Dựng hình trụ có một đáy là (L), đáy còn lại thuộc đáy của hình nón và trục trùng với trục hình nón. Tìm d để thể tích hình trụ là lớn nhất.. Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi di[r]
(1)(2)MẶT NÓN – KHỐI NÓN A – LÝ THUYẾT CHUNG
1 Định nghĩa mặt nón
Cho đường thẳng Xét đường thẳng l
cắt O khơng vng góc với Mặt trịn xoay sinh đường thẳng l quay quanh gọi mặt nón trịn xoay hay đơn giản mặt nón
- gọi trục mặt nón - l gọi đường sinh mặt nón - O gọi đỉnh mặt nón
- Nếu gọi góc l 2 gọi góc đỉnh mặt nón
0
0 2 180
1 Hình nón khối nón
Cho mặt nón N với trục , đỉnh O góc đỉnh Gọi P mặt phẳng vng góc với I khác O
Mặt phẳng P cắt mặt nón theo đường trịn C có tâm I Gọi P' mặt phẳng vng góc với O Khi đó:
- Phần mặt nón N giới hạn mặt phẳng P P' với hình trịn xác định C gọi hình nón
- Hình nón với phần bên gọi khối nón
2 Diện tích hình nón thể tích khối nón
- Diện tích xung quanh hình nón: Sxq Rl với R bán kính đáy, l độ dài đường sinh - Thể tích khối nón:
3
V R h với R bán kính đáy, h chiều cao
Lý thuyết ngắn gọn thế, nhiên có nhiều tập vận dụng cao đòi hỏi khả tư cao
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Hình nón trịn xoay nội tiếp tứ diện cạnh a có diện tích xung quanh bằng:
A
4 xq
S a B
2 xq
S a C
3 xq
S a D 2
3 xq
S a
Câu 2: Hình nón trịn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a có diện tích xung quanh bằng:
A
2 xq
a
S B
2 xq
a
S C
2 3 xq
a
S D
2 xq
a S
Δ
O
(3)I M
P
N
Q
S
B
A O
Câu 3: Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào khối trụ đo dược thể tích nước tràn ngồi 16
9 dm
Biết mặt khối trụ nằm mặt
hình nón, điểm đường tròn đáy lại thuộc đường sinh hình nón (như hình vẽ) khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón Diện tích xung quanh Sxq bình nước là:
A 10
2 xq
S dm B Sxq 4 10 dm2 C Sxq 4dm2 D 2 xq
S dm
Câu 4: Cho khối nón trịn xoay có đường cao h20cm, bán kính đáy r25cm Một mặt phẳng (P) qua đỉnh khối nón có khoảng cách đến tâm O đáy 12 cm Khi diện tích thiết diện (P) với khối nón bằng:
A.
500 cm B.
475 cm C.
450 cm D.
550 cm
Câu 5: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh huyền Người ta quay tam giác ABC quanh cạnh góc vng để sinh hình nón Hỏi thể tích V khối nón sinh lớn
A 250
27
V B 25
27
V C 20
27
V D 250
27
V
Câu 6: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB1, đáy lớn CD3, cạnh bên AD quay quanh đường thẳng AB Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành
A. V 3 B
3
V C
3
V D
3 V
Câu 7: Cho hình bình hành ABCD có BAD00 90 ,0 ADa ADB90 Quay
ABCD quanh AB, ta vật trịn xoay tích là:
A. V a3sin2 B.V a3sin2 osc
C
2 3sin
cos
V a
D
2 3cos
sin
V a
Câu 8: Cho khối nón đỉnh O, trục OI Măt phẳng trung trực OI chia khối chóp thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần là:
A.
2 B.
1
8 C.
1
4 D.
1
Câu 9: Cho hình nón có bán kính đáy R, đường cao SO Gọi (P) mà mặt phẳng vng góc với SO O1 cho
1
SO SO Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón
nằm (P) đáy hình nón theo thiết diện hình tứ giác có hai đường chéo vng góc Tính thể tích phần hình nón nằm mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa đáy hình nón
(4)A.
3
9
R
B
3
R
C.
3 26
81
R
D.
3 52
81
R
Câu 10: Hình nón trịn xoay có trục SOR với R bán kính đáy, thiết diện qua trục hình nón tạo thành tam giác SAB tam giác Gọi I trung điểm SO E, F SO
cho
2 EI FI
EO FO Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón điểm:
A. I B. E C. F D. O
Câu 11: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy đường tròn tâm O, bán kính R5 Một thiết diện qua đỉnh S tạo thành tam giác SAB cho tam giác SAB đều, cạnh Khoảng cách từ O đến thiết diện SAB là:
A 13
3
d B 13
4
d C. d 3 D 13
3 d
Câu 12: Cho hình nón có bán kính đáy R, chiều cao 2R, ngoại tiếp hình cầu S O r( ; ) Khi đó, thể tích khối trụ ngoại tiếp hình cầu S O r( ; )
A
3 16
5
R
B.
3
R
C
3 16
R
D.
3
R
Câu 13: Một hình nón bị cắt mặt phẳng P song song với đáy Mặt phẳng P chia hình nón làm hai phần N1 N2 Cho hình cầu nội tiếp N2 hình vẽ cho thể tích hình cầu nửa thể tích N2 Một mặt phẳng qua trục hình nón vng góc với đáy cắt N2 theo thiết diện hình thang cân, tang góc nhọn hình thang cân
A. B. C. D
Câu 14: Trong hình nón nội tiếp hình cầu có bán kính 3, tính bán kính mặt đáy hình nón tích lớn
A R6 B R4 C R D R2
Câu 15: Trong tất hình nón có độ dài đường sinh a, tìm hình nón tích lớn
A
3
2
Max
27 a
V B
3 Max
9 a
V C
3 Max
27 a
V D
3
2
Max
9 a V
Câu 16: Trong hình nón trịn xoay có diện tích tồn phần Tính thể tích hình nón lớn nhất?
N2
(5)A
9
B.
12
C.
2
D.
3
Câu 17: Giá trị lớn thể tích khối nón nội tiếp khối cầu có bán kính R
A.
3R B.
3
3R C.
3
9 R D.
3 32 81R
Câu 18: Tìm hình nón tích nhỏ ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước tích bằng:
A 1
6r B
3
3r C
3
3r D
3 3r
Câu 19: Cho hình nón N có đáy hình trịn tâmO Đường kính 2a đường cao SOa Cho điểm H thay đổi đoạn thẳngSO Mặt phẳng P vng góc vớiSO tạiHvà cắt hình nón theo đường trịn C Khối nón có đỉnh O đáy hình trịn C tích lớn bao nhiêu?
A 81 a B 81 a C 81 a D 81 a
Câu 20: Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x khối trụ tích lớn nội tiếp hình nón theo h
A
2 h
x B
3 h
x C.
3 h
x D
3
h
x
Câu 21: Cho hình nón đỉnh S, đáy hình trịn tâm O, góc đỉnh 120 Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định điểm M di động Có vị trí điểm điểm M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất?
A. B.3 C.1 D.vơ số
Câu 22: Hình nón tích lớn nội tiếp mặt cầu bán kính Rcho trước bằng:
A. 64 81 R B. 32 81 R C. 32 81 R D. 64 81 R
Câu 23: Cho nửa đường tròn đường kính AB2R điểm C thay đổi nửa đường trịn đó, đặt
CAB
gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tìm cho thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn
A. 60 B. 45 C. arctan
2 D. 30
Câu 24: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V V1, 2 thể tích hình nón thể tích hình cầu nội tiếp hình nón Khi r h thay đổi, tìm giá trị bé tỉ số
2 V V
A B. 2 C.
(6)Câu 25: Với miếng tơn hình trịn có bán kính R6cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình trịn
và gấp phần cịn lại thành hình nón (Như hình vẽ)
Hình nón tích lớn người ta cắt cung trịn hình quạt bằng:
A 4 6cm B 6 6cm C 2 6cm D 8 6cm
Câu 26: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V1, V2 thể tích hình nón thể tích khối cầu nội tiếp hình nón Giá trị bé tỉ số
1 V V
A.
4 B.
4
3 C. D.
Câu 27: Cho hình nón có chiều cao h, đường trịn đáy bán kính R Một mặt phẳng (P) song song với đáy cách đáy khoảng d cắt hình nón theo đường trịn (L) Dựng hình trụ có đáy (L), đáy cịn lại thuộc đáy hình nón trục trùng với trục hình nón Tìm d để thể tích hình trụ lớn
A
3 h
d B
2 h
d C
6 h
d D
4 h d
Câu 28: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy
(7)I M P N Q S B A O
C – HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Hình nón trịn xoay nội tiếp tứ diện cạnh a có diện tích xung quanh bằng:
A
4 xq
S a B 2
6 xq
S a C
6 xq
S a D 2
3 xq
S a
Hướng dẫn giải:
Gọi S ABC tứ diện cạnh a Gọi H trung điểm cạnh BC
Kẻ SOABC a SH đường sinh hình nón Ba điểm A O H, , thẳng hàng
2
1 3
3
3
6
xq
a a
HO AH
a a a
S OH SH
Chọn A
Câu 2: Hình nón trịn xoay ngoại tiếp tứ diện cạnh a có diện tích xung quanh bằng:
A
2 xq
a
S B
2 xq
a
S C
2 3 xq
a
S D
2 xq
a S
Hướng dẫn giải:
Kẻ SOABC,SH BCOH BC
Ta có: 2 3
3 3
a a
OA AH
2 3 xq xq a
S OA SA a
a S
Chọn C
Câu 3: Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng đáy) đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào khối trụ đo dược thể tích nước tràn ngồi 16
9 dm
Biết mặt khối trụ nằm mặt
hình nón, điểm đường trịn đáy cịn lại thuộc đường sinh hình nón (như hình vẽ) khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón Diện tích xung quanh Sxq bình nước là:
A 10
2 xq
S dm B Sxq 4 10 dm2 C Sxq 4dm2 D
2 xq
(8)Hướng dẫn giải: Chọn B
Xét hình nón: hSO3r, rOB l, SA Xét hình trụ: h1 2rNQ, r1 ON QI
SQI SBO
1
3
QI SI r
r BO SO
Thể tích khối trụ là:
2 1
2 16
2
9
t
r
V r h r h l h2r2 2 10
2 10 xq
S rl dm
Câu 4: Cho khối nón trịn xoay có đường cao h20cm, bán kính đáy r25cm Một mặt phẳng (P) qua đỉnh khối nón có khoảng cách đến tâm O đáy 12 cm Khi diện tích thiết diện (P) với khối nón bằng:
A.
500 cm B
475 cm C
450 cm D
550 cm
Hướng dẫn giải:
Gọi S đỉnh khối nón Mặt phẳng (P) qua đỉnh S cắt khối nón theo hai đường sinh SASB nên ta có thiết diện tam giác cân SAB
Gọi I trung điểm đoạn AB, ta có OI AB Từ tâm O đáy ta kẻ OH SI H, ta có
OH SAB theo giả thiết ta có 12
OH cm Xét tam giác vng SOI ta có:
2 2 2
1 1 1
12 20 OI OH OS
15
OI cm
Mặt khác, xét tam giác vng SOI ta cịn có:
OS OI SI OH
Do 20.15 25 12
OS OI
SI cm
OH
Gọi St diện tích thiết diện SAB Ta có:
1 t
S AB SI , AB2AI Vì AI2 OA2OI2 252152 202 nên AI 20cm AB40cm
Vậy thiết diện SAB có diện tích là: 2 40.25 500
t
S cm
Chọn A
(9)A 250
27
V B 25
27
V C 20
27
V D 250
27
V
Hướng dẫn giải:
Ta có 2 25 2 25
3 3 3
V r h x y y y y y
Xét hàm số 25
3
V y y với 0y5
Ta có ' 25
3
V y y
Khi thể tích lớn 250 27 V
Chọn A.
Câu 6: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB1, đáy lớn CD3, cạnh bên AD quay quanh đường thẳng AB Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành
A. V 3 B
3
V C
3
V D
3 V
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Theo hình vẽ: AH HD1
Thể tích khối trịn xoay tạo thành thể tích khối trụ có bán kính r AH 1, chiều cao CD3 trừ thể tích hai khối nón
nhau (khối nón đỉnh A, đỉnh B đáy đáy hình trụ)
Vậy 2
3 3
V AH CD AH HD
Câu 7: Cho hình bình hành ABCD có BAD00 90 ,0 ADa 90
ADB Quay
ABCD quanh AB, ta vật trịn xoay tích là:
A. V a3sin2 B.V a3sin2 osc
C
2 3sin
cos
V a
D
2 3cos
sin
V a
Hướng dẫn giải:
Kẻ DH AB CN, AB
(10).sin cos
cos
DH CN a
AH BN a
a HN AB
Khi quay quanh AB, tam giác vng AHD NBC tạo thành hai hình nón trịn xoay nên:
2
2 2 2
1 sin
.sin
3 sin cos
a
V DH AH DH HN CN BN DH AB a a
Chọn C
Câu 8: Cho khối nón đỉnh O, trục OI Măt phẳng trung trực OI chia khối chóp thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần là:
A.
2 B.
1
8 C.
1
4 D.
1
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Gọi R bán kính đáy khối nón trục OI
1
V R OI
Giả sử mặt phẳng trung trực OI cắt trục OI
tại H, cắt đường sinh OM N Khi mặt phẳng chia khối nón thành phần, phần khối nón có bán kính
2 R
r , có chiều cao
2
OI 2
1
1
3 2 24
R OI R OI
V
Phần khối nón cụt tích
2 2
2
3 24 24
R OI R OI R OI
V V V
Vậy tỉ số thể tích là:
2 2 24
7
24 R OI V R OI V
Câu 9: Cho hình nón có bán kính đáy R, đường cao SO Gọi (P) mà mặt phẳng vng góc với SO O1 cho
1
SO SO Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón
nằm (P) đáy hình nón theo thiết diện hình tứ giác có hai đường chéo vng góc Tính thể tích phần hình nón nằm mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa đáy hình nón
(11)Hướng dẫn giải:
Gọi thiết diện thu AA B B1 1 Vì 1
3
SO SO nên 1 1 1.2
3
A B AB R Mặt khác AB1A B1 I nên
1 1
1
,
2
IO AB IO A B
Vậy 1
3
R R
OO R
Dễ thấy 1 1
2
R SO OO Từđó SO2R
Gọi thể tích phần hình nón phải tính V*
*
V V V , đó:
V1 thể tích hình nón
V2 thể tích hình nón đỉnh S đáy thiết diện cắt (P)
Ta tích phần hình nón phải tính
2
1 1
1
*
3
V V V OB SO O B SO
2
2
1 52
.2
3 81
R R R
R R
Câu 10: Hình nón trịn xoay có trục SOR với R bán kính đáy, thiết diện qua trục hình
nón tạo thành tam giác SAB tam giác Gọi I trung điểm SO E, F SO
cho
2 EI FI
EO FO Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón điểm:
A. I B. E C. F D. O
Hướng dẫn giải:
Gọi O' tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón thì:
' ' '
rO SO AO B
Ta có: ' 0
cos30 R OO OS r R
2 3
'
3
3
' 3 '
3
3
R R
OO R R
OO OO
OI R OI
R r
I
O A
S
(12)Vậy O'E
Chọn B
Câu 11: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy đường tròn tâm O, bán kính R5 Một thiết diện qua đỉnh S tạo thành tam giác SAB cho tam giác SAB đều, cạnh Khoảng cách từ O đến thiết diện SAB là:
A 13
3
d B 13
4
d C. d 3 D 13
3 d
Hướng dẫn giải:
,
SO OAB kẻ SH ABOH AB
AB SOH SAB SOH
Kẻ OISH OI SAB nên dOI
2
: OS 64 25 39 ; : 25 16
SOA OHA OH
2 2
1 1 1 16
3 39 117 OI
OI OH OS
Chọn B
Câu 12: Cho hình nón có bán kính đáy R, chiều cao 2R, ngoại tiếp hình cầu S O r( ; ) Khi đó, thể tích khối trụ ngoại tiếp hình cầu S O r( ; )
A
3 16
5
R
B.
3
R
C
3 16
R
D.
3
R
Hướng dẫn giải:
Giả sử hình nón có đỉnh O đường kính đáy AB
Ta có OAOB R2(2 )R R Tam giác OAB có diện tích S2R2, chu vi 2p2 (1R 5)
Do bán kính khối cầu S O r( ; )
1
S R
r p
Thể tích khối trụ cần tìm là:
3
2
3 16
1 tru
R
V r h r
Câu 13: Một hình nón bị cắt mặt phẳng P song song với đáy Mặt phẳng P chia hình nón làm hai phần N1 N2 Cho hình cầu nội tiếp N2 hình vẽ cho thể tích hình cầu nửa thể tích N2 Một mặt phẳng
(13)qua trục hình nón vng góc với đáy cắt N2 theo thiết diện hình thang cân, tang góc nhọn hình thang cân
A. B. C. D
Hướng dẫn giải:
Giả sử ta có mặt cắt hình nón cụt đại lượng hình vẽ
Gọi góc cần tìm
Xét AHD vng H có DH h AH, Rr h2r0 AH tan R r tan 1
Thể tích khối cầu
3
1
4
3
h
V r
Thể tích N2 2
1
V h R r Rr
2 2
2
2
V
h R r Rr
V
Ta có BC Rr (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà h2 BC2R r 2 4Rr 3 Từ 2 , Rr2 Rr 4
Từ 2 2
1 , , h Rr tan 4 Rr (vì góc nhọn)
tan tan
Chọn A
Câu 14: Trong hình nón nội tiếp hình cầu có bán kính 3, tính bán kính mặt đáy hình nón tích lớn
A. R6 B. R4 C R D R2
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Giả sử chóp đỉnh A hình vẽ hình chóp tích lớn
AKM
vuông K Ta thấy IK r bán kính đáy chóp, AI h chiều cao chóp
α
r
h r0
R K H
O
A
C
(14)
2
IK AI IM r h h
2
1
6
3
V r h h h h max max
V h h y h36h2 max trên0; 6
Câu 15: Trong tất hình nón có độ dài đường sinh a, tìm hình nón tích lớn
A 3 Max 27 a
V B
3 Max
9 a
V C
3 Max
27 a
V D
3
2
Max
9 a V
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Gọi h chiều cao nón bán kính nón r a2h2 Suy ra:
, với 0ha
Xét hàm số f h a h h2 0;a ta thấy
3 Max
3 3
a a
f h f hay 3 Max 27 a V
Câu 16: Trong hình nón trịn xoay có diện tích tồn phần Tính thể tích hình nón lớn nhất?
A
9
B.
12
C.
2
D.
3
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có Stp rlr2 rlr2 1 suy
2 r l
r
l r r
Có
V r h 2 3r l r
1 3r r
Xét hàm số y f x x 2 x2 đoạn 0; 2
ta có 0; 2 max f x
x
Vậy max 2
3 12
V
Câu 17: Giá trị lớn thể tích khối nón nội tiếp khối cầu có bán kính R
2 2
1 1
3 3
(15)A.
3R B.
3
3R C.
3
9 R D.
3 32 81R
Hướng dẫn giải:
Rõ ràng hai khối nón bán kính đáy nội tiếp khối cầu khối nón có chiều cao lớn thể tích lớn hơn, nên ta xét khối nón có chiều cao lớn hai khối nón
Giả sử khối nón có đáy hình trịn C bán kính r Gọi x
với f x khoảng cách tâm khối cầu đến đáy khối nón Khi chiều cao lớn khối nón nội tiếp khối cầu với đáy hình trịn C hRx Khi bán kính đáy nón
2
r R x , suy thể tích khối nón
2 2
1 1
2
3 3
V r h Rx R x Rx Rx Rx Rx Rx R x
Áp dụng BĐT Cơ-si ta có
3 3
2
1 32
6 27 81
R x R x R x R
V
Chọn D
Câu 18: Tìm hình nón tích nhỏ ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước tích bằng:
A 1
6r B
3
3r C
3
3r D
3 3r
Hướng dẫn giải:
Xét mặt phẳng chứa trục hình nón, mặt phẳng cắt hình nón theo tam giác cân SAB
và cắt mặt cầu nội tiếp hình nón theo đường trịn bán kính r hình tròn nội tiếp tam giác cân SAB h.79b
Kí hiệu bán kính đáy hình nón x, chiều cao hình nón y x 0,y2r
2
AHSA r AB SH \
Vậy thể tích hình nón ngoại tiếp mặt cầu bán kính r
2
2
1
:
3
y
V x y r
y r
2 2
2
r y
x x y r xy x
y r
R
R r
x
(16)Ta có
2 2 2
4 4
2
2 2
y y r r r
y r
y r y r y r
2
2
2
r
y r r
y r
2
2
2
r
y r r r
y r
Từ 2 3
V r , tức V2 đạt giá trị bé
2
2
2
r
y r y r
y r
từ
đó xr
Câu 19: Cho hình nón N có đáy hình trịn tâmO Đường kính 2a đường cao SOa Cho điểm H thay đổi đoạn thẳngSO Mặt phẳng P vng góc vớiSO tạiHvà cắt hình nón theo đường trịn C Khối nón có đỉnh O đáy hình trịn C tích lớn bao nhiêu?
