỉnh , đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác

Khi hình nón có:

Bán kính đáy:

Chiều cao:

Đường sinh:

3.4 Dạng Bài tốn hình nón cụt

Khi cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần mặt phẳng nằm hình nón hình trịn Phần hình nón nằm hai mặt phẳng nói gọi hình nón cụt

Khi cắt hình nón cụt mặt phẳng song song với đáy

thì mặt cắt hình trịn

Khi cắt hình nón cụt mặt phẳng song song với trục mặt cắt hình thang cân

Cho hình nón cụt có bán kính đáy lớn,

bán kính đáy nhỏ chiều cao

Diện tích xung quanh hình nón cụt:

Diện tích đáy (hình trịn):

Diện tích tồn phần hình nón cụt:

Thể tích khối nón cụt:

S ABC

S ABC.

AM AB

r IM

3

  

h SI. l SM.

S ABC

I S

M

C

B A

S ABC

S ABC

AM AB

r IA

3

  

h SI. l SA.

S ABC S

I

C

B

M A

R r h, ,

 

xq

S l R r 

 

áy

áy áy

S r

S r R

S R

2

1

2



 

 



  

  

 

đ

đ đ

 

tp

S l R r r2 R2.

  

   

 

V h R2 r2 Rr . 3

  

h

R

(6)

3.5 Dạng Bài tốn hình nón tạo phần cịn lại hình trịn sau cắt bỏđi hình quạt

Từ hình trịn cắt bỏ hình quạt AmB Độ dài cung

AnB bằng

x Phần lại hình trịn ghép lại hình

nón Tìm bán kính, chiều cao độdài đường sinh hình nón

đó

Hình nón tạo thành có

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2)Cho tứ diện ABCD có DA

vng góc với mp ABC , DBBC AD,  ABBCa Kí hiệu V V V1, ,2 3 thể tích hình trịn xoay sinh tam giác ABD quay quanh AD, tam giác ABC quay quanh

AB, tam giác DBC quay quanh BC Trong mệnh đề sau, mệnh đềnào ? A V V1 2 V3 B V V1 3 V2 C V2 V3 V1 D V1 V2 V3

Câu 2: (Chun Hưng n Lần 3)Cho hình nón đỉnh S có đáy đường trịn tâm O bán kính R Trên

đường tròn  O lấy hai điểm A B, cho tam giác OAB vuông Biết diện tích tam giác SAB

bằng 2

R Thể tích hình nón cho

A

14 12

R



B

3

14

R



C

3

14

R



D

3

14

R



Câu 3: (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1)Một khối nón có bán kính đáy cm, chiều cao 3 cm Một mặt phẳng qua đỉnh tạo với đáy góc

6 chia khối nón làm

phần Tính thể tích V phần nhỏhơn (Tính gần đến hàng phần trăm)

A V1,42cm3 B V2,36cm3 C V1,53cm3 D V2,47cm3

Câu 4: Cho khối nón trịn xoay có đường cao h 20cm, bán kính đáy r  5cm Một mặt phẳng (P) qua đỉnh khối nón có khoảng cách đến tâm O đáy 12 cm Khi diện tích thiết diện (P) với khối nón bằng:

A

500 cm B

475 cm C

450 cm D

550 cm

Câu 5: (THPT-n-Mơ-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho tam giác ABC cân A, biết

AB a góc ABC 30o, cho tam giác ABC (kể cảđiểm trong) quay xung quanh đường thẳng AC khối trịn xoay Khi thể tích khối trịn xoay

A

2πa B

6πa C 2π

3

a . D 2a3

Câu 6: Cho hình bình hành ABCD có BAD 00 900,AD a

 

    ADB90 0 Quay ABCD

quanh AB, ta vật trịn xoay tích là:

A

sin

V a  B

sin os

V a  c 

O R; 

l R

r x r

x h l2 r2

2

2 

   

   



  

(7)

C

2 3sin

cos

V a 



 D

2 3cos

sin

V a 

 

Câu 7: Cho hình nón  có bán kính đáy R, đường cao SO Gọi (P) mà mặt phẳng vng góc với SO

O1 cho 1

3

SO  SO Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón  nằm (P)

và đáy hình nón theo thiết diện hình tứgiác có hai đường chéo vng góc Tính thể tích phần hình nón  nằm mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa đáy hình nón 

A

7

R



B

9

R



C

26 81

R



D

52 81

R



Câu 8: (THTT số 3) Một hình thang cân có chiều cao hvà độ dài hai đáy a, b Tính thể tích vật thể

trịn xoay thu quay hình thang quanh đường trung trực hai đáy A 1  2

3h a abb B  

2

1

6h a abb C  2

12h a abb D CảA, B, C sai

Câu 9: (Hải Hậu Lần1)Cho hình trụ  T có chiều cao h  ,m bán kính đáy r3 m Giả sử  L hình

lăng trụđều n cạnh có hai đáy đa giác nội tiếp đường trịn đáy hình trụ  T Khi n tăng

lên vơ hạn tổng diện tích tất mặt của khối lăng trụ L (tính

m ) có giới hạn là:

A S 12 B S20 C 30 D 12

Câu 10: (Sở Bắc Ninh)Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng A BCD, tứ giác ABCD

là hình thang vuông với cạnh đáy AD BC, AD3CB3a, AB a , SA a 3 Điểm I thỏa mãn A D 3A I, M trung điểm SD , H giao điểm AM SI Gọi E F, hình chiếu A lên S B S C, Tính thể tích V khối nón có đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH đỉnh thuộc mặt phẳng A BCD

A

3

5



 a

V B

3

2



 a

V C

3

5



 a

V D

3

10



 a

V

Câu 11: Thể tích V khối trịn xoay thu quay hình thang ABCD quanh trục OO, biết

80,

OO  O D 24, O C 12, OA12, OB6

A V 43200  B V 21600  C V 20160  D V 45000 

Câu 12: Cho ba hình tam giác cạnh a chồng lên hình vẽ (cạnh đáy tam giác qua trung điểm hai cạnh bên tam gác dưới) Tính theo a thể tích khối tròn xoay tạo

(8)

A

3

13 96

a



B

3

11 96

a



C

3

a



D

3

11

a



Câu 13: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1)Cho hình chữ nhật ABCD có AB2, AD2 3 nằm mặt phẳng  P Quay  P vòng quanh đường thẳng BD Khối tròn xoay tạo thành tích

A 28



B 28

3



C 56

9



D 56

3



.

Câu 14: (Cụm trường chun lần1)Cho hình thang ABCD có A B   90 , ABBCa, AD2a Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình thang ABCD xung quanh trục CD

A

3

7

a



B

3

7 12

a



C

3

7

a



D

3

7 12

a



Câu 15: Một hình nón bị cắt mặt phẳng  P song song với đáy Mặt phẳng  P chia hình nón làm hai phần N1 N2 Cho hình cầu nội tiếp N2 hình vẽ cho thể tích hình cầu nửa thể tích N2 Một mặt phẳng qua trục hình nón vng góc với đáy cắt N2

theo thiết diện hình thang cân, tang góc nhọn hình thang cân

N2

(9)

A 2 B 4 C 1 D 3

Câu 16: (CHUN HỒNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN NĂM 2019)Cho hình thang ABCD vng A D có CD2AB2AD4 Thể tích khối trịn xoay sinh hình thang ABCD quay xung quanh đường thẳng BC

A 28

3  B

20

3  C

32

3  D

10

3 

Câu 17: Trong hình nón trịn xoay có diện tích tồn phần  Tính thể tích hình nón lớn nhất?

A

9



B

12



C

2



D

3



Câu 18: Tìm hình nón tích nhỏ ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước tích bằng: A 1

6r B

3

8

3r C

3

2

3r D

3

4 3r

Câu 19: Cho hình nón  N có đáy hình trịn tâmO Đường kính 2a đường cao SOa Cho

điểm H thay đổi đoạn thẳngSO Mặt phẳng P vng góc vớiSO tạiHvà cắt hình nón

theo đường trịn  C Khối nón có đỉnh O đáy hình trịn  C tích lớn bao nhiêu?

A

2 81

a



B

4 81

a



C

7 81

a



D

8 81

a



Câu 20: Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x khối trụ tích lớn nội tiếp hình nón theo h

A

h

x B

3

h

x C

3

h

x  D

3

h x

Câu 21: Cho hình nón đỉnh S , đáy hình trịn tâm O , góc ởđỉnh 120 Trên đường trịn đáy, lấy

điểm A cốđịnh điểm M di động Có vịtrí điểm điểm Mđể diện tích tam giác

SAM đạt giá trị lớn nhất?

A 2 B 3 C 1 D vô số

Câu 22: Cho nửa đường trịn đường kính AB2R điểm C thay đổi nửa đường trịn đó, đặt



CAB

 gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tìm  cho thể tích vật thể

trịn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn

A 60 B 45 C arctan

2 D 30

A

B

(10)

Câu 23: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V V1, 2 thể

tích hình nón thể tích hình cầu nội tiếp hình nón Khi r hthay đổi, tìm giá trị bé

tỉ số

V V

A B 2 C 1

3 D 2

Câu 24: Với miếng tơn hình trịn có bán kính R6cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình trịn

và gấp phần cịn lại thành hình nón (Như hình vẽ)

Hình nón tích lớn người ta cắt cung trịn hình quạt bằng:

A 4 6cm B 6 6cm C 2 6cm D 8 6cm

Câu 25: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V1, V2 thể

tích hình nón thể tích khối cầu nội tiếp hình nón Giá trị bé tỉ số

V V

A 5

4 B

4

3 C 3 D 2

Câu 26: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn ởtrên Khi hình nón có bán kính đáy A 10 2cm B 20cm C 50 2cm D 25cm

Câu 27: (Chun Thái Ngun)Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cm đường kính đáy 24 cm mặt phẳng song song với đường sinh hình nón ta thu thiết diện có diện tích lớn gần với giá trịnào sau đây?

A 170 B 260 C 294 D 208

Câu 28: (CỤM-CHUN-MƠN-HẢI-PHỊNG)Gọi d đường thẳng tùy ý qua điểm M 1;1 có hệ số góc âm Giả sử d cắt trục Ox Oy, A B, Quay tam giác OAB quanh trục

O y thu khối trịn xoay tích V Giá trị nhỏ V bằng:

A 3 B 9



C 2 D 5

2



(11)

II - MẶT TRỤ TRÒN XOAY A – LÝ THUYẾT CHUNG 1 Mặt trụ

Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng song song với nhau, cách khoảng Khi quay mặt phẳng xung quanh đường thẳng sinh mặt tròn xoay gọi mặt trụ tròn xoay, gọi tắt mặt trụ

Đường thẳng gọi trục

Đường thẳng đường sinh bán kính mặt trụđó

2 Hình trụ trịn xoay khối trụ trịn xoay

Ta xét hình chữ nhật Khi quay hình chữ nhật

xung quanh đường thẳng chứa cạnh đó, chẳng hạn cạnh AB đường gấp khúc tạo thành hình gọi hình trụ trịn xoay, hay gọi tắt hình trụ

Khi quay quanh hai cạnh vạch hai hình trịn gọi hai đáy hình trụ, bán kính chúng gọi bán kính hình trụ

Độdài đoạn gọi độdài đường sinh hình trụ

Phần mặt trịn xoay sinh điểm cạnh quay xung quanh gọi mặt xung quanh hình trụ

Khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đáy chiều cao hình trụ

Diện tích xung quanh: Diện tích tồn phần: Thể tích:

3 MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ CƠNG THỨC GIẢI BÀI TỐN MẶT TRỤ 3 Dạng Thiết diện hình trụ cắt mặt phẳng

 P  l

r

 P  l



l

r

ABCD ABCD

ADCB

,

AB AD BC

CD

CD AB

AB

xq

S  2rl tp

S 2 rl 2 r2.

 

 

V r h2

(12)

Thiết diện vng góc trục là đường trịn bán kính

Thiết diện chứa trục hình chữ nhật

Nếu thiết diện qua trục hình vng

thì

Thiết diện song song với trục và khơng chứa trục hình chữ

nhật có khoảng cách tới trục là:

3 Dạng Thể tích khối tứ diện có cạnh đường kính đáy

Nếu hai đường kính bất kỳtrên hai đáy hình trụ thì:

* Đặc biệt:

Nếu vng góc thì:

3 Dạng Xác định góc khoảng cách

Góc trục :



AB OO, 'A AB'

Khoảng cách trục :

Nếu hình vng nội tiếp hình trụ đường chéo hình vng đường chéo hình trụ

Nghĩa cạnh hình vng:

3 Dạng Xác định mối liên hệ diện tích xung quanh, tồn phần thể tích khối trụ bài toán tối ưu

R ABCD AB 2R AD h

h 2R

BGHC d OO ';BGHC OM

M O A

D

B

C G

H

AB CD

 

ABCD

V 1AB CD OO '.sin AB CD,



AB CD

ABCD

V 1AB CD OO '

 O'

O

A B

D

C

AB OO '

O

O' A

B A'

AB OO '

 

d AB OO; ' OM

M O

O' A

A'

B

ABCD

AB 2 4R2 h2

 

I O

O' D

B A

(13)

Một khối trụ tích V khơng đổi

Tìm bán kính đáy chiều cao hình trụđể diện tích tồn phần nhỏ nhất:

Tìm bán kính đáy chiều cao hình trụđể diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy nhỏ nhất:

3 Dạng Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp hình lăng trụđứng

Cho hình lăng trụtam giác đêu nội tiếp hình trụ Thể tích khối lăng trụ V thể tích khối trụ

Cho hình lăng trụ tứgiác đêu ngoại tiếp hình trụ Diện tích xung quanh hình trụ Sxq diện tích xung quanh hình lăng trụ

Câu 1: Cho hình trụcó đáy hai hình trịn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao a. Trên

đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường đáy tâm O’ lấy điểm B cho AB2 a Tính thể

tích khối tứ diện OO 'AB

A

3 12

a

B

12

a

C

5

12

a

D

3

a

Câu 2: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho khối trụ  T , AB

CD hai đường kính mặt đáy khối  T Biết góc AB CD 30, AB6cm thể tích khối ABCD

3 0cm Khi thể tích khối trụ  T

A

9 0cm B

3 0cm C

45cm D 90 3

270 cm



Câu 3: Cho lăng trụ AB C A B C ' ' ', đáy ABC tam giác có A B 5,AC 8 góc 

, 60

AB AC  Gọi

, '

V V thể tích khối lăng trụ ngoại tiếp nội tiếp khối lăng trụđã cho Tính tỉ số '

?

V V

tp

V R S

V h

3

4

2

 

     

   

V R S

V h

3

min 



     

   

V V(T)

9 



ABCD A B C D ' ' ' '

xq

S

(14)

A

4 B

9

4 C

1

4 D

2 9

Câu 4: Cho khối trụcó bán kính đáy r a chiều cao h2a Mặt phẳng (P) song song với trục '

OO khối trụ chia khối trụ thành phần, gọi V1 thể tích phần khối trụ chứa trục OO', V2

là thể tích phần cịn lại khối trụ Tính tỉ số

V

V , biết (P) cách OO' khoảng

2

a

A 3 2

 



 B

3 2

 



 C

2

 



 D

2

 

 

Câu 5: Cho hình trụcó bán kính đáy R5, chiều cao h6 Một đoạn thẳng AB có độ dài 10

và có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách đường thẳng AB trục hình trụ?

A 3 B 4 C 2 D 1

Câu 6: Một hình trụcó bán kính đáy 50cm có chiều cao 50cm Một đoạn thẳng AB có chiều dài

là 100cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách d từđoạn thẳng đến trục hình trụ

A d 50cm B d50 3cm C d 25cm D d25 3cm

Câu 7: Cho hình trụcó bán kính đáy R chiều cao R lấy hai điểm A, B nằm hai đường tròn đáy

cho AB2 R Tính khoảng cách từAB đến trục hình trụ theo R

A

R

B

R

C

R

D

R

Câu 8: (Ba Đình Lần2) Cho khối trụcó đáy đường trịn tâm  O ,  O có bán kính R chiều cao h R Gọi A, B điểm thuộc  O  O cho OA vng góc với

O B Tỉ số thể tích khối tứ diện OO AB với thể tích khối trụ là:

A

3 B

1

3 C

1

6 D

1 4

Câu 9: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho hình trụcó tâm hai đáy O O'; bán kính đáy hình trụ a Trên hai đường trịn  O  O' lấy hai điểm A B cho AB tạo với trục hình trụ góc 0 có khoảng cách tới trục của hình trụ bằng

2

a

Tính diện tích tồn phần hình trụđã cho

A 2 

2a 1 B  

2

3

a



 C 2 

3

a

  D  

2

3 3

a





(15)

tạo với mặt phẳng chứa đường trịn O R;  góc 60 Tính theo R thể tích V khối trụ cho

A

3

7

R

V B

3

5

R

V   C

3

5

R

V D

3

7

R

V 

Câu 11: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1)Có miếng bìa hình chữ nhật

ABCD với AB3 AD 6 Trên cạnh AD lấy điểm E cho AE2, cạnh BC lấy

điểm F trung điểmBC

Cuốn miếng bìa lại cho cạnh AB DC trùng để tạo thành mặt xung quanh hình trụ Khi tính thể tích V tứ diện ABEF

A π

V  B 32

2π

V C

3

3π

2

V  D

2

2 3π

V 

Câu 12: (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hình trụ có đáy hai đường tròn tâm O O, bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường trịn đáy có tâm O lấy

điểm A, đường tròn tâm O lấy điểm B Đặt  góc AB đáy Tính tan thể tích khối tứ diện OO AB đạt giá trị lớn

A ta n  B tan

2

  C tan

2

  D tan1

Câu 13: (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hình trụ có đáy hai đường tròn tâm O O, bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường trịn đáy có tâm O lấy

điểm A, D cho AD2 3a; gọi C hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng chứa

đường trịn  O' ; đường tròn tâm O lấy điểm B (AB chéo với CD) Đặt  góc

AB đáy Tính tan thể tích khối tứ diện CDAB đạt giá trị lớn

A tan 3 B tan

2

  C tan1 D tan

3

 

Câu 14: (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O, bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường trịn đáy có tâm O lấy

điểm A, D đường tròn tâm O lấy điểm B, C cho AB CD// AB khơng cắt OO' Tính AD để thể tích khối chóp O ABCD' đạt giá trị lớn

A AD 2 2a B AD4a C

3

AD a D A D  2a

F A

B C

(16)

Câu 15: (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02)Một hình trụcó độdài đường cao 3, đường trịn đáy  O;1 O';1 Giả sử AB đường kính cố định

 O;1 MN đường kính thay đổi O';1 Tìm giá trị lớn Vmax thể tích khối tứ

diện ABMN

A Vmax2 B Vmax6 C max

V  D Vmax 1

Câu 16: Cho hình trụ có chiều caoh2,bán kính đáyr3.Một mặt phẳng P khơng vng góc với đáy hình trụ, lượt cắt hai đáy theo đoạn giao tuyến AB vàCD choABCD hình vng Tính diện tíchS hình vngABCD

A S 12  B S 12 C S20 D S20 

Câu 17: (THẠCH THÀNH I - THANH HĨA 2019)Cho hình trụ có bán kính r chiều cao

bằng r Một hình vng ABCD có hai cạnh AB CD, dây cung hai đường tròn đáy, cịn cạnh B C AD, khơng phải đường sinh hình trụ Tan góc mặt phẳng chứa hình vng mặt đáy

A 1 B

2 C

6

3 D

15

Câu 18: (THPT-Chun-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho khối trụ có bán kính đáy

 

4 cm chiều cao 5cm Gọi AB dây cung đáy

dưới cho AB4 3cm Người ta dựng mặt phẳng  P qua hai điểm A, B tạo với mặt phẳng đáy hình trụ góc 0 hình vẽ Tính diện tích thiết diện hình trụ cắt mặt phẳng  P

A 8 4 3 2

3 cm

 

B 4 4 3 2

3 cm

 

C 4 4 3 2

3 cm

 

D 8 4 3 2

3 cm

 

Câu 19: Một khối lăng trụtam giác cạnh đáy a, góc đường chéo mặt bên mặt đáy

bằng

60 Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụđó A

3

V  a B Va3 3 C

3

V  a D

3

(17)

Câu 20: (Sở Quảng NamT) Cho hình trụ có trục OO', bán kính đáy r chiều cao

r

h  Hai điểm

,

M N di động đường tròn đáy  O cho OMN tam giác Gọi H hình chiếu

vng góc O lên O MN'  Khi M N, di động đường trịn  O đoạn thẳng OH tạo

thành mặt xung quanh hình nón, diện tích S mặt

A

2

9 32

r

S   B

2

9 16

r

S   C

2

9 32

r

S  D

2

9 16

r S 

Câu 21: Cho hai hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh X hình vng tâm hình vng cịn lại (như hình vẽ) Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay mơ hình xung quanh trục XY

A 125 1 2

V





 B  

125 2 12

V







C 125 5 2 24

V





 D  

125 2

V







Câu 22: Cho hình nón có độdài đường kính đáy 2R , độdài đường sinh R 17 hình trụ có chiều

cao đường kính đáy 2R, lồng vào hình vẽ

Tính thể tích phần khối trụ khơng giao với khối nón

A

12R B

3

1

3R C

3

4

3R D

3

5 6R

Câu 23: Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng đáy) đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thảvào khối trụ đo dược thể tích nước tràn

ngồi 16

9 dm



Biết mặt khối trụ nằm mặt hình nón, điểm

X

(18)

đường tròn đáy lại thuộc đường sinh hình nón (như hình vẽ) khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón Diện tích xung quanh Sxq bình nước là:

A 10

2

xq

S   dm B Sxq 4 10 dm2 C Sxq 4dm2 D

2

xq

S   dm

Câu 24: (CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI LẦN NĂM 2019)Cho hình thang cân ABCD, AB/ /CD,

6

AB cm, CD2cm, AD BC  13cm Quay hình thang ABCD xung quanh đường thẳng

AB ta khối trịn xoay tích

A 18cm3 B 30cm3 C 24cm3 D 12cm3

Câu 25: Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối  H hình vẽ bên Biết thiết diện hình elip có độ dài trục lớn 8, khoảng cách từđiểm thuộc thiết diện gần mặt đáy

và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy tới mặt đáy 14 (xem hình vẽ).Tính thể

tích  H

A V( )H 192 B V( )H 275 C V( )H 704 D V( )H 176

Câu 26: (Chun Hưng n Lần 3) Cho hình vng ABCD cạnh a. Gọi N điểm thuộc cạnh AD

sao cho AN 2ND Đường thẳng qua N vuông góc với BN cắt BC K Tính thể tích V

của khối tròn xoay tạo thành quay tứ giác ANKB quanh trục BK

I M

P

N

Q S

B

(19)

A

6

V  a B

14

V  a C

7

V  a D 14

9

V  a

Câu 27: (THTT số 3)Một khối nón làm chất liệu khơng thấm nước, có khối lượng riêng lớn hơ khối

lượng riêng nước, có đường kính đáy a chiều cao 12, đặt đáy

của cốc hình trụbán kính đáy anhư hình vẽ, cho đáy khối nón tiếp xúc với đáy

của cốc hình trụ Đổnước vào cốc hình trụđến mực nước đạt đến độ cao 12 lấy khối nón Hãy tính độ cao nước cốc sau lấy khối nón

A 11, 37 B 11 C 6 3. D 37

2



Câu 28: Cho tam giác đều hình vng có cạnh 4được xếp chồng lên cho đỉnh tam giác trùng với tâm hình vuông, trục tam giác trùng với trục hình

vng (như hình vẽ) Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình cho quay quanh trục

AB

a

K

C D

A B

N

h R'

R H

C A

(20)

A 136 24

  

B 48 3

 

C 128 24

  

D 144 24

  

Câu 29: Cho hình phẳng  H mơ tả hình vẽ Tính thể tích V vật thể trịn xoay

tạo quay hình phẳng  H quanh cạnh AB

A 772





V cm B 799





V cm C

254 



V cm D 826





V cm

Câu 30: (Thuan-Thanh-Bac-Ninh)Một khối đá có hình khối cầu có bán kính R , người thợ thủ

công mỹ nghệ cần cắt gọt viên đá thành viên đá cảnh có hình dạng khối trụ Tính thể tích lớn viên đá cảnh sau hoàn thiện?

A

3

4 R



B

3

4 R



C

3

4 R



D

3

3 R 12



Câu 31: (THĂNG LONG HN LẦN NĂM 2019)Cho mặt cầu  S có bán kính Trong tất

khối trụ nội tiếp mặt cầu  S (hai đáy khối trụ thiết diện hình cầu cắt hai mặt phẳng song song), khối trụ tích lớn ?

A 3

2



B 4 C 3 D 4

3



Câu 32: Một hình trụ có thểtích V khơng đổi Tính mối quan hệ bán kính đáy chiều cao hình trụ

sao cho diện tích tồn phần đạt giá trị nhỏ

A

h

R B

3

h

R C

5

h

R D

4

h R A

7 cm 6 cm

3 cm

5 cm

B C

E F

(21)

Câu 33: (THPT LÊ Q ĐƠN QUẢNG NGÃI)Cho hình nón có bán kính đáy chiều cao 6, khối trụcó bán kính đáy thay đổi nội tiếp khối nón cho (như hình vẽ) Thể tích lớn khối trụ

A 6 B 10 C 4 D 8

Câu 34: (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019)Cho hai mặt phẳng (P) ( )Q song song với cắt khối cầu tâm O bán kính R tạo thành hai hình trịn (C1) (C2) bán kính

Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm hai hình trịn, đáy trùng với hình trịn cịn lại Biết diện tích xung quanh hình nón lớn nhất, thể tích khối trụcó hai đáy hai hình tròn (C1) (C2)

A

4

9

R



B

3

2

9

R



C

3

R



D

3

4

3

R



Câu 35: Trong số hình trụ có diện tích tồn phần S bán kính R chiều cao h khối trụ tích lớn là:

A ;

2 2

S S

R h

 

  B ;

4

S S

R h

 

 

C ;

3

S S

R h

 

  D ;

6

S S

R h

 

 

Câu 36: Cho hình cầu tâm O, đường kính 2R hình trụ trịn xoay nội tiếp hình cầu Hãy tìm kích

thước hình trụ có thểtích đạt giá trị lớn

A

3

R

r B

3

R

r C

3

R

r D

3

R r

Câu 37: Cho hình vẽ bên Tam giác SOA vng O có MN/ /SO với M N, nằm cạnh SA,

OA Đặt SOh không đổi Khi quay hình vẽ quanh SO tạo thành hình trụ nội tiếp hình

nón đỉnh S có đáy hình trịn tâm O bán kính R OA Tìm độ dài MNđể thể tích khối trụ

(22)

A

2

h

MN  B

3

h

MN  C

4

h

MN  D

6

h MN 

Câu 38: Cho nửa đường trịn đường kính AB2R, hai điểm C D, di động nửa đường tròn cho

CD AB Kí hiệu CD x , tìm x để vật thể trịn xoay tạo thành quay hình thang cân ACDB

quanh trục AB lớn

A  13 1

R x



 B

3 R

x C  

1 13 15

R x



 D

3 R x

Câu 39: (SỞGDĐT KIÊN GIANG 2019)Cho hình cầu nội tiếp hình nón trịn xoay có góc ởđỉnh 2 , bán kính đáy R chiều cao h Một hình trụ ngoại tiếp hình cầu có đáy nằm mặt phẳng đáy hình nón (tham khảo hình vẽ) Gọi V V1, thể tích

hình nón hình trụ, biết V1V2 Gọi M giá trị lớn tỉ số

2

V

V Giá trị biểu

thức P48M 25 thuộc khoảng đây?

A ( 0; ) B (6 0; ) C ( 0; ) D (0; 20 )

A O

S

M Q

P N

B

(23)

III - MẶT CẦU – KHỐI CẦU A – LÝ THUYẾT CHUNG 1 Mặt cầu

Cho điểm cốđịnh số thực dương

Tập hợp tất điểm M không gian cách I khoảng R gọi mặt cầu tâm I, bán kính R

Kí hiệu: Khi đó:

2 Vịtrí tương đối mặt cầu mặt phẳng

Cho mặt cầu mặt phẳng Gọi H hình chiếu vng góc I lên

là khoảng cách từ I đến mặt phẳng Khi đó:

Mặt cầu mặt phẳng

khơng có điểm chung

Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu: mặt phẳng tiếp diện mặt cầu H : tiếp điểm.

Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện đường trịn có tâm bán kính

Lưu ý:

Khi mặt phẳng qua tâm I mặt cầu mặt phẳng gọi mặt phẳng kính thiết diện lúc gọi đường trịn lớn

3 Vịtrí tương đối mặt cầu đường thẳng

Cho mặt cầu đường thẳng Gọi H hình chiếu I lên Khi đó:

khơng cắt mặt cầu tiếp xúc với mặt cầu : Tiếp tuyến

:

H tiếp điểm.

cắt mặt cầu hai điểm phân biệt

I R

  S I R;

   

S I R;  M IM R

 

S I R;  P  P d IH

 P

d R d R d R

 P I

r R2 IH 2

 

 P  P

 

S I R;  

IH R IH R IH R

 

  S

(24)

Lưu ý:

Trong trường hợp cắt điểm A B, bán kính R tính sau:

4 MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ CƠNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU 4.1 Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

4.1 Các khái niệm

Trục đa giác đáy: đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy vng góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy Bất kì điểm nằm trục đa giác cách đỉnh đa giác

Đường trung trực đoạn thẳng: đường thẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng

Bất kì điểm nằm đường trung trực cách hai đầu mút đoạn thẳng

Mặt trung trực đoạn thẳng: mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng

Bất kì điểm nằm mặt trung trực cách hai đầu mút đoạn thẳng 4.2 Tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: điểm cách đỉnh hình chóp Hay nói cách khác, giao điểm I trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy mặt phẳng trung trực cạnh

bên hình chóp

Bán kính: khoảng cách từ I đến đỉnh hình chóp

4.3 Cách xác định tâm bán kính mặtcầu số hình đa diện 4.3.1 Hình hộp chữ nhật, hình lập phương

  S  S

 

d I IH

AB

R IH AH IH

2

2 2

;

  

 

  

   

  

 

 



(25)

Tâm: trùng với tâm đối xứng hình hộp chữ nhật (hình lập phương) Tâm , trung điểm

Bán kính: nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương)

Bán kính:

4.3.2 Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường trịn

Xét hình lăng trụ đứng , có

đáy nội tiếp đường tròn

Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có: Tâm: với trung điểm

Bán kính:

4.3.3 Hình chóp có đỉnh nhìn đoạn thẳng nối đỉnh cịn lại góc vng

Hình chóp có SACSBC900

Tâm: trung điểm

Bán kính:

Hình chóp có

  

90

SACSBCSDC

Tâm: trung điểm

Bán kính:

4.3.4 Hình chóp đều

 I AC '

 R AC'

2



n n

A A A A A A A A' ' ' ' n

A A A A1 3

n A A A A' ' ' '

1  O  O '

I I OO '

n

R IA IA IA'

1

   

S ABC

I SC

SC

R IA IB IC

2

   

S ABCD

I SC

SC

R IA IB IC ID

2

(26)

Cho hình chóp

Gọi tâm đáy trục đáy

Trong mặt phẳng xác định cạnh bên, chẳng hạn , ta vẽ đường trung trực cạnh cắt

tại cắt tâm mặt cầu

Bán kính:

Ta có: SMI SOA SM SI

SO SA

∽

     Bán kính:

4.3.5 Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy

Cho hình chóp có cạnh bên SAABC  đáy

nội tiếp đường tròn tâm

Tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp xác định sau:

Từ tâm ngoại tiếp đường trònđáy, ta vẽ đường thẳng

vng góc với

Trong , ta dựng đường trung trực cạnh , cắt

tại , cắt tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

và bán kính

Tìm bán kính

Ta có: hình chữ nhật

Xét vng có:

4.3.6 Hình chóp khác Dựng trục đáy

S ABC

O SO

SO  

mp SAO SA 

SA M SO I I

SM SA SA

R IS IA IB IC

SO SO

2

      

S ABC

ABC O

S ABC

O d

 

mp ABC O  

mp d SA,  SA

SA M d I I

R IA IB IC IS 

MIOB MAI

 M

SA

R AI MI MA AO

2

2 2

2  

      

 

(27)

Dựng mặt phẳng trung trực cạnh bên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính: khoảng cách từ đến đỉnh hình chóp 4.3.7 Đường trịn ngoại tiếp số đa giác thường gặp

Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục mặt phẳng đáy, đường thẳng vng góc với mặt phẳng đáy tâm O đường trịn ngoại tiếp đáy Do đó, việc xác định tâm ngoại O yếu tố quan trọng toán

5.1 Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Cho hình chóp (thoả mãn điều kiện tồn mặt cầu ngoại tiếp) Thông thường, đểxác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực theo hai bước:

Bước 1:

Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Dựng : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

Bước 2:

Lập mặt phẳng trung trực cạnh bên

Lúc

       I  I

I

n S A A A 1 2



( )



H O I

D C B

A

S

∆vuông: O trung điểm cạnh huyền

O

Hình vng: O giao

điểm đường chéo O

Hình chữ nhật: O giao điểm hai đường chéo

O O

∆đều: O giao điểm đường trung tuyến (trọng tâm)

∆thường: O giao điểm hai đường trung trực hai cạnh ∆

(28)

Tâm O mặt cầu:

Bán kính: Tuỳ vào trường hợp

5.2 Kỹnăng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy 5.2.1 Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

Định nghĩa

Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy đường thẳng qua tâm đường trịn ngoại tiếp đáy vng góc với mặt phẳng đáy Tính chất

Suy ra:

Các bước xác định trục Bước 1:

Xác định tâm H đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Bước 2:

Qua H dựng vng góc với mặt phẳng đáy Một số trường hợp đặc biệt

Đáy tam giác vuông

Đáy tam giác

Đáy tam giác thường

  mp() O

  

 

R SA SO

M : MA MB MC

    

MA MB MC  M  



H M

C B

A

H

A

B C



C B

A H

B

A

C H

(29)

5.2.2 Kỹnăng tam giác đồng dạng

đồng dạng với

5.2.3 Nhận xét quan trọng

trục đường tròn ngoại tiếp

5.3 Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện

Cho hình chóp (thõa mãn điều kiện tồn mặt cầu ngoại tiếp) Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực theo hai bước:

Bước 1:

Bước 2:

Xác định trục d đường tròn ngoại tiếp mặt bên (dễ xác

định) khối chóp

Lúc đó:

Tâm I mặt cầu:

Bk: Tuỳ vào trường hợp

5.4 Tổng kết dạng tìm tâm bán kính mặt cầu 5.4.1 Dạng

SMO

 SIA SO SM

SA SI

  

A M

I O

S

MA MB MC

M S SM

SA SB SC

, :   

  

 

 

ABC 

n

S A A A 1 2



 

d I

  

  R IA IS

R I

Δ

D

d S

A

B

(30)

Cạnh bên vng góc đáy ABC900 tâm trung điểm

5.4.2 Dạng

Cạnh bên vng góc đáy bất kểđáy hình gì, cần tìm bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy , :

( : nửa chu vi)

Nếu vng thì: 1 2 2

4

D

R  AB AC AS

Đáy hình vng cạnh

đáy tam giác cạnh

5.4.3 Dạng

Chóp có cạnh bên nhau: :

hình vng, hình chữ nhật, giao hai

đường chéo

vng, trung điểm cạnh huyền

đều, trọng tâm, trực tâm

5.4.4 Dạng

SA R SC

2



SC

SA

D R D

SA

R R

2

4  

   

D

abc R

p p a p b p c



  

p

 ABC A

a RD a

2



a RD a

3



S

A

B

C

O I K

SASB SC SD SA

R

SO

2 

ABCD O

ABC

 O

ABC

 O

S

A D

B C

S S

A

B

C A D

(31)

Hai mặt phẳng vng góc với có

giao tuyến Khi ta gọi bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

5.4.5 Dạng

Chóp có đường cao , tâm đường trịn ngoại tiếp đáy Khi ta giải phương trình:

Với giá trị tìm ta có:

5.4.6 Dạng 6: Bán kính mặt cầu nội tiếp:

6 - TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY 1 Chỏm cầu

2 Hình trụ cụt

3 Hình nêm loại

4 Hình nêm loại

SAB ABC

AB R R1, 2

SAB ABC

AB

R R R

2

2 2

1 4

  

O

K S

A

B

C J

I

S.ABCD SH O

SH x OH x RD

2 2 2 2

    x R2 x2 RD2

tp V r

S



 

xq

S Rh r h

h

V h R h h r

2

2 2

2

3

 

   



 



  

 

 

 

 R

r h

 

xq

S R h h

h h

V R

1

2

 

  



   

  

  

 



h2

h1

R

V 2R3 tan

3 

(32)

5 Parabol bậc hai-Paraboloid trịn xoay

6 Diện tích Elip Thể tích khối tròn xoay sinh Elip

7 Diện tích hình vành khăn

8 Thể tích hình xuyến (phao)

DẠNG 1: MẶT CẦU NGOẠI TIẾP, NỘI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN

Câu 1: Cho hình chóp S ABC có SAABC, AB1, AC2 BAC60  Gọi M, N hình chiếu A SB , SC Tính bán kính R mặt cầu qua điểm A, B , C , M, N

V R3tan

2





 

   

 

parabol

tru

S x a

S Rh

S h R

V R h V

3 3

2

4 '

;

1

2

  

 

      

  

 

  



 



 

R h R

q elip

xoay

x

uanh a

qua oay nh b

S ab

V ab

V a b

2

4



  

   

 



 

 

b a b a

 

S R2 r2 

 

R r

R r R r

V

2

      

    

    R

(33)

A R B

3

R C

3

R D R1

Câu 2: (Chun Hưng n Lần 3) Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình chữ nhật tâm I cạnh

AB a, BC4a Hình chiếu S mặt phẳng ABCD trung điểm ID Biết

SB tạo với mặt phẳng ABCD góc 45 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABCD

A 25

2 a



B 125

4 a



C 125

2 a



D

4a

Câu 3: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc đỉnh S

trên mặt phẳng ABC trung điểm H cạnh BC Góc đường thẳng SA mặt phẳng

ABC

6 Gọi G trọng tâm tam giác SAC, R bán kính mặt cầu có tâm G tiếp xúc với mặt phẳng SAB Đẳng thức sau sai?

A Rd G ,SAB B 3 13R2SH. C

2 39 ABC R

S  D 13

R a 

Câu 4: Cho khối chópS ABCD có SA(ABCD); đáyABCD hình thang vng A B với

;

A B  B C a AD2a; SAa Gọi E trung điểm AD Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD

A

2

a

R B R a 7 C 11

2

a

R D R  a 1

Câu 5: (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hình chóp S ABC có

,

3

a

SASBSC  ABa BC  mặt phẳng SAC vng góc với mặt phẳng ABC Tính diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A 12 a  B a  C a  D 15 a 

Câu 6: (SỞ PHÚ THỌ LẦN NĂM 2019)Cho hình chóp S ABC có ACa, AB a 3, 

150

BAC

và SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, Nlần lượt hình chiếu vng góc A

SB vàSC Thế tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A BCNM

A a 

B

3 28 a  C 20 a  D 44 11 a 

Câu 7: (Hải Hậu Lần1)Trong mặt phẳng  P cho tam giác ABC cạnh cm điểm S di

động mặt phẳng  P cho tam giác MAB ln có diện tích 16 cm2, với M trung điểm SC Gọi  S mặt cầu qua bốn đỉnh M A B C, , , Khi thể tích hình chóp

(34)

A 16

9 cm B

4

3 cm C

4 15

3 cm D

4 39

3 cm

Câu 8: (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần2)Trong không gian cho bốn mặt cầu có bán kính

là 2; 3; 3; (đơn vịđộ dài) đôi tiếp xúc Mặt cầu nhỏ tiếp xúc với bốn mặt cầu nói có bán kính

A

15 B

3

7 C

6

11 D

5

Câu 9: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ABCD Biết ABa AD, a ASB60 Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

A

2

13

a

S   B

2

13

a

S  C

2

11

a

S  D

2

11

a S  

Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SAa vng góc với đáy ABCD Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng   qua hai điểm A M

đồng thời song song với BD cắt SB SD, E F, Bán kính mặt cầu qua năm điểm , , , ,

S A E M F nhận giá trịnào sau đây?

A a B a C

2

a

D

2

a

Câu 11: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi K trung điểm AB, M N,

hình chiều K lên AD AC Tính theo a

bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K CDMN ?

A

4

a

B 3

8

a

C

4

a

D 3

8

a

Câu 12: Cho khối chópS ABC có SA(ABC); tam giác

ABC cân A,ABa;BAC120 Gọi H K, hình chiếu A lên SB SC, Tính bán kính mặt cầu qua điểm A B C K H, , , ,

A Ra B Ra

C R 2a D Không tồn mặt cầu

Câu 13: (Chuyên Bắc Giang)Cho hình chóp S ABC có

a

SA , cạnh lại a Bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là:

M F

E

O

C

D A

B

S

(35)

A 13

a

R B

3

a

R C 13

3

a

R D 13

6

a

R

Câu 14: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ABC trung điểm H cạnh BC Góc đường thẳng SA mặt phẳng

ABC 60 Gọi G trọng tâm tam giác SAC R, bán kính mặt cầu có tâm G tiếp xúc với mặt phẳng SAB.Đẳng thức sau sai?

A Rd G SAB ,  B 3 13R2SH C

2

4 39 ABC

R

S  D

R

a 

Câu 15: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, ABa AD, 2a, tam giác SABđều nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M N, trung điểm cạnh

,

AD DC Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S DMN

A R a 102

6 B

a

R 31

4 C

a

R 39

6 D a

R 39

13

Câu 16: Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với đáy, SAa Đáy ABCD hình thang vng

tại A ,

2

B ABBC ADa Gọi E trung điểm AD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD

A

2

a

R B Ra C 114

6

R a D 26

2

a R

Câu 17: Cho tứ diện S ABC có đáy ABC tam giác vng Avới AB3a, AC 4a Hình chiếu H

của S trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Biết SA2a, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A 118

Ra B 118

Ra C 118

Ra D Ra 118

Câu 18: Cho hình chóp S ABC có SAABC, ACb, ABc, BAC Gọi B, C hình chiếu vng góc A lên SB, SC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A BCC B   theo

b, c, 

A R2 b2c22bccos  B

2

2 cos

sin

b c bc

R 



 



C

2

2 cos

sin

b c bc

R 



 

 D

2

2 cos

sin

b c bc

R 



 



Câu 19: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, ABBC a 3,

 

90

(36)

A S 2a2 B S8a2 C S16a2 D S12a2

Câu 20: Cho khối chópS ABC có tam giác ABC vng B, biết AB1;AC Gọi M trung

điểm BC, biết SM (ABC) Tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SMABvàb

SMACbằng 15 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABC là:

A 21

4



B 20 C 25

4



D 4

Câu 21: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A, cạnh huyền BC6cm, cạnh bên tạo với đáy góc 60 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A 48cm2 B 12cm2 C 16cm2 D 24cm2

Câu 22: Cho tứ diện ABCD có ABC ABD tam giác cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc với Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a

A 5

3a B

2 11

3a C

2

2a D 4

3a

Câu 23: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng

đáy SA3 Mặt phẳng   qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD

các điểm M, N, P Thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP

A 32

3

V   B 64

3

V   . C 108

3

V   . D 125

6

V   .

Câu 24: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tập hợp điểm Msao cho

2 2 2

2

MA MB MC MD  a

A Mặt cầu có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính

2

a

B Mặt cầu có tâm trọng tâm tứ diện bán kính

4

a

C Mặt cầu có tâm trọng tâm tứ diện bán kính

2

a

D Đường tròn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính

4

a

Câu 25: Cho lăng trụ ABC A B C    có ABAC a BC,  3a Cạnh bên AA 2a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB C C 

A a B 2a C 5a D 3a

Câu 26: Cho lăng trụđứng ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a Mặt phẳng AB C' ' tạo với mặt

đáy góc

60 điểm G trọng tâm tam giác ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp ' ' '

G A B C bằng:

A 85 108

a

B 3

2

a

C 3

4

a

D 31 36

(37)

Câu 27: (Liên Trường Nghệ An) Cho hình chópS ABC có đáy ABClà tam giác vng cân B,

3

ABBC a , SAB SCB 90 Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCB 2a Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A 72 18a3 B 18 18a3 C 6 18a3 D 24 18a3

Câu 28: (Chun Phan Bội Châu Lần2)Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB tam giác SCD vuông cân tạiS Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

A 7

3a B

2

a

 C 8

3a D

2 3a

Câu 29: (SởHưng Yên Lần1)Cho tứ diện ABCD có cạnh a Thể tích khối cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện ABCD

A

3 24

a

B

3

24

a 

C

3 2

9

a

D

3

8

a 

Câu 30: (THTT số 3) Gọi r R, bán kính mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp tứ diện ABCD Tính tỉ số R

r ?

A 3 B 4

3 C D

5

Câu 31: (Nguyễn Khuyến)Cho hình lăng trụđứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác vng A, 3

AB a , BC2a Đường thẳng AC tạo với mặt phẳng BCC B  góc 30 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụđã cho

A 3  a2 B 6  a2 C 4  a2 D 24  a2

Câu 32: (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Cho khối nón có độ lớn góc ởđỉnh



Một khối cầu  S1 nội tiếp khối nón Gọi S2 khối cầu tiếp xúc với tất cảcác đường sinh nón với S1;S3 khối tiếp xúc với tất cảcác đường sinh nón với

1; ; n

S S khối cầu tiếp xúc với tất cảcác đường sinh nón với Sn1 Gọi V1,V2,V3,…, Vn1,Vn thể tích khối cầu S1,S2,S3,…,Sn1,Snvà V thể tích khối nón Tính giá trị biểu thức T limV1 V2 Vn

V   



A 3

5 B

6

13 C

7

9 D

1

DẠNG 2: CỰC TRỊ VỀ KHỐI CẦU VÀ MẶT TRÒN XOAY

Câu 33: (Hùng Vương Bình Phước)Cho tam giác cạnh , đường thẳng qua vng góc với mặt phẳng Gọi điểm thay đổi đường thẳng , trực tâm tam giác Biết điểm thay đổi đường thẳng điểm nằm đường tròn

Trong số mặt cầu chứa đường trịn , bán kính mặt cầu nhỏ

ABC a d A

ABC S d H

SBC S d H

(38)

A B C D

Câu 34: Cho mặt cầu bán kính Xét hình chóp tam giác ngoại tiếp mặt cầu Hỏi thể tích nhỏ chúng bao nhiêu?

A minV 8 B minV 4 C minV 9 D minV 16

Câu 35: (Chuyên Vinh Lần 3) Trong không gian Oxyz, lấy điểm Ctrên tia Oz sao cho OC1 Trên hai tia Ox Oy, lấy hai điểm A B, thay đổi cho OA OB OC Tìm giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O ABC ?

A

4 B C

6

3 D

6

Câu 36: (Sở Hải Dương)Cho hai mặt phẳng  P  Q song song với cắt mặt cầu tâm O

bán kính R tạo thành hai đường trịn có bán kính Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm

một hai đường tròn đáy trùng với đường trịn cịn lại Tính khoảng cách  P

 Q để diện tích xung quanh hính nón lớn

A R B R C 2R D 2

3

R

Câu 37: (THPT Đặng Thúc Hứa) Cho ba tia Ox, Oy, Oz đơi vng góc với Gọi C điểm cốđịnh Oz, đặt OC 1, điểm A, B thay đổi Ox, Oy cho OA OB OC Tìm giá trị bé bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

A

4 B

6

2 C D

6

Câu 38: (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho hai mặt cầu  S1  S2 đồng tâm I , có bán kính R1 2 R2  10 Xét tứ diện ABCD có hai đỉnh A, B nằm  S1 hai đỉnh C, D nằm  S2 Thể tích lớn khối tứ diện ABCD

A 3 B 7 C 4 D 6

Câu 39: (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ)Cho khối cầu  S có tâm I bán kính R2 3, gọi  P mặt phẳng cắt khối cầu  S theo thiết diện hình trịn  C Tính khoảng cách d từ Iđến  P

sao cho khối nón có đỉnh I đáy hình trịn  C tích lớn

A

3

d B d  C d 2 D

2

d

Câu 40: (Liên Trường Nghệ An)Cho hình cầu tâm O bán kính R5, tiếp xúc với mặt phẳng ( )P Một hình nón trịn xoay có đáy nằm ( )P , có chiều cao h15, có bán kính đáy R Hình cầu hình nón nằm phía mặt phẳng ( )P Người ta cắt hai hình mặt phẳng ( )Q song song với ( )P thu hai thiết diện có tổng diện tích S Gọi x khoảng cách

3

a

2

a

12

(39)

giữa ( )P ( )Q , (0x5) Biết S đạt giá trị lớn xa

b (phân số a

b tối giản)

Tính giá trịT  a b

A T 17 B T 19 C T 18 D T 23

Câu 41: Khi cắt mặt cầu S O R ,  mặt kính, ta hai nửa mặt cầu hình trịn lớn mặt

kính gọi mặt đáy nửa mặt cầu Một hình trụ gọi nội tiếp nửa mặt cầu S O R  ,  đáy hình trụ nằm đáy nửa mặt cầu, đường tròn đáy giao tuyến hình trụ với nửa mặt cầu Biết R1, tính bán kính đáy r chiều cao h hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S O R ,  để khối trụ tích lớn

A 3,

2

r h B 6,

2

r h C 6,

3

r h D 3,

3

r h

DẠNG 3: TỔNG HỢP VỀ MẶT TRÒN XOAY

Câu 42: (Chuyên Vinh Lần 3)Người ta xếp hai cầu có bán kính r vào hộp hình trụ

sao cho cầu tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai cầu tiếp xúc với

cầu đề tiếp xúc với đường sinh hình trụ ( tham khảo hình vẽ) Biết thể tích khối trụ 120 cm3 , thể tích khối cầu

(40)

Câu 43: (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Một khối pha lê gồm hình cầu H1

bán kính R hình nón H2 có bán kính đáy đường sinh r l, thỏa mãn

2

r l

2

l R xếp chồng lên (hình vẽ) Biết tổng diện tích mặt cầu H1 diện tích tồn phần hình nón H2 91cm2 Tính diện tích mặt cầu H1

A 104

5 cm B

2 16cm

C

64cm D 26

5 cm

Câu 44: (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho tam giác ABC có đỉnh A5; 5 nội tiếp đường trịn tâm I

đường kính AA, M trung điểm BC Khi quay tam giác ABM với nửa hình trịn đường kính AA xung quanh đường thẳng AM (như hình vẽ minh họa), ta khối nón khối cầu tích V1 V2

Tỷ số

2

V

V A

32 B

9

4 C

27

32 D

4

A'

M C B

(41)

Câu 45: (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3)Cho  S mặt cầu có đường kính AB10 Vẽ tiếp tuyến Ax, By với mặt cầu  S cho Ax By Gọi M điểm di động Ax, N

điểm di động By cho MN ln tiếp xúc với mặt cầu Tính giá trị tích AM BN ?

A AM BN 50 B AM BN 10 C AM BN 100 D AM BN 20

Câu 46: (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Cho hai mặt cầu  S1 có tâm I1, bán kính R11,  S2 có tâm I2 bán kính R2 5 Lần lượt lấy hai điểm M M1, 2 thuộc hai mặt cầu    S1 , S2 Gọi K trung điểm M M1 2 Khi M M1, 2 di chuyển    S1 , S2 K quét miền khơng gian khối trịn xoay tích bằng?

A 55

3



B 68

3



C 76

3



D 82

3



Câu 47: (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên)Một thùng đựng đầy nước tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh hình nón mặt phẳng vng góc với trục hình nón Miệng thùng

là đường trịn có bán kính ba lần bán kính mặt đáy thùng Người ta thảvào khối cầu có đường kính

2chiều cao thùng nước đo thể tích nước tràn ngồi 54 3 (dm3) Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt của thùng một nửa của khối

cầu chìm nước (hình vẽ) Thểtích nước cịn lại thùng có giá trịnào sau đây?

A 46  (dm

3). B 18 3 (dm3) C 46 3

3  (dm

(42)

IV - ỨNG DỤNG THỰC TẾ

Câu 1: (Ba Đình Lần2)Từ thép phẳng hình chữ nhật, người ta muốn làm thùng đựng dầu hình trụ cách cắt hai hình trịn hình chữ nhật (phần tơ đậm) sau hàn kín

lại, hình vẽdưới

Hai hình trịn làm hai mặt đáy, hình chữ nhật làm thành mặt xung quanh thùng đựng dầu (vừa

đủ) Biết thùng đựng dầu tích 50, 24 lít (các mối ghép nối gị hàn chiếm diện tích

khơng đáng kể Lấy  3,14) Tính diện tích thép hình chữ nhật ban đầu?

A 1,8062 m B 2, 2012 m C 1,5072 m D 1, 2064 m

Câu 2: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2)Một xoay thiết kế gồm hai khối trụ ( )T1

, ( )T2 chồng lên khối nón (N) (Tham khảo mặt cắt ngang qua trục hình vẽ) Khối trụ ( )T1 có bán kính đáy r cm( ), chiều cao h cm1( ) Khối trụ ( )T2 có bán kính đáy (r cm), chiều cao

2 (1 )

h  h cm Khối nón (N) có bán kính đáy r cm( ), chiều cao hn 4 (h cm1 ) Biết thể tích tồn xoay 31(cm3) Thể tích khối nón (N)

A 5(cm3) B 3(cm3) C 4(cm3) D 6(cm3)

Câu 3: (Đặng Thành Nam Đề 5)Hai hình nón có chiều cao dm, đặt hình vẽ

bên (mỗi hình đặt thẳng đứng với đỉnh nằm phía dưới) Lúc đầu, hình nón chứa đầy

nước hình nón khơng chứa nước Sau đó, nước chảy xuống hình nón thơng qua lỗ trống ởđỉnh hình nón Hãy tính chiều cao nước hình nón thời

(43)

A 37 B 1

3 C

3 5

D 1

2

Câu 4: (THTT lần5) Một tạ tập tay gồm ba khối trụ H1, H2, H3 gắn liền có bán kính chiều cao tương ứng r h1, 1, r h2, 2, r h3, 3 thỏa mãn r1r3, h1h3; 2 1

3

r  r (xem

hình vẽ) Biết thể tích tồn tạ 60 chiều dài tạ Thể tích khối trụ

H2 bằng?

A  1 16

4

h h

 

 B

 1

1

36

4

h h  

 C

 1

1

60

4

h h  

 D

 1

1

46

4

h h  



Câu 5: (Chuyên Thái Nguyên)Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng có đáy) đựng đầy nước Người ta thảvào khối cầu có đường kính chiều cao bình nước đo thểtích nước tràn 18  dm3.Biết khối cầu tiếp xúc với tất cảcác đường sinh hình nón

một nửa khối cầu chìm nước Tính thểtích nước cịn lại bình

A 27  dm3 B 6  dm3 C 9  dm3 D 24  dm3

(44)

A 23,562 m3 B 12,637 m3 C 6,319 m3 D 11,781m3

Câu 7: [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5]Một khối gỗ có hình trụ với bán kính đáy chiều cao Trên đường trịn đáy ta lấy hai điểm A,B cho cung AB có số đo 120

Người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng qua A,B tâm hình trụ (tâm hình trụ trung

điểm đoạn nối tâm hai đáy) để thiết diện hình vẽ Tính diện tích S thiết diện

thu

A S20 B S2030 C S1218 D S2025

Câu 8: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1)Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ tích V, nhà thiết kếluôn đặt mục tiêu cho chi phí ngun liệu làm vỏ lon sữa bị nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ V diện tích tồn phần hình trụ nhỏ

nhất bán kính đáy bao nhiêu?

A

  V

r B r3V C 3

2

 V

r D

2

 V

r

Câu 9: (Trần Đại Nghĩa)Nam muốn xây bình chứa hình trụ tích

72m Đáy làm bêtơng giá 100 nghìn đồng

/ m , thành làm tơn giá 90 nghìn đồng

/ m , nắp nhơm giá 140 nghìn

đồng

/ m Vậy đáy hình trụ có bán kính để chi phí xây dựng thấp nhất? A 33  m

2  B 3  

3 m

 C 3  

3 m

 D 3  

2 m 

Câu 10: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Tại trung tâm thành phố người ta tạo

điểm nhấn cột trang trí hình nón có kích thước sau: đường sinh l10 ,m bán kính đáy

5

R m Biết tam giác SAB thiết diện qua trục hình nón C trung điểm SB Trang trí hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C mặt nón Định giá trị ngắn chiều dài dây đèn điện tử

A 15m B 10m C 5 3m D. 5m m

(45)

Câu 11: (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019)Trên mảnh đất hình vng có diện tích 81m2 người ta đào ao ni cá hình trụ(như hình vẽ) cho tâm hình trịn đáy trùng với tâm mảnh đất Ở mép ao mép mảnh đất người ta để lại khoảng đất trống đểđi lại, biết khoảng cách nhỏ mép ao mép mảnh đất x m  Giả sử chiều sâu ao x m  Tính thể tích lớn V ao

A V 13, 5 m3 B V 27 m3 C V 36 m3 D V 72 m3

Câu 12: Một công ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm3 với chiều cao h bán kính

đáy r đểlượng giấy tiêu thụ giá trị r là:

A

6

2

3

r 

 B

8

2

3

r



 C

8

2

3

r



 D

6

2

3

r 



Câu 13: Một phễu đựng kem hình nón giấy bạc tích 12(cm3) chiều cao 4cm Muốn tăng

thể tích kem phễu hình nón lên lần, chiều cao khơng thay đổi, diện tích miếng giấy bạc cần thêm

A  2

(12 13 15)  cm B  2

12 13 cm

C 12 13 2

15 cm D  

2 (12 13 15)  cm

Câu 14: Một phễu có dạng hình nón chiều cao phễu 30cm Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao cột nước phễu 15cm (hình H1 ) Nếu bịt kín miệng phễu lật ngược phễu lên ( hình H2 ) chiều cao cột nước phễu gần với giá trị sau

đây ?

A 1,553cm B 1,306cm C 1, 233cm D 15cm

(46)

Câu 15: Cho đồng hồcát hình vẽ ( gồm hai hình nón chung đỉnh ghép lại)

trong đường sinh hình nón tạo với đáy góc 600 Biết chiều cao đồng hồ 30cm tổng thể tích đồng hồ

 3

1000 cm Nếu cho đầy lượng cát vào phần chảy hết xuống tỷ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần

phía

A 1

8 B

1 27

C

3 D

1 64

Câu 17: Một kem ốc quế gồm hai phần, phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón, giả sử hình cầu hình nón có bán kính nhau, biết kem tan chảy hết sẽlàm đầy phần ốc quế Biết thể tích kem sau tan chảy 75% thểtích kem đóng băng ban đầu, gọi h r, chiều cao bán kính phần ốc quế Tính tỷ số h

r A h

r  B

h r  C

3

h

r  D

16

h r 

Câu 18: Cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần hình nón nằm mặt phẳng đáy gọi hình nón cụt Một cốc có dạng hình nón cụt cao 9cm, bán kính đáy cốc miệng cốc 4cm Hỏi cốc chứa lượng nước tối đa

là số lựa chọn sau:

A 250ml B 300ml C 350ml D 400ml Câu 19: Một mũ vải nhà ảo thuật với

các kích thước hình vẽ Hãy tính

tổng diện tích vải cần có để làm nên mũ (khơng kể viền, mép, phần thừa)

A 700cm2 B 754, 25cm2 C 750, 25cm2 D 756, 25cm2

B

R

h

x

O

L E

H M

10cm

(47)

Câu 20: Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ nhà thiết kếln đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụđó diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bán kính đáy gần số nhất?

A 0,68 B 0,6 C 0,12 D 0,52

Câu 21: (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4)Khi sản xuất hộp mì tơm nhà sản xuất để khoảng trống đáy hộp Hình vẽdưới mơ tả cấu trúc hộp mì tơm Thớ mì tơm có dạng hình trụ, hộp mì có dạng hình nón cụt cắt hình nón có chiều cao cm bán kính đáy 6cm Nhà sản xuất tìm cách cho thớ mì tơm có thể tích lớn mục đích thu hút khách hàng Tìm thể tích lớn

A 48 B 81

2 C 36 D 54

Câu 22: Một ly có dạng hình nón rót nước vào với chiều cao mực nước chiều cao hình nón Hỏi bịch kính miệng ly úp ngược ly xuống tỷ số chiều cao mực nước chiều cao hình nón xấp xỉ bao nhiêu?

A B C D

Câu 23: Một nút chai thủy tinh khối tròn xoay  H , mặt phẳng chứa trục  H cắt  H

theo thiết diện hình vẽ bên Tính thể tích  H (đơn vị

cm )

A V H 23 B V H 13 C   41

3 H

V   D V H 17

Câu 24: Một bồn chứa xăng có cấu tạo gồm

1 hình trụở nửa hình cầu ở2 đầu, biết hình cầu có đường kính 1, 8m

2

(48)

chiều dài hình trụ 3, 62 m Hỏi bồn

có thể chứa tối đa lít xăng

các giá trịsau đây?

A 10905l B 23650l C 12265l D 20201l

Câu 25: Một hình hộp chữ nhật kích thước 4 h chứa khối cầu lớn có bán kính tám khối cầu nhỏ có bán kính cho khối lón tiếp xúc với tám khối cầu nhỏ khối cầu

đều tiếp xúc với mặt hình hộp Thể tích khối hộp là:

A 32 32 7 B 48 32 5 C 64 32 7 D 64

Câu 26: Một bang giấy dài cuộn chặt lại thành nhiều vịng xung quanh ống lõi

hình trụ rỗng có đường kính 12,

C mm

Biết độ dày giấy cuộn 0, 6mm

đường kính cuộn giấy B44, 9mm Tính chiều dài l cuộn giấy

A L44m B L38m C L4m D L24m

Câu 27: (Thị Xã Quảng Trị)Một ly nước hình trụ có chiều cao 20cm bán kính đáy 4cm Bạn

Nam đổnước vào ly mực nước cách đáy ly 17cm dừng lại Sau đó, Nam lấy

viên đá lạnh hình cầu có bán kính 2cm thả vào ly nước Bạn Nam cần dùng bao

nhiêu viên đá đểnước trào khỏi ly?

A 4 B 7 C 5 D 6

Câu 28: Một thầy giáo dựđịnh xây dựng bểbơi di động cho học sinh nghèo miền núi từ 15 tơn có kích

thước 1m20cm (biết giá 1m2 tơn 90000 đồng) cách:

Cách 1: Gò tơn ban đầu thành hình trụnhư hình

Cách 2: Chia chiều dài tôn thành phần gị tơn thành hình hộp chữ nhật

hình

Biết sau xây xong bể theo dựđịnh, mức nước chỉđổđến 0,8m giá nước cho đơn vị

nghiệp 9955dong m/ Chi phí tay thầy hiệu trưởng triệu đồng Hỏi thầy giáo

chọn cách làm đểkhơng vượt q kinh phí (giả sử chỉtính đến chi phí theo kiện tốn)

Hình

1m

(49)

Hình

A Cả2 cách B Không chọn cách

C Cách D Cách

Câu 29: Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng có nắp đáy), đựng đầy nước Biết chiều cao

bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào bình khối trụ đo thể tích nước trào ngồi 16 ( 3)

9 dm



Biết mặt khối trụ nằm mặt đáy hình nón khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón (như hình vẽ dưới) Tính bán kính đáy R bình nước

A R3(dm) B R4 (dm)

C R2 (dm) D R5 (dm)

Câu 30: Có miếng nhơm hình vng, cạnh 3dm, người dự định tính tạo thành hình trụ (khơng đáy) theo hai cách sau:

Cách 1: Gị hai mép hình vng để thành mặt xunng quanh hình trụ, gọi thể tích khối trụđó V1

Cách 2: Cắt hình vng làm ba gò thành mặt xung quanh ba hình trụ, gọi tổng thể

tích chúng V2

Khi đó, tỉ số

V V là:

A 3 B 2 C 1

2 D

1

Câu 31: Một hộp hình lập phương cạnh a bị khoét khoảng trống có dạng khối lăng trụ

với hai đáy hai đường tròn nội tiếp hai mặt đối diện hình hộp Sau đó, người ta dùng

1m

4m 4m

(50)

bìa cứng dán kín hai mặt vừa bị cắt hộp lại cũ, chừa lại khoảng trống bên Tính thể tích khoảng trống tạo khối trụ

A a3 B 1

2a C

3

4a D

3 8a

Câu 32: Người ta dùng loại vải vintage để bọc khối khí khinh khí cầu, biết khối có dạng hình cầu đường kính m Biết 1m2 vải có giá 200.000 đồng Hỏi cần tối thiểu tiền mua vải để làm khinh khí cầu này?

