Đang tải... (xem toàn văn)
Ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng sai ph¥n bªc nh§t vîi dàch chuyºn.. tành ti¸n.[r]
(1)Mưc lưc
Líi nâi ¦u Ch÷ìng °c tr÷ng h m cõa mët số hm số sỡ cĐp vợi cĂc
dch chuyn hẳnh hồc
1.1 Mởt số kián thực cỡ b£n cõa h m sè 1.1.1 ành nghắa hm tuƯn hon v phÊn tuƯn hon cởng
tẵnh 1.1.2 nh nghắa hm tuƯn hon v phÊn tuƯn hon nhƠn
tẵnh 1.1.3 Mỉ t£ c¡c h m ph£n tu¦n ho n cởng tẵnh, hm tuƯn
hon nhƠn tẵnh, phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh thổng
qua hm tuƯn hon cởng tẵnh 10 1.2 DÔng c trững hm cừa mởt số hm số sỡ cĐp vợi cĂc dch
chuyn hẳnh hồc (tnh tián v ỗng dÔng) 12 1.2.4 Dàch chuyºn tành ti¸n 12 1.2.5 Dch chuyn ỗng dÔng 13 Chữỡng Phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn vợi dch chuyn
(2)2.1 Phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc nhĐt vợi dch chuyn
tnh tián 15 2.2 Phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc hai thuƯn nhĐt vợi
dch chuyn tnh tián 19 2.3 Phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc hai khổng thuƯn nhĐt
vợi dàch chuyºn tành ti¸n 28 2.3.1 B i to¡n 28 2.3.2 Nhªn x²t 28 2.3.3 Mởt số bi toĂn v phữỡng phĂp tẳm nghiằm riảng 29 2.4 Mởt số vẵ dử Ăp dửng 32 Chữỡng Phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn vợi dch chuyn
ỗng dÔng 36
3.1 Phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc nhĐt vợi dch chuyn
ỗng dÔng 36 3.2 Phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc hai thuƯn nhĐt vợi
dch chuyn ỗng dÔng 44 3.3 Phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc hai khổng thuƯn nhĐt
(3)Lới nõi Ưu
Phữỡng trẳnh hm l mởt chuyản à quan trồng chữỡng trẳnh chuyản toĂn THPT CĂc à thi hồc sinh giäi c§p Quèc gia, thi Olympic khu vüc, Olympic Quèc tá thữớng xuĐt hiằn bi toĂn và phữỡng trẳnh hm, â l nhúng b i to¡n khâ v mỵi m´ èi vỵi håc sinh THPT Nhúng cn s¡ch tham kh£o v· phữỡng trẳnh hm dnh cho hồc sinh l khổng nhiÃu Vẳ vêy, luên vôn ny chúng tổi xin à cêp án cĂc phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn vợi cĂc dch chuyn tnh tián v dch chuyn ỗng dÔng Hi vång luªn n y s³ l mët t i li»u gâp phƯn nhọ b vo viằc bỗi dữùng hồc sinh giọi toĂn trữớng THPT
Luên vôn ữủc chia lm ba ch÷ìng:
Ch÷ìng °c tr÷ng h m cõa mët số hm số sỡ cĐp vợi dch chuyn tnh tián v ỗng dÔng
Trong chữỡng ny tĂc giÊ trẳnh b y kh¡i qu¡t v· h m sè vỵi c¡c dàch chuyºn tnh tián v ỗng dÔng nhữ :
nh nghắa cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh, hm phÊn tuƯn hon cởng tẵnh, hm tuƯn hon nhƠn tẵnh, hm phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh
Mổ tÊ hm phÊn tuƯn hon cởng tẵnh, hm tuƯn hon nhƠn tẵnh, hm phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh thổng qua hm tuƯn hon cởng tẵnh
°c tr÷ng h m cõa mët sè h m sè cĐp vợi cĂc dch chuyn tnh tián v ỗng dÔng
(4)Trong chữỡng ny tĂc giÊ trẳnh by phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn vợi dch chuyn tnh tián (bao gỗm phữỡng trẳnh hm thuƯn nhĐt v khổng thuƯn nhĐt; phữỡng trẳnh bêc nhĐt v phữỡng trẳnh bêc hai ) Trong õ tĂc giÊ Â trẳnh by phữỡng phĂp giÊi v cổng thực nghiằm cừa phữỡng trẳnh khổng thuƯn nhĐt ỗng thới à xuĐt quy tưc ữa phữỡng trẳnh khổng thuƯn nhĐt và phữỡng trẳnh thuƯn nhĐt
PhƯn cuối chữỡng tĂc giÊ Ã xuĐt mởt số vẵ dử Ăp dửng
Chữỡng Phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn vợi dch chuyn ỗng dÔng
Chữỡng ny cõ cĐu trúc tữỡng tỹ nhữ chữỡng Trong chữỡng ny tĂc giÊ trẳnh by phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn vợi dch chuyn ỗng dÔng (bao gỗm phữỡng trẳnh hm thuƯn nhĐt v khổng thuƯn nhĐt; phữỡng trẳnh bêc nhĐt v phữỡng trẳnh bêc hai ) Trong õ tĂc giÊ Â trẳnh by phữỡng phĂp giÊi v cổng thực nghiằm cừa phữỡng trẳnh khổng thuƯn nhĐt ỗng thới à xuĐt quy tưc ữa phữỡng trẳnh khổng thuƯn nhĐt và phữỡng trẳnh thuƯn nhĐt v quy tưc tẳm nghiằm riảng CĂc kát quÊ cừa cĂc bi toĂn chữỡng ny Ãu ữủc mổ tÊ theo hm tuƯn ho n cëng t½nh
(5)Líi c¡m ìn
Vợi tẳnh cÊm chƠn thnh, tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi sỹ hữợng dăn khoa hồc nhiằt tẳnh chu Ăo, Ưy tinh thƯn trĂch nhiằm cừa ThƯy giĂo PGS.TS Nguyạn Minh TuĐn
Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn tợi têp th cĂc GiĂo sữ, Tián sắ Khoa ToĂn- Cỡ- Tin hồc Trữớng Ôi hồc Khoa hồc Tỹ nhiản, HQG H Nởi CĂc ỗng chẵ lÂnh Ôo, cĂc ỗng nghiằp trữớng Cao ng Sữ phÔm Lo Cai v GS.TSKH Nguyạn Vôn Mêu  giúp ù tổi rĐt nhiÃu suốt quĂ trẳnh tổi lm luên vôn
Tổi xin gỷi lới cÊm ỡn tợi nhỳng ngữới thƠn gia ẳnh v cĂc ỗng nghiằp, cĂc bÔn ỗng khõa Cao hồc 2004 - 2006  cõ nhỳng ỵ kián õng gõp quỵ bĂu cho à ti, giúp ù tổi hon thnh khõa hồc v luên vôn tèt nghi»p n y
H Nëi, th¡ng 12 n«m 2006 Hồc viản
(6)Chữỡng 1
c trững hm cừa mởt số hm số sỡ cĐp vợi cĂc dch chuyn hẳnh hồc
Trong chữỡng ny ta nh nghắa cĂc hm tuƯn hon, phÊn tuƯn hon cởng tẵnh v nhƠn tẵnh; mổ tÊ cĂc hm phÊn tuƯn hon cởng tẵnh, hm tuƯn hon nhƠn tẵnh, hm phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh thổng qua hm tuƯn hon cởng tẵnh; ữa cĂc c trững cừa mởt số hm số sỡ cĐp vợi dch chuyn tnh tián v ỗng dÔng
1.1 Mởt số kián thực cỡ bÊn cừa hm số
1.1.1 nh nghắa hm tuƯn hon v phÊn tuƯn hon cởng tẵnh
nh nghắa Cho h m sè f(x) v tªp M (M ⊂ D(f)) H m f(x) ữủc
gồi l hm tuƯn hon trản M náu tỗn tÔi số dữỡng a cho
(
∀x ∈ M ta ·u câ x±a ∈ M, f(x+a) = f(x),∀x ∈ M;
a ÷đc gåi l chu ký cõa h m tu¦n ho n f(x)
Chu ký nhọ nhĐt (náu cõ) cĂc chu ký cừa f(x) ÷đc gåi l chu
(7)V½ dư X²t h m f(x) = cosx Khi â f(x) l h m tuƯn hon chu ký trản R
Thêt vêy, ta câ ∀x ∈ R th¼ x+ 2π ∈ R v
f(x+ 2π) = cos(x+ 2π) = cosx = f(x)
ành ngh¾a Cho h m sè f(x) v têp M (M D(f)) Hm f(x) ữủc
gồi l hm tuƯn hon trản M náu tỗn tÔi số d÷ìng a cho
(
∀x ∈ M ta ·u câ x±a ∈ M, f(x+a) = −f(x),∀x ∈ M;
a ÷đc gåi l chu ký cõa h m tuƯn hon f(x)
Chu ký nhọ nhĐt (náu cõ) c¡c chu ký cõa f(x) ÷đc gåi l chu
ký cì sð cõa h m tu¦n ho n f(x)
V½ dư X²t h m f(x) = sinx, â f(x) l h m ph£n tu¦n ho n chu
ký π
Thêt vêy, ta cõ x R thẳ x+ R v
f(x+π) = sin(x+ π) = −sinx = f(x)
1.1.2 nh nghắa hm tuƯn hon v phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh
nh nghắa f(x) ữủc gồi l hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký a (a R\{0,1,1}) trản M náu M D(f) v
(
∀x ∈ M ⇒ a±1x ∈ M, f(ax) = f(x),∀x ∈ M
V½ dư X²t h m f(x) = sin(2log2x) õf(x) l hm tuƯn hon nhƠn
tẵnh chu ký trản R+ Thêt vêy, x R+ ta câ
(8)ành ngh¾a f(x) ữủc gồi l hm phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký
a (a / {0,1,1}) trản M náu M ⊂ D(f) v
(
∀x ∈ M ⇒a±1x ∈ M, f(ax) = −f(x),∀x ∈ M
V½ dö X²t h m f(x) = cos(πlog3x) â f(x) l hm phÊn tuƯn hon
nhƠn tẵnh chu ký trản R+ Thêt vêy, x R+ ta cõ
f(3x) = cos(πlog3(3x)) = cos(π(1 + log3x)) =−cos(πlog3x) = −f(x)
1.1.3 Mỉ t£ c¡c h m ph£n tu¦n ho n cëng tẵnh, hm tuƯn hon nhƠn tẵnh, phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh thổng qua hm tuƯn hon cởng tẵnh
a) Hm phÊn tuƯn hon cởng tẵnh
Cho f(x) l hm phÊn tuƯn hon cởng tẵnh chu ký b HÂy mổ tÊ (biu diạn) f(x) thổng qua hm tuƯn hon cởng tẵnh
Thêt vêy ta cõ
f(x+b) = −f(x),∀x ∈ R ⇔f(x) =
2[f(x)−f(x+b)] ⇔f(x) =
2[g(x)−g(x+b)],
trong â g(x) l h m tu¦n hon cởng tẵnh chu ký 2b b) Hm tuƯn hon nhƠn tẵnh
Cho f(x) l hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký c HÂy mổ tÊ (biu diạn) f(x) thổng qua hm tuƯn hon cởng tẵnh
Thêt vêy, ta câ
f(cx) =f(x), ∀x ∈ R, c ∈ R\{0,1,1} (1.1.1)
Xt cĂc trữớng hủp sau: b1) Vợi c >
Vỵi x < 0, °t −x = ct v f(−ct) = h1(t) Khi â t = logc|x| v (1.1.1)
(9)Vỵi x > 0, °t x = ct v f(ct) = h2(t) Khi â t = logcx v (1.1.1) trð