A
3
81
a
B
3
81
a
C
3
81
a
D
3
81
a
Hướng dẫn giải:
Gọi mặt phẳng qua trục hình nón N cắt hình nón N theo thiết tam giác SAB, cắt hình nón đỉnh S có đáy đường tròn C theo thiết diện tam giác SCD, gọi I giao điểm SO CD Ta có: AB2aOAaSO.Do tam giác SOAvng cân S.Suy tam giác SIC vuông cân I.Đặt SI ACx(0xa)OI ax Thể tích khối nón có đỉnh O đáy hình trịn C là:
2
1 1
( )
3 3
V IC OI x ax x ax ' . 2
V x x ax
0
' 2
3 x
V x a
x
(17)Chọn B
Câu 20: Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x khối trụ tích lớn nội tiếp hình nón theo h
A
2 h
x B
3 h
x C.
3 h
x D
3
h
x
Hướng dẫn giải:
Gọi r R, theo thứ tự bán kính đáy hình nón khối trụ cần tìm O đỉnh hình nón, I tâm đáy hình nón, J tâm đáy hình trụ khác I OA đường sinh hình nón, B điểm chung
OA với khối trụ Ta có: r h x r R(h x)
R h h
Thể tích khối trụ là:
2
2
2 ( )
R
V xR x h x
h
Xét hàm số
2
2
( ) R ( ) ,
V x x h x x h
h
Ta có
2
'( ) ( )( ) hay
3
R h
V x h x h x x x h
h
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn chiều cao khối trụ h x ;
Câu 21: Cho hình nón đỉnh S, đáy hình trịn tâm O, góc đỉnh 120 Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định điểm M di động Có vị trí điểm điểm M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất?
A. B 3 C.1 D.vô số
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi r bán kính đáy hình nón
Vì góc đỉnh ASA 120 ASO60 Suy cot
3
r
(18)Gọi H trung điểm AM đặt xOH Ta có:
2
2 2
3
r
SH SO OH x , AM 2AH 2 OA2OH2 2 r2x2
Diện tích tam giác SAM
2
2 2
1
2 3
r
s SH AM x r x r
2 max
2
s r đạt
2
2 2
3 3
r r r
x r x x x
Tức OH SO
Theo tính chất đối xứng của đường trịn ta có hai vị trí M thỏa u cầu
Câu 22: Hình nón tích lớn nội tiếp mặt cầu bán kính Rcho trước bằng:
A. 64 81 R B. 32 81 R C. 32 81 R D. 64 81 R
Hướng dẫn giải:
Kí hiệu bán kính đáy hình nón x, chiều cao hình nón y 0xR, 0 y2R Gọi '
SS đường kính mặt cầu ngồi tiếp hình nón ta có
2
x y Ry Gọi V1 thể tích khối nón 1 2
3
V x y y y Ry 4
6 R y y y
3 3
4 32
6 81
R y y y R
Vậy thể tích V1 đạt giá trị lớn
3 32
81
R
4R2yy
R y
, từ
đó
2
2 4
2
3
R R R
x R
hay
2
3 R x
Chọn C
Câu 23: Cho nửa đường trịn đường kính AB2R điểm C thay đổi nửa đường trịn đó, đặt
CAB
gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tìm cho thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn
A. 60 B. 45 C. arctan
2 D. 30
Hướng dẫn giải: Chọn C
2 cos cos
.sin cos sin ; cos cos
AC AB R
CH AC R
AH AC R
(19)2
1
.cos sin
3
V AHCH R Đặt tcos2 0 t 1
3
1
V R t t
3
3
8 2
2
6
t t t
R t t t R
Vậy V lớn
t arctan
Chú ý: dùng PP hàm sốđể tìm GTNN hàm f t t21t
Câu 24: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V V1, 2 thể tích hình nón thể tích hình cầu nội tiếp hình nón Khi r h thay đổi, tìm giá trị
bé tỉ số V V
A B. 2 C.
3 D.
Hướng dẫn giải:
Gọi P mặt phẳng qua trục hình nón P cắt hình nón Theo tam giác cân SAB, cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, đường tròn nội tiếp tam giác cân Khi đó, bán kính r1 hình cầu nội tiếp hình nón tính cơng thức 1
2 rh r
r h r
3 2 2 1 1 1 4 h x r V h V x r , ởđó 2 h x
r
Xét
3
2
1 1 2
, '
4 4.2
x x x x
f x f x
x x x
Vì
2 1 4.2 x x x
nên xét dấu f x , ta cần xét dấu 2
g x x x
Ta có ' 1
g x
x
Dễ thấy g x' 0 x0
1 1
x , đồng thời
g x x
(20)Với 0x8 g x 0;
Câu 25: Với miếng tơn hình trịn có bán kính R6cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình trịn
và gấp phần cịn lại thành hình nón (Như hình vẽ)
Hình nón tích lớn người ta cắt cung trịn hình quạt bằng:
A 4 6cm B 6 6cm C 2 6cm D 8 6cm
Hướng dẫn giải:
Gọi x x, 0 chiều dài cung tròn phần xếp làm hình nón
Như vậy, bán kính R hình nón đường sinh hình nón đường trịn đáy hình nón có độ dài x Bán kính r đáy xác định đẳng thức
2
2 x r x r
Chiều cao hình nón tính theo Định lý Pitago là:
2 2
2
x
h R r R
Thể tích khối nón:
2 2
2
2
1
3
x x
V r h R
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có:
3
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2
2 2
4 8 8 4
9 8 9 27
x x x
R
x x x R
V R
Do V lớn khi:
2
2
2
2
6 6
8 3
x x
R x R
Chọn A
(Lưu ý sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhiên lời giải dài hơn)
Câu 26: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V1, V2 thể tích hình nón thể tích khối cầu nội tiếp hình nón Giá trị bé tỉ số
1 V V
r
R h
M
N I
(21)A 5
4 B.
4
3 C. D.
Hướng dẫn giải:
Ta có: Thể tích khối nón
1 V r h
Xét mặt cắt qua tâm SAB, kẻ tia phân giác góc SBO, cắt SO I Ta có:
2
2
IO OB r r h
IS IO
IS SB r h r
Mặt khác: IOISh
Do ta có bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp 2
rh R IO
r h r
Thể tích khối cầu
3 3 2 4 3 r h V R
r h r
3
2 2
1 2 2 1 4 h
r r h r
V h V rh r
Đặt
2 h
t
r
(t1 )
2 1 4 t t V
V t t
Đặt 1 t f t t
, Điều kiện: t1,
2 2 t t f t t
, f t t
, f 3 8
BBT f t 8 t 1
2 V V
Chọn D
Câu 27: Cho hình nón có chiều cao h, đường trịn đáy bán kính R Một mặt phẳng (P) song song với đáy cách đáy khoảng d cắt hình nón theo đường trịn (L) Dựng hình trụ có đáy (L), đáy cịn lại thuộc đáy hình nón trục trùng với trục hình nón Tìm d để thể tích hình trụ lớn
A
3 h
d B
2 h
d C
6 h
d D
(22)Giải: Gọi r bán kính (L)
Ta có r h d r Rh d
R h h
3
2 2
2
2 2
2
.2
2 27
h d h d d
R R R R h
V h d d h d h d d
h h h
Dấu xảy
3 h h d d d
Câu 28: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy
A 10 2cm B. 20cm C. 50 2cm D. 25cm
Hướng dẫn giải:
Đặt a50cm Gọi bán kính đáy chiều cao hình nón x y x y, , 0 Ta có SA SH2AH2 x2y2
Khi diện tích tồn phần hình nón Stp x2x x2y2
Theo giả thiết ta có
2 2 2 2 2 2
4
2 2 4 2
2
2 , :
2
x x x y a x x y x a x x y a x
a
x x y a x a x DK x a x
y a
Khi thể tích khối nón
4
4
2 2
1
3
a y
V y a
y a y a
V đạt giá trị lớn
2 2
y a
y
đạt giá trị nhỏ
Ta có
2 2
2 2
2 2
y a a a
y y a
y y y
Vậy V đạt giá trị lớn
2 2a y
y
, tức 25
2 a
ya x cm
(23)MẶT TRỤ - KHỐI TRỤ A – LÝ THUYẾT CHUNG
1.Định nghĩa mặt trụ
-Cho đường thẳng Xét đường
thẳng l song song với , cách khoảng R Khi đó:
Mặt tròn xoay sinh đường thẳng l gọi mặt trụ tròn xoay hay đơn giản mặt trụ
- gọi trục mặt trụ, l gọi đường sinh R gọi bán kính mặt mặt trụ
2 Hình trụ khối trụ
Cắt mặt trụ T trục , bán kính R mặt phẳng phân biệt P P' vng góc với
ta giao tuyến hai đường tròn C , C'
a) Phần mặt trụ T nằm hai mặt phẳng P P' với hai hình trịn xác định C , C' gọi hình trụ
-Hai đường trịn C , C' gọi hai đường tròn đáy, hình trịn xác định chúng gọi mặt đáy hình trụ, bán kính chúng gọi bán kính hình trụ Khoảng cách mặt đáy gọi chiều cao hình trụ
-Nếu gọi O O’ tâm hai hình trịn đáy đoạn OO’ gọi trục hình trụ
-Phần mặt trụ nằm đáy gọi mặt xung quanh hình trụ
b)Hình trụ với phần bên gọi khối trụ
3 Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình trụ thể tích khối trụ
Với R bán kính đáy, h chiều cao
-Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq 2Rh
-Diện tích tồn phần hình trụ: Stp Sxq2Sday 2Rh2R2
-Thể tích khối trụ
V R h ( chiều cao nhân diện tích đáy)
Trước hết xin nhắc lại, hai đề Minh họa tháng 10 vừa Bộ Giáo dục Đào tạo, hai mức vận dụng thấp
l l1
R R Δ
M1
(24)B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Một hình trụ có bán kính đáy R có thiết diện qua trục hình vng Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp khối trụ cho
A. 4R3 B. 2R3 C. 3R3 D. R3
Câu 2: Một khối lăng trụ tam giác cạnh đáy ,a góc đường chéo mặt bên mặt đáy 60 Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ
A
3
V a B.V a3 C
3
V a D
3
V a
Câu 3: Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a chiều cao h nội tiếp khối trụ Tính thể tích khối trụ
A
2 a h
B.
2
3 a h
C.
2
3 a h
D.
2
3
a h
Câu 4: Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao
a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường đáy tâm O’ lấy điểm B cho
AB a Tính thể tích khối tứ diện OO 'AB
A
3 12
a
B
3 12 a
C
3
12
a
D
3
a
Câu 5: Cho hình trụ có bán kính đáy R5, chiều cao h6 Một đoạn thẳng AB có độ dài 10 có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách đường thẳng
AB trục hình trụ?
A. B. C. D.
Câu 6: Một hình trụ có bán kính đáy 50cm có chiều cao 50cm Một đoạn thẳng AB có chiều dài 100cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đến trục hình trụ
A. d 50cm B. d 50 3cm C. d 25cm D. d 25 3cm
Câu 7: Cho hình trụ có bán kính đáy R chiều cao R lấy hai điểm A, B nằm hai đường tròn đáy cho AB2 R Tính khoảng cách từ AB đến hình trụ theo R
A
2 R
B
3 R
C
5 R
D
4 R
Câu 8: Một hình trụ có thiết diện qua trục hình vng Bên hình trụ có hình lăng trụ tứ giác nội tiếp Nếu thể tích hình lăng trụ V thể tích hình trụ bao nhiêu?
A
2 Tru
V
V B
3 Tru
V
V C
4 Tru
V
V D
5 Tru
V V
(25)A. d 1 B. d2 C. d 3 D. d 4
Câu 10: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi O’, O tâm hai hình vuông ABCD ' ' ' '
A B C D O O' a Gọi V1 thể tích hình trụ trịn xoay đáy hai đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD A B C D, ' ' ' ' V2 thể tích hình nón trịn xoay đỉnh O’ đáy đường trịn nội tiếp hình vng ABCD Tỉ số thể tích
2
V V là:
A. B.3 C.4 D.6
Câu 11: Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ', đáy ABC tam giác có AB5,AC8 góc
, 60
AB AC Gọi V V, ' thể tích khối lăng trụ ngoại tiếp nội tiếp khối lăng trụ cho Tính tỉ số V'?
V
A.
49 B.
9
4 C.
19
49 D.
29 49
Câu 12: Cho hình trụ có hai đáy hai đường trịn O O , chiều cao 2R bán kính đáy
R Một mặt phẳng qua trung điểm OO tạo với OO góc 30, cắt đường trịn đáy theo dây cung Tính độ dài dây cung theo R
A.
3 R
B. 2
3
R
C.
3 R
D.
3 R
Câu 13: Cho hình trụ có bán kính đáy R có chiều cao R Hai điểm A B, nằm hai đường trịn đáy cho góc AB trục hình trụ
30 Khoảng cách AB trục hình trụ bằng:
A R B. R C
2
R
D.
4
R
Câu 14: Cho hình trụ có chiều caoh2,bán kính đáyr 3.Một mặt phẳng P khơng vng góc với đáy hình trụ, lượt cắt hai đáy theo đoạn giao tuyến AB vàCD choABCD hình vng Tính diện tíchS hình vngABCD
A. S 12 B. S 12 C. S 20 D. S 20
Câu 15: Cho khối trụ có bán kính đáy ra chiều cao h2a Mặt phẳng ( )P song song với trục OO' khối trụ chia khối trụ thành phần, gọi V1 thể tích phần khối trụ chứa trục
'
OO , V2 thể tích phần cịn lại khối trụ Tính tỉ số
V
V , biết ( )P cách OO'
khoảng 2
a
A.
2
B.
3
2
C.
2
2
D.
2
2
(26)Câu 16: Một hình trụ tích V khơng đổi Tính mối quan hệ bán kính đáy chiều cao hình trụ cho diện tích tồn phần đạt giá trị nhỏ
A
2 h
R B
3 h
R C
5 h
R D
4 h R
Câu 17: Trong số khối trụ tích V, khối trụ có diện tích tồn phần bé có bán kính đáy
A.
2
V R
B. R
V
C. R
V
D. R 3V
Câu 18: Trong số hình trụ có diện tích tồn phần S bán kính R chiều cao h khối trụ tích lớn là:
A ;
2 2
S S
R h
B ;
4
S S
R h
C ;
3
S S
R h
D ;
6
S S
R h
Câu 19: Cho hình nón có độ dài đường kính đáy 2R, độ dài đường sinh R 17 hình trụ có chiều cao đường kính đáy 2R, lồng vào hình vẽ
Tính thể tích phần khối trụ khơng giao với khối nón
A.
12R B.
3
3R C.
3
3R D.
3 6R
Câu 20: Chiều cao khối trụ tích lớn nội tiếp hình cầu có bán kính R
A. R B.
3
R
C.
3
R
D.
3
R
Câu 21: Cho mặt cầu bán kính Một hình trụ có chiều cao bán kính đáy thay đổi nội tiếp mặt cầu Tính chiều cao theo bán kính cho diện tích xung quanh hình trụ lớn
A B. C. D
Câu 22: Cho hình cầu tâm O, đường kính 2R hình trụ trịn xoay nội tiếp hình cầu Hãy tìm kích thước hình trụ tích đạt giá trị lớn
S R h r
h R
2
hR h R
2 R
h
(27)B 14 8
K
N
A
A.
3
R
r B.
3 R
r C.
3 R
r D.
3 R r
Câu 23: Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối H như hình vẽ bên Biết thiết diện hình elip có độ dài trục lớn 8, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy
tới mặt đáy 14 (xem hình vẽ).Tính thể tích H
A V(H) 192
B V(H)275
C V(H)704
D V(H) 176
Câu 24: Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối H hình vẽ biết thiết diện elip có độ dài trục lớn 10 , khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy tới mặt đáy 8và 14 Tính thể tích H
A V H 275 B V H 176
C V H 192 D V H 704
Câu 25: Cho hình vẽ bên Tam giác SOA vng O có MN SO€ với ,
M N nằm cạnh SA, OA Đặt SOh khơng đổi Khi quay hình vẽ quanh SO tạo thành hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy hình trịn tâm O bán kính ROA Tìm độ dài MN để thể tích khối trụ lớn
A
2 h
MN B
3 h MN
C
4 h
MN D
6 h MN
S
M
(28)C – HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Một hình trụ có bán kính đáy R có thiết diện qua trục hình vng Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp khối trụ cho
A. 4R3 B 2R3 C. 3R3 D. R3
Hướng dẫn giải:
Giả sử ABCDA B C D' ' ' ' khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho Từ giả thiết, suy hình trụ có chiều cao
2
h R đáy ABCD hình vng nội tiếp đường trịn bán kính R
Do 2
2 R AC R AB R Diện tích hình vuông ABCD là:
2
2
ABCD
S R R
Vậy thể tích khối lăng trụ cho là: V SABCD.h2R2.2R4R3
Chọn A
Câu 2: Một khối lăng trụ tam giác cạnh đáy ,a góc đường chéo mặt bên mặt đáy 60 Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ
A 3
3
V a B.V a3 C 3
2
V a D 3
3 V a
Hướng dẫn giải:
Xét hình lăng trụ tam giác ' ' '
ABC A B C có cạnh đáy ABa, góc đường chéo A’B với mặt đáy ABC A BA' 60
Suy ra: hAA 'a.tan 600 a Khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ có đường cao A’A, đáy đường tròn ngoại tiếp hai mặt đáy ABC , A B C' ' ', có bán kính R cho
3 a R aR Thể tích khối trụ:
A
O'
O B
D D'
C A'
C' B'
a
A'
C B
A
(29)2
2
3
3
a
V R h a a
(đvdt)
Chọn A
Câu 3: Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a chiều cao h nội tiếp khối trụ Tính thể tích khối trụ
A
2 a h
B.
2
3 a h
C.
2
3 a h
D.
2
a h
Hướng dẫn giải:
Hình trụ có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Do ABC tam giác cạnh a nên hình trụ có bán kính là:
2 3
3 3
a a
ROA AM
với M AOBC
Chiều cao hình trụ chiều cao lăng trụ h
Vậy thể tích khối trụ là:
2
2
3
a a h
V R h h
Chọn A
Câu 4: Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao
a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường đáy tâm O’ lấy điểm B cho
AB a Tính thể tích khối tứ diện OO 'AB
A
3 12
a
B
3 12 a
C.
3
12
a
D
3
a
Hướng dẫn giải:
Kẻ đường sinh AA’ Gọi D điểm đối xúng A’ qua O’ H hình chiếu vng góc B đường thẳng A D’
'
' '
BH A D
BH AOOA
BH AA
Do đó, BH chiều cao tứ diện OO'AB
Thể tích khối tứ diện OO ' : ' AOO AB V S BH
O' M'
M C'
A'
B B'
A C
(30)Tam giác AA B' vuông A’ cho: A B' AB2A A' 4a2a2 a
Tam giác A B' A D' 2A B' 4a23a2 a Suy BO D' tam giác cạnh a
Từ
a
BH
Do OAOO'=a nên tam giác AOO' vuông cân O
Diện tích tam giác AOO' là:
2 '
1
.OO'=
2
AOO
S OA a
Vậy
3
1 3
3 2 12
a a
V a
Chọn A
Câu 8: Một hình trụ có thiết diện qua trục hình vng Bên hình trụ có hình lăng trụ tứ giác nội tiếp Nếu thể tích hình lăng trụ V thể tích hình trụ bao nhiêu?
A
2 Tru
V
V B
3 Tru
V
V C
4 Tru
V
V D
5 Tru
V V
Hướng dẫn giải:
Gọi cạnh đáy lăng trụ a
Thiết diện qua hình trụ hình vng
DD ' ' : 2 '
B B BD Ra BB a Thể tích lăng trụ V
2
2 V
a a V a
Thể tích hình trụ tính theo a:
3
2
2
tru
a a
V a
Thay :
2
2 tru
V V V
a V
Chọn A
Câu 19: Cho hình nón có độ dài đường kính đáy 2R, độ dài đường sinh R 17 hình trụ có chiều cao đường kính đáy 2R, lồng vào hình vẽ
a 2a
H
O O'
A
A' D
B
O'
O
D'
C'
B' A'
A B
(31)Tính thể tích phần khối trụ khơng giao với khối nón
A.
12R B.
3
3R C.
3
3R D.