A 2.500.470 đồng B 3.150.342 đồng

C 2.513.274 đồng D 2.718.920 đồng

Câu 33: Cho biết hình chỏm cầu có cơng thức thể tích

 2

3

h r h

 

, h chiều cao chỏm cầu r bán

kính đường trịn bề mặt chỏm cầu ( bán kính khác vớibán kính hình cầu ) Bài hỏi đặt với dưa hấu hình cầu, người ta dùng ống khoét thủng lỗ hình trụ chưa rõ bán kính xuyên qua trái dưa hình vẽ ( hình có AB đường kính trái dưa) Biết chiều cao lỗ 12cm ( hình trên, chiều cao độ dài HK ) Tính thể tích phần

dưa lại

A 200cm3 B 96cm3 C 288cm3 D 144cm3

Câu 34: người ta cần cắt tơn có hình dạng elip với độ dài trục lớn độ dài trục bé đểđược tơn có dạng hình chữ nhật nội tiếp elíp Người ta gị tơn hình chữ nhật

thu thành hình trụkhơng có đáy hình bên Tính thể tích lớn có thểthu khối trụđó

A 128 3cm3

 B  

3 64

3 2 cm C  

3 64

3 3 cm D  

3 128 2 cm

Câu 35: Từ khúc gỗ trịn hình trụcó đường kính 40 cm, cần xả thành xà có tiết diện ngang hình vng bốn miếng phụđược tơ màu xám hình vẽdưới Tìm chiều rộng x miếng phụđể diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn

x

B A H C

B

2x

A

B K

(51)

A 34 17 2 

2

x  cm B 34 19 2 

2

x  cm

C 34 15 2 

2

x  cm D 34 13 2 

2

x  cm

Câu 36: Người ta thiết kế thùng chứa hình trụ tích V định Biết giá vật liệu làm mặt đáy nắp thùng đắt gấp lần so với giá làm vật liệu xung quanh thùng (chi phí cho đơn vị diện tích) Gọi h chiều cao thùng bán kinh đáy R Tính tỷ số h

R cho chi phí làm thùng nhỏ A h

R  B

h

R C

h

R D

h

R 

Câu 37: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000cm3

Bán kính nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu A 3 500

 cm B

10

 cm C

500

 cm D

5 10

 cm

Câu 38: Một viên phấn bảng có dạng khối trụ với bán kính đáy 0, 5cm, chiều dài 6cm Người ta làm hình hộp chữ nhật carton đựng viên phấn với kích thước 6cm5cm6cm Hỏi cần hộp kích thước để xếp 460 viên phấn?

A 17 B 15 C 16 D 18

Câu 39: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vng góc

đường kính cách tâm khoảng 3dm để làm

lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa

được

A 100  3

3  dm B  

3 43

3  dm

C  3

41 dm D  3

(52)

Câu 40: Một tục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường trịn đáy 5cm, chiều dài lăn 23cm (hình bên) Sau lăn trọn 15 vịng trục lăn tạo nên sân phẳng diện diện tích

A

1725 cm B

3450 cm

C

1725 cm D

862, 5 cm

Câu 41: Một bóng bàn chén hình trụ có chiều cao Người

ta đặt bóng lên chén thấy phần ngồi bóng có chiều cao

4 chiều cao Gọi V1, V2 thể tích bóng chén,

khi đó:

A 9V1 8V2 B 3V1 2V2 C 16V19V2 D 27V18V2

Câu 42: Phần không gian bên chai nước có hình dạng hình bên Biết bán kính đáy R5cm, bán kính cổ r2cm AB, 3cm, BC6cm, CD16cm Thể tích

phần khơng gian bên chainước bằng: A 495cm3 B 462cm3

C  3

490 cm D  3

412 cm

Câu 43: Nhà Nam có bàn trịn có bán kính m Nam muốn mắc bóng điện phía bàn cho mép bàn nhận nhiều ánh sáng

nhất Biết cường độ sáng C bóng điện biểu thị cơng thức

( góc tạo tia sáng tới mép bàn mặt bàn, c - số tỷ lệ

phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn

A 1m B 1,2m C 1.5 m D 2m

Câu 44: Với đĩa tròn thép tráng có bán kính R 6m phải làm phễu cách cắt

một hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình trịn Cung trịn hình quạt bị cắt

phải độđể hình nón tích cực đại?

A 66 B 294 C 12, 56 D 2,8

2

2 sin

C c

l 

 

O

N m

23 cm

5 cm

r

(53)

Câu 45: Một công ty nhận làm thùng phi kín hay đáy với thể tích theo yêu cầu 2m3 yêu cầu tiết kiệm vật liệu Hỏi thùng phải có bán kính đáy R chiều cao h bao nhiêu?

A ,

R m h m B ,

2

R m h m.C ,

8

R m h m D R1 ,m h2m

Câu 46: Có cốc làm giấy, úp ngược hình vẽ Chiều cao cốc 20cm, bán

kính đáy cốc 4cm, bán kính miệng cốc 5cm Một kiến đứng ởđiểm A miệng cốc dự định bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc ởđiểm B Quãng đường ngắn để kiến thực dự định gần với kết dước

đây?

A 59, 98cm B 59, 93cm C 58, 67cm D 58,80cm

Câu 47: Học sinh A sử dụng xơ đựng nước có hình dạng kích thước giống hình vẽ, đáy

xơ hình trịn có bán kính 20 cm , miệng xơ đường trịn bán kính 30 cm , chiều cao xơ 80 cm Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước. Hỏi A phải trả tiền nước tháng, biết

giá nước 20000đồng/1 m (s3 ố tiền làm tròn đến đơn vịđồng)?

A 35279 đồng B 38905 đồng C 42116 đồng D 31835 đồng

Câu 48: Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm, đường kính 6cm Mặt đáy phẳng dày 1cm, thành cốc dày 0, 2cm Đổ vào cốc 120ml nước sau thả vào cốc viên bi có đường kính 2cm Hỏi mặt nước cốc cách mép cốc cm (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)

A 3, 67cm B 2, 67cm C 3, 28cm D 2, 28cm

Câu 49: Người ta xếp hình trụcó bán kính đáy r chiều cao h vào lọ hình trụ

có chiều cao h, cho tất hình trịn đáy hình trụ nhỏđều tiếp xúc với đáy hình trụ lớn, hình trụ nằm tiếp xúc với sáu hình trụ xung quanh, hình trụ xung quanh

(54)

A 16r h2 B 18r h2 C 9r h2 D 36r h2

Câu 50: Từ kim loại dẻo hình quạt hình vẽcó kích thước bán kính R5 chu vi hình quạt P8 10, người ta gò kim loại thành phễu theo hai cách:

Câu 51: Gò kim loại ban đầu thành mặt xung quanh phễu

Câu 52: Chia đôi tấm kim loại thành hai phần gò thành mặt xung quanh hai phễu Gọi V1 thể tích phễu thứ nhất, V2 tổng thể tích hai phễu cách Tính

V

V ?

A

21

V

V  B

1

2

2 21

V

V  C

1

2

6

V

V  D

1

2

V

V 

Câu 54: Một chậu nước hình bán cầu nhơm có bán kính R =10cm,đặt khung hình hộp chữ

nhật (hình 1) Trong chậu có chứa sẵn khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h = 4cm.Người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2) Bán kính viên bi gần số nguyên sau (Cho biết thể tích khối chỏm cầu

2

3

 

   

 

h V h R )

A 2 B 4 C 7 D 10

(55)

(như hình vẽ minh họa) Hỏi dải băng bọc hộp quà tích lớn bao nhiêu?

A 4000  cm3 B 32000  cm3 C 1000  cm3 D 16000  cm3

Câu 56: Một khối gạch hình lập phương (khơng thấm nước) có cạnh đặt vào chiếu phễu hình nón trịn xoay chứa đầy nước theo cách sau: Một cạnh viên gạch nằm mặt

nước (nằm đường kính mặt này); đỉnh cịn lại nằm mặt nón; tâm viên gạch nằm trục hình nón Tính thểtích nước cịn lại phễu (làm tròn chữ số thập phân)

A V =22,27 B V =22,30 C V =23.10 D 20,64

Câu 57: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN NĂM 2019)Người ta xếp ba viên bi có bán kính vào lọ hình trụsao cho viên bi tiếp xúc với

hai đáy lọ hình trụvà viên bi đôi tiếp xúc tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ Tính bán kính đáy lọ hình trụ

A 1 3 B 2 C 3

2



D 2

Câu 58: Một bồn hình trụ chứa dầu, đặt nằm ngang, có chiều dài bồn 5m, có bán kính đáy

1m, với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu cịn lại bồn (theo đơn vị )

A 12,637m3 B 114,923m3 C 11,781m3 D 8,307m3

Câu 59: (Chuyên Vinh Lần 2)Người ta sản xuất vật lưu niệm thủy tinh suốt có dạng khối trịn xoay mà thiết diện qua trục hình thang cân Bên có hai khối cầu ngũ sắc với bán kính tiếp xúc với tiếp xúc với mặt xung quanh đồng thời hai khối cầu tiếp xúc với hai đáy Tính thể tích vật lưu niệm

0, 5m

3

m

 N

3

R cm r1cm

(56)

A B C D

Câu 60: (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần2)Người ta thả viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ 4, 5cm vào cốc hình trụđang chứa nước viên billiards

đó tiếp xúc với đáy cốc tiếp xúc với mặt nước sau dâng (tham khảo hình vẽ bên) Biết bán kính phần đáy cốc 5, 4cmvà chiều cao mực nước ban đầu cốc

4, 5cm Bán kính viên billiards bằng?

A 4, 2cm B 3, 6cm C 2, 7cm D 2, 6cm

Câu 61: (THPT-Ngơ-Quyền-Hải-Phịng-Lần-2-2018-2019)Một hộp dựng bóng tennis có dạng hình trụ Biết hộp chứa vừa khít ba quảbóng tennis xếp theo chiều dọc, bóng tennis có

kích thước Thể tích phần khơng gian cịn trống hộp chiếm tỉ lệ a% so với thể

tích hộp bóng tennis Số a gần với sốnào sau đây?

A 50 B 66 C 30 D 33

Câu 62: Cho hai mặt trụ có bán kính đặt lồng vào hình vẽ Tính thể tích phần chung chúng biết hai trục hai mặt trụ vng góc cắt

A 256 B 512 C 256

3  D

1024  3

485

6  cm  

3

81 cm  3

72 cm 728  3

(57)

MẶT NĨN TRỊN XOAY VÀ KHỐI NĨN A – LÝ THUYẾT CHUNG

1 Mặt nón trịn xoay

Nội dung

Đường thẳng , cắt tạo thành góc với , chứa , quay quanh trục với

góc khơng đổi mặt nón tròn xoay đỉnh

 gọi trục

 gọi đường sinh

 Góc gọi góc đỉnh

2 Khối nón

Là phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình nón Những điểm khơng thuộc khối nón gọi điểm ngồi khối nón

Những điểm thuộc khối nón khơng thuộc hình nón

tương ứng gọi điểm khối nón Đỉnh, mặt đáy, đường sinh hình nón đỉnh, mặt đáy, đường sinh khối nón tương ứng

Cho hình nón có chiều cao h, đường sinh l bán kính đáy

 Diện tích xung quanh: hình nón:

 Diện tích đáy (hình trịn):

 Diện tích tồn phần: của hình nón:

 Thể tích khối nón:

3 MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ CƠNG THỨC GIẢI

3.1.Dạng Thiết diện hình nón cắt mặt phẳng

Thiết diện qua trục hình nón tam giác cân

d  O 

0

0   90 mp P  d  P 

  O.

 d

2

r

xq

S rl áy

S r2.





đ

tp

S rl r2.

 

  V r h2 .

(58)

Thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác cân có hai cạnh bên hai đường sinh hình nón

Thiết diện vng góc với trục hình nón đường trịn có tâm nằm trục

hình nón

3.2 Dạng Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh hình nón

Cho hình nón có chiều cao , bán kính đáy đường sinh

Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện

Gọi M trung điểm AC Khi đó:



 Góc góc SMI

 Góc góc MSI



Diện tích thiết diện

3.3 Dạng Bài tốn hình nón ngoại tiếp nội tiếp hình chóp

Hình nón nội tiếp hình chóp hình nón có

đỉnh , đáy đường trịn nội tiếp hình vng

Khi hình nón có:

 Bán kính đáy ,

 Đường cao , đường sinh

đỉnh , đáy đường trịn ngoại tiếp hình vng

Khi hình nón có:

 Bán kính đáy:

 Chiều cao:

 Đường sinh:

Hình nón nội tiếp hình chóp hình nón có đỉnh Hình chóp tam giác đều

h r l

d.

  AC  SMI

SAC ABC SAC SI

 

d I SAC, IH d

td SAC

S S SM AC SI IM AI IM

h d h d

r h

h d h d

2 2

2

2 2

1

.2

2



    

  

 

S ABCD

S ABCD

AB r IM

2

 

h SI l SM.

S ABCD

C D M I

S

A B

S ABCD

S ABCD

AC AB

r IA

2

  

h SI. l SA.

S ABCD

D S

I A

B C

(59)

là , đáy đường trịn nội tiếp tam giác

Khi hình nón có

 Chiều cao:

 Đường sinh:

đỉnh , đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác

Khi hình nón có:

 Chiều cao:

Đường sinh:

3.4 Dạng Bài tốn hình nón cụt

Khi cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần mặt phẳng nằm hình nón hình trịn Phần hình nón nằm hai mặt phẳng nói gọi hình nón cụt

Khi cắt hình nón cụt mặt phẳng song song với đáy

thì mặt cắt hình trịn

Khi cắt hình nón cụt mặt phẳng song song với trục mặt cắt hình thang cân

Cho hình nón cụt có bán kính đáy lớn,

bán kính đáy nhỏ chiều cao

Diện tích xung quanh hình nón cụt:

Diện tích đáy (hình trịn):

Diện tích tồn phần hình nón cụt:

Thể tích khối nón cụt:

S ABC

AM AB

r IM

3

  

h SI. l SM.

S ABC

I S

M

C

B A

S ABC

S ABC.

AM AB

r IA

3

  

h SI. l SA.

S ABC

S

I

C

B

M A

R r h, ,

 

xq

S l R r 

 

áy

áy áy

S r

S r R

S R

2

1

2



 

 



  

  

 

đ

đ đ

 

tp

S l R r r2 R2.

  

   

h

R

(60)

A

B

C D

3.5 Dạng Bài tốn hình nón tạo phần cịn lại hình trịn sau cắt bỏđi hình quạt

Từ hình trịn cắt bỏđi hình quạt AmB Độ dài cung

AnB bằng x. Phần lại của hình trịn ghép lại được một hình

nón Tìm bán kính, chiều cao độ dài đường sinh hình nón

đó

Hình nón tạo thành có

Câu 1: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2)Cho tứ diện ABCD có DA

vng góc với mp ABC , DBBC AD, ABBCa Kí hiệu V V V1, 2, thể

tích hình trịn xoay sinh tam giác ABD quay quanh AD, tam giác ABC quay quanh AB, tam giác DBC quay quanh BC Trong mệnh đề sau, mệnh đềnào ? A. V1V2V3 B.V1V3V2 C. V2V3V1 D. V1V2V3

Lời giải Chọn A

Quay tam giác ABD quay quanh ADta có

2

1

3

V  AD AB  a (đvtt)

Quay tam giác ABC quay quanh AB ta có

2

3

V  AB BC  a (đvtt)

Quay tam giác DBC quay quanh BC ta có

2

3

1

BC .2

3 3

V  BD  AB AB  a (đvtt)

Vậy V1V2V3

Câu 2: (Chuyên Hưng Yên Lần 3)Cho hình nón đỉnh S có đáy đường trịn tâm O bán kính R Trên

đường trịn  O lấy hai điểm ,A B cho tam giác OAB vuông Biết diện tích tam giác SAB

bằng 2

R Thể tích hình nón cho

A

3

14 12

R



B

3

14

R



C

3

14

R



D

3

14

R



Lời giải Chọn C

 

V h R2 r2 Rr 3

  

O R; 

l R

r x r

x h l2 r2

2

2 

   

   



  

(61)

Gọi H trung điểm đoạn AB Nhận thấy:

+) Tam giác OAB vuông cân O

+) OH AB, SH AB nên góc hai mặt phẳng (SAB), (OAB)  SHO Ta có: SOAB SSAB.cos

2

1

2.cos

2R R

   cos

2

  

Mà cos

2

OH SH

  

2

R SH

  2.2 2

2

R

SH R

  

2

SO SH OH

  

2

4

2

R

R  

   

   

14

R 

Vậy thể tích khối nón

3

2

1 14 14

3

R R

V  R SO R  

Câu 3: (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1) Một khối nón có bán kính đáy cm, chiều cao cm Một mặt phẳng qua đỉnh tạo với đáy góc 600 chia khối nón làm

phần Tính thể tích V phần nhỏhơn (Tính gần đến hàng phần trăm)

A V1, 42 cm3 B V2,36 cm3 C V1,53cm3 D V2, 47 cm3

(62)

Cách 1:

Gọi mặt phẳng qua đỉnh tạo với đáy góc 60 cắt khối nón theo thiết diện tam giác

SMN hình vẽ

Gọi I trung điểm MN Khi OI MN SI MN, suy góc mặt phẳng SMN

và mặt đáy góc SIO60

Xét tam giác SIO ta có:  0

tan 60 tan

SO OI

SIO

  

2

3

IN  ON OI  , MN2IN2

1

2 OMN

S  OI MN

3

S OMN OMN

V  SO S 

2 /

1

.2

3

k non

V    



sin

2

IN ION

ON

  Suy ION60, MON2.ION120 Gọi V thể tích cần tính

Ta có

/

1

1 1, 42 cm k non S OMN

V V V   

Cách 2:

Gọi mặt phẳng qua đỉnh tạo với đáy góc 60 cắt khối nón theo thiết diện tam giác

SMN hình vẽ

Gọi I trung điểm MN Khi OI MN SI MN, suy góc mặt phẳng SMN

và mặt đáy góc 

60

SIO

Xét tam giác SIO ta có:  0

tan 60 tan

SO OI

SIO

  

2

3

(63)

1

2 OMN

S  OI MN

Ta có sin

2

IN ION

ON

  suy ION60, MON 2.ION 120 Gọi SV diện tích hình viên phân tạo dây MN cung nhỏ MN

Ta có

3

V OMN

S  R S   

Thể tích phần nhỏ cần tính là: 1, 42 cm3

3 V

V SO S   

Câu 4: Cho khối nón trịn xoay có đường cao h20cm, bán kính đáy r25cm Một mặt phẳng (P) qua đỉnh khối nón có khoảng cách đến tâm O đáy 12 cm Khi diện tích thiết diện (P) với khối nón bằng:

A 500 cm2 B 475 cm2 C 450 cm2 D 550 cm2

Lời giải

Gọi S đỉnh khối nón Mặt phẳng (P) qua đỉnh S cắt khối nón theo hai đường sinh SASB nên ta có thiết diện tam giác cân SAB

Gọi I trung điểm đoạn AB, ta có OI  AB Từ tâm O đáy ta kẻ OH SI H, ta có

 

OH  SAB theo giả thiết ta có 12

OH  cm Xét tam giác vuông SOI ta có:

2 2 2

1 1 1

12 20

OI OH OS  

 

15

OI cm

 

Mặt khác, xét tam giác vng SOI ta cịn có:

OS OI SI OH

Do 20.15 25 

12

OS OI

SI cm

OH

  

Gọi St diện tích thiết diện SAB Ta có:

2 t

S  AB SI , AB2AI

Vì AI2 OA2OI2 252152 202 nên AI 20cm AB40cm

Vậy thiết diện SAB có diện tích là: 1.40.25 500 2

t

S   cm

Chọn A

Câu 5: (THPT-n-Mơ-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho tam giác A BC cân A, biết

2

AB  a góc ABC30o, cho tam giác A BC (kể điểm trong) quay xung quanh đường thẳng AC khối trịn xoay Khi thể tích khối trịn xoay

A. 2πa3 B. 6πa3 C.

3

2π

3

a

D. 2a3

(64)

Gọi D hình chiếu vng góc B lên đường thẳng AC

V thể tích khối nón trịn xoay sinh tam giác vuông C D B quay quanh trục CD

2

V thể tích khối nón trịn xoay sinh tam giác vng ADB quay quanh trục AD

Khi thể tích khối trịn xoay cần tính V V1V2

Tam giác A BC cân A A B  2a  A C, ABC30o CAB120o DAB60o

Do DBAB.sin 60o a Vậy ta có

2

1

π π

3

V  DB DC DB DA 2 

π

3 DB DC DA

 

π

3 DB AC

 1π. 32.2

3 a a



2πa 

Chọn đáp án A

Câu 6: Cho hình bình hành ABCD có BAD00  90 ,0 ADa ADB90 Quay ABCD quanh AB, ta vật trịn xoay tích là:

A sin

V a  B

sin os

V a c 

C

2 3sin

cos

V a 



 D

2 3cos

sin

V a 





Lời giải

Kẻ DH  AB CN,  AB

Các tam giác vuông HAD NBC

.sin cos

cos

DH CN a

AH BN a

a HN AB          

Khi quay quanh AB, tam giác vng

AHD NBC tạo thành hai hình nón trịn xoay

bằng nên:

2

2 2 2

1 sin

.sin

3 sin cos

a

V  DH AH  DH HN  CN BN  DH AB a  a 

 

 

     

 

Chọn C

Câu 7: Cho hình nón  có bán kính đáy R, đường cao SO Gọi (P) mà mặt phẳng vng góc với SO O1 cho

1

SO  SO Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón  nằm

(P) đáy hình nón theo thiết diện hình tứgiác có hai đường chéo vng góc Tính thể tích phần hình nón  nằm mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa đáy hình nón 

A R  B R  C 26 81 R  D 52 81 R  Lời giải

(65)

Gọi thiết diện thu AA B B1 1

Vì 1

3

SO  SO nên 1 1 1.2

3

A B  AB R

Mặt khác AB1  A B1 I nên

1 1

1

,

2

IO AB IO  A B

Vậy 1

3

R R

OO R 

Dễ thấy 1 1

2

R

SO  OO 

Từđó SO2R

Gọi thể tích phần hình nón phải tính V*

1

*

V V V , đó:

V1 thể tích hình nón 

V2 thể tích hình nón đỉnh S đáy thiết diện

của  cắt (P)

Ta tích phần hình nón phải tính

2

1 1

1

*

3

V V V  OB SO O B SO

2

1 52

.2

3 81

R R R

R R 

 

   

 

Câu 8: (THTT số 3)Một hình thang cân có chiều cao h độdài hai đáy a, b Tính thể tích vật thể

trịn xoay thu quay hình thang quanh đường trung trực hai đáy A 1  2

3h a ab b B  

2

1

6h a ab b

C  2

12h a ab b D CảA, B, C sai

Gọi E, F trung điểm AB, CD Theo giả thiết, ta có

2

a EB ,

2

b

FC  EFh Đặt SEx

SEB SFC

  SE EB

SF FC

  x a

x h b

 



ah x

b a

 

 Suy

ah bh

SF h

b a b a

  

(66)

Thể tích vật thể trịn xoay cần tìm

2

1

3

V   SF FC   SE EB

2

1

3 4

bh b ah a b a b a

  

     

 

 

     

3 2

1

3 12

h

b a h a ab b b a

 

    



Câu 9: (Hải Hậu Lần1)Cho hình trụ  T có chiều cao h2 ,m bán kính đáy r 3 m Giả sử  L hình

lăng trụđều n cạnh có hai đáy đa giác nội tiếp đường trịn đáy hình trụ  T Khi n tăng

lên vô hạn tổng diện tích tất mặt của khối lăng trụ L (tính m2) có giới hạn là:

A S 12 B S 20 C 30 D 12

Cách 1: Vì  L hình lăng trụđều n cạnh có hai đáy đa giác nội tiếp đường trịn đáy hình trụ  T nên độ dài cạnh lăng trụ a sinr

n 



Do diện tích n mặt bên S1 nah 2nrh.sin 12 sinn

n n

 

  

Cơng thức diện tích đa giác n cạnh, có độ dài cạnh a là:

2 sin nr n s  

Nên diện tích hai đáy là: S2 2.s sinn n



 

Tổng diện tích tất mặt khối lăng trụ  L là:

S  S1 S2 12 sinn n 

  9 sinn

n 

Khi ntăng lên vô hạn:

2 lim 12 .sin sin

x n n n n

         

lim 12 .sin lim sin 30

x n n x n n

                 

Cách 2: Khi n tăng lên vơ hạn, hình lăng trụ tiến dần tới hình trụ, tổng diện tích tất mặt của khối lăng trụ  L với diện tích tồn phần hình trụ  T 2rh2r2 30

Câu 10: (Sở Bắc Ninh) Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng ABCD, tứ giác

ABCD hình thang vng với cạnh đáy AD BC, AD3CB3a, ABa, SAa

Điểm I thỏa mãn 3

 

AD AI, M trung điểm SD, H giao điểm AM SI Gọi ,

E F hình chiếu A lên SB SC, Tính thể tích V khối nón có đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH đỉnh thuộc mặt phẳng ABCD

A

3

5



 a

V B

3

2



 a

V C

3

5



 a

V D

3

10



 a

V

(67)

Nhận xét: Tứ giác ABCI hình vng Dễ chứng minh BCSAB BI SC          EA SB EA SBC

EA BC EASC

         EA SC SC AEF

FA SC

Trong tam giác vng SAB có

2   SE SA

SB SB

Trong tam giác SAD có HS AI MD 1

HI AD MS  3

HS HI

3

 SH 

SI

Trong tam giác SBI có

4

 

SE SH

SB SI EH //BI Do BI SC nên EH SC

Suy điểm A E F H, , , thuộc mặt phẳng qua A vng góc với SC Gọi K trung điểm AF

Vì  

 

EA EF

AH FH  K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH

Ta có: AF  SA AC SC

3

5

 a a

a

6

 a

Suy bán kính đáy khối nón

2

 a

R AF

Gọi O tâm hình vng ABCI

Do    

//          SC EFH

OK EFH O

OK SC đỉnh khối nón

Chiều cao khối nón



h FC 2

2

 AC AF 2

2

 a  a

5

 a

Vậy thể tích khối nón

2

1

3 3 5

 

   

   

a a

V R h

3

10



 a

Câu 11: Thể tích V khối trịn xoay thu quay hình thang ABCD quanh trục OO, biết 80,

OO  O D 24, O C 12, OA12,

6

(68)

A V 43200  B V 21600  C V 20160  D V 45000  Lời giải

Chọn C

Cơng thức tính thể tích khối nón cụt  2 

1 2

1

V  h R R R R

Trong h độ dài đường cao, R R1; 2 bán kính hai

đáy

Gọi V1 thể tích khối nón cụt quay hình thang AOO D quanh trục OO

Gọi V2 thể tích khối nón cụt quay hình thang BOO C quanh trục OO

Khi V V1V2

Ta có 1  2  26880

3

V  OO O D  OA O D OA  

và  2 

1

6720

3

V   OO O C  OB O C OB  

Vậy V V1V2 268806720 20160

Câu 12: Cho ba hình tam giác cạnh a chồng lên hình vẽ (cạnh đáy tam giác

(69)

A

3

13 96

a



B

3

11 96

a



C

3

a



D

3

11

a



Lời giải Chọn B

Nếu ba hình tam giác khơng chồng lên thể tích khối trịn xoay

3

1

3

a V 

Thể tích phần bị chồng lên

3

2

3 96

a V 

 Thể tích cần tính

3

1

11 96

a V V V  

Hoặc làm sau:

Đặt V V V V1; 2; 3; 4lần lượt thể tích: khối nón sinh tam giácOABquay quanh OB, khối tròn xoay sinh hình BCFE GCHK; , khối nón sinh tam giác DEB quay quanh BC Khi

đó: Thể tích khối cần tìm là:

2

1

1 3 11

3

3 16 96

a a a a a

V V V V  V  V            

Câu 13: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hình chữ nhật ABCD có AB2, AD2 nằm mặt phẳng  P Quay  P vòng quanh đường thẳng BD Khối tròn xoay tạo thành tích

A 28

9



B 28

3



C 56

9



D 56

3

 . Lời giải

Chọn C

Cách 1:

Gọi A', C đối xứng với A, C qua BD, GBC'AD, G đối xứng với G qua

(70)

Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình chữ nhật ABCD quanh đường thẳng BD

1

V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay tam giác BAD quanh cạnh BD (cũng thể tích khối tròn xoay quay tam giác BCD quanh cạnh BD)

1

V, V1lần lượt thể tích khối tròn xoay tạo thành quay BAE, EADquanh cạnh

BD

2

V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay BGD quanh cạnh BD

2

V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay BGF quanh cạnh BD Ta có V1 thể tích khối nón đỉnh B, bán kính đáy AE

Tính

2 AB AD AE AB AD 

  2

2 2.2

2

 

3

 ,BD4, BE 1,DE3

2

1

3

V  AE BE

   3 3

 

Ta có V1 thể tích khối nón đỉnh D, bán kính đáy AE

2

1

3

V  AE DE

   

2

3 3

 3

Suy V1V1V1  3 4

Ta có V2 thể tích khối nón đỉnh B, bán kính đáy GF Ta chứng minh BGF~BDC (g – g)

GF BF DC BC     BF DC GF BC     BD DC BC    4.2 2.2   2

V  GF BF

2

1

.2

3

        

Ta có V2 2V2 16

9

 

Vậy V 2V1V2 2.4 16

 

  56

9

 

Cách 2:

Gọi điểm hình vẽ

1,

V V thể tích khói nón, nón cụt nhận quay tam giác ABH tứ giác

(71)

Ta có: 3, I ,

AH  L BH HL

Ta có: V 2V1V2  2

3BH AH 3HL IL IL AH AH

 

     

 

1 56

2 .3

3` 3



 

  

      

 

 

Ghi nhớ:

Thể tích khối nón cụt

 

 2 

1 3

xq

S l R r

V h R r Rr

 

  

 

  

 

Câu 14: (Cụm trường chun lần1)Cho hình thang ABCD có A B90, ABBCa, AD2a

Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình thang ABCD xung quanh trục CD

A

3

7

a



B

3

7 12

a



C

3

7

a



D

3

7 12

a



l r

(72)

Gọi E giao điểm AB CD Gọi F hình chiếu vng góc B CE

Ta có: BCF  BEF nên tam giác BCF BEF quay quanh trục CD tạo thành hai khối nón tích V1

ADC AEC

   nên tam giác  ADC  AEC quay quanh trục CD tạo thành hai khối nón

bằng tích V

Nên thể tích khối trịn xoay sinh quay hình thang ABCD xung quanh trục CDbằng:

 2

1

2 2

3

V V   CD AC CF BF  

3 3

3

2

3

a a

a 

   

    

 

 

 

(đvtt)

Câu 15: Một hình nón bị cắt mặt phẳng  P song song với đáy Mặt phẳng  P chia hình nón làm hai phần N1 N2 Cho hình cầu nội tiếp N2 hình vẽ cho thể tích hình cầu

bằng nửa thể tích N2 Một mặt phẳng qua trục hình nón vng góc với đáy cắt

N2 theo thiết diện hình thang cân, tang góc nhọn hình thang cân

A 2 B 4 C 1 D

Lời giải

Giả sử ta có mặt cắt hình nón cụt đại lượng hình vẽ Gọi  góc cần tìm

Xét AHD vng H có DH h AH, Rr h2r0  AH.tan R r tan  1 Thể tích khối cầu

3

1

4

3

h V  r 

N2

(73)

Thể tích N2 2  2 

V  h R r Rr

 

2 2

1

2

V

h R r Rr

V     

Ta có BC Rr (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Mà h2 BC2R r 2 4Rr  3

Từ    2 , Rr2 Rr  4

Từ        2  2

1 , , h  Rr tan  4 Rr (vì  góc nhọn)

2

tan  tan

   

Chọn A

Câu 16: (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN NĂM 2019) Cho hình thang ABCD

vng A D có CD2AB2AD4 Thể tích khối trịn xoay sinh hình thang ABCD quay xung quanh đường thẳng BC

A 28

3  B.

20

3  C.

32

3  D.

10

3 

Ta có: AB  AD 2, 2

2 B D  A B A D  ,

2

2 2

BC AD  CD 

 

Tam giác BCD vuông cân Bdo 2

CD BD BC BDBC2

Kéo dài ADBCE Kẻ AF  BE F Khi AF  BD

α

r

h r0

R

K H

O

A

C

B D

A

B

(74)

Dễ chứng minh: BCD BED, ABF  AEF , 2

AF BF  BD

+ Thể tích khối trịn xoay sinh tam giác ECD quay xung quanh đường thẳng BC

bằng lần thể tích khối nón sinh tam giác BCD quay xung quanh đường thẳng BC (bán kính đáy BD, đường cao BC):

1

1 32

2

3

V  BD BC 

+ Thể tích khối tròn xoay sinh tam giác ABE quay xung quanh đường thẳng BC

bằng lần thể tích khối nón sinh tam giác ABF quay xung quanh đường thẳng BC (bán kính đáy AF , đường cao BF ):

2

1

2

3

V   AF BF  

Thể tích khối trịn xoay sinh hình thang ABCD quay xung quanh đường thẳng BC

là: 1 2 28

3

V V V  

Câu 17: Trong hình nón trịn xoay có diện tích tồn phần  Tính thể tích hình nón lớn nhất?

