Trắc nghiệm nâng cao nón trụ cầu

Dựng hình trụ có một đáy là (L), đáy còn lại thuộc đáy của hình nón và trục trùng với trục hình nón. Tìm d để thể tích hình trụ là lớn nhất.. Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi di[r]

MẶT NÓN – KHỐI NÓN A – LÝ THUYẾT CHUNG

1 Định nghĩa mặt nón

Cho đường thẳng  Xét đường thẳng l

cắt  O khơng vng góc với  Mặt trịn xoay sinh đường thẳng l quay quanh  gọi mặt nón trịn xoay hay đơn giản mặt nón

-  gọi trục mặt nón - l gọi đường sinh mặt nón - O gọi đỉnh mặt nón

- Nếu gọi  góc l  2 gọi góc đỉnh mặt nón

 0

0 2 180

1 Hình nón khối nón

Cho mặt nón N với trục , đỉnh O góc đỉnh  Gọi  P mặt phẳng vng góc với  I khác O

Mặt phẳng  P cắt mặt nón theo đường trịn  C có tâm I Gọi  P' mặt phẳng vng góc với  O Khi đó:

- Phần mặt nón N giới hạn mặt phẳng  P  P' với hình trịn xác định  C gọi hình nón

- Hình nón với phần bên gọi khối nón

2 Diện tích hình nón thể tích khối nón

- Diện tích xung quanh hình nón: Sxq Rl với R bán kính đáy, l độ dài đường sinh - Thể tích khối nón:

3

V  R h với R bán kính đáy, h chiều cao

Lý thuyết ngắn gọn thế, nhiên có nhiều tập vận dụng cao đòi hỏi khả tư cao

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Hình nón trịn xoay nội tiếp tứ diện cạnh a có diện tích xung quanh bằng:

A

4 xq

S  a B

2 xq

S  a C

3 xq

S  a D 2

3 xq

S   a

Câu 2: Hình nón trịn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a có diện tích xung quanh bằng:

A

2 xq

a

S  B

2 xq

a

S  C

2 3 xq

a

S  D

2 xq

a S 

Δ

O

I M

P

N

Q

S

B

A O

Câu 3: Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào khối trụ đo dược thể tích nước tràn ngồi 16

9 dm 

Biết mặt khối trụ nằm mặt

hình nón, điểm đường tròn đáy lại thuộc đường sinh hình nón (như hình vẽ) khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón Diện tích xung quanh Sxq bình nước là:

A 10

2 xq

S   dm B Sxq 4 10 dm2 C Sxq 4dm2 D 2 xq

S   dm

Câu 4: Cho khối nón trịn xoay có đường cao h20cm, bán kính đáy r25cm Một mặt phẳng (P) qua đỉnh khối nón có khoảng cách đến tâm O đáy 12 cm Khi diện tích thiết diện (P) với khối nón bằng:

A.

500 cm B.

475 cm C.

450 cm D.

550 cm

Câu 5: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh huyền Người ta quay tam giác ABC quanh cạnh góc vng để sinh hình nón Hỏi thể tích V khối nón sinh lớn

A 250

27

V   B 25

27

V   C 20

27

V   D 250

27

V  

Câu 6: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB1, đáy lớn CD3, cạnh bên AD quay quanh đường thẳng AB Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành

A. V 3 B

3

V   C

3

V   D

3 V  

Câu 7: Cho hình bình hành ABCD có BAD00 90 ,0 ADa ADB90 Quay

ABCD quanh AB, ta vật trịn xoay tích là:

A. V a3sin2 B.V a3sin2 osc 

C

2 3sin

cos

V a 



 D

2 3cos

sin

V a 





Câu 8: Cho khối nón đỉnh O, trục OI Măt phẳng trung trực OI chia khối chóp thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần là:

A.

2 B.

1

8 C.

1

4 D.

1

Câu 9: Cho hình nón  có bán kính đáy R, đường cao SO Gọi (P) mà mặt phẳng vng góc với SO O1 cho

1

SO  SO Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón 

nằm (P) đáy hình nón theo thiết diện hình tứ giác có hai đường chéo vng góc Tính thể tích phần hình nón  nằm mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa đáy hình nón

A.

3

9

R



B

3

R



C.

3 26

81

R



D.

3 52

81

R



Câu 10: Hình nón trịn xoay có trục SOR với R bán kính đáy, thiết diện qua trục hình nón tạo thành tam giác SAB tam giác Gọi I trung điểm SO E, F SO

cho

2 EI FI

EO FO  Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón điểm:

A. I B. E C. F D. O

Câu 11: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy đường tròn tâm O, bán kính R5 Một thiết diện qua đỉnh S tạo thành tam giác SAB cho tam giác SAB đều, cạnh Khoảng cách từ O đến thiết diện SAB là:

A 13

3

d  B 13

4

d  C. d 3 D 13

3 d 

Câu 12: Cho hình nón có bán kính đáy R, chiều cao 2R, ngoại tiếp hình cầu S O r( ; ) Khi đó, thể tích khối trụ ngoại tiếp hình cầu S O r( ; )

A

 

3 16

5

R





B.

3

R



 C  

3 16

R





D.

3

R





Câu 13: Một hình nón bị cắt mặt phẳng  P song song với đáy Mặt phẳng  P chia hình nón làm hai phần N1 N2 Cho hình cầu nội tiếp N2 hình vẽ cho thể tích hình cầu nửa thể tích N2 Một mặt phẳng qua trục hình nón vng góc với đáy cắt N2 theo thiết diện hình thang cân, tang góc nhọn hình thang cân

A. B. C. D

Câu 14: Trong hình nón nội tiếp hình cầu có bán kính 3, tính bán kính mặt đáy hình nón tích lớn

A R6 B R4 C R D R2

Câu 15: Trong tất hình nón có độ dài đường sinh a, tìm hình nón tích lớn

A

3

2

Max

27 a

V   B

3 Max

9 a

V  C

3 Max

27 a

V  D

3

2

Max

9 a V  

Câu 16: Trong hình nón trịn xoay có diện tích tồn phần  Tính thể tích hình nón lớn nhất?

N2

A

9 

B.

12 

C.

2 

D.

3 

Câu 17: Giá trị lớn thể tích khối nón nội tiếp khối cầu có bán kính R

A.

3R B.

3

3R C.

3

9 R D.

3 32 81R

Câu 18: Tìm hình nón tích nhỏ ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước tích bằng:

A 1

6r B

3

3r C

3

3r D

3 3r

Câu 19: Cho hình nón  N có đáy hình trịn tâmO Đường kính 2a đường cao SOa Cho điểm H thay đổi đoạn thẳngSO Mặt phẳng P vng góc vớiSO tạiHvà cắt hình nón theo đường trịn  C Khối nón có đỉnh O đáy hình trịn  C tích lớn bao nhiêu?

A 81 a  B 81 a  C 81 a  D 81 a 

Câu 20: Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x khối trụ tích lớn nội tiếp hình nón theo h

A

2 h

x B

3 h

x C.

3 h

x D

3

h

x

Câu 21: Cho hình nón đỉnh S, đáy hình trịn tâm O, góc đỉnh 120 Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định điểm M di động Có vị trí điểm điểm M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất?

A. B.3 C.1 D.vơ số

Câu 22: Hình nón tích lớn nội tiếp mặt cầu bán kính Rcho trước bằng:

A. 64 81 R  B. 32 81 R  C. 32 81 R  D. 64 81 R 

Câu 23: Cho nửa đường tròn đường kính AB2R điểm C thay đổi nửa đường trịn đó, đặt 

CAB

  gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tìm  cho thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn

A.  60 B. 45 C. arctan

2 D.  30

Câu 24: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V V1, 2 thể tích hình nón thể tích hình cầu nội tiếp hình nón Khi r h thay đổi, tìm giá trị bé tỉ số

2 V V

A B. 2 C.

Câu 25: Với miếng tơn hình trịn có bán kính R6cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình trịn

và gấp phần cịn lại thành hình nón (Như hình vẽ)

Hình nón tích lớn người ta cắt cung trịn hình quạt bằng:

A 4 6cm B 6 6cm C 2 6cm D 8 6cm

Câu 26: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V1, V2 thể tích hình nón thể tích khối cầu nội tiếp hình nón Giá trị bé tỉ số

1 V V

A.

4 B.

4

3 C. D.

Câu 27: Cho hình nón có chiều cao h, đường trịn đáy bán kính R Một mặt phẳng (P) song song với đáy cách đáy khoảng d cắt hình nón theo đường trịn (L) Dựng hình trụ có đáy (L), đáy cịn lại thuộc đáy hình nón trục trùng với trục hình nón Tìm d để thể tích hình trụ lớn

A

3 h

d  B

2 h

d  C

6 h

d  D

4 h d 

Câu 28: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy

I M P N Q S B A O

C – HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Hình nón trịn xoay nội tiếp tứ diện cạnh a có diện tích xung quanh bằng:

A

4 xq

S  a B 2

6 xq

S  a C

6 xq

S  a D 2

3 xq

S   a

Hướng dẫn giải:

Gọi S ABC tứ diện cạnh a Gọi H trung điểm cạnh BC

Kẻ SOABC a SH  đường sinh hình nón Ba điểm A O H, , thẳng hàng

2

1 3

3

3

6

xq

a a

HO AH

a a a

S OH SH  

  

  

Chọn A

Câu 2: Hình nón trịn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a có diện tích xung quanh bằng:

A

2 xq

a

S  B

2 xq

a

S  C

2 3 xq

a

S  D

2 xq

a S 

Hướng dẫn giải:

Kẻ SOABC,SH BCOH BC

Ta có: 2 3

3 3

a a

OA AH  

2 3 xq xq a

S OA SA a

a S      

Chọn C

Câu 3: Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng đáy) đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào khối trụ đo dược thể tích nước tràn ngồi 16

9 dm 

Biết mặt khối trụ nằm mặt

hình nón, điểm đường trịn đáy cịn lại thuộc đường sinh hình nón (như hình vẽ) khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón Diện tích xung quanh Sxq bình nước là:

A 10

2 xq

S   dm B Sxq 4 10 dm2 C Sxq 4dm2 D

2 xq

Hướng dẫn giải: Chọn B

Xét hình nón: hSO3r, rOB l, SA Xét hình trụ: h1 2rNQ, r1 ON QI

SQI SBO

  1

3

QI SI r

r BO SO

      Thể tích khối trụ là:

2 1

2 16

2

9

t

r

V r h      r h  l h2r2 2 10

2 10 xq

S rl  dm

  

Câu 4: Cho khối nón trịn xoay có đường cao h20cm, bán kính đáy r25cm Một mặt phẳng (P) qua đỉnh khối nón có khoảng cách đến tâm O đáy 12 cm Khi diện tích thiết diện (P) với khối nón bằng:

A.

500 cm B

475 cm C

450 cm D

550 cm

Hướng dẫn giải:

Gọi S đỉnh khối nón Mặt phẳng (P) qua đỉnh S cắt khối nón theo hai đường sinh SASB nên ta có thiết diện tam giác cân SAB

Gọi I trung điểm đoạn AB, ta có OI  AB Từ tâm O đáy ta kẻ OH SI H, ta có

 

OH  SAB theo giả thiết ta có 12

OH  cm Xét tam giác vng SOI ta có:

2 2 2

1 1 1

12 20 OI OH OS  

  15

OI cm

 

Mặt khác, xét tam giác vng SOI ta cịn có:

OS OI SI OH

Do 20.15 25  12

OS OI

SI cm

OH

  

Gọi St diện tích thiết diện SAB Ta có:

1 t

S  AB SI , AB2AI Vì AI2 OA2OI2 252152 202 nên AI 20cm AB40cm

Vậy thiết diện SAB có diện tích là:  2 40.25 500

t

S   cm

Chọn A

A 250

27

V   B 25

27

V   C 20

27

V   D 250

27

V  

Hướng dẫn giải:

Ta có 2 25 2 25

3 3 3

V  r h x y   y y y y

Xét hàm số 25

3

V  y y với 0y5

Ta có ' 25

3

V  y   y

Khi thể tích lớn 250 27 V  

Chọn A.

Câu 6: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB1, đáy lớn CD3, cạnh bên AD quay quanh đường thẳng AB Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành

A. V 3 B

3

V   C

3

V   D

3 V  

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Theo hình vẽ: AH HD1

Thể tích khối trịn xoay tạo thành thể tích khối trụ có bán kính r AH 1, chiều cao CD3 trừ thể tích hai khối nón

nhau (khối nón đỉnh A, đỉnh B đáy đáy hình trụ)

Vậy 2

3 3

V  AH CD  AH HD   

 

Câu 7: Cho hình bình hành ABCD có BAD00 90 ,0 ADa  90

ADB Quay

ABCD quanh AB, ta vật trịn xoay tích là:

A. V a3sin2 B.V a3sin2 osc 

C

2 3sin

cos

V a 



 D

2 3cos

sin

V a 





Hướng dẫn giải:

Kẻ DH  AB CN,  AB

.sin cos

cos

DH CN a

AH BN a

a HN AB          

Khi quay quanh AB, tam giác vng AHD NBC tạo thành hai hình nón trịn xoay nên:

2

2 2 2

1 sin

.sin

3 sin cos

a

V  DH AH  DH HN CN BN  DH AB  a  a 

 

 

     

 

Chọn C

Câu 8: Cho khối nón đỉnh O, trục OI Măt phẳng trung trực OI chia khối chóp thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần là:

A.

2 B.

1

8 C.

1

4 D.

1

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi R bán kính đáy khối nón trục OI

1

V R OI

 

Giả sử mặt phẳng trung trực OI cắt trục OI

tại H, cắt đường sinh OM N Khi mặt phẳng chia khối nón thành phần, phần khối nón có bán kính

2 R

r , có chiều cao

2

OI 2

1

1

3 2 24

R OI R OI

V     

     

    Phần khối nón cụt tích

2 2

2

3 24 24

R OI R OI R OI

V V V    

Vậy tỉ số thể tích là:

2 2 24

7

24 R OI V R OI V    

Câu 9: Cho hình nón  có bán kính đáy R, đường cao SO Gọi (P) mà mặt phẳng vng góc với SO O1 cho

1

SO  SO Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón 

nằm (P) đáy hình nón theo thiết diện hình tứ giác có hai đường chéo vng góc Tính thể tích phần hình nón  nằm mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa đáy hình nón

Hướng dẫn giải:

Gọi thiết diện thu AA B B1 1 Vì 1

3

SO  SO nên 1 1 1.2

3

A B  AB R Mặt khác AB1A B1 I nên

1 1

1

,

2

IO AB IO  A B

Vậy 1

3

R R

OO R 

Dễ thấy 1 1

2

R SO  OO  Từđó SO2R

Gọi thể tích phần hình nón phải tính V*

*

V V V , đó:

V1 thể tích hình nón 

V2 thể tích hình nón đỉnh S đáy thiết diện  cắt (P)

Ta tích phần hình nón phải tính

2

1 1

1

*

3

V V V  OB SO O B SO

2

2

1 52

.2

3 81

R R R

R R 

 

   

 

Câu 10: Hình nón trịn xoay có trục SOR với R bán kính đáy, thiết diện qua trục hình

nón tạo thành tam giác SAB tam giác Gọi I trung điểm SO E, F SO

cho

2 EI FI

EO FO  Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón điểm:

A. I B. E C. F D. O

Hướng dẫn giải:

Gọi O' tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón thì:

' ' '

rO SO AO B

Ta có: ' 0

cos30 R OO OS r R 

2 3

'

3

3

' 3 '

3

3

R R

OO R R

OO OO

OI R OI

  

    

R r

I

O A

S

Vậy O'E

Chọn B

Câu 11: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy đường tròn tâm O, bán kính R5 Một thiết diện qua đỉnh S tạo thành tam giác SAB cho tam giác SAB đều, cạnh Khoảng cách từ O đến thiết diện SAB là:

A 13

3

d  B 13

4

d  C. d 3 D 13

3 d 

Hướng dẫn giải:

 ,

SO OAB kẻ SH  ABOH AB

     

AB SOH  SAB  SOH

Kẻ OISH OI SAB nên dOI

2

: OS 64 25 39 ; : 25 16

SOA OHA OH

       

2 2

1 1 1 16

3 39 117 OI

OI OH OS

       

Chọn B

Câu 12: Cho hình nón có bán kính đáy R, chiều cao 2R, ngoại tiếp hình cầu S O r( ; ) Khi đó, thể tích khối trụ ngoại tiếp hình cầu S O r( ; )

A

 

3 16

5

R





B.

3

R



 C  

3 16

R





D.

3

R





Hướng dẫn giải:

Giả sử hình nón có đỉnh O đường kính đáy AB

Ta có OAOB R2(2 )R R Tam giác OAB có diện tích S2R2, chu vi 2p2 (1R  5)

Do bán kính khối cầu S O r( ; )

1

S R

r p

 



Thể tích khối trụ cần tìm là:

 

3

2

3 16

1 tru

R

V r h r  



Câu 13: Một hình nón bị cắt mặt phẳng  P song song với đáy Mặt phẳng  P chia hình nón làm hai phần N1 N2 Cho hình cầu nội tiếp N2 hình vẽ cho thể tích hình cầu nửa thể tích N2 Một mặt phẳng

qua trục hình nón vng góc với đáy cắt N2 theo thiết diện hình thang cân, tang góc nhọn hình thang cân

A. B. C. D

Hướng dẫn giải:

Giả sử ta có mặt cắt hình nón cụt đại lượng hình vẽ

Gọi  góc cần tìm

Xét AHD vng H có DH h AH, Rr h2r0 AH tan R r tan  1

Thể tích khối cầu

3

1

4

3

h

V  r 

Thể tích N2  2 

1

V  h R r Rr

 

2 2

2

2

V

h R r Rr

V     

Ta có BC Rr (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà h2 BC2R r 2 4Rr  3 Từ    2 , Rr2 Rr  4

Từ        2  2

1 , , h  Rr tan  4 Rr (vì  góc nhọn)

tan  tan

   

Chọn A

Câu 14: Trong hình nón nội tiếp hình cầu có bán kính 3, tính bán kính mặt đáy hình nón tích lớn

A. R6 B. R4 C R D R2

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Giả sử chóp đỉnh A hình vẽ hình chóp tích lớn

AKM

 vuông K Ta thấy IK r bán kính đáy chóp, AI h chiều cao chóp

α

r

h r0

R K H

O

A

C

 

2

IK  AI IM r h h

   

2

1

6

3

V  r h h h h   max max

V  h h  y h36h2 max trên0; 6

Câu 15: Trong tất hình nón có độ dài đường sinh a, tìm hình nón tích lớn

A 3 Max 27 a

V   B

3 Max

9 a

V  C

3 Max

27 a

V  D

3

2

Max

9 a V  

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi h chiều cao nón bán kính nón r a2h2 Suy ra:

, với 0ha

Xét hàm số f h a h h2  0;a ta thấy  

3 Max

3 3

a a

f h  f     hay 3 Max 27 a V  

Câu 16: Trong hình nón trịn xoay có diện tích tồn phần  Tính thể tích hình nón lớn nhất?

A

9 

B.

12 

C.

2 

D.

3 

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có Stp  rlr2  rlr2 1 suy

2 r l

r



 l r r  

Có

V  r h 2 3r l r

 

1 3r r

 

Xét hàm số y f x x 2 x2 đoạn 0; 2

 

 

 

ta có   0; 2 max f x        

 x

Vậy max 2

3 12

V   

Câu 17: Giá trị lớn thể tích khối nón nội tiếp khối cầu có bán kính R

   

2 2

1 1

3 3

A.

3R B.

3

3R C.

3

9 R D.

3 32 81R

Hướng dẫn giải:

Rõ ràng hai khối nón bán kính đáy nội tiếp khối cầu khối nón có chiều cao lớn thể tích lớn hơn, nên ta xét khối nón có chiều cao lớn hai khối nón

Giả sử khối nón có đáy hình trịn  C bán kính r Gọi x

với f x khoảng cách tâm khối cầu đến đáy khối nón Khi chiều cao lớn khối nón nội tiếp khối cầu với đáy hình trịn  C hRx Khi bán kính đáy nón

2

r R x , suy thể tích khối nón

          

2 2

1 1

2

3 3

V  r h  Rx R x   Rx Rx Rx   Rx Rx R x

Áp dụng BĐT Cơ-si ta có  

3 3

2

1 32

6 27 81

R x R x R x R

V         

Chọn D

Câu 18: Tìm hình nón tích nhỏ ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước tích bằng:

A 1

6r B

3

3r C

3

3r D

3 3r

Hướng dẫn giải:

Xét mặt phẳng chứa trục hình nón, mặt phẳng cắt hình nón theo tam giác cân SAB

và cắt mặt cầu nội tiếp hình nón theo đường trịn bán kính r hình tròn nội tiếp tam giác cân SAB h.79b

Kí hiệu bán kính đáy hình nón x, chiều cao hình nón y x 0,y2r  

2

AHSA r AB SH \

Vậy thể tích hình nón ngoại tiếp mặt cầu bán kính r

2

2

1

:

3

y

V x y r

y r

 

 



 2 2

2

r y

x x y r xy x

y r

      

R

R r

x

Ta có

2 2 2

4 4

2

2 2

y y r r r

y r

y r y r y r

 

   

  

2

2

2

r

y r r

y r

   

  

2

2

2

r

y r r r

y r

   



Từ 2 3

V   r , tức V2 đạt giá trị bé

2

2

2

r

y r y r

y r

     từ

đó xr

Câu 19: Cho hình nón  N có đáy hình trịn tâmO Đường kính 2a đường cao SOa Cho điểm H thay đổi đoạn thẳngSO Mặt phẳng P vng góc vớiSO tạiHvà cắt hình nón theo đường trịn  C Khối nón có đỉnh O đáy hình trịn  C tích lớn bao nhiêu?