th nh h2(t+ 1) = h2(t),∀t ∈ R Vªy
f(x) =
h1(logc|x|) n¸u x < 0, m tuý þ n¸u x = 0, h2(logcx) n¸u x > 0;
trong â h1(t), h2(t) l c¡c h m tu¦n ho n cởng tẵnh chu ký trản R b2) Vợi c <
Khi â f(c2x) =f(x) v måi nghi»m cõa (1.1.1) ÷đc cho bði cỉng thùc
f(x) =
2[g(x) +g(cx)], (1.1.2)
trong â g(c2x) =g(x),∀x R
Thêt vêy, náu f(x) cõ dÔng (1.1.2) th¼ ∀x ∈ R ta câ
f(cx) =
2[g(cx) + g(c
2x)] =
2[g(cx) + g(x)] = f(x)
Ngữủc lÔi, náu f(x) thoÊ mÂn (1.1.1) thẳ chồn g(x) =f(x)
Khi õ g(c2x) =g(x),∀x ∈ R v
1
2[g(x) + g(cx)] =
2[f(x) +f(cx)] =
2[f(x) +f(x)] = f(x), ∀x ∈ R
T÷ìng tü c¡ch gi£i phữỡng trẳnh (1.1.1) ta cõ
g(x) =
h3(
1
2logc|x|) n¸u x < 0,
n tuý ỵ náu x = 0, h4(
1
2logcx) n¸u x > 0;
trong õ h3(t), h4(t) l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký trản R
c) Hm phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh
(10)f(dx) = f(x), ∀x ∈ R, d ∈ R\{0,1,−1} (1.1.3)
vỵi d ∈ R\{0,1,−1}
Khi â f(d2x) = f(x) v måi nghi»m cõa (1.1.3) ÷đc cho bði cỉng thùc
f(x) =
2[g(x)−g(dx)], (1.1.4)
trong â g(d2x) =g(x), x R
Thêt vêy, náu f(x) cõ dÔng (1.1.3) th¼ ta câ
f(dx) =
2[g(dx)−g(d
2x)] =
2[g(dx)−g(x)] = −f(x),∀x ∈ R
Ngữủc lÔi, vợi mội f(x) thoÊ mÂn (1.1.3) thẳ chån g(x) =f(x)
Khi â g(d2x) =g(x),∀x ∈ R v
1
2[g(x)−g(dx)] =
2[f(x)−f(dx)] =
2[f(x) + f(x)] = f(x),∀x ∈ R
T÷ìng tü c¡ch gi£i (1.1.1) ta ÷đc f(x) =
2[g(x)−g(dx)] â
g(x) =
h1(12 log|a||x|) n¸u x < 0,
d tuý þ n¸u x = 0, h1(12 log|a|x) n¸u x > 0;
trong â h1(t), h2(t) l c¡c h m tu¦n hon cởng tẵnh chu ký trản R
1.2 DÔng c trững hm cừa mởt số hm số sỡ cĐp vợi cĂc dch chuyn hẳnh hồc (tnh tián v ỗng dÔng)
1.2.4 Dch chuyn tnh tián
a) C¡c h m f(x) = cos(ax), f(x) = sin(ax),(a 6= 0)câ «c tr÷ng l
f(x+ 2π
(11)b) Hm f(x) = tg(ax),(a 6= 0) cõ ôc trững l
f(x+ π
a) = f(x),∀x ∈ R\{ π
2a +k π
a|k ∈ Z} c) Hm f(x) = cotg(ax),(a 6= 0) cõ ôc trững l
f(x+ π
a) =f(x),∀x ∈ R\{k π
a|k ∈ Z}
d) C¡c h m f(x) = cos(ax), f(x) = sin(ax),(a 6= 0) câ °c tr÷ng l
f(x+ π
a) =−f(x),∀x ∈ R
Nhªn x²t 1.1 Cho a 6= 0, â c¡c h mf(x) = tg(ax);g(x) = cotg(ax)
khỉng l h m ph£n tu¦n ho n cëng t½nh
Chùng minh H m f(x) = tg(ax) khỉng l hm phÊn tuƯn hon cởng tẵnh
Thêt vêy, náu f(x) = tgx l hm phÊn tuƯn hon cởng t½nh chu ký T ta câ
∀x ∈ D ⇒ x±T ∈ D (1.2.5)
v
f(x+T) = −f(x),∀x ∈ D (1.2.6) â
D = R\{ π
2a + kπ
a |k ∈ Z} (1.2.7) Tø (1.2.5) v (1.2.7) suy T = π
a Khi T = π
a khæng thäa mÂn (1.2.6)
Vêy khổng tỗn tÔi T thọa mÂn (1.2.5) v (1.2.6)(i·u ph£i chùng minh) T÷ìng tü, ta chùng minh ÷đc h m g(x) = cotg(ax) khỉng l h m ph£n
tuƯn hon cởng tẵnh
1.2.5 Dch chuyn ỗng dÔng
a)Vợia R\{0,1,1}cĂc hmf(x) = sin(2log|a||x|), f(x) = cos(2πlog|a||x|)
câ °c tr÷ng l
(12)b) Vỵi a ∈ R\{0,1,−1} h m f(x) = tg(πlog|a||x|) câ °c tr÷ng l
f(ax) =f(x),∀x ∈ R∗\{±|a|1+2k2 ,|k ∈
Z}
c) Vỵi a ∈ R\{0,1,−1} h m f(x) = cotg(πlog|a||x|) câ °c tr÷ng l
f(ax) =f(x),∀x ∈ R∗\{±|a|k|k ∈ Z}
d) Vỵia ∈ R\{0,1,−1}h mf(x) = sin(πlog|a||x|), f(x) = cos(πlog|a||x|)
câ °c tr÷ng l
f(ax) = f(x),x R
Nhên xt 1.2 Vợi a ∈ R\ {0,1,−1}, b 6= th¼ c¡c h m
f(x) =tg bπlog|a||x|
, g(x) = cotg bπlog|a||x|
khổng l hm phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh Chựng minh
Khi x chÔy khưp R thẳ log|a||x| chÔy khưp R, õ blog|a||x| chÔy khưp
R (vẳ b6= 0) Vẳ vêy têp xĂc nh cừa hm f(x) l
Df =
n
x ∈ R∗
bπlog|a||x| 6=
π
2 +kπ, k ∈ Z
o
Gi£ sû h m f(x) ph£n tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký , ta cõ f(x) =−f(x),∀x ∈ Df
⇔ tg bπlog|a||αx|
= −tg bπlog|a||x|
,∀x ∈ Df
⇔ tg bπlog|a||x|+bπlog|a|α = −tg bπlog|a||x|,∀x ∈ Df
°t X = bπlog|a||x|, T = bπlog|a|α, ta câ tg(X +T) = −tg(X),∀X 6= π
2 +kπ, k ∈ Z
suy tgx l hm phÊn tuƯn hon cởng tẵnh (mƠu thuăn vợi nhªn x²t 1.1.) Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh
èi vỵi h m g(x) = cotg bπlog|a||x|
(13)Chữỡng 2
Phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn vợi dch chuyn tnh tián
Trong chữỡng ny ta giÊi cĂc bi toĂn và phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc nhĐt v bêc hai (thuƯn nhĐt v khổng thuƯn nhĐt) vợi dch chuyn tnh tián Trong õ viằc giÊi phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc hai ữủc ữa và phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc nhĐt
2.1 Phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc nhĐt vợi dch chuyn tnh tián
Bi toĂn 2.1 Cho c¡c sè thüc a, β kh¡c 0, v tªp D thäa m¢n i·u ki»n: D ⊆ R; ∀x ∈ D ⇒ x±a ∈ D T¼m c¡c h m f : D → R tho£ m¢n i·u
ki»n
f(x+a) +βf(x) = 0,∀x ∈ D
Líi gi£i °t f(x) =|b|
x
a g(x), ta câ:
(14)+ Vợi > phữỡng trẳnh  cho trð th nh
g(x+a) = −g(x) ⇔g(x) =
2[h(x)−h(x+a)],∀x ∈ D
trong â h(x) l h m tuƯn hon cởng tẵnh chu ký 2|a| trản D Vêy
+ Vợi < 0ta ữủc f(x) = axg(x) õ g(x) l hm tuƯn hon cởng
tẵnh chu ký |a| trản D
+ Vợi > ta ÷đc f(x) = 2|β|
x
a[h(x)−h(x+a)],
trong â h(x) l h m tu¦n ho n cëng tẵnh chu ký 2|a| trản D
Bi toĂn 2.2 Cho a, β kh¡c v h(x) l h m tu¦n hon cởng tẵnh chu
ký |a| trản D R T¼m c¡c h m f : D → R tho£ m¢n
f(x+ a) +βf(x) =h(x),∀x ∈ D (2.1.1) Lới giÊi:
(i) Vợi 6= 1: Vẳ h(x) l hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký |a| nản
h(x) = h(x+a)
β+ +β
h(x)
β +
°t g(x) = f(x)− h(x)
+ 1, phữỡng trẳnh (2.1.1) tr thnh
g(x+a) +βg(x) =
Theo b i to¡n 2.1 ta cõ
+ Náu < thẳ g(x) = |β|xa k(x), â k(x) l h m tu¦n ho n cëng
tẵnh chu ký |a|
+ Náu > th¼ g(x) = βxa[p(x)−p(x+a)], â p(x) l h m tuƯn
hon cởng tẵnh chu ký 2|a|
(ii) Vợi = 1: Phữỡng trẳnh (2.1.1) tr thnh
(15)Vẳ h(x) l hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký |a| nản
h(x) = (x+a)h(x+a)
a −
xh(x)
a °t g(x) = f(x) xh(x)
a , phữỡng trẳnh (2.1.2) tr thnh g(x+a) = g(x),∀x ∈ D
Vªy f(x) = g(x) +xh(x)
a , â g(x) l h m tu¦n ho n cëng tinhs chu ký |a| tr¶n D
B i to¡n 2.3 Cho a, β kh¡c v h(x) l mởt hm phÊn tuƯn hon cởng
tẵnh chu ký |a| trản D R XĂc nh tĐt cÊ cĂc h m f : D → R thäa
m¢n i·u ki»n
f(x+ a) +βf(x) =h(x), ∀x ∈ D (2.1.3) Lới giÊi:
i) Vợi = 1: phữỡng trẳnh (2.1.3) trð th nh
f(x+a)−f(x) = h(x),∀x ∈ D (2.1.4) Vẳ h(x) l hm phÊn tuƯn hon cởng tẵnh chu ký |a| n¶n
h(x) = h(x)
2 −
h(x+a)
2
°t g(x) = f(x) + h(x)
2 , phữỡng trẳnh (2.1.4) tr thnh
g(x+a) = g(x),∀x ∈ D
Vªy f(x) = g(x)− h(x)
2 , â g(x) l hm tuƯn hon cởng tẵnh chu
ký |a| trản D
ii) Vợi = 1: phữỡng trẳnh (2.1.3) trð th nh
(16)V¼ h(x) l h m phÊn tuƯn hon cởng tẵnh chu ký |a| nản
h(x) = −xh(x+a)
a −
(x−a)h(x)
a °t g(x) = f(x) + (x−a)h(x)
a , phữỡng trẳnh (2.1.5) tr thnh g(x+a) = g(x) g(x) =
2[g1(x)−g1(x+a)],
trong â g1(x) l h m tu¦n hon cởng tẵnh chu ký 2a| trản D Vêy f(x) =
2[g1(x)−g1(x+a)]−
(x−a)h(x)
a
iii) Vợi 6= thẳ nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.1.3) ữủc xĂc nh nhữ
sau:
Vẳ h(x) l hm phÊn tuƯn hon cởng tẵnh chu ký |a| n¶n
h(x) = h(x+a)
β −1 +β
h(x)
β−1
°t g(x) = f(x)− h(x)
1, phữỡng trẳnh (2.1.4) tr thnh
g(x+a) +g(x) = 0,∀x ∈ D Theo b i to¡n 2.1 ta câ
+ Náu < thẳ g(x) = ||xa k(x), â k(x) l h m tu¦n ho n cëng
tẵnh trản D chu ký |a|
+Náu > th¼ g(x) = 2β
x
a [p(x)−p(x+a)], â p(x) l h m tu¦n
ho n cëng tẵnh chu ký 2|a| trản D Vêy
+ Náu β < th¼ f(x) = |β|xa k(x) + h(x)
+ Náu > thẳ f(x) = 12βxa [p(x)−p(x+a)]k(x) + h(x)
(17)2.2 Phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc hai thuƯn nhĐt vợi dch chuyn tnh tián
Bi toĂn 2.4 Cho a ∈ R∗; α, β ∈ R, β 6= 0, têp D thọa mÂn iÃu kiằn: D R,x D xa D Tẳm tĐt cÊ cĂc h m f : D → R tho£ m¢n
i·u ki»n
f(x+ 2a) +αf(x+ a) +βf(x) = 0,∀x ∈ D (2.2.6) (Phữỡng trẳnh cõ dÔng (2.2.6) ữủc gồi l phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc hai thuƯn nhĐt vợi dch chuyn tnh tián.)