A

9



B

12



C

2



D

3



Ta có Stp  rlr2  rlr2 1 suy

2

1 r

l r



 l r

r  

Có

3

V  r h 2

3r l r

  1 2

3r r

 

Xét hàm số y f x x 2 x2 đoạn 0; 2

     

ta có  

2 0;

2

2 max

4

f x

 

 

 



x

Vậy max 2

3 12

V   

Câu 18: Tìm hình nón tích nhỏ ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước tích bằng:

A 1

6r B

3

3r C

3

3r D

3 3r

(75)

Xét mặt phẳng chứa trục hình nón, mặt phẳng cắt hình nón theo tam giác cân SAB cắt mặt cầu nội tiếp hình nón theo đường trịn bán kính r hình trịn nội tiếp tam giác cân

SABh.79b

Kí hiệu bán kính đáy hình nón x, chiều cao hình

nón y x 0,y2r  

2

AHSA r AB SH

\

Vậy thể tích hình nón ngoại tiếp mặt cầu bán kính r

2

1

:

3

y

V x y r

y r

 

 



Ta có

2 2 2

4 4

2

2 2

y y r r r

y r

y r y r y r

         4 r

y r r

y r

   

  

2

4

2

r

y r r r

y r

   



Từđó 2

3

V   r , tức V2 đạt giá trị bé

2

4

2

r

y r y r

y r

   

 từđó

2

xr

Câu 19: Cho hình nón  N có đáy hình trịn tâmO Đường kính 2a đường cao SOa Cho

điểm H thay đổi đoạn thẳngSO Mặt phẳng P vng góc vớiSO tạiHvà cắt hình nón

theo đường trịn  C Khối nón có đỉnh O đáy hình trịn  C tích lớn bao nhiêu? A 81 a  B 81 a  C 81 a  D 81 a 

Lời giải

Gọi   mặt phẳng qua trục hình nón  N cắt hình nón  N theo thiết tam giác SAB, cắt hình nón đỉnh S có đáy đường trịn  C theo thiết diện tam giác SCD, gọi I giao

điểm SO CD Ta có: AB2aOAaSO.Do tam giác SOAvuông cân S

.Suy tam giác SIC vuông cân I.Đặt SI  ACx(0xa)OI ax

Thể tích khối nón có đỉnh O đáy hình trịn  C là:

 

2

1 1

( )

3 3

V   IC OI   x ax   x ax '  . 2 

3

V x    x  ax

 

0

' 2

3

x

V x a

x        

Bảng biến thiên:

 2 2

2

r y x x y r xy x

y r

     

(76)

Chọn B

Câu 20: Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x khối trụ tích lớn nội tiếp

hình nón theo h

A

2

h

x B

3

h

x C

3

h

x D

3

h x

Lời giải

Gọi r R, theo thứ tự bán kính đáy hình nón khối trụ cần tìm O đỉnh hình nón, I tâm đáy hình nón, J tâm đáy hình trụ khác I OA đường sinh hình

nón, B điểm chung OA với khối trụ Ta có: r h x r R(h x)

R h h



   

Thể tích khối trụ là:

2

2 ( )

R

V xR x h x h

 

  

Xét hàm số

2

( ) R ( ) ,

V x x h x x h h



   

Ta có

2

'( ) ( )( ) hay

3

R h

V x h x h x x x h

h



      

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn chiều cao khối trụ

h

(77)

Câu 21: Cho hình nón đỉnh S, đáy hình trịn tâm O, góc ởđỉnh 120 Trên đường trịn đáy, lấy

điểm A cố định điểm M di động Có vị trí điểm điểm M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất?

A 2 B 3 C 1 D vô số

Gọi r bán kính đáy hình nón Vì góc ởđỉnh ASA 120 ASO60

Suy cot

3

r SOOA ASO

Gọi Hlà trung điểm AM đặt xOH Ta có:

2

2 2

3

r

SH  SO OH  x , AM 2AH 2 OA2OH2 2 r2x2

Diện tích tam giác SAM

2

2 2

1

2 3

r

s SH AM  x r x  r

2 max

2

s  r đạt

2

2 2

3 3

r r r

x r x x x

       Tức OH SO

Theo tính chất đối xứng của đường trịn ta có hai vị trí M thỏa yêu cầu

Câu 22: Cho nửa đường trịn đường kính AB2R điểm C thay đổi nửa đường trịn đó, đặt



CAB

 gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tìm  cho thể tích vật thể

tròn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn

A  60 B  45 C arctan

2 D 30

2

cos cos

.sin cos sin ;

.cos cos

AC AB R

CH AC R

AH AC R

 

  

 

 

Thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục ABlà

2

1

.cos sin

3

V  AHCH  R   Đặt tcos2 0 t 1

 

3

1

V R t t

    

3

8 2

2

6

t t t

R t t t R     

    

 

Vậy V lớn

t arctan

2

(78)

Chú ý: dùng PP hàm sốđể tìm GTNN hàm f t t21t

Câu 23: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V V1, 2 thể

tích hình nón thể tích hình cầu nội tiếp hình nón Khi r h thay đổi, tìm giá trị bé tỉ số

2

V V

A B 2 C 1

3 D 2

Lời giải

Gọi  P mặt phẳng qua trục hình nón  P cắt hình nón Theo tam giác cân SAB, cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, đường tròn nội tiếp tam giác cân Khi đó, bán kính r1 hình cầu nội tiếp hình nón tính cơng thức 1

2

rh r

r h r



 

 

3

1

2

1

4

h

x r

V

h

V x

r

 

 

 

   

 

  , ởđó

2

h x r  

Xét          

3

2

1 1 2

, '

4 4.2

x x x x

f x f x

x x x

      

 



Vì  

2

1

0

4.2

x

x x

  

 nên xét dấu f x , ta cần xét dấu g x  x 2 1x

Ta có '  1

1

g x

x

 

 Dễ thấy g x' 0 x0

1 1

x  , đồng thời

 

g x  x

Vậy g x  hàm tăng miền x0 g 8 0 nên Với 0 x8 g x 0;

Câu 24: Với miếng tơn hình trịn có bán kính R6cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình trịn

(79)

Hình nón tích lớn người ta cắt cung trịn hình quạt bằng:

A 4 6cm B 6 6cm C 2 6cm D 8 6cm Lời giải

Gọi x x, 0 chiều dài cung tròn phần xếp làm hình nón

Như vậy, bán kính R hình nón sẽlà đường sinh hình nón đường trịn đáy hình nón sẽcó độ dài x

Bán kính r đáy xác định đẳng thức

2

x

r x r



   

Chiều cao hình nón tính theo Định lý Pitago là:

2

2 2

2

4

x

h R r R



   

Thể tích khối nón:

2 2

2

1

3

x x

V r h  R

 

 

    

 

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có:

3

2 2

2

2 2 2 2 2 2

2

2 2

4 8 8 4

9 8 9 27

x x x

R

x x x R

V  R     

  

 

  

 

 

      

   

 

 

Do V lớn khi:

2

6 6

8 3

x x

R x  R  

       

Chọn A

(Lưu ý sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhiên lời giải sẽdài hơn) Câu 25: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V1, V2

thể tích hình nón thể tích khối cầu nội tiếp hình nón Giá trị bé tỉ số

V V

A 5

4 B

4

3 C 3 D 2

Lời giải

Ta có: Thể tích khối nón 1

V  r h

r

R h

M

N I

(80)

Xét mặt cắt qua tâm SAB, kẻ tia phân giác góc SBO, cắt SO I

Ta có:

2

IO OB r r h

IS IO

IS SB r h r



    



Mặt khác: IOISh

Do ta có bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp

2

rh

R IO

r h r

 

 

Thể tích khối cầu

  3 3 2 4 3 r h V R

r h r

        3

2 2

1 2 2 1 4 h

r r h r

V h V rh r            

   Đặt

2

1 h

t

r

  (t1 )  

      2 1 4 t t V

V t t

 

  

 

Đặt    

2 1 t f t t  

 , Điều kiện: t1,    

2 2 t t f t t     

, f t 0 t 3, f  3 8 BBT  f t   8 t 1

2 V V   Chọn D

Lời giải

Đặt a50cm Gọi bán kính đáy chiều cao hình nón x y x y,  , 0 Ta có SA SH2AH2  x2y2

Khi diện tích tồn phần hình nón Stp x2x x2 y2

Theo giả thiết ta có

   

2 2 2 2 2 2

4

2 2 4 2

2

2 , :

2

x x x y a x x y x a x x y a x

a

x x y a x a x DK x a x

y a

           

       

(81)

4

2 2

1

3

a y

V y a

y a y a

 

 

 

V đạt giá trị lớn

2

y a y



đạt giá trị nhỏ

Ta có

2 2

y a a a

y y a

y y y



   

Vậy V đạt giá trị lớn

2

2a y

y

 , tức 25

2

a

ya x  cm

Lưu ý: Bài em xét hàm số lập bảng biến thiên

Câu 27: (Chuyên Thái Nguyên) Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cm đường kính đáy 24 cm mặt phẳng song song với đường sinh hình nón ta thu thiết diện có diện tích lớn gần với giá trịnào sau đây?

A.170 B.260 C.294 D.208

Lời giải Chọn D

Cắt hình nón mặt phẳng song song với đường sinh hình nón ta thu thiết diện parabol

Xét dây cung chứa đoạn KH hình vẽ, suy tồn đường kính ABKH, tam giác SAB, KE/ /SA E, SB , Suy Parabol nhận KE làm trục hình vẽ thiết diện thỏa yêu cầu toán (Thiết diện song song với đường sinh SA)

Đặt BK x (với 0x24)

Trong tam giác ABH có:  

24

HK BK AK x x

Trong tam giác SAB có:

6

KE BK BK x

KE SA KE

SA  BA   BA  

Thiết diện thu parabol có diện tích:

S  KH KE

Ta có:    

2

2 16 2 16 25 100 10

24 24 24

9 36 81

x

S  KH KE  x x  x x S x x

Đặt   24

f x  x x , với 0x24

Ta có:  

' 72

f x  x  x Suy '  72 0

18

x

f x x x

x

 

     

 

(82)

Vậy thiết diện có diện tích lớn là: 10 34992 207,8

9  cm

Câu 28: (CỤM-CHUN-MƠN-HẢI-PHỊNG)Gọi d đường thẳng tùy ý qua điểm M1;1 có hệ số góc âm Giả sử d cắt trục Ox Oy, A B, Quay tam giác OAB quanh trục Oy thu khối trịn xoay tích V Giá trị nhỏ V bằng:

A 3 B 9

4



C 2 D 5

2

 . Lời giải

Chọn B

Phương trình đường thẳng qua M1;1 có hệ số góc k k 0  d : ykx11

;



 

    

 

k

A d Ox A

k BdOyB0;1k 

Nhận xét quay tam giác quanh Oy khối trịn xoay tạo thành khối nón có bán

kính đáy OA đường cao OB

   

3

2

1

1 1

1

3 3

 

     

          

   

k k

V k k

k k k k

Đặt   12 3

  

     

 

g x k

k k

Suy '  23 32

3

  

    

 

g x

k k

   

 

3

1

2

'

3

    

       

 

  

k l

g x

(83)

Dựa vào bảng biến thiên ta có: 4



Min

(84)

MẶT TRỤ - KHỐI TRỤ A – LÝ THUYẾT CHUNG

II - MẶT TRỤ TRÒN XOAY 1 Mặt trụ

Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng song song với nhau, cách khoảng Khi quay mặt phẳng xung quanh đường thẳng sinh mặt trịn xoay gọi mặt trụ tròn xoay, gọi tắt mặt trụ

 Đường thẳng gọi trục

 Đường thẳng đường sinh

 bán kính mặt trụ

2 Hình trụ tròn xoay khối trụ tròn xoay

Ta xét hình chữ nhật Khi quay hình chữ nhật

xung quanh đường thẳng chứa cạnh đó,

chẳng hạn cạnh AB đường gấp khúc tạo thành hình gọi hình trụ trịn xoay, hay gọi tắt hình trụ

 Khi quay quanh hai cạnh vạch hai hình trịn gọi hai đáy

hình trụ, bán kính chúng gọi bán kính hình trụ

 Độ dài đoạn gọi độ dài đường sinh hình trụ

 Phần mặt trịn xoay sinh điểm cạnh quay xung quanh gọi mặt xung quanh hình trụ

 Khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đáy chiều cao hình trụ

 Diện tích xung quanh:

 Diện tích tồn phần:

 Thể tích:

3 MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ CƠNG THỨC GIẢI BÀI TỐN MẶT TRỤ 3 Dạng Thiết diện hình trụ cắt mặt phẳng

 P  l

r

 P  l



l

r

ABCD ABCD

ADCB

,

AB AD BC

CD

CD AB

AB

xq

S  2rl

tp

S 2 rl 2 r2.

 

 

(85)

Thiết diện vng góc trục là đường trịn bán kính

Thiết diện chứa trục hình chữ nhật

Nếu thiết diện qua trục hình vng

thì

Thiết diện song song với trục và khơng chứa trục hình chữ

nhật có khoảng cách tới trục là:

3 Dạng Thể tích khối tứ diện có cạnh đường kính đáy

Nếu hai đường kính bất kỳtrên hai đáy hình trụ thì:

* Đặc biệt:

Nếu vng góc thì:

3 Dạng Xác định góc khoảng cách

Góc trục :



AB OO, 'A AB'

Khoảng cách trục :

Nếu hình vng nội tiếp hình trụ

đường chéo hình vng đường chéo hình trụ Nghĩa cạnh hình vng:

3 Dạng Xác định mối liên hệ diện tích xung quanh, tồn phần thể tích khối trụ bài toán tối ưu

R ABCD AB 2R AD h

h 2R BGHC

 

d OO'; BGHC OM

M O A

D

B

C G

H

AB CD

 

ABCD

V 1AB CD OO '.sin AB CD,



AB CD

ABCD

V 1AB CD OO '



O' O

A B

D

C

AB OO '

O

O' A

B A'

AB OO '

 

d AB OO; ' OM

M O

O' A

A'

B

ABCD

AB 2 4R2 h2

 

I O

O' D

B A

(86)

Một khối trụ tích V khơng đổi

 Tìm bán kính đáy chiều cao hình trụ để diện tích tồn phần nhỏ nhất:

 Tìm bán kính đáy chiều cao hình trụ để diện tích xung

quanh cộng với diện tích đáy nhỏ nhất:

3 Dạng Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp hình lăng trụđứng

Cho hình lăng trụtam giác đêu nội tiếp hình trụ Thể tích khối lăng trụ V thể tích khối trụ

Cho hình lăng trụ tứgiác đêu ngoại tiếp hình trụ Diện tích xung quanh hình trụ Sxq diện tích xung quanh hình lăng trụ

Câu 1: Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao a

Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường đáy tâm O’ lấy điểm B cho AB2 a

Tính thể tích khối tứ diện OO 'AB

A 3 12 a B 12 a C 12 a D 3 a

Lời giải

Kẻđường sinh AA’ Gọi D điểm đối xúng A’ qua O’ H hình chiếu vng góc

B đường thẳng A D’

 

'

' '

BH A D

BH AOOA BH AA        tp V R S V h 3             V R S V h 3             V V(T)

9 



ABCD A B C D ' ' ' '

(87)

Do đó, BH chiều cao tứ diện OO 'AB

Thể tích khối tứ diện OO ' : ' AOO

AB V  S BH

Tam giác AA B' vuông A’ cho: A B'  AB2A A'  4a2a2 a Tam giác A B'  A D' 2A B'  4a2 3a2 a

Suy BO D' tam giác cạnh a

Từđó

2

a

BH  Do OAOO'=a nên tam giác AOO'vuông cân O

Diện tích tam giác AOO' là: ' OO'=1

2

AOO

S  OA a

Vậy

3

1 3

3 2 12

a a

V  a 

Chọn A

Câu 2: (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho khối trụ  T , AB

CD hai đường kính mặt đáy khối  T Biết góc AB CD

30, AB6cm thể tích khối ABCD 30cm3 Khi thể tích khối trụ  T

A 90cm3 B 30cm3 C 45cm3 D 90 3 270 cm



Gọi h , V chiều cao thể tích khối trụ  T

 ,    d AB CD h cm

 

Ta có :  

.sin ; sin 30

6

ABCD

V  h AB CD AB CD h  2 10 

sin 30 ABCD

V

h cm

  



   

2

3

90

2 T

AB

V   h  cm

    

 

Câu 3: Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ', đáy ABC tam giác có AB5,AC8 góc 

, 60

AB AC 

Gọi V V, ' thể tích khối lăng trụ ngoại tiếp nội tiếp khối lăng trụđã cho Tính tỉ số V'?

(88)

A 49 B C 19 49 D 29 49

Lời giải

Áp dụng đinh lý cosin tam giác ABC ta c

2 2

2 os60 25 64 2.5.8 49

2

BC  AB AC  AB AC c    

Diện tích tam giác ABC là:

0

1

.sin 60 5.8 10

2 2

S  AB AC  

Mặt khác:

, ABC

AB AC BC S

R

 với R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

5.8.7

4 ABC 4.10 3

AB AC BC R

S

   

Ngồi ra: SABC pr, 1  10

2

p ABBCAC  r bán kính đường tròn nội

tiếp tam giác ABC 10 3

10 ABC S r p    

Hình trụ ngoại tiếp nội tiếp lăng trụđã cho có bán kính đáy R r, có chiều cao chiều cao hình lăng trụ

Giả sử h chiều cao hình lăng trụ, ta có: V R h2 V r h2

Vậy '

49

V

V 

Chọn A

Câu 4: Cho khối trụcó bán kính đáy ra chiều cao h2a Mặt phẳng ( )P song song với trục '

OO khối trụ chia khối trụ thành phần, gọi V1 thể tích phần khối trụ chứa trục OO',

2

V thể tích phần cịn lại khối trụ Tính tỉ số

V

V , biết ( )P cách OO' khoảng

bằng

2

a

A 3

2

 



 B

3

2

 



 C

2

 



 D

2     Lời giải

Thể tích khối trụ 2

.2

V r ha a a Gọi thiết diện hình chữ nhật ABB A' '

(89)

Dựng lăng trụ ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ hình vẽ Gọi H trung điểm AB

Ta có OH ABOH (ABB A' ') 

2

a OH 



2

a

AH BH  OH

OAB vuông cân O  ABCD hình vng Từđó suy ra:

   

3

2 ' ' ' '

1 ( 2)

2 ( 2)

4 ABCD A B C D

a

V  V V  a  a a   

3

1

( 2) (3 2)

2

a a

V V V  a       Suy

2

3

2

V V

 

 



Chọn A

Câu 5: Cho hình trụcó bán kính đáy R5, chiều cao h6 Một đoạn thẳng AB có độ dài 10

và có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách đường thẳng AB trục hình trụ?

A 3 B 4 C 2 D 1

Lời giải

Gọi hai đường tròn đáy    O , O'

 ,  '

A O B O Kẻhai đường sinh ,

AD BC ta tứ giác ABCD hình chữ nhật mp ABCD / /OO '

Do đó, khoảng cách OO’ AB khoảng cách từO đến mp ABCD  Tam giác ACB vuông C nên ta có:

2 2

10

AC AB BC   

Gọi I trung điểm AC, ta có:

 

OI AC

OI ABCD OI AD

 

 

  

Vậy khoảng cách đường thẳng AB trục OO’ hình trụ là:

2 2

5

OI  OA IA   

Chọn B

I B

D

O O'

(90)

Câu 6: Một hình trụcó bán kính đáy 50cm có chiều cao 50cm Một đoạn thẳng AB có chiều

dài 100cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách d từđoạn thẳng

đó đến trục hình trụ

A d 50cm B d50 3cm C d25cm D d 25 3cm Lời giải

Kẻ AA1 vng góc với đáy, A1 thuộc đáy Suy ra:

         

1/ / 1/ / 1, 1, 1,

OO AA OO AA B d OO AB d OO AA B d O AA B

Tiếp tục kẻ O H1  A B1 H, O1H nằm đáy nên

cũng vng góc với A1A suy ra:

 

1

O H  AA B Do

 1,   1,   1, 

d OO AB d OO AA B d O AA B O H

Xét tam giác vng AA B1 ta có

2

1 50

A B AB AA 

Vậy O H1  O A1 12A H1 25cm Chọn C

Câu 7: Cho hình trụcó bán kính đáy R chiều cao R lấy hai điểm A, B nằm hai đường trịn đáy

cho AB2 R Tính khoảng cách từAB đến trục hình trụ theo R

A

2

R

B

3

R

C

5

R

D

4

R Lời giải

Giả sử A đường tròn O, BO'.Từ A vẽđường song song OO’ cắt đường tròn  O' A’

Vẽ O’H vng góc A B’

Từ H vẽđường thẳng song song với OO’, cắt AB K Vẽ KI/ / 'O H Ta có: O H' A B' AA ' nên: O H' mp AA B ' O H' HK AB

Vậy tứ giác KIO H' hình chữ nhật KI OO '

Vậy KI đoạn vng góc chung AB OO '.AA B' vuông

2 2 2

' '

A B AB AA R R R

     

Do H trung điểm A’B nên:

2

2 2

3

' ' ' ' ' '

2 4

R R R

HA  O A HO H O A A H R  

I K A

O' O

A'

B H

H O

A

A1

B O1

(91)

Do đó:  , OO ' '

R

d AB KI O H 

Chọn A

Câu 8: (Ba Đình Lần2)Cho khối trụcó đáy đường trịn tâm  O ,  O có bán kính R chiều cao hR Gọi A, B điểm thuộc  O  O cho OA vng góc với

O B Tỉ số thể tích khối tứ diện OO AB với thể tích khối trụ là:

A

3 B

1

3 C

1

6 D

1 4 Lời giải

Chọn C

Thể tích khối trụ V1 R h2 R2.R R3

Khối tứ diện BO OA có BO đường cao đáy tam giác vuông O OA , thể tích khối

tứ diện

1

2 6

1

3 O OA OA OO O B R R R R

V  S  O B       

Vậy

3

2

1

V R

R

V    

Câu 9: (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho hình trụcó tâm hai đáy O O'; bán kính đáy hình trụ a Trên hai đường tròn  O  O' lấy hai điểm A B cho AB tạo với trục hình trụ góc 30 có khoảng cách tới trục hình trụ

2

a

Tính diện tích tồn phần hình trụđã cho

A 2a2 1  B  

2

3

a 

 C a2 32 D  

2

3 3

a 



(92)

Gọi A' hình chiếu A  O' ;B' hình chiếu B  O

Khi OO'/ /AA' nên AB OO, 'AB AA, 'BAA'30 (do ABA' vuông tại B)

Gọi I trung điểm A B' Do OO'/ /AA BB' ' nên

 ',   ', ' '  ', ' ' '

a d OO AB d OO AA BB d O AA BB O I 

Ta có

2

2 2

' 2 ' '

2

a

A B BI  O B O I  a   a

 

' ' ' co t 30

OO  AA A B  a

Diện tích tồn phần: 2 2 

2 2 2

tp

S  rh r  a a  a  a 

Câu 10: (Sở Ninh Bình Lần 1) Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn O R;  O R;  AB dây cung đường tròn O R;  cho tam giác O AB tam giác mặt phẳng O AB 

tạo với mặt phẳng chứa đường trịn O R;  góc 60 Tính theo R thể tích V khối trụ cho

A

3 7

R

V  B

3

5

R

V   C

3 5

R

V  D

3

7

R

V  

I A' B'

O' O

A

(93)

Đặt độ dài cạnh ABx x0 M trung điểm AB

Vì tam giác O AB nên O A O B  ABx

2

x O M

 

Vì mặt phẳng O AB  tạo với mặt phẳng chứa đường tròn O R;  góc 60 nên O MO 60 Xét tam giác O OM vng O ta có: cosO MO OM

O M

 

 Suy

3 cos 60

4

2

OM x

   

Xét tam giác OAMvng M có: OA2 OM2AM2 nên

2 2

2 7

4 16

x x

R      R  x x R

   

 

Do đó: 21

2

x

O M   R 21

4

x

OM   R Vì vậy, ta có

2

7

OO O M OM  R

Vậy thể tích khối trụ

3

2 7

7

R V R hR RV  

Câu 11: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Có miếng bìa hình chữ

nhật ABCD với AB3 AD6 Trên cạnh AD lấy điểm E cho AE2, cạnh

BC lấy điểm F trung điểmBC

M

B A

O'

(94)

Cuốn miếng bìa lại cho cạnh AB DC trùng để tạo thành mặt xung quanh hình trụ Khi tính thể tích V tứ diện ABEF

A. π

3

V  B. 32

2π

V  C.

3

3π

2

V  D. 22

3π V 

Từ giả thiết suy BF đường kính đường trịn đáy hình trụ Kẻđường sinh FK , gọi O trung điểm AK

Gọi r bán kính đáy, suy 2π π r   r

Đặt AOE (rad) Trong hình chữ nhật ABCD có AE 2

 

2 2π

3 AE

l r AOE

r

 

        π

3

EOK

  , suy tam giác EOK tam giác

cạnh

π r

Gọi H trung điểm OK EH AK, EH  AB

   ,  3

2 2π

r

EH ABFK d E ABF EH

     

Diện tích tam giác ABF 1.3.6

2 π π

S  AB BF 

Thể tích khối tứ diện ABEF  ,  3 32

3 ABF π 2π 2π

V  S d E ABF  

Câu 12: (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3)Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O, bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường trịn đáy có tâm O

lấy điểm A, đường tròn tâm O lấy điểm B Đặt  góc AB đáy Tính tan

khi thể tích khối tứ diện OO AB đạt giá trị lớn

F A

B C

D E

H O

A K

B F

(95)

A tan B tan

  C tan

2

  D tan 1

Lời giải Cách 1:

Gọi D hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng  O

Kẻ AH OD, HOD

Ta tích khối chóp OO AB :

OO AB OO B

V   AH S 

2

a AH



2

a AO



3

4

a



VOO AB max H O Suy AD2 2a

Suy ra: tan tanBAD

2



Nhận xét: Nên thêm giả thiết AB chéo với OO' để tứ diện OO AB tồn

Gọi D hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng chứa đường tròn  O Gọi C hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng chứa đường trịn  O' Ta có O CB OAD' hình lăng trụđứng

Ta tích khối chóp OO AB :



'

1 1

2 2 sin

3 3

OO AB O BC OAD OAD

a V  V  a S  a a a AOD

  

' max 90 2

O ABCD

V  AOD  AD a

Suy ra: tan tanBAD

2



Câu 13: (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3)Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O, bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường tròn đáy có tâm O

α H

D B

A

O O'

C

α

D B

A

(96)

lấy điểm A, D cho AD2 3a; gọi C hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng chứa đường trịn  O' ; đường tròn tâm O lấy điểm B (AB chéo với CD) Đặt  góc AB đáy Tính tan thể tích khối tứ diện CDAB đạt giá trị lớn

A tan  B tan

  C tan 1 D tan 3

 

Lời giải

Gọi H hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng chứa đường trịn  O Gọi K hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng chứa đường tròn  O' Ta có HAD BKC hình lăng trụđứng

Ta tích tứ diện CDAB

   

1 1 1

.2 ; ;

3 3

ABCD HAD BKC HAD

V  V  a S  a AD d H AD  a a d H AD

VABCDmax d H AD ; max  H điểm cung lớn

AD của đường tròn  O (1)

Theo định lý sin ta có  2.2 sin 3

4

sin

AD AD a

a AHD

a a

AHD      nên



60

AHD

Do (1) xảy AHD  AH  AD2 3a

Suy ra: tan tan

3

2

BH a BAH

AH a

    

Câu 14: (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3)Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O, bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường trịn đáy có tâm O

lấy điểm A, D đường tròn tâm O lấy điểm B, C cho AB CD// AB không cắt '

OO Tính AD để thể tích khối chóp O ABCD' đạt giá trị lớn

A AD2 2a B AD4a C

3

AD a D AD 2a Lời giải

K

α

H O

C

D B

A

(97)

Kẻđường thẳng qua O' song song với AB cắt mặt phẳng chứa đường tròn ( )O O1

Lúc AO D BO C1 ' hình lăng trụ chiều cao 2a Vì ADBC nên SBO C' SOAD

Ta tích khối chóp O ABCD' :



1

3

' ' '

1 2

.2 2 sin

3 3 3

O ABCD AO D BO C BO C OAD

a V  V  a S  a S  a a a AOD

  

' max 90 2

O ABCD

V  AOD  AD a

Câu 15: (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02)Một hình trụcó độdài đường cao 3, đường tròn đáy O;1 O';1 Giả sử AB đường kính cố định

O;1và MN đường kính thay đổi O';1 Tìm giá trị lớn Vmax thể tích khối tứ

diện ABMN

A Vmax2 B Vmax6 C max

V  D Vmax 1

Lời giải

Dựng hình hộp chữ nhật ACBD PMQN nội tiếp hình trụ hình vẽ

Dễ thấy VACBD PMQN. VPAMN VQBMNVCAMBVDNABVABMN

Mà

6 PAMN QBMN CAMB DNAB ABMN

V V V V V  V nên

1

ABMN ACBD PMQN

V  V

O1

O

C

D B

A

O'

O O'

Q M N

D

A

C

(98)

1

' ' 2.3

2 ACBD PMQN PMQN

V S OO  MN PQ OO  

Vậy . 1.6 max

3

ABMN ACBD PMQN

V  V   V 

Dấu “=” xẩy AB vàMN vng góc với

Câu 16: Cho hình trụ có chiều caoh2,bán kính đáyr3.Một mặt phẳng P khơng vng góc với đáy

của hình trụ, lượt cắt hai đáy theo đoạn giao tuyến AB vàCD choABCD hình vng Tính diện tíchS hình vngABCD

A S 12  B S 12 C S 20 D S 20  Lời giải

Kẻđường sinh BB’ hình trụ Đặt độ dài cạnh hình vng ABCD x, x > 0

Do ' '

'

CD BC

CD B C B CD CD BB

 

   

  

vng C Khi đó, B’D là đường kính đường Trịn  O' Xét B CD' vuông C

2 2 2

' ' (1)

B D CD CB r x CB

     

Xét tam giác BB'C vuông B

2 2 2

' ' ' (2)

BC BB CB x h CB

     

Từ (1) (2)

2

20

r h

x 

  

Suy diện tích hình vuông ABCD S 20

Câu 17: (THẠCH THÀNH I - THANH HĨA 2019) Cho hình trụ có bán kính r chiều cao r Một hình vng ABCD có hai cạnh AB CD, dây cung hai

đường tròn đáy, cịn cạnh BC AD, khơng phải đường sinh hình trụ Tan góc mặt phẳng chứa hình vuông mặt đáy

A 1 B

2 C.

6

3 D

15

(99)

Gọi MN hình chiếu vng góc AB lên đường trịn đáy Ta có MNDC hình chữ nhật NCMDO tâm đường tròn đáy Gọi H I K, , trung điểm AB MN CD, , Lại có HK CD IK, CD, suy góc mặt phẳng chứa hình vng ABCD mặt đáy

 tan IH

HKI HKI

IK

 

Đặt ABBCCDADx x( 0) Ta có

2

2 2

4

x MCIK  OK  OC CK  r 

Trong tam giác vng BMC ta có

2

2 2 2

4

4 2

x r r

BM MC BC r  r  x x IK 

 

Suy tan

3

2

IH r HKI

IK r

   

Câu 18: (THPT-Chun-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho khối trụ có bán kính đáy

 

4 cm chiều cao 5cm Gọi AB dây cung đáy

dưới cho AB4 3cm Người ta dựng mặt phẳng  P qua hai điểm A, B tạo với mặt phẳng đáy hình trụ góc 60 hình vẽ Tính diện tích thiết diện hình trụ cắt mặt phẳng  P

I N

M

D

C K H

O B

(100)

A   2

8 3

3 cm

 

B   2

4

3 cm



C   2

4 3

3 cm

 

D   2

8

3 cm

 

Gọi S diện tích thiết diện, S diện tích hình chiếu thiết diện lên mặt phẳng

đáy Khi S S.cos 60

Ta có  

2 2

1

4 cos 120

2

OA OB AB

AB AOB AOB

OA OB

 

       

  

2

1

.sin120 4 4 3 3

2

1 16

3

OAB

OAmB OAB OAmB

S OA OB

S S S

S OA

 





   

 



   



  

 

  

8 3

cos 60

S S

 

 



Câu 19: Một khối lăng trụtam giác cạnh đáy ,a góc đường chéo mặt bên mặt đáy

bằng 60 Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụđó A 3

3

V  a B V a3 C 3

2

V  a D 3

3

V  a

Lời giải

Xét hình lăng trụtam giác

' ' '

ABC A B C có cạnh đáy ABa,

góc đường chéo A’B với mặt đáy ABC A BA' 60 Suy ra: hAA 'a.tan 600 a

m B A

O

a

A'

C B

A

(101)

Khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụcó đường cao A’A, đáy đường tròn ngoại tiếp hai mặt đáy ABC , A B C' ' ',có bán kính R cho

3

a R aR

Thể tích khối trụ:

2

3

a

V R h  a  a

 

(đvdt) Chọn A

Câu 20: (Sở Quảng NamT) Cho hình trụ có trục OO', bán kính đáy r chiều cao

2

r

h Hai điểm

,

M N di động đường tròn đáy  O cho OMN tam giác Gọi H hình chiếu

vng góc O lên O MN'  Khi M N, di động đường trịn  O đoạn thẳng OH

tạo thành mặt xung quanh hình nón, diện tích S mặt

A

2

32

r

S   B

2

16

r

S   C

2

9 32

r

S   D.