3 6R
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có
2 2
17 ,
2 R SI SB IB R R RSE R EF Thể tích khối nón lớn (có đường cao SI)
2
1
1
.4 R
3
V R R
Thể tích khối nón nhỏ(có đường cao SE)
3
1
.2
3
R
V R R
Thể tích phần khối giao giữ khối nón khối trụ 3 1 2 2 V V V V R Thể tích khối trụ là V4 R2.2R2R3
Vậy thể tích phần khối trụ khơng giao với khối nón 4 3 V V V R
Câu 23: Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối H hình vẽ bên Biết thiết diện hình elip có độ dài trục lớn 8, khoảng cách từđiểm thuộc thiết diện gần mặt đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy
tới mặt đáy 14 (xem hình vẽ).Tính thể tích H
A V(H) 192
B V(H)275
C V(H)704
(32)B 14 8
K
N
A
M
A B
N
K Chọn D
Đường kính đáy khối trụ 2 10 6 8 Bán kính đáy khối trụ R4
Thể tích khối trụ H1 V1.R h2.1 .4 1282
Thể tích khối trụ H2 V2 .R h2 .4 62 96
Thể tích H 1 2 128 1.96 176
2
V V V
Câu 24: Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối H hình vẽ biết thiết diện elip có độ dài trục lớn 10 , khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy tới mặt đáy 14 Tính thể tích H
A V H 275 B V H 176
C V H 192 D V H 704
Hướng dẫn giải:
Dùng mặt phẳng qua N vng góc với trục hình H cắt hình H thành phần tích Vtren, Vduoi
Ta có 2
8 day tru duoi 128 MN NK KM R V R h Phần phía tích nửa hình trụ có
1
4, 16.6 48
2 tren
R h V Vậy V H 12848 176
Câu 10: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi O’, O tâm hai hình vng ABCD ' ' ' '
A B C D O O' a Gọi V1 thể tích hình trụ trịn xoay đáy hai đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD A B C D, ' ' ' ' V2 thể tích hình nón tròn xoay đỉnh O’
và đáy đường tròn nội tiếp hình vng ABCD Tỉ số thể tích
V V là:
A. B 3 C.4 D.
Hướng dẫn giải:
(33)giác OAM vuông cân M
1
2
;
2
R OA R OM
2
1
2
2
3 :
1 2 4
V R h
V R h
Chọn D
Câu 11: Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ', đáy ABC tam giác có AB5,AC8 góc
, 60
AB AC Gọi V V, ' thể tích khối lăng trụ ngoại tiếp nội tiếp khối lăng trụ cho Tính tỉ số V'?
V
A.
49 B.
9
4 C.
19
49 D.
29 49
Hướng dẫn giải:
Áp dụng đinh lý cosin tam giác ABC ta c
2 2
2 os60 25 64 2.5.8 49 BC AB AC AB AC c
Diện tích tam giác ABC là:
1
.sin 60 5.8 10
2 2
S AB AC
Mặt khác:
, ABC
AB AC BC S
R
với R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
5.8.7
ABC 4.10 3 AB AC BC
R
S
Ngồi ra: SABC pr, 1 10
p ABBCAC r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC 10 3
10 ABC
S r
p
Hình trụ ngoại tiếp nội tiếp lăng trụ cho có bán kính đáy R r, có chiều cao chiều cao hình lăng trụ
Giả sử h chiều cao hình lăng trụ, ta có: V R h2 V r h2 Vậy '
49 V
V
Chọn A
8 5
600
C
B O
O'
A A'
C'
B'
R1 R2
M O
B B
(34)Câu 15: Cho khối trụ có bán kính đáy ra chiều cao h2a Mặt phẳng ( )P song song với trục OO' khối trụ chia khối trụ thành phần, gọi V1 thể tích phần khối trụ chứa trục
'
OO , V2 thể tích phần cịn lại khối trụ Tính tỉ số
V
V , biết ( )P cách OO'
khoảng 2
a
A.
2
B.
3
2
C.
2
2
D.
2
2
Hướng dẫn giải:
Thể tích khối trụ V r h2 a2.2a2a3 Gọi thiết diện hình chữ nhật ABB A' ' Dựng lăng trụ ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ hình vẽ Gọi H trung điểm AB
Ta có OH ABOH (ABB A' ')
2
a
OH
2
a
AH BH OH
OAB vuông cân O ABCD hình vng Từ suy ra:
3
3
2 ' ' ' '
1 ( 2)
2 ( 2)
4 ABCD A B C D
a
V V V a a a
3
3
1
( 2) (3 2)
2
2
a a
V VV a Suy
3 2
V V
Chọn A
Câu 5: Cho hình trụ có bán kính đáy R5, chiều cao h6 Một đoạn thẳng AB có độ dài 10 có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách đường thẳng
AB trục hình trụ?
A. B 4 C. D.
Hướng dẫn giải:
Gọi hai đường tròn đáy O , O' , '
A O B O Kẻ hai đường sinh ,
AD BC ta tứ giác ABCD hình chữ nhật mp ABCD / /OO ' Do đó, khoảng cách OO’ AB
I B
D
O O'
(35)bằng khoảng cách từ O đến mp ABCD Tam giác ACB vuông C nên ta có:
2 2
10
AC AB BC
Gọi I trung điểm AC, ta có:
OI AC
OI ABCD
OI AD
Vậy khoảng cách đường thẳng AB trục OO’ hình trụ là:
2 2
5
OI OA IA
Chọn B
Câu 6: Một hình trụ có bán kính đáy 50cm có chiều cao 50cm Một đoạn thẳng AB có chiều dài 100cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đến trục hình trụ
A. d 50cm B d50 3cm C. d25cm D. d 25 3cm
Hướng dẫn giải:
Kẻ AA1 vuông góc với đáy, A1 thuộc đáy Suy ra:
1/ / 1/ / 1, 1, 1,
OO AA OO AA B d OO AB d OO AA B d O AA B
Tiếp tục kẻ O H1 A B1 H, O1H nằm đáy nên
cũng vng góc với A1A suy ra:
1
O H AA B Do
1, 1, 1,
d OO AB d OO AA B d O AA B O H
Xét tam giác vuông AA B1 ta có 2
1 50
A B AB AA
Vậy O H1 O A1 12A H1 25cm
Chọn C
Câu 7: Cho hình trụ có bán kính đáy R chiều cao R lấy hai điểm A, B nằm hai đường tròn đáy cho AB2 R Tính khoảng cách từ AB đến hình trụ theo R
A
2 R
B
3 R
C
5 R
D
4 R
Hướng dẫn giải:
Giả sử A đường tròn O, BO' Từ A vẽ đường song song OO’ cắt đường tròn O' A’
H O
A
A1
B O1
(36)Vẽ O’H vuông góc A B’
Từ H vẽ đường thẳng song song với OO’, cắt AB K Vẽ KI/ / 'O H
Ta có: O H' A B' AA ' nên:
' ' '
O H mp AA B O H HK AB
Vậy tứ giác KIO H' hình chữ nhật KI OO '
Vậy KI đoạn vng góc chung AB OO ' AA B' vuông
2 2 2
' '
A B AB AA R R R
Do H trung điểm A’B nên:
2
2 2
3
' ' ' ' ' '
2 4
R R R
HA O A H O H O A A H R
Do đó: , OO ' ' R d AB KI O H
Chọn A
Câu 9: Cho AA B B' ' thiết diện song song với trục OO’ hình trụ (A, B thuộc đường tròn tâm O) Cho biết AB4, AA'=3 thể tích hình trụ V 24 Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng AA ' 'B B là:
A. d 1 B d 2 C. d3 D. d 4
Hướng dẫn giải:
Kẻ OH AB OH AA B B' '
Và
2 AH AB
Ta có 2
'
V OA AA OA Mà V 24 OA2 8
2 2
: 4
, AA'B'B
OAH d OH OA AH
d O d
Chọn B
Câu 12: Cho hình trụ có hai đáy hai đường tròn O O , chiều cao 2R bán kính đáy
R Một mặt phẳng qua trung điểm OO tạo với OO góc 30, cắt đường trịn đáy theo dây cung Tính độ dài dây cung theo R
A.
3 R
B. 2
3
R
C.
3 R
D.
3 R
H
B'
A'
O O'
A B
I
K A
O' O
A'
(37)Hướng dẫn giải:
Chọn B
Dựng OH AB ABOIHOIH IAB IH
hình chiếu OI lên IAB
Theo ta OIH 30
Xét tam giác vuông OIH vuông O
3 tan 30
3
R
OH OI
Xét tam giác OHA vuông H
2 6
3
R R
AH OA OH AB
Câu 13: Cho hình trụ có bán kính đáy R có chiều cao R Hai điểm , A B lần
lượt nằm hai đường trịn đáy cho góc AB trục hình trụ 30 Khoảng cách AB trục hình trụ bằng:
A R B. R C
2
R
D.
4
R
Hướng dẫn giải:
Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OAO B' R Gọi AA' đường sinh hình trụ
' ' , '
O A R AA R BAA'300 Vì OO'ABA' nên
', ', ' ', '
d OO AB d OO ABA d O ABA Gọi H trung điểm A B' , suy
' '
' '
' '
O H A B
O H ABA
O H AA
nên d O ',ABA'O H' Tam giác ABA' vuông A' nên BA'AA' tan 300 R Suy tam giác A BO' ' có cạnh R nên '
2
R
O H
Chọn C
Câu 21: Cho mặt cầu bán kính Một hình trụ có chiều cao bán kính đáy thay đổi nội
tiếp mặt cầu Tính chiều cao theo bán kính cho diện tích xung quanh hình trụ lớn
S R h r
(38)A B. C. D
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có .
Diện tích xung quanh hình trụ
,
(dùng BĐT )
Vậy
Câu 14: Cho hình trụ có chiều caoh2,bán kính đáyr3.Một mặt phẳng P khơng vng góc với đáy hình trụ, lượt cắt hai đáy theo đoạn giao tuyến AB vàCD choABCD hình vng Tính diện tíchS hình vngABCD
A. S12 B. S 12 C. S 20 D. S20
Hướng dẫn giải:
Kẻ đường sinh BB’ hình trụ Đặt độ dài cạnh hình vng ABCD x, x > 0
Do ' '
'
CD BC
CD B C B CD
CD BB
vuông C. Khi đó, B’D là đường kính c Trịn O' Xét B CD' vuông C
2 2 2
' ' (1)
B D CD CB r x CB
Xét tam giác BB'C vuông B
2 2 2
' ' ' (2)
BC BB CB x h CB
Từ (1) (2)
2 2
20
r h
x
Suy diện tích hình vng ABCD S 20
Câu 16: Một hình trụ tích V khơng đổi Tính mối quan hệ bán kính đáy chiều cao hình trụ cho diện tích tồn phần đạt giá trị nhỏ
A
2 h
R B
3 h
R C
5 h
R D
4 h R
hR h R
2 R
h
2 R h
2 2
; ,
4
h
OO h IAR AO r r R
2 2
2
2
2
h R h
S rhh R h
2 2 a b ab
2 2
max
(39)Hướng dẫn giải:
Gọi R h bán kính đáy chiều cao hình trụ Ta có: V R h2 (khơng đổi)
2
day
2 2
tp xq
S S S Rh R RhR Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương,
Ta có: 33 . .
2 2
Rh Rh Rh Rh
R R
4 2
2 3 3
2
3
4
R h V
Rh R
2
2
4 tp
V
S
(hằng số)
Do đó: S tồn phần đạt giá trị nhỏ
2
Rh h
R R
Chọn A
Câu 17: Trong số khối trụ tích V, khối trụ có diện tích tồn phần bé có bán kính đáy
A.
2
V R
B. R
V
C. R
V
D. R 3V
Hướng dẫn giải:
2
2
V
V R h l h
R
, STP SXq 2Sd Rl R2 2V R2 R
Xét hàm số f R( ) 2V R2
R
với R>0,
3
3
2
'( ) , '( )
2
V R V
f R f R R
R
Bảng biến thiên
R
2
V
+
, ( )
f R + -
( )
f R
Từ bảng biến thiên ta thấy diện tích tồn phần nhỏ
V R
Chọn A
h
R O
(40)Câu 18: Trong số hình trụ có diện tích tồn phần S bán kính R chiều cao h khối trụ tích lớn là:
A ;
2 2
S S
R h
B ;
4
S S
R h
C ;
3
S S
R h
D ;
6
S S
R h
Hướng dẫn giải:
Gọi thể tích khối trụ V, diện tích tồn phần hình trụ S Ta có: S S2daySxq 2R22Rh Từ suy ra:
2
2 2 3
2
2 2
Cauchy
S S V V V V
R Rh R R
R R R
hay
3
2
2 27
4 54
V S S
V
Vậy
3 max
54
S V
Dấu “=” xảy
2
2 2
V R h Rh
R
R R
hay h2R Khi
6
S
S R R
2
S
h R
Chọn D
Câu 20: Chiều cao khối trụ tích lớn nội tiếp hình cầu có bán kính R
A R B.
3
R
C.
3
R
D.
3
R
Hướng dẫn giải:
Giả sử 2x chiều cao hình trụ (0xR) (xem hình vẽ)
Bán kính khối trụ r R2x2 Thể tích khối trụ là:
2
( )2
V R x x Xét hàm số 2
( ) ( )2 ,
V x R x x xR
Ta có : '( ) ( 2) 3
R
V x R x x
(41)Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn chiều cao khối trụ 3
R
;
max
4
9
R
V
Câu 22: Cho hình cầu tâm O, đường kính 2R hình trụ trịn xoay nội tiếp hình cầu Hãy tìm
kích thước hình trụ có thểtích đạt giá trị lớn
A.
3
R
r B.
3 R
r C.
3 R
r D.
3 R r Hướng dẫn giải:
1Gọi h r chiều cao bán kính đáy hình trụ Bài tốn quy việc tính h r phụ thuộc theo R hình chữ nhật ABCD nội tiếp hình trịn (O, R) thay đổi V r h2 đạt giá trị lớn
Ta có: 2 2 2
4
AC AB BC R r h
2
2
1
0
4
3
'
4
V R h h h R h h R
R
V h R h
Vậy max 3
9
R V V R h
Lúc
2
2
4 3
R R R
r R r
(42)Câu 25: Cho hình vẽ bên Tam giác SOA vng O có MN/ /SO với ,
M N nằm cạnh SA, OA Đặt SOh khơng đổi Khi quay hình vẽ quanh SO tạo thành hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy hình trịn tâm O bán kính ROA Tìm độ dài
MN để thể tích khối trụ lớn
A
2 h
MN B
3 h
MN C
4 h
MN D
6 h MN
Hướng dẫn giải:
Ta thấy quay quanh trục SO tạo nên khối trụ nằm khối chóp Khi thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật
MNPQ Ta có hình sau:
Ta có SOh; OAR Khi đặt OI MN x
Theo định lí Thales ta có IM SI IM OA SI R h. x
OA SO SO h
Thể tích khối trụ
2
2
2
R
V IM IH x h x
h
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
3 2
2
3
x h x
x hx
Vậy
2
27 R h
V Dấu '''' xảy h x Hay
3 h MN
Chọn B
A O
S
M Q
P N
B
I S
M
A
(43)MẶT CẦU – KHỐI CẦU
A – LÝ THUYẾT CHUNG
1 Định nghĩa mặt cầu
1)Định nghĩa: Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định khoảng cách R cho trước mặt cầu tâm O bán kính R Kí hiệu S O R ;
Như vậy, khối cầu S O R ; tập hợp điểm M cho OM R
2) Cơng thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu
Gọi R bán kính mặt cầu, ta có:
- Diện tích mặt cầu: S 4R2
- Thể tích khối cầu:
3
V R
3)Phương pháp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
Để tìm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta cần phải tìm điểm I cách tất đỉnh
Bước 1: Dựng trục đáy: đường thẳng qua tâm đáy vng góc với đáy
Bước 2: Ta thường dựng trung trực cạnh bên cắt trục đáy I, dựng trục mặt bên cắt trục đáy I Tâm mặt cầu điểm I, bước phải tùy vào đề mà ta có cách xử lý cụ thể
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho hình chóp S ABC có SAABC, AB1, AC2 BAC60 Gọi M , N hình chiếu A SB, SC Tính bán kính R mặt cầu qua điểm A, B, C,
M , N
A. R B.
3
R C
3
R D. R1
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng, cạnh 2a, tâm O, mặt bên (SAB) tam giác SAB ABCD Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
A. 21
3
a
R B.
3
a
R C.
2
a
R D.
3
a R
Câu 3: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc đỉnh
S mặt phẳng ABC trung điểm H cạnh BC Góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC
(44)A. Rd G SAB , B 3 13R2SH C
2
4 39 ABC R S
D. R 13
a
Câu 4: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a Mặt phẳng AB C' ' tạo với mặt đáy góc
60 điểm G trọng tâm tam giác ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G A B C ' ' ' bằng:
A. 85 108
a
B.
2 a
C.
4 a
D. 31 36
a
Câu 5: Cho hình chóp S ABC có đường cao SH a; góc SAB 45 độ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A
2 a
B a C 3
2 a
D 2a
Câu 6: Cho khối chópS ABCD có SA(ABCD); đáyABCD hình thang vng A B với ;
ABBCa AD2a; SAa Gọi E trung điểm AD Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD
A.
2
a
R B. Ra C. 11
2
a
R D. Ra 11
Câu 7: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a cạnh bên 21
a
Gọi h
chiều cao khối chóp R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Tỉ số R
h bằng:
A.
12 B.
7
24 C.
7
6 D.
1
Câu 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, đáy lớn AD2 ,a
ABBCCDa Cạnh bên SA2 ,a vng góc với đáy Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD Tỉ số R
a nhận giá trị sau đây?
A a B a C 1 D
Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB2 ,a ADa Cạnh bên SA vng góc với đáy góc SC với đáy 45 Gọi N trung điểm SA, h chiều cao khối chóp S ABCD R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N ABC Biểu thức liên hệ R h là:
A. 4R 5h B 5R4h C.
5
R h D. 5
4
R h
Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Đường thẳng SA
(45)A. a B. a C.
2
a
D
2 a
Câu 11: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh bên cạnh đáy a Khi mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABCD có bán kính bằng:
A
1
a
B
6
a
C
6
a
D
3
a
Câu 12: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng C BCa Mặt phẳng SAB
vng góc với đáy, SASBa, ASB 120 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S ABC là:
A
4 a
B
2 a
C. a D. 2a
Câu 13: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng
SAa vng góc với đáy ABCD Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng qua hai điểm A M đồng thời song song với BD cắt SB SD, E F, Bán kính mặt cầu qua năm điểm S A E M F, , , , nhận giá trị sau đây?
A. a B a C.
2
a
D
2 a
Câu 14: Cho khối chópS ABC có SA(ABC); tam giác ABC cân A,ABa;BAC120 Gọi ,
H K hình chiếu A lên SB SC, Tính bán kính mặt cầu qua điểm , , , ,
A B C K H
A. Ra B. Ra
C. R2a D.Không tồn mặt cầu
Câu 15: Cho lăng trụ ABC A B C có AB ACa BC, 3a Cạnh bên AA 2a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB C C
A a B 2a C 5a D 3a
Câu 16: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vng B AC, a 3, góc
ACB
30 Góc đường thẳng AB' mặt phẳng ABC
60 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ABC' bằng:
A.
4 a
B. 21
4
a
C. 21
2
a
D. 21
8
a
(46)phẳng ABC
60 Gọi G trọng tâm tam giác SAC R, bán kính mặt cầu có tâm G tiếp xúc với mặt phẳng SAB Đẳng thức sau sai?
A. Rd G SAB , B 3 13R2SH C
2
4 39 ABC R
S D.
R a
Câu 18: Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với đáy, SAa Đáy ABCD hình thang vng A ,
2
B ABBC ADa Gọi E trung điểm AD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD
A.
2
a
R B. Ra C. 114
6
R a D. 26
2
a
R
Câu 19: Cho tứ diện S ABC có đáy ABC tam giác vng Avới AB3a, AC4a Hình chiếu H S trùng với tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC Biết SA2a, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A. 118
4
Ra B. 118
2
Ra C. 118
8
Ra D. Ra 118
Câu 20: Cho hình chóp S ABC có SAABC, ACb, ABc, BAC Gọi B, C hình chiếu vng góc A lên SB, SC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
A BCC B theo b, c,
A. R2 b2c22bccos B
2
2 cos sin
b c bc
R
C
2
2 cos 2sin
b c bc
R
D.
2
2 cos
sin
b c bc
R
Câu 21: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B ABa Cạnh bên
SAa , hình chiếu điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm cạnh huyền AC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC là:
A.
2
a
B.
3
a
C.
2
a
D.
3
a
Câu 22: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, ABBCa 3,
90
SABSCB khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC A Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a
A. S 2a2 B. S8a2 C. S16a2 D. S 12a2
Câu 23: Cho khối chópS ABC có tam giác ABC vng B, biết AB1;AC Gọi M trung điểm BC, biết SM (ABC) Tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
(47)A. 21
4
B 20 C. 25
4
D 4
Câu 24: Cho hình chóp S ABC có SAvng góc với mặt phẳng ABC, SAa AB, a,AC2 ,a
60
BAC Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A.
3a B.
2
20a C. 20
3 a D.
2 5a
Câu 25: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A, cạnh huyền BC6cm, cạnh bên tạo với đáy góc 60 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A. 48cm2 B.12cm2 C. 16cm2 D. 24cm2
Câu 26: Cho hình chóp S.ABC có ABa, SB2a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: A 11 a
S B
2
11 a
S C
2 12
11 a
S D
2 12
11 a S
Câu 27: Cho tứ diện ABCD có ABC ABD tam giác cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc với Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a
A 5
3a B.
2 11
3a C.
2
2a D.
3a
Câu 28: Cho hình chóp S ABC có SAABC, SA2a, tam giác ABC cân A BC, 2a 2,
cos
3
ACB Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A 97 a
S B
2 97
a
S C
2 97
a
S D
2 97
a S
Câu 29: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B BCa Cạnh bên SA vng góc với đáy ABC Gọi H K, hình chiếu vng góc A lên cạnh SB SC Thể tích khối cầu tạo mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A HKCB là:
A. 3 a
B 2a3 C
3 a D a
Câu 30: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD là:
A. a B. a C. a D. 27 a
Câu 31: Cho bát diện đều, tính tỷ số thể tích khối cầu nội tiếp thể tích khối cầu ngoại tiếp hình bát diện
A.