Lới giÊi Xt phữỡng trẳnh
2 ++ = (2.2.7)
(phữỡng trẳnh (2.2.7) ữủc gồi l phữỡng trẳnh c trững cừa phữỡng trẳnh (2.2.6)), cõ =
a) Trữớng hủp >
Khi õ phữỡng trẳnh (2.2.7) cõ hai nghiằm thỹc 6= 2, khổng mĐt tẵnh têng qu¡t ta gi£ sû λ1 > λ2
p dửng nh lỵ Viete ta cõ
λ1 +λ2 = −α λ1λ2 = β thay v o (2.2.6) ta ÷đc
f(x+ 2a)−(λ1 +λ2)f(x+ a) +λ1λ2f(x) =
⇔ f(x+ 2a)−λ1f(x+a) = λ2[f(x+a)−λ1f(x)] (2.2.8) °t g1(x) =f(x+a)1f(x), phữỡng trẳnh (2.2.8) tr thnh
(18)T÷ìng tü c¡ch gi£i b i to¡n 2.1 ta câ + Vợi > ta ữủc
g1(x) =
x a
2h1(x) ⇔f(x+a)−λ1f(x) =λ
x a
2h1(x), (2.2.10) â h1(x) l h m tu¦n ho n cởng tẵnh chu ký |a| trản D
+ Vợi λ2 < ta ÷đc
g1(x) =
1 2|λ2|
x a[k
1(x)−k1(x+a)]
⇔f(x)−λ1f(x) =
1 2|λ|
x a[k
1(x)−k1(x+a)], (2.2.11) â k1(x)l hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký 2|a| trản D
êi vai trá cõa λ1, λ2 v bi¸n ời tữỡng tỹ ta ữủc + Vợi > ta câ
f(x+a)−λ2f(x) =λ
x a
1h2(x), (2.2.12) õ h2(x)l hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký |a| trản D
+ Vợi < ta câ
f(x+a)−λ2f(x) =
1 2|λ1|
x a[k
2(x)−k2(x+a)], (2.2.13) â k2(x)l h m tu¦n ho n cởng tẵnh chu ký 2|a| trản D
+Náu > v λ2 > th¼ trø (2.2.10) cho (2.2.12) ta ÷đc f(x) =
λ2 −λ1[λ
x a
2h1(x)−λ
x a
1h2(x)]
+Náu < v < thẳ trứ (2.2.11) cho (2.2.13) ta ÷đc
f(x) = 2(λ2 −λ1)
h |λ2|
x a[k
1(x)−k1(x+a)]− |λ1|
x a[k
2(x)−k2(x+a)]
i
+Náu > v < 0thẳ trứ (2.2.11) cho (2.2.12) ta ÷đc f(x) =
λ2 −λ1
h1
2|λ2| x a[k
1(x)−k1(x+a)]−λ
x a
1h2(x)
i
(19)b) Tr÷íng hđp =
Tùc l
α2 −4β = 0hay β = α
2
4
Khi õ phữỡng trẳnh (2.2.7) cõ nghiằm kp = λ2 = − α
2 Do â ta câ
f(x+ 2a) +αf(x+a) + α
2
4 f(x) =
⇔ f(x+ 2a) +
α
2
f(x+a) =−α
2
h
f(x+a) + α 2f(x)
i
(2.2.14) °t f(x+a) + α2f(x) = g(x), â (2.2.14) trð th nh
g(x+a) = −α
2g(x), (2.2.15)
Ta x²t c¡c tr÷íng hđp sau: b1) Tr÷íng hđp α = −2
(2.2.15) trð th nh g(x+a) = g(x)
Nhữ vêy f(x+a)f(x) =g(x)
Tữỡng tỹ cĂch giÊi b i to¡n 2.2 (i) ta ÷đc f(x) =h(x) + xg(x)
a
trong â h(x) l h m tu¦n ho n cởng tẵnh chu ký |a| trản D b2) Trữớng hủp α =
(2.2.15) trð th nh g(x+a) = g(x)
Nhữ vêy f(x+a) +f(x) = g(x),
tữỡng tỹ c¡ch gi£i b i to¡n 2.3 (ii) ta ÷đc
f(x) =
2[g1(x)−g1(x+a)]−
(x−a) [h1(x)−h1(x+a)]
2a ,
(20)B i to¡n quy v· vi»c gi£i phữỡng trẳnh dÔng f(x+a) +
2f(x) = g(x) (2.2.16)
vỵi
g(x+a) + α
2g(x) = (2.2.17)
T÷ìng tü c¡ch gi£i b i to¡n 2.1 ta ÷đc nghi»m cõa (2.2.17) l g(x) = − α
2
xa
h(x),
trong â h(x) l hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký |a| trản D thay vo phữỡng trẳnh (2.2.16) ta cõ
f(x+a)(
2)f(x) = (−
α
2) x ah(x),
⇔ f(x+a)
(−α
2) x a
− − α
2
f(x)
(−α
2) x a
= h(x)
⇔ f(x+a)
(−α
2) x+a
a
− f(x)
(−α
2) x a
= h(x)
−α
2
(2.2.18)
°t
f(x) (−α2)xa
= I1(x); h(x)
−α2 = h1(x),
phữỡng trẳnh (2.2.18) tr thnh
I1(x+a)I1(x) =h1(x),
trong õ h1(x) l hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký |a| trản D tữỡng tỹ cĂch giÊi bi toĂn 2.2 (i) ta ÷đc
I1(x) = k1(x) +
xh1(x)
a = k1(x)−
2xh(x)
(21)Vªy f(x) = − α
2
xah
k1(x)−
2xh(x)
αa
i
,
trong õ k1(x) l hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký |a| trản D b4) Trữớng hủp 26= >
B i to¡n quy v· vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh f(x+a) + α
2f(x) = g(x) (2.2.19)
vỵi
g(x+a) + α
2g(x) = 0, (2.2.20)
t÷ìng tü vi»c gi£i b i to¡n 2.1 ta câ nghiằm phữỡng trẳnh (2.2.20) l g(x) =
2
xa
h(x) thay v o (2.2.19) ta ÷đc
f(x+a) + α
2f(x) =
α
2
xa
h(x)
⇔ f(x+a)
α
2
xa +
α
2
f(x)
α
2
xa = h(x)
⇔ f(x+a)
α
2
x+aa +
f(x)
α
2
xa =
h(x) α
2
°t
f(x)
α
2
xa = I2(x);
2h(x)
α = h2(x)
vỵi h2(x+ a) =−h2(x), â ta câ
I2(x+a) +I2(x) =h2(x) T÷ìng tü c¡ch gi£i b i to¡n 2.5 (i)ta câ
I2(x) = k(x)− (x−a)h2(x)
a = k(x)−
2(x−a)h(x)
αa
=
h
k2(x)−k2(x+a)
i
− (x−a)[h3(x)−h3(x+a)]
(22)trong õ k2(x), h3(x) l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký 2|a| trản D Vêy
f(x) =
xa
1
h
k2(x)−k2(x+a)
i
− (x−a)[h3(x)−h3(x+a)]
αa
c) Tr÷íng hđp <
Ph÷ìng trẳnh (2.2.7) cõ hai nghiằm phực liản hủp1, C; λ1 = λ2, â °tλ1 = p−iq, λ2 = p+iqsuy ra|λ0|= |λ1| = |λ2|pp2 +q2, argλ2 = ϕ = arg1, tg = q
p Bián ời tữỡng tü nh÷ tr÷íng hđp > ta ÷đc g1(x+a) =λ2g1(x)
vỵi g1(x) = f(x+a)−λ1f(x), suy g1 : D → C,
ta câ
g1(x+a) =elnλ2g1(x) ⇔
g1(x+ a) exalnλ2
= elnλ2.g1(x) exalnλ2
⇔ g1(x+ a)
ex+aa lnλ2
= g1(x)
exalnλ2
⇔ g1(x+a)
ex+aa lnλ2
= g1(x)
exalnλ2
°t
g1(x) exalnλ2
= h1(x), (2.2.21)
ta câ h1(x+a) = h1(x)
êi vai trỏ cừa 1, v bián ời tữỡng tỹ nhữ trản ta ữủc h2(x+a) = h2(x),
vợi
g2(x) exalnλ1
= h2(x) (2.2.22)
Tø (2.2.21) v (2.2.22) ta câ
g1(x) =e
x
alnλ2h1(x),
g2(x) =e
x
(23)Ta chùng minh h1(x) = h2(x)
Thêt vêy, trữợc hát ta chựng minh g1(x) = g2(x)
Ta câ g1(x) =f(x+a)−λ1f(x), l§y x0 b§t ký,x0 ∈ D, g1(x0) =f(x0 +a)−λ1f(x0)
= f(x0 +a)−λ1f(x0) = f(x0 +a)2f(x0) = g2(x0), vẳ x0 bĐt ký nản x R ta ữủc
g1(x) =g2(x) (2.2.23) Tiáp theo ta chùng minh exalnλ2 = e
x alnλ1
Thªt vªy exalnλ2 = e
x
a(ln|λ2|+iargλ2+2kπi) = exaln|λ2|.eiarrgλ2
x aei2kπ
x a
= exaln|λ2|
cosϕx
a +isin ϕx
a
cos2kπx
a +isin
2kπx a
= exaln|λ2|
cos ϕx
a +isin ϕx
a
cos2kπx
a +isin
2kπx a
= exaln|λ2|
cosϕx
a −isin ϕx
a
cos2kπx
a −isin
2kπx a
= exaln|λ2|
cos −ϕx a
+isin
−ϕx a cos
−2kπx
a
+isin
−2kπx
a
= exaln|λ2|ei(− ϕx
a )ei(− 2kπx
x )
= exaln|λ1|ei argλ1x
a ei 2k0πx
a = exa(ln|λ1|+iargλ1+2k
0πi)
= exalnλ1, (2.2.24)
ð ¥y argλ1 = −ϕ; argλ2 = ϕ; −k = k0 Tø (2.2.23) v (2.2.24) ta ÷đc
hg1(x)
exalnλ1
i
= g2(x)
exalnλ1 ⇔ h1(x) = h2(x)
V¼ h1 : D → C; h2 : D →C v h1(x) =h2(x)
n¶n ta °t h1(x) =m(x) +in(x) â h2(x) =m(x)−in(x),
trong õ
(24)Quay tr lÔi bi to¡n ban ¦u ta câ
f(x+ a)−λ1f(x) =exalnλ2h1(x),
f(x+ a)−λ2f(x) =exalnλ1h2(x);
trø tữỡng ựng cừa hằ trản cho ta ữủc f(x) =
λ2 −λ1
h
exalnλ2h
1(x)−e
x alnλ1h
2(x)
i
=
λ2 −λ1
h
exalnλ2h
1(x)−e
x
alnλ2h2(x)
i
=
λ2 −λ1
h
exa(ln|λ2|+iargλ2+2kπi)h
1(x)−e
x
a(ln|λ2|+iargλ2+2kπi)h2(x)
i
V¼ h m exalnλ2 l h m a trà, ta s³ chån mët nh¡nh li¶n tưc bơng cĂch
chồn k = 0, nản ta cõ
f(x) =
λ2 −λ1
h
exa(ln|λ2|+iargλ2)h1(x)−exa(ln|λ2|+iargλ2)h2(x)
i
=
λ2 −λ1
h
exaln|λ2|
cos ϕx
a +isin ϕx
a
h1(x)
−exaln|λ2|
cos ϕx
a −isin ϕx
a
h2(x)
i
= e x aln|λ0|
2iq
h
cosϕx
a h1(x)−h2(x)
+isinϕx
a h1(x) + h2(x)
i
= e x aln|λ0|
2iq
h
2icos ϕx
a n(x) + 2isin ϕx
a m(x)
i
= e x aln|λ0|
q
h
cosϕx
a n(x) + sin ϕx
a m(x)
i
= |λ0| x a
q
h
cos ϕx
a n(x) + sin ϕx
a m(x)
i
,
trong â c¡c h m n(x) v m(x) l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký
|a| trản D Kát luên a) >
+ Náu > v > thẳ
f(x) = [λxah
1(x)−λ
x a
(25)trong â h1(x), h2(x) l c¡c hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký |a| trản D + Náu < v < thẳ
f(x) = 2(λ2 −λ1)
h |λ2|
x a[k
1(x)−k1(x+a)]−
1 2|λ1|
x a[k
2(x)−k2(x+a)]
i
;
trong â k1(x), k2(x) l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký |a| trản D + Náu > v < th¼
f(x) =
λ2 −λ1
h1
2|λ2| x a[k
1(x)−k1(x+a)]−λ
x a
1h2(x)
i
,
trong â k1(x), h2(x) l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký |a| trản D b) =
+Trữớng hñp α = −2
f(x) =h(x) + xg(x)
a ,
trong â h(x), g(x) l c¡c h m tuƯn hon cởng tẵnh chu ký |a| trản D +Trữớng hñp α =
f(x) =
2[g1(x)−g1(x+a)]−
(x−a) [h1(x)−h1(x+a)]
2a ,
trong â g1(x), h1(x) l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký 2|a| trản D + Trữớng hủp 6= <
f(x) =
− α
2
xah
k1(x)−
2xh(x)
αa
i
,
trong â k1(x), h(x) l c¡c hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký |a| trản D + Tr÷íng hđp 26= α >0
f(x) = α
xa
1
h
k2(x)−k2(x+a)
i
− (x−a)[h3(x)−h3(x+a)]
αa
, â k2(x), h3(x) l c¡c h m tu¦n ho n cởng tẵnh chu ký 2|a| trản D c) <
f(x) = |λ0| x a
q
h
cosϕx
a n(x) + sin ϕx
a m(x)
i
,
trong â m(x), n(x) l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký |a| tr¶n D v λ1 = p−iq; λ2 = p+iq l nghiằm cừa phữỡng trẳnh c trững,
(26)2.3 Phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc hai khổng thuƯn nhĐt vợi dch chuyn tnh tián
2.3.1 B i to¡n
Cho a ∈ R∗;α, β ∈ R;β 6= 0, têp D thọa mÂn iÃu kiằn: D R,∀x ∈ D ⇒ x±a ∈ D v h m g(x) xĂc nh trản D Tẳm tĐt cÊ cĂc hm f : D → R thäa m¢n
f(x+ 2a) +αf(x+a) +f(x) = g(x), (2.3.25) (Náu hm g(x) khổng ỗng nhĐt thẳ phữỡng trẳnh (2.3.25) ữủc gồi
l phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc hai khổng thuƯn nhĐt vợi dch chuyn tnh tián.)