2

9 16

r S  

Trong  O kẻ OI MN I Khi ta có MN OO I' OO I'   O MN'  Trong

OO I'  kẻ OH O I' H OH O MN'  H nên H hình chiếu vng góc O

lên O MN' 

Tam giác OMN cạnh r, có OI đường trung tuyến nên

2

r

OI 

Tam giác O OI' vuông O, đường cao OH nên ta có

2 2 2

1 1 4 16

' 9

OH O O OI  r  r  r

3

r OH

 

2

' '

O I  O O OI r

2

' '

' ' '

' '

O H O O O O O H O I

O I O I

   

Kẻ HK O O' K ta có KH bán kính đáy mặt nón

Ta có ' 3 3

' 4

HK O H

HK OI r

OI  O I    

Diện tích S cần tính

2

3 3

8 32

r r

(102)

Câu 21: Cho hai hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh X hình vng tâm hình vng cịn lại (như hình vẽ) Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay mơ hình xung quanh trục XY

A  

125

6

V





 B  

125 2 12

V







C  

125 24

V





 D  

125 2

4

V







Cách :

Khối tròn xoay gồm phần:

Phần 1: khối trụ có chiều cao 5, bán kính đáy

bằng

2 tích

2

1

5 125

5

2

V      

 

Phần 2: khối nón có chiều cao bán kính đáy

2 tích

2

1 5 125

3 2 12

V        

 

 

Phần 3: khối nón cụt tích

  2  

3

5 125 2

1 5 5

3 2 2 24

V

 

 

     

 

         

 

    

 

Vậy thể tích khối trịn xoay

   

1

125 2 125

125 125

4 12 24 24

V V V V

 

   

      

Cách :

Thể tích hình trụđược tạo thành từ hình vng ABCD

X

(103)

2 125 T

V R h 

Thể tích khối trịn xoay tạo thành từ hình vuông XEYF

2

2 125

3

N

V  R h 

Thể tích khối trịn xoay tạo thành từ tam giác XDC

2

1 125

3 24

N

V   R h 

Thể tích cần tìm 2 125

24

T N N

V V V V  



   

Câu 22: Cho hình nón có độdài đường kính đáy 2R, độ dài đường sinh R 17 hình trụ có chiều

cao đường kính đáy 2R, lồng vào hình vẽ

Tính thể tích phần khối trụ khơng giao với khối nón

A

12R B

3

3R C

3

3R D

3 6R

Ta có

2 2

17 ,

2

R

SI  SB IB  R R  RSE  R EF 

Thể tích khối nón lớn (có đường cao SI)

2

1

.4 R

3

V  R  R

Thể tích khối nón nhỏ(có đường cao SE)

2

3

1

.2

3

R

V    R R

 

Thể tích phần khối giao giữ khối nón khối trụ

3

3 2

7

V V V V  R

Thể tích khối trụ là V4 R2.2R2R3

Vậy thể tích phần khối trụ khơng giao với khối nón 4 3

V V V  R

(104)

ra 16 dm



Biết mặt khối trụ nằm mặt hình nón, điểm

trên đường tròn đáy lại thuộc đường sinh hình nón (như hình vẽ) khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón Diện tích xung quanh Sxq bình nước là:

A 10

2 xq

S   dm B Sxq 4 10 dm2 C Sxq 4dm2 D

2 xq

S   dm

Xét hình nón: hSO3r, rOB l, SA Xét hình trụ: h12rNQ, r1ON QI

SQI SBO

  1

3

QI SI r

r

BO SO

      Thể tích khối trụ là:

3

1

2 16

2

9

t

r

V r h      r h  l h2r2 2 10 Sxq rl4 10 dm2

Câu 24: (CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI LẦN NĂM 2019)Cho hình thang cân ABCD, AB/ /CD,

AB cm, CD2cm, ADBC 13cm Quay hình thang ABCD xung quanh đường

thẳng AB ta khối tròn xoay tích

A  3

18 cm B  3

30 cm C  3

24 cm D  3

12 cm

I M

P

N

Q

S

B

(105)

Kẻ DHAB, CK AB với H K, AB Suy HK2cm

Do ABCD hình thang cân, AB6cm, CD2cm nên AHBK 2cm

Do ADH, BCK vuông nên DHCK 13 4 3cm

Đoạn DH quay xung quanh AB tạo thành hình trịn C1 tâm H, bán kính R1HD3cm

Đoạn CK quay xung quanh AB tạo thành hình trịn C2 tâm K, bán kính R2 CK 3cm Gọi  V1 thể tích khối nón đỉnh A, đáy hình trịn C1

Gọi  V2 thể tích khối nón đỉnh B, đáy hình trịn C2

Gọi  V3 thể tích khối trụ chiều cao HK hai đáy hai hình trịn C1, C2

Ta có: 1 2 22  3

3

V V   DH AH     cm

 

2

3 18

V  DH HK   cm

Khi hình thang ABCD quay xung quanh đường thẳng AB ta khối trịn xoay

tích là: V V1V2V3 6612 30cm3

Câu 25: Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối  H như hình vẽ bên Biết thiết diện hình elip có độ dài trục lớn 8, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy

(106)

A V(H) 192 B V(H) 275 C V(H) 704 D V(H) 176

Đường kính đáy khối trụ 10262 8

Bán kính đáy khối trụ R4

Thể tích khối trụ H1 V1.R h2 1.4 1282   Thể tích khối trụ H2 V2 .R h2 2 .4 62 96

Thể tích H 1 2 128 1.96 176

2

V V  V     

Câu 26: (Chuyên Hưng n Lần 3)Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi N điểm thuộc cạnh AD

sao cho AN 2ND Đường thẳng qua N vng góc với BN cắt BC K Tính thể tích V

của khối trịn xoay tạo thành quay tứ giác ANKB quanh trục BK

A

6

V  a B

14

V  a C

7

V  a D 14

9

V  a

a

K

C D

A B

(107)

Ta có

2

2 13

9

a a NB a  

ABN

 đồng dạng NKB suy

2

13 13

9

AN NB NB a a

KB

NB  KB   AN  a 

Gọi M điểm BC cho BM 2MC

Suy ;

3

a a

BM  MK 

Vậy 2.2 2.3

3

a a

V a  a  a

Câu 27: (THTT số 3) Một khối nón làm chất liệu khơng thấm nước, có khối lượng riêng lớn hơ

khối lượng riêng nước, có đường kính đáy a chiều cao 2, đặt

đáy cốc hình trụ bán kính đáy a hình vẽ, cho đáy khối nón tiếp xúc với đáy cốc hình trụ Đổnước vào cốc hình trụđến mực nước đạt đến độ cao lấy khối nón Hãy tính độ cao nước cốc sau lấy khối nón

A 11, 37 B 11 C 6 D 37

2



+) Gọi V R h, , thể tích khối trụ (khối chứa phần nước cốc), bán kính đáy cốc

và chiều cao lượng nước cốc chưa lấy khối nón Suy : V R h2 (1) +) Gọi V R h1, 1, 1 thể tích, bán kính đáy chiều cao khối nón

Suy : 12

1

V  R h (2)

a P

M K

C D

A B

(108)

+) Gọi V h2, 2 thể tích lượng nước đổ vào độ cao nước cốc sau lấy khối nón Suy : V2 R h2 2(3)

Từ (1),(2) (3) ta có :

2

1

2 2 2

1 1 1 2

1

1 3

3

R h R h V V V R h R h R h R h R h R h h

R

   

          (4)

Thay , , 12

2

a

Ra R  h h vào (4) ta có :

1

12 12 11

3

h   

Câu 28: Cho tam giác đều hình vng có cạnh xếp chồng lên cho

đỉnh tam giác trùng với tâm hình vng, trục tam giác trùng với trục hình vng (như hình vẽ) Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình cho quay quanh trục AB

A 136 24

 

B 48 3

 

C 128 24

 

D 144 24

 

Khi xoay quanh trục AB thì:

Phần hình vng phía trở thành lăng trụ có bán kính R = 2, chiều cao h =

 V12 42 16

Phần trở thành hình nón cụt với

 

2 2

hHK AKAH     ; R2

' 2

'

2 3 3

R AH R

R

R  AK     

Áp dụng  2  24

' '

1

3 h R R

V    RR     

 

h R'

R H

C A

(109)

Vậy 1 2 24 136

9

V V V    

 

Câu 29: Cho hình phẳng  H mơ tả hình vẽ Tính thể tích V vật thể trịn xoay

được tạo quay hình phẳng  H quanh cạnh AB

A 772

 

V cm B 799

 

V cm C V 254  cm3 D 826

 

V cm

Lời giải

Vật thể tròn xoay tạo gồm hai phần:

1

V phần hình trụ trịn xoay quay hình gấp khúc ODCB quanh trục AB tạo hình trụ có

chiều cao h6cm; bán kính đáy R17cm

2

V phần hình trụ trịn xoay quay hình gấp khúc AFEO quanh trục AB tạo hình nón cụt có chiều cao h 1cm; bán kính đáy lớnR4cm; bán kính đáy bé r 3cm

Khi thể tích khối trịn xoay là:

   

2 2 2

1

.1 772

.49.5 4.3

3 3

h

V V V R h  R r R r       cm

Chọn A

1cm

6cm

7cm

4cm 3cm

3cm

A

E O

B C

D F

A

7 cm 6 cm

3 cm

5 cm

B C

E F

(110)

Câu 30: (Thuan-Thanh-Bac-Ninh)Một khối đá có hình khối cầu có bán kính R, người thợ thủ

công mỹ nghệ cần cắt gọt viên đá thành viên đá cảnh có hình dạng khối trụ Tính thể tích lớn viên đá cảnh sau hồn thiện?

A

3

4 R



B

3

4 R



C

3

4 R



D

3

3 R 12



Gọi chiều cao viên đá cảnh hình trụ h2x, 0xR

 bán kính đáy khối trụ là: R2x

  2  3

V  R x 2x 2 R xx

 2 R2 R

V ' R 3x x x

3

        

Lập bảng biến thiên hàm số V khoảng 0; R  ta

3

max

R 3R

V V

3

 

  

 

Câu 31: (THĂNG LONG HN LẦN NĂM 2019) Cho mặt cầu  S có bán kính Trong tất khối trụ nội tiếp mặt cầu  S (hai đáy khối trụ thiết diện hình cầu cắt hai mặt phẳng song song), khối trụ tích lớn ?

A 3

2



B 4 C 3 D 4

3



Gọi bán kính mặt cầu R chiều cao khối trụ h2x0

Suy bán kính đáy trụ r R2x2 Thể tích khối trụ V r h2 2R2x2x

O

R x

I

'

I

'

M

M r

O

R x

I

'

I

'

M

(111)

Theo BĐT Cauchy ta có    

3

2 2 2 6

2

2 2 2 2 16

2 2

3 27

R x x R

V   R x x        

 

 

Suy

3

4

9

R

V   Đẳng thức xảy 2

2

3

R

R x  x  x

Vậy

3

4

max

9

R

V   Với R  maxV 4

Câu 32: Một hình trụ có thểtích V khơng đổi Tính mối quan hệ bán kính đáy chiều cao hình trụ

sao cho diện tích tồn phần đạt giá trị nhỏ

A

2

h

R B

3

h

R C

5

h

R D

4

h

R

Lời giải

Gọi R h bán kính đáy chiều cao hình trụ Ta có: V R h2 (không đổi)

 

2

day

2 2

tp xq

S S  S  Rh R  RhR 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho sốdương,

Ta có: 33 . .

2 2

Rh Rh Rh Rh

R R

  

4 2

2 3 3

2

3

4

R h V Rh R



   

 

2

3

4 tp

V

S 



  (hằng số)

Do đó: S tồn phần đạt giá trị nhỏ

2

Rh h

R R

   

Chọn A

Câu 33: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI)Cho hình nón có bán kính đáy chiều cao 6, khối trụ có bán kính đáy thay đổi nội tiếp khối nón cho (như hình vẽ) Thể tích lớn khối trụ

A 6 B 10 C 4 D 8

h

R O

(112)

Gọi bán kính khối trụ x0x3, chiều cao khối trụ hOO0h6

Khi thể tích khối trụ là: V x h2

Ta có: SO N đồng dạng với SOB nên có 6

3

O N SO x h

h x

OB SO

  

     

Suy 2   3

6

V x hx  x  x  x

Xét hàm f x 6x22 , 0x3  x3

 

12

f x  x x

   

 

0

2

x l f x

x n

 

   

 

Do V lớn hàm f x  đạt giá trị lớn

Vậy thể tích khối trụ lớn V 8 bán kính khối trụ

Câu 34: (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019)Cho hai mặt phẳng ( )P ( )Q song song với cắt khối cầu tâm O bán kính R tạo thành hai hình trịn (C1) (C2) bán kính Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm hai hình trịn, đáy trùng với hình trịn cịn lại Biết diện tích xung quanh hình nón lớn nhất, thể tích khối trụ có hai đáy hai

hình trịn (C1) (C2)

A.

3

4

9

R 

B.

3

2

9

R 

C

3

R 

D.

3

4

3

R 

N M

B A

O'

O S

8

-+ 0

2 3

0

f(x) f '(x)

(113)

Gọi r h l, , bán kính đáy, chiều cao đường sinh hình nón I I O1, 2, tâm hai đường tròn (C1), (C2) mặt cầu

Vì hai đường trịn (C1), (C2)có bán kính nên dễ dàng suy ra: 1 2

h

OI OI 

Ta có

2

2 2

4

h h

r R   l h r  R 

Diện tích xung quanh hình nón

   

2 2

2 2 2

12

4 4 3

xq

h h R

S rl  R  R    R  h R  h  

xq

S lớn

2

R



Dấu "" xảy 12 2

R R  h  R  h h

6

R r

 

Mà bán kính đáy chiều cao hình nón bán kính đáy chiều cao hình trụ Vậy thể tích hình trụ

2

9

R R R

V  r h  

Câu 35: Trong số hình trụ có diện tích tồn phần S bán kính R chiều cao h khối trụ tích lớn là:

A ;

2 2

S S

R h

 

  B ;

4

S S

R h

 

 

C ;

3

S S

R h

 

  D ;

6

S S

R h

 

 

Lời giải

Gọi thể tích khối trụ V , diện tích tồn phần hình trụ S Ta có: S S2daySxq 2R22Rh Từ suy ra:

2

2 2 3

2

3

2 2

Cauchy

S S V V V V

R Rh R R

R R R

             

hay

3

2

2 27

4 54

V S S

V

  

 

   

(114)

Vậy

3

max

54

S V



 Dấu “=” xảy 

2

2 2

V R h Rh R

R R



 

   hay h2R

Khi

6

S S R R



   2

6

S h R



 

Chọn D

Câu 36: Cho hình cầu tâm O, đường kính 2R hình trụ trịn xoay nội tiếp hình cầu Hãy tìm kích

thước hình trụ có thểtích đạt giá trị lớn

A

3

R

r B

3

R

r C

3

R

r D

3

R r

Lời giải

Gọi h r chiều cao bán kính đáy hình trụ Bài tốn quy việc tính h r phụ thuộc theo R hình chữ nhật ABCD nội tiếp hình trịn (O, R) thay đổi

V r hđạt giá trị

lớn

Ta có: AC2  AB2BC2 4R2 4r2h2

 

2

1

0

4

3

'

4

V R h h h R h h R

R

V h R h

 



   

         

   

 

     

 

Vậy max 3

9

R V V  R h

Lúc

2

4 3

R R R

r R    r

Chọn A

Câu 37: Cho hình vẽ bên Tam giác SOA vng O có MN/ /SO với M N, nằm cạnh

(115)

A

2

h

MN  B

3

h

MN C

4

h

MN D

6

h

MN 

Lời giải

Ta thấy quay quanh trục SO tạo nên khối trụ nằm khối chóp Khi thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật MNPQ Ta có hình sau:

Ta có SOh; OAR Khi đặt OI MN x

Theo định lí Thales ta có IM SI IM OA SI R h. x

OA SO SO h



    Thể tích khối trụ

 

2

R

V IM IH x h x h

 

  

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

   

3

2 2

2

3

x h x x hx     

 

Vậy

2

4 27

R h

V   Dấu '''' xảy

h

x Hay

3

h

MN 

Chọn B

Câu 38: Cho nửa đường trịn đường kính AB2R, hai điểm C D, di động nửa đường trịn cho

CD AB Kí hiệu CD x, tìm x để vật thể trịn xoay tạo thành quay hình thang cân

ACDB quanh trục AB lớn

A.  13 1

3

R x



 B.

3

R

x C. 1 13

15

R x



 D.

3

R

x

Lời giải

K H

D C

B

A O

A

C H

C

D K

H

A O

S

M Q

P N

B

(116)

Chọn A

Kí hiệu COD 2 COADOB90o H K, hình chiếu vng góc ,

C D lên AB

Ta có CDHK 2 sinR 

2 sin

sin , sin

2

HK R R

OH OK  R  AH KB   RR 

Khi quay hình thang cân ACDB quanh trục AB ta khối trịn xoay tích tổng thể tích khối trụ có

2 2 2

sin  cos , sin

       

r CH OC OH R R R h HK R

và thể tích hai khối nón có rCH Rcos , hAH RR.sin

Vì  

2

2 2 cos sin

.cos sin

3

R R R

V R  R     

     

3

3 sin sin

2 cos 3.sin sin 35 13 13

3 81

R R

R

  

   



 

  

  

Dấu đạt sin 13 sin  13 1

6

R

CD R

       

* Chú ý Khảo sát hàm số    

2 2 ( )

3

x x

f x    đoạn 0; , ta có 

 0;1

13 35 13 13

max ( )

6 81

f x  f   

 

 

Câu 39: (SỞGDĐT KIÊN GIANG 2019)Cho hình cầu nội tiếp hình nón trịn xoay có góc ởđỉnh 2 , bán kính đáy R chiều cao h Một hình trụ ngoại tiếp hình cầu có đáy nằm mặt phẳng đáy hình nón (tham khảo hình vẽ) Gọi V V1, 2 thể tích hình nón hình trụ, biết V1V2 Gọi M giá trị lớn tỉ số

1

V

V Giá trị biểu

(117)

A (40;60) B (60;80) C (20; 40) D (0; 20)

Gọi r bán kính hình cầu, r bán kính đường trịn đáy hình trụđã cho, chiều cao hình trụ 2r

Ta có 3 2 2

V R h V r

V R h

V r r

          

Xét mặt cắt qua trục hình nón tam giác cân ABC có diện tích 2

S  h RRh

Tam giác cân có chiều dài cạnh bên

sin

R AB AC



 

Mặt khác áp dụng công thức S  pr với p nửa chu vi tam giác, r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ( bán kính mặt cầu cho)

Ta có 2

2 sin R p R           sin

sin sin

R h

S Rh R r r 

             Khi

3 3

2

2 3

1

6 sin 6sin

(sin 1) (sin 1)

V h h

V R h R

                    2

3

6sin sin (1 sin ) 6sin (1 sin )

.cot

sin sin sin

                

Xét hàm số  

 2

6 sin sin

sin

y  



 



Đặt tsin, t0;1 ta có  

 2

6 1 t t y t  

 , t0;1

Ta có  

 3

6

1 t y t      ;

(118)

Suy

M  Vậy 48 25 48.3 25 61

(119)

MẶT CẦU – KHỐI CẦU

A – LÝ THUYẾT CHUNG 1 Mặt cầu

Cho điểm cốđịnh số thực dương

Tập hợp tất điểm M không gian cách I khoảng R gọi mặt cầu tâm I, bán kính R

Kí hiệu: Khi đó:

2 Vịtrí tương đối mặt cầu mặt phẳng

Cho mặt cầu mặt phẳng Gọi H hình chiếu vng góc I lên

là khoảng cách từ I đến mặt phẳng Khi đó:

Mặt cầu mặt phẳng

khơng có điểm chung

Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu: mặt phẳng tiếp diện mặt cầu H: tiếp điểm.

Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện đường trịn có tâm bán kính

Lưu ý:

Khi mặt phẳng qua tâm I mặt cầu mặt phẳng gọi mặt phẳng kính thiết diện lúc gọi đường trịn lớn

3 Vịtrí tương đối mặt cầu đường thẳng

Cho mặt cầu đường thẳng Gọi H hình chiếu I lên Khi đó:

khơng cắt mặt cầu tiếp xúc với mặt cầu : Tiếp tuyến

:

H tiếp điểm.

cắt mặt cầu hai

điểm phân biệt

I R

  S I R;

   

S I R;  M IM R

 

S I R;  P  P d IH

 P

d R d R d R

 P I

r R2 IH 2

 

 P  P

 

S I R;  

IH R IH R IH R

 

  S

(120)

Lưu ý:

Trong trường hợp cắt điểm A B, bán kính R tính sau:

4 MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ CƠNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU 4.1 Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

4.1 Các khái niệm

Trục đa giác đáy: đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy vng góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy Bất kì điểm nằm trục đa giác cách đỉnh đa giác

Đường trung trực đoạn thẳng: đường thẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng

Bất kì điểm nằm đường trung trực cách hai đầu mút đoạn thẳng

Mặt trung trực đoạn thẳng: mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng

Bất kì điểm nằm mặt trung trực cách hai đầu mút đoạn thẳng 4.2 Tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: điểm cách đỉnh hình chóp Hay nói cách khác, giao điểm I trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy mặt phẳng trung trực cạnh

bên hình chóp

Bán kính: khoảng cách từ I đến đỉnh hình chóp

4.3 Cách xác định tâm bán kính mặtcầu số hình đa diện 4.3.1 Hình hộp chữ nhật, hình lập phương

Tâm: trùng với tâm đối xứng hình hộp chữ nhật (hình lập

  S  S

 

d I IH

AB

R IH AH IH

2

2 2

;

  

 

  

   

  

 

 



(121)

phương) Tâm , trung điểm

Bán kính: nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương)

Bán kính:

4.3.2 Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường trịn

Xét hình lăng trụ đứng , có

đáy nội tiếp đường trịn

Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có: Tâm: với trung điểm

Bán kính:

4.3.3 Hình chóp có đỉnh nhìn đoạn thẳng nối đỉnh cịn lại góc vng

Hình chóp có SACSBC900

Tâm: trung điểm

Bán kính:

Hình chóp có

  

90

SACSBCSDC

Tâm: trung điểm

Bán kính:

4.3.4 Hình chóp đều

 I AC '

 R AC'

2



n n

A A A A A A A A' ' ' ' n

A A A A1 3

n A A A A' ' ' '

1  O  O '

I I OO '

n

R IA IA IA'

1

   

S ABC

I SC

SC

R IA IB IC

2

   

S ABCD

I SC

SC

R IA IB IC ID

2

(122)

Cho hình chóp

Gọi tâm đáy trục đáy

Trong mặt phẳng xác định cạnh bên, chẳng hạn , ta vẽ đường trung trực cạnh cắt

tại cắt tâm mặt cầu

Bán kính:

Ta có: SMI SOA SM SI

SO SA

∽

     Bán kính:

4.3.5 Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy

Cho hình chóp có cạnh bên SAABC  đáy

nội tiếp đường tròn tâm

Tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp xác định sau:

Từ tâm ngoại tiếp đường trịnđáy, ta vẽ đường thẳng

vng góc với

Trong , ta dựng đường trung trực cạnh , cắt

tại , cắt tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

và bán kính

Tìm bán kính

Ta có: hình chữ nhật

Xét vng có:

4.3.6 Hình chóp khác Dựng trục đáy

S ABC

O SO

SO  

mp SAO SA 

SA M SO I I

SM SA SA

R IS IA IB IC

SO SO

2

      

S ABC

ABC O

S ABC

O d

 

mp ABC O  

mp d SA,  SA

SA M d I I

R IA IB IC IS 

MIOB MAI

 M

SA

R AI MI MA AO

2

2 2

2  

      

 

(123)

Dựng mặt phẳng trung trực cạnh bên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bán kính: khoảng cách từ đến đỉnh hình chóp 4.3.7 Đường trịn ngoại tiếp số đa giác thường gặp

Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục mặt phẳng đáy, đường thẳng vng góc với mặt phẳng đáy tâm O đường tròn ngoại tiếp đáy Do đó, việc xác định tâm ngoại O yếu tố quan trọng toán

5.1 Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Cho hình chóp (thoả mãn điều kiện tồn mặt cầu ngoại tiếp) Thông thường, đểxác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực theo hai bước:

Bước 1:

Bước 2:

Lập mặt phẳng trung trực cạnh bên

       I  I

I

n S A A A 1 2



( )



H O I

D C B

A

S

∆vuông: O trung điểm cạnh huyền

O

Hình vng: O giao

điểm đường chéo O

Hình chữ nhật: O giao điểm hai đường chéo

O O

∆đều: O giao điểm đường trung tuyến (trọng tâm)

∆thường: O giao điểm hai đường trung trực hai cạnh ∆

(124)

Lúc

Tâm O mặt cầu:

Bán kính: Tuỳ vào trường hợp

5.2 Kỹnăng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy 5.2.1 Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

Định nghĩa

Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy vng góc với mặt phẳng đáy Tính chất

Suy ra:

Các bước xác định trục Bước 1:

Xác định tâm H đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Bước 2:

Qua H dựng vng góc với mặt phẳng đáy Một số trường hợp đặc biệt

Đáy tam giác vuông

Đáy tam giác

Đáy tam giác thường

  mp() O

  

 

R SA SO

M : MA MB MC

    

MA MB MC  M  



H M

C B

A

H

A

B C



C B

A H

B

A

C H

(125)

5.2.2 Kỹnăng tam giác đồng dạng

đồng dạng với

5.2.3 Nhận xét quan trọng

trục đường tròn ngoại tiếp

5.3 Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện

Cho hình chóp (thõa mãn điều kiện tồn mặt cầu ngoại tiếp) Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực theo hai bước:

Bước 1:

Bước 2:

Xác định trục d đường tròn ngoại tiếp mặt bên (dễ xác

định) khối chóp

Lúc đó:

Tâm I mặt cầu:

Bk: Tuỳ vào trường hợp

5.4 Tổng kết dạng tìm tâm bán kính mặt cầu 5.4.1 Dạng

SMO

 SIA SO SM

SA SI

  

A M

I O

S

MA MB MC

M S SM

SA SB SC

, :   

  

 

 

ABC 

n

S A A A 1 2



 

d I

  

  R IA IS

R I

Δ

D

d S

A

B

(126)

Cạnh bên vng góc đáy ABC900 tâm trung điểm

5.4.2 Dạng

Cạnh bên vng góc đáy bất kểđáy hình gì, cần tìm bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy , :

( : nửa chu vi)

Nếu vng thì: 1 2 2

4 D

R  AB AC AS

Đáy hình vng cạnh

đáy tam giác cạnh

5.4.3 Dạng

Chóp có cạnh bên nhau: :

hình vng, hình chữ nhật, giao hai

đường chéo

vng, trung điểm cạnh huyền

đều, trọng tâm, trực tâm

5.4.4 Dạng

SA R SC

2



SC

SA

D R

D SA

R R

2

4

 

   

D

abc R

p p a p b p c



  

p

 ABC A

a RD a

2



a RD a

3



S

A

B

C

O I K

SASB SC SD SA

R

SO

2 

ABCD O

ABC

 O

ABC

 O

S

A D

B C

S S

A

B

C A D

(127)

Hai mặt phẳng vng góc với có

giao tuyến Khi ta gọi bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

5.4.5 Dạng

Chóp có đường cao , tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Khi ta giải phương trình:

Với giá trị tìm ta có:

5.4.6 Dạng 6: Bán kính mặt cầu nội tiếp:

IV - TỔNG HỢP CÁC CƠNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRỊN XOAY 1 Chỏm cầu

2 Hình trụ cụt

3 Hình nêm loại 1

4 Hình nêm loại 2

SAB ABC

AB R R1, 2

SAB ABC

AB

R R R

2

2 2

1 4

  

O

K S

A

B

C J

I

S.ABCD SH O

SH x OH x RD

2 2 2 2

    x R2 x2 RD2

tp V r

S



 

xq

S Rh r h

h

V h R h h r

2

2 2

2

3

 

   



 



  

 

 

 

 R

r h

 

xq

S R h h

h h

V R

1

2

 

  



   

  

  

 



h2

h1

R

V 2R3tan

3 

(128)

5 Parabol bậc hai-Paraboloid trịn xoay

6 Diện tích Elip Thể tích khối trịn xoay sinh Elip

7 Diện tích hình vành khăn

8 Thể tích hình xuyến (phao)

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

DẠNG 1: MẶT CẦU NGOẠI TIẾP, NỘI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN

Câu 1: Cho hình chóp S ABC có SAABC, AB1, AC2 BAC60  Gọi M, N hình chiếu A SB, SC Tính bán kính R mặt cầu qua điểm A, B, C, M, N

V R3tan

2





 

   

 

parabol

tru

S x a

S Rh

S h R

V R h V

3 3

2

4 '

;

1

2

  

 

      

  

 

  



 



 

R h R

q elip

xoay

x

uanh a

qua oay nh b

S ab

V ab

V a b

2

4



  

   

 



 

 

b a b a

 

S R2 r2 

 

R r

R r R r

V

2

      

    

    R

(129)

A R B

3

R C

R D R1

*Gọi K trung điểm ACsuy :AK ABKC 1 *Lại có BAC 60  ABK 60 ; KBC 30 ABC 90 1 

*Theo giả thiêt ANC90 2 

* Chứng minh AMC90 3 

Thật vậy, ta có:

     

 

;

BC SA BC AB BC SAB SBC SAB AM SB AM SBC AM MC

     

    

Từ      1 ; ; suy điểm A, B, C, M, N nội tiếp đường trịn tâm K, bán kính

1

KAKBKCKM KN  AC

Câu 2: (Chuyên Hưng n Lần 3) Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình chữ nhật tâm I cạnh

AB a, BC 4a Hình chiếu S mặt phẳng ABCD trung điểm ID Biết SB tạo với mặt phẳng ABCD góc 45 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

A 25 2 a



B 125

4 a



C 125

2 a



D 4a2

(130)

Gọi E trung điểm ID, F trung điểm SB Trong mặt phẳng SBD, vẽ IT song song với SE cắt EF T

Ta có SEABCD, suy SBE SB ABC; D45 Suy SBE vuông cân E Suy EF trung trực SB Suy TSTB (1)

Ta có IT SE , suy IT ABCD Suy IT trục đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật

ABCD Suy TA TB TCTD (2)

Từ (1) (2) suy T tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

Do ABCD hình chữ nhật nên 2

5

BD AB BC  a, suy

2

IBID a

Do E trung điểm ID nên

2

IE ID a

BEF

 vng F có EBF 45 nên BEF vng cân F

EIT

 vuông I có IET 45 nên EIT vng cân I Suy

IT IE a

Do BIT vuông I nên 2 5

4

TB IB IT  a

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD 125

4

S  TB   a

Câu 3: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc đỉnh S

trên mặt phẳng ABC trung điểm H cạnh BC Góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC 600 Gọi G trọng tâm tam giác SAC, R bán kính mặt cầu có tâm G

và tiếp xúc với mặt phẳng SAB Đẳng thức sau sai?