2 B.
1
2 C.
1
3 D.
(48)Câu 32: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA3 Mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD
lần lượt điểm M , N , P Thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP
A 32
3
V B 64
3
V . C 108
3
V . D 125
6 V .
Câu 33: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tập hợp điểm M cho
2 2 2
2 MA MB MC MD a
A.Mặt cầu có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính 2
a
B.Mặt cầu có tâm trọng tâm tứ diện bán kính
a
C.Mặt cầu có tâm trọng tâm tứ diện bán kính 2
a
D.Đường trịn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính
a
Câu 34: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho
A 15
18
V B 15
54
V C
27
V D
3 V
Câu 35: Cho mặt cầu S Có tâm I , bán kính R5 Một đường thằng cắt S điểm M ,
N phân biệt không qua I Đặt MN 2m Với giá trị m diện tích tam giác IMN lớn nhất?
A
2
m B 10
2
m C
2
m D
2
m
Câu 36: Cho mặt cầu bán kính Xét hình chóp tam giác ngoại tiếp mặt cầu Hỏi thể tích nhỏ chúng bao nhiêu?
A. minV 8 B. minV 4 C. minV 9 D. minV 16
Câu 37: Khi cắt mặt cầu S O R , mặt kính, ta hai nửa mặt cầu hình trịn lớn mặt kính gọi mặt đáy nửa mặt cầu Một hình trụ gọi nội tiếp nửa mặt cầu
,
S O R nếu đáy hình trụ nằm đáy nửa mặt cầu, đường tròn đáy giao tuyến hình trụ với nửa mặt cầu Biết R1, tính bán kính đáy r chiều cao h
(49)A 3,
2
r h B 6,
2
r h C 6,
3
r h D 3,
3
(50)C – HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Cho hình chóp S ABC có SAABC, AB1, AC2 BAC60 Gọi M , N hình chiếu A SB, SC Tính bán kính R mặt cầu qua điểm A, B, C,
M , N
A. R B.
3
R C
3
R D. R1
Hướng dẫn giải: Chọn D
*Gọi K trung điểm ACsuy :
AK ABKC
*Lại có
60 60 ; 30 90 1 BAC ABK KBC ABC
*Theo giả thiêt ANC90 2 * Chứng minh AMC90 3 Thật vậy, ta có:
;
BC SA BC AB BC SAB SBC SAB
AM SB AM SBC AM MC
Từ 1 ; ; suy điểm A, B, C, M , Nnội tiếp đường trịn tâm K, bán kính
1
KAKBKCKM KN AC
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng, cạnh 2a, tâm O, mặt bên (SAB) tam giác SAB ABCD Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
A. 21
3
a
R B.
3
a
R C.
2
a
R D.
3
a
R
Hướng dẫn giải:
Qua O, kẻ 1 ABCD 1 trục đường trịn ngoại tiếp hình vng
ABCD
Do SAB ABCD nên kẻ SH ABthì
(51)Gọi E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB kẻ 2 SABtại E 2 trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB
1 cắt 2 I: tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Tứ giác OHEI có góc vng O, H, E nên hình chữ nhật
3
2
2
a
SH a a EH
Trong
2
2 2 21
:
9
a a
AIO R AI OA OI a
Chọn A
Câu 3: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc đỉnh
S mặt phẳng ABC trung điểm H cạnh BC Góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC
60 Gọi G trọng tâm tam giác SAC, R bán kính mặt cầu có tâm G tiếp xúc với mặt phẳng SAB Đẳng thức sau sai?
A. Rd G SAB , B 3 13R2SH C
2
4 39 ABC R
S D. 13
R a
Hướng dẫn giải:
Ta có 600 SA ABC, SA HA, SAH Tam giác ABC cạnh a nên
2
a
AH
Trong tam giác vuông SHA, ta có
.tan
2 a SH AH SAH
Vì mặt cầu có tâm G tiếp xúc với SAB
nên bán kính mặt cầu Rd G SAB , Ta có
, , ,
3
d G SAB d C SAB d H SAB
Gọi M E, trung điểm AB MB
Suy 3
2
CM AB
a CM
1 3
2
HE AB
a
HE CM
(52)
Ta có HE AB AB SHE AB HK
AB SH
2
Từ 1 2 , suy HK SAB nên d H ,SABHK Trong tam giác vng SHE, ta có
2
2 13
SH HE a
HK
SH HE
Vậy
3 13
a R HK
Chọn D
Câu 4: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a Mặt phẳng AB C' ' tạo với mặt đáy góc 600 điểm G trọng tâm tam giác ABC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G A B C ' ' ' bằng:
A. 85 108
a
B.
2 a
C.
4 a
D. 31 36
a
Hướng dẫn giải:
Gọi M trung điểm B C' ', ta có
0
60 AB C' ' , A B C' ' ' AM A M, ' AMA' Trong AA M' , có '
2
a
A M ;
' ' tan '
a AA A M AMA
Gọi G' trọng tâm tam giác A B C' ' ', suy G' tâm đường tròn ngoại tiếp ' ' '
A B C
Vì lặng trụ đứng nên GG'A B C' ' ' Do GG' trục tam giác A B C' ' '
Trong mặt phẳng GC G' ', kẻ trung trực d đoạn thẳng GC' cắt GG' I Khi I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G A B C ' ' ', bán kính RGI
Ta có ' ' '
'
GP GG
GPI GG C
GI GC
ÿ
2 2
' ' ' ' ' 31
' ' ' 36
GP GC GC GG G C a
R GI
GG GG GG
Chọn D
Câu 5: Cho hình chóp S ABC có đường cao SH a; góc SAB 45 độ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A
2 a
B. a C.
2 a
(53)Hướng dẫn giải:
Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chop S.ABCD Khi IAIBICIDIShay
(1) (2)
IA IB IC ID IA IS
Gọi H giao điểm AC BD Từ (1) suy ISH(*)
Trong mặt phẳng (SAH) dựng đường thẳng trung trực SA
Từ (2), suy
(2*)
(*) (2*) I
SH I
Gọi M trung điểm SA, đó:
2
2
SI SM SM SA SA SA SA
R SI
SA SH SH SH SH Do SAB cân S có
0 45 SAB
nên
SAB vuông cân S Đặt SAx, 2;
3
AB x
ABx HA
Trong tam giác vuông SHA có:
2
2 2 2 3
3
9 2
x a a
SA HA SH x a x a R
a
Chọn C
Câu 6: Cho khối chópS ABCD có SA(ABCD); đáyABCD hình thang vng A B với
;
ABBC a AD2a; SAa Gọi E trung điểm AD Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD
A
2
a
R B. Ra C. 11
2
a
R D. Ra 11
Hướng dẫn giải:
Gọi O trung điểm CD
x x
O P
M
N
O
C
D S
B
A A
B
S
D
C
E I
(54)Kẻ tia Ox SA Ox(ABCD)
Ta có: O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vuông CDE Ox(ABCD), nên Ox trục đường tròn (CDE)
Gọi M N, trung điểm AB SC,
Ta có: 2
2
a
SM SA AM ; 2
2
a
MC MB BC nên suy SM MC
Do tam giác SMC cân M , suy MN SC
Dễ thấy (MNO) / /(SAD) CE(SAD) nên suy CE(MNO) CEMN Vậy nên MN (SEC), MN trục đường tròn (SEC)
Gọi I giao điểm MN SO I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S ECD
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD R IC IO2OC2
Trong
a
OC 3
2
SA a
IO NP (P giao điểm MO AC)
Vậy
2 2
5 11
2 2
a a a
R
Chọn C
Câu 7: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a cạnh bên 21
6
a
Gọi h
chiều cao khối chóp R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Tỉ số R
h bằng:
A.
12 B.
7
24 C.
7
6 D.
1
Hướng dẫn giải:
Gọi O tâm ABC, suy SOABC
a
AO
Trong SOA, ta có 2
a hSO SA AO Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d đoạn SA
cắt SO I , suy ●Id nên ISIA ●ISO nên IAIBIC
(55)Gọi M tung điểm SA, ta có SMI ÿ SOA nên
7a
2 12
SM SA SA R SI
SO SO
Vậy
6 R h
Chọn C
Câu 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, đáy lớn AD2 ,a
ABBCCDa Cạnh bên SA2 ,a vng góc với đáy Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD Tỉ số R
a nhận giá trị sau đây?
A. a B a C. D
Hướng dẫn giải:
Ta có SAAD hay SAD 90 Gọi E trung điểm AD
Ta có EA ABBC Nên ABCE
hình thoi Suy CEEA AD Do tam giác ACD vng C
Ta có:
DC AC
DC SAC DC SC
DC SA
hay SCD90
Tương tự, ta có SBBD hay SAD 90
Ta có SADSCD SBD 900 nên khối chóp S ABCD nhận trung điểm I SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính
2
2
2
SD SA AD
R a
Suy R a
Chọn D
Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB2 ,a ADa Cạnh bên SA vng góc với đáy góc SC với đáy
45 Gọi N trung điểm SA, h chiều cao khối chóp S ABCD R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N ABC Biểu thức liên hệ R h là:
A 4R 5h B 5R4h C.
5
R h D. 5
4
R h
Hướng dẫn giải:
D E
B A
C S
(56)Ta có 450 SC ABCD, SC AC, SCA Trong SAC, ta có hSAa
Ta có
BC AB
BC SAB BN BC
BC SA
Lại có NA AC Do đó, hai điểm A B, nhìn đoạn NC góc vng nên hình chóp N ABC nội tiếp mặt cầu tâm J trung điểm NC, bán kính:
2
1
2 2
NC SA a
RIN AC
Chọn A
Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng SA
vng góc đáy ABCD Gọi H hình chiếu A đường thẳng SB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD có giá trị sau đây?
A. a B. a C.
2
a
D
2 a
Hướng dẫn giải:
Gọi OACBD
Vì ABCD hình vng nên OBODOC 1 Ta có
CB BA
CB SBA CB AH
CB SA
Lại có AH SB Suy AH SBCAH HC nên tam giác AHC vuông H
và có O trung điểm cạnh huyền AC nên suy 2
OH OC
Từ 1 , 2
2
a
R OH OB OC OD
Chọn C
Câu 11: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh bên cạnh đáy a Khi mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABCD có bán kính bằng:
A
1
a
B
6
a
C
6
a
D
3
a
O
C B
A
D S
H J N
O
C
D A
B
(57)Hướng dẫn giải:
Gọi H tâm hình vng ABCD Ta có SH trục đường tròn ngoại tiếp đáy
Gọi M trung điểm CD I chân đường phân giác góc
( )
SMH ISH
Suy I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính rIH
Ta có 2
;
;
2
a
SH SA AH
a a
SM MH
Dựa vào tính chất đường phân giác ta có: IS MS
IH MH
2
a
SH MS MH SH MH a
IH
IH MH MS MH
Chọn B
Câu 12: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng C BCa Mặt phẳng SAB
vng góc với đáy, SASBa, ASB 120 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S ABC là:
A
4 a
B
2 a
C. a D. 2a
Hướng dẫn giải:
Gọi M trung điểm AB, suy SM AB SM ABC Do đó, SM trục tam giác ABC
Trong mặt phẳng SBM, kẻđường trung trực d đoạn SB cắt SM I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S ABC, bán kính RSI
Ta có: AB SA2SB22SA SB c osASB a Trong tam giác vng SMB ta có
os os60 a SM SB c MSBa c
Ta có SPI SMB Suy SM SP R SI SB SP a SB SI SM
Chọn C
M
C
A B
S
I
(58)Câu 13: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Đường thẳng
SAa vng góc với đáy ABCD Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng qua hai điểm A M đồng thời song song với BD cắt SB SD, , E F Bán kính mặt cầu qua năm điểm , , ,S A E M F, nhận giá trịnào sau đây?
A. a B. a C.
2
a
D
2 a
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng song song với BD cắt SB, SD E, F nên EF / /BD SAC. cân A, trung tuyến AM nên AM SC 1
Ta có BD AC BD SAC BD SC BD SA
Do EFSC 2
Từ 1 , suy SC SCAE *
Lại có:
**
BC AB
BC SAB BC AE
BC SA
Từ * , ** suy AESBCAESB
Tương tự ta có AFSD Do SEA SMA SFA900 nên điểm , , ,S A E M F, thuộc mặt cầu tâm I trung điểm SA, bán kính
2
SA a
R
Câu 14: Cho khối chópS ABC có SA(ABC); tam giác ABC cân A,ABa;BAC120 Gọi
,
H K hình chiếu A lên SB SC, Tính bán kính mặt cầu qua điểm , , , ,
A B C K H
A. Ra B. Ra
C. R2a D.Không tồn mặt cầu
Hướng dẫn giải:
Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC AD đường kính đường trịn ( )I
Tam giác ACD vuông C, suy ra:
DC AC mà DCSA nên DC(SAC)
M F E
O
C
D A
B
S
(59)Ta lại có:
( ( )
AK KC
AK KC
AK DC DC KCD
Suy tam giác AKD vuông K, suy ra: IAIDIK Tương tự ta có: IAIDIH
Vậy IAIBICIKIH ,
do điểm A B C K H, , , , nằm mặt cầu(đpcm)
Bán kính R mặt cầu bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Áp dụng định lý cos ta có: BC AB2AC22AB AC .cos120 a
Áp dụng định lý sin ta có:
sin sin
2
BC BC a
R R a
A A
Chọn B
Câu 15: Cho lăng trụ ABC A B C có AB ACa BC, 3a Cạnh bên AA 2a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB C C
A. a B 2a C 5a D 3a
Hướng dẫn giải: Chọn B.
Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB C C tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng cho Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường thẳng qua O vng góc với ABC cắt mặt phẳng trung trực AA I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp
Mặt khác
2 2
1 cos
2
AB AC BC
A
AB AC
Ta có: 0
2 sinA 2sin120 ABC
BC a
R a RIA OI2OA2 a2a2 a
Câu 16: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vng B AC, a 3, góc
ACB
30 Góc đường thẳng AB' mặt phẳng ABC
60 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ABC' bằng:
A.
4 a
B. 21
4
a
C. 21
2
a
D. 21
8
a
(60)Ta có 600 AB',ABCAB AB', B AB' Trong tam giác ABC, ta có sin
2
a
AB AC ACB
Trong B BA' , ta có ' tan'
a BB AB B AB Gọi N trung điểm AC,
suy N tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
Gọi I trung điểm A C' ,
suy IN/ / 'A AIN ABC Do IN trục ABC, suy IAIBIC 1
Hơn nữa, tam giác A AC' vng A có I trung điểm A'C nên IA'IB'IC' 2
Từ 1 , , ta có IA'IAIBIC hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A ABC' với bán kính
2
' AA' 21
'
2
A C AC a
RIA
Chọn B
Câu 17: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh ,a hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ABC trung điểm H cạnh BC Góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC
60 Gọi G trọng tâm tam giác SAC R, bán kính mặt cầu có tâm G tiếp xúc với mặt phẳng SAB Đẳng thức sau sai?
A. Rd G SAB , B 3 13R2SH C
2
4 39 ABC R
S D.
R a
Hướng dẫn giải:
Ta có 600 SA ABC, SA HA, SAH Tam giác ABC cạnh a nên
2
a
AH
Trong tam giác vng SHA, ta có
.tan
2 a SH AH SAH
Vì mặt cầu có tâm G tiếp xúc với SAB nên bán kính mặt cầu Rd G SAB ,
I
N A
B A'
B'
(61)Ta có , , ,
3
d G SAB d C SAB d H SAB Gọi M, E trung điểm ,
AB MB
Suy 3 CM AB a CM
1 3
2 HE AB a HE CM
Gọi K hình chiếu vng góc H lên SE, suy HK SE 1
Ta có
2
HE AB
AB SHE AB HK
AB SH
Từ 1 , HK SAB d H, ,SABHK Trong tam giác vuông SHE, ta có
2
13
SH HE a
HK SH HE Vậy 13 a R HK
Chọn D
Câu 18: Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với đáy, SAa Đáy ABCD hình thang vng A ,
2
B ABBC ADa Gọi E trung điểm AD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ECD
A
2
a
R B. Ra C. 114
6
R a D. 26
2
a R
Hướng dẫn giải:
Gọi H trung điểm CD d đường thẳng qua H vng góc với đáy Gọi I R tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp
S CDE Suy I thuộc D Đặt IH x Trong mp ASIH kẻ đường thẳng qua I song song với AH cắt AS K
Ta có:
2
2 2
a ID IH HD x
2 2 2
2 2
2 2
2
2
IS IK KS AH KS
a
AC CH KS a a x
(62)Suy ra:
2 2
2 2
2
2
a a a
x a a x x
Vậy bán kính mặt cầu 114
a
R
Chọn C
Câu 19: Cho tứ diện S ABC có đáy ABC tam giác vng Avới AB3a, AC4a Hình chiếu H S trùng với tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC Biết SA2a, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A. 118
4
Ra B. 118
2
Ra C. 118
8
Ra D. Ra 118
Hướng dẫn giải: Chọn A
Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Tính r AB AC a AB AC BC
Tính AH a
a
MH
Tam giác SAH vuông Hsuy 2
2
SH SA AH a
Gọi M trung điểm BCvà trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC Suy O
Ta có:
2 2 2
OC OS OM MC SK OK 2
2 25
( 2)
4 4
a a
OM OM a OM a
Suy 118
ROC a
A
B
C S
M H
A
B
C H
M
H M
S
K
(63)Câu 20: Cho hình chóp S ABC có SAABC, ACb, ABc, BAC Gọi B, C hình chiếu vng góc A lên SB, SC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
A BCC B theo b, c,
A. R2 b2c22bccos B
2
2 cos sin
b c bc
R
C
2
2 cos 2sin
b c bc
R
D.
2
2 cos
sin
b c bc
R
Hướng dẫn giải: Chọn C
Gọi M N, trung điểm AB AC Tam giác ABB vuông B nên M tâm đường
trịn ngoại tiếp tam giác ABB, suy trục tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABB đường trung trực
AB(xét mp ABC)
Tam giác ACC vng C nên N tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ACC, suy trục tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ACC đường trung trực
AC(xét mp ABC)
Gọi I 1 I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC I cách đếu điểm , , , B , C
A B C nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp ABCB C
Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCB C R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giácABC
Ta có ABC
AB AC BC R
S
1 .sin
2
c b BC
bc
2
2 cos 2sin
b c bc
Câu 21: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B ABa Cạnh bên
SAa , hình chiếu điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm cạnh huyền AC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC là:
A.
2
a
B.
3
a
C.
2
a
D.
3
a
Hướng dẫn giải:
Gọi M trung điểm AC, suy SM ABCSM AC
Tam giác SAC có SM đường cao trung tuyến nên tam giác SAC cân S
(64)Ta có AC AB2BC2 a 2, suy tam giác SAC Gọi G trọng tâm tam giác SAC, suy GS GAGC 1
Tam giác ABC vng B, có M trung điểm cạnh huyền AC nên M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Lại có SM ABC nên SM trục tam giác ABC Mà G thuộc SM nên suy GAGBGC 2
Từ 1 , , suy GS GAGBGC hay G tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC Bán kính mặt cầu
3
a
RGS SM
Chọn B
Câu 22: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, ABBCa 3,
90
SABSCB khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC A Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a
A. S 2a2 B S8a2 C. S16a2 D. S 12a2
Hướng dẫn giải:
Gọi H hình chiếu S lên (ABC)
Ta có BC SC HC BC
SH BC
Tương tự, AH AB
Và ABC vuông cân B nên ABCH hình vng
Gọi O ACBH O, tâm hình vng
Dựng đường thẳng d qua O vng góc với ABCH, dựng mặt phẳng trung trực SA qua trung điểm J cắt d I I, tâm mặt cầu ngoại tiếp Ta hồn tồn có IJ SAIJ / /ABI trung điểm SB, hay I dSC
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: . IJ2 2; IJ
2
S SBC
AB a
r AI JA
Do AH/ /SBCd A SBC , d H SBC , HK
( K hình chiếu H lên SC BC SHC HK SBC )
HK a
tam giác SHC vuông H SH a
J I
O
B H
A
C S
(65)Tam giác SHA vuông H SA3a
2
3 12
2 S ABC mc
SA a
JA r AI a S r a
Chọn D
Câu 23: Cho khối chópS ABC có tam giác ABC vng B, biết AB1;AC Gọi M trung điểm BC, biết SM (ABC) Tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
SMABvàb SMACbằng 15 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABC là:
A. 21
4
B 20 C. 25
4
D 4
Hướng dẫn giải:
Dễ kiểm tra BC2a tam giác MAB
đều cạnh a Đặt SM h
Gọi R R1, 2 R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình SMAB, SMAC
S ABC
Gọi r r1, 2 r bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác MAB, MAC
ABC
Ta có: 1
r 2
2.sin120 AC
r
Vì SA(MAB), SA(MAC) nên dễ kiểm tra được:
2 2
2
1
3
2 4
h h
R r
2 2
2
2
2
h h
R r
Theo giả thiết tổng diện tích mặt cầu thì: 4R12R2215 Suy ra:
2
3 15
1
4 4
h h
Từ tìm h2
Dựng trung trực SC, cắt SM I I tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC
Dễ kiểm tra SI SM SN SC , suy SN SC R SI
SM
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABC
2
5 25
4
4
S
Chọn C
N
M A
B
C S
(66)Câu 24: Cho hình chóp S ABC có SAvng góc với mặt phẳng ABC,SAa AB, a,AC2 ,a
60
BAC Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A.
