Đáp án HSG Toán học lớp 11 Quảng Bình 2015-2016 vòng 1 - Học Toàn Tập

* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài.. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài..[r]

SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2015 - 2016

Mơn thi: Tốn (VỊNG 1) (Khóa ngày 23 tháng năm 2016)

HƯỚNG DẪN CHẤM

(Đáp án, hướng dẫn có trang) Yêu cầu chung

* Đáp án trình bày lời giải cho Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng

* Trong bài, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan Ở câu học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai cho điểm * Điểm thành phần nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm

* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm

* Điểm tồn tổng (khơng làm trịn số) điểm tất

Câu Nội dung Điểm

1 1a

1b

Giải phương trình: 4sin cos2 x x2cos2xcosx 3sin3x 1,25 điểm

Phương trình tương đương với

2sin2 sinx x2cos2xcosx 3sin3x 0,25 cosx cos3x 2cos2x cosx 3sin3x

     0,25

cos3x 3sin3x 2cos2x

   0,25

cos 3 cos2

3

3 2 2 2

3 3

2

3 2 2

3 15 5

x x

x x k x k

x x l x l



   

   

 

   

 

      

 

   

       

 

 

Đáp số: ; ( , )

3 15

x  k  x  l  k l¢

0,25

0,25

Giải hệ phương trình:

 

 2

2

1

1

1

1

x y

xy x y

x y     

  

  



 

   

 

  



ĐK: xy0

Hệ cho tương đương với

2

2

2

1

1 5

5

1 1 1

9 13

x y

x y

x y

x y

x y x y

x y x y

                                                   0,5

Đặt S x y ;P x y

x y x y

   

   

         

      

Hệ trở thành 2 5

6 13 S S P S P             0,25

Khi đó, ta

1 3 5

2; 1;

2

1 3 5

3; ; 1

2

x y x y

x y

x y x y

x y                          

Đáp số:  ; 1;3 ; 1;3 ; 5;1 ; 5;1

2 2

x y                   

       

0,5

2a

Tìm giới hạn: 2

0

1 - lim

x

x x

x



  1,0điểm

3

2 2

1 3 ( 1) ( 1)

0, x x x x x x

x

x x x

        

    0,25

3

2

2 3

1 ( 1) ( 1) (1 )

1 (1 ) ( 1) ( 1)

x x x x

x x x

x x x x x

     

 

            

 

 

2

3

3

1 (1 ) ( 1) ( 1)

x

x x

x x x x

             0,25 0,25 2

0 3

1 lim

3 1

lim

2 1

(1 ) ( 1) ( 1)

x x x x x x x x

x x x x

                           

Đáp số: lim 31 3x  2x  1

2b Tìm giới hạn: lim 3nn

u    

 , biết  un xác định

1

1

1

3 1,

n n

u

u u n n 



    



1.5điểm

Đặt vnunn , ta dãy  vn xác định sau

1

v  vn13 ,un  n 0,25

suy  vn cấp số nhân v12 cơng bội q3 Do 2.3n1 2.3n

n n

v   u   n 0,25

Đặt

3

n n

n

a  ta chứng minh (*),

n

n

a   n

    

  quy nạp

Thật vậy, rõ ràng an   0, n

với 1: 1 3

n a   (*) 0,25

Giả sử

3

n

n

a    

  , ta có

1

1

1 2

, , ,

3 3

n n

n n n

n

a n

n a a n a n

a n

 

 

  

            

 

0,25

Suy lim 3n

n  Do

1

2.3 2

lim lim lim

3 3 3

n n

n n n

u   n n

     

 

   

     

0,25 0,25 3 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' '.Trên đường chéo AClấy điểm M

cho MA3MC

Mặt phẳng   qua M song song với mặt phẳng A BD' , cắt đường chéo AC'của hình hộp điểm N

a) Xác định thiết diện hình hộp ABCD A B C D ' ' ' 'khi cắt mặt phẳng  

b) Chứng minh N trung điểm AC'

3a

T

N

M'

M

K

S

R Q P

G O

C' B'

C

D' A

D

A' B

(Vẽ hình hộp kẻ cạnh PQ thiết diện cho 0.25)