A

3

81

a



B

3

81

a



C

3

81

a



D

3

81

a



Hướng dẫn giải:

Gọi   mặt phẳng qua trục hình nón  N cắt hình nón  N theo thiết tam giác SAB, cắt hình nón đỉnh S có đáy đường tròn  C theo thiết diện tam giác SCD, gọi I giao điểm SO CD Ta có: AB2aOAaSO.Do tam giác SOAvng cân S.Suy tam giác SIC vuông cân I.Đặt SI  ACx(0xa)OI ax Thể tích khối nón có đỉnh O đáy hình trịn  C là:

 

2

1 1

( )

3 3

V   IC OI   x ax   x ax '  . 2 

V x    x  ax

 

0

' 2

3 x

V x a

x   

 

Chọn B

Câu 20: Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x khối trụ tích lớn nội tiếp hình nón theo h

A

2 h

x B

3 h

x C.

3 h

x D

3

h

x

Hướng dẫn giải:

Gọi r R, theo thứ tự bán kính đáy hình nón khối trụ cần tìm O đỉnh hình nón, I tâm đáy hình nón, J tâm đáy hình trụ khác I OA đường sinh hình nón, B điểm chung

OA với khối trụ Ta có: r h x r R(h x)

R h h



   

Thể tích khối trụ là:

2

2

2 ( )

R

V xR x h x

h

 

  

Xét hàm số

2

2

( ) R ( ) ,

V x x h x x h

h



   

Ta có

2

'( ) ( )( ) hay

3

R h

V x h x h x x x h

h



      

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn chiều cao khối trụ h x ;

Câu 21: Cho hình nón đỉnh S, đáy hình trịn tâm O, góc đỉnh 120 Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định điểm M di động Có vị trí điểm điểm M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất?

A. B 3 C.1 D.vô số

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi r bán kính đáy hình nón

Vì góc đỉnh ASA 120  ASO60 Suy cot

3

r

Gọi H trung điểm AM đặt xOH Ta có:

2

2 2

3

r

SH  SO OH  x , AM 2AH 2 OA2OH2 2 r2x2

Diện tích tam giác SAM

2

2 2

1

2 3

r

s SH AM  x r x  r

2 max

2

s  r đạt

2

2 2

3 3

r r r

x r x x x

       Tức OH SO

Theo tính chất đối xứng của đường trịn ta có hai vị trí M thỏa u cầu

Câu 22: Hình nón tích lớn nội tiếp mặt cầu bán kính Rcho trước bằng:

A. 64 81 R  B. 32 81 R  C. 32 81 R  D. 64 81 R 

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu bán kính đáy hình nón x, chiều cao hình nón y 0xR, 0 y2R Gọi '

SS đường kính mặt cầu ngồi tiếp hình nón ta có

 

2

x  y Ry Gọi V1 thể tích khối nón 1 2 

3

V  x y y y Ry 4 

6 R y y y 

 

3 3

4 32

6 81

R y y y R

      

   

 

Vậy thể tích V1 đạt giá trị lớn

3 32

81

R



4R2yy

R y

  , từ

đó

2

2 4

2

3

R R R

x   R 

  hay

2

3 R x

Chọn C

Câu 23: Cho nửa đường trịn đường kính AB2R điểm C thay đổi nửa đường trịn đó, đặt 

CAB

  gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tìm  cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn

A.  60 B.  45 C. arctan

2 D.  30

Hướng dẫn giải: Chọn C

2 cos cos

.sin cos sin ; cos cos

AC AB R

CH AC R

AH AC R

            

2

1

.cos sin

3

V  AHCH  R   Đặt tcos2 0 t 1

 

3

1

V R t t

    

3

3

8 2

2

6

t t t

R t t t R     

    

 

Vậy V lớn

t arctan

 

Chú ý: dùng PP hàm sốđể tìm GTNN hàm f t t21t

Câu 24: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V V1, 2 thể tích hình nón thể tích hình cầu nội tiếp hình nón Khi r h thay đổi, tìm giá trị

bé tỉ số V V

A B. 2 C.

3 D.

Hướng dẫn giải:

Gọi  P mặt phẳng qua trục hình nón  P cắt hình nón Theo tam giác cân SAB, cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, đường tròn nội tiếp tam giác cân Khi đó, bán kính r1 hình cầu nội tiếp hình nón tính cơng thức 1

2 rh r

r h r

     3 2 2 1 1 1 4 h x r V h V x r               , ởđó 2 h x

r  

Xét          

3

2

1 1 2

, '

4 4.2

x x x x

f x f x

x x x

      

 



Vì  

2 1 4.2 x x x   

 nên xét dấu f x , ta cần xét dấu   2

g x   x x

Ta có '  1

g x

x

 

 Dễ thấy g x' 0 x0

1 1

x  , đồng thời

 

g x  x

Với 0x8 g x 0;

Câu 25: Với miếng tơn hình trịn có bán kính R6cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình trịn

và gấp phần cịn lại thành hình nón (Như hình vẽ)

Hình nón tích lớn người ta cắt cung trịn hình quạt bằng:

A 4 6cm B 6 6cm C 2 6cm D 8 6cm

Hướng dẫn giải:

Gọi x x, 0 chiều dài cung tròn phần xếp làm hình nón

Như vậy, bán kính R hình nón đường sinh hình nón đường trịn đáy hình nón có độ dài x Bán kính r đáy xác định đẳng thức

2

2 x r x r 



  

Chiều cao hình nón tính theo Định lý Pitago là:

2 2

2

x

h R r R



   

Thể tích khối nón:

2 2

2

2

1

3

x x

V r h  R

 

 

    

 

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có:

3

2 2

2

2 2 2 2 2 2

2

2 2

4 8 8 4

9 8 9 27

x x x

R

x x x R

V  R     

  

 

  

 

 

      

   

 

 

Do V lớn khi:

2

2

2

2

6 6

8 3

x x

R x  R  

       

Chọn A

(Lưu ý sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhiên lời giải dài hơn)

Câu 26: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V1, V2 thể tích hình nón thể tích khối cầu nội tiếp hình nón Giá trị bé tỉ số

1 V V

r

R h

M

N I

A 5

4 B.

4

3 C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta có: Thể tích khối nón

1 V  r h

Xét mặt cắt qua tâm SAB, kẻ tia phân giác góc SBO, cắt SO I Ta có:

2

2

IO OB r r h

IS IO

IS SB r h r



    



Mặt khác: IOISh

Do ta có bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp 2

rh R IO

r h r

 

 

Thể tích khối cầu

  3 3 2 4 3 r h V R

r h r

        3

2 2

1 2 2 1 4 h

r r h r

V h V rh r            

   Đặt

2 h

t

r

  (t1 )  

      2 1 4 t t V

V t t

 

  

 

Đặt     1 t f t t  

 , Điều kiện: t1,    

2 2 t t f t t    

 , f  t t

    , f  3 8

BBT  f t   8 t 1

2 V V

 

Chọn D

Câu 27: Cho hình nón có chiều cao h, đường trịn đáy bán kính R Một mặt phẳng (P) song song với đáy cách đáy khoảng d cắt hình nón theo đường trịn (L) Dựng hình trụ có đáy (L), đáy cịn lại thuộc đáy hình nón trục trùng với trục hình nón Tìm d để thể tích hình trụ lớn

A

3 h

d  B

2 h

d C

6 h

d D

Giải: Gọi r bán kính (L)

Ta có r h d r Rh d

R h h



   

        

3

2 2

2

2 2

2

.2

2 27

h d h d d

R R R R h

V h d d h d h d d

h h h



        

         

 

Dấu xảy

3 h h d  d d 

Câu 28: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy

A 10 2cm B. 20cm C. 50 2cm D. 25cm

Hướng dẫn giải:

Đặt a50cm Gọi bán kính đáy chiều cao hình nón x y x y,  , 0 Ta có SA SH2AH2  x2y2

Khi diện tích tồn phần hình nón Stp x2x x2y2

Theo giả thiết ta có

   

2 2 2 2 2 2

4

2 2 4 2

2

2 , :

2

x x x y a x x y x a x x y a x

a

x x y a x a x DK x a x

y a

           

       

 Khi thể tích khối nón

4

4

2 2

1

3

a y

V y a

y a y a

 

 

 

V đạt giá trị lớn

2 2

y a

y



đạt giá trị nhỏ

Ta có

2 2

2 2

2 2

y a a a

y y a

y y y



   

Vậy V đạt giá trị lớn

2 2a y

y

 , tức 25

2 a

ya x  cm

MẶT TRỤ - KHỐI TRỤ A – LÝ THUYẾT CHUNG

1.Định nghĩa mặt trụ

-Cho đường thẳng  Xét đường

thẳng l song song với , cách  khoảng R Khi đó:

Mặt tròn xoay sinh đường thẳng l gọi mặt trụ tròn xoay hay đơn giản mặt trụ

-  gọi trục mặt trụ, l gọi đường sinh R gọi bán kính mặt mặt trụ

2 Hình trụ khối trụ

Cắt mặt trụ  T trục , bán kính R mặt phẳng phân biệt  P  P' vng góc với

 ta giao tuyến hai đường tròn    C , C'

a) Phần mặt trụ  T nằm hai mặt phẳng  P  P' với hai hình trịn xác định    C , C' gọi hình trụ

-Hai đường trịn    C , C' gọi hai đường tròn đáy, hình trịn xác định chúng gọi mặt đáy hình trụ, bán kính chúng gọi bán kính hình trụ Khoảng cách mặt đáy gọi chiều cao hình trụ

-Nếu gọi O O’ tâm hai hình trịn đáy đoạn OO’ gọi trục hình trụ

-Phần mặt trụ nằm đáy gọi mặt xung quanh hình trụ

b)Hình trụ với phần bên gọi khối trụ

3 Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình trụ thể tích khối trụ

Với R bán kính đáy, h chiều cao

-Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq 2Rh

-Diện tích tồn phần hình trụ: Stp Sxq2Sday 2Rh2R2

-Thể tích khối trụ

V R h ( chiều cao nhân diện tích đáy)

Trước hết xin nhắc lại, hai đề Minh họa tháng 10 vừa Bộ Giáo dục Đào tạo, hai mức vận dụng thấp

l l1

R R Δ

M1

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Một hình trụ có bán kính đáy R có thiết diện qua trục hình vng Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp khối trụ cho

A. 4R3 B. 2R3 C. 3R3 D. R3

Câu 2: Một khối lăng trụ tam giác cạnh đáy ,a góc đường chéo mặt bên mặt đáy 60 Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ

A

3

V  a B.V a3 C

3

V  a D

3

V  a

Câu 3: Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a chiều cao h nội tiếp khối trụ Tính thể tích khối trụ

A

2 a h 

B.

2

3 a h 

C.

2

3 a h 

D.

2

3

a h



Câu 4: Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao

a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường đáy tâm O’ lấy điểm B cho

AB a Tính thể tích khối tứ diện OO 'AB

A

3 12

a

B

3 12 a

C

3

12

a

D

3

a

Câu 5: Cho hình trụ có bán kính đáy R5, chiều cao h6 Một đoạn thẳng AB có độ dài 10 có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách đường thẳng

AB trục hình trụ?

A. B. C. D.

Câu 6: Một hình trụ có bán kính đáy 50cm có chiều cao 50cm Một đoạn thẳng AB có chiều dài 100cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đến trục hình trụ

A. d 50cm B. d 50 3cm C. d 25cm D. d 25 3cm

Câu 7: Cho hình trụ có bán kính đáy R chiều cao R lấy hai điểm A, B nằm hai đường tròn đáy cho AB2 R Tính khoảng cách từ AB đến hình trụ theo R

A

2 R

B

3 R

C

5 R

D

4 R

Câu 8: Một hình trụ có thiết diện qua trục hình vng Bên hình trụ có hình lăng trụ tứ giác nội tiếp Nếu thể tích hình lăng trụ V thể tích hình trụ bao nhiêu?

A

2 Tru

V

V  B

3 Tru

V

V  C

4 Tru

V

V  D

5 Tru

V V 

A. d 1 B. d2 C. d 3 D. d 4

Câu 10: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi O’, O tâm hai hình vuông ABCD ' ' ' '

A B C D O O' a Gọi V1 thể tích hình trụ trịn xoay đáy hai đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD A B C D, ' ' ' ' V2 thể tích hình nón trịn xoay đỉnh O’ đáy đường trịn nội tiếp hình vng ABCD Tỉ số thể tích

2

V V là:

A. B.3 C.4 D.6

Câu 11: Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ', đáy ABC tam giác có AB5,AC8 góc 

, 60

AB AC  Gọi V V, ' thể tích khối lăng trụ ngoại tiếp nội tiếp khối lăng trụ cho Tính tỉ số V'?

V

A.

49 B.

9

4 C.

19

49 D.

29 49

Câu 12: Cho hình trụ có hai đáy hai đường trịn  O  O , chiều cao 2R bán kính đáy

R Một mặt phẳng   qua trung điểm OO tạo với OO góc 30,   cắt đường trịn đáy theo dây cung Tính độ dài dây cung theo R

A.

3 R

B. 2

3

R

C.

3 R

D.

3 R

Câu 13: Cho hình trụ có bán kính đáy R có chiều cao R Hai điểm A B, nằm hai đường trịn đáy cho góc AB trục hình trụ

30 Khoảng cách AB trục hình trụ bằng:

A R B. R C

2

R

D.

4

R

Câu 14: Cho hình trụ có chiều caoh2,bán kính đáyr 3.Một mặt phẳng P khơng vng góc với đáy hình trụ, lượt cắt hai đáy theo đoạn giao tuyến AB vàCD choABCD hình vng Tính diện tíchS hình vngABCD

A. S 12  B. S 12 C. S 20 D. S 20 

Câu 15: Cho khối trụ có bán kính đáy ra chiều cao h2a Mặt phẳng ( )P song song với trục OO' khối trụ chia khối trụ thành phần, gọi V1 thể tích phần khối trụ chứa trục

'

OO , V2 thể tích phần cịn lại khối trụ Tính tỉ số

V

V , biết ( )P cách OO'

khoảng 2

a

A.

2  



 B.

3

2  



 C.

2

2  



 D.

2

2  

Câu 16: Một hình trụ tích V khơng đổi Tính mối quan hệ bán kính đáy chiều cao hình trụ cho diện tích tồn phần đạt giá trị nhỏ

A

2 h

R B

3 h

R C

5 h

R D

4 h R

Câu 17: Trong số khối trụ tích V, khối trụ có diện tích tồn phần bé có bán kính đáy

A.

2

V R



 B. R

V



 C. R

V



 D. R 3V 



Câu 18: Trong số hình trụ có diện tích tồn phần S bán kính R chiều cao h khối trụ tích lớn là:

A ;

2 2

S S

R h

 

  B ;

4

S S

R h

 

 

C ;

3

S S

R h

 

  D ;

6

S S

R h

 

 

Câu 19: Cho hình nón có độ dài đường kính đáy 2R, độ dài đường sinh R 17 hình trụ có chiều cao đường kính đáy 2R, lồng vào hình vẽ

Tính thể tích phần khối trụ khơng giao với khối nón

A.

12R B.

3

3R C.

3

3R D.

3 6R

Câu 20: Chiều cao khối trụ tích lớn nội tiếp hình cầu có bán kính R

A. R B.

3

R

C.

3

R

D.

3

R

Câu 21: Cho mặt cầu bán kính Một hình trụ có chiều cao bán kính đáy thay đổi nội tiếp mặt cầu Tính chiều cao theo bán kính cho diện tích xung quanh hình trụ lớn

A B. C. D

Câu 22: Cho hình cầu tâm O, đường kính 2R hình trụ trịn xoay nội tiếp hình cầu Hãy tìm kích thước hình trụ tích đạt giá trị lớn

 S R h r

h R

2

hR h R

2 R

h

B 14 8

K

N

A

A.

3

R

r B.

3 R

r C.

3 R

r D.

3 R r

Câu 23: Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối  H như hình vẽ bên Biết thiết diện hình elip có độ dài trục lớn 8, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy

tới mặt đáy 14 (xem hình vẽ).Tính thể tích  H

A V(H) 192

B V(H)275

C V(H)704

D V(H) 176

Câu 24: Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối  H hình vẽ biết thiết diện elip có độ dài trục lớn 10 , khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy tới mặt đáy 8và 14 Tính thể tích  H

A V H 275 B V H 176

C V H 192 D V H 704

Câu 25: Cho hình vẽ bên Tam giác SOA vng O có MN SO€ với ,

M N nằm cạnh SA, OA Đặt SOh khơng đổi Khi quay hình vẽ quanh SO tạo thành hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy hình trịn tâm O bán kính ROA Tìm độ dài MN để thể tích khối trụ lớn

A

2 h

MN  B

3 h MN

C

4 h

MN  D

6 h MN 

S

M

C – HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Một hình trụ có bán kính đáy R có thiết diện qua trục hình vng Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp khối trụ cho

A. 4R3 B 2R3 C. 3R3 D. R3

Hướng dẫn giải:

Giả sử ABCDA B C D' ' ' ' khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho Từ giả thiết, suy hình trụ có chiều cao

2

h R đáy ABCD hình vng nội tiếp đường trịn bán kính R

Do 2

2 R AC  R AB R Diện tích hình vuông ABCD là:

 2

2

ABCD

S  R  R

Vậy thể tích khối lăng trụ cho là: V SABCD.h2R2.2R4R3

Chọn A

Câu 2: Một khối lăng trụ tam giác cạnh đáy ,a góc đường chéo mặt bên mặt đáy 60 Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ

A 3

3

V  a B.V a3 C 3

2

V  a D 3

3 V  a

Hướng dẫn giải:

Xét hình lăng trụ tam giác ' ' '

ABC A B C có cạnh đáy ABa, góc đường chéo A’B với mặt đáy ABC A BA' 60

Suy ra: hAA 'a.tan 600 a Khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ có đường cao A’A, đáy đường tròn ngoại tiếp hai mặt đáy ABC , A B C' ' ', có bán kính R cho

3 a R aR Thể tích khối trụ:

A

O'

O B

D D'

C A'

C' B'

a

A'

C B

A

2

2

3

3

a

V R h  a  a

 

(đvdt)

Chọn A

Câu 3: Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a chiều cao h nội tiếp khối trụ Tính thể tích khối trụ

A

2 a h 

B.

2

3 a h 

C.

2

3 a h 

D.

2

a h



Hướng dẫn giải:

Hình trụ có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

Do ABC tam giác cạnh a nên hình trụ có bán kính là:

2 3

3 3

a a

ROA AM  

với M  AOBC

Chiều cao hình trụ chiều cao lăng trụ h

Vậy thể tích khối trụ là:

2

2

3

a a h

V R h  h

 

 

Chọn A

Câu 4: Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao

a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường đáy tâm O’ lấy điểm B cho

AB a Tính thể tích khối tứ diện OO 'AB

A

3 12

a

B

3 12 a

C.

3

12

a

D

3

a

Hướng dẫn giải:

Kẻ đường sinh AA’ Gọi D điểm đối xúng A’ qua O’ H hình chiếu vng góc B đường thẳng A D’

 

'

' '

BH A D

BH AOOA

BH AA

 

  

 

Do đó, BH chiều cao tứ diện OO'AB

Thể tích khối tứ diện OO ' : ' AOO AB V  S BH

O' M'

M C'

A'

B B'

A C

Tam giác AA B' vuông A’ cho: A B'  AB2A A'  4a2a2 a

Tam giác A B'  A D' 2A B'  4a23a2 a Suy BO D' tam giác cạnh a

Từ

a

BH 

Do OAOO'=a nên tam giác AOO' vuông cân O

Diện tích tam giác AOO' là:

2 '

1

.OO'=

2

AOO

S  OA a

Vậy

3

1 3

3 2 12

a a

V  a 

Chọn A

Câu 8: Một hình trụ có thiết diện qua trục hình vng Bên hình trụ có hình lăng trụ tứ giác nội tiếp Nếu thể tích hình lăng trụ V thể tích hình trụ bao nhiêu?

A

2 Tru

V

V  B

3 Tru

V

V  C

4 Tru

V

V  D

5 Tru

V V 

Hướng dẫn giải:

Gọi cạnh đáy lăng trụ a

Thiết diện qua hình trụ hình vng

DD ' ' : 2 '

B B BD Ra BB a Thể tích lăng trụ V

2

2 V

a a V a

   

Thể tích hình trụ tính theo a:

3

2

2

tru

a a

V   a 

 

Thay :

2

2 tru

V V V

a  V  

Chọn A

Câu 19: Cho hình nón có độ dài đường kính đáy 2R, độ dài đường sinh R 17 hình trụ có chiều cao đường kính đáy 2R, lồng vào hình vẽ

a 2a

H

O O'

A

A' D

B

O'

O

D'

C'

B' A'

A B

Tính thể tích phần khối trụ khơng giao với khối nón

A.

12R B.

3

3R C.

3

3R D.