A Rd G SAB ,  B 3 13R2SH C

2

4 39 ABC

R S

 D R 13

a 

(131)

Ta có    

60 SA ABC, SA HA, SAH

Tam giác ABC cạnh a nên

2

a AH 

Trong tam giác vng SHA, ta có



.tan

2

a

SH AH SAH 

Vì mặt cầu có tâm G tiếp xúc với SAB

nên bán kính mặt cầu Rd G SAB ,  Ta có

     

, , ,

3

d G SAB  d C SAB  d H SAB 

Gọi M E, trung điểm AB MB

Suy 3

2

CM AB a CM

   

  

1 3

2

HE AB a HE CM

   

 

 

Gọi K hình chiếu vng góc H SE, suy HK SE  1

Ta có HE AB AB SHE AB HK

AB SH

 

   

 

  

2

Từ  1  2 , suy HKSAB nên d H SAB , HK Trong tam giác vng SHE, ta có

2

2 13

SH HE a HK

SH HE

 



Vậy

3 13

a

R HK 

Chọn D

Câu 4: Cho khối chópS ABCD có SA(ABCD); đáyABCD hình thang vng A B với ;

ABBCa AD2a; SAa Gọi E trung điểm AD Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD

A

2

a

R B Ra C 11

2

a

R D Ra 11

Lời giải

Gọi O trung điểm CD

x x

O P

M

N

O

C

D S

B

A A

B

S

D

C

E I

(132)

Kẻ tia Ox SA Ox(ABCD)

Ta có: O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vuông CDE Ox(ABCD), nên Ox trục đường tròn (CDE)

Gọi M N, trung điểm AB SC,

Ta có: 2

2

a

SM  SA AM  ; 2

a

MC MB BC  nên suy SM MC

Do tam giác SMC cân M, suy MNSC

Dễ thấy (MNO) / /(SAD) CE(SAD) nên suy CE(MNO) CEMN Vậy nên MN (SEC), MN trục đường trịn (SEC)

Gọi I giao điểm MN SO I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD R IC  IO2OC2

Trong

2

a

OC  3

2

SA a

IO NP  (P giao điểm MO AC)

Vậy

2 2

5 11

2 2

a a a

R     

   

 

Chọn C

Câu 5: (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho hình chóp S ABC có

,

3

a

SASBSC  ABa BC  mặt phẳng SAC vng góc với mặt phẳng ABC Tính diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A

2

12

a



B

2

4

a



C

2

3

a



D

2

15

a



Gọi H trung điểm ACSH ABC

Gọi I trung điểm

2

BC a

ABHI  

Tam giác SAB cạnh

2

a

aSI 

2 21

6

a

SH  SI HI 

2 15

2

3

a

AC  AH  SA SH 

B I

C H A

(133)

Gọi ,r rb d bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SAC ABC, Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

2

1 35 21

2 12

SAC b

SAC

a SA SC AC a

S SH AC r

S



    

Theo công thức Hê-rông:

2

6 15

6

ABC d

ABC

a AB AC BC a

S r

S



   

2

2 21

4

b d

AC a

R r r   Vậy:

2

21 12

4

7

mc

a a

S     

 

Câu 6: (SỞ PHÚ THỌ LẦN NĂM 2019)Cho hình chóp S ABC có ACa, AB a 3, 

150

BAC

và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, Nlần lượt hình chiếu vng góc A

SB vàSC Thế tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A BCNM

A

3

4

a



B

3

28

a



C

3

20

a



D

3

44 11

a



Lời giải ChọnB

Trong mp ABC, gọi  ' trung trực đoạn thẳng AB vàAC Gọi I giao điểm  '

Vì AB

SA

   

  

nên  AMB, mà tam giác AMB vuông M suy  trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB

Có I   IAIBIM (1)

Chứng minh tương tựta ' trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ANC

Do IA IN IC (2)

Từ (1) (2) suy IA IB IM  IN  IC I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

A BCNM với bán kính R IA

N

M

I A

C

(134)

Mặt khác tam giácABC, Ilà giao điểm hai đường trung trực nên I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Áp dụng định lý sin tam giác ABC



 

2

0

2 cos

7 2sin150

2 sin sin

BC AB AC AB AC BAC

R IA a

BAC BAC

 

    

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A BCNM :

3

4 28

3

a

V  R  

Cách

Dựng AD đường kính đường trịn ngoại tiếp ABC

Khi ABDACD 900ABBD AC; CD

Ta có: AB BD

SA BD

 



  BDSAB, AM SAB nên BD AM

Mặt khác AM MBAM MBDAM MD hay AMD900

Chứng minh tương tự: AND900

Hình chóp A BCNM có đỉnh nhìn đoạn AD góc vng nên khối cầu ngoại tiếp hình chóp A BCNM có đường kính AD

Vì vậy, bán kính khối cầu ngoại tiếp hình chóp A BCNM bán kính R đường tròn ngoại tiếp ABC

Áp dụng định lý sin tam giác ABC



 

2

0

2 cos

7 2sin150

2sin 2sin

BC AB AC AB AC BAC

R a

BAC BAC

 

   

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A BCNM :

3

4 28

3

a

V  R  

Câu 7: (Hải Hậu Lần1) Trong mặt phẳng  P cho tam giác ABC cạnh cm điểm S di động mặt phẳng  P cho tam giác MAB ln có diện tích 16 cm2, với M trung điểm SC Gọi  S mặt cầu qua bốn đỉnh M A B C, , , Khi thể tích hình chóp S ABC lớn nhất, tính bán kính nhỏ  S :

A 16

9 cm B

4

3 cm C

4 15

3 cm D

4 39

(135)

Gọi H trung điểm cạnh AB , ta có : CH AB

Ta có : d S , ABC2d M , ABCVSABC2VMABC

Mà  ,   1.16  ,   1.16

3 3

MABC CMAB MAB

V V  S d C MAB  d C MAB  CH

Do , VS ABC. lớn d C MAB ; CH hay CH MAB

Gọi J O, tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác MAB tam giác ABC Dựng hai trục hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác MAB tam giác ABC cắt

I Khi I tâm mặt cầu ngoại qua điểm A B C M, , , bán kính mặt cầu qua

bốn điểm A B C M, , ,

2

R OC OI    JH

 

 

Do SMAB 16 ,AB 8 d M AB , 4

Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ , ta có H0 ;0 ; , A4 ; , B4 ;0 , M a ; 3

Đường trung trực đoạn thẳng AM qua điểm 4;

a

N  

  có m

ột véc tơ pháp

tuyến AM a4 ; 3 nên có phương trình

A C

B S

H

M

A C

B M

I

H O

(136)

 4 4 3 3

a

a x   y 

 

2

32 0;

8

a

J  

  

 

2

32

3

a JH 

  

Do

2

min

8 4 15

3 3

R      

   

   

Câu 8: (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần2)Trong khơng gian cho bốn mặt cầu có bán kính 2; 3; 3; (đơn vịđộ dài) đôi tiếp xúc Mặt cầu nhỏ tiếp xúc với bốn mặt cầu nói có bán kính

A

15 B

3

7 C

6

11 D

5

*Gọi A B, tâm hai mặt cầu có bán kính 2; C D, tâm hai mặt cầu có bán kính I tâm mặt cầu cần tìm với bán kính x x 0 *Mặt cầu  I tiếp xúc với bốn mặt cầu tâm A B C D, , ,

3

IA IB x IC ID x

  

  

  



*IAIB I mp P  mặt phẳng trung trực đoạnABvà ICID I mp Q  mặt phẳng trung trực đoạnCD Suy ra: I   P  Q (1)

*Tứ diện ABCD có DADBCACB5 nên gọi M N, trung điểm

AB CDthì MN đường vng góc chung AB CD MN P MN Q Suy MN    P  Q (2) Từ (1) (2) suy IMN

*Xét AIM có IM  IA2AM2  x224 CIN có

 2

2

3

IN  IC CN  x 

Ta có

2 2 2

2 5

4 12

2 4

AC AD CD

MN  AN AM           

   

*Mà IMINMN x22 4 x32 9 12 x24x  12 x26x

   

2 2 2

4 12 12 12 6 11 60 36

x x x x x x x x x x x

              

I

N M

C(3)

D(3)

B(2)

(137)

*Thử lại x 6 l ; 11

x (nhận)

Câu 9: (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ABCD Biết AB a AD, a ASB60 Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

A

2

13

a

S   B

2

13

a

S  C

2

11

a

S  D

2

11

a S  

Gọi I, Jlà tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD tam giác SAB. Mlà trung điểm

AB O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Ta có: JM AB IM AB mp SAB  mp ABCD  nên IM JM, O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nên OI ABCDOI IM ; OJ SABOJ  JM

Do O J M I, , , đồng phẳng tứ giác OJMI hình chữ nhật (do có góc ởđỉnh vng) Gọi ,R Rb bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB

Ta có:

2

2 2 2 2 2

4

b b b

AB RSO SJ OJ  R IM  R IA AM  R IA 

Áp dụng định lý Pytago:

2 2 2

2

4 4

BD AB AD a a

IA      a IAa

Áp dụng định lý sin tam giác SAB: 

2.sin 60

2sin b

AB a a

R

ASB

  



Do đó:

2

2 13

3 12

a a

R a   a 13

4

3

S R a

  

Nhận xét: Bài toán áp dụng một bổđề quan trọng sau:

Xét hình chóp đỉnh S , có mặt bên SAB vng góc với mặt phẳng đáy, mặt phẳng đáy nội tiếp trong đường trịn bán kính R , bán kính md ặt cầu ngoại tiếp tam giác SAB Rb Khi hình chóp nội tiếp mặt cầu có bán kính

2

4

d b

(138)

Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SAa vng góc với đáy ABCD Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng   qua hai điểm A M

đồng thời song song với BD cắt SB SD, E F, Bán kính mặt cầu qua năm điểm , , , ,

S A E M F nhận giá trị sau đây?

A a B a C

2

a

D

2

a Lời giải

Mặt phẳng   song song với BD cắt SB, SD E, F nên EF / /BD SAC. cân A, trung tuyến AM nên AM SC  1

Ta có BD AC BD SAC BD SC

BD SA

 

   

  

Do EFSC  2

Từ    1 , suy SC  SCAE  *

Lại có:

   **

BC AB

BC SAB BC AE BC SA

 

   

  

Từ    * , ** suy AESBCAESB

Tương tự ta có AFSD Do SEA SMA SFA900 nên điểm S A E M F, , , , thuộc mặt cầu tâm I trung điểm SA, bán kính

2

SA a R 

Câu 11: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi K trung điểm AB, M N, hình chiều K lên AD AC Tính theo

a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K CDMN ?

A

4

a

B 3

8

a

C

4

a

D 3

8

a

M F

E

O

C

D A

B

S

(139)

Tứ diện ABCD đều, có độ dài cạnh

Gọi H trọng tâm tam giác ABC BH ACD Gọi E trung điểm AH, suy

 

KE ACD Từ E hạ EN vng góc xuống AC, NAC, suy KN AC

Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NCD OAH

Ta tính 39

12

ON OC OD Dựng đường thẳng d qua O, vng góc với ACD

Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp K MNCD , IF KE F (Với IF đường trung trực KE ) suy OEFI hình chữ nhật

Ta tính được: 1 3

2 12

NE  ;

4

OE ;

6

KE

Đặt OI x ta có

 

2 2 2

2

2 2

IC IO OC x OC

IK IF KF OE KE x

    

 

    

 

Mà ICIK nên

2

2 39

144 16

x    x

 

 

suy

24

x

Vậy

8 mc

R IK 

Câu 12: Cho khối chópS ABC có SA(ABC); tam giác ABC cân A,ABa;BAC120 Gọi ,

H K hình chiếu A lên SB SC, Tính bán kính mặt cầu qua điểm , , , ,

A B C K H

A Ra B Ra

C R 2a D Không tồn mặt cầu

Lời giải

Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC AD đường kính đường trịn ( )I

Tam giác ACD vuông C, suy ra: DC AC

(140)

Ta lại có:

( ( )

AK KC

AK KC AK DC DC KCD

 

 



 



Suy tam giác AKD vuông K, suy ra: IA ID IK 

Tương tựnhư ta có: IA ID IH Vậy IAIBICIK IH ,

do điểm A B C K H, , , , nằm mặt cầu(đpcm)

Bán kính R mặt cầu bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Áp dụng định lý cos ta có: BC AB2AC22AB AC .cos120 a

Áp dụng định lý sin ta có:

sin sin

2

BC BC a

R R a

A   A 

Chọn B

Câu 13: (Chuyên Bắc Giang)Cho hình chóp S ABC có

a

SA , cạnh lại a Bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là:

A 13

a

R B

3

a

R C 13

3

a

R D 13

6

a

R

Cách 1:

Gọi M, Nlần lượt trung điểm BC AD

Ta có: ABC SBC tam giác cạnh a

2

a

AM SM

  

SAM

  tam giác cạnh

a

Gọi F trung điểm AM SF AM  1 Mặt khác ABC AM BC

SBC

 SM BC

 

BC SAM

  BCSF  2 Từ  1  2 SF ABC

O N

F

M

A C

B S

(141)

Gọi E trọng tâm ABC, ABC E tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Qua E kẻđường thẳng  d vng góc với mp ABC 

  d trục đường tròn ngoại tiếp ABC Vì SF ABC d //SF

Mặt khác SAM nên đường thẳng MN đường trung trực đoạn SA Trong mp SAM , gọi O d MN

+ O d  OAOBOC

+ OMN OSOA

Vậy O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC , bán kính 2

ROA OE EA

Trong ABC: 2 3

3 3

a a

AE AM   ,

3

a

EM  AM 

SAM

 MN đường phân giác góc SMA OME30 Xét OME vuông E: tan 30 OE

EM

 

6

a a

OE

  

Vậy

2

2 13

36

a a a R OE EA   

Cách 2:

Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB, E trung điểm SA

SAB

 cân B nên H BE

Vì CACBCS a nên CH (SAB)

 Đường thẳng CH trục đường tròn ngoại tiếp SAB

Gọi M trung điểm CB, qua M dựng đường thẳng  d vng góc với BC

 d CH O

+ O d OBOC

+ OCHOSOAOB

Suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC, bán kính ROC

Ta có CMOCHB CM CO

CH CB

 

2

CM CB CB

CO

CH CH

  

Xét SBE ta có:

2

2 2 13

16

a a BE SB SE  a  

B S

A H

C

E M

(142)

Ta có:

2

1 13 39

2 16

SAB

a a a

S  BE SA 

Bán kính đường trịn ngoại tiếp SAB là:

3

2

4 39 13

4 16 SAB

a

SA SB AB a

BH

S a

  

Xét CHB ta có:

2

2 2

13 13

a a

CH  CB BH  a  

Vậy

2 13 13

CB a a

R CO

a CH

   

Câu 14: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ABC trung điểm H cạnh BC Góc đường thẳng SA mặt phẳng

ABC

60 Gọi G trọng tâm tam giác SAC R, bán kính mặt cầu có tâm G tiếp xúc với mặt phẳng SAB Đẳng thức sau sai?

A Rd G SAB ,  B 3 13R2SH C

2 39 ABC R S

 D R

a 

Lời giải

Ta có 600 SA ABC, SA HA, SAH

Tam giác ABC cạnh a nên

2

a AH 

Trong tam giác vng SHA, ta có



.tan

2

a

SH AH SAH 

Vì mặt cầu có tâm G tiếp xúc với SAB nên bán kính mặt cầu Rd G SAB , 

Ta có ,  ,  , 

3

d G SAB  d C SAB  d H SAB  Gọi M, E trung điểm

,

AB MB

Suy 3

2 CM AB a CM       

1 3

2 HE AB a HE CM        

Gọi K hình chiếu vng góc H lên SE, suy

 1

HK SE

Ta có

   2

HE AB

AB SHE AB HK AB SH         

Từ    1 , HK SAB d H,  ,SABHK Trong tam giác vuông SHE, ta có

2

13

SH HE a HK

SH HE

 



Vậy

(143)

2

3 13

a

R HK 

Chọn D

Câu 15: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, ABa AD, 2a, tam giác SABđều nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M N, trung điểm cạnh

,

AD DC Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S DMN

A R a 102

6 B

a

R 31

4 C

a

R 39

6 D a

R 39

13 Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi I trung điểm MN Suy I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN

d đường thẳng qua I vng góc với mặt đáy

E hình chiếu I lên AB

O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S DMN .K hình chiếu O lên SH

Đặt OI x

Ta có DI 1MN a

2 Suy

a OD ID OI  x

2

16

;

a

SK SH x x KO HI

AM HN a EI

    



 

3

2

d

x K

E I

H N

M

B

A D

C S

(144)

a a a HI  EI HE   

2

2 37

4 16

Suy SO SK KO  a a xx

2

2 49 3

16

Vì O tâm mặt cầu ngoại tiếp nên:

a a

SO DO a x x x a x

a R OD

       

  

2

49 11

3

16

102

Câu 16: Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với đáy, SAa Đáy ABCD hình thang vng

tại A ,

2

B ABBC ADa Gọi E trung điểm AD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD

A

2

a

R B Ra C 114

6

R a D 26

2

a R

Lời giải

Gọi H trung điểm CD d đường thẳng qua H vng góc với đáy Gọi I R tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp

S CDE Suy I thuộc D Đặt IH x Trong mp ASIH kẻ đường thẳng qua I song

song với AH cắt AS K Ta có:

2

2 2

a

ID IH HD x 

 

2 2 2

2 2

2

IS IK KS AH KS

a

AC CH KS a a x

   

      

Suy ra:

 

2 2

2

a a a

x   a   a x x

Vậy bán kính mặt cầu 114

a R

Chọn C

Câu 17: Cho tứ diện S ABC có đáy ABC tam giác vng Avới AB3a, AC4a Hình chiếu

H S trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Biết SA2a, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A 118

Ra B 118

Ra C 118

Ra D Ra 118

a a

R

R x

K

H C

D A

B

E S

(145)

Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Tính r AB AC a

AB AC BC

 

 

Tính AH a

a MH 

Tam giác SAH vuông Hsuy SH  SA2AH2 a

Gọi Mlà trung điểm BCvà  trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC Suy O 

Ta có:

2 2 2

OC OS OM MC SK OK

2

2 25

( 2)

4 4

a a

OM OM a OM a

      

Suy 118

4

ROC  a

Câu 18: Cho hình chóp S ABC có SAABC, ACb, ABc, BAC Gọi B, C hình chiếu vng góc A lên SB, SC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

A BCC B  theo b, c, 

A R2 b2c22bccos  B

2

2 cos

sin

b c bc

R 



 



C

2

2 cos

sin

b c bc

R 



 

 D

2

2 cos

sin

b c bc

R 



 



Gọi M N, trung điểm AB AC Tam giác ABB vng B nên M tâm

đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABB, suy trục tâm đường

tròn

ngoại tiếp tam giác ABB đường trung trực  AB(xét mp ABC)

A

B

C S

M H

A

B

C H

M

H M

S

K

(146)

Tam giác ACC vuông C nên N tâm đường

trịn ngoại tiếp tam giác ACC, suy trục tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACC đường trung trực

1

 AC(xét mp ABC)

Gọi I    1 I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC I cách đếu điểm

, , , B , C

A B C   nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCB C 

Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCB C  R bán kính đường trịn ngoại tiếp

tam giácABC

Ta có

4 ABC

AB AC BC R

S



1

4 .sin

2

c b BC

bc 



2

2 cos 2sin

b c bc  

 



Câu 19: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, ABBC a 3,

 

90

SABSCB khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC A Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a

A

2

S  a B

8

S a C

16

S a D

12

S a

Lời giải

Gọi H hình chiếu S lên (ABC)

Ta có BC SC HC BC

SH BC

 

 

  

Tương tự, AHAB

Và ABC vuông cân B nên ABCH hình vng

Gọi O ACBH O, tâm hình vng Dựng đường thẳng d qua O vng góc với

ABCH, dựng mặt phẳng trung trực SA qua

trung điểm J cắt d I I, tâm mặt cầu ngoại tiếp Ta hoàn tồn có IJ SAIJ / /ABI trung

điểm

SB, hay I dSC

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: 2

3

IJ ; IJ

2

S SBC

AB a r AI  JA  

Do AH/ /SBCd A SBC , d H SBC , HK

( K hình chiếu H lên SC BCSHC HK SBC )

HK a

  tam giác SHC vuông H SH a

Tam giác SHA vuông HSA3a

2

3 12

2 S ABC mc

SA a

JA  r AI a S  r  a

Chọn D

Câu 20: Cho khối chópS ABC có tam giác ABC vuông B, biết AB1;AC Gọi M trung

điểm BC, biết SM (ABC) Tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SMABvàb

SMACbằng 15 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABC là:

J I

O

B H

A

C S

(147)

A 21

4



B 20 C 25

4



D 4 Lời giải

Dễ kiểm tra BC2a tam giác MAB

đều cạnh a Đặt SM h

Gọi R R1, 2 R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình SMAB, SMAC

S ABC

Gọi r r1, 2 r bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB, MAC

ABC

Ta có:

3

r  2.sin120

AC

r  



Vì SA(MAB), SA(MAC) nên dễ kiểm tra

được:

2

1

3

2 4

h h

R    r  

 

2 2

2

h h

R    r  

 

Theo giả thiết tổng diện tích mặt cầu thì: 4R12R2215

Suy ra:

2

3 15

1

4 4

h h

    Từđây tìm h2

Dựng trung trực SC, cắt SM I I tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC

Dễ kiểm tra SI SM SN SC , suy

4

SN SC

R SI

SM

  

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABC

2

5 25

4

S     

  Chọn C

Câu 21: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A, cạnh huyền BC6cm, cạnh bên tạo với đáy góc 60 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A 48cm2 B 12cm2 C 16cm2 D 24cm2

Gọi H hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABC

Gọi O trung điểm BC

Tam giác ABC vuông A, O trung điểm cạnh huyền BC, suy OAOBOC (1)

Xét tam giác SHA, SHB, SHC có:

N

M A

B

C S

(148)

  

90 60

( ) (2)

SH

SHA SHB SHC SAH SBH SCH

SHA SHB SHC g c g HA HB ch ng

HC u

 

   

 

   



        

Từ  1  2 suy H trùng O Khi SH trục đường trịn ngoại tiếp ABC Trong SAH dựng trung trực SA cắt SH I

Khi IAIBICIS Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

SBC

 cạnh 6cm 3 2.3 3

3

SO SI SO

     

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là:  2  2

4 48

S    cm

Câu 22: Cho tứ diện ABCD có ABC ABD tam giác cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc với Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a

A 5

3a B

2 11

3a C

2

2a D 4

3a

Lời giải

Gọi M Trung điểm AB

Vì Tam giác ADB tam giác ABC tam giác DM AB CM; AB

Do có ABC ABD tam giác cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc với => Góc DMC900

Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABC

G tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABD

=> H,G đồng thời trọng tâm tam giác ABC ABD

2 ;

3 ;

3

H CM CH CM

G DM DG DM



 

   

  

 

KẻĐường vng góc với đáy (ABC) từ H

Đường vng góc với (ABD) từ G

Do hai đường vng góc thuộc (DMC) nên chúng cắt O

=> O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCG ROC

Tam giác ABC

 0 3

.sin 60 ;

2

CM CB a CH a HM a

     

CMTT ta có

6

GM  a

Từđó nhận thấy OGMH hình vng

OH a

 

Tam giác OHC vuông H → Áp dụng định lý Pitago ta có:

  3

.sin 60 ;

2

CM CB  aCH  a HM  a

A C

B D

O

M G

(149)

2

12

OC CH OH  aR

S R a

  

Chọn A

Câu 23: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA3 Mặt phẳng   qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD điểm M, N , P Thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP

A 32

3

V   B 64

3

V   . C 108

3

V   . D 125

6

V   .

Ta có:

 ,    1

CB SAD AM  SAB AM CB   SC AM,   AM SC 2 Từ      



1 ,

90

AM SBC

AM MC AMC

 

    

Chứng minh tương tự ta có APC90

Có AN SCANC90

Ta có: AMCAPCAPC 90

 khối cầu đường kính AC khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP

Bán kính cầu

2

AC

r 

Thể tích cầu: 32

3

V  r  

Câu 24: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tập hợp điểm Msao cho

2 2 2

2

MA MB MC MD  a

A Mặt cầu có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính

2

a

B Mặt cầu có tâm trọng tâm tứ diện bán kính

4

a

C Mặt cầu có tâm trọng tâm tứ diện bán kính

2

a

D Đường tròn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính

4

a

Gọi I J, trung điểm AB CD,

Gọi K trung điểm IJ (Lúc này, K

trọng tâm tứ diện)

Áp dụng định lý đường trung tuyến

tam giác, ta có:

C

A D

B

S

M

(150)

2

2 2

2

2 2

2

AB a

MA MB MI MI

CD a

MC MD MJ MJ

                  

2 2 2 2

2

MA MB MC MD MI MJ a

       2 2 2 IJ MK a         Ta có:

2 2 2

2

2 4

IC ID CD a a a a

IJ    IC     

 

2

2 2 2

4

2

a

MA MB MC MD MK

     

Do đó:

2

2 2 2 2

2

a a

MA MB MC MD  a  MK   a MK 

Vậy tập hợp điểm Mthoả mãn hệ thức đề mặt cầu tâm K, bán kính

4

a

Câu 25: Cho lăng trụ ABC A B C    có ABAC a BC,  3a Cạnh bên AA 2a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB C C 

A a B 2a C 5a D 3a

Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB C C  tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụđứng cho

Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Đường thẳng qua O vng góc với ABC cắt mặt phẳng trung trực AA I.Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp

Mặt khác 

2 2

1 cos

2

AB AC BC

A

AB AC

 

 

Ta có: 0

2 sinA sin120

ABC

BC a

R   a

2 2

2

RIA OI OA  a a a

Câu 26: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a Mặt phẳng AB C' ' tạo với mặt đáy góc

60 điểm G trọng tâm tam giác ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G A B C ' ' ' bằng:

A 85 108

a

B 3

2

a

C 3

4

a

D 31 36

a Lời giải

Gọi M trung điểm B C' ', ta có

    

0

60  AB C' ' , A B C' ' '  AM A M, ' AMA'

Trong AA M' , có '

2

(151)



' ' tan '

2

a

AA A M AMA 

Gọi G' trọng tâm tam giác A B C' ' ', suy G' tâm đường tròn ngoại tiếp ' ' '

A B C



Vì lặng trụđứng nên GG'A B C' ' '

Do GG' trục tam giác A B C' ' '

Trong mặt phẳng GC G' ', kẻ trung trực d đoạn thẳng GC' cắt GG' I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G A B C ' ' ', bán kính RGI

Ta có ' ' '

'

GP GG

GPI GG C

GI GC

 ÿ   

2 2

' ' ' ' ' 31

' ' ' 36

GP GC GC GG G C a

R GI

GG GG GG



     

Chọn D

Câu 27: (Liên Trường Nghệ An) Cho hình chópS ABC có đáy ABClà tam giác vuông cân B,

3

ABBC a , SAB SCB90 Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCB 2a Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A 72 18a3 B 18 18a3 C 6 18a3 D 24 18a3

Ta ghép hình chóp S ABC vào hình hộp đứng SRQP DABC Khi tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình hộp đứng tâm hình chóp S ABC

Từ giả thiết ABClà tam giác vuông cân B nên đáy hình hộp đứng hình vng

 

 ,   , 

d A SBC  d O SBC  a OH a 3

Xét tam giác vuông OIK có: 2 12 12

OH OI OK  2 2

1 1

3

2

OI a

a

  

 

 

 

3

OI a

 

Suy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC RIB OI2OB2

2

9

2

OI a  a 

    

 

 

18

a



Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC 3

V  R  183

3 a

(152)

Câu 28: (Chuyên Phan Bội Châu Lần2)Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB tam giác SCD vuông cân tạiS Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

A 7

3a B

2

a

 C 8

3a D

2 3a

Gọi M trung điểm AB Nlà trung điểm CD, G trọng tâm tam giác SAB Ta có

2

a

SN  ,

2

a

SM  ,

3

a

SG , MN a

Áp dụng định lý Pitago đảo suy tam giác SMN vuông S

Dựng từ Gtrục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB, dựng từ N trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD Hai trục đường tròn cắt I

Vì tứ giác SGINcó góc vng suy tứ giác SGINlà hình chữ nhật Suy bán kính mặt cầu ngoại tiếp S ABCD : R2 = IS2 =

2 2

3

a a

   

 

         

2 12a

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp :

3

S  R  a

Câu 29: (Sở Hưng Yên Lần1)Cho tứ diện ABCD có cạnh a Thể tích khối cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện ABCD

A

3 24

a

B

3

24

a 

C

3 2

9

a

D

3

8

a 

(153)

Gọi M , N, P , Q , R , S trung điểm cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD

Ta có G trung điểm đoạn MN PQ RS, ,

ACD BCD AN BN NAB

       cân N MN  AB Tương tự ta cóMN CD

Ta có:

2

a a a

PQRSMN  AN AM     

 

 

Suy  ,   , CD

2

a

d G AB d G  MN 

Chứng minh tương tự ta có  , AC  , AD  , BD  , BC

a

d G d G d G d G 

Vậy G tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện ABCD

Bán kính mặt cầu

4

a

R Suy thể tích khối cầu

3

4 2

3 24

a a

V  R     

   

Câu 30: (THTT số 3)Gọi r R, bán kính mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp tứ diện ABCD Tính tỉ số R

r ?