2.3.2 Nhên xt
a) Nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.3.25) l f(x) = fe(x)+f(x), õ fe(x)
l nghiằm cừa phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc hai thuƯn nhĐt,f(x) l
mởt nghiằm no õ (cỏn gồi l nghiằm riảng) cừa phữỡng trẳnh (2.3.25) b) Náu vợi mội i = 1, n fi(x) l mởt nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh
f(x+ 2a) +αf(x+a) + βf(x) =gi(x)
th¼ Pn
i=1
fi(x) l mởt nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh
f(x+ 2a) + αf(x+a) +βf(x) = n
X
i=1
gi(x) (2.3.26)
Tứ nhên xt trản ta rút phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh (2.3.25) nhữ sau:
+ Bữợc 1: Tẳm fe(x)
+ Bữợc 2: T¼m f∗(x)
(27)2.3.3 Mët sè b i toĂn v phữỡng phĂp tẳm nghiằm riảng
Bi toĂn 2.5 Tẳm nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh
f(x+ 2a) +αf(x+a) +βf(x) = b, (2.3.27) â a, β ∈ R∗, b, α ∈ R, b 6= 0, tªp D thäa m¢n:
D ⊆ R,∀x ∈ D ⇒x±a ∈ D, f : D → R Líi gi£i
a) Vợi + + 16=
Ta tẳm nghiằm riảng cừa (2.3.27) cõ dÔng f(x) = c Thay f∗(x) = c v o (2.3.27) ta ÷đc
c+αc+βc = b ⇔c = b +α+β Vªy f∗(x) = b
1 +α +β
b) Vỵi α+β + = v α 6= −2
Ta t¼m mët nghiằm riảng cừa (2.3.27) cõ dÔng f(x) = cx Thay v o (2.3.27) ta ÷đc
c(x+ 2a) +αc(x+a) + βc(x) =b ⇔ c = b
a(α + 2)
Vêy f(x) = bx
a(+ 2)
c) Vợi α+ β + = v α = −2 Phữỡng trẳnh (2.3.27) tr thnh f(x+ 2a)2f(x+ a) +f(x) =b
Ta tẳm mởt nghiằm riảng cừa (2.3.27) cõ dÔng f∗(x) = cx2 Thay v o (2.3.27) ta ÷đc
c(x+ 2a)2 −2c(x+a)2 −cx = b ⇔c = b 2a2 Vªy f∗(x) = bx
2
(28)+ Náu + + 6= thẳ f(x) = b
α+β +
+ N¸u α +β + = v α 6= −2 th¼ f∗(x) = bx
a(α+ 2)
+ N¸u α +β + = v α = −2 th¼ f∗(x) = bx
2
2a2 B i to¡n 2.6 T¼m nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh
f(x+ 2a) +f(x+a) + βf(x) =h(x), (2.3.28) â a, β ∈ R∗, α R v h(x) l hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký |a|
trản D R cho trữợc, f : D →R
Líi gi£i
a) Tr÷íng hủp ++ 6=
Ta tẳm nghiằm riảng cừa (2.3.28) cõ dÔngf(x) =ch(x), thay vo (2.3.28)ta
ữủc
ch(x) +αch(x) +βch(x) ≡ h(x) ⇔ ch(x)(1 +α+β) ≡h(x) (2.3.29)
Chån c =
1 +α+ β thẳ (2.3.29)thọa mÂn Vêy f(x) = h(x)
1 + +β
b) Tr÷íng hđp +α+β = v 6=
Ta tẳm nghiằm riảng cừa (2.3.28) cõ dÔng f(x) =cxh(x)thay vo(2.3.28)
ta ữủc
c(x+ 2a)h(x)(1 +)c(x+a)h(x) +cxh(x) h(x), muốn vêy, ta cƯn cõ
c(x+ 2a)−(1 +β)c(x+ a) +βcx = ⇔ac−caβ = ⇔c =
a(1−β)
Vªy f∗(x) = xh(x)
a(1−β)
c) Tr÷íng hđp +α +β = v =
Phữỡng trẳnh (2.3.28) tr thnh
(29)Ta tẳm nghiằm riảng cừa (2.3.30) cõ dÔng f(x) = cx2h(x) thay vo
(2.3.30) ta ữủc
c(x+ 2a)2h(x)2(x+a)2h(x) +cx2h(x) h(x), muốn vêy, ta c¦n câ
c(x+ 2a)2 −2(x+a)2 +cx2 = ⇔2a2c = ⇔ c = 2a2 Vªy f∗(x) = x
2h(x)
2a2 Kát luên
+ Náu ++ 6= thẳ f(x) = h(x) +α+ β
+ N¸u +α+β = v β 6= th¼ f∗(x) = xh(x)
a(1−β)
+ N¸u +α+β = v β = th¼ f∗(x) = x
2h(x)
2a2 Bi toĂn 2.7 Tẳm nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh
f(x+ 2a) +αf(x+a) + βf(x) =h(x), (2.3.31) â a, β ∈ R∗, α ∈ R v h(x) l h m phÊn tuƯn hon cởng tẵnh chu
ký |a|) trản D R cho trữợc, f : D R
Líi gi£i
a) Tr÷íng hđp 1−α+β 6=
T÷ìng tü c¡ch gi£i b i to¡n 2.8(a) ta ÷đc f∗(x) = h(x)
1−α+β,
trong â g(x) l h m tuƯn hon cởng tẵnh chu ký 2|a| trản D b) Tr÷íng hđp 1−α+ β = v β 6=
T÷ìng tü c¡ch gi£i b i to¡n 2.8(b) ta ÷đc f∗(x) = xh(x)
(30)trong â g(x) l hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký 2|a| trản D c) Tr÷íng hđp 1−α+β = v β =
T÷ìng tü c¡ch gi£i b i to¡n 2.8(c) ta ÷ñc f∗(x) = x
2h(x)
2a2 ,
trong õ g(x) l hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký 2|a| trản D Kát luên
+ Náu +β 6= th¼ f∗(x) = h(x) 1−α+β
+ Náu + = v = 16 thẳ f∗(x) = xh(x)
a(1−β)
+ N¸u 1−α +β = v β = th¼ f∗(x) = x22ha(2x)
2.4 Mët sè v½ dư ¡p dưng
V½ dử 2.1 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm f : R R thäa m¢n i·u ki»n
a) f(x+ 2)−8f(x+ 1) + 15f(x) = 16,∀x ∈ R
b) f(x−4) + 3f(x−2)−4f(x) = 9,∀x ∈ R
c) f(x+ 10)−2f(x+ 5) +f(x) = 8,∀x ∈ R
Líi gi£i
a) + Bữợc 1: Ta tẳm nghiằm fe(x) cừa phữỡng trẳnh
f(x+ 2)−8f(x+ 1) + 15f(x) =
Ph÷ìng tr¼nhλ2−8λ+15 = câ∆ = > 0,hai nghi»m l λ1 = 5, λ2 = p dưng cỉng thùc nghiằm trữớng hủp > 0cừa phữỡng trẳnh hm dÔng
sai phƠn bêc hai thuƯn nhĐt ta ữủc fe(x) =
1
5xh2(x)−3xh1(x)
, â h1(x), h2(x) l c¡c h m tu¦n ho n cởng tẵnh chu ký trản R + Bữợc 2: Vẳ + + = 6= nản ta cõ f(x) =
+ Bữợc 3: Vêy f(x) =
5xh1(x)−3xh2(x)
+
(31)Phữỡng trẳnh c trững λ2 + 3λ −4 = câ ∆ > 0, hai nghi»m l λ1 =
1, λ2 = −4 p dưng cỉng thùc nghi»m tr÷íng hđp ∆ > 0, λ1 > v λ2 < cõa b i to¡n 2.4 ta ÷đc
e
f(x) =−1
5
4xa [k
1(x)−k1(x−2)]
−h2(x) ,
trong â k1(x) ,h2(x) l c¡c h m tuƯn hon cởng tẵnh chu ký lƯn lữủt l
4; trản R
+ Bữợc 2: Vẳ + α + β = v α = 6= −2 n¶n f∗(x) = −9x
10 l mët
nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh  cho + Bữợc 3: Vªy
f(x) = −1
5
4xa [k
1(x)−k1(x−2)]
−h2(x) −
9x
10
c) Bữợc 1: Ta tẳm nghi»m fe(x) cõa f(x+ 10)−2f(x+ 5) +f(x) =
Phữỡng trẳnh c trững 2 + = câ ∆ = v α = −2 p döng
cỉng thùc nghi»m tr÷íng hđp ∆ = v α = −2 cõa b i to¡n 2.4 ta ÷đc
e
f(x) =h(x) + xg(x) ,
trong õ h(x), g(x) l hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký trản R
+ Bữợc 2: Vẳ +α + β = v α = −2 n¶n fe(x) =
4x2
25 l mët nghi»m
riảng cừa phữỡng trẳnh  cho + Bữợc 3: Vêy f(x) = h(x) + xg(x)
5 +
4x2
25
Vẵ dử 2.2 Tẳm tĐt cÊ c¡c h m f : R →R thäa m¢n
f(x+ 2)−6f(x+ 1) + 9f(x) = sin(πx) + cos(2πx),∀x ∈ R
Lới giÊi
+ Bữợc 1: Ta tẳm nghiằm fe(x) cõa
f(x+ 2)−6f(x+ 1) + 9f(x) =
Phữỡng trẳnh c trững + = câ ∆ = nghi»m k²p l λ1 =
(32)−26= α < cõa b i to¡n 2.4 ta ÷đc
e
f(x) = 3x
k1(x) +
xh(x)
,
trong â k1(x), h1(x) l h m tu¦n hon cởng tẵnh chu ký trản R + Bữợc 2: Ta tẳm nghiằm riảng f1(x) cừa phữỡng trẳnh
f(x+ 2)−6f(x+ 1) + 9f(x) = sin(πx)
Ta câ sinπ(x + 1) = sin(πx + π) = −sin(πx) suy h(x) = sin(πx) l
h m ph£n tu¦n ho n cởng tẵnh chu ký trản R
Mt khĂc 1−α+ β = 16 6= n¶n f1∗(x) = sin(x) 16
Ta tẳm nghiằm riảng f2(x) cừa phữỡng trẳnh
f(x+ 2)6f(x+ 1) + 9f(x) = cos(2x) Ta câ cos(2π(x+ 1)) = cos(2πx+ 2π) = cos(2πx)
suy g(x) = cos(2πx) l h m tu¦n ho n cëng tẵnh chu ký trản R
Mt khĂc, +α+β = 6= n¶n f2∗(x) = cos (2πx)
4
Theo nhªn x²t ta câ
f∗(x) = f1∗(x) +f2∗(x) = sin(πx) 16 +
cos (2x)
4
+ Bữợc 3: Vêy
f(x) = 3x
k1(x) +
xh(x)
+ sin(πx) 16 +
cos (2πx)
4
V½ dư 2.3 Cho D = R\
k
2 |k ∈ Z
Tẳm tĐt cÊ cĂc hm f : D → R
thäa m¢n
f(x−2) +f(x−1) +f(x) = tg(πx) + cotg(πx),∀x ∈ D
Líi gi£i
+ Bữợc 1:Ta tẳm nghiằmfe(x)cừa phữỡng trẳnhf(x2)+f(x1)+f(x) =
(33)Phữỡng trẳnh c trững + + = câ ∆ < 0, hai nghi»m phùc l
λ1 = −
1 −
√
3
2 i, λ2 = − +
√
3
2 i suy
r = |λ0| = |λ1| = |λ2| = 1, q =
√
3 , ϕ =
2π
3
p döng cỉng thùc nghi»m tr÷íng hđp ∆ < cõa b i to¡n 2.4 ta ÷đc
e
f(x) =
√
3
n(x) cos
−2πx
3
+m(x) sin
−2πx
3
,
trong â m(x), n(x) l c¡c h m tu¦n hon cởng tẵnh chu ký trản R
+ Bữợc 2: Ta tẳm nghiằm riảng f1(x) cừa phữỡng trẳnh
f(x−2) +f(x−1) +f(x) = tg(πx)
Ta câ tg(π(x−1)) = tg(πx−π) = tg(πx) suy h(x) = tg(πx) l hm
tuƯn hon cởng tẵnh chu ký trản D
M°t kh¡c +α +β = 6= nản f1(x) = tg(x)
Tữỡng tỹ ta tẳm ữủc f2(x) = cotg(x)
3
Theo nhªn x²t ta câ f∗(x) = f1∗(x) +f2∗(x) = tg(x) +cotg(x)
3
+ Bữợc 3: Vêy f(x) =
√
3
n(x) cos
−2πx
3
+m(x) sin
−2πx
3
+ tg(πx) +cotg(πx)
(34)Chữỡng 3
Phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn vợi dch chuyn ỗng dÔng
Trong chữỡng ny ta giÊi cĂc bi toĂn và phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc nhĐt v dÔng sai phƠn bêc hai (thuƯn nhĐt v khổng thuƯn nhĐt) vợi dch chuyn ỗng dÔng Trong õ viằc giÊi phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc hai ữủc ữa và giÊi phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc nhĐt
3.1 Phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc nhĐt vợi dch chuyn ỗng dÔng
Bi to¡n 3.1 Cho c¡c sè a ∈ R\{0,1,−1}, β ∈ R v têp D thọa mÂn iÃu kiằn: D R∗,∀x ∈ D ⇒ a±1x ∈ D T¼m c¡c h m f : D → R tho£
m¢n i·u ki»n
f(ax) +βf(x) = 0,∀x ∈ D (3.1.1) Líi gi£i
t f(x) =|x|log|a|||h(x),
phữỡng trẳnh (3.1.1) tr thnh
(35)Ta x²t c¡c tr÷íng hđp sau: + Vỵi β < v a > ta câ
h(ax) = h(x) ⇔ h(x) =
h1(loga|x|) x < 0,
h2(logax) x > 0;