0,25

a) Tìm thiết diện

Xét hai mặt phẳng ( 'A BD) (CB D' ') có / / ' '

( ' ) / /(CB'D') ' / / 'C

BD B D

A BD A B D



 

 ,

Mà   / /( 'A BD)   / /(CB' ')D

1,0 điểm 0,25

Từ ta có cách dựng thiết diện sau:

Trong mặt phẳng (ABCD) dựng đường thẳng qua M song song BD cắt BC P cắt CD Q

0,25 Trong mặt phẳng (CDD’C’) dựng đường thẳng qua Q song song CD’

cắt DD’ R;

Trong mặt phẳng (ADD’A’) dựng đường thẳng qua R song song A’D cắt A’D’ S;

Trong mặt phẳng (A’B’C’D’) dựng đường thẳng qua S song song B’D’ cắt A’B’ T;

Trong mặt phẳng (ABB’A’) dựng đường thẳng qua T song song A’B cắt BB’ K

3b b) Gọi M'A C TS' ' N AC 'MM'

Ta có: ' ' ( )

' ( ) N AC

N AC

N MM  



   

  



1,25 điểm 0,25 Gọi O AC BD G A O,  ' AC'

Ta có 1 ' (1)

' ' ' 2  3 AG AO

AG AC

GC A C

0,25

Mặt khác

( ' ) ( ' ')

( ) ( ' ') / /

( ' ) / /( )

A BD ACC A OG

ACC A MN MN OG

A BD





 



   

  

0,25

Xét tam giác AMN có MN//OG nên

2

 

AN AM AG AO

(2)

AN  AG

0,25

Từ (1) (2) suy



AN AC hay N trung điểm AC’ 0,25 4 Cho đa giác gồm 2017 cạnh Người ta sơn đỉnh đa giác

gồm màu xanh đỏ Chứng minh phải tồn đỉnh sơn cùng màu tạo thành tam giác cân

1.0 điểm

Đa giác có 2017 cạnh nên có 2017 đỉnh

Vì đỉnh sơn màu xanh đỏ nên phải tồn hai đỉnh kề M N sơn màu( chẳng hạn màu đỏ)

0,25 Vì đa giác cho đa giác có số lẻ đỉnh, phải tồn

một đỉnh nằm đường trung trực đoạn thẳng MN Giả sử đỉnh A

0,25

Nếu A sơn màu đỏ tam giác AMN tam giác cân A có đỉnh A,

M, N sơn màu đỏ 0,25

Nếu A sơn màu xanh Lúc ta gọi B C đỉnh khác đa giác kề với M N

- Nếu B C sơn màu xanh tam giác ABC cân A có đỉnh sơn màu xanh

- Nếu ngược lại hai đỉnh B C mà sơn màu đỏ tam giác BMN tam giác CMN tam giác cân có đỉnh sơn màu đỏ

5 Cho x y, số thực dương thỏa mãn đồng thời điều kiện : i) (x2)(y2) 3( x2 y2 xy) ii) ( x y)34(x3y3)

Chứng minh : x y2

1.5 điểm

Từ (ii) ta có:  x y34x3y3x y 3

 2

1

x y x y x y

       x y2 (1)

0,25 0,25 Ta chứng minh BĐT sau : 3 2, , (*)

2

a b a b

a b

    

Thậy

2

3 2 3 2

3

6 3 2

2 2

4 3

a b a b a b a b

a b a b a b a b

   

      

   

   

    

Ta có a6b64a b3 a6a b3 3a b3 3  b6a b3 3a b3 33a b4 23a b2 4

0,25

Từ (ii) ( x y)34(x3y3)

suy ra: 3 2 (2)

2 2

x y  x y  x y (theo BĐT (*)) 0,25

Từ (i) ta có

       2 

2

3 x y  xy  x 1 y  1 x y1 3 xy x y

(vì ta có BĐT quen thuộc (a b c  )2 3(ab bc ca  ))

2 (3)

x y x y

   

Từ (2) (3) suy

2

x y x y

 hay x y2 (4) Từ (1) (4) suy x y2

0,25