3a B.
2
20a C. 20
3 a D.
2 5a
Hướng dẫn giải:
Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, dlà đường thẳng qua Hvà vuông góc với mặt phẳng (ABC), gọi mặt phẳng trung trực SA, O giao điểm củad
và Khi O tâm hình cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
Theo định lí hàm số cosin ta có :
2
2
2
2 AC.cos 2 cos 60
BC AB AC AB BAC
a a a a a
Diện tích tam giác ABC:
1
.AB.AC.sin
2
ABC
a
S BAC
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
.2 a
4
4 ABC
AB BC AC a a
AH a
S a
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS ABC :
2
2
2
a a
ROA AH OH a
Diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
2
4
2 a
S R a
Chọn D
Câu 25: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A, cạnh huyền BC6cm, cạnh bên tạo với đáy góc 60 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A. 48cm2 B.12cm2 C. 16cm2 D. 24cm2
(67)Gọi H hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABC
Gọi O trung điểm BC
Tam giác ABC vuông A, O trung điểm cạnh huyền BC, suy OAOBOC (1)
Xét tam giác SHA, SHB, SHC có:
90 60
( ) (2)
SH
SHA SHB SHC
SAH SBH SCH
SHA SHB SHC g c g HA HB
ch ng
HC u
Từ 1 2 suy H trùng O Khi SH trục đường trịn ngoại tiếp ABC
Trong SAH dựng trung trực SA cắt SH I
Khi IAIBICIS Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
SBC
cạnh 6cm 3 2.3 3
3
SO SI SO
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là:
2
4 48
S cm
Câu 26: Cho hình chóp S.ABC có ABa, SB2a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:
A
2
11 a
S B
2
11 a
S C
2 12
11 a
S D
2 12
11 a S
Hướng dẫn giải:
1) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Xác định tâm mặt cầu
Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, S ABC hình chóp nên SO trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Trong tam giác
SOAdựng đường trung
trực cạnh bên SA, cắt SO I
và cắt SA trung điểm J Ta có:
I SO IA IB IC
IA IB IC IS
I IA IS
Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
(68)Gọi M AOBC M trung điểm BC
Ta có: 3
2
AB a
AM
3
a
AO AM
Trong tam giác vuông SOA ta có
2
2 2 33
4
9
a a
SO SA AO a
Xét hai tam giác vng đồng dạng SJI SOAta có:
2
4 33
2 33 11
2
SI SJ SA a a
R SI
SA SO SO a 2) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu
Diện tích mặt cầu là:
2
2
2 33 12
4
11 11
a a
S R
Câu 27: Cho tứ diện ABCD có ABC ABD tam giác cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc với Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a
A.
3a B.
2 11
3a C.
2
2a D.
3a
Hướng dẫn giải:
Gọi M Trung điểm AB
Vì Tam giác ADB tam giác ABC tam giác DM AB CM; AB
Do có ABC ABD tam giác cạnh a nằm hai mặt phẳng vuông góc với => Góc DMC900
Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABC G tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABD => H,G đồng thời trọng tâm tam giác ABC ABD
2 ;
3 ;
3
H CM CH CM
G DM DG DM
Kẻ Đường vng góc với đáy (ABC) từ H Đường vng góc với (ABD) từ G
Do hai đường vng góc thuộc (DMC) nên chúng cắt O
=> O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCG ROC
A C
B D
O
M G
(69)Tam giác ABC sin 60 0 3 ;
2
CM CB a CH a HM a
CMTT ta có
GM a
Từ nhận thấy OGMH hình vuông
OH a
Tam giác OHC vuông H → Áp dụng định lý Pitago ta có:
3
.sin 60 ;
2
CM CB aCH a HM a
2
12
OC CH OH aR
4
3 S R a
Chọn A
Câu 28: Cho hình chóp S ABC có SAABC, SA2a, tam giác ABC cân A BC, 2a 2,
cos
3
ACB Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A
2 97
a
S B
2 97
a
S C
2 97
a
S D
2 97
a S
Hướng dẫn giải: Chọn A
Gọi H trung điểm BC
2
BC
HC a
Do ABC cân A AH BC
cos 3
3
ACB AC HCAC a
2 2
18
AH AC HC a a a
Gọi M trung điểm AC, mp ABC
vẽ đường trung trực AC cắt AH O O
là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC
Ta có cos sin cos 2
3 3
ACH CAH CAH
Trong AMO vuông M
2
9
4 2 cos
3
a
AM a
AO
CAH
(70)Gọi N trung điểm SA Trong mp SAH vẽ trung trực SA cắt đường thẳng qua O vng góc mp ABC I Chứng minh I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S ABC
Ta có ANIOlà hình chữ nhật
đường chéo
2
2 81 97 97
16 16
a a
AI AO AN a a
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
2
2 97 97
4
16
a
S R a (đvdt)
Câu 29: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B BC a Cạnh bên SA vng góc với đáy ABC Gọi H K, hình chiếu vng góc A lên cạnh SB SC Thể tích khối cầu tạo mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A HKCB là:
A. 3 a
B 2a3 C
3 a D a
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết, ta có
90 , 90
ABC AKC Do
2
AH SB
AH HC
BC AH BC SAB
Từ 1 , suy r aba điểm B H K, , nhìn xuống AC góc
90 nên hình chóp A HKCB nội tiếp mặt cầu tâm I trung điểm AC, bán kính
2
2 2
AC AB a
R
Vậy thể tích khối cầu
3
4
3
a
V R (đvdt)
Chọn A
Câu 30: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD là:
A. a B. a C. a D. 27 a
Hướng dẫn giải:
Gọi OACBD, suy SOABCD Ta có 60 =0 SB ABCD, SB OB, SBO Trong SOB, ta có tan
2
a
SOOB SBO
(71)Ta có SO trục hình vng ABCD
Trong mặt phẳng SOB, kẻ đường trung trực d đoạn SB
Gọi I SO d I SO IA IB IC ID
I d IS IB
IA IB IC ID IS R
Xét SBD có 60o
SB SD
SBD SBO
SBD
Do d đường trung tuyến SBD Suy I trọng tâm SBD Bán kính mặt cầu
3
a
RSI SO Suy
3
4
3 27
a
V R
Chọn D
Câu 31: Cho bát diện đều, tính tỷ số thể tích khối cầu nội tiếp thể tích khối cầu ngoại tiếp hình bát diện
A.
2 B.
1
2 C.
1
3 D.
1 3
Hướng dẫn giải:
Gọi cạnh bát diện ;a bát diện có mặt chéo hình vng; độ dài đường chéo ACBDSS'a
Mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp có tâm O, bán kính mặt cầu ngoại tiếp
2
AC a
ROA
Bán kính mặt cầu nội tiếp khoảng cách từ O đến mặt bên Hình có
2
SO OM a
r OH
SO OM
Có
3 r
R tỷ số thể tích khối cầu nội tiếp cho khối cầu ngoại tiếp là:
3
1
3 3
r R
Chọn D
Câu 32: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA3 Mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD
lần lượt điểm M , N , P Thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP
A 32
3
V B 64
3
V . C 108
3
V . D 125
6 V .
(72)Chọn A
Ta có:
, 1
CB SAD AM SAB AM CB
SC AM, AM SC 2 Từ
,
90
AM SBC
AM MC AMC
Chứng minh tương tự ta có APC90
Có AN SCANC90
Ta có: AMC APC APC90
khối cầu đường kính AC khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP Bán kính cầu
2 AC r Thể tích cầu: 32
3
V r
Câu 33: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tập hợp điểm M cho
2 2 2
2 MA MB MC MD a
A.Mặt cầu có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính 2
a
B.Mặt cầu có tâm trọng tâm tứ diện bán kính
a
C.Mặt cầu có tâm trọng tâm tứ diện bán kính 2
a
D.Đường trịn có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính
a
Hướng dẫn giải: Chọn B
Gọi I J, trung điểm ,
AB CD Gọi K trung điểm IJ (Lúc này, K trọng tâm tứ diện)
Áp dụng định lý đường trung tuyến tam giác, ta có:
2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
AB a
MA MB MI MI
CD a
MC MD MJ MJ
C
A D
B
S
M
(73)
2 2 2 2
2
MA MB MC MD MI MJ a
2
2
2
2 IJ
MK a
Ta có:
2
2 2 2
2
2 4
IC ID CD a a a a
IJ IC
2
2 2 2
4
2 a
MA MB MC MD MK
Do đó:
2
2 2 2 2
2
2
a a
MA MB MC MD a MK a MK
Vậy tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức đề mặt cầu tâm K, bán kính
a
Câu 34: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác
đều nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho
A 15
18
V B 15
54
V C
27
V D
3 V
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Gọi O tâm đường tròn tam giác ABC suy O trọng tâm, H trung điểmAB, kẻ đường thẳng qua O song song SH cắt SC N ta NOABC, gọi M trung điểmSC, HM cắt NO I
Ta có HSHC nên HM SCIS ICIAIBr
Ta có
0 2 6
45 , ,
3 3
CN CO
NIM HCS CN SM SN
CS CH
Suy
12
NM SM SN
NMI
vuông M
0
tan 45
12
NM
IM NM
IM
Suy 2
12
(74)Vậy 15
3 54
V r
Cách khác:
Gọi , P Q trọng tâm tam giácSAB ABC
Do tam giác SAB ABC tam giác cạnh nên , P Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
+ Qua P đường thẳng vng góc với mặt phẳng SAB, qua O dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng ABC Hai trục cắt ,I suy IAIBICIS Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC RIC
+ Xét
2
2 3 15
: IC
3
IQC IG GC
Vậy 15
3 54
V R
Câu 35: Cho mặt cầu S Có tâm I , bán kính R5 Một đường thằng cắt S điểm M ,
N phân biệt không qua I Đặt MN 2m Với giá trị m diện tích tam giác IMN lớn nhất?
A
2
m B 10
2
m C
2
m D
2
m
Hướng dẫn giải:
Gọi H trung điểm MN, ta có : IH 25m2
Diện tích tam giác IMN :
2
2
1
25
2
25
(25 )
2 IMN
S IH MN m m
m m
m m
Suy 25 IMN
S Dấu ‘=’ xãy
2
25
2 m m m
Chọn D
Câu 36: Cho mặt cầu bán kính Xét hình chóp tam giác ngoại tiếp mặt cầu
Hỏi thể tích nhỏ chúng bao nhiêu?
(75)Hướng dẫn giải:
Chọn A
Gọi cạnh đáy hình chóp a Ta có SIJ~ SMH
2
2
2 2
2 2
2 2
1
12
2
12 12
SI IJ
SM MH
MH SH IH IJ SH HM
MH SH SH HM
a SH a SH
a
SH a
a
4
2
1 3
1 12
3 ABC 12
a
S S SH
a
a a
Ta có
1 12
48
a a S8
Câu 37: Khi cắt mặt cầu S O R , mặt kính, ta hai nửa mặt cầu hình trịn lớn mặt kính gọi mặt đáy nửa mặt cầu Một hình trụ gọi nội tiếp nửa mặt cầu
,
S O R nếu đáy hình trụ nằm đáy nửa mặt cầu, cịn đường trịn đáy giao tuyến hình trụ với nửa mặt cầu Biết R1, tính bán kính đáy r chiều cao h
của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S O R , để khối trụ tích lớn
A 3,
2
r h B 6,
2
r h C 6,
3
r h D 3,
3
r h
Hướng dẫn giải: Chọn C
Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường trịn đáy có tâm O' có hình chiếu O xuống mặt đáy (O') Suy hình trụ nửa mặt cầu chung trục đối xứng tâm đáy hình trụ trùng với tâm O nửa mặt cầu.Ta có: h2r2 R2
0hR1r2 1 h2
Thể tích khối trụ là: V r h2 (1 h ) h f(h)
2
'(h) (1 h ) h
f
h
3
(76)f(h)
2
0 0
Vậy:
0;1
2
MaxV (đvtt)
r
3
(77)MẶT TRÒN XOAY – KHỐI TRÒN XOAY
A – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: thể tích vật thể trịn xoay quay mơ hình (như hình vẽ) quanh trục DF
A.
3 10
9
a
B.
3 10
7
a
C.
3
2
a
D
3
3
a
Câu 2: Thể tích V khối trịn xoay thu quay hình thang ABCD quanh trục OO, biết 80,
OO O D 24, O C 12, OA12, OB6.
A. V 43200 B.V 21600 C. V 20160 D. V 45000
Câu 3: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a,vẽ tia Ax phía điểm B cho điểm B cách tia Axmột đoạn a Gọi H hình chiếu B lên tia, tam giác AHB quay quanh trục AB đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt trịn xoay có diện tích xung quanh
A.
2 (2 2)
2
a
B.
2 (3 3)
2
a
C.
2 (1 3)
2
a
D.
2
2
a
(78)X
Y
A.
3 13
96
a
B.
3 11
96
a
C.
3
8
a
D.
3 11
8
a
Câu 5: Cho nửa đường trịn đường kính AB2R điểm C thay đổi nửa đường trịn đó, đặt
CAB
gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tìm cho thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn
A. 60 B. 45 C. arctan
2 D. 30
Câu 6: Cho hình cầu (S) tâm O, bán kính R Hình cầu (S) ngoại tiếp hình trụ trịn xoay (T) có đường cao đường kính đáy hình cầu (S) lại nội tiếp nón trịn xoay (N) có góc đỉnh 60 Tính tỉ số thể tích hình trụ (T) hình nón (N)
A.
6 T N V
V B.
2 T N V
V C.
6 2 T N V
V D.Đáp án khác
Câu 7: Cho tam giác hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh tam giác trùng với tâm hình vng, trục tam giác trùng với trục hình vng (như hình vẽ) Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình cho quay quanh trục AB
A. 136 24
9
B. 48
3
C. 128 24
9
D. 144 24
9
Câu 8: Cho hai hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh X hình vng tâm hình vng cịn lại (như hình vẽ) Tính thể tích
V vật thể trịn xoay quay mơ hình xung quanh trục XY
A
125
V
B
125 2 12
V
C
125 24
V
D
125 2
V
Câu 9: Cho tam giác ABC cạnh a nội tiếp đường tròn tâm O,
(79)A.
3 23
126
a
B
3
24
a
C.
3 20
217
a
D.
3
4
27
a
Câu 10: Cho hình thang vng ABCD có độ dài hai đáy AB2 ,a DC4a, đường cao AD2a Quay hình thang ABCDquanh đường thẳng AB thu khối trịn xoay H Tính thể tích V khối H
A.
8
V a B
3 20
a
V C.
16
V a D
3 40
a
V
Câu 11: Cho tam giác ABC vng A có AB3 ,a AC 4a Khi tam giác ABC quay quanh đường thẳng BC ta khối trịn xoay Tính thể tích V khối trịn xoay
A.
V a B
3 96
5
a
V C.
3
V a D
3 48
5
a
V
Câu 12: Cho hình phẳng H mơ tả hình vẽ Tính thể tích V vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng H quanh cạnh AB
A 772
V cm B 799
V cm C. V 254 cm3 D 826
V cm
A
B C
D H
O
A
7 cm 6 cm
3 cm
3 cm
5 cm
B C
E F
(80)B – HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: thể tích vật thể trịn xoay quay mơ hình (như hình vẽ) quanh trục DF
A.
3 10
9
a
B.
3 10
7
a
C.
3
2
a
D
3
a
Hướng dẫn giải: Chọn A
Ta có tan tan 30 3
a
EF AF a
Khi quay quanh trục DF, tam giác AEF tạo hình nón tích
3
1
1
3 3
a a
V EF AF a
Khi quay quanh trục DF, hình vng ABCD tạo hình trụ tích
2
2 V DC BCa aa
Thể tích vật thể trịn xoay quay mơ hình (như hình vẽ) quanh trục DFlà
3
1
10
9
a
V V V a a
Câu 2: Thể tích V khối trịn xoay thu quay hình thang ABCD quanh trục OO, biết 80,
OO O D 24, O C 12, OA12, OB6.
(81)(82)Câu 4: Cho ba hình tam giác cạnh a chồng lên hình vẽ (cạnh đáy tam giác qua trung điểm hai cạnh bên tam gác dưới) Tính theo
a thể tích khối trịn xoay tạo thành quay chúng xung quanh đường thẳng d
A.
3 13
96
a
B.
3 11
96
a
C.
3
8
a
D.
3 11
8
a
Chọn B
Nếu ba hình tam giác khơng chồng lên
thể tích khối trịn xoay
3
3
a
V
Thể tích phần bị chồng lên
3
3 96
a
V
Thể tích cần tính
3
11 96
a
V V V
Hoặc làm sau:
Đặt V V V V1; 2; 3; 4lần lượt thể tích: khối nón sinh tam giácOABquay quanh OB, khối trịn xoay sinh hình BCFE GCHK; , khối nón sinh tam giác DEB quay quanh
BC Khi đó: Thể tích khối cần tìm là:
2
1
1 3 11
3
3 16 96
a a a a a
V V V V V V
Câu 5: Cho nửa đường trịn đường kính AB2R điểm C thay đổi nửa đường trịn đó, đặt
CAB
gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tìm cho thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn
A. 60 B. 45 C. arctan
2 D. 30
Hướng dẫn giải:
2 cos cos
.sin cos sin ; cos cos
AC AB R
CH AC R AH AC R
Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục ABlà
2
1
.cos sin
3
V AH CH R
Đặt
cos
t t 2
1
V R t t
3
3
8 2
2
6
t t t
R t t t R
(83)Vậy V lớn
t arctan
Chú ý: dùng PP hàm số để tìm GTNN hàm 2 f t t t
Chọn C
Câu 6: Cho hình cầu (S) tâm O, bán kính R Hình cầu (S) ngoại tiếp hình trụ trịn xoay (T) có đường cao đường kính đáy hình cầu (S) lại nội tiếp nón trịn xoay (N) có góc đỉnh 60 Tính tỉ số thể tích hình trụ (T) hình nón (N)
A.
6 T N V
V B.
2 T N V
V C.
6 2 T N V
V D.
2 T N V V
Hướng dẫn giải:
Bài toán quy hình nón tâm O ngoại tiếp hình vng ABCD nội tiếp tam giác SEF mà EF/ /AB Vì OAB tam giác vng cân nên ABBC R 2.Suy
2 3
2
2
T
AB R
V BC
Ta thấy, tâm O hình trịn tâm hình vng ABCD đồng thời trọng tâm tam giác SEF
Như vậy, đường cao tam giác SEF
3
SH OH R
Trong tam giác EOH (vuông H,
30
EOH ) Ta có: EH OH 3R Thể tích hình nón
2
1
3
3
N
V EH SH R R R
Vậy
3
3
2
3
T N
R V
V R
Chọn A
Câu 7: Cho tam giác hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh tam giác trùng với tâm hình vng, trục tam giác trùng với trục hình vng (như hình vẽ) Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình cho quay quanh trục AB
A. 136 24
9
B. 48
3
C. 128 24
9
D. 144 24
9
Hướng dẫn giải: Chọn D
Khi xoay quanh trục AB thì:
h R' H
(84)X
Y
Phần hình vng phía trở thành lăng trụ có bán kính R = 2, chiều cao h =
1 16 V
Phần trở thành hình nón cụt với
2 2
hHK AKAH ; R2
' 2
'
2 3 3
R AH R
R
R AK
Áp dụng '2 ' 24
3 h R R
V RR
Vậy 1 2 24 136
V V V
Chọn D.
Câu 8: Cho hai hình vng có cạnh xếp chồng lên cho đỉnh X hình vng tâm hình vng cịn lại (như hình vẽ) Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay mơ hình xung quanh trục XY
A
125
V
B
125 2 12
V
C
125 24
V
D
125 2
V
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Cách :
Khối tròn xoay gồm phần:
Phần 1: khối trụ có chiều cao 5, bán kính đáy
bằng
2 tích
2
5 125
5
2
V
Phần 2: khối nón có chiều cao bán kính đáy
2 tích
2
1 5 125
3 2 12
V
Phần 3: khối nón cụt tích
2
3
5 125 2
1 5 5
3 2 2 24
V
(85)
125 2 125 125 125
4 12 24 24
V V V V
Cách :
Thể tích hình trụ tạo thành từ hình vng ABCD
2 125 T
V R h
Thể tích khối trịn xoay tạo thành từ hình vng XEYF
2
2 125
3
N
V R h
Thể tích khối trịn xoay tạo thành từ tam giác XDC
2
1 125
3 24
N
V R h
Thể tích cần tìm 2 125 24
T N N
V V V V
Câu 9: Cho tam giác ABC cạnh a nội tiếp đường tròn tâm O, AD đường kính đường trịn tâm O Thể tích khối trịn xoay sinh cho phần tơ đậm (hình vẽ bên) quay quanh đường thẳng AD
A.
3 23
126
a
B
3
24
a
C.
3 20
217
a
D.