trong â h1(t), h2(t) l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký trản D + vợi < 0, a <0 ta câ
h(ax) =h(x)
⇔h(x) =
g(x) +g(ax), â
g(x) =
h3(12 log|a||x|) x < 0,
h4(12 log|a|x) x > 0;
trong õ h3(t), h4(t) l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký trản D + Vợi > 0, a6= ta ÷đc
h(ax) = −h(x)
⇔h(x) =
g(x)−g(ax)
g(x) =
h1(12 log|a||x|) x <
h2(12 log|a|x) x >
trong â h1(t), h2(t) l c¡c h m tu¦n ho n cëng tẵnh chu ký trản D Vêy:
+ Náu β < v a > th¼
f(x) =
|x|loga|β|h
1(loga|x|) x < 0,
xloga|β|h
(36)+ Náu < v a < thẳ
f(x) =
1 2|x|
log|a||β|hh
3(12 log|a||x|) +h3(12 log|a|ax)
i
khi x < 0,
1 2x
log|a||β|hh
4(12 log|a|x) +h4(12 log|a||ax|)
i
khi x > + Náu > thẳ
f(x) =
1 2|x|
log|a|βh
h1(12 log|a||x|)−h1(12 log|a||ax|)
i
khi x < 0,
1 2x
log|a|β
h
h2(12 log|a|x)−h2(12 log|a||ax|)] x < Trong â ki(t), hi(t), i = 1,4 l c¡c hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký
trản D
B i to¡n 3.2 Cho a ∈ R\{0,−1,1}, β 6= 0v h(x) l mởt hm tuƯn hon
nhƠn tẵnh chu ký a trản D R XĂc nh t§t c£ c¡c h m f : D →
R
thäa m¢n
f(ax) + βf(x) =h(x) (3.1.2) Líi giÊi
i) Vợi =
Phữỡng trẳnh (3.1.2) trð th nh
f(ax)−f(x) = h(x),∀x ∈ D (3.1.3) Vẳ h(x) l hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký a n¶n
h(x) = ln|ax|h(ax) ln|a| −
ln|x|h(x) ln|a|
°t g(x) = f(x)− ln|x|h(x)
ln|a| , phữỡng trẳnh (3.1.3) tr thnh
(37)Ta câ nghi»m cõa (3.1.4) l : +Vỵi a > ta câ
g(x) =
g1(loga|x|) ]x < 0,
g2(logax) ]x > 0;
trong â g1(t), g2(t) l c¡c h m tu¦n hon cởng tẵnh chu ký trản D + Vợi a < ta câ
g(x) =
1
g3(12 log|a||x|) +g3(12 log|a|ax)
khi x < 0,
1
g4(12 log|a|x) +g4(12 log|a||ax|)
khi x > 0;
trong â g3(t), g4(t) l c¡c h m tu¦n ho n cëng tẵnh chu ký trản D Vêy:
+ Náu a > th¼
f(x) =
g1(loga|x|) + lnx
lnah1(loga|x|) x < 0, g2(logax) +
lnx
lnah2(logax) x > + Náu a < thẳ
f(x) =
A(x) x < 0, B(x) x > 0;
trong â
A(x) =
h
g3(
1
2log|a||x|) +g3(
2log|a|ax)
i
+ ln|x| lna h(x)
B(x) =
h
g4(1
2log|a|x+g4(
2log|a||ax|)
i
+ lnx lnah(x)
Trong â gi(t), hi(t), i = 1,4 l c¡c h m tu¦n ho n cëng tẵnh chu ký
trản D
ii) Vợi β 6= −1
(38)V¼ h(x) l hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký a nản h(x) = h(ax)
β+ +β
h(x)
β +
°t g(x) = f(x)− h(x)
b+ phữỡng trẳnh(3.1.2) tr thnh
g(ax) = bg(x), (3.1.5) Theo bi toĂn 3.1 ta cõ nghiằm cừa phữỡng trẳnh (3.1.5) l :
+ N¸u β < v a > th¼
g(x) =
|x|log|a||β|g
1(loga|x|) x < 0,
xlog|a||β|g
2(logax) x > 0;
trong â g1(t), g2(t) l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký trản D + Náu < v a < th¼
g(x) =
1 2|x|
log|a||β|
g3(12 log|a||x|) +g3(12 log|a|ax) x < 0,
1 2x
log|a||β|g4(1
2 log|a|x) +g4(
2 log|a||ax|)
khi x > 0;
trong õ g3(t), g4(t) l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký trản D + Náu > v a 6= th¼
g(x) =
1 2|x|
log|a|β
g1(12 log|a||x|)−g1(12 log|a||ax|)
khi x < 0,
1 2x
log|a|β
g2(12 log|a|x)−g2(12 log|a||ax|)
khi x > Vªy:
+ Náu < v a > thẳ
f(x) =
h(x)
β + +|x|
log|a||β|g
1(loga|x|) x < 0,
h(x)
β + +x
loga|β|g
2(logax) x >
+ N¸u β < v a < th¼
f(x) =
(39)trong â
P(x) = h(x) (β + 1) +
1 2|x|
log|a||β|hg
3(
1
2log|a||x|) +g3(
2log|a|ax)
i
;
Q(x) = h(x)
β + + 2x
log|a||β|hg
4(
1
2log|a|x) +g4(
2log|a||ax|)
i
+ Náu > v a 6= thẳ
f(x) =
K(x) x < 0, H(x) x > 0;
trong â
K(x) = h(x) (β + 1) +
1 2|x|
log|a||β|hg
1(
1
2log|a||x|)−g1(
2log|a||ax|)
i
;
H(x) = h(x) (β + 1) +
1 2x
log|a||β|hg
2(
1
2log|a|x)−g2(
2log|a||ax|)
i
Trong â hi(t), gi(t), i = 1,4 l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký
tr¶n D
B i to¡n 3.3 Cho a ∈ R\{0,−1,1}, β 6= v h(x) l mët hm phÊn
tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký a trản D R XĂc nh tĐt cÊ cĂc hm
f : D →R thäa m¢n
f(ax) + βf(x) =h(x) (3.1.6) Líi gi£i
i) Vỵi β =
Phữỡng trẳnh (3.1.6) tr thnh
f(ax)f(x) = h(x) (3.1.7) Vẳ h(x) l hm phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký a nản
h(x) = h(x)
2 −
(40)°t g(x) = f(x) + h(x)
2 , phữỡng trẳnh (3.1.7) tr thnh
g(ax) = g(x) (3.1.8) Ta câ nghi»m cõa (3.1.8) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (3.1.4)
Vêy
+ Náu a > thẳ
f(x) =
g1(loga|x|)− h(x)
2 x < 0,
g2(logax)−
h(x)
2 x >
+ N¸u a < th¼
f(x) =
M(x) x < 0, N(x) x > 0;
trong â
M(x) =
h
g3(
1
2log|a||x|) +g3(
2log|a|ax)
i
− h(x)
2 ;
N(x) =
h
g4(
1
2log|a|x) +g4(
2log|a||ax|)
i
− h(x)
2
Trong â gi(t), i= 1,4 l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký trản D
ii) Vợi =
Phữỡng trẳnh (3.1.6) trð th nh
f(ax) +f(x) = h(x) (3.1.9) V¼ h(x) l hm phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký a n¶n
h(x) = −ln|x|h(ax) ln|a| −
ln|xa|h(x) ln|a| ;
°t g(x) = f(x) + ln| x a|h(x)
ln|a| , â (3.1.9) trð th nh
(41)Ta cõ nghiằm cừa phữỡng trẳnh (3.1.10) l
g(x) =
1
h
p1(12 log|a||x|)−p1(12 log|a||ax|)
i
khi x < 0,
1
h
p2(12 log|a|x)−p2(12 log|a||ax|)
i
khi x > Vªy:
f(x) =
E(x) x < F(x) x > 0;
trong â
E(x) =
h
p1(
1
2log|a||x|)−p1(
2log|a||ax|)
i
− ln|
x a| ln|a|h(x);
F(x) =
h
p2(
1
2log|a|x)−p2(
2log|a||ax|)
i
− ln|
x a| ln|a|h(x)
p1(t), p2(t) l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký trản R iii) Vợi 6=
Ta tẳm nghiằm cừa phữỡng trẳnh (3.1.6)
Vẳ h(x) l hm phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký a nản h(x) = h(ax)
β −1 +b
h(x)
β −1
°t g(x) = f(x)− h(x)
β −1, ph÷ìng tr¼nh (3.1.6) trð th nh
g(ax) = −βg(x), (3.1.11) Nghi»m cừa phữỡng trẳnh (3.1.11) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (3.1.5) Vêy:
+ Náu < v a > th¼
f(x) =
h(x)
(β −1) +|x|
log|a||β|g
1(loga|x|) x < 0,
h(x)
(β −1) +x
loga|β|g
(42)+ Náu < v a < thẳ
f(x) =
C(x) x < 0, D(x) x > 0;
trong â
C(x) = h(x)
β −1 + 2|x|
log|a||β|hg
3(
1
2log|a||x|) +g3(
2log|a||ax|)
i
;
D(x) = h(x|)
β −1 + 2x
log|a||β|hg
4(
1
2log|a|x) +g4(
2log|a||ax|)
i
+ N¸u β > v a 6= th¼
f(x) =
R(x) x < 0, S(x) x > 0;
trong â
R(x) = h(x)
β −1 + 2|x|
log|a|bhg
1(
1
2log|a||x|)−g1(
2log|a||ax|)
i
;
S(x) = h(x)
β−1 + 2x
log|a|β
h
g2(
1
2log|a|x)−g2(
2log|a||ax|)
i
;
hi(t), gi(t), i= 1,4 l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký trản D
3.2 Phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc hai thuƯn nhĐt vợi dch chuyn ỗng dÔng
Bi toĂn 3.4 Cho a R\{0,1,1}; , β ∈ R, β 6= 0, tªp D ⊆ R∗
cho ∀x ∈ D ⇒ a±1x ∈ D Tẳm tĐt cÊ cĂc hm f : D R tho£ m¢n i·u
ki»n
(43)Líi giÊi
Xt phữỡng trẳnh
2 ++ = (3.2.13)
(phữỡng trẳnh (3.2.13) ữủc gồi l phữỡng trẳnh °c tr÷ng cõa (3.2.12)), câ ∆ = α2 −4β
Ta x²t c¡c tr÷íng hđp sau: a) Tr÷íng hđp >
Phữỡng trẳnh c trững cõ nghiằm thỹc 6= 2, khổng mĐt tẵnh tờng quĂt giÊ sỷ > 2,
Ăp dửng nh lỵ Viete ta câ
λ1 +λ2 = −α λ1 +λ2 = β
, thay v o (3.2.12) ta ÷đc
f(a2x)−(λ1 +λ2)f(ax) +λ1λ2f(x) =
⇔ f(a2x)−λ1f(ax)−λ2[f(ax)−λ1f(x)] = (3.2.14) °t g1(x) =f(ax)−λ1f(x), ph÷ìng trẳnh (3.2.14) tr thnh
g1(ax)2g1(x) = Tữỡng tỹ cĂch giÊi bi toĂn 3.1 ta ữủc:
+ Vợi λ2 > v a > ta câ
g1(x) =
|x|log|a|λ2h1(log
a|x|) x < 0,
xlog|a|λ2h2(log
ax) x > 0;
⇔ f(ax)−λ1f(x) =
|x|log|a|λ2h
1(loga|x|) x < 0,
xlogaλ2h2(logax) x >
(3.2.15) + Vỵi λ2 > v a < ta câ
g1(x) =
1 2|x|
log|a|λ2h
3(12 loga|x|) +h3(12logaax)
khi x < 0,
1 2x
log|a|λ2h
4(12 logax) +h4(12loga|ax|)
(44)
⇔ f(ax)−λ1f(x) = 2|x|
log|a|λ2h3(1
2loga|x|) +h3(
2 logaax)
khi x < 0,
1 2x
log|a|λ2h
4(12logax) +h4(12 loga|ax|)
khi x > (3.2.16) +Vỵi λ2 < ta câ
g1(x) =
2|x|
log|a||λ2|h
1(12 loga|x|)−h1(12 loga|ax|)
khi x < 0,
1 2x
log|a||λ2|h
2(12 logax)−h2(12 loga|ax|)
khi x > 0;
⇔ f(ax)−λ1f(x) =
2|x|
log|a||λ2|h1(1
2 loga|x|)−h1(12 loga|ax|)
khi x < 0,
1 2x
log|a||λ2|h2(1
2 logax)−h2(
2 loga|ax|)
khi x > (3.2.17) Trong â h1(t), h2(t), h3(t), h4(t) l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký
1 tr¶n D
êi vai trá λ2 cho λ1 v bián ời tữỡng tỹ ta ữủc: + Vợi > v a > ta câ
f(ax)−λ2f(x) =
|x|logaλ1k
1(loga|x|) x < 0,
xlogaλ1k
2(logax) x >
(3.2.18)
+ Vỵi λ1 > v a < ta câ
f(ax)−λ2f(x) =
2|x|
log|a|λ1k
3(12 log|a||x|) + k3(12 log|a||ax|)
khi x < 0,
1 2x
log|a|λ1k4(1
2 log|a|x) + k4(
2 log|a||ax|)
khi x > (3.2.19) +Vỵi λ1 < ta câ
f(ax)−λ2f(x) =
2|x|
log|a||λ1|k1(1
2 log|a||x|)−k1(
2 log|a||ax|)