3 6R

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có

2 2

17 ,

2 R SI  SB IB  R R  RSE R EF  Thể tích khối nón lớn (có đường cao SI)

2

1

1

.4 R

3

V  R  R

Thể tích khối nón nhỏ(có đường cao SE)

3

1

.2

3

R

V    R R  

Thể tích phần khối giao giữ khối nón khối trụ 3 1 2 2 V V V V  R Thể tích khối trụ là V4 R2.2R2R3

Vậy thể tích phần khối trụ khơng giao với khối nón 4 3 V V V  R

Câu 23: Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối  H hình vẽ bên Biết thiết diện hình elip có độ dài trục lớn 8, khoảng cách từđiểm thuộc thiết diện gần mặt đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy

tới mặt đáy 14 (xem hình vẽ).Tính thể tích  H

A V(H) 192

B V(H)275

C V(H)704

B 14 8

K

N

A

M

A B

N

K Chọn D

Đường kính đáy khối trụ 2 10 6 8 Bán kính đáy khối trụ R4

Thể tích khối trụ H1 V1.R h2.1 .4 1282  

Thể tích khối trụ H2 V2 .R h2 .4 62 96

Thể tích H 1 2 128 1.96 176

2

V V  V     

Câu 24: Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối  H hình vẽ biết thiết diện elip có độ dài trục lớn 10 , khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy tới mặt đáy 14 Tính thể tích  H

A V H 275 B V H 176

C V H 192 D V H 704

Hướng dẫn giải:

Dùng mặt phẳng qua N vng góc với trục hình  H cắt hình  H thành phần tích Vtren, Vduoi

Ta có 2

8 day tru duoi 128 MN  NK KM  R  V  R h  Phần phía tích nửa hình trụ có

1

4, 16.6 48

2 tren

R h V     Vậy V H 12848 176

Câu 10: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi O’, O tâm hai hình vng ABCD ' ' ' '

A B C D O O' a Gọi V1 thể tích hình trụ trịn xoay đáy hai đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD A B C D, ' ' ' ' V2 thể tích hình nón tròn xoay đỉnh O’

và đáy đường tròn nội tiếp hình vng ABCD Tỉ số thể tích

V V là:

A. B 3 C.4 D.

Hướng dẫn giải:

giác OAM vuông cân M

1

2

;

2

R OA R OM 

2

1

2

2

3 :

1 2 4

V R h

V R h

 

   

       

 

Chọn D

Câu 11: Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ', đáy ABC tam giác có AB5,AC8 góc 

, 60

AB AC  Gọi V V, ' thể tích khối lăng trụ ngoại tiếp nội tiếp khối lăng trụ cho Tính tỉ số V'?

V

A.

49 B.

9

4 C.

19

49 D.

29 49

Hướng dẫn giải:

Áp dụng đinh lý cosin tam giác ABC ta c

2 2

2 os60 25 64 2.5.8 49 BC  AB AC  AB AC c    

Diện tích tam giác ABC là:

1

.sin 60 5.8 10

2 2

S  AB AC  

Mặt khác:

, ABC

AB AC BC S

R

 với R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

5.8.7

ABC 4.10 3 AB AC BC

R

S

   

Ngồi ra: SABC  pr, 1  10

p ABBCAC  r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC 10 3

10 ABC

S r

p

   

Hình trụ ngoại tiếp nội tiếp lăng trụ cho có bán kính đáy R r, có chiều cao chiều cao hình lăng trụ

Giả sử h chiều cao hình lăng trụ, ta có: V R h2 V r h2 Vậy '

49 V

V 

Chọn A

8 5

600

C

B O

O'

A A'

C'

B'

R1 R2

M O

B B

Câu 15: Cho khối trụ có bán kính đáy ra chiều cao h2a Mặt phẳng ( )P song song với trục OO' khối trụ chia khối trụ thành phần, gọi V1 thể tích phần khối trụ chứa trục

'

OO , V2 thể tích phần cịn lại khối trụ Tính tỉ số

V

V , biết ( )P cách OO'

khoảng 2

a

A.

2  



 B.

3

2  



 C.

2

2  



 D.

2

2  

 

Hướng dẫn giải:

Thể tích khối trụ V r h2 a2.2a2a3 Gọi thiết diện hình chữ nhật ABB A' ' Dựng lăng trụ ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ hình vẽ Gọi H trung điểm AB

Ta có OH ABOH (ABB A' ') 

2

a

OH 



2

a

AH BH  OH

OAB vuông cân O  ABCD hình vng Từ suy ra:

   

3

3

2 ' ' ' '

1 ( 2)

2 ( 2)

4 ABCD A B C D

a

V  V V  a  a a   

3

3

1

( 2) (3 2)

2

2

a a

V VV  a      Suy

3 2

V V

 

 



Chọn A

Câu 5: Cho hình trụ có bán kính đáy R5, chiều cao h6 Một đoạn thẳng AB có độ dài 10 có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách đường thẳng

AB trục hình trụ?

A. B 4 C. D.

Hướng dẫn giải:

Gọi hai đường tròn đáy    O , O'  ,  '

A O B O Kẻ hai đường sinh ,

AD BC ta tứ giác ABCD hình chữ nhật mp ABCD / /OO ' Do đó, khoảng cách OO’ AB

I B

D

O O'

bằng khoảng cách từ O đến mp ABCD  Tam giác ACB vuông C nên ta có:

2 2

10

AC AB BC   

Gọi I trung điểm AC, ta có:

 

OI AC

OI ABCD

OI AD

 

  

 

Vậy khoảng cách đường thẳng AB trục OO’ hình trụ là:

2 2

5

OI  OA IA   

Chọn B

Câu 6: Một hình trụ có bán kính đáy 50cm có chiều cao 50cm Một đoạn thẳng AB có chiều dài 100cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đến trục hình trụ

A. d 50cm B d50 3cm C. d25cm D. d 25 3cm

Hướng dẫn giải:

Kẻ AA1 vuông góc với đáy, A1 thuộc đáy Suy ra:

         

1/ / 1/ / 1, 1, 1,

OO AA OO AA B d OO AB d OO AA B d O AA B

Tiếp tục kẻ O H1  A B1 H, O1H nằm đáy nên

cũng vng góc với A1A suy ra:

 

1

O H  AA B Do

 1,   1,   1, 

d OO AB d OO AA B d O AA B O H

Xét tam giác vuông AA B1 ta có 2

1 50

A B AB AA 

Vậy O H1  O A1 12A H1 25cm

Chọn C

Câu 7: Cho hình trụ có bán kính đáy R chiều cao R lấy hai điểm A, B nằm hai đường tròn đáy cho AB2 R Tính khoảng cách từ AB đến hình trụ theo R

A

2 R

B

3 R

C

5 R

D

4 R

Hướng dẫn giải:

Giả sử A đường tròn O, BO' Từ A vẽ đường song song OO’ cắt đường tròn  O' A’

H O

A

A1

B O1

Vẽ O’H vuông góc A B’

Từ H vẽ đường thẳng song song với OO’, cắt AB K Vẽ KI/ / 'O H

Ta có: O H'  A B' AA ' nên:

 

' ' '

O H mp AA B O H HK AB

Vậy tứ giác KIO H' hình chữ nhật KI OO '

Vậy KI đoạn vng góc chung AB OO ' AA B' vuông

2 2 2

' '

A B AB AA R R R

     

Do H trung điểm A’B nên:

2

2 2

3

' ' ' ' ' '

2 4

R R R

HA  O A H O H O A A H R  

Do đó:  , OO ' ' R d AB KI O H 

Chọn A

Câu 9: Cho AA B B' ' thiết diện song song với trục OO’ hình trụ (A, B thuộc đường tròn tâm O) Cho biết AB4, AA'=3 thể tích hình trụ V 24  Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng AA ' 'B B là:

A. d 1 B d 2 C. d3 D. d 4

Hướng dẫn giải:

Kẻ OH AB OH AA B B' ' 

Và

2 AH  AB

Ta có 2

'

V OA AA  OA Mà V 24 OA2 8

 

 

2 2

: 4

, AA'B'B

OAH d OH OA AH

d O d

      

  

Chọn B

Câu 12: Cho hình trụ có hai đáy hai đường tròn  O  O , chiều cao 2R bán kính đáy

R Một mặt phẳng   qua trung điểm OO tạo với OO góc 30,   cắt đường trịn đáy theo dây cung Tính độ dài dây cung theo R

A.

3 R

B. 2

3

R

C.

3 R

D.

3 R

H

B'

A'

O O'

A B

I

K A

O' O

A'

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Dựng OH AB  ABOIHOIH  IAB IH

 hình chiếu OI lên IAB

Theo ta OIH 30

Xét tam giác vuông OIH vuông O

3 tan 30

3

R

OH OI

   

Xét tam giác OHA vuông H

2 6

3

R R

AH OA OH AB

     

Câu 13: Cho hình trụ có bán kính đáy R có chiều cao R Hai điểm , A B lần

lượt nằm hai đường trịn đáy cho góc AB trục hình trụ 30 Khoảng cách AB trục hình trụ bằng:

A R B. R C

2

R

D.

4

R

Hướng dẫn giải:

Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OAO B' R Gọi AA' đường sinh hình trụ

' ' , '

O A R AA R BAA'300 Vì OO'ABA' nên

     

', ', ' ', '

d OO AB d OO ABA d O ABA  Gọi H trung điểm A B' , suy

 

' '

' '

' '

O H A B

O H ABA

O H AA

 

 



  nên d O ',ABA'O H' Tam giác ABA' vuông A' nên BA'AA' tan 300 R Suy tam giác A BO' ' có cạnh R nên '

2

R

O H 

Chọn C

Câu 21: Cho mặt cầu bán kính Một hình trụ có chiều cao bán kính đáy thay đổi nội

tiếp mặt cầu Tính chiều cao theo bán kính cho diện tích xung quanh hình trụ lớn

 S R h r

A B. C. D

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có .

Diện tích xung quanh hình trụ

,

(dùng BĐT )

Vậy

Câu 14: Cho hình trụ có chiều caoh2,bán kính đáyr3.Một mặt phẳng P khơng vng góc với đáy hình trụ, lượt cắt hai đáy theo đoạn giao tuyến AB vàCD choABCD hình vng Tính diện tíchS hình vngABCD

A. S12  B. S 12 C. S 20 D. S20 

Hướng dẫn giải:

Kẻ đường sinh BB’ hình trụ Đặt độ dài cạnh hình vng ABCD x, x > 0

Do ' '

'

CD BC

CD B C B CD

CD BB

 

    

 

vuông C. Khi đó, B’D là đường kính c Trịn  O' Xét B CD' vuông C

2 2 2

' ' (1)

B D CD CB r x CB

     

Xét tam giác BB'C vuông B

2 2 2

' ' ' (2)

BC BB CB x h CB

     

Từ (1) (2)

2 2

20

r h

x 

  

Suy diện tích hình vng ABCD S 20

Câu 16: Một hình trụ tích V khơng đổi Tính mối quan hệ bán kính đáy chiều cao hình trụ cho diện tích tồn phần đạt giá trị nhỏ

A

2 h

R B

3 h

R C

5 h

R D

4 h R

hR h R

2 R

h

2 R h

2 2

; ,

4

h

OO h IAR AO r r R 

2 2

2

2

2

h R h

S rhh R h   

2 2 a b ab 

2 2

max

Hướng dẫn giải:

Gọi R h bán kính đáy chiều cao hình trụ Ta có: V R h2 (khơng đổi)

 

2

day

2 2

tp xq

S S  S  Rh R  RhR  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương,

Ta có: 33 . .

2 2

Rh Rh Rh Rh

R R

  

4 2

2 3 3

2

3

4

R h V

Rh R



   

 

2

2

4 tp

V

S 



  (hằng số)

Do đó: S tồn phần đạt giá trị nhỏ

2

Rh h

R R

   

Chọn A

Câu 17: Trong số khối trụ tích V, khối trụ có diện tích tồn phần bé có bán kính đáy

A.

2

V R



 B. R

V



 C. R

V



 D. R 3V 



Hướng dẫn giải:

2

2

V

V R h l h

R 



    , STP SXq 2Sd Rl R2 2V R2 R

  

     

Xét hàm số f R( ) 2V R2

R 

  với R>0,

3

3

2

'( ) , '( )

2

V R V

f R f R R

R





 

   

Bảng biến thiên

R

2

V

 +

, ( )

f R + -

( )

f R  

Từ bảng biến thiên ta thấy diện tích tồn phần nhỏ

V R





Chọn A

h

R O

Câu 18: Trong số hình trụ có diện tích tồn phần S bán kính R chiều cao h khối trụ tích lớn là:

A ;

2 2

S S

R h

 

  B ;

4

S S

R h

 

 

C ;

3

S S

R h

 

  D ;

6

S S

R h

 

 

Hướng dẫn giải:

Gọi thể tích khối trụ V, diện tích tồn phần hình trụ S Ta có: S S2daySxq 2R22Rh Từ suy ra:

2

2 2 3

2

2 2

Cauchy

S S V V V V

R Rh R R

R R R

              hay

3

2

2 27

4 54

V S S

V

  

 

   

 

Vậy

3 max

54

S V



 Dấu “=” xảy 

2

2 2

V R h Rh

R

R R



 

   hay h2R Khi

6

S

S R R



   2

S

h R



 

Chọn D

Câu 20: Chiều cao khối trụ tích lớn nội tiếp hình cầu có bán kính R

A R B.

3

R

C.

3

R

D.

3

R

Hướng dẫn giải:

Giả sử 2x chiều cao hình trụ (0xR) (xem hình vẽ)

Bán kính khối trụ r R2x2 Thể tích khối trụ là:

2

( )2

V  R x x Xét hàm số 2

( ) ( )2 ,

V x  R x x xR

Ta có : '( ) ( 2) 3

R

V x   R  x  x

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn chiều cao khối trụ 3

R

;

max

4

9

R

V  

Câu 22: Cho hình cầu tâm O, đường kính 2R hình trụ trịn xoay nội tiếp hình cầu Hãy tìm

kích thước hình trụ có thểtích đạt giá trị lớn

A.

3

R

r B.

3 R

r C.

3 R

r D.

3 R r Hướng dẫn giải:

1Gọi h r chiều cao bán kính đáy hình trụ Bài tốn quy việc tính h r phụ thuộc theo R hình chữ nhật ABCD nội tiếp hình trịn (O, R) thay đổi V r h2 đạt giá trị lớn

Ta có: 2 2 2

4

AC  AB BC  R  r h

 

2

2

1

0

4

3

'

4

V R h h h R h h R

R

V h R h

 



   

         

   

 

     

 

Vậy max 3

9

R V V  R h

Lúc

2

2

4 3

R R R

r R    r

Câu 25: Cho hình vẽ bên Tam giác SOA vng O có MN/ /SO với ,

M N nằm cạnh SA, OA Đặt SOh khơng đổi Khi quay hình vẽ quanh SO tạo thành hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy hình trịn tâm O bán kính ROA Tìm độ dài

MN để thể tích khối trụ lớn

A

2 h

MN  B

3 h

MN  C

4 h

MN  D

6 h MN 

Hướng dẫn giải:

Ta thấy quay quanh trục SO tạo nên khối trụ nằm khối chóp Khi thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật

MNPQ Ta có hình sau:

Ta có SOh; OAR Khi đặt OI MN x

Theo định lí Thales ta có IM SI IM OA SI R h. x

OA SO SO h



   

Thể tích khối trụ  

2

2

2

R

V IM IH x h x

h  

  

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

   

3 2

2

3

x h x

x hx     

 

Vậy

2

27 R h

V   Dấu '''' xảy h x Hay

3 h MN

Chọn B

A O

S

M Q

P N

B

I S

M

A

MẶT CẦU – KHỐI CẦU

A – LÝ THUYẾT CHUNG

1 Định nghĩa mặt cầu

1)Định nghĩa: Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định khoảng cách R cho trước mặt cầu tâm O bán kính R Kí hiệu S O R ; 

Như vậy, khối cầu S O R ;  tập hợp điểm M cho OM R

2) Cơng thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

Gọi R bán kính mặt cầu, ta có:

- Diện tích mặt cầu: S 4R2

- Thể tích khối cầu:

3

V  R

3)Phương pháp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

Để tìm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta cần phải tìm điểm I cách tất đỉnh

Bước 1: Dựng trục đáy: đường thẳng qua tâm đáy vng góc với đáy

Bước 2: Ta thường dựng trung trực cạnh bên cắt trục đáy I, dựng trục mặt bên cắt trục đáy I Tâm mặt cầu điểm I, bước phải tùy vào đề mà ta có cách xử lý cụ thể

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho hình chóp S ABC có SAABC, AB1, AC2 BAC60  Gọi M , N hình chiếu A SB, SC Tính bán kính R mặt cầu qua điểm A, B, C,

M , N

A. R B.

3

R C

3

R D. R1

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng, cạnh 2a, tâm O, mặt bên (SAB) tam giác SAB  ABCD Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

A. 21

3

a

R B.

3

a

R C.

2

a

R D.

3

a R

Câu 3: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc đỉnh

S mặt phẳng ABC trung điểm H cạnh BC Góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC

A. Rd G SAB ,  B 3 13R2SH C

2

4 39 ABC R S

 D. R 13

a 

Câu 4: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a Mặt phẳng AB C' ' tạo với mặt đáy góc

60 điểm G trọng tâm tam giác ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G A B C ' ' ' bằng:

A. 85 108

a

B.

2 a

C.

4 a

D. 31 36

a

Câu 5: Cho hình chóp S ABC có đường cao SH a; góc SAB 45 độ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A

2 a

B a C 3

2 a

D 2a

Câu 6: Cho khối chópS ABCD có SA(ABCD); đáyABCD hình thang vng A B với ;

ABBCa AD2a; SAa Gọi E trung điểm AD Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD

A.

2

a

R B. Ra C. 11

2

a

R D. Ra 11

Câu 7: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a cạnh bên 21

a

Gọi h

chiều cao khối chóp R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Tỉ số R

h bằng:

A.

12 B.

7

24 C.

7

6 D.

1

Câu 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, đáy lớn AD2 ,a

ABBCCDa Cạnh bên SA2 ,a vng góc với đáy Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD Tỉ số R

a nhận giá trị sau đây?

A a B a C 1 D

Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB2 ,a ADa Cạnh bên SA vng góc với đáy góc SC với đáy 45 Gọi N trung điểm SA, h chiều cao khối chóp S ABCD R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N ABC Biểu thức liên hệ R h là:

A. 4R 5h B 5R4h C.

5

R h D. 5

4

R h

Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Đường thẳng SA

A. a B. a C.

2

a

D

2 a

Câu 11: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh bên cạnh đáy a Khi mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABCD có bán kính bằng:

A  

1

a 

B  

6

a 

C  

6

a 

D  

3

a 

Câu 12: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng C BCa Mặt phẳng SAB

vng góc với đáy, SASBa, ASB 120  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABC là:

A

4 a

B

2 a

C. a D. 2a

Câu 13: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng

SAa vng góc với đáy ABCD Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng   qua hai điểm A M đồng thời song song với BD cắt SB SD, E F, Bán kính mặt cầu qua năm điểm S A E M F, , , , nhận giá trị sau đây?

A. a B a C.

2

a

D

2 a

Câu 14: Cho khối chópS ABC có SA(ABC); tam giác ABC cân A,ABa;BAC120 Gọi ,

H K hình chiếu A lên SB SC, Tính bán kính mặt cầu qua điểm , , , ,

A B C K H

A. Ra B. Ra

C. R2a D.Không tồn mặt cầu

Câu 15: Cho lăng trụ ABC A B C    có AB ACa BC,  3a Cạnh bên AA 2a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB C C 

A a B 2a C 5a D 3a

Câu 16: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vng B AC, a 3, góc 

ACB

30 Góc đường thẳng AB' mặt phẳng ABC

60 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ABC' bằng:

A.

4 a

B. 21

4

a

C. 21

2

a

D. 21

8

a

phẳng ABC

60 Gọi G trọng tâm tam giác SAC R, bán kính mặt cầu có tâm G tiếp xúc với mặt phẳng SAB Đẳng thức sau sai?

A. Rd G SAB ,  B 3 13R2SH C

2

4 39 ABC R

S  D.

R a 

Câu 18: Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với đáy, SAa Đáy ABCD hình thang vng A ,

2

B ABBC ADa Gọi E trung điểm AD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD

A.

2

a

R B. Ra C. 114

6

R a D. 26

2

a

R

Câu 19: Cho tứ diện S ABC có đáy ABC tam giác vng Avới AB3a, AC4a Hình chiếu H S trùng với tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC Biết SA2a, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A. 118

4

Ra B. 118

2

Ra C. 118

8

Ra D. Ra 118

Câu 20: Cho hình chóp S ABC có SAABC, ACb, ABc, BAC Gọi B, C hình chiếu vng góc A lên SB, SC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

A BCC B  theo b, c, 

A. R2 b2c22bccos  B

2

2 cos sin

b c bc

R 



  

C

2

2 cos 2sin

b c bc

R 



 

 D.

2

2 cos

sin

b c bc

R 



  

Câu 21: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B ABa Cạnh bên

SAa , hình chiếu điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm cạnh huyền AC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC là:

A.

2

a

B.

3

a

C.

2

a

D.

3

a

Câu 22: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, ABBCa 3,

 

90

SABSCB khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC A Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a

A. S 2a2 B. S8a2 C. S16a2 D. S 12a2

Câu 23: Cho khối chópS ABC có tam giác ABC vng B, biết AB1;AC Gọi M trung điểm BC, biết SM (ABC) Tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

A. 21

4 

B 20 C. 25

4 

D 4

Câu 24: Cho hình chóp S ABC có SAvng góc với mặt phẳng ABC, SAa AB, a,AC2 ,a



60

BAC Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A.

3a B.

2

20a C. 20

3 a D.

2 5a

Câu 25: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A, cạnh huyền BC6cm, cạnh bên tạo với đáy góc 60 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A. 48cm2 B.12cm2 C. 16cm2 D. 24cm2

Câu 26: Cho hình chóp S.ABC có ABa, SB2a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: A 11 a

S   B

2

11 a

S  C

2 12

11 a

S   D

2 12

11 a S 

Câu 27: Cho tứ diện ABCD có ABC ABD tam giác cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc với Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a

A 5

3a B.

2 11

3a C.

2

2a D.

3a

Câu 28: Cho hình chóp S ABC có SAABC, SA2a, tam giác ABC cân A BC, 2a 2,



cos

3

ACB Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A 97 a

S   B

2 97

a

S   C

2 97

a

S   D

2 97

a S  

Câu 29: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B BCa Cạnh bên SA vng góc với đáy ABC Gọi H K, hình chiếu vng góc A lên cạnh SB SC Thể tích khối cầu tạo mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A HKCB là:

A. 3 a 

B 2a3 C

3 a  D a 

Câu 30: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD là:

A. a  B. a  C. a  D. 27 a 

Câu 31: Cho bát diện đều, tính tỷ số thể tích khối cầu nội tiếp thể tích khối cầu ngoại tiếp hình bát diện

A.

