Một số dạng bất đẳng thức hình học

Một số dạng bất đẳng thức hình học Một số dạng bất đẳng thức hình học Một số dạng bất đẳng thức hình học luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

� sử AB < AC theo bổ đề P B < P C nên ∠P CB < ∠P BC Xét tam giác BB ′ C CC ′ B suy BC ′ < B ′ C Vẽ hình bình hành BB ′ QC ′ suy B ′ Q < B ′ C hay ∠B ′ CQ < ∠B ′ QC (1) Q A B' C' B P D C Mặt khác tam giác C ′ QC cân C suy ∠C ′ CQ = ∠CQC ′ (2) Từ (1), (2) suy ∠C ′ CB ′ > ∠CQB ′ = ∠ABB ′ (3) Mặt khác từ AB < AC theo bổ đề suy ∠P CA < ∠P BA điều mâu thuẫn (3) Do điều giả sử sai Tương tự AC < AB vô lý AB = AC Luận văn thạc sĩ khoa học chuyên ngành Toán sơ cấp – Trần Quang Hùng 73 Bài toán 2.91 Cho tam giác ABC, AB AC điểm M ∈ AC cho M A + AB = M C I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC tia IB lấy điểm D cho ID = R với R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi E hình chiếu D lên IC Chứng minh 2DE M C, dấu xảy ? Bổ đề 2.91.1 Tam giác ABC, AB AC nội tiếp O, M ∈ AC cho M A + AB = M C M hình chiếu P lên AC P trung điểm cung lớn BC Chứng minh Gọi M ′ la hình chiếu P lên AC ta chứng minh M ′ ≡ M thật vậy, gọi K hình chiếu P lên AB, ta dễ chứng minh △P BK = △P CM ′ ⇒ P M = P K từ dễ suy △P AK = △P AM ′ suy AM ′ = AK AB+AM ′ = AB + AK = BK = CM ′ CM ′ − AM ′ = AB theo đề CM − AM = AB mà M ∈ AC M ′ ≡ M K P A M E I O C B D A P C = 2R cos (1) π A A Mặt khác ta lại thấy DE = R sin ∠EID = R sin ∠BIC = R sin( + ) = R cos (2) 2 Từ (1), (2) ta suy M C 2DE Dễ thấy dấu xảy tam giác ABC cân A Lời giải tốn Do M hình chiếu P nên M C Bài toán 2.92 Cho tam giác ABC x, y, z > Chứng minh yz cos B−C C −A A−B +zx cos +xy cos 2 (x2 +yz) sin A B C +(y +zx) sin +(z +xy) sin 2 Bổ đề 2.92.1 Cho tam giác ABC P điểm tam giác A′ , B ′ , C ′ hình chiếu P xuống BC, CA, AB Với x, y, z > Chứng minh xP B · P C + yP C · P A + zP A · P B √ √ √ yzP A · P A′ + zxP B · P B ′ + xyP C · P C ′ Luận văn thạc sĩ khoa học chuyên ngành Toán sơ cấp – Trần Quang Hùng Chứng minh Từ lời giải toán Erdos ta có P A b c x( P C ′ + P B ′ ) a a Tương tự cộng lại ta suy 74 b c P C ′ + P B ′ suy xP A a a ∑ c ∑√ b (y + z )P A′ yzP A′ b c PB · PC PC · PA PA · PB Thế x → ,y → ,z → ta thu PA PB PC xP A + yP B + zP C xP B · P C + yP C · P A + zP A · P B √ √ √ yzP A · P A′ + zxP B · P B ′ + xyP C · P C ′ Đó điều phải chứng minh Lời giải toán Trong bổ đề x → x2 , y → y , z → z cho P trùng tâm I đường A tròn nội tiếp, ý r = sin IA, ta thu bất đẳng thức 2(yz sin C C A A B B sin + zx sin sin + xy sin sin ) 2 2 2 x2 sin C B C + y sin + z sin 2 Bất đẳng thức đề tương đương với bất đẳng thức thu TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Vũ Lương (2004), Bất đẳng thức tam giác, NXB đại học quốc gia Hà Nội [2] Vũ Đình Hịa (2005), Bất đẳng thức hình học, NXB Giáo Dục, Hà Nội [3] Nguyễn Mộng Hy (2002), Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo Dục, Hà Nội [4] Phan Huy Khải (2001), 10.000 tốn sơ cấp (bất đẳng thức hình học), NXB Hà Nội, Hà Nội [5] Tuyển tập 30 năm tạp chí Tốn học Tuổi trẻ (1997), NXB Giáo Dục, Hà Nội [6] Jose A.G.O., Radmila B.M., Rogelio V.D (2009), Inequalities A Mathematical Olympiad Approach, Basel-Boston-Berlin, Germany [7] Mihai B., Bogdan E., Mircea B (1997), Romanian Mathematical Competitions, The Romanian Society of Mathematical Sciences, Romania [8] Mitrinovic D.S, Pecaric J.E., Volenec V (1989), Recent advances in Geometric Ineqalities, Kluwer Academic Publishers, The Netherlands [9] Titu Andreescu, Oleg Mushkanov, Luchezar Stoyanov (2006), Geometric Problems on Maxima and Minima, Basel-Boston-Berlin, Germany [10] Website www.artofproblemsolving.com 75 ... Lương (2004), Bất đẳng thức tam giác, NXB đại học quốc gia Hà Nội [2] Vũ Đình Hịa (2005), Bất đẳng thức hình học, NXB Giáo Dục, Hà Nội [3] Nguyễn Mộng Hy (2002), Các phép biến hình mặt phẳng,... tiếp, ý r = sin IA, ta thu bất đẳng thức 2(yz sin C C A A B B sin + zx sin sin + xy sin sin ) 2 2 2 x2 sin C B C + y sin + z sin 2 Bất đẳng thức đề tương đương với bất đẳng thức thu TÀI LIỆU THAM... Dục, Hà Nội [4] Phan Huy Khải (2001), 10.000 toán sơ cấp (bất đẳng thức hình học) , NXB Hà Nội, Hà Nội [5] Tuyển tập 30 năm tạp chí Tốn học Tuổi trẻ (1997), NXB Giáo Dục, Hà Nội [6] Jose A.G.O.,