khi x < 0,
1 2x
log|a||λ1|k
2(12 log|a|x)−k2(12 log|a||ax|)
(45)
+ N¸u λ1 > 0, λ2 > v a > th¼ trø (3.2.15) cho (3.2.18) ta ÷ñc f(x) =
λ2 −λ1
h
|x|logaλ2h
1(loga|x|)− |x|logaλ1k1(loga|x|)
i
khi x < 0,
1
λ2 −λ1
h
|x|logaλ2h
2(logax)−xlogaλ1k2(logax)
i
khi x >
+ N¸u λ1 > 0, λ2 > v a < thẳ trứ (3.2.16) cho (3.2.19) ta ữủc f(x) =
A1(x) x < 0, A2(x) x > 0;
trong â A1(x) =
1 2(λ2 −λ1)
n
|x|log|a|λ2
h
h3(12 log|a||x|) +h3(12 log|a||ax|)
i − −|x|log|a|λ1
h
k3(12log|a||x|) +k3(12 log|a|ax)
io
;
A2(x) =
1 2(λ2 −λ1)
n
xlog|a|λ2
h
h4(12 log|a|x) + h4(12 log|a||ax|)
i − −xlog|a|λ1
h
k4(12 log|a|x) +k4(12log|a||ax|)
io
+ N¸u λ1 < 0, λ2 < v a 6= th¼ trø (3.2.17) cho (3.2.20) ta ÷ñc f(x) =
B1(x) x < B2(x) x > â
B1(x) =
1 2(λ2 −λ1)
n
|x|log|a||λ2|
h
h1(12 log|a||x|)−h1(12 log|a||ax|)
i − −|x|log|a||λ1|
h
k1(12log|a||x|)−k1(12 log|a||ax|)
io
B2(x) =
2(λ2 −λ1)
n
xlog|a||λ2|
h
h2(12 log|a|x)−h2(12 log|a||ax|)
i − −xlog|a||λ1|
h
k2(12 log|a|x)−k2(12 log|a||ax|)
io
+ N¸u λ1 > 0, λ2 < v a > thẳ trứ (3.2.17) cho (3.2.18) ta ữủc f(x) =
C1(x) x < C2(x) x > â
C1(x) =
λ2 −λ1
1 2|x|
loga|λ2|
h1
1
2loga|x|
−h1
1
2loga|ax|
− − |x|logaλ1k
1(loga|x|)
(46)C2(x) =
λ2 −λ1
n1
2x
loga|λ2|
h
h2(12logax)−h2(12 logaax)
i
−xlogaλ1k2(log ax)
o
+ N¸u λ1 > 0, λ2 < v a < thẳ trứ (3.2.17) cho (3.2.19) ta ữủc
f(x) =
D1(x) x < 0, D2(x) x > 0; â
D1(x) =
1 2(λ2 −λ1)
n
|x|log|a||λ2|
h
h1(12 log|a||x|)−h1(12 log|a|ax)
i − −|x|log|a|λ1
h
k3(12 log|a||x|) +k3(12 log|a|ax)
io
;
D2(x) =
1 2(λ2 −λ1)
n
xlog|a||λ2|
h
h2(12 log|a|x)−h2(12 log|a||ax|)
i − −xlog|a|λ1
h
k4(12 log|a|x) +k4(12 log|a||ax|)
io
Trong â hi(t), ki(t)i = 1,4 l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký 1trản
D
b) Trữớng hủp =
Phữỡng trẳnh c trững cõ nghiằm kp = λ2 = −α
2 ⇒ β =
α2
4 ,
khi õ phữỡng trẳnh (3.2.12) tr th nh f(a2x) +αf(ax) + α
2
4 f(x) =
⇔ f(a2x) + α
2f(ax) +
α
2
h
f(ax) + α 2f(x)
i
= (3.2.21) °t g(x) = f(ax) +
2f(x), phữỡng trẳnh (3.2.21) tr thnh
g(ax) + α
2g(x) = (3.2.22)
T÷ìng tü c¡ch gi£i b i to¡n 3.1 ta câ g(x) =|x|
log|a|
α
2
(47)trong â
h(ax) =
h(x) n¸u α < 0,
h(x) náu > Ta xt cĂc trữớng hđp sau:
b1) Tr÷íng hđp α = −2
Bi toĂn quy và viằc giÊi phữỡng trẳnh f(ax)f(x) =g(x),
trong â g(ax) =g(x),∀x ∈ D
T÷ìng tü cĂch giÊi bi toĂn 3.2 (i) ta ữủc: + Náu a > th¼
f(x) =
g1(loga|x|) + lnx
lnah1(loga|x|) x < 0, g2(logax) +
lnx
lnah2(logax) x > + Náu a < thẳ
f(x) =
A(x) x < 0, B(x) x > 0;
trong â A(x) =
2
h
g3(
1
2log|a||x|) +g3(
2log|a|ax)
i
+ ln|x| lna2
h
h3(
1
2log|a||x|) +h3(
2log|a||ax|)
i
;
B(x) =
h
g4(1
2log|a|x+g4(
2log|a||ax|)
i
+ lnx lna2
h
h4(
1
2log|a|x) + h4(
2log|a||ax|)
i
Trong â gi(t), hi(t), i = 1,4 l c¡c h m tu¦n ho n cởng tẵnh chu ký
trản D
b2) Tr÷íng hđp α =
B i to¡n quy v· viằc giÊi phữỡng trẳnh
(48)trong õ g(ax) =−g(x),∀x ∈ D
T÷ìng tü c¡ch gi£i b i to¡n 3.3 (ii) ta ÷đc
f(x) =
E(x) x < F(x) x > 0;
trong â
E(x) =
h
p1(1
2log|a||x|)−p1(
2log|a||ax|)
i
− ln|
x a| ln|a|
h
h1(
1
2log|a||x|)−h1(
2log|a||ax|)
i
;
F(x) =
h
p2(
1
2log|a|x)−p2(
2log|a||ax|)
i
− ln|
x a| ln|a|
h
h2(
1
2log|a|x)−h2(
2log|a||ax|)
i
;
p1(t), p2(t), h1(t), h2(t) l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký trản D b3) Trữớng hủp 6= α <
B i to¡n quy v· vi»c gi£i phữỡng trẳnh f(ax)
2
f(x) = |x|log|a| −α2
h(x)
⇔ f(ax)
|x|log|a| −α2
− |a|
log|a| −α2
f(x)
|x|log|a| −α2
= h(x)
⇔ f(ax)
|ax|log|a| −α2
−
f(x)
|x|log|a| −α2
=
h(x)
−α2
°t
I1(x) =
f(x)
|x|log|a| −α2
;
h(x)
−α2 = k(x),
khi â ta câ
I1(ax)−I1(x) = k(x), (3.2.23) â k(ax) =k(x),∀x∈ D
(49)(3.2.23) l :
+ N¸u a > th¼
I1(x) =
g1(loga|x|) +
ln|x|
lna k1(loga|x|) x < 0, g2(logax) +
ln|x|
lna k2(logax) x > 0; â,
f(x) =
|x|log|a|(−α2)g
1(loga|x|)−
2 ln|x|
αlna h1(loga|x|)
khi x < 0,
|x|log|a|(−α2)g2(log
ax)−
2 lnx
αlnah2(logax)
khi x > + Náu a < thẳ
I1(x) =
A(x) x < 0, B(x) x > 0;
trong â A(x) =
2
h
g3(
1
2log|a||x|) + g3(
2log|a|ax)
i
+ ln|x| lna2
h
k3(
1
2log|a||x|) +hk(
2log|a|ax)
i
,
B(x) =
h
g4(
1
2log|a|x+g4(
2log|a||ax|)
i
+ lnx lna2
h
k4(
1
2log|a|x) + k4(
2log|a||ax|)
i
, â,
f(x) =
C(x) x < 0, D(x) x > 0;
trong â C(x) =
2
h
g3(1
2log|a||x|) +g3(
2log|a|ax)
i
+ ln|x|
αlna2
h
h3(
1
2log|a||x|) +h3(
2log|a|ax)
i
,
D(x) =
h
g4(
1
2log|a|x+g4(
2log|a||ax|)
i
− lnx
αlna2
h
h4(
1
2log|a|x) +h4(
2log|a||ax|)
i
(50)Trong â gi(t), hi(t), i = 1,4 l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký
trản D
b4) Trữớng hủp 26= >
Khi â b i to¡n quy v· vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh f(ax) + α
2f(x) = |x|
log|a|α2h(x)
⇔ f(ax) |x|log|a|α2
+|a|log|a|α2 f(x)
|x|log|a|α2
= h(x)
⇔ f(ax) |ax|log|a|α2
+ f(x)
|x|log|a|α2
= h(αx)
2
°t
I2(x) =
f(x)
|x|log|a|α2
; 2h(x)
α = k(x) suy k(ax) = −k(x) Ta câ
I2(x) +I2(x) =k(x), â k(ax) =−k(x),∀x ∈ D
T÷ìng tü c¡ch gi£i b i to¡n 3.3 (ii) ta ÷đc I2(x) =
E(x) x < 0, F(x) x > 0;
trong â E(x) =
2
h
p1(1
2log|a||x|)−p1(
2log|a||ax|)
i
− ln|
x a| ln|a|
h
k1(
1
2log|a||x|)−k1(
2log|a||ax|)
i
,
F(x) =
h
p2(
1
2log|a|x)−p2(
2log|a||ax|)
i
− ln|
x a| ln|a|
h
k2(
1
2log|a|x)−k2(
2log|a||ax|)
i
;
do â,
f(x) =
(51)trong â
G(x) = |x|log|a|α21
h
p1(
1
2log|a||x|)−p1(
2log|a||ax|)
i
− ln|
x a|
αln|a| h
h1(1
2log|a||x|)−h1(
2log|a||ax|)
i
,
H(x) =|x|log|a|α21
h
p2(1
2log|a|x)−p2(
2log|a||ax|)
i
− ln|
x a|
αln|a| h
h2(
1
2log|a|x)−h2(
2log|a||ax|)
i
;
p1(t), p2(t), h1(t), h2(t) l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký trản D c) Trữớng hủp <
Phữỡng trẳnh c trững cõ hai nghiằm phực liản hủp 1, λ2, â ta °t λ1 = p−iq; λ2 = p+iq ⇒ |λ0| = |λ1| = |λ2| =
p
p2 +q2 argλ2 = ϕ = argλ1; tgϕ=
q p Bián ời tữỡng tỹ nhữ trữớng hủp > ta ữủc
g1(ax) = 2g1(x), (3.2.24) vợi g1(x) =f(ax)−λ1f(x) suy g1 : D → C
Ta câ
g1(ax) =λ2g1(x) ⇔
g1(ax)
|x|lnλ2log|a|e = |a|
lnλ2log|a|e g1(x)
|x|lnλ2log|a|e
⇔ g1(ax) |ax|lnλ2log|a|e =
g1(x)
|x|lnλ2log|a|e (3.2.25)
°t
h1(x) =
g1(x)
|x|lnλ2log|a|e, (3.2.26)
khi â phữỡng trẳnh (3.2.25) tr thnh h1(ax) = h1(x), mt khĂc t÷ìng tü ta câ g2(ax) = λ1g2(x),
trong â g2(x) = f(ax)−λ2f(x) suy g2 : D →C Bi¸n êi t÷ìng tü nh÷ g1 ta câ
h2(x) =
g2(x)
(52)vỵi h2(ax) =h2(x)
Tø (3.2.26) v (3.2.27) ta ÷đc
g1(x) = |x|lnλ2log|a|eh1(x), g2(x) = |x|lnλ1log|a|eh2(x) Ta chùng minh h1(x) = h2(x)
Thêt vêy, trữợc hát ta chùng minh g1(x) = g2(x) Ta câ g1(x) =f(ax)−λ1f(x)
LĐy x0 bĐt ký x0 D ta ữủc
g1(x0) =f(ax0)−λ1f(x0) = f(ax0)−λ1f(x0)
= f(ax0)−λ2f(x0) = g2(x0), V¼ xo bĐt ký, xo D nản x D ta câ
g1(x) =g2(x) (3.2.28) Ti¸p theo ta chùng minh
|x|lnλ2log|a|e = |x|lnλ1log|a|e
Thªt vªy,
|x|lnλ2log|a|e = eln|x|
lnλ2log|a|e
= elnλ2log|a|eln|x|
= elog|a|eln|x|(ln|λ2|+iargλ2+2kπi) = |λ
2|
ln|x|
ln|a|eiϕ
ln|x|
ln|a|ei2kπ
ln|x|
ln|a|
= |λ2|
ln|x|
ln|a|
cos ϕln|x|
ln|a| +isin
ϕln|x|
ln|a|
cos2kπln|x|
ln|a| +isin
2kπln|x|
ln|a|
= |λ2|lnln||xa||
cos ϕln|x|
ln|a| −isin
ϕln|x|
ln|a|
cos 2kπln|x|
ln|a| −isin
2kπln|x|
ln|a|
= |λ2|
ln|x|
ln|a|
cos−ϕln|x| ln|a|
+isin−ϕln|x| ln|a|
cos−2kπln|x| ln|a|
+ +isin
−2kπln|x|
ln|a|
= |λ2|lnln||xa||e−iϕ
ln|x|
ln|a|ei2k 0ln|x|
ln|a| = |λ1|
ln|x|
ln|a|e−iϕ
ln|x|
ln|a|ei2k 0ln|x|
ln|a|
(53)trong â argλ2 = ϕ; argλ1 = −ϕ; −k = k0
Tø (3.2.28) v (3.2.29) ta suy h1(x) = h2(x)
Nhữ vêy ta s t h1(x) = m(x) +in(x) suy h2(x) = m(x)−in(x), â m(x), n(x) l cĂc hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký a trản D Tr lÔi bi toĂn ban Ưu ta cõ
f(ax)−λ1f(x) =|x|lnλ2log|a|eh1(x), f(ax)−λ2f(x) =|x|lnλ1log|a|eh2(x) trứ tữỡng ựng hai ng thực trản ta ữủc
f(x) =
λ2 −λ1
h
|x|lnλ2log|a|eh
1(x)− |x|lnλ1log|a|eh2(x)
i
=
λ2 −λ1
h
|x|lnλ2log|a|eh
1(x)− |x|lnλ2log|a|e.h2(x)
i
V¼ h m |x|lnλ1log|a|e l h m a trà, nản ta s chồn mởt nhĂnh liản tửc bơng
c¡ch chån k = 0, n¶n ta câ
f(x) = 2iq
h |λ2|
ln|x|
ln|a|
cos ϕln|x|
ln|a| +isin
ϕln|x|
ln|a|
h1(x)−
− |λ2|
ln|x|
ln|a|
cos ϕln|x|
ln|a| −isin
ϕln|x|
ln|a|
h2(x)
i
= |λ0| ln|x|
ln|a|
2iq
h
cos ϕln|x|
ln|a| (h1(x)−h2(x)) +isin
ϕln|x|
ln|a| (h1(x) +h2(x)) i
= |λ0| ln|x|
ln|a|
2iq
2icos ϕln|x|
ln|a| n(x) + 2isin
ϕln|x|
ln|a| m(x)
= |λ0| ln|x|
ln|a|
q
cosϕln|x|
ln|a| n(x) + sin