3
4
27
a
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Khi quay tam giác ABC quanh trục AD khối nón tích là:
2 3
2
1 1 3
3 3 2 24
a a a
N r h HC AH
Khi quay đường tròn tâm O quanh trục AD khối cầu tích là:
3
3
4 4
3 3 27
a a
V R AO
A
B C
D H
(86)A' H
B A
C
Thể tích khối trịn xoay cần tìm:
2 2
1
72
;
7
1 1
a b c
S d I ABC R
a b c
Câu 10: Cho hình thang vng ABCD có độ dài hai đáy AB2 ,a DC4a, đường cao AD2a Quay hình thang ABCDquanh đường thẳng AB thu khối trịn xoay H Tính thể tích V khối H
A. V 8a3 B
3 20
a
V C. V 16a3 D
3 40
a
V
Hướng dẫn giải: Chọn D
Gọi V1 thể tích khối trụ quay hình chữ nhật DCFEquanh trục AB Gọi V2 thể tích khối nón Khi quay BCF quanh
trục AB
V thể tích khối (H)cần tìm
1
V V V =
3
2 40
2 2
3
a
a a a a
Câu 11: Cho tam giác ABC vuông A có
3 ,
AB a AC a Khi tam giác ABC quay quanh
đường thẳng BC ta khối trịn xoay Tính thể tích V khối trịn xoay
A.
V a B
3 96
5
a
V C.
3
V a D
3 48
5
a
V
Hướng dẫn giải: Chọn A
Gọi H hình chiếu vng góc A lên BC Gọi V V1, 2 thể tích khối nón tam giác CAH BAH sinh quay quanh trục
BC
Ta có: 12 ; 16 ;
5 5
a a a
AH CH BH
Suy
2 3
1
1 12 16 768
3 5 125
a a a
V
2 3
2
1 12 432
3 5 125
a a a
V
Vậy
3
48
a
(87)Câu 12: Cho hình phẳng H mơ tả hình vẽ Tính thể tích V vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng H quanh cạnh AB
A 772
V cm B 799
V cm C. V 254 cm3 D 826
V cm
Hướng dẫn giải:
Vật thể tròn xoay tạo gồm hai phần:
1
V phần hình trụ trịn xoay quay hình gấp khúc ODCB quanh trục AB tạo hình trụ có chiều cao h6cm; bán kính đáy R17cm
2
V phần hình trụ trịn xoay quay hình gấp khúc AFEO quanh trục AB tạo hình nón cụt có chiều cao h 1cm; bán kính đáy lớnR4cm; bán kính đáy bé r 3cm Khi thể tích khối trịn xoay là:
2 2 2
1
.1 772
.49.5 4.3
3 3
h
V V V R h R r R r cm
Chọn A
1cm
6cm
7cm
4cm 3cm 3cm
A
E
O
B C
D F
A
7 cm 6 cm
3 cm
3 cm
5 cm
B C
E F
(88)R
R1 C
H
A
R H r
C A
B
ỨNG DỤNG THỰC TẾ A – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Người ta bỏ bóng bàn kích thước vào hộp hình trụ có đáy hình trịn trịn lớn bóng bàn chiều cao lần đường kính bóng bàn Gọi
1
S tổng diện tích bóng bàn, S2 diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số S S là:
A. B.
5 C. D.
3
Câu 2: Một công ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm3 với chiều cao h bán kính đáy r để lượng giấy tiêu thụ giá trị r là:
A
6
2
r
B
8
2
r
C
8
2
r
D
6
2
r
Câu 3: Một phễu đựng kem hình nón giấy bạc tích 12(cm3) chiều cao 4cm Muốn tăng thể tích kem phễu hình nón lên lần, chiều cao không thay đổi, diện tích miếng giấy bạc cần thêm
A. 2
(12 13 15) cm B. 2
12 13 cm
C. 12 13 2
15 cm D.
2 (12 13 15) cm
Câu 4: Một phễu có dạng hình nón, chiều cao phễu 20 cm( Hình 1) Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao cột nước phễu lả 10cm Nếu bịt kín miệng phễu lật ngược lên ( Hình 2) chiều cao cột nước phễu giá trị sau
A. 10cm B. 0,87 cm
C. 1, 07 cm D. 1, 35cm
Câu 5: Cho đồng hồ cát hình vẽ ( gồm hai hình nón chung đỉnh ghép lại) đường sinh hình nón tạo với đáy góc
60 Biết chiều cao đồng hồ 30cm tổng thể tích đồng hồ 1000cm3 Nếu cho đầy lượng cát vào phần chảy hết xuống tỷ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần phía
A.
8 B.
(89)0,6 m
0,4 m
0,6 m 1 m
R
h
h R
H O
C.
3 D.
1 64
Câu 6: Tính thể tích thùng đựng nước có hình dạng kích thước hình vẽ
A. 0, 238 3
3 m
B 0, 238 3
2 m
C. 0, 238 3
4 m
D 0, 238 3
3 m
Câu 7: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy
A. 10 2cm B. 20cm C. 50 2cm D. 25cm
Câu 8: Một kem ốc quế gồm hai phần, phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón, giả sử hình cầu hình nón có bán kính nhau, biết kem tan chảy hết làm đầy phần ốc quế Biết thể tích kem sau tan chảy 75% thể tích kem đóng băng ban đầu, gọi h r, chiều cao bán kính phần ốc quế Tính tỷ số h
r
A. h
r B.
h r
C.
3 h
r D.
16 h r
Câu 9: Một nhà sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích
1000cm Tính bán kính nắp đậy để tiết kiệm nguyên liệu
A. 500cm
B
3 10 cm
C. 500 cm
D.
5 10 cm
Câu 10: Giả sử viên phấn viết bảng có dạng hình trụ trịn xoay đường kính đáy 1cm, chiều dài 6cm Người ta làm hộp carton đựng phấn dạng hình hộp chữ nhật có kích thước 6 cm Muốn xếp 350 viên phấn vào 12 hộp, ta kết khả sau:
(90)Câu 11: Cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần hình nón nằm mặt phẳng đáy gọi hình nón cụt Một cốc có dạng hình nón cụt cao 9cm, bán kính đáy cốc miệng cốc 4cm Hỏi cốc chứa lượng nước tối đa số lựa chọn sau:
A. 250ml B. 300ml
C. 350ml D. 400ml
Câu 12: Một mũ vải nhà ảo thuật với kích thước hình vẽ Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên mũ (khơng kể viền, mép, phần thừa)
A. 700cm2 B. 754, 25cm2
C. 750, 25cm2 D. 756, 25cm2
Câu 13: Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ nhà thiết kế ln đặt
mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bán kính đáy gần số nhất?
A. 0,68 B.0,6 C.0,12 D.0,52
Câu 14: Khi sản xuất hộp mì tơm, nhà sản xuất ln để khoảng trống đáy hộp để nước chảy xuống ngấm vào vắt mì, giúp mì chín Hình vẽ mơ tả cấu trúc hộp mì tơm Vắt mì tơm có hình khối trụ, hộp mì tơm có dạng hình nón cụt cắt hình nón có chiều cao 9cm bán kinh đáy 6cm Nhà sản xuất tìm cách để cho vắt mì tơm tích lớn hộp với mục đích thu hút khách hàng Thể tích lớn
A. 36cm3 B. 54cm3
C. 48cm3 D. 81 3
2 cm
Câu 15: Một ly có dạng hình nón rót nước vào với chiều cao mực nước chiều cao hình nón Hỏi bịch kính miệng ly úp ngược ly xuống tỷ số chiều cao mực nước chiều cao hình nón xấp xỉ bao nhiêu?
A B C D
2
0, 33 0,11 0, 21 0, 08
9 4cm
3cm
D
G
G B
A
B
A C
10cm
30cm
(91)Câu 16: Một nút chai thủy tinh khối tròn xoay H , mặt phẳng chứa trục H cắt H theo thiết diện hình vẽ bên Tính thể tích H (đơn vị
cm )
A V H 23 B V H 13 C 41
3 H
V D V H 17
Câu 17: Một bồn chứa xăng có cấu tạo gồm hình trụ nửa hình cầu đầu, biết hình cầu có đường kính 1,8m chiều dài
của hình trụ 3, 62 m Hỏi bồn chứa tối đa lít xăng trongcác giá trị sau đây?
A. 10905l B. 23650l
C. 12265l D. 20201l
Câu 18: Một hình hộp chữ nhật kích thước 4 h chứa khối cầu lớn có bán kính tám khối cầu nhỏ có bán kính cho khối lón tiếp xúc với tám khối cầu nhỏ khối cầu tiếp xúc với mặt hình hộp Thể tích khối hộp là:
A 32 32 7 B 48 32 5 C. 64 32 7 D. 64
Câu 19: Một bang giấy dài cuộn chặt lại thành nhiều vòng xung quanh ống lõi hình trụ rỗng có đường kính
12,
C mm Biết độ dày giấy cuộn 0, 6mm đường kính cuộn giấy B44, 9mm Tính chiều dài l
của cuộn giấy
A. L44m B. L38m C. L4m D. L24m
Câu 20: Cho khối cầu bán kính R Đâm thủng khối cầu khối trụ có trục qua tâm mặt cầu chiều dài hình trụ thu (xem hình vẽ) Tính thể tích vật thể cịn lại sau đục thủng
A. 36 B. 54 C. 27 D. 288
Câu 21: Một thầy giáo dự định xây dựng bể bơi di động cho học sinh nghèo miền núi từ 15 tơn có kích thước 1m20cm (biết giá
1m tôn 90000 đồng) cách: Cách 1: Gị tơn ban đầu thành hình trụ hình
Cách 2: Chia chiều dài tơn thành phần gị tơn thành hình hộp chữ nhật hình
3,62m
(92)Biết sau xây xong bể theo dựđịnh, mức nước chỉđổđến 0,8m giá nước cho đơn vị nghiệp 9955dong m/ Chi phí tay thầy hiệu trưởng triệu đồng Hỏi thầy giáo chọn cách làm đểkhơng vượt q kinh phí (giả sử chỉtính đến chi phí theo kiện tốn)
Hình
Hình
A. Cả2 cách B.Không chọn cách
C. Cách D.Cách
Câu 22: Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng có nắp
đáy), đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào bình khối trụ đo thể tích nước trào
3 16
( )
9 dm
Biết mặt khối trụ nằm mặt đáy hình nón khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón (như hình vẽ dưới) Tính bán kính đáy R bình nước
A. R3(dm) B. R4 (dm)
C. R2 (dm) D. R5 (dm)
Câu 23: Có miếng nhơm hình vng, cạnh 3dm, người dự định tính tạo thành hình
trụ(khơng đáy) theo hai cách sau:
Cách 1: Gò hai mép hình vng để thành mặt xunng quanh hình trụ, gọi thể tích khối trụđó V1
Cách 2: Cắt hình vng làm ba gị thành mặt xung quanh ba hình trụ, gọi tổng thể tích chúng V2
1m
20m
1m
4m 4m
(93)Khi đó, tỉ số V V là:
A. B. C.
2 D.
1
Câu 24: Một hộp hình lập phương cạnh a bị khoét khoảng trống có dạng khối lăng trụ với hai đáy hai đường tròn nội tiếp hai mặt đối diện hình hộp Sau đó, người ta dùng bìa cứng dán kín hai mặt vừa bị cắt hộp lại cũ, chừa lại khoảng trống bên Tính thể tích khoảng trống tạo khối trụ
A. a3 B.
2a C.
3
4a D.
3 8a
Câu 25: Người ta dùng loại vải vintage để bọc khối khí khinh khí cầu, biết khối có dạng hình cầu đường kính m Biết 1m2 vải có giá 200.000 đồng Hỏi cần tối thiểu tiền mua vải để làm khinh khí cầu này?
A. 2.500.470 đồng B. 3.150.342 đồng
C. 2.513.274 đồng D. 2.718.920 đồng
Câu 26: Cho biết hình chỏm cầu có cơng thức thể tích
2
3
h r h
, h chiều cao chỏm cầu r bán kính đường trịn bề mặt chỏm cầu ( bán kính khác vớibán kính hình cầu ) Bài hỏi đặt với dưa hấu hình cầu, người ta dùng ống kht thủng lỗ hình trụ chưa rõ bán kính xuyên qua trái dưa hình vẽ ( hình có AB đường kính trái dưa) Biết chiều cao lỗ 12cm ( hình trên, chiều cao độ dài HK ) Tính thể tích phần
dưa cịn lại
A. 200cm3 B. 96cm3 C. 288cm3 D. 144cm3
Câu 27: người ta cần cắt tơn có hình dạng elip với độ dài trục lớn độ dài trục bé để tôn có dạng hình chữ nhật nội tiếp elíp Người ta gị tơn hình chữ nhật thu thành hình trụ khơng có đáy hình bên Tính thể tích lớn thu khối trụ
A
B K
(94)A. 128 3cm3
B.
3 64
3 2 cm C.
3 64
3 3 cm D.
3 128 2 cm
Câu 28: Từ khúc gỗ trịn hình trụ có đường kính 40 cm, cần xả thành xà có tiết diện ngang hình vng bốn miếng phụ tơ màu xám hình vẽ Tìm chiều rộng x miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn
A. 34 17 2
2
x cm B. 34 19 2
2
x cm
C. 34 15 2
2
x cm D. 34 13 2
2
x cm
Câu 29: Người ta thiết kế thùng chứa hình trụ tích V định Biết giá vật liệu làm mặt đáy nắp thùng đắt gấp lần so với giá làm vật liệu xung quanh thùng (chi phí cho đơn vị diện tích) Gọi h chiều cao thùng bán kinh đáy R Tính tỷ số h
R cho chi phí làm thùng nhỏ
A. h
R B.
h
R C.
h
R D.
h R
Câu 30: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích
1000cm Bán kính nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu
A. 500
cm B 10
cm C 500
cm D 10
cm
Câu 31: Một viên phấn bảng có dạng khối trụ với bán kính đáy 0, 5cm, chiều dài 6cm Người ta làm hình hộp chữ nhật carton đựng viên phấn với kích thước 6cm5cm6cm Hỏi cần hộp kích thước để xếp 460 viên phấn?
A. 17 B.15 C. 16 D. 18
x
B A H C
B
2x
(95)23 cm
5 cm
r
R D C A B
Câu 32: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vuông góc đường kính cách tâm khoảng 3dm để làm lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa
A. 100 3
3 dm B.
3 43
3 dm
C. 41dm3 D. 132dm3
Câu 33: Một tục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường trịn đáy 5cm, chiều dài lăn 23cm (hình bên) Sau lăn trọn 15 vịng trục lăn tạo nên sân phẳng diện diện tích
A.
1725 cm B.
3450 cm
C. 1725 cm2 D. 862, 5 cm2
Câu 34: Một bóng bàn chén hình trụ có chiều cao Người ta đặt bóng lên chén thấy phần ngồi bóng có chiều cao
4 chiều cao Gọi V1,
V thể tích bóng chén, đó:
A 9V18V2 B 3V1 2V2 C 16V19V2 D 27V1 8V2
Câu 35: Phần không gian bên chai nước có hình dạng hình bên Biết bán kính đáy R5cm, bán kính cổ r2cm AB, 3cm, BC6cm,
16
CD cm Thể tích phần khơng gian bên chai nước bằng:
A. 495cm3 B. 462cm3
C. 490cm3 D. 412cm3
(96)A 91125 3
4 cm B.
3 91125
2 cm C.
3 108000
cm
D
3 13500
cm
Câu 37: Nhà Nam có bàn trịn có bán kính m Nam muốn mắc bóng điện phía bàn cho mép bàn nhận nhiều ánh sáng Biết cường độ sáng C bóng điện biểu thị cơng thức ( góc tạo tia sáng tới mép bàn mặt bàn, c - số tỷ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn
A 1m B 1,2m C 1.5 m D 2m
Câu 38: Với đĩa tròn thép tráng có bán kính R 6m phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình trịn Cung trịn hình quạt bị cắt phải độ để hình nón tích cực đại?
A. 66 B. 294 C. 12, 56 D. 2,8
Câu 39: Một công ty nhận làm thùng phi kín hay đáy với thể tích theo yêu cầu 2m
mỗi yêu cầu tiết kiệm vật liệu Hỏi thùng phải có bán kính đáy R chiều cao h
là bao nhiêu?
A. ,
2
R m h m B. ,
R m h m.C ,
R m h m D. R1 ,m h2m
Câu 40: Có cốc làm giấy, úp ngược hình vẽ Chiều cao cốc 20cm, bán kính đáy cốc 4cm, bán kính miệng cốc 5cm Một kiến đứng điểm A miệng cốc dự định bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc điểm B Quãng đường ngắn để kiến thực dự định gần với kết dước đây?
2
2 sin C c
l
O
N
(97)A. 59, 98cm B. 59, 93cm C. 58, 67cm D. 58,80cm .
Câu 41: Gia đình An xây bể hình trụ tích 150 m3 Đáy bể làm bê tông giá 100 000đ m/ Phần thân làm tôn giá 90 000đ m/ 2, nắp nhơm giá 120 000đ m/ Hỏi chi phí sản suất để bể đạt mức thấp tỷ số chiều cao bể bán kính đáy bao nhiêu?
A. 22
9 B.
9
22 C.
31
22 D.
21 32
Câu 42: Học sinh A sử dụng xơ đựng nước có hình dạng kích thước giống hình vẽ, đáy xơ hình trịn có bán kính 20 cm , miệng xơ đường trịn bán kính 30 cm , chiều cao xô 80 cm Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước. Hỏi A phải trả tiền nước tháng, biết giá nước 20000đồng/1 m (số tiền làm tròn đến đơn vị đồng)?3
A. 35279 đồng B.38905 đồng C.42116 đồng D. 31835 đồng
Câu 43: Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm, đường kính 6cm Mặt đáy phẳng dày 1cm, thành cốc dày 0, 2cm Đổ vào cốc 120ml nước sau thả vào cốc viên bi có đường kính 2cm Hỏi mặt nước cốc cách mép cốc cm (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)
(98)Câu 44: Người ta xếp hình trụ có bán kính đáy r chiều cao h vào lọ hình trụ có chiều cao h, cho tất hình trịn đáy hình trụ nhỏ tiếp xúc với đáy hình trụ lớn, hình trụ nằm tiếp xúc với sáu hình trụ xung quanh, hình trụ xung quanh tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ lớn Khi thể tích lọ hình trụ lớn là:
A. 16r h2 B.18r h2 C. 9r h2 D. 36r h2
Câu 45: Từ kim loại dẻo hình quạt hình vẽ có kích thước bán kính R5 chu vi hình quạt P8 10, người ta gò kim loại thành phễu theo hai cách:
3 Gò kim loại ban đầu thành mặt xung quanh phễu
4 Chia đôi kim loại thành hai phần gò thành mặt xung quanh hai phễu
Gọi V1 thể tích phễu thứ nhất, V2 tổng thể tích hai phễu cách Tính
2 V V ?
A.
21 V
V B.
1
2 21 V
V C.
1
2 V
V D.
1
6 V V
Câu 46: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy
A. 10 2cm B. 20cm C. 50 2cm D. 25cm
Câu 47: Một chậu nước hình bán cầu nhơm có bán kính R =10cm, đặt khung hình hộp chữ nhật (hình 1) Trong chậu có chứa sẵn khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h
= 4cm. Người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2) Bán kính viên bi gần số nguyên sau (Cho biết thể tích khối chỏm cầu
3
h
(99)A. B.4 C. D 10
Câu 48: Một người có dải băng dài 130 cm, người cần bọc dải băng đỏ quanh hộp q hình trụ Khi bọc q, người dùng 10 cm dải băng để thắt nơ nắp hộp (như hình vẽ minh họa) Hỏi dải băng bọc hộp q tích lớn bao nhiêu?
A. 4000 cm B. 32000 cm C. 1000 cm D. 16000 cm
Câu 49: Một khối gạch hình lập phương (khơng thấm nước) có cạnh đặt vào chiếu phễu hình nón trịn xoay chứa đầy nước theo cách sau: Một cạnh viên gạch nằm mặt nước (nằm đường kính mặt này); đỉnh cịn lại nằm mặt nón; tâm viên gạch nằm trục hình nón Tính thể tích nước lại phễu (làm tròn chữ số thập phân)
A. V =22,27 B.V =22,30 C.V =23.10 D. 20,64
Câu 50: Một nồi hiệu Happycook dạng hình trụ khơng nắp chiều cao nồi 11.4 cm, đường kính dáy 20.8 cm Hỏi nhà sản xuất cần miếng kim loại hình trịn có bán kính Rtối thiểu để làm nồi (không kể quay nồi)
A. R18.58cm B. R19.58cm C. R13.13cm D. R14.13cm
(100)tương ứng với đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu lại bồn (theo đơn vị )
A. 12,637m3 B.114,923m3 C. 11,781m3 D. 8,307m3
(101)B – HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Người ta bỏ bóng bàn kích thước vào hộp hình trụ có đáy hình trịn trịn lớn bóng bàn chiều cao lần đường kính bóng bàn Gọi
1
S tổng diện tích bóng bàn, S2 diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số S S là:
A. B.
5 C. D.
3
Hướng dẫn giải: Chọn C
Gọi bán kính bóng bàn R R0
Ta có chiều cao h hình trụ lần đường kính bóng bàn nghĩa là: 5.2 10
h R R
Khi đó: 2
1 5.4 20 S R R
Và
2 10 20 S R h R R R Vậy:
2 S S
Câu 2: Một cơng ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích
27cm với chiều cao h bán kính đáy r để lượng giấy tiêu thụ giá trị r là:
A r
B
8 r
C
8 r
D
6 r
Hướng dẫn giải: Chọn B
Thể tích cốc: V r h2 27 r h2 81 h 81 2 r
Lượng giấy tiêu thụ diện tích xung quanh nhỏ
2
2 2
2 2
81 81
2 2
xq
S rl r r h r r r
r r
2 2
4 3
2 2 2 2
81 81 81 81
2
2 2
r r
r r r r
81
(theo BĐT Cauchy)
xq
S nhỏ
2 8
4 6
2 2
81 3
2 2
r r r
r
(102)R
R1 C
H
A
R H r
C A
Câu 3: Một phễu đựng kem hình nón giấy bạc tích 12(cm3) chiều cao 4cm Muốn tăng thể tích kem phễu hình nón lên lần, chiều cao không thay đổi, diện tích miếng giấy bạc cần thêm
A. (12 13 15) cm2 B.12 13cm2
C. 12 13 2
15 cm D.