2 B.

1

2 C.

1

3 D.

Câu 32: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA3 Mặt phẳng   qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD

lần lượt điểm M , N , P Thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP

A 32

3

V   B 64

3

V   . C 108

3

V   . D 125

6 V   .

Câu 33: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tập hợp điểm M cho

2 2 2

2 MA MB MC MD  a

A.Mặt cầu có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính 2

a

B.Mặt cầu có tâm trọng tâm tứ diện bán kính

a

C.Mặt cầu có tâm trọng tâm tứ diện bán kính 2

a

D.Đường trịn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính

a

Câu 34: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho

A 15

18

V   B 15

54

V   C

27

V   D

3 V  

Câu 35: Cho mặt cầu  S Có tâm I , bán kính R5 Một đường thằng  cắt  S điểm M ,

N phân biệt không qua I Đặt MN 2m Với giá trị m diện tích tam giác IMN lớn nhất?

A

2

m  B 10

2

m C

2

m D

2

m

Câu 36: Cho mặt cầu bán kính Xét hình chóp tam giác ngoại tiếp mặt cầu Hỏi thể tích nhỏ chúng bao nhiêu?

A. minV 8 B. minV 4 C. minV 9 D. minV 16

Câu 37: Khi cắt mặt cầu S O R ,  mặt kính, ta hai nửa mặt cầu hình trịn lớn mặt kính gọi mặt đáy nửa mặt cầu Một hình trụ gọi nội tiếp nửa mặt cầu

 , 

S O R nếu đáy hình trụ nằm đáy nửa mặt cầu, đường tròn đáy giao tuyến hình trụ với nửa mặt cầu Biết R1, tính bán kính đáy r chiều cao h

A 3,

2

r h B 6,

2

r h C 6,

3

r h D 3,

3

C – HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Cho hình chóp S ABC có SAABC, AB1, AC2 BAC60  Gọi M , N hình chiếu A SB, SC Tính bán kính R mặt cầu qua điểm A, B, C,

M , N

A. R B.

3

R C

3

R D. R1

Hướng dẫn giải: Chọn D

*Gọi K trung điểm ACsuy :

AK ABKC 

*Lại có

 60  60 ; 30  90 1  BAC    ABK   KBC  ABC  

*Theo giả thiêt ANC90 2 * Chứng minh AMC90 3  Thật vậy, ta có:

     

  ;

BC SA BC AB BC SAB SBC SAB

AM SB AM SBC AM MC

     

    

Từ      1 ; ; suy điểm A, B, C, M , Nnội tiếp đường trịn tâm K, bán kính

1

KAKBKCKM KN  AC 

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng, cạnh 2a, tâm O, mặt bên (SAB) tam giác SAB  ABCD Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

A. 21

3

a

R B.

3

a

R C.

2

a

R D.

3

a

R

Hướng dẫn giải:

Qua O, kẻ   1  ABCD  1 trục đường trịn ngoại tiếp hình vng

ABCD

Do SAB  ABCD nên kẻ SH  ABthì

 

Gọi E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB kẻ   2  SABtại E  2 trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB

 1 cắt  2 I: tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Tứ giác OHEI có góc vng O, H, E nên hình chữ nhật

3

2

2

a

SH  a a  EH 

Trong

2

2 2 21

:

9

a a

AIO R AI OA OI a

      

Chọn A

Câu 3: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc đỉnh

S mặt phẳng ABC trung điểm H cạnh BC Góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC

60 Gọi G trọng tâm tam giác SAC, R bán kính mặt cầu có tâm G tiếp xúc với mặt phẳng SAB Đẳng thức sau sai?

A. Rd G SAB ,  B 3 13R2SH C

2

4 39 ABC R

S  D. 13

R a 

Hướng dẫn giải:

Ta có 600 SA ABC, SA HA, SAH Tam giác ABC cạnh a nên

2

a

AH 

Trong tam giác vuông SHA, ta có



.tan

2 a SH  AH SAH 

Vì mặt cầu có tâm G tiếp xúc với SAB

nên bán kính mặt cầu Rd G SAB ,  Ta có

     

, , ,

3

d G SAB  d C SAB  d H SAB 

Gọi M E, trung điểm AB MB

Suy 3

2

CM AB

a CM

   

  

1 3

2

HE AB

a

HE CM

   

 

 

Ta có HE AB AB SHE AB HK

AB SH

 

   

 

  

2

Từ  1  2 , suy HK SAB nên d H ,SABHK Trong tam giác vng SHE, ta có

2

2 13

SH HE a

HK

SH HE

 



Vậy

3 13

a R HK 

Chọn D

Câu 4: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a Mặt phẳng AB C' ' tạo với mặt đáy góc 600 điểm G trọng tâm tam giác ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G A B C ' ' ' bằng:

A. 85 108

a

B.

2 a

C.

4 a

D. 31 36

a

Hướng dẫn giải:

Gọi M trung điểm B C' ', ta có

    

0

60  AB C' ' , A B C' ' ' AM A M, ' AMA' Trong AA M' , có '

2

a

A M  ;



' ' tan '

a AA A M AMA 

Gọi G' trọng tâm tam giác A B C' ' ', suy G' tâm đường tròn ngoại tiếp ' ' '

A B C



Vì lặng trụ đứng nên GG'A B C' ' ' Do GG' trục tam giác A B C' ' '

Trong mặt phẳng GC G' ', kẻ trung trực d đoạn thẳng GC' cắt GG' I Khi I

là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G A B C ' ' ', bán kính RGI

Ta có ' ' '

'

GP GG

GPI GG C

GI GC

 ÿ   

2 2

' ' ' ' ' 31

' ' ' 36

GP GC GC GG G C a

R GI

GG GG GG



     

Chọn D

Câu 5: Cho hình chóp S ABC có đường cao SH a; góc SAB 45 độ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A

2 a

B. a C.

2 a

Hướng dẫn giải:

Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chop S.ABCD Khi IAIBICIDIShay

(1) (2)

IA IB IC ID IA IS

  

 

 

Gọi H giao điểm AC BD Từ (1) suy ISH(*)

Trong mặt phẳng (SAH) dựng đường thẳng  trung trực SA

Từ (2), suy

  (2*)

(*) (2*) I

SH I

 

    

Gọi M trung điểm SA, đó:

2

2

SI SM SM SA SA SA SA

R SI

SA SH    SH  SH  SH Do SAB cân S có

0 45 SAB

  nên

SAB vuông cân S Đặt SAx, 2;

3

AB x

ABx HA 

Trong tam giác vuông SHA có:

2

2 2 2 3

3

9 2

x a a

SA HA SH x a x a R

a

         

Chọn C

Câu 6: Cho khối chópS ABCD có SA(ABCD); đáyABCD hình thang vng A B với

;

ABBC a AD2a; SAa Gọi E trung điểm AD Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD

A

2

a

R B. Ra C. 11

2

a

R D. Ra 11

Hướng dẫn giải:

Gọi O trung điểm CD

x x

O P

M

N

O

C

D S

B

A A

B

S

D

C

E I

Kẻ tia Ox SA Ox(ABCD)

Ta có: O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vuông CDE Ox(ABCD), nên Ox trục đường tròn (CDE)

Gọi M N, trung điểm AB SC,

Ta có: 2

2

a

SM  SA AM  ; 2

2

a

MC MB BC  nên suy SM MC

Do tam giác SMC cân M , suy MN SC

Dễ thấy (MNO) / /(SAD) CE(SAD) nên suy CE(MNO) CEMN Vậy nên MN (SEC), MN trục đường tròn (SEC)

Gọi I giao điểm MN SO I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ECD

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD R IC  IO2OC2

Trong

a

OC  3

2

SA a

IO NP  (P giao điểm MO AC)

Vậy

2 2

5 11

2 2

a a a

R           

Chọn C

Câu 7: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a cạnh bên 21

6

a

Gọi h

chiều cao khối chóp R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Tỉ số R

h bằng:

A.

12 B.

7

24 C.

7

6 D.

1

Hướng dẫn giải:

Gọi O tâm ABC, suy SOABC

a

AO

Trong SOA, ta có 2

a hSO SA AO  Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d đoạn SA

cắt SO I , suy ●Id nên ISIA ●ISO nên IAIBIC

Gọi M tung điểm SA, ta có SMI ÿ SOA nên

7a

2 12

SM SA SA R SI

SO SO

    Vậy

6 R h 

Chọn C

Câu 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, đáy lớn AD2 ,a

ABBCCDa Cạnh bên SA2 ,a vng góc với đáy Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD Tỉ số R

a nhận giá trị sau đây?

A. a B a C. D

Hướng dẫn giải:

Ta có SAAD hay SAD 90 Gọi E trung điểm AD

Ta có EA ABBC Nên ABCE

hình thoi Suy CEEA AD Do tam giác ACD vng C

Ta có:

 

DC AC

DC SAC DC SC

DC SA

 

   

  

hay SCD90

Tương tự, ta có SBBD hay SAD 90

Ta có SADSCD SBD 900 nên khối chóp S ABCD nhận trung điểm I SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính

2

2

2

SD SA AD

R   a

Suy R a 

Chọn D

Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB2 ,a ADa Cạnh bên SA vng góc với đáy góc SC với đáy

45 Gọi N trung điểm SA, h chiều cao khối chóp S ABCD R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N ABC Biểu thức liên hệ R h là:

A 4R 5h B 5R4h C.

5

R h D. 5

4

R h

Hướng dẫn giải:

D E

B A

C S

Ta có 450 SC ABCD, SC AC, SCA Trong SAC, ta có hSAa

Ta có

 

BC AB

BC SAB BN BC

BC SA

 

   

  

Lại có NA AC Do đó, hai điểm A B, nhìn đoạn NC góc vng nên hình chóp N ABC nội tiếp mặt cầu tâm J trung điểm NC, bán kính:

2

1

2 2

NC SA a

RIN  AC   

 

Chọn A

Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SA

vng góc đáy ABCD Gọi H hình chiếu A đường thẳng SB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD có giá trị sau đây?

A. a B. a C.

2

a

D

2 a

Hướng dẫn giải:

Gọi OACBD

Vì ABCD hình vng nên OBODOC  1 Ta có

 

CB BA

CB SBA CB AH

CB SA

 

   

  

Lại có AH SB Suy AH SBCAH HC nên tam giác AHC vuông H

và có O trung điểm cạnh huyền AC nên suy  2

OH OC

Từ    1 , 2

2

a

R OH OB OC OD

     

Chọn C

Câu 11: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh bên cạnh đáy a Khi mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABCD có bán kính bằng:

A  

1

a 

B  

6

a 

C  

6

a 

D  

3

a 

O

C B

A

D S

H J N

O

C

D A

B

Hướng dẫn giải:

Gọi H tâm hình vng ABCD Ta có SH trục đường tròn ngoại tiếp đáy

Gọi M trung điểm CD I chân đường phân giác góc

 ( )

SMH ISH

Suy I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính rIH

Ta có 2

;

;

2

a

SH SA AH

a a

SM MH

  

 

Dựa vào tính chất đường phân giác ta có: IS MS

IH  MH

 2

a

SH MS MH SH MH a

IH

IH MH MS MH

 

     

 

Chọn B

Câu 12: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng C BCa Mặt phẳng SAB

vng góc với đáy, SASBa, ASB 120  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABC là:

A

4 a

B

2 a

C. a D. 2a

Hướng dẫn giải:

Gọi M trung điểm AB, suy SM AB SM ABC Do đó, SM trục tam giác ABC

Trong mặt phẳng SBM, kẻđường trung trực d đoạn SB cắt SM I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABC, bán kính RSI

Ta có: AB SA2SB22SA SB c osASB a Trong tam giác vng SMB ta có



os os60 a SM SB c MSBa c 

Ta có SPI SMB Suy SM SP R SI SB SP a SB  SI    SM 

Chọn C

M

C

A B

S

I

Câu 13: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng

SAa vng góc với đáy ABCD Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng   qua hai điểm A M đồng thời song song với BD cắt SB SD, , E F Bán kính mặt cầu qua năm điểm , , ,S A E M F, nhận giá trịnào sau đây?

A. a B. a C.

2

a

D

2 a

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng   song song với BD cắt SB, SD E, F nên EF / /BD SAC. cân A, trung tuyến AM nên AM SC  1

Ta có BD AC BD SAC BD SC BD SA

 

   

  

Do EFSC  2

Từ    1 , suy SC   SCAE  *

Lại có:

   **

BC AB

BC SAB BC AE

BC SA  

   

  

Từ    * , ** suy AESBCAESB

Tương tự ta có AFSD Do SEA SMA SFA900 nên điểm , , ,S A E M F, thuộc mặt cầu tâm I trung điểm SA, bán kính

2

SA a

R 

Câu 14: Cho khối chópS ABC có SA(ABC); tam giác ABC cân A,ABa;BAC120 Gọi

,

H K hình chiếu A lên SB SC, Tính bán kính mặt cầu qua điểm , , , ,

A B C K H

A. Ra B. Ra

C. R2a D.Không tồn mặt cầu

Hướng dẫn giải:

Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC AD đường kính đường trịn ( )I

Tam giác ACD vuông C, suy ra:

DC AC mà DCSA nên DC(SAC)

M F E

O

C

D A

B

S

Ta lại có:

( ( )

AK KC

AK KC

AK DC DC KCD

 

  

 



Suy tam giác AKD vuông K, suy ra: IAIDIK Tương tự ta có: IAIDIH

Vậy IAIBICIKIH ,

do điểm A B C K H, , , , nằm mặt cầu(đpcm)

Bán kính R mặt cầu bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

Áp dụng định lý cos ta có: BC AB2AC22AB AC .cos120 a

Áp dụng định lý sin ta có:

sin sin

2

BC BC a

R R a

A   A 

Chọn B

Câu 15: Cho lăng trụ ABC A B C    có AB ACa BC,  3a Cạnh bên AA 2a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB C C 

A. a B 2a C 5a D 3a

Hướng dẫn giải: Chọn B.

Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB C C  tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng cho Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường thẳng qua O vng góc với ABC cắt mặt phẳng trung trực AA I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp

Mặt khác 

2 2

1 cos

2

AB AC BC

A

AB AC

 

 

Ta có: 0

2 sinA 2sin120 ABC

BC a

R   a RIA OI2OA2  a2a2 a

Câu 16: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vng B AC, a 3, góc 

ACB

30 Góc đường thẳng AB' mặt phẳng ABC

60 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ABC' bằng:

A.

4 a

B. 21

4

a

C. 21

2

a

D. 21

8

a

Ta có 600 AB',ABCAB AB', B AB' Trong tam giác ABC, ta có sin

2

a

AB AC ACB

Trong B BA' , ta có ' tan'

a BB  AB B AB Gọi N trung điểm AC,

suy N tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

Gọi I trung điểm A C' ,

suy IN/ / 'A AIN ABC Do IN trục ABC, suy IAIBIC  1

Hơn nữa, tam giác A AC' vng A có I trung điểm A'C nên IA'IB'IC' 2 

Từ    1 , , ta có IA'IAIBIC hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A ABC' với bán kính

2

' AA' 21

'

2

A C AC a

RIA    

Chọn B

Câu 17: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh ,a hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ABC trung điểm H cạnh BC Góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC

60 Gọi G trọng tâm tam giác SAC R, bán kính mặt cầu có tâm G tiếp xúc với mặt phẳng SAB Đẳng thức sau sai?

A. Rd G SAB ,  B 3 13R2SH C

2

4 39 ABC R

S  D.

R a 

Hướng dẫn giải:

Ta có 600 SA ABC, SA HA, SAH Tam giác ABC cạnh a nên

2

a

AH 

Trong tam giác vng SHA, ta có



.tan

2 a SH AH SAH 

Vì mặt cầu có tâm G tiếp xúc với SAB nên bán kính mặt cầu Rd G SAB , 

I

N A

B A'

B'

Ta có ,  ,  , 

3

d G SAB  d C SAB  d H SAB  Gọi M, E trung điểm ,

AB MB

Suy 3 CM AB a CM       

1 3

2 HE AB a HE CM        

Gọi K hình chiếu vng góc H lên SE, suy HK SE  1

Ta có

   2

HE AB

AB SHE AB HK

AB SH         

Từ    1 , HK SAB d H,  ,SABHK Trong tam giác vuông SHE, ta có

2

13

SH HE a

HK SH HE    Vậy 13 a R HK 

Chọn D

Câu 18: Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với đáy, SAa Đáy ABCD hình thang vng A ,

2

B ABBC ADa Gọi E trung điểm AD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD

A

2

a

R B. Ra C. 114

6

R a D. 26

2

a R

Hướng dẫn giải:

Gọi H trung điểm CD d đường thẳng qua H vng góc với đáy Gọi I R tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp

S CDE Suy I thuộc D Đặt IH x Trong mp ASIH kẻ đường thẳng qua I song song với AH cắt AS K

Ta có:

2

2 2

a ID IH HD x 

 

2 2 2

2 2

2 2

2

2

IS IK KS AH KS

a

AC CH KS a a x

Suy ra:  

2 2

2 2

2

2

a a a

x   a   a x  x

Vậy bán kính mặt cầu 114

a

R

Chọn C

Câu 19: Cho tứ diện S ABC có đáy ABC tam giác vng Avới AB3a, AC4a Hình chiếu H S trùng với tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC Biết SA2a, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A. 118

4

Ra B. 118

2

Ra C. 118

8

Ra D. Ra 118

Hướng dẫn giải: Chọn A

Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Tính r AB AC a AB AC BC

 

 

Tính AH a

a

MH 

Tam giác SAH vuông Hsuy 2

2

SH  SA AH a

Gọi M trung điểm BCvà  trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC Suy O 

Ta có:

2 2 2

OC OS OM MC SK OK 2

2 25

( 2)

4 4

a a

OM OM a OM a

      

Suy 118

ROC  a

A

B

C S

M H

A

B

C H

M

H M

S

K

Câu 20: Cho hình chóp S ABC có SAABC, ACb, ABc, BAC Gọi B, C hình chiếu vng góc A lên SB, SC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

A BCC B  theo b, c, 

A. R2 b2c22bccos  B

2

2 cos sin

b c bc

R 



  

C

2

2 cos 2sin

b c bc

R 



 

 D.

2

2 cos

sin

b c bc

R 



  

Hướng dẫn giải: Chọn C

Gọi M N, trung điểm AB AC Tam giác ABB vuông B nên M tâm đường

trịn ngoại tiếp tam giác ABB, suy trục tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABB đường trung trực

 AB(xét mp ABC)

Tam giác ACC vng C nên N tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác ACC, suy trục tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác ACC đường trung trực

 AC(xét mp ABC)

Gọi I    1 I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC I cách đếu điểm , , , B , C

A B C   nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCB C 

Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCB C  R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giácABC

Ta có ABC

AB AC BC R

S



1 .sin

2

c b BC

bc 



2

2 cos 2sin

b c bc 



 



Câu 21: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B ABa Cạnh bên

SAa , hình chiếu điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm cạnh huyền AC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC là:

A.

2

a

B.

3

a

C.

2

a

D.

3

a

Hướng dẫn giải:

Gọi M trung điểm AC, suy SM ABCSM  AC

Tam giác SAC có SM đường cao trung tuyến nên tam giác SAC cân S

Ta có AC AB2BC2 a 2, suy tam giác SAC Gọi G trọng tâm tam giác SAC, suy GS GAGC  1

Tam giác ABC vng B, có M trung điểm cạnh huyền AC nên M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Lại có SM ABC nên SM trục tam giác ABC Mà G thuộc SM nên suy GAGBGC  2

Từ    1 , , suy GS GAGBGC hay G tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC Bán kính mặt cầu

3

a

RGS SM 

Chọn B

Câu 22: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, ABBCa 3,

 

90

SABSCB khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC A Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a

A. S 2a2 B S8a2 C. S16a2 D. S 12a2

Hướng dẫn giải:

Gọi H hình chiếu S lên (ABC)

Ta có BC SC HC BC

SH BC

 

  

 

Tương tự, AH AB

Và ABC vuông cân B nên ABCH hình vng

Gọi O ACBH O, tâm hình vng

Dựng đường thẳng d qua O vng góc với ABCH, dựng mặt phẳng trung trực SA qua trung điểm J cắt d I I, tâm mặt cầu ngoại tiếp Ta hồn tồn có IJ SAIJ / /ABI trung điểm SB, hay I dSC

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: . IJ2 2; IJ

2

S SBC

AB a

r AI  JA  

Do AH/ /SBCd A SBC , d H SBC , HK

( K hình chiếu H lên SC BC SHC HK SBC )

HK a

  tam giác SHC vuông H SH a

J I

O

B H

A

C S

Tam giác SHA vuông H SA3a

2

3 12

2 S ABC mc

SA a

JA  r AI a S  r  a

Chọn D

Câu 23: Cho khối chópS ABC có tam giác ABC vng B, biết AB1;AC Gọi M trung điểm BC, biết SM (ABC) Tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

SMABvàb SMACbằng 15 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABC là:

A. 21

4 

B 20 C. 25

4 

D 4

Hướng dẫn giải:

Dễ kiểm tra BC2a tam giác MAB

đều cạnh a Đặt SM h

Gọi R R1, 2 R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình SMAB, SMAC

S ABC

Gọi r r1, 2 r bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác MAB, MAC

ABC

Ta có: 1

r  2

2.sin120 AC

r  



Vì SA(MAB), SA(MAC) nên dễ kiểm tra được:

2 2

2

1

3

2 4

h h

R    r  

 

2 2

2

2

2

h h

R    r  

 

Theo giả thiết tổng diện tích mặt cầu thì: 4R12R2215 Suy ra:

2

3 15

1

4 4

h h

    Từ tìm h2

Dựng trung trực SC, cắt SM I I tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC

Dễ kiểm tra SI SM SN SC , suy SN SC R SI

SM

  

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABC

2

5 25

4

4

S      

 

Chọn C

N

M A

B

C S

Câu 24: Cho hình chóp S ABC có SAvng góc với mặt phẳng ABC,SAa AB, a,AC2 ,a



60

BAC Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A.