ϕln|x|
ln|a| m(x)
,
trong õ m(x), n(x) l cĂc hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký a trản D Vêy:
+ Náu a > th¼
f(x) =
|λ0|lnln|xa| q
cos ϕlnlna|x|n1(loga|x|) + sinϕlnlna|x|m1(loga|x|)
khi x < 0,
|λ0|lnlnxa q
cos ϕlnlnaxn2(logax) + sin ϕlnx
lna m2(logax)
(54)
+Náu a < thẳ
f(x) =
A1(x) x < 0, A2(x) x > 0; â
A1 =
|λ0|
ln|x|
ln|a|
2q
cos ϕln|x| ln|a|
n3(
1
2log|a||x|) + n3(
1
2log|a|ax)
+ sinϕln|x| ln|a|
m3(
1
2log|a||x|) +m3(
2log|a||ax|)
;
A2 = |λ0| lnx ln|a|
2q
cosϕlnx ln|a|
n4(1
2log|a|x) + n4(
1
2log|a||ax|)
+ sinϕlnx ln|a|
m4(
1
2log|a|x) +m4(
2log|a||ax|)
Trong â ni(t), mi(t) l hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký trản D
Kát luên
a) Trữớng hủp >
+ N¸u λ1 > 0, λ2 > v a > th¼
f(x) =
λ2 −λ1
h
|x|logaλ2h
1(loga|x|)− |x|logaλ1k1(loga|x|)
i
khi x < 0,
1
λ2 −λ1
h
|x|logaλ2h
2(logax)−xlogaλ1k2(logax)
i
khi x > +N¸u λ1 > 0, λ2 > v a < th¼
f(x) =
A1(x) x < 0, A2(x) x > 0; â
A1(x) =
1 2(λ2 −λ1)
n
|x|log|a|λ2
h
h3(12 log|a||x|) +h3(12 log|a||ax|)
i − −|x|log|a|λ1
h
k3(12log|a||x|) +k3(12 log|a|ax)
io
, A2(x) =
1 2(λ2 −λ1)
n
xlog|a|λ2
h
h4(12 log|a|x) + h4(12 log|a||ax|)
i − −xlog|a|λ1
h
k4(12 log|a|x) +k4(12log|a||ax|)
(55)+ N¸u λ1 < 0, λ2 < v a 6= th¼ f(x) =
B1(x) x < 0, B2(x) x > 0; â
B1(x) =
1 2(λ2 −λ1)
n
|x|log|a||λ2|
h
h1(12 log|a||x|)−h1(12 log|a||ax|)
i − −|x|log|a||λ1|
h
k1(12log|a||x|)−k1(12 log|a||ax|)
io
, B2(x) =
2(λ2 −λ1)
n
xlog|a||λ2|
h
h2(12 log|a|x)−h2(12 log|a||ax|)
i − −xlog|a||λ1|
h
k2(12 log|a|x)−k2(12 log|a||ax|)
io
- N¸u λ1 > 0, λ2 < v a > th¼
f(x) =
C1(x) x < 0, C2(x) x > 0; â
C1(x) =
1
λ2 −λ1
n1
2x|
loga|λ2|
h
h1(
1
2loga|x|)−h1(
2loga|ax|)
i
− |x|logaλ1k1(log a|x|)
o
,
C2(x) =
1
λ2 −λ1
n1
2x
loga|λ2|hh
2(12logax)−h2(12 logaax)
i
−xlogaλ1k
2(logax)
o
+N¸u λ1 > 0, λ2 < v a < th¼
f(x) =
D1(x) x <
D2(x) x >
trong â
D1(x) = 2(λ2 −λ1)
n
|x|log|a||λ2|
h
h1(12 log|a||x|)−h1(12 log|a|ax)
i − −|x|log|a|λ1
h
k3(12log|a||x|) +k3(12 log|a|ax)
io
, D2(x) =
1 2(λ2 −λ1)
n
xlog|a||λ2|
h
h2(12 log|a|x)−h2(12 log|a||ax|)
i − −xlog|a|λ1
h
k4(12 log|a|x) +k4(12log|a||ax|)
io
Trong â hi(t), ki(t)i = 1,4 l c¡c h m tuƯn hon cởng tẵnh chu ký 1trản
(56)b) Tr÷íng hđp ∆ =
b1) Tr÷íng hủp =
+Náu a > thẳ
f(x) =
g1(loga|x|) +
ln|x|
lna h1(loga|x|) x < 0, g2(logax) +
lnx
lnah2(logax) x > + Náu a < thẳ
f(x) =
A(x) x < 0, B(x) x > 0;
trong â
A(x) =
h
g3(
1
2log|a||x|) + g3(
2log|a|ax)
i
+ ln|x| lna2
h
h3(1
2log|a||x|) +h3(
2log|a|ax)
i
B(x) =
h
g4(1
2log|a|x+ g4(
2log|a||ax|)
i
+ lnx lna2
h
h4(
1
2log|a|x) +h4(
2log|a||ax|)
i
Trong â gi(t), hi(t), i = 1,4 l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký
trản D
b2) Trữớng hủp =
f(x) =
E(x) x < 0, F(x) x > 0;
trong â
E(x) =
h
p1(
1
2log|a||x|)−p1(
2log|a||ax|)
i
− ln|
x a| ln|a|
h
h1(1
2log|a||x|)−h1(
2log|a||ax|)
i
;
F(x) =
h
p2(
1
2log|a|x)−p2(
2log|a||ax|)
i
− ln|
x a| ln|a|
h
h2(1
2log|a|x)−h2(
2log|a||ax|)
i
(57)p1(t), p2(t), h1(t), h2(t) l c¡c h m tuƯn hon cởng tẵnh chu ký trản D b3) Trữớng hủp 6= <
+Náu a > th¼
f(x) =
|x|log|a|(−α2)g1(log
a|x|)−
2 ln|x|
αlna h1(loga|x|)
khi x < 0,
|x|log|a|(−α2)g
2(logax)−
2 lnx
αlnah2(logax)
khi x > +N¸u a < th¼
f(x) =
C(x) x < 0, D(x) x > 0;
trong â
C(x) =
h
g3(
1
2log|a||x|) +g3(
2log|a||ax|)
i
+ ln|x|
αlna2
h
h3(
1
2log|a||x|) +h3(
2log|a|ax)
i
,
D(x) =
h
g4(
1
2log|a|x+g4(
2log|a||ax|)
i
− lnx
αlna2
h
h4(
1
2log|a|x) +h4(
2log|a||ax|)
i
Trong â gi(t), hi(t), i = 1,4 l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký
trản D
b4) Trữớng hủp 26= α >
f(x) =
G(x) x < 0, H(x) x > 0;
trong â
G(x) =|x|log|a|α2
(
1
h
p1(
1
2log|a||x|)−p1(
2log|a||ax|)
i
− ln|
x a|
αln|a| h
h1(
1
2log|a||x|)−h1(
2log|a||ax|)
i )
(58)H(x) =|x|log|a|α21
h
p2(
1
2log|a|x)−p2(
2log|a||ax|)
i
− ln|
x a|
αln|a| h
h2(
1
2log|a|x)−h2(
2log|a||ax|)
i
;
p1(t), p2(t), h1(t), h2(t) l c¡c h m tu¦n ho n cëng tẵnh chu ký trản D c)Trữớng hủp <
+ Náu a > thẳ
f(x) =
|λ0|lnln|xa| q
cos ϕlnlna|x|n1(loga|x|) + sinϕlnlna|x|m1(loga|x|)
khi x < 0,
|λ0| lnx lna q
cos ϕlnlnaxn2(logax) + sin ϕlnx
lna m2(logax)
khi x > + N¸u a < th¼
f(x) =
A1(x) x < 0, A2(x) x > 0; â
A1 =
|λ0|
ln|x|
ln|a|
2q
cosϕln|x| ln|a|
n3(
1
2log|a||x|) +n3(
2log|a|ax)
+ sinϕln|x| ln|a|
m3(1
2log|a||x|) +m3(
2log|a|ax)
,
A2 =
|λ0|
lnx ln|a|
2q
cosϕlnx ln|a|
n4(
1
2log|a|x) +n4(
2log|a||ax|)
+ sin ϕlnx ln|a|
m4(
1
2log|a|x) +m4(
2log|a||ax|)
Trong â mi(t), ni(t), i = 1,4 l cĂc hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký
tr¶n D
λ1 = p−iqλ2 = p+iq ⇒ |λ0|= |λ1| = |λ2| = pp2 +q2
argλ2 = ϕ= argλ1; tgϕ = q
(59)3.3 Phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc hai khổng thuƯn nhĐt vợi dch chuyn ỗng dÔng
3.3.1 Bi toĂn
Cho a ∈ R\{0,1,−1}, α, β ∈ R, β 6= 0, têp D thọa mÂn iÃu kiằn D R∗,∀x ∈ D ⇒ a±1x ∈ D v h m g(x) xĂc nh trản D Tẳm tĐt cÊ cĂc hm f : D →R thäa m¢n
f(a2x) + αf(ax) +βf(x) = g(x),∀x ∈ D (3.3.30)
3.3.2 Nhªn x²t
a) Nghiằm cừa phữỡng trẳnh (3.3.30) l f(x) = fe(x) + f∗(x), â e
f(x) l nghi»m cõa phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc hai thuƯn nhĐt
vợi dch chuyn ỗng dÔng,f(x) l mởt nghiằm no õ (cỏn gồi l nghiằm
riảng) cừa phữỡng trẳnh (3.3.30)
b) Náu vợi mội i = 1, n fi(x) l mởt nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh
f(a2x) +αf(ax) + βf(x) = gi(x)
th¼ Pn
i=1
fi(x) l mởt nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh
f(a2x) + αf(ax) +βf(x) = n
X
i=1
gi(x)
Tứ nhên xt trản ta rút phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh (3.3.30) nhữ sau:
Bữợc 1: Tẳm fe(x)
Bữợc 2: Tẳm f(x)
(60)3.3.3 Mët sè b i to¡n v ph÷ìng ph¡p tẳm nghiằm riảng
Bi toĂn 3.5 Tẳm nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh
f(a2x) +f(ax) +f(x) = b, (3.3.31) â a ∈ R\{0,1,−1}, β ∈ R∗, b, α R, b 6= 0, têp D thọa mÂn: D ⊆ R∗,∀x ∈ D ⇒ a±1x ∈ D, f : D →R
Líi gi£i
a) Vỵi +α+β 6=
Ta tẳm nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh (3.3.31) cõ dÔng f(x) = c, thay vo (3.3.31) ta ÷ñc
c+ αc+βc = b ⇔c(1 +α+β) = b
⇔c = b
1 +α+β, â f∗(x) = b
1 +α+β
b) Vỵi +α+ β = v α 6= −2
Ta t¼m mởt nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh (3.3.31) cõ dÔng f(x) =cln|x|,
thay v o (3.3.31) ta ÷đc clna2x
+αcln|ax|+ βcln|x| = b
⇔2cln|a|+cln|x|+αcln|a|+αcln|x|+βcln|x| = b
⇔c = (α+2) lnb |a| Do â
f∗(x) = bln|x|
(α + 2) ln|a| =
b
α + 2log|a|x
c) Vỵi +α+β = v =
Phữỡng trẳnh (3.3.31) tr thnh
(61)ta tẳm mởt nghiằm riảng cừa (3.3.32) cõ dÔng f(x) = c(ln|x|)2 Thay
vo 3.3.32) ta ÷đc c lna2x
2
+ αc(ln|ax|)2 + βc(ln|x|)2 = b
⇔ c(2 ln|a|+cln|x|)2 + 2c(ln|a|+ ln|x|)2 +c(ln|x|)2 = b
⇔ c = b
2(ln|a|)2 Do â
f∗(x) = b(ln|x|)
2
2 (ln|a|)2 =
b
2 log|a||x|
2
Kát luên
+ Náu +α+β 6= th¼
f∗(x) = b +α+β + N¸u +α+β = v α 6= −2 th¼
f∗(x) = b
α + 2log|a||x|
+ N¸u +α+β = v α = −2 th¼
f∗(x) = b
2 log|a||x|
2
Bi toĂn 3.6 Tẳm nghiằm riảng cừa phữỡng tr¼nh
f(a2x) +αf(ax) + βf(x) = h(x), (3.3.33) â a ∈ R\{0,1,−1}, β ∈ R∗, α∈ R v h(x) l hm tuƯn hon nhƠn
tẵnh chu ký a tr¶n D ⊆ R∗, f : D →R
Líi gi£i
i) Tr÷íng hđp +α+β 6=
Ta tẳm nghiằm riảng cừa (3.3.33) cõ dÔngf(x) =ch(x), thay v o (3.3.33)ta
÷đc
(62)Chån c =
1 ++ thẳ (3.3.33)thọa mÂn Vªy f∗(x) = h(x)
1 +α +β
ii) Tr÷íng hđp +α+β = v β 6=
Ta tẳm nghiằm riảng cừa (3.3.32) cõ dÔng f(x) =cln|x|h(x)
thay v o(3.3.32) ta ÷đc
cln|a2x|h(x)−(1 +β)cln|ax|h(x) +βcln|x|h(x) h(x) muốn vêy, ta cƯn cõ
cln|a2x| (1 +)cln|ax|+cln|x| = ⇔ln|a|c−ln|a|cβ =
⇔c =
ln|a|(1−β)
Vªy f∗(x) = ln|x|h(x) ln|a|(1−β) =
h(x)
1−β log|a||x| iii) Tr÷íng hđp +α+β = v =
Phữỡng trẳnh (3.3.32) tr thnh
f(a2x)2f(ax) +f(x) =h(x) (3.3.35) Ta tẳm nghiằm riảng cừa (3.3.34) cõ dÔng f(x) =c(ln|x|)2h(x) thay vo
(3.3.34) ta ÷đc
c(ln|a2x|)2h(x)−2c(ln|ax|)2h(x) + c(ln|x|)2h(x) ≡ h(x)
mn vªy, ta c¦n câ
c(ln|a2x|)2−2c(ln|ax|)2+c(ln|x|)2 = 1⇔ 2(ln|a|)2c = ⇔ c = 2(ln|a|)2 Vªy f∗(x) = (ln|x|)
2h(x)
2(ln|a|)2 = h(x)
2 (log|a||x|)
2. Kát luên
+ Náu ++ 6= thẳ f∗(x) = h(x) +α+ β + N¸u +α+β = v β 6= th¼ f∗(x) = h(x)
(63)+ N¸u +α+β = v β = th¼ f∗(x) = h(x)
2 (log|a||x|)
2.