A 3 B 4

3 C D

5

+ Gọi cạnh tứ diện a, M N, trung điểm DC AB,

+ Gọi O trọng tâm BCD AO(BCD)

+ Ta gọi NMAO I NM  AB(AMB cân) I tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCD

R IA

 

+ Tâm mặt cầu nội tiếp ABCDcách tất mặt bên, dễ thấy Icũng tâm mặt cầu nội tiếp ABCD  r IO

+ Tính rIO:

Ta có

2

a

BM  AM  ,

6

a

OM  , 2

3

a

OA AM OM 

Xét AMB có MNlà đường phân giác nên:

6

3 6

12

3

6

a a

OI OM OI OM OA OM a

OI

(154)

+ Tính 6

3 12

a a a

RIAAO OI   

+ Vậy R

r 

*Chú ý: + Ta dùng thể tích VABCD 4VIDBC OI  AI + Áp dụng điểm I chia AO thành phần

Câu 31: (Nguyễn Khuyến)Cho hình lăng trụđứng ABC A B C    có đáy ABC tam giác vng A, 3

AB a , BC2a Đường thẳng AC tạo với mặt phẳng BCC B  góc 30 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụđã cho

A

3  a B

6  a C

4  a D

24  a

Trong tam giác ABC, hạđường cao AH AH BB C C  

Khi AC,BB C C  AC HC,  AC H 30 Ta có: AC BC2AC2 a

 AB AC

AH

BC

3

a

sin 30



 

 AH

AC a 3  2

CC  AC  AC a

Gọi O1, O2 trung điểm BC B C 

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC A B C    trung điểm I O O1 2và bán kính mặt cầu

2

  BC R

2

BC CC



2

a



Diện tích mặt cầu cần tính S 4R2 6a2

Câu 32: (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho khối nón có độ lớn góc ởđỉnh



Một khối cầu  S1 nội tiếp khối nón Gọi S2 khối cầu tiếp xúc với tất

đường sinh nón với S1;S3 khối tiếp xúc với tất đường sinh nón với

1; ; n

(155)

1 n

V  ,Vn thể tích khối cầu S1,S2,S3,…,Sn1,Snvà V thể tích khối nón Tính giá trị biểu thức

limV V Vn

T

V   



A 3

5 B

6

13 C

7

9 D

1

Thiết diện qua trục hình nón tam giác cạnh l

Do bán kính đường trịn nội tiếp tam giác bán kính mặt cầu nội tiếp chóp

1

1 3

3

l l

r  

Áp dụng định lí Ta-lét ta AA AH

AB AH

 

 AH HH

AH    3 3 l l l    l AA  

Tương tự ta tìm

3

3 18

r

l l

r    ,

3 ,

3

r

r 

4

3

r

r  ,…,

1 n n

r

r  

3

1

4

V  r ,

3

2

4

3 3

r

V  r     V

  ,  3

1

V  V ,…,

 3 1

1

n n

V   V

Khi T limV1 V2 Vn

V   

    

1 3 3

1 1

1

3 3 3

lim n V V             

 limV S1

V



Đặt

 2  

3 3 3

1 1

1

3 3 3 n

S     

Đây tổng CSN lùi vô hạn với công bội 13

q 

3 27 lim 26 S    

1

27

26 n

V V V V

    

3

27

26

l        3 52l

(156)

2

V  r h

2

1

3 2

l       

3

24

l  

3

6 52

13

24

l T

l  

  

DẠNG 2: CỰC TRỊ VỀ KHỐI CẦU VÀ MẶT TRÒN XOAY

Câu 33: (Hùng Vương Bình Phước) Cho tam giác cạnh , đường thẳng qua vng góc với mặt phẳng Gọi điểm thay đổi đường thẳng , trực tâm tam giác Biết điểm thay đổi đường thẳng điểm nằm

đường tròn Trong số mặt cầu chứa đường trịn , bán kính mặt cầu nhỏ

A B C D

Gọi G trực tâm tam giác ABC Ta có BCSAIBCGH (1)

 

DC SAB DCSB

  SB KC

SB CDK SB GH SB CD

 

   



  (2)

(1), (2) suy GH SBCGHI 90o H thuộc mặt cầu đường kính GI thuộc mặt phẳng cố định SAI nên H thuộc đường tròn  C giao mặt cầu đường kính GI mặt phẳng SAI Dễ

nhận thấy mặt cầu chứa  C , mặt cầu đường kính GI mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, suy

H nằm đường trịn đường kính GI nằm SAI

min

3

2 12

GI a

R

  

Câu 34: Cho mặt cầu bán kính Xét hình chóp tam giác ngoại tiếp mặt cầu Hỏi thể tích nhỏ chúng bao nhiêu?

A minV 8 B minV 4 C minV 9 D minV 16

ABC a d A

ABC S d H

SBC S d H

 C  C

3

a

2

a

12

(157)

Gọi cạnh đáy hình chóp a

Ta có SIJ~SMH

 

   

 

2

2 2 2

2 2

1 12

2

12 12

SI IJ

MH SH IH IJ SH HM SM MH

MH SH SH HM a SH a SH

a

SH a

a

     

       

  



4

2

1 3

1 12

3 ABC 12

a S S SH

a

a a

  

  Ta có

1 12

48

a a  S8

Câu 35: (Chuyên Vinh Lần 3) Trong không gian Oxyz, lấy điểm Ctrên tia Oz sao cho OC1 Trên hai tia Ox Oy, lấy hai điểm A B, thay đổi cho OA OB OC Tìm giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O ABC ?

A

4 B C

6

3 D

6

Lời giải

(158)

Bốn điểm O A B C, , , tạo thành tam diện vng Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O ABC

2 2

2

OA OB OC

R  

Đặt OAa OB; b a b, , 0 Ta có a b  1 b 1 a Vậy

2 2

2

OA OB OC

R  

2 2

1

a b 

  

2

1

2

a  a 



2

1

2

2 6

2

a

  

 

  

  

 

 

Vậy

R  ,

2

ab

Câu 36: (Sở Hải Dương)Cho hai mặt phẳng  P  Q song song với cắt mặt cầu tâm O

bán kính R tạo thành hai đường trịn có bán kính Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm

một hai đường tròn đáy trùng với đường trịn cịn lại Tính khoảng cách  P

 Q để diện tích xung quanh hính nón lớn

A R B R C 2R D 2

3

R

(159)

Ta có

2

2 2

,

4

h h

r R  l  r h  R 

2 2

2 3 4

4 16

xq

h h R

S rl R  R    h  h R

Xét    

2

4

3

0

16

R

f h   h  h R h R

Ta có   3 ,  

4

R

f h   h R h f h  h

Khi f h  đạt giá trị lớn

3

R

h Do Sxq đạt giá trị lớn

3

R

h

Câu 37: (THPT Đặng Thúc Hứa) Cho ba tia Ox, Oy, Oz đơi vng góc với Gọi C điểm cốđịnh Oz, đặt OC 1, điểm A, B thay đổi Ox, Oy cho OA OB OC Tìm giá trị bé bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

A

4 B

6

2 C D

6

Hướng dẫn giải Chọn A

l h r

(160)

Đặt A a ;0; 0, B0; ; 0b  Khơng tính tổng qt, giả sử ,a b0 Vì

OAOBOC ab

Gọi I R;  mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC H hình chiếu I lên mặt phẳng Oxy

Khi đó, H cách ba đỉnh , ,O A B nên tâm đường tròn ngoại tiếp OAB Áp dụng định lý hàm số Sin cho OAB, có



2 2

2 2sin 90 sin

AB AB AB

OH

AOB

AB OA OB a b



  

 

    







2

a b OH  

Gọi M trung điểm SC Vì IOIC nên IOC cân I

 IM OC  IMOH hình chữ nhật

Do

2 2

2

a b R IM OM      

  (Do OH  IM )

 2  

1 1 1

4 4 4

BCS a b

a b 

        

Vậy Min

4

R

Câu 38: (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho hai mặt cầu  S1  S2 đồng tâm I , có bán kính R1 2 R2  10 Xét tứ diện ABCD có hai đỉnh A, B nằm  S1 hai đỉnh C, D nằm  S2 Thể tích lớn khối tứ diện ABCD

A 3 B 7 C 4 D 6

(161)

Ta có  , .sin ,  max  , 

6

ABCD

V  AB CD d AB CD AB CD V  AB CD d AB CD

Khi ABCD Gọi M N, trung điểm AB CD

Đặt AM x CN,  y x0; 10 , y0; 2

2

10 ;

ON x OM y

     ; d AB CD , MN OM ON  10x2  4y2

Khi  , 

6 ABCD

V  AB CD d AB CD 12  10 2

6 x y x y

   

 2

2

10

3xy x y

   

Ta có:  

2

2 10 10

2 4

3

ABCD

x x

V  xy   y  xy     y 

   

 

 

 2     

2 3

18 18 2

3 3

ABCD

V  xy  x  y  xy  xy  xy  xy

      

3

2

9

4 8 2 2

3

9 2 3

ABCD

xy xy

xy

xy xy

V xy xy xy

                    

2

72

3

ABCD ABCD

V   V

      

  Vậy Vmax 6 Dấu "" xảy khi:

2 10 6 2 x y x y xy xy                      

Câu 39: (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ)Cho khối cầu  S có tâm I bán kính R2 3, gọi  P

là mặt phẳng cắt khối cầu  S theo thiết diện hình trịn  C Tính khoảng cách d từ I đến

 P cho khối nón có đỉnh I đáy hình trịn  C tích lớn

A

3

d B d  C d 2 D

2

(162)

Gọi r bán kính khối nón

Áp dụng định lí Pitago ta có:

 2

2 2 3 12

r R d  d  d

   

2

1 1

12 12

3 3

V  r h  d d   dd

Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn hàm số f d 12d d khoảng 0; 3

 

12

f d   d

 

0 12

f d    d   d (vì 0 d 2 3) Bảng biến thiên

Ta suy

0;2 3    

max f d  f 16

Vậy thể tích lớn khối nón 16

3

V   d 2

Câu 40: (Liên Trường Nghệ An) Cho hình cầu tâm O bán kính R5, tiếp xúc với mặt phẳng ( )P Một hình nón trịn xoay có đáy nằm ( )P , có chiều cao h15, có bán kính đáy R Hình cầu hình nón nằm phía mặt phẳng ( )P Người ta cắt hai hình mặt phẳng ( )Q song song với ( )P thu hai thiết diện có tổng diện tích S Gọi x

R d

(163)

khoảng cách ( )P ( )Q , (0x5) Biết S đạt giá trị lớn x a

b (phân số a

b tối giản) Tính giá trị T  a b

A T 17 B T 19 C T 18 D T 23

Nhận thấy ta cắt hình cầu hình nón mặt phẳng ( )Q song song với ( )P hai thiết diện hình trịn

Gọi R R1, 2 bán kính, cịn H E, tâm hai hình trịn thiết diện

Gọi K tiếp điểm mặt cầu với ( )P , I tâm mặt đáy hình nón

Theo giả thiết HK  EI x, 0xR nên H nằm O K, cịn E nằm S I Ta có: R12 R2 OH2 R2 5x2 10xx2

2

15 15

15

R SE x x

R R SI

 

   

(164)

     

2 2 2

1

15

10 60 225 60 225

3 9

x

S R R  xx       x  x   x  x

 

2

75 15 75

9

2 x

S       

 

  Đẳng thức xảy 15

4

x S đạt giá trị lớn 15

4

a x

b

  Vậy T ab19

Câu 41: Khi cắt mặt cầu S O R ,  mặt kính, ta hai nửa mặt cầu hình trịn lớn mặt kính gọi mặt đáy nửa mặt cầu Một hình trụ gọi nội tiếp nửa mặt cầu S O R  ,  đáy hình trụ nằm đáy nửa mặt cầu, đường tròn đáy giao tuyến hình trụ với nửa mặt cầu Biết R1, tính bán kính đáy r chiều cao h hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S O R ,  để khối trụ tích lớn

A 3,

2

r h B 6,

2

r h C 6,

3

r h D 3,

3

r h

Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy có tâm O' có hình chiếu O xuống mặt đáy (O') Suy hình trụ nửa mặt

cầu chung trục đối xứng tâm đáy hình trụ trùng với tâm O nửa mặt cầu.Ta có: h2r2 R2

0 h R1 2

r h

  

Thể tích khối trụ là: V r h2 (1 h ) h  f(h)

2

'(h) (1 h ) h

3

f 

     

h

3 f'(h) + 

f(h)



0 Vậy:

0;1

2

9

MaxV   (đvtt)

3

r 3

h

DẠNG 3: TỔNG HỢP VỀ MẶT TRÒN XOAY

Câu 42: (Chuyên Vinh Lần 3)Người ta xếp hai cầu có bán kính r vào hộp hình trụ

sao cho cầu tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai cầu tiếp xúc với cầu đề tiếp xúc với đường sinh hình trụ ( tham khảo hình vẽ) Biết thể tích khối trụ

3

(165)

A 10 cm3 B 20 cm3 C 30 cm3 D 40 cm3

Chiều cao hình trụ 2r

Đường kính hình trụ 4r Suy bán kính hình trụ 2r

Thể tích khối trụ  2

2r 2r r

   Theo có

3 3

8 120 cm 15 cm 20

3

r r r

      

Vậy thể tích khối cầu 20 cm3

Câu 43: (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Một khối pha lê gồm hình cầu

H1 bán kính R hình nón H2 có bán kính đáy đường sinh r l, thỏa

mãn

2

r l

2

l R xếp chồng lên (hình vẽ) Biết tổng diện tích mặt cầu H1 diện tích tồn phần hình nón H2 91

cm Tính diện tích mặt cầu H1

A 104

5 cm B

2 16cm

C 64cm2 D 26

5 cm

(166)

Ta có

1 3

2 2

3

2

r l r R R

l R l R

 

  

 



 

   

 

 

Diện tích tồn phần hình nón

2

1

3 3 27

4 16

S rlr  R R R  R

   

Diện tích mặt cầu

2

S  R

Theo ta có: 2

1

27

91 91 16

16

S S   R  R  R 

Vậy diện tích mặt cầu là:  2

2 4.16 64

S  R   cm

Câu 44: (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho tam giác ABC có đỉnh A5; 5 nội tiếp đường trịn tâm I

đường kính AA, M trung điểm BC Khi quay tam giác ABM với nửa hình trịn

đường kính AA xung quanh đường thẳng AM (như hình vẽ minh họa), ta khối nón khối cầu tích V1 V2

Tỷ số

2

V

V A

32 B

9

4 C

27

32 D

4

Gọi độ dài cạnh tam giác ABC a

Khi khối nón tạo thành có bán kính đáy là:

2

a

rBM  ; chiều cao

2

a

h AM 

Thể tích khối nón

2 3

2

1 3

3 2 24

a a a

V  r h    

 

Khối cầu tạo thành có bán kính

3

a

R AM 

Thể tích khối cầu là:

3

2

4 4

3 3 27

a a

V  R      

   

A'

M C B

(167)

Suy ra:

3

1

2

3

:

24 27 32

V a a

V

 

 

Câu 45: (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3)Cho  S mặt cầu có đường kính AB10 Vẽ tiếp tuyến Ax, By với mặt cầu  S cho Ax By Gọi M điểm di động Ax, N

điểm di động By cho MN ln tiếp xúc với mặt cầu Tính giá trị tích AM BN ?

A AM BN 50 B AM BN 10 C AM BN 100 D AM BN 20

Dựng hình chữ nhật AMHB

Ta có AB BH

AB BN

  



  

AB BHN

  MH BHN

Do AxBy BH BN

Giả sử MN tiếp xúc với mặt cầu  S P MA MP NB NP

   

 

Trong tam giác MHN vng H có:

2 2

MN MH HN

 2 2

100

MP PN BH BN

    

 2 2

100

MA NB AM BN

    

50

MA NB

 

Câu 46: (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Cho hai mặt cầu  S1 có tâm I1, bán kính R11,  S2 có tâm I2 bán kính R2 5 Lần lượt lấy hai điểm M M1, 2 thuộc hai mặt cầu    S1 , S2 Gọi K trung điểm M M1 2 Khi M M1, 2 di chuyển    S1 , S2 K qt miền khơng gian khối trịn xoay tích bằng?

A 55

3



B 68

3



C 76

3



D 82

3



Ta xét trường hợp đặc biệt I1I2 I

Trường hợp 1: Hai vectơ IM1,IM2

 

(168)

Khi IK sẽđạt giá trị lớn

1 2

max 1 1

5

1

2 2

M M IM IM

IK IM M KIM  IM      

Trường hợp 2: Hai vectơ IM 1,IM2 ngược hướng

Khi IK sẽđạt giá trị nhỏ

1 2

min 2 2

5

2 2

M M IM IM

IK IM M K IM  IM      

Tập hợp điểm K phần không gian nằm khối cầu bán kính ngồi khối cầu bán kính 2, tính bề mặt hai khối cầu (phần màu trắng hình vẽ)

Do thể tích khối trịn xoay cần tìm 33 23 76

3 3

V      

Câu 47: (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên)Một thùng đựng đầy nước tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh hình nón mặt phẳng vng góc với trục hình nón Miệng

thùng đường trịn có bán kính ba lần bán kính mặt đáy thùng Người ta thả vào

một khối cầu có đường kính

(169)

ngồi 54 3 (dm3) Biết khối cầu tiếp xúc với mặt thùng nửa khối cầu chìm nước (hình vẽ) Thể tích nước cịn lại thùng có giá trị sau

đây?

A 46  (dm

3). B 18 3 (dm3) C 46 3

3  (dm

3). D 18 (dm3) Lời giải

Chọn C

Gọi R bán kính khối cầu Khi thểtích nước tràn ngồi thể tích nửa khối

cầu nên 54 3

2 3R   R

Do chiều cao thùng nước 2.2 3

h R

Cắt thùng nước thiết diện qua trục ta hình thang cân ABCD với AB3CD Gọi O

giao điểm ADvà BC tam giác OABcân O

Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB I giao điểm OHvà CD I trung

điểm DCnên

DI  AH

Ta có

3

OI DI

OH  AH 

3

6

OH HI

  

(170)

2 2 2

1 1 1 1

36

HK  HO  AH  AH  HK HO  AH  6 DI 2

Thểtích thùng đầy nước    

2 2

6.2 208 3

3 3

h AH DI AH DI    

 

Do thểtích nước cịn lại là208 46  3 54

3 dm

 



(171)

ỨNG DỤNG THỰC TẾ

Câu 1: (Ba Đình Lần2)Từ thép phẳng hình chữ nhật, người ta muốn làm thùng đựng dầu hình trụ cách cắt hai hình trịn hình chữ nhật (phần tơ đậm) sau hàn kín

lại, hình vẽdưới

Hai hình trịn làm hai mặt đáy, hình chữ nhật làm thành mặt xung quanh thùng đựng dầu (vừa đủ) Biết thùng đựng dầu tích 50, 24 lít (các mối ghép nối gị hàn chiếm diện tích khơng đáng kể Lấy  3,14) Tính diện tích thép hình chữ nhật ban đầu?

A 1,8062 m B 2, 2012 m C 1,5072 m D 1, 2064 m

Gọi thép hình chữ nhật ban đầu ABCD (Hình vẽdưới), r bán kính hình trịn đáy

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: S  AB AD Ta có 3h4r h h2 r

Thể tích khối trụ V  .r h2 3,14 .2 rr2 6, 28r3 Theo V 50, 246, 28r3 50, 24r3   8 r

Do r2 dm0, mAD3h6r 1, m;AB2  r1, 256 m Vậy S1, 2.1, 256 1,5072(m ).

Câu 2: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Một xoay thiết kế gồm hai khối trụ

1

( )T , ( )T2 chồng lên khối nón (N) (Tham khảo mặt cắt ngang qua trục hình vẽ) Khối trụ

1

( )T có bán kính đáy r cm( ), chiều cao h cm1( ) Khối trụ ( )T2 có bán kính đáy (r cm), chiều cao h2 2 (h cm1 ) Khối nón (N) có bán kính đáy r cm( ), chiều cao hn 4 (h cm1 ) Biết thể

tích tồn xoay 31(cm3) Thể tích khối nón (N)

A B

(172)

A 5(cm3) B 3(cm3) C 4(cm3) D 6(cm3)

Theo ta có 1 1 ; 2 1

4

n n n

h  h h  h h  h  h

Thể tích tồn xoay

1

2 2

( ) ( ) ( )

1

.(2 )

3

T T N n

V V V V r h  r h   r h

2 1

31

4 n n n

r h r h r h

  

   

2 2

3 1 31

31 31

4 3 r hn 3 r hn 3 r hn 3 r hn

     

         

     

2

3 r hn

 

Vậy thể tích khối nón ( )N là: (N) 4( )

V  cm

Câu 3: (Đặng Thành Nam Đề 5) Hai hình nón có chiều cao dm, đặt hình vẽ bên (mỗi hình đặt thẳng đứng với đỉnh nằm phía dưới) Lúc đầu, hình nón chứa đầy

nước hình nón khơng chứa nước Sau đó, nước chảy xuống hình nón thơng qua lỗ trống ởđỉnh hình nón Hãy tính chiều cao nước hình nón thời

điểm mà chiều cao nước hình nón 1dm

A 37 B 1

3 C

3

5 D 1

2

Gọi bán kính đáy hình nón r

Khi thểtích nước khối nón phía lúc ban đầu là:

2

.2

r

(173)

Thểtích nước khối nón phía sau chảy xuống nón thời điểm mà chiều

cao nước hình nón 1dm là:

2 12 r r         

Thểtích nước nón phía sau nón chảy xuống là:

2 2

2

3 12 12

r r r

  

 

Gọi chiều cao nước nón h, bán kính đáy nước nón r, đó:

2

h r rh

r r

    

Thểtích nước nón phía là:  

2

2 2 2

3

7

3 12 12

rh h

r h r r

h                

Câu 4: (THTT lần5) Một tạ tập tay gồm ba khối trụ H1, H2, H3 gắn liền có bán kính chiều cao tương ứng r h1, 1, r h2, 2, r h3, 3 thỏa mãn r1r3, h1h3; 2 1

3

r  r (xem

hình vẽ) Biết thể tích tồn tạ 60 chiều dài tạ Thể tích khối trụ H2 bằng?

A  1 16

4

h h

 

 B

 1

1

36

4

h h  

 C

 1

1

60

4

h h  

 D

 1

1

46

4

h h  



Chiều dài tạ l h 1h2h3 2h1h2 9 h2  9 2h1

Thể tích tạ      

1 1 2 3

H H H

V V V V r h r h r h 2r h1 1r h2 2 60

1 2

2r h r h 60

    6r h2 1r292h1 60  r294h160

1 60 r h   

Thể tích    

2 2

1 60

9

H

V r h h

h

 

  



 1

1 60

9 h h     .

Câu 5: (Chuyên Thái Ngun) Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng có đáy) đựng đầy nước

Người ta thảvào khối cầu có đường kính chiều cao bình nước đo thể tích nước tràn 18  dm3.Biết khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh hình

nón nửa khối cầu chìm nước Tính thểtích nước cịn lại bình

A 27  dm3 B 6  dm3 C 9  dm3 D 24  dm3

(174)

Vì nửa khối cầu chìm nước nên thể tích khối cầu gấp lần thểtích nước tràn ngồi

Gọi bán kính khối cầu R, lúc đó: 3

=36 27

3R  R 

Xét tam giác ABCcó AClà chiều cao bình nước nên AC2R( Vì khối cầu có đường kính chiều cao bình nước)

Trong tam giác ABC có:

2

2 2 2

1 1 1

4

R CB

CH CA CB  R  R CB  

2

2 3

1

.2 24

3 3

n

R

V  CB AC  R  R   dm

Vậy thểtích nước cịn lại bình: 24 18 6  dm3

Câu 6: (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH)Một bồn hình trụ chứa dầu, đặt nằm ngang, có chiều dài bồn m, có bán kính đáy m , với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5m đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu lại bồn (theo đơn vị m3)

A 23,562 m3 B 12,637 m3 C 6,319 m3 D 11,781m3

Gắn hệ trục tọa độ Oxy vào đáy hình trụnhư hình vẽ sau m

(175)

Ta có H trung điểm OB nên OAB tam giác Suy AOB60 AOC120 nên hình quạt chứa cung nhỏ AC có diện tích

3

S r 

Khi diện tích phần tơ đậm hình vẽ S1 S SOAC 1.0,5

3



 

3



 

Và thể tích dầu rút 1 1

3

V h S    

 

Thể tích bồn chứa dầu hình trụ V r h2 5

Thể tích dầu cịn lại bồn V2 V V 1 5

3



  

    

 

10

3



  12, 637 m 3

Cách khác: Có thể tính diện tích phần tơ đậm tích phân

1

2

1

2 d

S   x x

Câu 7: [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5]Một khối gỗ có hình trụ với bán kính đáy chiều cao Trên đường trịn đáy ta lấy hai điểm A,B cho cung AB có số đo

120

Người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng qua A,B tâm hình trụ (tâm hình trụ

trung điểm đoạn nối tâm hai đáy) đểđược thiết diện hình vẽ Tính diện tích S thiết diện thu

A S20 B S2030 C S1218 D S2025

y

x

S1

-1

C A

0,5

B O

(176)

Gọi giao tuyến mặt phẳng cắt với đáy lại đoạn CD Kẻcác đường sinh CC DD,  Khi ABD C  hình chữ nhật Góc OC D 1200C D 6 3; BD 6; AOC 60o Gọi  góc mặt cắt mặt đáy



2

8

cos cos

5

8

DBD

  



Thiết diện cần tìm có hình chiếu xuống đường trịn đáy tâm O phần hình nằm cung

C D  cung AB Áp dụng công thức hình chiếu

cos HChieu

S S



 ; Và



  60

2 6.6 .36

2 360

HChieu AOB AOC

S S S 



 

 

     



  18 312 Do S2030

Câu 8: (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ tích V, nhà thiết kếln đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon sữa bị nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ V diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bán kính đáy bao nhiêu?

A

  V

r B r3V C

2

 V

r D

2

 V

r

Ta có Sđáy r2; Sxq 2rh

Thể tích khối trụ đáy 2

đáy

V V

V S h h

S r

   

2 2

2

2 2 2

tp đáy xq

V V

S S S r rh r r r

r r

    



       

Xét hàm số f r 2r22V

r , có  

2

4 V

f r r

r 

   ;  

2

0

2

V V

f r r r

r 



     

Từđó suy giá trị nhỏ hàm sốđạt 2  V

(177)

Vậy 2  V

r diện tích tồn phần hình trụđạt giá trị nhỏ

Câu 9: (Trần Đại Nghĩa) Nam muốn xây bình chứa hình trụ tích

72m Đáy làm

bêtông giá 100 nghìn đồng

/ m , thành làm tơn giá 90 nghìn đồng

/ m , nắp nhơm giá

140 nghìn đồng

/ m Vậy đáy hình trụ có bán kính để chi phí xây dựng thấp nhất?

A  

3

3 m

2  B 3  

3 m

 C 3  

3 m

 D 3  

2 m  Lời giải

Tác giả: Nguyễn Như Hưng; Fb: Nguyen Hung

Chọn B

Gọi bán kính đáy hình trụ R (m) chiều cao h (m) Do thể tích khối trụ 72 nên R h2 72 h 722

R 



  

Diện tích đáy R2

Diện tích xung quanh Rh R 722 144

R R

 



 

Chi phí làm bình là:

2 2

2 3

144 12960

100 90 140 240

6480 6480 6480 6480

240 240 6480

T R R R

R R

R R R R

  

    

    

Dấu xảy

3

6480 6480

240 R R

R R



   

Câu 10: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Tại trung tâm thành phố người ta tạo

điểm nhấn cột trang trí hình nón có kích thước sau: đường sinh l10 ,m bán kính đáy

5

R m Biết tam giác SAB thiết diện qua trục hình nón C trung điểm

SB Trang trí hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C mặt nón Định giá trị ngắn chiều dài dây đèn điện tử

A 15m B 10m C 5 3m D. 5m

(178)

Ta có: SAB cân SB AB  SAB

Diện tích xung quanh hình nón  2

50 xq

S  Rl   m

Vẽ  P qua C vng góc với AB Mặt phẳng  P cắt hình nón theo thiết diện Elip

Khi đó, chiều dài dây đèn điện tử ngắn chiều dài dây cung AC Elip

* Ta dùng phương pháp trải hình thấy sau

Hình trải dài hình quạt với AB độ dài nửa đường tròn ABR.  5  m



2

0

S

1 360.25

25 25 90

2 360 10

AB

ASB R

S  S        ASB 



Vậy SAC vuông S AC SA2SC2 5

Câu 11: (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trên mảnh đất hình

vng có diện tích

81m người ta đào ao ni cá hình trụ(như hình vẽ) cho tâm hình trịn đáy trùng với tâm mảnh đất Ở mép ao mép mảnh đất người ta để

lại khoảng đất trống đểđi lại, biết khoảng cách nhỏ mép ao mép mảnh đất

 

(179)

A V 13, 5 m3 B V 27 m3 C V 36 m3 D V 72 m3

Lời giải Chọn A

Phương pháp

Xác định bán kính đáy chiều cao hình trụ, sử dụng cơng thức

V R h tính thể tích hình trụ

+) Lập BBT tìm GTLN hàm thể tích

Cách giải

Ta có: Đường kính đáy hình trụ 2 x Bán kính đáy hình trụ 2

x 

Khi ta tích ao    

2

9

2 4

x

V    x  x x f x

 

Xét hàm số    2

9 36 81

f x   x x x  x  x với

2

x

  ta có:

 

9

' 12 72 81

3

x

f x x x

x 

       

  

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy  

max

3 54

2

f x  x Khi  3

max

27

.54 13,

4

V      m

Câu 12: Một cơng ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm3 với chiều cao h bán

kính đáy r đểlượng giấy tiêu thụ giá trị r là:

A

6

2

3

r 

 B

8

2

3

r



 C

8

2

3

r



 D

6

2

3

r 



Hướng dẫn giải: Chọn B

Thể tích cốc: 2

2

1 81 81

27

V r h r h h

r 

 

     



(180)

2

2 2

81 81

2 2

xq

S rl r r h r r r

r r

   

 

      

2 2

4 3

2 2 2 2

81 81 81 81

2

2 2

r r

r r r r

 

   

   

4

81

4

 

 (theo BĐT Cauchy)

xq

S nhỏ

2 8

4 6

2 2

81 3

2 2

r r r

r

  

     

Câu 13: Một phễu đựng kem hình nón giấy bạc tích 12(cm3) chiều cao 4cm Muốn tăng thể tích kem phễu hình nón lên lần, chiều cao khơng thay đổi, diện tích miếng giấy bạc cần thêm

A (12 13 15) cm2 B 12 13cm2

C 12 13 2

15 cm D  

2 (12 13 15)  cm Hướng dẫn giải:

Gọi R1 bán kính đường trịn đáy hình nón lúc đầu; h1 chiều cao hình nón lúc đầu

Gọi R2là bán kính đường trịn đáy hình nón sau tăng thể tích; h2 chiều cao hình nón sau tăng thể tích

Ta có: 2

1 1 1

1

12

3

V  R h    R R 

2

1 1

2

2 2

2 2 2

1

2

1

4

3

V R h

V R

V R h R R

V R

h h

 



 

 

      



 

 

Diện tích xung quanh hình nón lúc đầu: Sxp1R l1 1 3 16 9 15cm2

Diện tích xung quanh hình nón sau tăng thể tích:

 2

2 2 16 36 12 13

xp

S R l     cm

Diện tích phần giấy bạc cần tăng thêm là: S12 13 15 cm2 Chọn A

Câu 14: Một phễu có dạng hình nón chiều cao phễu 30cm Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao cột nước phễu 15cm (hình H1 ) Nếu bịt kín miệng phễu lật ngược phễu lên ( hình H2 ) chiều cao cột nước phễu gần với giá trị sau