3a B.

2

20a C. 20

3 a D.

2 5a

Hướng dẫn giải:

Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, dlà đường thẳng qua Hvà vuông góc với mặt phẳng (ABC), gọi   mặt phẳng trung trực SA, O giao điểm củad

và   Khi O tâm hình cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

Theo định lí hàm số cosin ta có :   

2

2

2

2 AC.cos 2 cos 60

BC AB AC AB BAC

a a a a a

  

   

Diện tích tam giác ABC:



1

.AB.AC.sin

2

ABC

a

S  BAC

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

.2 a

4

4 ABC

AB BC AC a a

AH a

S a

  

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABC :

 

2

2

2

a a

ROA AH OH  a    

 

Diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

2

4

2 a

S  R      a

 

 

Chọn D

Câu 25: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A, cạnh huyền BC6cm, cạnh bên tạo với đáy góc 60 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A. 48cm2 B.12cm2 C. 16cm2 D. 24cm2

Gọi H hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABC

Gọi O trung điểm BC

Tam giác ABC vuông A, O trung điểm cạnh huyền BC, suy OAOBOC (1)

Xét tam giác SHA, SHB, SHC có:

  

  

90 60

( ) (2)

SH

SHA SHB SHC

SAH SBH SCH

SHA SHB SHC g c g HA HB

ch ng

HC u

 

    



    

        

Từ  1  2 suy H trùng O Khi SH trục đường trịn ngoại tiếp ABC

Trong SAH dựng trung trực SA cắt SH I

Khi IAIBICIS Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

SBC

 cạnh 6cm 3 2.3 3

3

SO SI SO

     

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là:    

2

4 48

S     cm

Câu 26: Cho hình chóp S.ABC có ABa, SB2a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:

A

2

11 a

S   B

2

11 a

S  C

2 12

11 a

S   D

2 12

11 a S 

Hướng dẫn giải:

1) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Xác định tâm mặt cầu

Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, S ABC hình chóp nên SO trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Trong tam giác

SOAdựng đường trung

trực  cạnh bên SA,  cắt SO I

và cắt SA trung điểm J Ta có:

I SO IA IB IC

IA IB IC IS

I IA IS

    

    

    

Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

Gọi M  AOBC M trung điểm BC

Ta có: 3

2

AB a

AM  

3

a

AO AM

  

Trong tam giác vuông SOA ta có

2

2 2 33

4

9

a a

SO SA AO  a  

Xét hai tam giác vng đồng dạng SJI SOAta có:

2

4 33

2 33 11

2

SI SJ SA a a

R SI

SA SO   SO  a  2) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu

Diện tích mặt cầu là:

2

2

2 33 12

4

11 11

a a

S R     

 

Câu 27: Cho tứ diện ABCD có ABC ABD tam giác cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc với Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a

A.

3a B.

2 11

3a C.

2

2a D.

3a

Hướng dẫn giải:

Gọi M Trung điểm AB

Vì Tam giác ADB tam giác ABC tam giác DM AB CM; AB

Do có ABC ABD tam giác cạnh a nằm hai mặt phẳng vuông góc với => Góc DMC900

Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABC G tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABD => H,G đồng thời trọng tâm tam giác ABC ABD

2 ;

3 ;

3

H CM CH CM

G DM DG DM



 

   

  

 

Kẻ Đường vng góc với đáy (ABC) từ H Đường vng góc với (ABD) từ G

Do hai đường vng góc thuộc (DMC) nên chúng cắt O

=> O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCG ROC

A C

B D

O

M G

Tam giác ABC sin 60 0 3 ;

2

CM CB a CH a HM a

     

CMTT ta có

GM  a

Từ nhận thấy OGMH hình vuông

OH a

 

Tam giác OHC vuông H → Áp dụng định lý Pitago ta có:

  3

.sin 60 ;

2

CM CB  aCH  a HM  a

2

12

OC CH OH  aR

4

3 S R a

  

Chọn A

Câu 28: Cho hình chóp S ABC có SAABC, SA2a, tam giác ABC cân A BC, 2a 2,



cos

3

ACB Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

A

2 97

a

S   B

2 97

a

S   C

2 97

a

S   D

2 97

a S  

Hướng dẫn giải: Chọn A

Gọi H trung điểm BC

2

BC

HC a

  

Do ABC cân A  AH BC



cos 3

3

ACB  AC HCAC a

2 2

18

AH AC HC a a a

     

Gọi M trung điểm AC, mp ABC

vẽ đường trung trực AC cắt AH O O

là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC

Ta có cos sin cos 2

3 3

ACH   CAH   CAH 

Trong AMO vuông M 

2

9

4 2 cos

3

a

AM a

AO

CAH

Gọi N trung điểm SA Trong mp SAH vẽ trung trực SA cắt đường thẳng qua O vng góc mp ABC I Chứng minh I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABC

Ta có ANIOlà hình chữ nhật

 đường chéo

2

2 81 97 97

16 16

a a

AI  AO AN  a   a

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

2

2 97 97

4

16

a

S  R    a (đvdt)

Câu 29: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B BC a Cạnh bên SA vng góc với đáy ABC Gọi H K, hình chiếu vng góc A lên cạnh SB SC Thể tích khối cầu tạo mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A HKCB là:

A. 3 a 

B 2a3 C

3 a  D a 

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết, ta có    

90 , 90

ABC AKC Do

 

   2

AH SB

AH HC

BC AH BC SAB

         

Từ    1 , suy r aba điểm B H K, , nhìn xuống AC góc

90 nên hình chóp A HKCB nội tiếp mặt cầu tâm I trung điểm AC, bán kính

2

2 2

AC AB a

R  

Vậy thể tích khối cầu

3

4

3

a

V  R   (đvdt)

Chọn A

Câu 30: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD là:

A. a  B. a  C. a  D. 27 a 

Hướng dẫn giải:

Gọi OACBD, suy SOABCD Ta có 60 =0 SB ABCD, SB OB, SBO Trong SOB, ta có tan

2

a

SOOB SBO

Ta có SO trục hình vng ABCD

Trong mặt phẳng SOB, kẻ đường trung trực d đoạn SB

Gọi I SO d I SO IA IB IC ID

I d IS IB

   

 

   

 

 

IA IB IC ID IS R

     

Xét SBD có   60o

SB SD

SBD SBO

  

 

  



SBD



Do d đường trung tuyến SBD Suy I trọng tâm SBD Bán kính mặt cầu

3

a

RSI  SO Suy

3

4

3 27

a

V  R  

Chọn D

Câu 31: Cho bát diện đều, tính tỷ số thể tích khối cầu nội tiếp thể tích khối cầu ngoại tiếp hình bát diện

A.

2 B.

1

2 C.

1

3 D.

1 3

Hướng dẫn giải:

Gọi cạnh bát diện ;a bát diện có mặt chéo hình vng; độ dài đường chéo ACBDSS'a

Mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp có tâm O, bán kính mặt cầu ngoại tiếp

2

AC a

ROA 

Bán kính mặt cầu nội tiếp khoảng cách từ O đến mặt bên Hình có

2

SO OM a

r OH

SO OM

  

 Có

3 r

R  tỷ số thể tích khối cầu nội tiếp cho khối cầu ngoại tiếp là:

3

1

3 3

r R

 

 

 

   

   

Chọn D

Câu 32: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA3 Mặt phẳng   qua A vuông góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD

lần lượt điểm M , N , P Thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP

A 32

3

V   B 64

3

V   . C 108

3

V   . D 125

6 V   .

Chọn A

Ta có:

 ,    1

CB SAD AM  SAB AM CB

  SC AM,    AM SC  2 Từ      

 ,

90

AM SBC

AM MC AMC

 

    

Chứng minh tương tự ta có APC90

Có AN SCANC90

Ta có: AMC APC APC90

 khối cầu đường kính AC khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP Bán kính cầu

2 AC r  Thể tích cầu: 32

3

V  r  

Câu 33: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tập hợp điểm M cho

2 2 2

2 MA MB MC MD  a

A.Mặt cầu có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính 2

a

B.Mặt cầu có tâm trọng tâm tứ diện bán kính

a

C.Mặt cầu có tâm trọng tâm tứ diện bán kính 2

a

D.Đường trịn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính

a

Hướng dẫn giải: Chọn B

Gọi I J, trung điểm ,

AB CD Gọi K trung điểm IJ (Lúc này, K trọng tâm tứ diện)

Áp dụng định lý đường trung tuyến tam giác, ta có:

2

2 2

2

2 2

2

2

2

2

AB a

MA MB MI MI

CD a

MC MD MJ MJ



    

  

     

 

C

A D

B

S

M

 

2 2 2 2

2

MA MB MC MD MI MJ a

      

2

2

2

2 IJ

MK a

 

   

 

Ta có:

2

2 2 2

2

2 4

IC ID CD a a a a

IJ    IC     

 

 

2

2 2 2

4

2 a

MA MB MC MD MK

     

Do đó:

2

2 2 2 2

2

2

a a

MA MB MC MD  a  MK   a MK 

Vậy tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức đề mặt cầu tâm K, bán kính

a

Câu 34: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác

đều nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho

A 15

18

V   B 15

54

V   C

27

V   D

3 V  

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi O tâm đường tròn tam giác ABC suy O trọng tâm, H trung điểmAB, kẻ đường thẳng qua O song song SH cắt SC N ta NOABC, gọi M trung điểmSC, HM cắt NO I

Ta có HSHC nên HM SCIS ICIAIBr

Ta có

0 2 6

45 , ,

3 3

CN CO

NIM HCS CN SM SN

CS CH

           

Suy

12

NM SM SN 

NMI

 vuông M

0

tan 45

12

NM

IM NM

IM

   

Suy 2

12

Vậy 15

3 54

V  r  

Cách khác:

Gọi , P Q trọng tâm tam giácSAB ABC

Do tam giác SAB ABC tam giác cạnh nên , P Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

+ Qua P đường thẳng vng góc với mặt phẳng SAB, qua O dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng ABC Hai trục cắt ,I suy IAIBICIS Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC RIC

+ Xét

2

2 3 15

: IC

3

IQC IG GC    

                

Vậy 15

3 54

V  R  

Câu 35: Cho mặt cầu  S Có tâm I , bán kính R5 Một đường thằng  cắt  S điểm M ,

N phân biệt không qua I Đặt MN 2m Với giá trị m diện tích tam giác IMN lớn nhất?

A

2

m  B 10

2

m C

2

m D

2

m

Hướng dẫn giải:

Gọi H trung điểm MN, ta có : IH  25m2

Diện tích tam giác IMN :

2

2

1

25

2

25

(25 )

2 IMN

S IH MN m m

m m

m m

  

 

  

Suy 25 IMN

S  Dấu ‘=’ xãy

2

25

2 m  m m

Chọn D

Câu 36: Cho mặt cầu bán kính Xét hình chóp tam giác ngoại tiếp mặt cầu

Hỏi thể tích nhỏ chúng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi cạnh đáy hình chóp a Ta có SIJ~ SMH

 

 

 

 

2

2

2 2

2 2

2 2

1

12

2

12 12

SI IJ

SM MH

MH SH IH IJ SH HM

MH SH SH HM

a SH a SH

a

SH a

a

 

   

   

   

  



4

2

1 3

1 12

3 ABC 12

a

S S SH

a

a a

  

  Ta có

1 12

48

a a  S8

Câu 37: Khi cắt mặt cầu S O R ,  mặt kính, ta hai nửa mặt cầu hình trịn lớn mặt kính gọi mặt đáy nửa mặt cầu Một hình trụ gọi nội tiếp nửa mặt cầu

 , 

S O R nếu đáy hình trụ nằm đáy nửa mặt cầu, cịn đường trịn đáy giao tuyến hình trụ với nửa mặt cầu Biết R1, tính bán kính đáy r chiều cao h

của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S O R ,  để khối trụ tích lớn

A 3,

2

r h B 6,

2

r h C 6,

3

r h D 3,

3

r h

Hướng dẫn giải: Chọn C

Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường trịn đáy có tâm O' có hình chiếu O xuống mặt đáy (O') Suy hình trụ nửa mặt cầu chung trục đối xứng tâm đáy hình trụ trùng với tâm O nửa mặt cầu.Ta có: h2r2 R2

0hR1r2  1 h2

Thể tích khối trụ là: V r h2 (1 h ) h  f(h)

2

'(h) (1 h ) h

f 

     

h

3

f(h)

2 

0 0

Vậy:

0;1

2

MaxV   (đvtt)

r

3

MẶT TRÒN XOAY – KHỐI TRÒN XOAY

A – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: thể tích vật thể trịn xoay quay mơ hình (như hình vẽ) quanh trục DF

A.

3 10

9

a



B.

3 10

7

a



C.

3

2

a



D

3

3

a



Câu 2: Thể tích V khối trịn xoay thu quay hình thang ABCD quanh trục OO, biết 80,

OO  O D 24, O C 12, OA12, OB6.

A. V 43200  B.V 21600  C. V 20160  D. V 45000 

Câu 3: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a,vẽ tia Ax phía điểm B cho điểm B cách tia Axmột đoạn a Gọi H hình chiếu B lên tia, tam giác AHB quay quanh trục AB đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt trịn xoay có diện tích xung quanh

A.

2 (2 2)

2

a





B.

2 (3 3)

2

a





C.

2 (1 3)

2

a





D.

2

2

a



X

Y

A.

3 13

96

a



B.

3 11

96

a



C.

3

8

a



D.

3 11

8

a



Câu 5: Cho nửa đường trịn đường kính AB2R điểm C thay đổi nửa đường trịn đó, đặt 

CAB

  gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tìm  cho thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn

A.  60 B. 45 C. arctan

2 D.  30

Câu 6: Cho hình cầu (S) tâm O, bán kính R Hình cầu (S) ngoại tiếp hình trụ trịn xoay (T) có đường cao đường kính đáy hình cầu (S) lại nội tiếp nón trịn xoay (N) có góc đỉnh 60 Tính tỉ số thể tích hình trụ (T) hình nón (N)

A.

6 T N V

V  B.

2 T N V

V  C.

6 2 T N V

V  D.Đáp án khác

Câu 7: Cho tam giác hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh tam giác trùng với tâm hình vng, trục tam giác trùng với trục hình vng (như hình vẽ) Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình cho quay quanh trục AB

A. 136 24

9  

B. 48

3  

C. 128 24

9  

D. 144 24

9  

Câu 8: Cho hai hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh X hình vng tâm hình vng cịn lại (như hình vẽ) Tính thể tích

V vật thể trịn xoay quay mơ hình xung quanh trục XY

A  

125

V 



 B  

125 2 12

V 





C  

125 24

V





 D  

125 2

V







Câu 9: Cho tam giác ABC cạnh a nội tiếp đường tròn tâm O,

A.

3 23

126

a



B

3

24

a



C.

3 20

217

a



D.

3

4

27

a



Câu 10: Cho hình thang vng ABCD có độ dài hai đáy AB2 ,a DC4a, đường cao AD2a Quay hình thang ABCDquanh đường thẳng AB thu khối trịn xoay  H Tính thể tích V khối  H

A.

8

V  a B

3 20

a

V   C.

16

V  a D

3 40

a

V  

Câu 11: Cho tam giác ABC vng A có AB3 ,a AC 4a Khi tam giác ABC quay quanh đường thẳng BC ta khối trịn xoay Tính thể tích V khối trịn xoay

A.

V a B

3 96

5

a

V   C.

3

V  a D

3 48

5

a

V  

Câu 12: Cho hình phẳng  H mơ tả hình vẽ Tính thể tích V vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng  H quanh cạnh AB

A 772

 

V cm B 799

 

V cm C. V 254  cm3 D 826

 

V cm

A

B C

D H

O

A

7 cm 6 cm

3 cm

3 cm

5 cm

B C

E F

B – HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: thể tích vật thể trịn xoay quay mơ hình (như hình vẽ) quanh trục DF

A.

3 10

9

a



B.

3 10

7

a



C.

3

2

a



D

3

a



Hướng dẫn giải: Chọn A

Ta có tan tan 30 3

a

EF AF  a  

Khi quay quanh trục DF, tam giác AEF tạo hình nón tích

3

1

1

3 3

a a

V   EF AF     a

 

Khi quay quanh trục DF, hình vng ABCD tạo hình trụ tích

2

2 V  DC BCa aa

Thể tích vật thể trịn xoay quay mơ hình (như hình vẽ) quanh trục DFlà

3

1

10

9

a

V V V  a  a

Câu 2: Thể tích V khối trịn xoay thu quay hình thang ABCD quanh trục OO, biết 80,

OO  O D 24, O C 12, OA12, OB6.

Câu 4: Cho ba hình tam giác cạnh a chồng lên hình vẽ (cạnh đáy tam giác qua trung điểm hai cạnh bên tam gác dưới) Tính theo

a thể tích khối trịn xoay tạo thành quay chúng xung quanh đường thẳng d

A.

3 13

96

a



B.

3 11

96

a



C.

3

8

a



D.

3 11

8

a



Chọn B

Nếu ba hình tam giác khơng chồng lên

thể tích khối trịn xoay

3

3

a

V 

Thể tích phần bị chồng lên

3

3 96

a

V 

 Thể tích cần tính

3

11 96

a

V V V  

Hoặc làm sau:

Đặt V V V V1; 2; 3; 4lần lượt thể tích: khối nón sinh tam giácOABquay quanh OB, khối trịn xoay sinh hình BCFE GCHK; , khối nón sinh tam giác DEB quay quanh

BC Khi đó: Thể tích khối cần tìm là:

2

1

1 3 11

3

3 16 96

a a a a a

V V V V  V  V            

Câu 5: Cho nửa đường trịn đường kính AB2R điểm C thay đổi nửa đường trịn đó, đặt 

CAB

  gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tìm  cho thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn

A.  60 B. 45 C. arctan

2 D.  30

Hướng dẫn giải:

2 cos cos

.sin cos sin ; cos cos

AC AB R

CH AC R AH AC R

 

    

 

   

Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục ABlà

2

1

.cos sin

3

V  AH CH  R  

Đặt  

cos

t   t 2 

1

V R t t

  

 

3

3

8 2

2

6

t t t

R t t t R     

    

Vậy V lớn

t arctan

 

Chú ý: dùng PP hàm số để tìm GTNN hàm   2  f t t t

Chọn C

Câu 6: Cho hình cầu (S) tâm O, bán kính R Hình cầu (S) ngoại tiếp hình trụ trịn xoay (T) có đường cao đường kính đáy hình cầu (S) lại nội tiếp nón trịn xoay (N) có góc đỉnh 60 Tính tỉ số thể tích hình trụ (T) hình nón (N)

A.

6 T N V

V  B.

2 T N V

V  C.

6 2 T N V

V  D.

2 T N V V 

Hướng dẫn giải:

Bài toán quy hình nón tâm O ngoại tiếp hình vng ABCD nội tiếp tam giác SEF mà EF/ /AB Vì OAB tam giác vng cân nên ABBC R 2.Suy

2 3

2

2

T

AB R

V   BC

 

Ta thấy, tâm O hình trịn tâm hình vng ABCD đồng thời trọng tâm tam giác SEF

Như vậy, đường cao tam giác SEF

3

SH  OH  R

Trong tam giác EOH (vuông H,

 30

EOH  ) Ta có: EH OH 3R Thể tích hình nón

2

1

3

3

N

V  EH SH   R R R

Vậy

3

3

2

3

T N

R V

V R

 

 

Chọn A

Câu 7: Cho tam giác hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh tam giác trùng với tâm hình vng, trục tam giác trùng với trục hình vng (như hình vẽ) Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình cho quay quanh trục AB

A. 136 24

9  

B. 48

3  

C. 128 24

9  

D. 144 24

9  

Hướng dẫn giải: Chọn D

Khi xoay quanh trục AB thì:

h R' H

X

Y

Phần hình vng phía trở thành lăng trụ có bán kính R = 2, chiều cao h =



1 16 V   

Phần trở thành hình nón cụt với

 

2 2

hHK AKAH     ; R2

' 2

'

2 3 3

R AH R

R

R  AK     

Áp dụng  '2 ' 24

3 h R R

V    RR     

 

Vậy 1 2 24 136

V V V    

 

Chọn D.

Câu 8: Cho hai hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh X hình vng tâm hình vng cịn lại (như hình vẽ) Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay mơ hình xung quanh trục XY

A  

125

V





 B  

125 2 12

V







C  

125 24

V





 D  

125 2

V







Hướng dẫn giải:

Chọn C

Cách :

Khối tròn xoay gồm phần:

Phần 1: khối trụ có chiều cao 5, bán kính đáy

bằng

2 tích

2

5 125

5

2

V      

 

Phần 2: khối nón có chiều cao bán kính đáy

2 tích

2

1 5 125

3 2 12

V        

 

Phần 3: khối nón cụt tích

  2  

3

5 125 2

1 5 5

3 2 2 24

V

 

 

     

 

           

    

 

   

125 2 125 125 125

4 12 24 24

V V V V

 

   

      

Cách :

Thể tích hình trụ tạo thành từ hình vng ABCD

2 125 T

V R h 

Thể tích khối trịn xoay tạo thành từ hình vng XEYF

2

2 125

3

N

V  R h 

Thể tích khối trịn xoay tạo thành từ tam giác XDC

2

1 125

3 24

N

V  R h 

Thể tích cần tìm 2 125 24

T N N

V V V V  



   

Câu 9: Cho tam giác ABC cạnh a nội tiếp đường tròn tâm O, AD đường kính đường trịn tâm O Thể tích khối trịn xoay sinh cho phần tơ đậm (hình vẽ bên) quay quanh đường thẳng AD

A.