Bi toĂn 3.7 Tẳm nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh
f(a2x) +f(ax) + f(x) = h(x), (3.3.36) â a ∈ R\{0,−1,1}, β ∈ R∗, α ∈ R v h(x) l h m ph£n tu¦n ho n
nhƠn tẵnh chu ký a trản D R, f : D →R
Líi gi£i
a) Tr÷íng hđp 1−α+β 6=
T÷ìng tü c¡ch gi£i b i to¡n 3.6 (i) ta ÷đc f∗(x) = h(x)
1−α+β, b) Tr÷íng hñp 1−α+ β = v β 6=
T÷ìng tü c¡ch gi£i b i to¡n 3.6 (ii) ta ÷đc f∗(x) = ln|x|h(x)
ln|a|(1−β) =
h(x)
1−β log|a||x| c) Tr÷íng hđp 1−α+β = v β =
T÷ìng tü c¡ch gi£i b i to¡n 3.9 (iii) ta ÷đc f∗(x) = (ln|x|)
2h(x)
2(ln|a|)2 = h(x)
2 log|a||x|
2
Kát luên
+ Náu + 6= thẳ
f(x) = h(x) 1−α+β + N¸u 1−α +β = v β 6= th¼
f∗(x) = h(x)
1−β log|a||x| + N¸u 1−α +β = v β = th¼
f∗(x) = h(x)
2 log|a||x|
(64)3.4 Mët sè v½ dư ¡p dưng
Vẵ dử 3.1 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm f : R∗ →R thäa m¢n i·u ki»n
a)f(4x)−8f(2x) + 15f(x) = 16,∀x ∈ R∗
b)f(9x)−10f(−3x) + 9f(x) = 7,∀x ∈ R∗
c)f(5x)−2f(√5x) +f(x) = 8,∀x ∈ R∗
Lới giÊi
a) + Bữợc 1: Phữỡng trẳnh −8λ+ 15 = câ ∆ = > 0, hai nghi»m l λ1 = 5, λ2 =
p dưng cỉng thùc nghi»m tr÷íng hđp ∆> 0, λ1 > 0, λ2 > 0v a = >
cõa b i to¡n 3.4 ta ÷đc f(x) =
1
|x|log25k
1(log2|x|)− |x|log23h1(log2|x|)
khi x < 0,
1
xlog25k
2(log2x)−xlog23h2(log2x)
khi x > 0;
g1(t), g2(t), h1(t), h2(t) l c¡c h m tu¦n ho n cëng tẵnh chu ký trản R + Bữợc 2: Vẳ +α +β = 6= n¶n f∗(x) =
+ Bữợc 3: Vêy
f(x) =
1
|x|log25k
1(log2|x|)− |x|log23h1(log2|x|)
+ x < 0,
1
xlog25k
2(log2x)−xlog23h2(log2x)
+ x > 0;
g1(t), g2(t), h1(t), h2(t) l c¡c hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký trản R b) + Bữợc 1: Ta tẳm fe(x) cừa phữỡng trẳnh
f(9x)10f(3x) + 9f(x) =
Phữỡng trẳnh c tr÷ng λ2 −10λ+ = câ ∆ > 0, hai nghi»m l λ1 =
9, λ2 = p dưng cỉng thùc nghi»m tr÷íng hđp ∆ > 0, λ1 > 0, λ2 > v a = −3< cõa b i to¡n 3.4 ta ÷đc
e
f(x) =
(
(65)trong â
A1(x) =
1 16
|x|3
k3
1
2log3|x|
+k3
1
2log3|3x|
− − h3
2log3|x|
+h3
1
2log3|3x|
,
A2(x) =
1 16
|x|3
k4
1
2log3x
+k4
1
2log33x
− − h4
2log3x
+h4
1
2log33x
;
hi(t), ki(t), i= 3,4 l c¡c h m tuƯn hon cởng tẵnh chu ký trản R
+ Bữợc 2: Vẳ + + = v α = −10 6= −2 n¶n
f∗(x) =−7
8log3|x|
+ Bữợc 3: Vêy
f(x) =
(
A1(x)− 78 log3|x|, x < A2(x)− 78 log3x, x > c) + Bữợc 1: Ta tẳm fe(x) cừa phữỡng trẳnh
f(5x)2f(5x) +f(x) =
Phữỡng trẳnh c trững + = 0, câ ∆ = hai nghi»m k²p l
λ1 = λ2 =
p döng cỉng thùc nghi»m tr÷íng hđp ∆ = 0, α = −2 v a =
p
(5) > cõa b i to¡n 3.4 ta câ
e
f(x) =
g1 log√5|x|
+ ln|x|
ln√5h1 log
√
5|x|
, x <
g2 log√5x
+ ln|x|
ln√5h2 log
√
5x
, x > + Bữợc 2: Vẳ +α +β = v α = −2 n¶n
f∗(x) = log√5|x|2
(66)+ Bữợc 3: Vêy
f(x) =
g1 log√5|x|
+ ln|x|
ln√5h1 log
√
5|x|
+ log√
5|x|
2
, x <
g2 log√5x
+ ln|x|
ln√5h2 log
√
5x
+ log√
5|x|
2
, x >
V½ dư 3.2 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm f : R R cho
f(9x) + 2f(3x) +f(x) = sin(πlog3|x|)−cos(2πlog3|x|)
Líi giÊi
+ Bữợc 1: Ta tẳm fe(x) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh
f(9x) + 2f(3x) +f(x) =
Phữỡng trẳnh c trững + + = 0, câ ∆ = hai nghi»m k²p l
λ1 = λ2 = −1 p dưng cỉng thùc nghi»m tr÷íng hđp ∆ = 0,α = v a = > cõa b i to¡n 3.4 ta câ
e
f(x) =
(
E(x), khix <
F(x), khix > 0, â
E(x) =
p1
1
2log3|x|
−p1
1
2log3|3x|
− − ln
|x|
3
2 ln
h1
1
2log3|x|
−h1
1
2log3|3x|
,
F(x) =
p2
1
2log3x
−p2
1
2log33x
− − ln
|x|
3
2 ln
h2
1
2log3x
−h2
1
2log33x
;
pi(t), hi(t), i = 1,2 l c¡c h m tu¦n hon cởng tẵnh chu ký trản R
+ Bữợc 2: Ta tẳm nghiằm riảng f1(x) cừa phữỡng trẳnh
(67)Ta câ
sin(πlog33|x|) = sin (πlog3|x|+π) =−sin(πlog3|x|),
suy h(x) = sin(πlog3|x|) l h m phÊn tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký
trản R∗, m°t kh¡c 1−α +β = v β = n¶n
f1∗(x) = sin(πlog3|x|)
2 (log3|x|)
2 Ta tẳm nghiằm riảng f2(x) cừa phữỡng tr¼nh
f(9x) + 2f(3x) +f(x) =−cos(2πlog3|x|) Ta câ
−cos(2πlog33|x|) =−cos(2πlog3|x|+ 2π) =−cos(2πlog3|x|),
suy g(x) = −cos(2πlog3|x|) l hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký trản
R∗, m°t kh¡c +α +β = 6= n¶n
f2∗(x) = −cos(2πlog3|x|)
4
+ Bữợc 3: Vêy
f(x) =
E(x) + sin(πlog3|x|)
2 (log3|x|)
2
− cos(2πlog3|x|)
4 , khix <
F(x) + sin(πlog3x)
2 (log3|x|)
2
− cos(2πlog3x)
4 , khix >
V½ dư 3.3 Cho D = R∗\{±(√7)k|k ∈ Z} Tẳm tĐt cÊ cĂc hm f : D R
sao cho
f(49x)−2√3f(7x) + 4f(x) = tg(πlog7|x|) +cotg(πlog7|x|),∀x ∈ D
Lới giÊi
+ Bữợc 1: Ta tẳm fe(x) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh
(68)Phữỡng trẳnh c trững 22p(3)+ = 0, cõ < hai nghi»m phùc l
λ1 =
√
3−i, λ2 =
√
3 +i ⇒ |λ0| = |λ1| = |λ2| = 2, q = 1, ϕ = π
6
p dưng cỉng thùc nghi»m tr÷íng hđp ∆< 0v a = > cõa b i
to¡n 3.4 ta câ
e
f(x) =
(
2lnln 7|x|P(x), x < 2lnln 7|x|Q(x), x > 0,
trong â P(x) =
cos
πln|x|
6 ln
n1(log7|x|) + sin
πln|x|
6 ln
m1(log7|x|)
,
Q(x) =
cos
πlnx
6 ln
n2(log7x) + sin
πlnx
6 ln
m2(log7x)
;
ni(t), mi(t), i = 1,2 l cĂc hm hm tuƯn hon cởng tẵnh chu ký tr¶n
R\k2 |k ∈ Z
+ Bữợc 2: Ta tẳm nghiằm riảng f1(x) cừa phữỡng trẳnh
f(49x)−2√3f(7x) + 4f(x) = tg(πlog7|x|) Ta câ
tg(πlog77|x|) =tg(πlog7|x|+ π) = tg(πlog7|x|),
suy h(x) =tg(πlog7|x|) l hm tuƯn hon nhƠn tẵnh chu ký trản D, m°t kh¡c +α+β = 5−2p(3)6= n¶n f1∗(x) = tg(πlog7|x|)
5−2√3
T÷ìng tü ta câ f2∗(x) = cotg(log7|x|) 523
+ Bữợc 3: Vêy
f(x) =
2lnln 7|x|P(x) +
tg(πlog7|x|) +cotg(πlog7|x|)
5−2√3 , x < 2lnln 7|x|Q(x) +
tg(πlog7|x|) +cotg(πlog7|x|)
5−2√3 , x >
trong â P(x) =
cos
πln|x|
6 ln
n1(log7|x|) + sin
πln|x|
6 ln
m1(log7|x|)
(69)
Q(x) =
cos
πlnx
6 ln
n2(log7x) + sin
πlnx
6 ln
m2(log7x)
(70)
Kát luên
Phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn l sỹ m rởng cừa phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh Tuy nhiản, và k thuêt bián ời hon ton khĂc v phực tÔp hỡn rĐt nhiÃu so vợi phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh
Luên vôn  giÊi quyát ữủc nhỳng vĐn à sau:
ã GiÊi quyát ữủc cĂc phữỡng trẳnh dÔng sai phƠn bêc nhĐt vợi dch
chuyn tnh tián v ỗng dÔng lm cỡ s cho viằc giÊi quyát phữỡng trẳnh hm dÔng sai phƠn bêc hai thuƯn nhĐt vợi dch chuyn tnh tián v ỗng dÔng
ã ữa mởt số quy tưc tẳm nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh hm dÔng sai
(71)T i li»u tham kh£o
[1] Nguy¹n Húu iºn (2003), Hm số vợi bián số phực, Nxb GiĂo dửc [2] Nguyạn Vôn Mêu(2003), Phữỡng trẳnh hm, Nxb GiĂo dửc
[3] Nguyạn Vôn Mêu(2004), a thực Ôi số v phƠn thực hỳu t, Nxb GiĂo dửc
[4] Nguyạn Vôn Mêu(2006), a thực Ôi số v phƠn thực hỳu t¿, Nxb Gi¡o dưc
[5] Nguy¹n Thõy Thanh v H Huy KhoĂi dch(1974), Nhêp mổn GiÊi tẵch phực, Nxb ¤i håc v Trung håc Chuy¶n nghi»p
[6] L¶ ¼nh Thành v c¡c t¡c gi£ kh¡c, Ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n v mët sè ùng dưng, Nxb Gi¡o dưc
[7] Trữỡng Vôn Thững(2003), Hm số vợi bián số phực, Nxb GiĂo dửc [8] Nguyạn Trồng TuĐn, Bi toĂn hm sè qua c¡c ký thi Olimpic, Nxb
Gi¡o döc