(181)

A 1,553cm B 1,306cm C 1, 233cm D 15cm

Phễu có dạng hình nón, gọi E đỉnh, đáy đường trịn tâm O, bán kính OA chiều cao OE30cm

Gọi V thể tích khối nón có đỉnh E, đáy đường trịn tâm O, bán kính OA

Ta có 10

3

V  OA OE  OA

Gọi M trung điểm đoạn OE,N trung điểm đoạn EA.Khi đổ nước vào phễu chiều cao cột nước EM 15cm

Gọi V1 thể tích khối nón có đỉnh E, đáy đường trịn tâm M , bán kính MN

 Thểtích nước 2

1

3

V   MN EM   MN  OA 1

8

V V

 

Khi bịt kín miệng phễu lật ngược phễu lên, chiều cao cột nước OP Gọi V2 thể tích khối nón có đỉnh E, đáy đường trịn tâm P, bán kính PQ

Ta có

2

7

8

V

V V V V

V

    

2

1

7

1 8

3

PQ PE OA OE 



   

2

1

PQ PE OA OE

 

Ta có PEQ vng P OEA vng O có OEA PEQ

PEQ

  OEA đồng dạng PQ PE

OA OE

 

H2 H1

M

A O

E N

P

O A

E

(182)

B Do  

3 PE OE        PE OE   OE OP OE    7

OP OE 

         37 30          

1, 306cm 

Câu 15: Cho đồng hồ cát hình vẽ ( gồm hai hình nón chung đỉnh ghép lại) đường sinh hình nón tạo với đáy góc

60 Biết chiều cao đồng hồ 30cm tổng thể tích đồng hồ

là 1000cm3 Nếu cho đầy lượng cát vào phần chảy hết xuống tỷ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần

phía

A 1

8 B

1 27

C

3 D

1 64

Đặt  

0

0 60

OE x

OH y x y x y              Ta có 2 2 1

.HM y 1000

3

tan 60

HM y 3000 ; 3 EL x x y EL HM EL x x y EL HM                           3 9000 x y

   Từ      

 

10 ,

20 x cm y cm        

Khi cát chảy hết xuống

3 cat chiemcho duoi V x V y       

Hướng dẫn giải: :

Đặt a50cm Gọi bán kính đáy chiều cao hình nón x y x y,  , 0 Ta có

2 2

SA SH AH  x y

Khi diện tích tồn phần hình nón

2 2

tp

S x x x y

Theo giả thiết ta có:

2 2 2 2

x x x y a x x y x a

(183)

R

h

   

2 2

4

2 2 4 2

2

2 , :

2

x x y a x

a

x x y a x a x DK x a x

y a

    

      

 Khi thể tích khối nón là:

4

2 2

1

3

a y

V y a

y a y a

 

 

 

V đạt giá trị lớn

2

y a y



đạt giá trị nhỏ

Ta có

2 2

y a a a

y y a

y y y



   

Vậy V đạt giá trị lớn

2

2a y

y

 , tức 25

2

a

ya x  cm

Chọn D

Câu 17: Một kem ốc quế gồm hai phần, phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón, giả sử hình cầu hình nón có bán kính nhau, biết kem tan chảy hết sẽlàm đầy phần ốc quế Biết thể tích kem sau tan chảy 75% thể tích kem đóng băng ban đầu, gọi h r, chiều cao bán kính phần ốc quế Tính tỷ số h

r A h

r  B

h r  C

3

h

r  D

16

h r  Hướng dẫn giải:

Thểtích kem ban đầu:   3 kem bd

V  R

Thể tích phần ốc quế: oc que

V   R h

Ta có   3

4

oc que kem bd

h

V V R h R

R

 

    

Câu 18: Cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần hình nón nằm mặt phẳng đáy gọi hình nón cụt Một cốc có dạng hình nón cụt cao 9cm, bán kính đáy cốc miệng cốc 4cm Hỏi cốc chứa lượng nước tối đa số lựa chọn sau:

A 250ml B 300ml C 350ml D 400ml Hướng dẫn giải:

3

4

AG GC

AGC ABC AG AB

(184)

3

27

9

AG

AG AG

   



Suy Vcoc Vnon lonVnon nho

 

2

1

.4 27 27 111 348, 72

3 3  ml

    

Vậy lượng nước tối đa 300ml

Chọn B

Câu 19: Một mũ vải nhà ảo thuật với kích thước

hình vẽ Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên mũ (khơng kể viền, mép, phần thừa)

A 700cm2 B 754, 25cm2 C 750, 25cm2 D 756, 25cm2 Hướng dẫn giải:

2

2 35

2 hinhtron

S R  

  ;

35 20

2 30 450

2 xq lang tru

S  rl     

 

2 35

450 756, 25

S     

 

 

 

Chọn D

Câu 20: Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ nhà thiết kế đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụđó diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bán kính đáy gần số nhất?

A 0,68 B 0,6 C 0,12 D 0,52

Hướng dẫn giải:

Gọi x x0 bán kính đáy lon sữa

Khi

2

V

V x h h

x 



  

Diện tích tồn phần lon sữa

2 2

2

( ) 2 2 V 2 ,

S x x xh x x x x x

x x x

     



        

Bài tốn quy tìm GTNN hàm số S x( ) x2 x 

  , x0

   

2

3 4

1

0 0, 6827

S x x

x

S x x



  

    

Câu 21: (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4)Khi sản xuất hộp mì tơm nhà sản xuất ln để khoảng trống đáy hộp Hình vẽdưới mơ tả cấu trúc hộp mì tơm Thớ mì tơm có dạng hình trụ, hộp mì có dạng hình nón cụt cắt hình nón có chiều cao cm bán kính đáy 6cm Nhà sản xuất tìm cách cho thớ mì tơm có thể tích lớn mục đích thu hút khách hàng Tìm thể tích lớn

10cm

(185)

A 48 B 81

2 C 36 D 54

 Ta có mặt cắt qua trục hình nón hình vẽ

Đặt r bán kính đáy hình trụ, h chiều cao hình trụ

Thớ mì tơm có thể tích lớn khối trụ tích lớn Thể tích khối trụ là: V r h2

Ta có hai tam giác SAI SA I  đồng dạng

9

SI AI r

h

SI A I h r

      

   

Khi

3

2 3

9

2

r r

V  r h r     r 

   

 Khảo sát hàm số V, biến số r 0 r 6

2

18

r

V   r

 

   

2 0

9

0 18

2

r l

r

V r

r n

   

         

  

(186)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy Vmax 48 r4 Vậy thớ mì tơm tích lớn 48

Câu 22: Một ly có dạng hình nón rót nước vào với chiều cao mực nước chiều cao hình nón Hỏi bịch kính miệng ly úp ngược ly xuống tỷ số chiều cao mực nước chiều cao hình nón xấp xỉ bao nhiêu?

A B C D

Gọi chiều cao bán kính đường trịn đáy ly

Khi để cốc theo chiều xi lượng nước cốc hình nón có chiều cao bán kính

đường trịn đáy

Do thểtích lượng nước bình Phần không chứa nước chiếm

Khi úp ngược ly lại phần thểtích nước ly khơng

đổi lúc phần khơng chứa nước hình nón ta gọi chiều cao bán kính đường trịn

đáy phần hình nón khơng chứa nước

Ta có phần thể tích hình nón khơng chứa

nước

Do tỷ lệ chiều cao phần chứa nước chiều cao ly trường hợp úp ngược ly

Câu 23: Một nút chai thủy tinh khối tròn xoay  H , mặt phẳng chứa trục  H cắt  H

theo thiết diện hình vẽ bên Tính thể tích  H (đơn vị

cm )

0, 33 0,11 0, 21 0, 08

h R

2

h

R

8 27

V

 19

27V

'

h R'

' '

R h

R  h

19 27V

3 3

2

' 19 ' 19 ' 19

'

3 27 27

h h h h

R R

h h

   

      

 

3

' 19

1

3

h h

(187)

A V H 23 B V H 13 C   41

3 H

V   D V H 17

Hướng dẫn giải: Chọn C

Thể tích khối trụ

1.5 tru

V Bh   Thể tích khối nón 42

3

6 non

V    

Thể tích phần giao là: .

3

2

3 p giao

V     Vậy   16 41

3 3

9 H

V        

Câu 24: Một bồn chứa xăng có cấu tạo gồm hình trụở nửa hình cầu

đầu,

biết hình cầu có đường kính 1, 8m chiều dài hình trụ 3, 62 m Hỏi bồn

đó

có thể chứa tối đa lít xăng

các giá trịsau đây?

A 10905l B 23650l C 12265l D 20201l

Hướng dẫn giải:

Ta có: Vtru R h2

Vì thể tích nửa hình cầu nên tổng thể tích nửa hình cầu khối cầu có

3

c

V  R

Vậy 3

12, 265

H tru C

V V V R h R  m

Vậy bồn xăng chứa: 12265l

Chọn C

Câu 25: Một hình hộp chữ nhật kích thước 4 h chứa khối cầu lớn có bán kính tám khối cầu nhỏ có bán kính cho khối lón tiếp xúc với tám khối cầu nhỏ khối cầu tiếp xúc với mặt hình hộp Thể tích khối hộp là:

A 32 32 7 B 48 32 5 C 64 32 7 D 64

Gọi tâm hình cầu lớn I tâm bốn hình cầu nhỏ tiếp xúc với đáy

ABCD Khi ta có

I ABCD hình chóp với cạnh bên IA3 cạnh đáy AB 2

đó chiều cao hình chóp Suy khoảng cách từtâm I đến mặt đáy

là 1 hay chiều cao hình hộp chữ nhật là:

 

2 1 suy thể tích hình hộp 32 1  

3,62m

(188)

Chọn A

Câu 26: Một bang giấy dài cuộn chặt lại thành nhiều vịng xung quanh ống lõi

hình trụ rỗng có đường kính 12,

C mm

Biết độ dày giấy cuộn 0, 6mm

đường kính cuộn giấy 44,

B mm

Tính chiều dài l cuộn giấy

A L44m B L38m C L4m D L24m Hướng dẫn giải:

Gọi chiều rộng băng giấy r, chiều dài băng giấy L độ dày giấy m ta có

thể tích băng giấy: V r m L  1

Khi cuộn lại ta tích:    

2

2 24

B C

V   m  m r B C

   

Từ    1 , suy ra:  2  2

4

m r L r B C L B C

m

 

    

Câu 27: (Thị Xã Quảng Trị)Một ly nước hình trụ có chiều cao 20cm bán kính đáy 4cm Bạn

Nam đổ nước vào ly mực nước cách đáy ly 17cm dừng lại Sau đó, Nam lấy

các viên đá lạnh hình cầu có bán kính 2cm thả vào ly nước Bạn Nam cần dùng

bao nhiêu viên đá đểnước trào khỏi ly?

A 4 B 7 C 5 D 6

Ta tích phần khơng chứa nước V13 .4 248 Như đểnước trào số

bi thả vào cốc có tổng thể tích lớn 48

Gọi n số viên bi tối thiểu thả vào cốc tổng thể tích n viên bi

3

4 32

.2

3

n

V n    Theo 32 48

3

n

   

(189)

Câu 28: Một thầy giáo dựđịnh xây dựng bể bơi di động cho học sinh nghèo miền núi từ 15 tơn có

kích thước 1m20cm (biết giá 1m2 tơn 90000 đồng) cách:

Cách 1: Gò tơn ban đầu thành hình trụnhư hình

Cách 2: Chia chiều dài tôn thành phần gị tơn thành hình hộp chữ nhật

hình

Biết sau xây xong bể theo dựđịnh, mức nước chỉđổđến 0,8m giá nước cho đơn vị

nghiệp 9955dong m/ Chi phí tay thầy hiệu trưởng triệu đồng Hỏi thầy giáo

chọn cách làm đểkhơng vượt q kinh phí (giả sử chỉtính đến chi phí theo kiện tốn)

Hình

A Cả2 cách B Không chọn cách

C Cách D Cách

Hướng dẫn giải: Ở cách 2:

2

1m 90.000

20m 1.800.000

Ta có Vnuoc 0, 8.6.419, 2m3

Do tổng tiền ởphương án 19, 2.9955 20.90000 1.991.136

Ở cách 2:

2

20m 1.800.000 Ta có

2

10 10

20 2r r Vnuoc h r 0,8 . 25, 46m

 

 

        

  Do tiền nước: 253.454 đồng

Tổng tiền: 2.053.454 đồng Vậy thầy nên chọn cách

Chọn C

Câu 29: Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng có nắp đáy), đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào bình khối

trụ đo thể tích nước trào ngồi 16

( )

9 dm



Biết mặt khối trụ nằm mặt đáy

hình nón khối trụ có chiều cao đường kính đáy

của hình nón (như hình vẽ dưới) Tính bán kính đáy R

của bình nước

A R3(dm) B R4 (dm)

C R2 (dm) D R5 (dm)

1m

20m

1m

4m 4m

(190)

Gọi h h, ' chiều cao khối nón khối trụ

,

R r bán kính khối nón khối trụ Theo đề ta có: h3 , 'R h 2 R

Xét tam giác SOA ta có: '

3

r IM SI h h R R

R OA SO h R

 

    

1

r R

  Ta lại có:

2

2 trô

2 16

'

9 9

R R

V r h   R   

3

8

R R dm

   

Câu 30: Có miếng nhơm hình vng, cạnh 3dm, người dự định tính tạo thành hình trụ (khơng đáy) theo hai cách sau:

Cách 1: Gị hai mép hình vng để thành mặt xunng quanh hình trụ, gọi thể tích khối trụđó V1

Cách 2: Cắt hình vng làm ba gị thành mặt xung quanh ba hình trụ, gọi tổng thể

tích chúng V2

Khi đó, tỉ số

V V là:

A 3 B 2 C 1

2 D

1

Gọi R1 bán kính đáy khối trụ thứ nhất, có: 1 1 1 12 27

2

R R V R h

 

     

Gọi R2 bán kính đáy khối trụ thứ hai, có: 2 2 2 22

2

R R V R h

 

     

Chọn A

Câu 31: Một hộp hình lập phương cạnh a bị khoét khoảng trống có dạng khối lăng trụ

với hai đáy hai đường tròn nội tiếp hai mặt đối diện hình hộp Sau đó, người ta dùng bìa cứng dán kín hai mặt vừa bị cắt hộp lại cũ, chừa lại khoảng trống bên Tính thể tích khoảng trống tạo khối trụ

A

a

 B 1

2a C

3

4a D

3 8a

C

D O

E A

(191)

Ta có

2

a

OE  BC ;

OO 'a

Thể tích là:

2 3

2

.OO '

2

a a

V OE    a

  Chọn C

Câu 32: Người ta dùng loại vải vintage để bọc khối khí khinh khí cầu, biết khối có dạng hình cầu đường kính m Biết

1m vải có giá 200.000 đồng Hỏi cần tối thiểu tiền mua vải để làm khinh khí cầu này?

A 2.500.470 đồng B 3.150.342 đồng

C 2.513.274 đồng D 2.718.920 đồng

2

4 mat cau

S  R

Với 1 

2

d

R  m Vậy Smat cau 4 1 4 m2

Vậy cần tối thiểu số tiền: 200000 2.513.274 đồng

Chọn C

Câu 33: Cho biết hình chỏm cầu có cơng thức thể tích

 2

3

h r h

 

, h chiều cao chỏm cầu r

bán kính đường trịn bề mặt chỏm cầu ( bán kính khác vớibán kính hình cầu ) Bài hỏi đặt với quảdưa hấu hình cầu, người ta dùng ống khoét thủng lỗ hình trụchưa rõ bán kính xun qua trái dưa hình vẽ ( hình có AB đường kính trái dưa) Biết chiều cao lỗ 12cm ( hình trên, chiều cao độ dài HK ) Tính thể tích phần

dưa lại

A

200cm B

96cm C

288cm D

144cm Hướng dẫn giải:

Đặt r bán kính hình cầu

Chiều cao lỗ 12 nên chiều cao chỏm cầu lag r6

Bán kính chỏm cầu, bán kính đáy hình trụ là: r236 Thể tích hình trụ 12r236 

Thể tích chỏm cầu:

      2   2 

2 36 6 4 12 72

6

r r r r r r

          

  

Thể tích lỗ là:     

2

2 12 72

12 36

3

r r r

r 

     

        

2 3

2 6 4 24 144 4 6

4 12 72

6 12 288

3 3

r r r r

r r r

r r   

         

        

 

Thể tích hình cầu

3

r 

nên thể tích cần tìm là: V 288

Chọn C

A

B K

(192)

Câu 34: người ta cần cắt tơn có hình dạng elip với độ dài trục lớn độ dài trục bé đểđược tơn có dạng hình chữ nhật nội tiếp elíp Người ta gị tơn hình chữ

nhật thu thành hình trụkhơng có đáy hình bên Tính thể tích lớn thu

được khối trụđó

A 128 3cm3

 B  

3 64

3 2 cm C  

3 64

3 3 cm D  

3 128 2 cm Hướng dẫn giải:

Ta có  

2

: 16

64 16

x y

E    y x Chu vi đáy hình trụ 2R 2x R x    

Ta có

2

2 2 2

1

16 16 16 16

2 tru

x

AH x h x V  R h  x x x

  

            

 

Đặt        

3

2

0

32 32

16 4 ' ' 32

16

3

x

x x

f x x x x f x f x

x x                    

  max

32 128 128

max

3 9

f x f V



 

     

 

 

TỔNG QUÁT: Elip có độ dài trục lớn 2a, trục bé 2b  

2 max 3 tru a b V  

Câu 35: Từ khúc gỗ trịn hình trụcó đường kính 40 cm, cần xả thành xà có tiết diện ngang hình vng bốn miếng phụđược tơ màu xám hình vẽdưới Tìm chiều rộng x miếng phụđể diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn

A 34 17 2 

2

x  cm B 34 19 2 

2

x  cm

C 34 15 2 

2

x  cm D 34 13 2 

2

x  cm

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang S SMNPQ4xy

Cạnh hình vng 40 20 2 

2

MP

MN   cm

(193)

20 22 800

S xy xy

     (1)

Ta có 2x AB MN AB20 2BD20 240 20 2   0 x 20 10 2

Lại có 2 2  2

40 20 1600

AB  AD BD   x  y 

2 2

800 80 800 80

y x x y x x

       

Thế vào  1 S 800 4 x 800 80 x 24x2 800 800 x280x3 24x4

Xét hàm số f x 800x280x3 24x4, với x0; 20 10 2  có

   2

' 1600 240 16 16 100 15

f x  x x  x  x  x x

Ta có  

 

 2

0; 20 10

0; 20 10 5 34 15 2

2

' 16x 100 15x

x x

x

f x x

                     

Khi 34 15

2

x  giá trị thỏa mãn toán

Chọn C

Câu 36: Người ta thiết kế thùng chứa hình trụ tích V định Biết giá vật liệu làm mặt đáy nắp thùng đắt gấp lần so với giá làm vật liệu xung quanh thùng (chi phí cho đơn vị diện tích) Gọi h chiều cao thùng bán kinh đáy R Tính tỷ số h

R cho chi phí làm thùng nhỏ A h

R  B

h

R C

h

R D

h

R 

Gọi V thể tích khối trụ, T giá tiền cho đơn vị Sxq

Ta có 2.h h tru2

tru V V R R      Ta có 2 2

2

day

tru tru xq

S R

V V

S R h R

R R             

Giá vật liệu đểlàm đáy là: 2

2d

G  R T  T R , Giá vật liệu làm xung quanh thùng tru xq V G T R 

Giá vật liệu làm thùng là:

 

2

6

tru tru tru

thung tru

V T V T V T

G T R T R V T const

R  R R 

     

  3 2

min

3 tru 6

thung tru tru

V T h

G V T T R V R

R   R

       

Câu 37: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích

3

1000cm Bán kính nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu A 3 500

 cm B

10

 cm C

500

 cm D

5 10

 cm Hướng dẫn giải:

(194)

Gọi h cm chiều cao hình trụ R cm bán kính nắp đậy

Ta có:

1000

V R h Suy h 10002

R  

Để nhà sản xuất tiết kiệm ngun vật liệu diện tích tồn phần Stp hình trụ nhỏ

Ta có: Stp R2 Rh R2 R.10002

R

   



   

3

2 1000 1000 3 1000 1000

2 R R 1000

R R R R

  

    

Đẳng thức xảy 1000 3 500

2 R R

R



  

Câu 38: Một viên phấn bảng có dạng khối trụ với bán kính đáy 0, 5cm, chiều dài 6cm Người ta làm hình hộp chữ nhật carton đựng viên phấn với kích thước

6cm5cm6cm Hỏi cần hộp kích thước để xếp 460 viên phấn?

A 17 B 15 C 16 D 18

Có cách xếp phấn theo hình vẽdưới đây:

Nếu xếp theo hình H1: đường kính viên phấn 2.0, 51cm nên hộp xếp tối đa số

viên phấn là: 6.530

Nếu xếp theo hình H2: hàng viên xen kẽ hàng viên Gọi số hàng xếp n1,n

Ta có ABC cạnh

2

CM

 

Ta phải có 2.0,

2

n n

     xếp tối đa hàngmỗi hộp xếp tối đa

số viên phấn là:3.6 2.5 28

Nếu xếp theo hình H3:hàng viên xen kẽ hàng viên Gọi số hàng xếp m1,m

Ta phải có 2.0,5 10

2

m m

     xếp tối đa hàng nên hộp xếp tối đa số viên phấn là:3.5 3.4 27

Vậy, xếp theo hình H1 xếp nhiều phấn nhất, nên cần hộp Ta có 460 : 30 15, 3 cần 16 hộp để xếp hết 460 viên phấn

Câu 39: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng

song song vng góc đường kính cách tâm khoảng 3dm để làm lu

đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa

M

A B

C

H 1

H 2

(195)

23 cm

5 cm A 100  3

3  dm B  

3 43

3  dm

C 41dm3 D 132dm3

Hướng dẫn giải: Chọn D

Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy, xét đường tròn ( ) : (C x5)2y2 25 Ta thấy cho nửa trục Ox  C quay quanh trục Ox ta mặt cầu bán kính Nếu cho hình phẳng  H giới hạn nửa trục Ox  C , trục Ox, hai đường thẳng x0, x2 quay xung quanh trục Ox ta sẽđược khối tròn xoay phần cắt khối cầu đề

bài

Ta có (x5)2y2 25 y  25 ( x5)2

 Nửa trục Ox  C có phương trình 2

25 ( 5) 10

y  x  xx

 Thể tích vật thể trịn xoay cho  H quay quanh Ox là:

 

2

1

0 0

52

10 d

3

x

V  xx x x    

 



Thể tích khối cầu là: V2 53 500

3

 

 

Thể tích cần tìm:  3

2

500 52

2 132

3

V V  V       dm

Câu 40: Một tục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường trịn đáy 5cm, chiều

dài lăn 23cm (hình bên) Sau lăn trọn 15 vịng trục lăn tạo nên sân phẳng diện diện tích

A

1725 cm B

3450 cm

C

1725 cm D

862, 5 cm

Diện tích xung quanh mặt trụ

2

2 5.23 230

xq

S  Rl   cm

Sau lăn 15 vịng diện tích phần sơn là:

2 230 15 3450

S    cm

Câu 41: Một bóng bàn chén hình trụ có chiều cao Người ta đặt bóng lên chén thấy phần ngồi bóng có chiều cao

4 chiều cao Gọi V1, V2 thể tích bóng chén, đó:

A 9V1 8V2 B 3V1 2V2 C 16V19V2 D 27V18V2

(196)

R=5 r=2 M

C F

B E

r

R D C

A B

Gọi r1 bán kính bóng, r2 bán kính chén, h chiều cao chén

Theo giả thiết ta có h2r1 r1 2h

2

r h

OO  

Ta có

2

3

2 16

h h

r      h    

Thể tích bóng

3

1

4

3

h

V  r      h

 

và thể tích chén nước

2

3

16

V B hr h h

2

V V   Câu 42: Phần không gian bên chai nước có hình dạng

như hình bên Biết bán kính đáy R5cm, bán kính cổ r2cm AB, 3cm, BC6cm,

16

CD cm Thể tích phần khơng gian bên chai nước bằng: A 495cm3 B 462cm3

C 490cm3 D 412cm3

Thể tích khối trụ có đường cao CD: V1 R CD2 400cm3 Thể tích khối trụ có đường cao AB: V2 r AB2 12cm3

Ta có

2

MC CF

MB

MB  BE   

Thể tích phần giới hạn BC:

 2   3

3 78

3

V  R MCr MB   cm

Suy ra:  3

1 490

V V V V   cm

Chọn C

Câu 43: Nhà Nam có bàn trịn có bán kính m Nam muốn mắc bóng điện phía

trên bàn cho mép bàn nhận nhiều ánh sáng Biết cường độ sáng C bóng điện biểu thị cơng thức ( góc tạo tia sáng tới

mép bàn mặt bàn, c - số tỷ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn

A 1m B 1,2m C 1.5 m D 2m

2

2 sin

C c

l 

(197)

Gọi h độ cao bóng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ bóng điện; I hình chiếu Đ lên mặt bàn MN đường kính mặt bàn.( hình vẽ)

Ta có , suy cường độ sáng là:

Lập bảng biến thiên ta thu kết C lớn ,

Câu 44: Với đĩa trịn thép tráng có bán kính R 6m phải làm phễu cách cắt

một hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình trịn Cung trịn hình quạt bị cắt

phải độđể hình nón tích cực đại?

A 66 B 294 C 12, 56 D 2,8

Hướng dẫn giải: Chọn A

Ta nhận thấy đường sinh hình nón bán kính đĩa trịn Cịn chu vi đáy hình nón chu vi đĩa trừđi độ dài cung tròn cắt Như ta tiến hành giải chi tiết

sau:

Gọi ( )x m độdài đáy hình nón (phần cịn lại sau cắt cung hình quạt dĩa) Khi

2

x

x r r



  

2

α

l

N M

Đ

I h

sin h

l

  2

2

h l 

2

3

2

( ) l ( 2)

C l c l

l



 

   

2

4

6

'

l

C l c l

l l



   



   

'

C l   l l

6

l

O

(198)

Chiều cao hình nón tính theo định lí PITAGO

2

2 2

2

4

x

h R r R



   

Thể tích khối nón là:

2

1

3 4

x x

V r h  R

 

  

Đến em đạo hàm hàm V x( ) tìm GTLN V x( ) đạt

x  R  

Suy độ dài cung tròn bị cắt là:2R4 3600 660

  





  

Câu 45: Một công ty nhận làm thùng phi kín hay đáy với thể tích theo yêu cầu 2m3 yêu cầu tiết kiệm vật liệu Hỏi thùng phải có bán kính đáy R chiều cao h bao nhiêu?

A ,

R m h m B ,

2

R m h m.C ,

8

R m h m D R1 ,m h2m

Hướng dẫn giải: Chọn A

Gọi R bán kính đáy thùng (m), h: chiều cao thùng (m) ĐK: R0,h0

Thể tích thùng là: V R2h R h2 h 22

R

 

     

Diện tích tồn phần thùng là:

 

2

2 R R R R

tp

S h h R R R

R R

       

          

   

Đặt f t  2 t2 t 0

t       

  với tR

     

3

2

4

1

' t , ' 1

f t t f t t

t t



  

        

 

Từ bảng biến thiên… ta cần chế tạo thùng với kích thước R1 ,m h2m

Câu 46: Có cốc làm giấy, úp ngược hình vẽ Chiều cao cốc 20cm,

bán kính đáy cốc 4cm, bán kính miệng cốc 5cm Một kiến đứng ởđiểm A miệng cốc dựđịnh bò hai vòng quanh than cốc đểlên đến đáy cốc ởđiểm B Quãng đường ngắn để kiến thực dựđịnh gần với kết

dước đây?

A 59, 98cm B 59, 93cm C 58, 67cm D 58,80cm

(199)

Đặt b a h, , bán kính đáy cốc, miệng cốc chiều cao cốc,  góc kí hiệu

trên hình vẽ Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽđược hình quạt khuyên với cung nhỏ BB"4b cung lớn AA"4a

Độ dài ngắn đường kiến độdài đoạn thẳng BA” Áp dụng định lí hàm số cosin ta được:

2 2 . .cos 2 (1).

l BO OA  BO OA 

2

( )

B A   AB a b h

 

4 ( )

1

2

4 (AA )

a a l BB OA OB AB AB AB b

b b l OB OB b

 



 



 

       



2

2 ( ) ( )

( )

a b a b

a

AB a b h

 

  

  

 

2

( )

1 b a b h ( )

AB a a b

OB b

OB b b a b

 



    



2

( )

( ) ( )

b a b h

OA OB BA a b h c

a b

 

      



Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm l 58, 79609 58,80

l cm

Ghi Để tồn lời giải đoạn BA” phải không cắt cung BB điểm khác B, tức BA” nằm tiếp tuyến BB B Điều tương đương với 2 cos b

a    

     Tuy nhiên, lời giải thí sinh khơng u cầu phải trình bày điều kiện (và đề cũng cho thỏa mãn yêu cầu đó).

Câu 47: Học sinh A sử dụng xơ đựng nước có hình dạng kích thước giống hình vẽ, đáy

xơ hình trịn có bán kính 20 cm , miệng xơ đường trịn bán kính 30 cm , chiều cao xô 80 cm Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước. Hỏi A phải trả tiền nước tháng, biết

(200)

A 35279 đồng B 38905 đồng C 42116 đồng D 31835 đồng

Ta xét hình nón đỉnh A, đường cao h80 cmđáy đường trịn tâm O, bán kính 30 cm Mặt phẳng   cách mặt

đáy 80 cm cắt hình nón theo giao tuyến đường trịn tâm O' có bán kính 20 cm Mặt phẳng   chia hình nón thành phần Phần I phần chứa đỉnh A, phần II phần khơng chứa đỉnh A ( Như hình vẽ)

Ta có ' ' ' ' 160 cm

' '

O B AO AO

AO

OC  AO  AO O O  

Thể tích hình nón 302 72000 cm3

3

V  AO  

Thể tích phần I 1 ' .202 64000 cm3

3

V  AO   

Vậy thể tích xơ thể tích phần II  3

152000 19

cm m

3 375

V V V    

Vậy số tiền phải trả 19 10.20000 31835 375

T    đồng

Câu 48: Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm, đường kính 6cm Mặt đáy phẳng dày 1cm, thành cốc dày 0, 2cm Đổ vào cốc 120ml nước sau thả vào cốc viên bi có đường kính 2cm Hỏi mặt nước cốc cách mép cốc cm (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)

A 3, 67cm B 2, 67cm C 3, 28cm D 2, 28cm

Thành cốc dày 0, 2cmnên bán kính đáy trụ 2, 8cm Đáy cốc dày 1cmnên chiều cao hình trụ 8cm Thể tích khối trụ V  2,8 197, 04 2  cm3

Đổ 120ml vào cốc, thể tích lại 197, 04 120 77, 04cm3

Thả viên bi vào cốc, thể tích viên bi 3

5 .1 20, 94 ( )

bi

V    cm

Thể tích cốc cịn lại 77, 04 20, 94 56,1cm3 Ta có 56,1h' 2,8  2h'2, 28cm

Cách khác: Dùng tỉ số thể tích

 2

8 2,8

5, 72

120 coc

Tr

nuoc bi

nuoc bi nuoc bi nuoc bi

h V

h

V V h h

 



 

    



Chiều cao lại trụ 5, 72 2, 28 Vậy mặt nước cốc cách mép cốc 2, 28cm

Câu 49: Người ta xếp hình trụcó bán kính đáy r chiều cao h vào lọ hình trụ

có chiều cao h, cho tất hình trịn đáy hình trụ nhỏđều tiếp xúc với đáy hình trụ lớn, hình trụ nằm tiếp xúc với sáu hình trụ xung quanh, hình trụ xung quanh

đều tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ lớn Khi thể tích lọ hình trụ lớn là:

Định dạng
Số trang	208
Dung lượng	14,35 MB