3 23

126

a



B

3

24

a



C.

3 20

217

a



D.

3

4

27

a



Hướng dẫn giải:

Chọn A

Khi quay tam giác ABC quanh trục AD khối nón tích là:

2 3

2

1 1 3

3 3 2 24

a a a

N   r h  HC AH        

Khi quay đường tròn tâm O quanh trục AD khối cầu tích là:

3

3

4 4

3 3 27

a a

V   R   AO      

   

A

B C

D H

A' H

B A

C

Thể tích khối trịn xoay cần tìm:     

2 2

1

72

;

7

1 1

a b c

S d I ABC R

a b c

  

   

 

Câu 10: Cho hình thang vng ABCD có độ dài hai đáy AB2 ,a DC4a, đường cao AD2a Quay hình thang ABCDquanh đường thẳng AB thu khối trịn xoay  H Tính thể tích V khối  H

A. V 8a3 B

3 20

a

V   C. V 16a3 D

3 40

a

V  

Hướng dẫn giải: Chọn D

Gọi V1 thể tích khối trụ quay hình chữ nhật DCFEquanh trục AB Gọi V2 thể tích khối nón Khi quay BCF quanh

trục AB

V thể tích khối (H)cần tìm

1

V V V =

   

3

2 40

2 2

3

a

a a a a 

   

Câu 11: Cho tam giác ABC vuông A có

3 ,

AB a AC  a Khi tam giác ABC quay quanh

đường thẳng BC ta khối trịn xoay Tính thể tích V khối trịn xoay

A.

V a B

3 96

5

a

V   C.

3

V  a D

3 48

5

a

V  

Hướng dẫn giải: Chọn A

Gọi H hình chiếu vng góc A lên BC Gọi V V1, 2 thể tích khối nón tam giác CAH BAH sinh quay quanh trục

BC

Ta có: 12 ; 16 ;

5 5

a a a

AH  CH  BH 

Suy

2 3

1

1 12 16 768

3 5 125

a a a

V     

 

2 3

2

1 12 432

3 5 125

a a a

V     

 

Vậy

3

48

a

Câu 12: Cho hình phẳng  H mơ tả hình vẽ Tính thể tích V vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng  H quanh cạnh AB

A 772

 

V cm B 799

 

V cm C. V 254  cm3 D 826

 

V cm

Hướng dẫn giải:

Vật thể tròn xoay tạo gồm hai phần:

1

V phần hình trụ trịn xoay quay hình gấp khúc ODCB quanh trục AB tạo hình trụ có chiều cao h6cm; bán kính đáy R17cm

2

V phần hình trụ trịn xoay quay hình gấp khúc AFEO quanh trục AB tạo hình nón cụt có chiều cao h 1cm; bán kính đáy lớnR4cm; bán kính đáy bé r 3cm Khi thể tích khối trịn xoay là:

   

2 2 2

1

.1 772

.49.5 4.3

3 3

h

V V V R h  R r R r       cm

Chọn A

1cm

6cm

7cm

4cm 3cm 3cm

A

E

O

B C

D F

A

7 cm 6 cm

3 cm

3 cm

5 cm

B C

E F

R

R1 C

H

A

R H r

C A

B

ỨNG DỤNG THỰC TẾ A – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Người ta bỏ bóng bàn kích thước vào hộp hình trụ có đáy hình trịn trịn lớn bóng bàn chiều cao lần đường kính bóng bàn Gọi

1

S tổng diện tích bóng bàn, S2 diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số S S là:

A. B.

5 C. D.

3

Câu 2: Một công ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm3 với chiều cao h bán kính đáy r để lượng giấy tiêu thụ giá trị r là:

A

6

2

r



 B

8

2

r



 C

8

2

r



 D

6

2

r





Câu 3: Một phễu đựng kem hình nón giấy bạc tích 12(cm3) chiều cao 4cm Muốn tăng thể tích kem phễu hình nón lên lần, chiều cao không thay đổi, diện tích miếng giấy bạc cần thêm

A.  2

(12 13 15)  cm B.  2

12 13 cm

C. 12 13 2

15 cm D.  

2 (12 13 15)  cm

Câu 4: Một phễu có dạng hình nón, chiều cao phễu 20 cm( Hình 1) Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao cột nước phễu lả 10cm Nếu bịt kín miệng phễu lật ngược lên ( Hình 2) chiều cao cột nước phễu giá trị sau

A. 10cm B. 0,87 cm

C. 1, 07 cm D. 1, 35cm

Câu 5: Cho đồng hồ cát hình vẽ ( gồm hai hình nón chung đỉnh ghép lại) đường sinh hình nón tạo với đáy góc

60 Biết chiều cao đồng hồ 30cm tổng thể tích đồng hồ 1000cm3 Nếu cho đầy lượng cát vào phần chảy hết xuống tỷ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần phía

A.

8 B.

0,6 m

0,4 m

0,6 m 1 m

R

h

h R

H O

C.

3 D.

1 64

Câu 6: Tính thể tích thùng đựng nước có hình dạng kích thước hình vẽ

A. 0, 238  3

3 m



B 0, 238  3

2 m 

C. 0, 238  3

4 m



D 0, 238  3

3 m



Câu 7: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy

A. 10 2cm B. 20cm C. 50 2cm D. 25cm

Câu 8: Một kem ốc quế gồm hai phần, phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón, giả sử hình cầu hình nón có bán kính nhau, biết kem tan chảy hết làm đầy phần ốc quế Biết thể tích kem sau tan chảy 75% thể tích kem đóng băng ban đầu, gọi h r, chiều cao bán kính phần ốc quế Tính tỷ số h

r

A. h

r  B.

h r 

C.

3 h

r  D.

16 h r 

Câu 9: Một nhà sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích

1000cm Tính bán kính nắp đậy để tiết kiệm nguyên liệu

A. 500cm

 B  

3 10 cm



C. 500 cm

 D.  

5 10 cm



Câu 10: Giả sử viên phấn viết bảng có dạng hình trụ trịn xoay đường kính đáy 1cm, chiều dài 6cm Người ta làm hộp carton đựng phấn dạng hình hộp chữ nhật có kích thước 6  cm Muốn xếp 350 viên phấn vào 12 hộp, ta kết khả sau:

Câu 11: Cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần hình nón nằm mặt phẳng đáy gọi hình nón cụt Một cốc có dạng hình nón cụt cao 9cm, bán kính đáy cốc miệng cốc 4cm Hỏi cốc chứa lượng nước tối đa số lựa chọn sau:

A. 250ml B. 300ml

C. 350ml D. 400ml

Câu 12: Một mũ vải nhà ảo thuật với kích thước hình vẽ Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên mũ (khơng kể viền, mép, phần thừa)

A. 700cm2 B. 754, 25cm2

C. 750, 25cm2 D. 756, 25cm2

Câu 13: Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ nhà thiết kế ln đặt

mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bán kính đáy gần số nhất?

A. 0,68 B.0,6 C.0,12 D.0,52

Câu 14: Khi sản xuất hộp mì tơm, nhà sản xuất ln để khoảng trống đáy hộp để nước chảy xuống ngấm vào vắt mì, giúp mì chín Hình vẽ mơ tả cấu trúc hộp mì tơm Vắt mì tơm có hình khối trụ, hộp mì tơm có dạng hình nón cụt cắt hình nón có chiều cao 9cm bán kinh đáy 6cm Nhà sản xuất tìm cách để cho vắt mì tơm tích lớn hộp với mục đích thu hút khách hàng Thể tích lớn

A. 36cm3 B. 54cm3

C. 48cm3 D. 81  3

2 cm 

Câu 15: Một ly có dạng hình nón rót nước vào với chiều cao mực nước chiều cao hình nón Hỏi bịch kính miệng ly úp ngược ly xuống tỷ số chiều cao mực nước chiều cao hình nón xấp xỉ bao nhiêu?

A B C D

2

0, 33 0,11 0, 21 0, 08

9 4cm

3cm

D

G

G B

A

B

A C

10cm

30cm

Câu 16: Một nút chai thủy tinh khối tròn xoay  H , mặt phẳng chứa trục  H cắt  H theo thiết diện hình vẽ bên Tính thể tích  H (đơn vị

cm )

A V H 23 B V H 13 C   41

3 H

V   D V H 17

Câu 17: Một bồn chứa xăng có cấu tạo gồm hình trụ nửa hình cầu đầu, biết hình cầu có đường kính 1,8m chiều dài

của hình trụ 3, 62 m Hỏi bồn chứa tối đa lít xăng trongcác giá trị sau đây?

A. 10905l B. 23650l

C. 12265l D. 20201l

Câu 18: Một hình hộp chữ nhật kích thước 4 h chứa khối cầu lớn có bán kính tám khối cầu nhỏ có bán kính cho khối lón tiếp xúc với tám khối cầu nhỏ khối cầu tiếp xúc với mặt hình hộp Thể tích khối hộp là:

A 32 32 7 B 48 32 5 C. 64 32 7 D. 64

Câu 19: Một bang giấy dài cuộn chặt lại thành nhiều vòng xung quanh ống lõi hình trụ rỗng có đường kính

12,

C mm Biết độ dày giấy cuộn 0, 6mm đường kính cuộn giấy B44, 9mm Tính chiều dài l

của cuộn giấy

A. L44m B. L38m C. L4m D. L24m

Câu 20: Cho khối cầu bán kính R Đâm thủng khối cầu khối trụ có trục qua tâm mặt cầu chiều dài hình trụ thu (xem hình vẽ) Tính thể tích vật thể cịn lại sau đục thủng

A. 36 B. 54 C. 27 D. 288

Câu 21: Một thầy giáo dự định xây dựng bể bơi di động cho học sinh nghèo miền núi từ 15 tơn có kích thước 1m20cm (biết giá

1m tôn 90000 đồng) cách: Cách 1: Gị tơn ban đầu thành hình trụ hình

Cách 2: Chia chiều dài tơn thành phần gị tơn thành hình hộp chữ nhật hình

3,62m

Biết sau xây xong bể theo dựđịnh, mức nước chỉđổđến 0,8m giá nước cho đơn vị nghiệp 9955dong m/ Chi phí tay thầy hiệu trưởng triệu đồng Hỏi thầy giáo chọn cách làm đểkhơng vượt q kinh phí (giả sử chỉtính đến chi phí theo kiện tốn)

Hình

Hình

A. Cả2 cách B.Không chọn cách

C. Cách D.Cách

Câu 22: Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng có nắp

đáy), đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào bình khối trụ đo thể tích nước trào

3 16

( )

9 dm 

Biết mặt khối trụ nằm mặt đáy hình nón khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón (như hình vẽ dưới) Tính bán kính đáy R bình nước

A. R3(dm) B. R4 (dm)

C. R2 (dm) D. R5 (dm)

Câu 23: Có miếng nhơm hình vng, cạnh 3dm, người dự định tính tạo thành hình

trụ(khơng đáy) theo hai cách sau:

Cách 1: Gò hai mép hình vng để thành mặt xunng quanh hình trụ, gọi thể tích khối trụđó V1

Cách 2: Cắt hình vng làm ba gị thành mặt xung quanh ba hình trụ, gọi tổng thể tích chúng V2

1m

20m

1m

4m 4m

Khi đó, tỉ số V V là:

A. B. C.

2 D.

1

Câu 24: Một hộp hình lập phương cạnh a bị khoét khoảng trống có dạng khối lăng trụ với hai đáy hai đường tròn nội tiếp hai mặt đối diện hình hộp Sau đó, người ta dùng bìa cứng dán kín hai mặt vừa bị cắt hộp lại cũ, chừa lại khoảng trống bên Tính thể tích khoảng trống tạo khối trụ

A. a3 B.

2a C.

3

4a D.

3 8a

Câu 25: Người ta dùng loại vải vintage để bọc khối khí khinh khí cầu, biết khối có dạng hình cầu đường kính m Biết 1m2 vải có giá 200.000 đồng Hỏi cần tối thiểu tiền mua vải để làm khinh khí cầu này?

A. 2.500.470 đồng B. 3.150.342 đồng

C. 2.513.274 đồng D. 2.718.920 đồng

Câu 26: Cho biết hình chỏm cầu có cơng thức thể tích

 2

3

h r h

 

, h chiều cao chỏm cầu r bán kính đường trịn bề mặt chỏm cầu ( bán kính khác vớibán kính hình cầu ) Bài hỏi đặt với dưa hấu hình cầu, người ta dùng ống kht thủng lỗ hình trụ chưa rõ bán kính xuyên qua trái dưa hình vẽ ( hình có AB đường kính trái dưa) Biết chiều cao lỗ 12cm ( hình trên, chiều cao độ dài HK ) Tính thể tích phần

dưa cịn lại

A. 200cm3 B. 96cm3 C. 288cm3 D. 144cm3

Câu 27: người ta cần cắt tơn có hình dạng elip với độ dài trục lớn độ dài trục bé để tôn có dạng hình chữ nhật nội tiếp elíp Người ta gị tơn hình chữ nhật thu thành hình trụ khơng có đáy hình bên Tính thể tích lớn thu khối trụ

A

B K

A. 128 3cm3

 B.  

3 64

3 2 cm C.  

3 64

3 3 cm D.  

3 128 2 cm

Câu 28: Từ khúc gỗ trịn hình trụ có đường kính 40 cm, cần xả thành xà có tiết diện ngang hình vng bốn miếng phụ tơ màu xám hình vẽ Tìm chiều rộng x miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn

A. 34 17 2 

2

x  cm B. 34 19 2 

2

x  cm

C. 34 15 2 

2

x  cm D. 34 13 2 

2

x  cm

Câu 29: Người ta thiết kế thùng chứa hình trụ tích V định Biết giá vật liệu làm mặt đáy nắp thùng đắt gấp lần so với giá làm vật liệu xung quanh thùng (chi phí cho đơn vị diện tích) Gọi h chiều cao thùng bán kinh đáy R Tính tỷ số h

R cho chi phí làm thùng nhỏ

A. h

R  B.

h

R C.

h

R D.

h R

Câu 30: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích

1000cm Bán kính nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu

A. 500

 cm B 10

 cm C 500

 cm D 10

 cm

Câu 31: Một viên phấn bảng có dạng khối trụ với bán kính đáy 0, 5cm, chiều dài 6cm Người ta làm hình hộp chữ nhật carton đựng viên phấn với kích thước 6cm5cm6cm Hỏi cần hộp kích thước để xếp 460 viên phấn?

A. 17 B.15 C. 16 D. 18

x

B A H C

B

2x

23 cm

5 cm

r

R D C A B

Câu 32: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vuông góc đường kính cách tâm khoảng 3dm để làm lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa

A. 100  3

3  dm B.  

3 43

3  dm

C. 41dm3 D. 132dm3

Câu 33: Một tục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường trịn đáy 5cm, chiều dài lăn 23cm (hình bên) Sau lăn trọn 15 vịng trục lăn tạo nên sân phẳng diện diện tích

A.

1725 cm B.

3450 cm

C. 1725 cm2 D. 862, 5 cm2

Câu 34: Một bóng bàn chén hình trụ có chiều cao Người ta đặt bóng lên chén thấy phần ngồi bóng có chiều cao

4 chiều cao Gọi V1,

V thể tích bóng chén, đó:

A 9V18V2 B 3V1 2V2 C 16V19V2 D 27V1 8V2

Câu 35: Phần không gian bên chai nước có hình dạng hình bên Biết bán kính đáy R5cm, bán kính cổ r2cm AB, 3cm, BC6cm,

16

CD cm Thể tích phần khơng gian bên chai nước bằng:

A. 495cm3 B. 462cm3

C. 490cm3 D. 412cm3

A 91125 3

4 cm B.  

3 91125

2 cm C.  

3 108000

cm

 D  

3 13500

cm



Câu 37: Nhà Nam có bàn trịn có bán kính m Nam muốn mắc bóng điện phía bàn cho mép bàn nhận nhiều ánh sáng Biết cường độ sáng C bóng điện biểu thị cơng thức ( góc tạo tia sáng tới mép bàn mặt bàn, c - số tỷ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn

A 1m B 1,2m C 1.5 m D 2m

Câu 38: Với đĩa tròn thép tráng có bán kính R 6m phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình trịn Cung trịn hình quạt bị cắt phải độ để hình nón tích cực đại?

A. 66 B. 294 C. 12, 56 D. 2,8

Câu 39: Một công ty nhận làm thùng phi kín hay đáy với thể tích theo yêu cầu 2m

mỗi yêu cầu tiết kiệm vật liệu Hỏi thùng phải có bán kính đáy R chiều cao h

là bao nhiêu?

A. ,

2

R m h m B. ,

R m h m.C ,

R m h m D. R1 ,m h2m

Câu 40: Có cốc làm giấy, úp ngược hình vẽ Chiều cao cốc 20cm, bán kính đáy cốc 4cm, bán kính miệng cốc 5cm Một kiến đứng điểm A miệng cốc dự định bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc điểm B Quãng đường ngắn để kiến thực dự định gần với kết dước đây?

2

2 sin C c

l 

 

O

N

A. 59, 98cm B. 59, 93cm C. 58, 67cm D. 58,80cm .

Câu 41: Gia đình An xây bể hình trụ tích 150 m3 Đáy bể làm bê tông giá 100 000đ m/ Phần thân làm tôn giá 90 000đ m/ 2, nắp nhơm giá 120 000đ m/ Hỏi chi phí sản suất để bể đạt mức thấp tỷ số chiều cao bể bán kính đáy bao nhiêu?

A. 22

9 B.

9

22 C.

31

22 D.

21 32

Câu 42: Học sinh A sử dụng xơ đựng nước có hình dạng kích thước giống hình vẽ, đáy xơ hình trịn có bán kính 20 cm , miệng xơ đường trịn bán kính 30 cm , chiều cao xô 80 cm Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước. Hỏi A phải trả tiền nước tháng, biết giá nước 20000đồng/1 m (số tiền làm tròn đến đơn vị đồng)?3

A. 35279 đồng B.38905 đồng C.42116 đồng D. 31835 đồng

Câu 43: Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm, đường kính 6cm Mặt đáy phẳng dày 1cm, thành cốc dày 0, 2cm Đổ vào cốc 120ml nước sau thả vào cốc viên bi có đường kính 2cm Hỏi mặt nước cốc cách mép cốc cm (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)

Câu 44: Người ta xếp hình trụ có bán kính đáy r chiều cao h vào lọ hình trụ có chiều cao h, cho tất hình trịn đáy hình trụ nhỏ tiếp xúc với đáy hình trụ lớn, hình trụ nằm tiếp xúc với sáu hình trụ xung quanh, hình trụ xung quanh tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ lớn Khi thể tích lọ hình trụ lớn là:

A. 16r h2 B.18r h2 C. 9r h2 D. 36r h2

Câu 45: Từ kim loại dẻo hình quạt hình vẽ có kích thước bán kính R5 chu vi hình quạt P8 10, người ta gò kim loại thành phễu theo hai cách:

3 Gò kim loại ban đầu thành mặt xung quanh phễu

4 Chia đôi kim loại thành hai phần gò thành mặt xung quanh hai phễu

Gọi V1 thể tích phễu thứ nhất, V2 tổng thể tích hai phễu cách Tính

2 V V ?

A.

21 V

V  B.

1

2 21 V

V  C.

1

2 V

V  D.

1

6 V V 

Câu 46: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy

A. 10 2cm B. 20cm C. 50 2cm D. 25cm

Câu 47: Một chậu nước hình bán cầu nhơm có bán kính R =10cm, đặt khung hình hộp chữ nhật (hình 1) Trong chậu có chứa sẵn khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h

= 4cm. Người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2) Bán kính viên bi gần số nguyên sau (Cho biết thể tích khối chỏm cầu

3

       

h

A. B.4 C. D 10

Câu 48: Một người có dải băng dài 130 cm, người cần bọc dải băng đỏ quanh hộp q hình trụ Khi bọc q, người dùng 10 cm dải băng để thắt nơ nắp hộp (như hình vẽ minh họa) Hỏi dải băng bọc hộp q tích lớn bao nhiêu?

A. 4000 cm B. 32000 cm C. 1000 cm D. 16000 cm

Câu 49: Một khối gạch hình lập phương (khơng thấm nước) có cạnh đặt vào chiếu phễu hình nón trịn xoay chứa đầy nước theo cách sau: Một cạnh viên gạch nằm mặt nước (nằm đường kính mặt này); đỉnh cịn lại nằm mặt nón; tâm viên gạch nằm trục hình nón Tính thể tích nước lại phễu (làm tròn chữ số thập phân)

A. V =22,27 B.V =22,30 C.V =23.10 D. 20,64

Câu 50: Một nồi hiệu Happycook dạng hình trụ khơng nắp chiều cao nồi 11.4 cm, đường kính dáy 20.8 cm Hỏi nhà sản xuất cần miếng kim loại hình trịn có bán kính Rtối thiểu để làm nồi (không kể quay nồi)

A. R18.58cm B. R19.58cm C. R13.13cm D. R14.13cm

tương ứng với đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu lại bồn (theo đơn vị )

A. 12,637m3 B.114,923m3 C. 11,781m3 D. 8,307m3

B – HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Người ta bỏ bóng bàn kích thước vào hộp hình trụ có đáy hình trịn trịn lớn bóng bàn chiều cao lần đường kính bóng bàn Gọi

1

S tổng diện tích bóng bàn, S2 diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số S S là:

A. B.

5 C. D.

3

Hướng dẫn giải: Chọn C

Gọi bán kính bóng bàn R R0

Ta có chiều cao h hình trụ lần đường kính bóng bàn nghĩa là: 5.2 10

h R R

Khi đó: 2

1 5.4 20 S   R  R

Và

2 10 20 S  R h R R R Vậy:

2 S S 

Câu 2: Một cơng ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích

27cm với chiều cao h bán kính đáy r để lượng giấy tiêu thụ giá trị r là:

A r 

 B

8 r 

 C

8 r 

 D

6 r  

Hướng dẫn giải: Chọn B

Thể tích cốc: V r h2 27 r h2 81 h 81 2 r 

 

     



Lượng giấy tiêu thụ diện tích xung quanh nhỏ

2

2 2

2 2

81 81

2 2

xq

S rl r r h r r r

r r

   

 

      

2 2

4 3

2 2 2 2

81 81 81 81

2

2 2

r r

r r r r

          81  

 (theo BĐT Cauchy)

xq

S nhỏ

2 8

4 6

2 2

81 3

2 2

r r r

r

  

R

R1 C

H

A

R H r

C A

Câu 3: Một phễu đựng kem hình nón giấy bạc tích 12(cm3) chiều cao 4cm Muốn tăng thể tích kem phễu hình nón lên lần, chiều cao không thay đổi, diện tích miếng giấy bạc cần thêm

A. (12 13 15) cm2 B.12 13cm2

C. 12 13 2

15 cm D.  