2 (12 13 15) cm
Hướng dẫn giải:
Gọi R1 bán kính đường trịn đáy hình nón lúc đầu; h1 chiều cao hình nón lúc đầu
Gọi R2 bán kính đường trịn đáy hình nón sau tăng thể tích; h2 chiều cao hình
nón sau tăng thể tích
Ta có: 2
1 1 1
1
12
3
V R h R R
2 1
2
2 2
2 2 2
1
1
4
3
V R h
V R
V R h R R
V R
h h
Diện tích xung quanh hình nón lúc đầu: 2 1 16 15
xp
S R l cm
Diện tích xung quanh hình nón sau tăng thể tích:
2
2 2 16 36 12 13
xp
S R l cm
Diện tích phần giấy bạc cần tăng thêm là: S12 13 15 cm2
Chọn A
Câu 4: Một phễu có dạng hình nón, chiều cao phễu 20 cm( Hình 1) Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao cột nước phễu lả 10cm Nếu bịt kín miệng phễu lật ngược lên ( Hình 2) chiều cao cột nước phễu giá trị sau
A. 10cm B. 0,87 cm
C. 1, 07 cm D. 1, 35cm
Hướng dẫn giải:
(103)B Ta có 2 2
8
V HM AH
V PN AP
V PN AP AP V
V HM AH AH V
Khi lật ngược phễu ta có:
3 0,87
V AK AK
V AH AH
AK AH HK cm
Câu 5: Cho đồng hồ cát hình vẽ ( gồm hai hình nón chung đỉnh ghép lại) đường sinh hình nón tạo với đáy góc
60 Biết chiều cao đồng hồ 30cm tổng thể tích đồng hồ 1000cm3 Nếu cho đầy lượng cát vào phần chảy hết xuống tỷ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần phía
A.
8 B.
1 27
C.
3 D.
1 64
Đặt
0
0 60
OE x
OH y x y
x y Ta có 2 2 1
.HM y 1000
3
tan 60
HM y 3000
; 3 EL x x y EL HM EL x x y EL HM 3 9000 x y
Từ
10 ,
20 x cm y cm
Khi cát chảy hết xuống
3 cat chiem cho
(104)0,6 m
0,4 m
0,6 m 1 m
Câu 6: Tính thể tích thùng đựng nước có hình dạng kích thước hình vẽ
A. 0, 238 3
3 m
B 0, 238 3
2 m
C. 0, 238 3
4 m
D 0, 238 3
3 m
Hướng dẫn giải:
Ta có
2 2 0, 238 3
0, 0, 0, 0, 0, 0, 2.0,
3
thung tru non cut
V V V m
Câu 7: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy
A 10 2cm B 20cm C 50 2cm D. 25cm
Hướng dẫn giải: :
Đặt a50cm Gọi bán kính đáy chiều cao hình nón x y x y, , 0 Ta có
2 2
SA SH AH x y
Khi diện tích tồn phần hình nón
2 2
tp
S x x x y
Theo giả thiết ta có:
2 2 2 2
x x x y a x x y x a
2 2
4
2 2 4 2
2
2 , :
2
x x y a x
a
x x y a x a x DK x a x
y a
Khi thể tích khối nón là:
4
4
2 2
1
3
a y
V y a
y a y a
V đạt giá trị lớn
2 2
y a
y
đạt giá trị nhỏ
Ta có
2 2
2 2
2 2
y a a a
y y a
y y y
Vậy V đạt giá trị lớn
2 2a y
y
, tức 25
2 a
ya x cm
Chọn D
I
H
J
O
(105)R
h
h R
H O
Câu 8: Một kem ốc quế gồm hai phần, phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón, giả sử hình cầu hình nón có bán kính nhau, biết kem tan chảy hết làm đầy phần ốc quế Biết thể tích kem sau tan chảy 75% thể tích kem đóng băng ban đầu, gọi h r, chiều cao bán kính phần ốc quế Tính tỷ số h
r
A h
r B.
h r
C
3 h
r D.
16 h r
Hướng dẫn giải:
Thể tích kem ban đầu: 3 kem bd
V R
Thể tích phần ốc quế: oc que
V R h
Ta có
4
oc que kem bd
h
V V R h R
R
Câu 9: Một nhà sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích
1000cm Tính bán kính nắp đậy để tiết kiệm nguyên liệu
A. 500cm
B
3 10 cm
C. 500 cm
D.
5 10 cm
Hướng dẫn giải:
Ta có
2 2
2
3
2 2 3 3
min
2
2 2 2
500
2 3 2
2 tp
tp tp
V V
S R Rh R R R
R R
V V V V
S R V S V R R cm
R R R
Câu 10: Giả sử viên phấn viết bảng có dạng hình trụ trịn xoay đường kính đáy 1cm, chiều dài 6cm Người ta làm hộp carton đựng phấn dạng hình hộp chữ nhật có kích thước 6 cm Muốn xếp 350 viên phấn vào 12 hộp, ta kết khả sau:
A. Vừa đủ B.Thiếu 10 viên C.Thừa 10 viên D. Không xếp
Hướng dẫn giải:
Vì chiều cao viên phấn 6cm, nên chọn đáy hộp carton có kích thước 6. Mỗi viên phấn có đường kính 1cm nên hộp ta đựng 5.6=30 viên
(106)Do ta có 350 viên phấn nên thiếu 10 viên, nghĩa đựng đầy 11 hộp, hộp 12 thiếu 10 viên
Chọn B
Câu 11: Cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần hình nón nằm mặt phẳng đáy gọi hình nón cụt Một cốc có dạng hình nón cụt cao 9cm, bán kính đáy cốc miệng cốc 4cm Hỏi cốc chứa lượng nước tối đa số lựa chọn sau:
A. 250ml B. 300ml
C. 350ml D. 400ml
Hướng dẫn giải:
3
4
AG GC
AGC ABC AG AB
AB BD
3
27
AG
AG AG
Suy Vcoc Vnon lonVnon nho
2
1
.4 27 27 111 348, 72
3 3 ml
Vậy lượng nước tối đa 300ml
Chọn B
Câu 12: Một mũ vải nhà ảo thuật với kích thước hình vẽ Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên mũ (khơng kể viền, mép, phần thừa)
A. 700cm2 B. 754, 25cm2
C. 2
750, 25 cm D. 2
756, 25 cm
Hướng dẫn giải:
2 35
2 hinh tron
S R ;
35 20
2 30 450
2 xqlang tru
S rl
2 35
450 756, 25
S
Chọn D
Câu 13: Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí ngun liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bán kính đáy gần số nhất?
x
O
L E
H M
10cm
30cm
(107)M x
N
K I
O
H
A. 0,68 B 0,6 C.0,12 D. 0,52
Hướng dẫn giải:
Gọi x x0 bán kính đáy lon sữa Khi
2 V
V x h h
x
Diện tích toàn phần lon sữa
2 2
2
2
( ) 2 2 V 2 ,
S x x xh x x x x x
x x x
Bài tốn quy tìm GTNN hàm số ( )
S x x
x
, x0
2
3 4
1
0 0, 6827
S x x
x
S x x
Câu 14: Khi sản xuất hộp mì tơm, nhà sản xuất để khoảng trống đáy hộp để nước chảy xuống ngấm vào vắt mì, giúp mì chín Hình vẽ mơ tả cấu trúc hộp mì tơm Vắt mì tơm có hình khối trụ, hộp mì tơm có dạng hình nón cụt cắt hình nón có chiều cao 9cm bán kinh đáy 6cm Nhà sản xuất tìm cách để cho vắt mì tơm tích lớn hộp với mục đích thu hút khách hàng Thể tích lớn
A. 36cm3 B. 54cm3 C. 48cm3 D. 81 3
2 cm
Hướng dẫn giải:
Đặt HN x, 0 x6 Suy MN 6 x
Ta có IN MN IN 1, 6 x
OH HM
2
3
3
.1, 12
3 12
48
4
tru
V x x x x x
x x x
cm
(108)Câu 15: Một ly có dạng hình nón rót nước vào với chiều cao mực nước chiều cao hình nón Hỏi bịch kính miệng ly úp ngược ly xuống tỷ số chiều cao mực nước chiều cao hình nón xấp xỉ bao nhiêu?
A B C D
Hướng dẫn giải: Chọn B
Gọi chiều cao bán kính đường tròn đáy ly Khi để cốc theo chiều xi lượng nước cốc hình nón có chiều cao bán kính đường trịn đáy
Do thể tích lượng nước bình Phần khơng chứa nước chiếm Khi úp ngược ly lại phần thể tích nước ly khơng
đổi lúc phần khơng chứa nước hình nón ta gọi chiều cao bán kính đường trịn đáy phần hình nón khơng chứa nước
Ta có phần thể tích hình nón khơng chứa
nước
Do tỷ lệ chiều cao phần chứa nước chiều cao ly trường hợp úp ngược ly
Câu 16: Một nút chai thủy tinh khối tròn xoay H , mặt phẳng chứa trục H cắt H theo thiết diện hình vẽ bên Tính thể tích H (đơn vị
cm )
A V H 23 B V H 13 C 41
3 H
V D V H 17
0, 33 0,11 0, 21 0, 08
h R
2
h
R
8 27
V
19
27V
'
h R'
' '
R h
R h 19 27V
3 3
2
' 19 ' 19 ' 19
'
3 27 27
h h h h
R R
h h
3 ' 19
1
3 h
h
(109)Hướng dẫn giải: Chọn C
Thể tích khối trụ Vtru Bh1.5 42 9 Thể tích khối nón 42
6 non
V Thể tích phần giao là: .
3
2
3 p giao
V Vậy 16 41
3 3
9 H
V
Câu 17: Một bồn chứa xăng có cấu tạo gồm hình trụ nửa hình cầu đầu,
biết hình cầu có đường kính 1,8m chiều dài hình trụ 3, 62 m Hỏi bồn
có thể chứa tối đa lít xăng giá trị sau đây?
A. 10905l B 23650l C 12265l D 20201l
Hướng dẫn giải: Ta có: Vtru R h2
Vì thể tích nửa hình cầu nên tổng thể tích nửa hình cầu khối cầu có
3 c
V R
Vậy 3
12, 265
H tru C
V V V R h R m Vậy bồn xăng chứa: 12265l
Chọn C
Câu 18: Một hình hộp chữ nhật kích thước 4 h chứa khối cầu lớn có bán kính tám khối cầu nhỏ có bán kính cho khối lón tiếp xúc với tám khối cầu nhỏ khối cầu tiếp xúc với mặt hình hộp Thể tích khối hộp là:
A. 32 32 7 B. 48 32 5 C. 64 32 7 D. 64
Hướng dẫn giải:
Gọi tâm hình cầu lớn I tâm bốn hình cầu nhỏ tiếp xúc với đáy
ABCD Khi ta có
I ABCD hình chóp với cạnh bên IA3 cạnh đáy AB2 chiều cao hình chóp Suy khoảng cách từ tâm I đến mặt đáy 1 hay chiều cao hình hộp chữ nhật là:
2 1 suy thể tích hình hộp 32 1
Chọn A
3,62m
(110)Câu 19: Một bang giấy dài cuộn chặt lại thành nhiều vòng xung quanh ống lõi
hình trụ rỗng có đường kính 12,
C mm
Biết độ dày giấy cuộn 0, 6mm đường kính cuộn giấy B44, 9mm Tính chiều dài l cuộn giấy
A. L44m B L38m C L4m D L24m
Hướng dẫn giải:
Gọi chiều rộng băng giấy r, chiều dài băng giấy L độ dày giấy m ta tích băng giấy: V r m L 1
Khi cuộn lại ta tích:
2
2
2 24
B C
V m m r B C
Từ 1 , suy ra: 2 2
4
m r L r B C L B C
m
Câu 20: Cho khối cầu bán kính R Đâm thủng khối cầu khối trụ có trục qua tâm mặt cầu chiều dài hình trụ thu (xem hình vẽ) Tính thể tích vật thể cịn lại sau đục thủng
A. 36 B. 54 C. 27 D. 288
Hướng dẫn giải:
Gọi bán kính khối trụ r
Khi r R29 hai chỏm cầu có chiều cao hR3 Thể tích vật thể cịn lại
2
3 3
4
6 36
3
R R R
V r R
Nhận xét: Kết không phụ thuộc vào bán kính R mà phụ thuộc vào chiều dài hình trụ
Chọn A
Câu 21: Một thầy giáo dự định xây dựng bể bơi di động cho học sinh nghèo miền núi từ 15 tơn có kích thước 1m20cm (biết giá
1m tơn 90000 đồng) cách: Cách 1: Gị tơn ban đầu thành hình trụ hình
(111)Biết sau xây xong bể theo dựđịnh, mức nước chỉđổđến 0,8m giá nước cho đơn vị nghiệp 9955dong m/ Chi phí tay thầy hiệu trưởng triệu đồng Hỏi thầy giáo chọn cách làm đểkhông vượt kinh phí (giả sử chỉtính đến chi phí theo kiện tốn)
Hình
Hình
A. Cả2 cách B.Khơng chọn cách
C. Cách D Cách
Hướng dẫn giải:
Ở cách 2:
1m 90.000
20m 1.800.000
Ta có
0,8.6.4 19, nuoc
V m
Do tổng tiền ởphương án 19, 2.9955 20.90000 1.991.136. Ở cách 2:
2
20m 1.800.000 Ta có
2
2
10 10
20 2r r Vnuoc h r 0,8 . 25, 46m
Do tiền nước: 253.454 đồng
Tổng tiền: 2.053.454 đồng Vậy thầy nên chọn cách
Chọn C
Câu 22: Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng có nắp
đáy), đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào bình khối trụ đo thể tích nước trào
3 16
( )
9 dm
Biết mặt khối trụ nằm mặt đáy hình nón khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón (như hình vẽ dưới) Tính bán kính đáy R bình nước
1m
20m
1m
4m 4m
(112)A. R3(dm) B. R4 (dm)
C. R2 (dm) D R5 (dm)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Gọi h h, ' chiều cao khối nón khối trụ ,
R r bán kính khối nón khối trụ Theo đề ta có: h3 , 'R h 2 R
Xét tam giác SOA ta có: '
3
r IM SI h h R R
R OA SO h R
1
r R
Ta lại có:
2
2 trô
2 16
'
9 9
R R
V r h R
3
8
R R dm
Câu 23: Có miếng nhơm hình vng, cạnh 3dm, người dự định tính tạo thành hình trụ (khơng đáy) theo hai cách sau:
Cách 1: Gị hai mép hình vng để thành mặt xunng quanh hình trụ, gọi thể tích khối trụ V1
Cách 2: Cắt hình vng làm ba gị thành mặt xung quanh ba hình trụ, gọi tổng thể tích chúng V2
Khi đó, tỉ số V V là:
A. B. C.
2 D.
1
Hướng dẫn giải:
Gọi R1 bán kính đáy khối trụ thứ nhất, có:
1 1
3 27
2
2
R R V R h
(113)Gọi R2 bán kính đáy khối trụ thứ hai, có:
2 2
1
2
2
R R V R h
Chọn A
Câu 24: Một hộp hình lập phương cạnh a bị khoét khoảng trống có dạng khối lăng trụ với hai đáy hai đường tròn nội tiếp hai mặt đối diện hình hộp Sau đó, người ta dùng bìa cứng dán kín hai mặt vừa bị cắt hộp lại cũ, chừa lại khoảng trống bên Tính thể tích khoảng trống tạo khối trụ
A. a3 B.
2a C.
3
4a D.
3 8a
Hướng dẫn giải:
Ta có
2
a OE BC ; OO 'a
Thể tích là:
2 3
2
.OO '
2
a a
V OE a
Chọn C
Câu 25: Người ta dùng loại vải vintage để bọc khối khí khinh khí cầu, biết khối có dạng hình cầu đường kính m Biết 1m2 vải có giá 200.000 đồng Hỏi cần tối thiểu tiền mua vải để làm khinh khí cầu này?
A. 2.500.470 đồng B. 3.150.342 đồng
C. 2.513.274 đồng D. 2.718.920 đồng
Hướng dẫn giải:
2 mat cau
S R
Với 1
d
R m Vậy Smat cau 4 1 4 m2 Vậy cần tối thiểu số tiền: 200000 2.513.274 đồng
Chọn C
Câu 26: Cho biết hình chỏm cầu có cơng thức thể tích
2
3
h r h
, h chiều cao chỏm cầu r bán kính đường trịn bề mặt chỏm cầu ( bán kính khác vớibán kính hình cầu ) Bài hỏi đặt với dưa hấu hình cầu, người ta dùng ống khoét thủng lỗ hình trụ chưa rõ bán kính xun qua trái dưa hình vẽ ( hình có AB đường kính trái dưa) Biết chiều cao lỗ 12cm ( hình trên, chiều cao độ dài HK ) Tính thể tích phần
C' D'
B'
C
D
O' O
E A
B
A'
A
B K
(114)dưa lại
A. 200cm3 B 96cm3 C 288cm3 D. 144cm3
Hướng dẫn giải:
Đặt r bán kính hình cầu
Chiều cao lỗ 12 nên chiều cao chỏm cầu lag r6
Bán kính chỏm cầu, bán kính đáy hình trụ là: 36
r
Thể tích hình trụ 12 r 36
Thể tích chỏm cầu:
2 2
2 36 6 4 12 72
6
r r r r r r
Thể tích lỗ là:
2 12 72
12 36
3
r r r
r
2 3
2 6 4 24 144 4 6
4 12 72
6 12 288
3 3
r r r r
r r r
r r
Thể tích hình cầu
3
r
nên thể tích cần tìm là: V 288
Chọn C
Câu 27: người ta cần cắt tôn có hình dạng elip với độ dài trục lớn độ dài trục bé để tơn có dạng hình chữ nhật nội tiếp elíp Người ta gị tơn hình chữ nhật thu thành hình trụ khơng có đáy hình bên Tính thể tích lớn thu khối trụ
A. 128 3cm3
B.
3 64
3 2 cm C.
3 64
3 3 cm D.
3 128 2 cm
Hướng dẫn giải:
Ta có
2
2
: 16
64 16
x y
E y x Chu vi đáy hình trụ 2R 2x R x
Ta có
2
2 2 2
1
16 16 16 16
2 tru
x
AH x h x V R h x x x
x
B A H C
B
2x
(115)Đặt
2
2
0 32 32
16 4 ' ' 32
16
3
x
x x
f x x x x f x f x
x x
max
32 128 128
max
3 9
f x f V
TỔNG QUÁT: Elip có độ dài trục lớn 2a, trục bé 2b
2 max
4 3 tru
a b V
Câu 28: Từ khúc gỗ trịn hình trụ có đường kính 40 cm, cần xả thành xà có tiết diện ngang hình vng bốn miếng phụ tơ màu xám hình vẽ Tìm chiều rộng x miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn
A. 34 17 2
2
x cm B. 34 19 2
2
x cm
C. 34 15 2
2
x cm D. 34 13 2
2
x cm
Hướng dẫn giải:
Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang S SMNPQ4xy Cạnh hình vng 40 20 2
2
MP
MN cm
20 22 800
S xy xy
(1)
Ta có 2xABMN AB20 2BD20 240 20 2 0 x20 10 2
Lại có
2
2 2 2
40 20 1600
AB AD BD x y
2 2
800 80 800 80
y x x y x x
Thế vào 1 S 800 4 x 800 80 x 24x2 800 800 x280x3 24x4
Xét hàm số f x 800x280x3 24x4, với x0; 20 10 2 có
2
' 1600 240 16 16 100 15
(116)Ta có
2
0; 20 10
0; 20 10 5 34 15 2
2
' 16x 100 15x
x x
x
f x x
Khi 34 15 2
x giá trị thỏa mãn toán
Chọn C
Câu 29: Người ta thiết kế thùng chứa hình trụ tích V định Biết giá vật liệu làm mặt đáy nắp thùng đắt gấp lần so với giá làm vật liệu xung quanh thùng (chi phí cho đơn vị diện tích) Gọi h chiều cao thùng bán kinh đáy R Tính tỷ số h
R cho chi phí làm thùng nhỏ
A. h
R B.
h
R C.
h
R D.
h R
Hướng dẫn giải:
Gọi V thể tích khối trụ, T giá tiền cho đơn vị Sxq
Ta có 2.h h tru2 tru V V R R Ta có 2 2 2
day
tru tru xq
S R
V V
S R h R
R R
Giá vật liệu để làm đáy là: 2 2d
G R T T R , Giá vật liệu làm xung quanh thùng tru xq V G T R
Giá vật liệu làm thùng là:
2
2
6
tru tru tru
thung tru
V T V T V T
G T R T R V T const
R R R
3 2
min
3 tru 6
thung tru tru
V T h
G V T T R V R
R R
Câu 30: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích
1000cm Bán kính nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu
A. 500
cm B 10
cm C 500
cm D 10
cm
Hướng dẫn giải: Chọn A
Gọi h cm chiều cao hình trụ R cm bán kính nắp đậy Ta có: V R h2 1000 Suy h 10002
R
(117)Để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu diện tích tồn phần Stp hình trụ nhỏ
Ta có: 2
2 1000
2 2
tp
S R Rh R R
R
3
2 1000 1000 3 1000 1000
2 R R 1000
R R R R
Đẳng thức xảy 2 R2 1000 R 500
R
Câu 31: Một viên phấn bảng có dạng khối trụ với bán kính đáy 0, 5cm, chiều dài 6cm Người ta làm hình hộp chữ nhật carton đựng viên phấn với kích thước 6cm5cm6cm Hỏi cần hộp kích thước để xếp 460 viên phấn?