2 (12 13 15)  cm

Hướng dẫn giải:

Gọi R1 bán kính đường trịn đáy hình nón lúc đầu; h1 chiều cao hình nón lúc đầu

Gọi R2 bán kính đường trịn đáy hình nón sau tăng thể tích; h2 chiều cao hình

nón sau tăng thể tích

Ta có: 2

1 1 1

1

12

3

V  R h    R R 

2 1

2

2 2

2 2 2

1

1

4

3

V R h

V R

V R h R R

V R

h h

 



 

 

       

 

 

Diện tích xung quanh hình nón lúc đầu:  2 1 16 15

xp

S R l     cm

Diện tích xung quanh hình nón sau tăng thể tích:

 2

2 2 16 36 12 13

xp

S R l     cm

Diện tích phần giấy bạc cần tăng thêm là: S12 13 15 cm2

Chọn A

Câu 4: Một phễu có dạng hình nón, chiều cao phễu 20 cm( Hình 1) Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao cột nước phễu lả 10cm Nếu bịt kín miệng phễu lật ngược lên ( Hình 2) chiều cao cột nước phễu giá trị sau

A. 10cm B. 0,87 cm

C. 1, 07 cm D. 1, 35cm

Hướng dẫn giải:

B Ta có 2 2

8

V HM AH

V PN AP

V PN AP AP V

V HM AH AH V

                     

Khi lật ngược phễu ta có:

  3 0,87

V AK AK

V AH AH

AK AH HK cm

   

    

   

   

Câu 5: Cho đồng hồ cát hình vẽ ( gồm hai hình nón chung đỉnh ghép lại) đường sinh hình nón tạo với đáy góc

60 Biết chiều cao đồng hồ 30cm tổng thể tích đồng hồ 1000cm3 Nếu cho đầy lượng cát vào phần chảy hết xuống tỷ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần phía

A.

8 B.

1 27

C.

3 D.

1 64

Đặt  

0

0 60

OE x

OH y x y

x y              Ta có 2 2 1

.HM y 1000

3

tan 60

HM y 3000

; 3 EL x x y EL HM EL x x y EL HM                           3 9000 x y

   Từ      

  10 ,

20 x cm y cm        

Khi cát chảy hết xuống

3 cat chiem cho

0,6 m

0,4 m

0,6 m 1 m

Câu 6: Tính thể tích thùng đựng nước có hình dạng kích thước hình vẽ

A. 0, 238  3

3 m



B 0, 238  3

2 m 

C. 0, 238  3

4 m



D 0, 238  3

3 m 

Hướng dẫn giải:

Ta có        

2 2 0, 238 3

0, 0, 0, 0, 0, 0, 2.0,

3

thung tru non cut

V V V        m

 

Câu 7: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy

A 10 2cm B 20cm C 50 2cm D. 25cm

Hướng dẫn giải: :

Đặt a50cm Gọi bán kính đáy chiều cao hình nón x y x y,  , 0 Ta có

2 2

SA SH AH  x y

Khi diện tích tồn phần hình nón

2 2

tp

S x x x y

Theo giả thiết ta có:

2 2 2 2

x x x y a x x y x a

       

   

2 2

4

2 2 4 2

2

2 , :

2

x x y a x

a

x x y a x a x DK x a x

y a

    

      



Khi thể tích khối nón là:

4

4

2 2

1

3

a y

V y a

y a y a

 

 

 

V đạt giá trị lớn

2 2

y a

y



đạt giá trị nhỏ

Ta có

2 2

2 2

2 2

y a a a

y y a

y y y



   

Vậy V đạt giá trị lớn

2 2a y

y

 , tức 25

2 a

ya x  cm

Chọn D

I

H

J

O

R

h

h R

H O

Câu 8: Một kem ốc quế gồm hai phần, phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón, giả sử hình cầu hình nón có bán kính nhau, biết kem tan chảy hết làm đầy phần ốc quế Biết thể tích kem sau tan chảy 75% thể tích kem đóng băng ban đầu, gọi h r, chiều cao bán kính phần ốc quế Tính tỷ số h

r

A h

r  B.

h r 

C

3 h

r  D.

16 h r 

Hướng dẫn giải:

Thể tích kem ban đầu:   3 kem bd

V  R

Thể tích phần ốc quế: oc que

V   R h

Ta có  

4

oc que kem bd

h

V V R h R

R

 

    

Câu 9: Một nhà sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích

1000cm Tính bán kính nắp đậy để tiết kiệm nguyên liệu

A. 500cm

 B  

3 10 cm



C. 500 cm

 D.  

5 10 cm



Hướng dẫn giải:

Ta có

   

2 2

2

3

2 2 3 3

min

2

2 2 2

500

2 3 2

2 tp

tp tp

V V

S R Rh R R R

R R

V V V V

S R V S V R R cm

R R R

    



   

 

     

          

Câu 10: Giả sử viên phấn viết bảng có dạng hình trụ trịn xoay đường kính đáy 1cm, chiều dài 6cm Người ta làm hộp carton đựng phấn dạng hình hộp chữ nhật có kích thước 6  cm Muốn xếp 350 viên phấn vào 12 hộp, ta kết khả sau:

A. Vừa đủ B.Thiếu 10 viên C.Thừa 10 viên D. Không xếp

Hướng dẫn giải:

Vì chiều cao viên phấn 6cm, nên chọn đáy hộp carton có kích thước 6. Mỗi viên phấn có đường kính 1cm nên hộp ta đựng 5.6=30 viên

Do ta có 350 viên phấn nên thiếu 10 viên, nghĩa đựng đầy 11 hộp, hộp 12 thiếu 10 viên

Chọn B

Câu 11: Cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần hình nón nằm mặt phẳng đáy gọi hình nón cụt Một cốc có dạng hình nón cụt cao 9cm, bán kính đáy cốc miệng cốc 4cm Hỏi cốc chứa lượng nước tối đa số lựa chọn sau:

A. 250ml B. 300ml

C. 350ml D. 400ml

Hướng dẫn giải:

3

4

AG GC

AGC ABC AG AB

AB BD

      

3

27

AG

AG AG

   



Suy Vcoc Vnon lonVnon nho

 

2

1

.4 27 27 111 348, 72

3 3  ml

    

Vậy lượng nước tối đa 300ml

Chọn B

Câu 12: Một mũ vải nhà ảo thuật với kích thước hình vẽ Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên mũ (khơng kể viền, mép, phần thừa)

A. 700cm2 B. 754, 25cm2

C.  2

750, 25 cm D.  2

756, 25 cm

Hướng dẫn giải:

2 35

2 hinh tron

S R     ;

35 20

2 30 450

2 xqlang tru

S  rl      

 

2 35

450 756, 25

S       

 

 

Chọn D

Câu 13: Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí ngun liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bán kính đáy gần số nhất?

x

O

L E

H M

10cm

30cm

M x

N

K I

O

H

A. 0,68 B 0,6 C.0,12 D. 0,52

Hướng dẫn giải:

Gọi x x0 bán kính đáy lon sữa Khi

2 V

V x h h

x 



  

Diện tích toàn phần lon sữa

2 2

2

2

( ) 2 2 V 2 ,

S x x xh x x x x x

x x x

     



        

Bài tốn quy tìm GTNN hàm số ( )

S x x

x 

  , x0  

 

2

3 4

1

0 0, 6827

S x x

x

S x x





  

    

Câu 14: Khi sản xuất hộp mì tơm, nhà sản xuất để khoảng trống đáy hộp để nước chảy xuống ngấm vào vắt mì, giúp mì chín Hình vẽ mơ tả cấu trúc hộp mì tơm Vắt mì tơm có hình khối trụ, hộp mì tơm có dạng hình nón cụt cắt hình nón có chiều cao 9cm bán kinh đáy 6cm Nhà sản xuất tìm cách để cho vắt mì tơm tích lớn hộp với mục đích thu hút khách hàng Thể tích lớn

A. 36cm3 B. 54cm3 C. 48cm3 D. 81  3

2 cm 

Hướng dẫn giải:

Đặt HN x, 0 x6 Suy MN  6 x

Ta có IN MN IN 1, 6 x

OH  HM   

   

 

2

3

3

.1, 12

3 12

48

4

tru

V x x x x x

x x x

cm

 

 

   

  

 

   

 

Câu 15: Một ly có dạng hình nón rót nước vào với chiều cao mực nước chiều cao hình nón Hỏi bịch kính miệng ly úp ngược ly xuống tỷ số chiều cao mực nước chiều cao hình nón xấp xỉ bao nhiêu?

A B C D

Hướng dẫn giải: Chọn B

Gọi chiều cao bán kính đường tròn đáy ly Khi để cốc theo chiều xi lượng nước cốc hình nón có chiều cao bán kính đường trịn đáy

Do thể tích lượng nước bình Phần khơng chứa nước chiếm Khi úp ngược ly lại phần thể tích nước ly khơng

đổi lúc phần khơng chứa nước hình nón ta gọi chiều cao bán kính đường trịn đáy phần hình nón khơng chứa nước

Ta có phần thể tích hình nón khơng chứa

nước

Do tỷ lệ chiều cao phần chứa nước chiều cao ly trường hợp úp ngược ly

Câu 16: Một nút chai thủy tinh khối tròn xoay  H , mặt phẳng chứa trục  H cắt  H theo thiết diện hình vẽ bên Tính thể tích  H (đơn vị

cm )

A V H 23 B V H 13 C   41

3 H

V   D V H 17

0, 33 0,11 0, 21 0, 08

h R

2

h

R

8 27

V

 19

27V

'

h R'

' '

R h

R  h 19 27V

3 3

2

' 19 ' 19 ' 19

'

3 27 27

h h h h

R R

h h

   

      

 

3 ' 19

1

3 h

h 

Hướng dẫn giải: Chọn C

Thể tích khối trụ Vtru Bh1.5 42 9 Thể tích khối nón 42

6 non

V     Thể tích phần giao là: .

3

2

3 p giao

V     Vậy   16 41

3 3

9 H

V       

Câu 17: Một bồn chứa xăng có cấu tạo gồm hình trụ nửa hình cầu đầu,

biết hình cầu có đường kính 1,8m chiều dài hình trụ 3, 62 m Hỏi bồn

có thể chứa tối đa lít xăng giá trị sau đây?

A. 10905l B 23650l C 12265l D 20201l

Hướng dẫn giải: Ta có: Vtru R h2

Vì thể tích nửa hình cầu nên tổng thể tích nửa hình cầu khối cầu có

3 c

V  R

Vậy 3

12, 265

H tru C

V V V R h R  m Vậy bồn xăng chứa: 12265l

Chọn C

Câu 18: Một hình hộp chữ nhật kích thước 4 h chứa khối cầu lớn có bán kính tám khối cầu nhỏ có bán kính cho khối lón tiếp xúc với tám khối cầu nhỏ khối cầu tiếp xúc với mặt hình hộp Thể tích khối hộp là:

A. 32 32 7 B. 48 32 5 C. 64 32 7 D. 64

Hướng dẫn giải:

Gọi tâm hình cầu lớn I tâm bốn hình cầu nhỏ tiếp xúc với đáy

ABCD Khi ta có

I ABCD hình chóp với cạnh bên IA3 cạnh đáy AB2 chiều cao hình chóp Suy khoảng cách từ tâm I đến mặt đáy 1 hay chiều cao hình hộp chữ nhật là:

 

2 1 suy thể tích hình hộp 32 1  

Chọn A

3,62m

Câu 19: Một bang giấy dài cuộn chặt lại thành nhiều vòng xung quanh ống lõi

hình trụ rỗng có đường kính 12,

C  mm

Biết độ dày giấy cuộn 0, 6mm đường kính cuộn giấy B44, 9mm Tính chiều dài l cuộn giấy

A. L44m B L38m C L4m D L24m

Hướng dẫn giải:

Gọi chiều rộng băng giấy r, chiều dài băng giấy L độ dày giấy m ta tích băng giấy: V r m L  1

Khi cuộn lại ta tích:    

2

2

2 24

B C

V   m  m r B C

   

Từ    1 , suy ra:  2  2

4

m r L r B C L B C

m

 

    

Câu 20: Cho khối cầu bán kính R Đâm thủng khối cầu khối trụ có trục qua tâm mặt cầu chiều dài hình trụ thu (xem hình vẽ) Tính thể tích vật thể cịn lại sau đục thủng

A. 36 B. 54 C. 27 D. 288

Hướng dẫn giải:

Gọi bán kính khối trụ r

Khi r R29 hai chỏm cầu có chiều cao hR3 Thể tích vật thể cịn lại

       

2

3 3

4

6 36

3

R R R

V r R



  

 

   

 

    

Nhận xét: Kết không phụ thuộc vào bán kính R mà phụ thuộc vào chiều dài hình trụ

Chọn A

Câu 21: Một thầy giáo dự định xây dựng bể bơi di động cho học sinh nghèo miền núi từ 15 tơn có kích thước 1m20cm (biết giá

1m tơn 90000 đồng) cách: Cách 1: Gị tơn ban đầu thành hình trụ hình

Biết sau xây xong bể theo dựđịnh, mức nước chỉđổđến 0,8m giá nước cho đơn vị nghiệp 9955dong m/ Chi phí tay thầy hiệu trưởng triệu đồng Hỏi thầy giáo chọn cách làm đểkhông vượt kinh phí (giả sử chỉtính đến chi phí theo kiện tốn)

Hình

Hình

A. Cả2 cách B.Khơng chọn cách

C. Cách D Cách

Hướng dẫn giải:

Ở cách 2:

1m 90.000

20m 1.800.000

Ta có

0,8.6.4 19, nuoc

V   m

Do tổng tiền ởphương án 19, 2.9955 20.90000 1.991.136.  Ở cách 2:

2

20m 1.800.000 Ta có

2

2

10 10

20 2r r Vnuoc h r 0,8 . 25, 46m

 

 

        

  Do tiền nước: 253.454 đồng

Tổng tiền: 2.053.454 đồng Vậy thầy nên chọn cách

Chọn C

Câu 22: Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng có nắp

đáy), đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào bình khối trụ đo thể tích nước trào

3 16

( )

9 dm 

Biết mặt khối trụ nằm mặt đáy hình nón khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón (như hình vẽ dưới) Tính bán kính đáy R bình nước

1m

20m

1m

4m 4m

A. R3(dm) B. R4 (dm)

C. R2 (dm) D R5 (dm)

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Gọi h h, ' chiều cao khối nón khối trụ ,

R r bán kính khối nón khối trụ Theo đề ta có: h3 , 'R h 2 R

Xét tam giác SOA ta có: '

3

r IM SI h h R R

R OA SO h R

 

    

1

r R

  Ta lại có:

2

2 trô

2 16

'

9 9

R R

V r h   R   

3

8

R R dm

   

Câu 23: Có miếng nhơm hình vng, cạnh 3dm, người dự định tính tạo thành hình trụ (khơng đáy) theo hai cách sau:

Cách 1: Gị hai mép hình vng để thành mặt xunng quanh hình trụ, gọi thể tích khối trụ V1

Cách 2: Cắt hình vng làm ba gị thành mặt xung quanh ba hình trụ, gọi tổng thể tích chúng V2

Khi đó, tỉ số V V là:

A. B. C.

2 D.

1

Hướng dẫn giải:

Gọi R1 bán kính đáy khối trụ thứ nhất, có:

1 1

3 27

2

2

R R V R h

 

 

Gọi R2 bán kính đáy khối trụ thứ hai, có:

2 2

1

2

2

R R V R h

 

 

     

Chọn A

Câu 24: Một hộp hình lập phương cạnh a bị khoét khoảng trống có dạng khối lăng trụ với hai đáy hai đường tròn nội tiếp hai mặt đối diện hình hộp Sau đó, người ta dùng bìa cứng dán kín hai mặt vừa bị cắt hộp lại cũ, chừa lại khoảng trống bên Tính thể tích khoảng trống tạo khối trụ

A. a3 B.

2a C.

3

4a D.

3 8a

Hướng dẫn giải:

Ta có

2

a OE BC ; OO 'a

Thể tích là:

2 3

2

.OO '

2

a a

V OE    a  

Chọn C

Câu 25: Người ta dùng loại vải vintage để bọc khối khí khinh khí cầu, biết khối có dạng hình cầu đường kính m Biết 1m2 vải có giá 200.000 đồng Hỏi cần tối thiểu tiền mua vải để làm khinh khí cầu này?

A. 2.500.470 đồng B. 3.150.342 đồng

C. 2.513.274 đồng D. 2.718.920 đồng

Hướng dẫn giải:

2 mat cau

S  R

Với 1 

d

R  m Vậy Smat cau 4 1 4 m2 Vậy cần tối thiểu số tiền: 200000 2.513.274 đồng

Chọn C

Câu 26: Cho biết hình chỏm cầu có cơng thức thể tích

 2

3

h r h

 

, h chiều cao chỏm cầu r bán kính đường trịn bề mặt chỏm cầu ( bán kính khác vớibán kính hình cầu ) Bài hỏi đặt với dưa hấu hình cầu, người ta dùng ống khoét thủng lỗ hình trụ chưa rõ bán kính xun qua trái dưa hình vẽ ( hình có AB đường kính trái dưa) Biết chiều cao lỗ 12cm ( hình trên, chiều cao độ dài HK ) Tính thể tích phần

C' D'

B'

C

D

O' O

E A

B

A'

A

B K

dưa lại

A. 200cm3 B 96cm3 C 288cm3 D. 144cm3

Hướng dẫn giải:

Đặt r bán kính hình cầu

Chiều cao lỗ 12 nên chiều cao chỏm cầu lag r6

Bán kính chỏm cầu, bán kính đáy hình trụ là: 36

r 

Thể tích hình trụ   12 r 36

Thể tích chỏm cầu:

      2   2 

2 36 6 4 12 72

6

r r r r r r

          

  

Thể tích lỗ là:     

2 12 72

12 36

3

r r r

r 

     

        

2 3

2 6 4 24 144 4 6

4 12 72

6 12 288

3 3

r r r r

r r r

r r   

         

        

 

Thể tích hình cầu

3

r



nên thể tích cần tìm là: V 288

Chọn C

Câu 27: người ta cần cắt tôn có hình dạng elip với độ dài trục lớn độ dài trục bé để tơn có dạng hình chữ nhật nội tiếp elíp Người ta gị tơn hình chữ nhật thu thành hình trụ khơng có đáy hình bên Tính thể tích lớn thu khối trụ

A. 128 3cm3

 B.  

3 64

3 2 cm C.  

3 64

3 3 cm D.  

3 128 2 cm

Hướng dẫn giải:

Ta có  

2

2

: 16

64 16

x y

E   y x Chu vi đáy hình trụ 2R 2x R x 

  

Ta có

2

2 2 2

1

16 16 16 16

2 tru

x

AH x h x V  R h  x x x

  

            

  x

B A H C

B

2x

Đặt        

2

2

0 32 32

16 4 ' ' 32

16

3

x

x x

f x x x x f x f x

x x

 

  

         

   



  max

32 128 128

max

3 9

f x f V



 

     

 

 

TỔNG QUÁT: Elip có độ dài trục lớn 2a, trục bé 2b  

2 max

4 3 tru

a b V





Câu 28: Từ khúc gỗ trịn hình trụ có đường kính 40 cm, cần xả thành xà có tiết diện ngang hình vng bốn miếng phụ tơ màu xám hình vẽ Tìm chiều rộng x miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn

A. 34 17 2 

2

x  cm B. 34 19 2 

2

x  cm

C. 34 15 2 

2

x  cm D. 34 13 2 

2

x  cm

Hướng dẫn giải:

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang S SMNPQ4xy Cạnh hình vng 40 20 2 

2

MP

MN    cm

20 22 800

S xy xy

     (1)

Ta có 2xABMN AB20 2BD20 240 20 2  0 x20 10 2

Lại có  

2

2 2 2

40 20 1600

AB AD BD   x y 

2 2

800 80 800 80

y x x y x x

       

Thế vào  1 S 800 4 x 800 80 x 24x2 800 800 x280x3 24x4

Xét hàm số f x 800x280x3 24x4, với x0; 20 10 2  có

   2

' 1600 240 16 16 100 15

Ta có    

 

 2

0; 20 10

0; 20 10 5 34 15 2

2

' 16x 100 15x

x x

x

f x x

                     

Khi 34 15 2

x  giá trị thỏa mãn toán

Chọn C

Câu 29: Người ta thiết kế thùng chứa hình trụ tích V định Biết giá vật liệu làm mặt đáy nắp thùng đắt gấp lần so với giá làm vật liệu xung quanh thùng (chi phí cho đơn vị diện tích) Gọi h chiều cao thùng bán kinh đáy R Tính tỷ số h

R cho chi phí làm thùng nhỏ

A. h

R  B.

h

R C.

h

R D.

h R

Hướng dẫn giải:

Gọi V thể tích khối trụ, T giá tiền cho đơn vị Sxq

Ta có 2.h h tru2 tru V V R R      Ta có 2 2 2

day

tru tru xq

S R

V V

S R h R

R R             

Giá vật liệu để làm đáy là: 2 2d

G  R T  T R , Giá vật liệu làm xung quanh thùng tru xq V G T R 

Giá vật liệu làm thùng là:

 

2

2

6

tru tru tru

thung tru

V T V T V T

G T R T R V T const

R  R R 

     

  3 2

min

3 tru 6

thung tru tru

V T h

G V T T R V R

R   R

       

Câu 30: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích

1000cm Bán kính nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu

A. 500

 cm B 10

 cm C 500

 cm D 10

 cm

Hướng dẫn giải: Chọn A

Gọi h cm chiều cao hình trụ R cm bán kính nắp đậy Ta có: V R h2 1000 Suy h 10002

R 

Để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu diện tích tồn phần Stp hình trụ nhỏ

Ta có: 2

2 1000

2 2

tp

S R Rh R R

R

   



   

3

2 1000 1000 3 1000 1000

2 R R 1000

R R R R

  

    

Đẳng thức xảy 2 R2 1000 R 500

R





  

Câu 31: Một viên phấn bảng có dạng khối trụ với bán kính đáy 0, 5cm, chiều dài 6cm Người ta làm hình hộp chữ nhật carton đựng viên phấn với kích thước 6cm5cm6cm Hỏi cần hộp kích thước để xếp 460 viên phấn?

A. 17 B 15 C. 16 D. 18

Hướng dẫn giải: Chọn C.

Có cách xếp phấn theo hình vẽ đây:

Nếu xếp theo hình H1: đường kính viên phấn 2.0, 1cm nên hộp xếp tối đa số viên phấn là: 6.530

Nếu xếp theo hình H2: hàng viên xen kẽ hàng viên Gọi số hàng xếp 1,

n n

Ta có ABC cạnh CM

 

Ta phải có 2.0,5

2

n n

     xếp tối đa hàngmỗi hộp xếp tối

đa số viên phấn là:3.6 2.5 28

Nếu xếp theo hình H3:hàng viên xen kẽ hàng viên Gọi số hàng xếp 1,

m m

Ta phải có 2.0,5 10

2

m m

     xếp tối đa hàng nên hộp xếp

được tối đa số viên phấn là:3.5 3.4 27

Vậy, xếp theo hình H1 xếp nhiều phấn nhất, nên cần hộp Ta có 460 : 30 15, 3 cần 16 hộp để xếp hết 460 viên phấn

M

A B

C

H 1

H 2

23 cm

5 cm

Câu 32: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vng góc đường kính cách tâm khoảng 3dm để làm lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa

A. 100  3

3  dm B.  

3 43

3  dm

C.  3

41 dm D.  3

132 dm

Hướng dẫn giải: Chọn D

Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy, xét đường tròn ( ) : (C x5)2y2 25 Ta thấy cho nửa trục Ox  C quay quanh trục Ox ta mặt cầu bán kính Nếu cho hình phẳng  H giới hạn nửa trục Ox  C , trục Ox, hai đường thẳng

0,

x x quay xung quanh trục Ox ta khối trịn xoay phần cắt khối cầu đề

Ta có (x5)2y2 25 y  25 ( x5)2

 Nửa trục Ox  C có phương trình 2

25 ( 5) 10

y  x  xx

 Thể tích vật thể trịn xoay cho  H quay quanh Ox là:

 

2

2

2

1

0

52

10 d

3

x

V  xx x x    

 



Thể tích khối cầu là:

4 500

V

3

 

 

Thể tích cần tìm:  3

2

500 52

2 132

3

V V  V       dm

Câu 33: Một tục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường trịn đáy 5cm, chiều dài lăn 23cm (hình bên) Sau lăn trọn 15 vịng trục lăn tạo nên sân phẳng diện diện tích

A.

1725 cm B.

3450 cm

C. 1725 cm2 D. 862, 5 cm2

R=5 r=2 M

C F

B E

r

R D C

A B

Diện tích xung quanh mặt trụ Sxq 2Rl2 5.23 230cm2

Sau lăn 15 vịng diện tích phần sơn là: 230 15 3450 S    cm

Câu 34: Một bóng bàn chén hình trụ có chiều cao Người ta đặt bóng lên chén thấy phần ngồi bóng có chiều cao

4 chiều cao Gọi V1,

V thể tích bóng chén, đó:

A 9V18V2 B 3V1 2V2 C 16V19V2 D 27V1 8V2

Hướng dẫn giải: Chọn A

Gọi r1 bán kính bóng, r2 bán kính chén, h chiều cao chén

Theo giả thiết ta có h2r1r1 2h r h OO  

Ta có

2

2

2

3

2 16

h h

r       h

   

Thể tích bóng

3

3

1

4

3

h

V  r      h  

và thể tích chén nước

2

3

16

V B hr h h

8 V V

 

Câu 35: Phần không gian bên chai nước có hình dạng hình bên Biết bán kính đáy R5cm, bán kính cổ r2cm AB, 3cm, BC6cm, CD16cm Thể tích phần khơng gian bên chai nước bằng:

A. 495cm3 B. 462cm3

C.  3

490 cm D.  3

412 cm

Hướng dẫn giải:

Thể tích khối trụ có đường cao CD: V1R CD2 400cm3 Thể tích khối trụ có đường cao AB: V2 r AB2 12cm3

Ta có

2

MC CF

MB MB  BE    Thể tích phần giới hạn BC:

 2   3

3 78

3

V  R MCr MB   cm Suy ra: V V1V2V3490cm3

Chọn C

mảnh tôn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC; P Q tương ứng thuộc cạnh AC AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao MQ Thể tích lớn thùng mà bạn A làm là:

A. 91125 3

4 cm B.  

3 91125

2 cm

C. 108000 3 3 cm

 D  

3 13500

cm



Hướng dẫn giải:

Gọi I trung điểm BC Suy I trung điểm MN

Đặt MN=x ( 0x90 );

(90 )

MQ BM

MQ x

AI BI

    

Gọi R bán kính trụ

2 x R



 

2 3

( ) (90 ) ( 90 )

2

T

x

V  x x x

 

     

Xét 3

( ) ( 90 )

8

f x x x



   với 0x90 Khi đó:

(0;90)

13500 max ( )

x

f x

 

 x= 60

Câu 37: Nhà Nam có bàn trịn có bán kính m Nam muốn mắc bóng điện phía bàn cho mép bàn nhận nhiều ánh sáng Biết cường độ sáng C bóng điện biểu thị cơng thức ( góc tạo tia sáng tới mép bàn mặt bàn, c - số tỷ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn

A. 1m B.1,2m C.1.5 m D.2m

Hướng dẫn giải:

2

2 sin C c

l 

 

2

α l

N M

Đ

I

h

A

B M N C

Gọi h độ cao bóng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ bóng điện; I hình chiếu Đ lên mặt bàn MN đường kính mặt bàn.( hình vẽ)

Ta có , suy cường độ sáng là:

Lập bảng biến thiên ta thu kết C lớn ,

Câu 38: Với đĩa trịn thép tráng có bán kính R 6m phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình trịn Cung trịn hình quạt bị cắt phải độ để hình nón tích cực đại?

A. 66 B. 294 C. 12, 56 D. 2,8

Hướng dẫn giải: Chọn A.

Ta nhận thấy đường sinh hình nón bán kính đĩa trịn Cịn chu vi đáy hình nón chu vi đĩa trừ độ dài cung tròn cắt Như ta tiến hành giải chi tiết sau:

Gọi x m( ) độ dài đáy hình nón (phần cịn lại sau cắt cung hình quạt dĩa) Khi

2 x x r r



  

Chiều cao hình nón tính theo định lí PITAGO

2 2

2

x

h R r R



   

Thể tích khối nón là:

2

2

2

1

3 4

x x

V r h  R

 

  

Đến em đạo hàm hàm V x( ) tìm GTLN V x( ) đạt

6

x  R  

sin h

l

  2

h l 

2

2

( ) l ( 2)

C l c l

l



 

   

2

4

'

l

C l c l

l l



   



   

'

C l   l l

6

l

O

N

Suy độ dài cung tròn bị cắt là:2R4 0 360 66

  





  

Câu 39: Một cơng ty nhận làm thùng phi kín hay đáy với thể tích theo yêu cầu 2m3

mỗi yêu cầu tiết kiệm vật liệu Hỏi thùng phải có bán kính đáy R chiều cao h

là bao nhiêu?

A. ,

2

R m h m B. ,

R m h m.C ,

R m h m D. R1 ,m h2m

Hướng dẫn giải: Chọn A

Gọi R bán kính đáy thùng (m), h: chiều cao thùng (m) ĐK: R0,h0 Thể tích thùng là: 2

2

R 2

V h R h h

R

 

     

Diện tích tồn phần thùng là:

 

2

2

2

2 R R R R

tp

S h h R R R

R R

       

          

   

Đặt   2  

2

f t t t

t  

    

 

với tR

     

3

3

2

4

1

' t , ' 1

f t t f t t

t t



  

          

Từ bảng biến thiên… ta cần chế tạo thùng với kích thước R1 ,m h2m

Câu 40: Có cốc làm giấy, úp ngược hình vẽ Chiều cao cốc 20cm, bán kính đáy cốc 4cm, bán kính miệng cốc 5cm Một kiến đứng điểm A miệng cốc dự định bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc điểm B Quãng đường ngắn để kiến thực dự định gần với kết dước đây?

A. 59, 98cm B. 59, 93cm C. 58, 67cm D. 58,80cm .

Đặt b a h, , bán kính đáy cốc, miệng cốc chiều cao cốc,  góc kí hiệu hình vẽ Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng hình quạt khuyên với cung nhỏ BB"4b cung lớn AA"4a

Độ dài ngắn đường kiến độdài đoạn thẳng BA” Áp dụng định lí hàm sốcosin ta được:

2

2 cos (1)

l BO OA  BO OA 

2

( )

B A   AB a b h

 

4 ( )

1

2

4 (AA )

a a l BB OA OB AB AB AB

b

b b l OB OB b

 



 



 

       



2

2 ( ) ( )

( )

( )

a b a b

a

AB a b h

 

  

  

 

2 ( )

1 b a b h ( )

AB a a b

OB b

OB b b a b

  

    



2

2 ( )

( ) ( )

b a b h

OA OB BA a b h c

a b

 

      



Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm l 58, 79609 58,80

l cm

Ghi Để tồn lời giải đoạn BA” phải khơng cắt cung BB điểm khác B, tức BA” nằm tiếp tuyến BB B Điều tương đương với

1

2 cos b

a    

  

  Tuy nhiên, lời giải thí sinh khơng u cầu phải trình bày điều

kiện (và đề cho thỏa mãn yêu cầu đó)

Câu 41: Gia đình An xây bể hình trụ tích 150 m3 Đáy bể làm bê tơng giá 100 000đ m/ Phần thân làm tôn giá 90 000đ m/ 2, nắp nhôm giá 120 000đ m/ Hỏi chi phí sản suất để bể đạt mức thấp tỷ số chiều cao bể bán kính đáy bao nhiêu?

A. 22

9 B.

9

22 C.

31

22 D.

21 32

Hướng dẫn giải: :

Chọn A

B O

Ta có: V 150 R h2 150 h 1502 R 



    

Mà ta có: f R 100000R2120000R2 180000Rh

  2

2

150 27000000

220000 180000 220000

f R R R R

R R

  



   

Để chi phí thấp hàm số f R  đạt giá trị nhỏ với R0  

3

2

27000000 440000 27000000

440000 R

f R R

R R



 

    , cho  

3 30

440

f R R



   

Lập BBT, từ BBT suy  

R f R 30 440

R





Nên 1503 22 h

R R 

Câu 42: Học sinh A sử dụng xơ đựng nước có hình dạng kích thước giống hình vẽ, đáy xơ hình trịn có bán kính 20 cm , miệng xơ đường trịn bán kính 30 cm , chiều cao xô 80 cm Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước. Hỏi A phải trả tiền nước tháng, biết giá nước 20000đồng/1 m (số tiền làm tròn đến đơn vị đồng)?3

A. 35279 đồng B 38905 đồng C.42116 đồng D.31835 đồng

Hướng dẫn giải: Chọn D

Ta xét hình nón đỉnh A, đường cao h80 cmđáy đường trịn tâm O, bán kính 30 cm Mặt phẳng   cách mặt đáy 80 cm cắt hình nón theo giao tuyến đường trịn tâm O' có bán kính 20 cm Mặt phẳng   chia hình nón thành phần Phần I phần chứa đỉnh A, phần II phần không chứa đỉnh A ( Như hình vẽ)

Ta có ' ' ' ' 160 cm

' '

O B AO AO

AO OC  AO  AO O O   Thể tích hình nón 302 72000 cm3

3

V  AO  

Thể tích phần I

1 64000

' .20 cm

3

Vậy thể tích xơ thể tích phần II 2 1 152000 cm3 19 m 3

3 375

V VV    

Vậy số tiền phải trả 19 10.20000 31835 375

T    đồng

Câu 43: Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm, đường kính 6cm Mặt đáy phẳng dày 1cm, thành cốc dày 0, 2cm Đổ vào cốc 120ml nước sau thả vào cốc viên bi có đường kính 2cm Hỏi mặt nước cốc cách mép cốc cm (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)

A. 3, 67cm B 2, 67cm C 3, 28cm D 2, 28cm

Hướng dẫn giải: Chọn D.

Thành cốc dày 0, 2cmnên bán kính đáy trụ 2,8cm Đáy cốc dày 1cmnên chiều cao hình trụ 8cm Thể tích khối trụ V  2,8 197, 04 2  cm3

Đổ 120ml vào cốc, thể tích cịn lại 197, 04 120 77, 04cm3

Thả viên bi vào cốc, thể tích viên bi 3 .1 20, 94 ( )

3 bi

V    cm

Thể tích cốc cịn lại 77, 04 20, 94 56,1cm3 Ta có 56,1h' 2,8  2 h'2, 28 cm

Cách khác: Dùng tỉ số thể tích  2

8 2,8

5, 72

120 coc

Tr

nuoc bi nuoc bi nuoc bi nuoc bi

h V

h

V V h h

 



 

    

 

Chiều cao lại trụ 5, 72 2, 28 Vậy mặt nước cốc cách mép cốc 2, 28cm

Câu 44: Người ta xếp hình trụ có bán kính đáy r chiều cao h vào lọ hình trụ có chiều cao h, cho tất hình trịn đáy hình trụ nhỏ tiếp xúc với đáy hình trụ lớn, hình trụ nằm tiếp xúc với sáu hình trụ xung quanh, hình trụ xung quanh tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ lớn Khi thể tích lọ hình trụ lớn là:

A. 16r h2 B.18r h2 C. 9r h2 D. 36r h2

Ta có hình vẽ minh họa mặt đáy hình cho trên, ta rõ ràng nhận ,

R r đề phức tạp, nhiên để ý kĩ lại đơn giản Vậy

 2

V B h r  h r h

Câu 45: Từ kim loại dẻo hình quạt hình vẽ có kích thước bán kính R5 chu vi hình quạt P8 10, người ta gò kim loại thành phễu theo hai cách:

3 Gò kim loại ban đầu thành mặt xung quanh phễu

4 Chia đôi kim loại thành hai phần gò thành mặt xung quanh hai phễu

Gọi V1 thể tích phễu thứ nhất, V2 tổng thể tích hai phễu cách Tính

2 V V ?

A.

21 V

V  B.

1

2 21 V

V  C.

1

2 V

V  D.

1

6 V V 

Hướng dẫn giải:

Do chu vi hình quạt tròn P = độ dài cung + 2R Do độ dài cung trịn l8

Theo cách thứ nhất: 8 chu vi đường trịn đáy phễu Tức 2r 8  r

Khi h R2r2  5242 3

1

.3

V 

 

Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi hai đường tròn đáy hai phễu 8  chu vi đường tròn đáy 4 4 2 r  r

Khi h R2r2  5222  21

2

2 21.2

V 

Khi

2

4 21

7 21

3 V

V  

Câu 46: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy

A 10 2cm B. 20cm C. 50 2cm D. 25cm

Hướng dẫn giải:

Đặt a50cm

Gọi bán kính đáy chiều cao hình nón x y x y,  , 0 Ta có

2 2

   

SA SH AH x y

Khi diện tích tồn phần hình nón Stp x2x x2 y2

Theo giả thiết ta có

   

2 2 2 2

4

2 2 2 2 4 2

2

2 , :

2

      

           



x x x y a x x y x a

a

x x y a x x x y a x a x DK x a x

y a

  

Khi thể tích khối nón

4

2 2

1

3

 

 

a y

V y a

y a y a

 

V đạt giá trị lớn

2 2

y a

y đạt giá trị nhỏ

Ta có

2 2

2 2

2 2



   

y a a a

y y a

y y y

Vậy V đạt giá trị lớn

2

 a

y

y , tức  2  25

a

Lưu ý: Bài em xét hàm số lập bảng biến thiên

Câu 47: Một chậu nước hình bán cầu nhơm có bán kính R =10cm, đặt khung hình hộp chữ nhật (hình 1) Trong chậu có chứa sẵn khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h

= 4cm. Người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2) Bán kính viên bi gần số nguyên sau (Cho biết thể tích khối chỏm cầu

3

       

h

V h R )

A.2 B.4 C.7 D 10

Hướng dẫn giải:

Gọi x là bán kính viên bi hình cầu Điều kiện: < 2x <100 < x < 50

- Thể tích viên bi 3



bi

V x

- Thể tích khối nước hình chỏm cầu chưa thả viên bi vào

1

4 416 16 10

3 3

   

      

   

h

V h R  

- Khi thả viên bi vào khối chỏm cầu gồm khối nước viên bi có

thể tích là:

2

2

2 (30 ) (2 )

3



 

   

 

x x x

V  x R 

-Ta có phương trình:

3

2

3

4 (30 ) 416

4 (30 ) 416

3 3

3 30 104



        

   

bi

x x

V V V x x x x

x x

 

   

- Giải phương trình ta có nghiệm: x1 9,6257 > (loại)

x2 2,0940 < (thỏa mãn), x3 - 1,8197 (loại)

Vậy bán kính viên bi là: r  2,09 (cm)

A. 4000 cm B. 32000 cm C. 1000 cm D. 16000 cm

Hướng dẫn giải:

Một toán thực tế hay ứng dụng việc tìm giá trị lớn hàm số Ta nhận thấy, dải băng tạo thành hai hình chữ nhật quanh hộp, chiều dài dải băng tổng chu vi hai hình chữ nhật Tất nhiên chiều dài băng phải trừ phần băng dùng để thắt nơ, có nghĩa là: 22 2 rh120h30 2 r

Khi thể tích hộp q tính cơng thức:

   

2

30 2 30

V B hr  r   r  r Xét hàm số f r  2r330r2 0;15 

    0 

' 60 ; '

10

r l

f r r r f r

r

       

 

Khi vẽ BBT ta nhận

0;10    10

Max f r  f Khi thể tích hộp quà

.10 10 1000 V B h  

Câu 49: Một khối gạch hình lập phương (khơng thấm nước) có cạnh đặt vào chiếu phễu hình nón trịn xoay chứa đầy nước theo cách sau: Một cạnh viên gạch nằm mặt nước (nằm đường kính mặt này); đỉnh cịn lại nằm mặt nón; tâm viên gạch nằm trục hình nón Tính thể tích nước cịn lại phễu (làm tròn chữ số thập phân)

A. V =22,27 B.V =22,30 C.V =23.10 D. 20,64

Hướng dẫn giải:

Thiết diện hình nón song song với đáy hình nón, qua tâm viên gạch hình trịn

có bán kính R1 thỏa mãn R1  h h 2.R 3 1 

R h h

Thiết diện hình nón song song với đáy hình nón, chứa cạnh đối diện với cạnh nằm đáy hình nón hình trịn có bán kính R2 1 thỏa mãn

 

2  2  2 2. 1 2

R h h

R

R h h

Từ (1) (2) suy 2

 

   

h

h

h R2 1

Thể tích lượng nước cịn lại phễu V Vnón - Vgạch

1

2 22, 2676

 R h 

Câu 50: Một nồi hiệu Happycook dạng hình trụ không nắp chiều cao nồi 11.4 cm, đường kính dáy 20.8 cm Hỏi nhà sản xuất cần miếng kim loại hình trịn có bán kính Rtối thiểu để làm nồi (không kể quay

nồi)

A. R18.58cm B. R19.58cm

C. R13.13cm D. R14.13cm

Hướng dẫn giải:

Diện tích xung quanh nồi

1

5928 2 10, 4.11,

25

     

S rl

Diện tích đáy nồi 2 2704 25

  

S r

Suy diện tích tối thiểu miếng kim loại hình trịn

1

8632

18.58 25

      

S S S R R cm

Chọn A

Câu 51: Một bồn hình trụ chứa dầu, đặt nằm ngang, có chiều dài bồn 5m, có bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu lại bồn (theo đơn vị )

A. 12,637m3 B.114,923m3 C. 11,781m3 D. 8,307m3

Hướng dẫn giải:

Nhận xét 0,

22 R OB

OH CH    suy raOHB tam giác nửa

 60  120

HOB AOB

     

Suy diện tích hình quạt OAB là:

3

S  R  

Mặt khác:

2

3

2

4

AOB HOB BOC

OB

S  S S   (BOC đều)

Vậy diện tích hình viên phân cung AB 3

Suy thể tích dầu rút ra: Thể tích dầu ban đầu:

Vậy thể tích cịn lại: V2 V V 1 12,637m3

Chọn A

1

1

5

3

V    

 

 

2 .1 V    

B A

H