A. 17 B 15 C. 16 D. 18
Hướng dẫn giải: Chọn C.
Có cách xếp phấn theo hình vẽ đây:
Nếu xếp theo hình H1: đường kính viên phấn 2.0, 1cm nên hộp xếp tối đa số viên phấn là: 6.530
Nếu xếp theo hình H2: hàng viên xen kẽ hàng viên Gọi số hàng xếp 1,
n n
Ta có ABC cạnh CM
Ta phải có 2.0,5
2
n n
xếp tối đa hàngmỗi hộp xếp tối
đa số viên phấn là:3.6 2.5 28
Nếu xếp theo hình H3:hàng viên xen kẽ hàng viên Gọi số hàng xếp 1,
m m
Ta phải có 2.0,5 10
2
m m
xếp tối đa hàng nên hộp xếp
được tối đa số viên phấn là:3.5 3.4 27
Vậy, xếp theo hình H1 xếp nhiều phấn nhất, nên cần hộp Ta có 460 : 30 15, 3 cần 16 hộp để xếp hết 460 viên phấn
M
A B
C
H 1
H 2
(118)23 cm
5 cm
Câu 32: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vng góc đường kính cách tâm khoảng 3dm để làm lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa
A. 100 3
3 dm B.
3 43
3 dm
C. 3
41 dm D. 3
132 dm
Hướng dẫn giải: Chọn D
Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy, xét đường tròn ( ) : (C x5)2y2 25 Ta thấy cho nửa trục Ox C quay quanh trục Ox ta mặt cầu bán kính Nếu cho hình phẳng H giới hạn nửa trục Ox C , trục Ox, hai đường thẳng
0,
x x quay xung quanh trục Ox ta khối trịn xoay phần cắt khối cầu đề
Ta có (x5)2y2 25 y 25 ( x5)2
Nửa trục Ox C có phương trình 2
25 ( 5) 10
y x xx
Thể tích vật thể trịn xoay cho H quay quanh Ox là:
2
2
2
1
0
52
10 d
3
x
V xx x x
Thể tích khối cầu là:
4 500
V
3
Thể tích cần tìm: 3
2
500 52
2 132
3
V V V dm
Câu 33: Một tục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường trịn đáy 5cm, chiều dài lăn 23cm (hình bên) Sau lăn trọn 15 vịng trục lăn tạo nên sân phẳng diện diện tích
A.
1725 cm B.
3450 cm
C. 1725 cm2 D. 862, 5 cm2
(119)R=5 r=2 M
C F
B E
r
R D C
A B
Diện tích xung quanh mặt trụ Sxq 2Rl2 5.23 230cm2
Sau lăn 15 vịng diện tích phần sơn là: 230 15 3450 S cm
Câu 34: Một bóng bàn chén hình trụ có chiều cao Người ta đặt bóng lên chén thấy phần ngồi bóng có chiều cao
4 chiều cao Gọi V1,
V thể tích bóng chén, đó:
A 9V18V2 B 3V1 2V2 C 16V19V2 D 27V1 8V2
Hướng dẫn giải: Chọn A
Gọi r1 bán kính bóng, r2 bán kính chén, h chiều cao chén
Theo giả thiết ta có h2r1r1 2h r h OO
Ta có
2
2
2
3
2 16
h h
r h
Thể tích bóng
3
3
1
4
3
h
V r h
và thể tích chén nước
2
3
16
V B hr h h
8 V V
Câu 35: Phần không gian bên chai nước có hình dạng hình bên Biết bán kính đáy R5cm, bán kính cổ r2cm AB, 3cm, BC6cm, CD16cm Thể tích phần khơng gian bên chai nước bằng:
A. 495cm3 B. 462cm3
C. 3
490 cm D. 3
412 cm
Hướng dẫn giải:
Thể tích khối trụ có đường cao CD: V1R CD2 400cm3 Thể tích khối trụ có đường cao AB: V2 r AB2 12cm3
Ta có
2
MC CF
MB MB BE Thể tích phần giới hạn BC:
2 3
3 78
3
V R MCr MB cm Suy ra: V V1V2V3490cm3
Chọn C
(120)mảnh tôn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC; P Q tương ứng thuộc cạnh AC AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao MQ Thể tích lớn thùng mà bạn A làm là:
A. 91125 3
4 cm B.
3 91125
2 cm
C. 108000 3 3 cm
D
3 13500
cm
Hướng dẫn giải:
Gọi I trung điểm BC Suy I trung điểm MN
Đặt MN=x ( 0x90 );
(90 )
MQ BM
MQ x
AI BI
Gọi R bán kính trụ
2 x R
2 3
( ) (90 ) ( 90 )
2
T
x
V x x x
Xét 3
( ) ( 90 )
8
f x x x
với 0x90 Khi đó:
(0;90)
13500 max ( )
x
f x
x= 60
Câu 37: Nhà Nam có bàn trịn có bán kính m Nam muốn mắc bóng điện phía bàn cho mép bàn nhận nhiều ánh sáng Biết cường độ sáng C bóng điện biểu thị cơng thức ( góc tạo tia sáng tới mép bàn mặt bàn, c - số tỷ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn
A. 1m B.1,2m C.1.5 m D.2m
Hướng dẫn giải:
2
2 sin C c
l
2
α l
N M
Đ
I
h
A
B M N C
(121)Gọi h độ cao bóng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ bóng điện; I hình chiếu Đ lên mặt bàn MN đường kính mặt bàn.( hình vẽ)
Ta có , suy cường độ sáng là:
Lập bảng biến thiên ta thu kết C lớn ,
Câu 38: Với đĩa trịn thép tráng có bán kính R 6m phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình trịn Cung trịn hình quạt bị cắt phải độ để hình nón tích cực đại?
A. 66 B. 294 C. 12, 56 D. 2,8
Hướng dẫn giải: Chọn A.
Ta nhận thấy đường sinh hình nón bán kính đĩa trịn Cịn chu vi đáy hình nón chu vi đĩa trừ độ dài cung tròn cắt Như ta tiến hành giải chi tiết sau:
Gọi x m( ) độ dài đáy hình nón (phần cịn lại sau cắt cung hình quạt dĩa) Khi
2 x x r r
Chiều cao hình nón tính theo định lí PITAGO
2 2
2
x
h R r R
Thể tích khối nón là:
2
2
2
1
3 4
x x
V r h R
Đến em đạo hàm hàm V x( ) tìm GTLN V x( ) đạt
6
x R
sin h
l
2
h l
2
2
( ) l ( 2)
C l c l
l
2
4
'
l
C l c l
l l
'
C l l l
6
l
O
N
(122)Suy độ dài cung tròn bị cắt là:2R4 0 360 66
Câu 39: Một cơng ty nhận làm thùng phi kín hay đáy với thể tích theo yêu cầu 2m3
mỗi yêu cầu tiết kiệm vật liệu Hỏi thùng phải có bán kính đáy R chiều cao h
là bao nhiêu?
A. ,
2
R m h m B. ,
R m h m.C ,
R m h m D. R1 ,m h2m
Hướng dẫn giải: Chọn A
Gọi R bán kính đáy thùng (m), h: chiều cao thùng (m) ĐK: R0,h0 Thể tích thùng là: 2
2
R 2
V h R h h
R
Diện tích tồn phần thùng là:
2
2
2
2 R R R R
tp
S h h R R R
R R
Đặt 2
2
f t t t
t
với tR
3
3
2
4
1
' t , ' 1
f t t f t t
t t
Từ bảng biến thiên… ta cần chế tạo thùng với kích thước R1 ,m h2m
Câu 40: Có cốc làm giấy, úp ngược hình vẽ Chiều cao cốc 20cm, bán kính đáy cốc 4cm, bán kính miệng cốc 5cm Một kiến đứng điểm A miệng cốc dự định bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc điểm B Quãng đường ngắn để kiến thực dự định gần với kết dước đây?
A. 59, 98cm B. 59, 93cm C. 58, 67cm D. 58,80cm .
(123)Đặt b a h, , bán kính đáy cốc, miệng cốc chiều cao cốc, góc kí hiệu hình vẽ Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng hình quạt khuyên với cung nhỏ BB"4b cung lớn AA"4a
Độ dài ngắn đường kiến độdài đoạn thẳng BA” Áp dụng định lí hàm sốcosin ta được:
2
2 cos (1)
l BO OA BO OA
2
( )
B A AB a b h
4 ( )
1
2
4 (AA )
a a l BB OA OB AB AB AB
b
b b l OB OB b
2
2 ( ) ( )
( )
( )
a b a b
a
AB a b h
2 ( )
1 b a b h ( )
AB a a b
OB b
OB b b a b
2
2 ( )
( ) ( )
b a b h
OA OB BA a b h c
a b
Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm l 58, 79609 58,80
l cm
Ghi Để tồn lời giải đoạn BA” phải khơng cắt cung BB điểm khác B, tức BA” nằm tiếp tuyến BB B Điều tương đương với
1
2 cos b
a
Tuy nhiên, lời giải thí sinh khơng u cầu phải trình bày điều
kiện (và đề cho thỏa mãn yêu cầu đó)
Câu 41: Gia đình An xây bể hình trụ tích 150 m3 Đáy bể làm bê tơng giá 100 000đ m/ Phần thân làm tôn giá 90 000đ m/ 2, nắp nhôm giá 120 000đ m/ Hỏi chi phí sản suất để bể đạt mức thấp tỷ số chiều cao bể bán kính đáy bao nhiêu?
A. 22
9 B.
9
22 C.
31
22 D.
21 32
Hướng dẫn giải: :
Chọn A
B O
(124)Ta có: V 150 R h2 150 h 1502 R
Mà ta có: f R 100000R2120000R2 180000Rh
2
2
150 27000000
220000 180000 220000
f R R R R
R R
Để chi phí thấp hàm số f R đạt giá trị nhỏ với R0
3
2
27000000 440000 27000000
440000 R
f R R
R R
, cho
3 30
440
f R R
Lập BBT, từ BBT suy
R f R 30 440
R
Nên 1503 22 h
R R
Câu 42: Học sinh A sử dụng xơ đựng nước có hình dạng kích thước giống hình vẽ, đáy xơ hình trịn có bán kính 20 cm , miệng xơ đường trịn bán kính 30 cm , chiều cao xô 80 cm Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước. Hỏi A phải trả tiền nước tháng, biết giá nước 20000đồng/1 m (số tiền làm tròn đến đơn vị đồng)?3
A. 35279 đồng B 38905 đồng C.42116 đồng D.31835 đồng
Hướng dẫn giải: Chọn D
Ta xét hình nón đỉnh A, đường cao h80 cmđáy đường trịn tâm O, bán kính 30 cm Mặt phẳng cách mặt đáy 80 cm cắt hình nón theo giao tuyến đường trịn tâm O' có bán kính 20 cm Mặt phẳng chia hình nón thành phần Phần I phần chứa đỉnh A, phần II phần không chứa đỉnh A ( Như hình vẽ)
Ta có ' ' ' ' 160 cm
' '
O B AO AO
AO OC AO AO O O Thể tích hình nón 302 72000 cm3
3
V AO
Thể tích phần I
1 64000
' .20 cm
3
(125)Vậy thể tích xơ thể tích phần II 2 1 152000 cm3 19 m 3
3 375
V VV
Vậy số tiền phải trả 19 10.20000 31835 375
T đồng
Câu 43: Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm, đường kính 6cm Mặt đáy phẳng dày 1cm, thành cốc dày 0, 2cm Đổ vào cốc 120ml nước sau thả vào cốc viên bi có đường kính 2cm Hỏi mặt nước cốc cách mép cốc cm (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)
A. 3, 67cm B 2, 67cm C 3, 28cm D 2, 28cm
Hướng dẫn giải: Chọn D.
Thành cốc dày 0, 2cmnên bán kính đáy trụ 2,8cm Đáy cốc dày 1cmnên chiều cao hình trụ 8cm Thể tích khối trụ V 2,8 197, 04 2 cm3
Đổ 120ml vào cốc, thể tích cịn lại 197, 04 120 77, 04cm3
Thả viên bi vào cốc, thể tích viên bi 3 .1 20, 94 ( )
3 bi
V cm
Thể tích cốc cịn lại 77, 04 20, 94 56,1cm3 Ta có 56,1h' 2,8 2 h'2, 28 cm
Cách khác: Dùng tỉ số thể tích 2
8 2,8
5, 72
120 coc
Tr
nuoc bi nuoc bi nuoc bi nuoc bi
h V
h
V V h h
Chiều cao lại trụ 5, 72 2, 28 Vậy mặt nước cốc cách mép cốc 2, 28cm
Câu 44: Người ta xếp hình trụ có bán kính đáy r chiều cao h vào lọ hình trụ có chiều cao h, cho tất hình trịn đáy hình trụ nhỏ tiếp xúc với đáy hình trụ lớn, hình trụ nằm tiếp xúc với sáu hình trụ xung quanh, hình trụ xung quanh tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ lớn Khi thể tích lọ hình trụ lớn là:
A. 16r h2 B.18r h2 C. 9r h2 D. 36r h2
(126)Ta có hình vẽ minh họa mặt đáy hình cho trên, ta rõ ràng nhận ,
R r đề phức tạp, nhiên để ý kĩ lại đơn giản Vậy
2
V B h r h r h
Câu 45: Từ kim loại dẻo hình quạt hình vẽ có kích thước bán kính R5 chu vi hình quạt P8 10, người ta gò kim loại thành phễu theo hai cách:
3 Gò kim loại ban đầu thành mặt xung quanh phễu
4 Chia đôi kim loại thành hai phần gò thành mặt xung quanh hai phễu
Gọi V1 thể tích phễu thứ nhất, V2 tổng thể tích hai phễu cách Tính
2 V V ?
A.
21 V
V B.
1
2 21 V
V C.
1
2 V
V D.
1
6 V V
Hướng dẫn giải:
Do chu vi hình quạt tròn P = độ dài cung + 2R Do độ dài cung trịn l8
Theo cách thứ nhất: 8 chu vi đường trịn đáy phễu Tức 2r 8 r
Khi h R2r2 5242 3
1
.3
V
Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi hai đường tròn đáy hai phễu 8 chu vi đường tròn đáy 4 4 2 r r
Khi h R2r2 5222 21
2
2 21.2
V
(127)Khi
2
4 21
7 21
3 V
V
Câu 46: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy
A 10 2cm B. 20cm C. 50 2cm D. 25cm
Hướng dẫn giải:
Đặt a50cm
Gọi bán kính đáy chiều cao hình nón x y x y, , 0 Ta có
2 2
SA SH AH x y
Khi diện tích tồn phần hình nón Stp x2x x2 y2
Theo giả thiết ta có
2 2 2 2
4
2 2 2 2 4 2
2
2 , :
2
x x x y a x x y x a
a
x x y a x x x y a x a x DK x a x
y a
Khi thể tích khối nón
4
2 2
1
3
a y
V y a
y a y a
V đạt giá trị lớn
2 2
y a
y đạt giá trị nhỏ
Ta có
2 2
2 2
2 2
y a a a
y y a
y y y
Vậy V đạt giá trị lớn
2
a
y
y , tức 2 25
a
(128)Lưu ý: Bài em xét hàm số lập bảng biến thiên
Câu 47: Một chậu nước hình bán cầu nhơm có bán kính R =10cm, đặt khung hình hộp chữ nhật (hình 1) Trong chậu có chứa sẵn khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h
= 4cm. Người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2) Bán kính viên bi gần số nguyên sau (Cho biết thể tích khối chỏm cầu
3
h
V h R )
A.2 B.4 C.7 D 10
Hướng dẫn giải:
Gọi x là bán kính viên bi hình cầu Điều kiện: < 2x <100 < x < 50
- Thể tích viên bi 3
bi
V x
- Thể tích khối nước hình chỏm cầu chưa thả viên bi vào
1
4 416 16 10
3 3
h
V h R
- Khi thả viên bi vào khối chỏm cầu gồm khối nước viên bi có
thể tích là:
2
2
2 (30 ) (2 )
3
x x x
V x R
-Ta có phương trình:
3
2
3
4 (30 ) 416
4 (30 ) 416
3 3
3 30 104
bi
x x
V V V x x x x
x x
- Giải phương trình ta có nghiệm: x1 9,6257 > (loại)
x2 2,0940 < (thỏa mãn), x3 - 1,8197 (loại)
Vậy bán kính viên bi là: r 2,09 (cm)
(129)A. 4000 cm B. 32000 cm C. 1000 cm D. 16000 cm
Hướng dẫn giải:
Một toán thực tế hay ứng dụng việc tìm giá trị lớn hàm số Ta nhận thấy, dải băng tạo thành hai hình chữ nhật quanh hộp, chiều dài dải băng tổng chu vi hai hình chữ nhật Tất nhiên chiều dài băng phải trừ phần băng dùng để thắt nơ, có nghĩa là: 22 2 rh120h30 2 r
Khi thể tích hộp q tính cơng thức:
2
30 2 30
V B hr r r r Xét hàm số f r 2r330r2 0;15
0
' 60 ; '
10
r l
f r r r f r
r
Khi vẽ BBT ta nhận
0;10 10
Max f r f Khi thể tích hộp quà
.10 10 1000 V B h
Câu 49: Một khối gạch hình lập phương (khơng thấm nước) có cạnh đặt vào chiếu phễu hình nón trịn xoay chứa đầy nước theo cách sau: Một cạnh viên gạch nằm mặt nước (nằm đường kính mặt này); đỉnh cịn lại nằm mặt nón; tâm viên gạch nằm trục hình nón Tính thể tích nước cịn lại phễu (làm tròn chữ số thập phân)
A. V =22,27 B.V =22,30 C.V =23.10 D. 20,64
Hướng dẫn giải:
(130)Thiết diện hình nón song song với đáy hình nón, qua tâm viên gạch hình trịn
có bán kính R1 thỏa mãn R1 h h 2.R 3 1
R h h
Thiết diện hình nón song song với đáy hình nón, chứa cạnh đối diện với cạnh nằm đáy hình nón hình trịn có bán kính R2 1 thỏa mãn
2 2 2 2. 1 2
R h h
R
R h h
Từ (1) (2) suy 2
h
h
h R2 1
Thể tích lượng nước cịn lại phễu V Vnón - Vgạch
1
2 22, 2676
R h
Câu 50: Một nồi hiệu Happycook dạng hình trụ không nắp chiều cao nồi 11.4 cm, đường kính dáy 20.8 cm Hỏi nhà sản xuất cần miếng kim loại hình trịn có bán kính Rtối thiểu để làm nồi (không kể quay
nồi)
A. R18.58cm B. R19.58cm
C. R13.13cm D. R14.13cm
Hướng dẫn giải:
Diện tích xung quanh nồi
1
5928 2 10, 4.11,
25
S rl
Diện tích đáy nồi 2 2704 25
S r
Suy diện tích tối thiểu miếng kim loại hình trịn
1
8632
18.58 25
S S S R R cm
Chọn A
Câu 51: Một bồn hình trụ chứa dầu, đặt nằm ngang, có chiều dài bồn 5m, có bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu lại bồn (theo đơn vị )
A. 12,637m3 B.114,923m3 C. 11,781m3 D. 8,307m3
Hướng dẫn giải:
(131)Nhận xét 0,
22 R OB
OH CH suy raOHB tam giác nửa
60 120
HOB AOB
Suy diện tích hình quạt OAB là:
3
S R
Mặt khác:
2
3
2
4
AOB HOB BOC
OB
S S S (BOC đều)
Vậy diện tích hình viên phân cung AB 3
Suy thể tích dầu rút ra: Thể tích dầu ban đầu:
Vậy thể tích cịn lại: V2 V V 1 12,637m3
Chọn A
1
1
5
3
V
2 .1 V
B A
H