Stability and robust stability of singular linear difference equations

Stability and robust stability of singular linear difference equations Stability and robust stability of singular linear difference equations Stability and robust stability of singular linear difference equations luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  Trịnh Thị Thanh Huệ SĨNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHƠNG GIAN ĐÀN HỒI KHƠNG TỰ DO ĐỐI VỚI ỨNG SUẤT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  Trịnh Thị Thanh Huệ SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI KHÔNG TỰ DO ĐỐI VỚI ỨNG SUẤT Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số: 62 44 01 07 LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC Chủ tịch Hội đồng Người hướng dẫn khoa học GS TSKH Nguyễn Đơng Anh GS TS Phạm Chí Vĩnh Hà Nội - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu kết trình bày luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Trịnh Thị Thanh Huệ LỜI CẢM ƠN Luận án thực hoàn thành hướng dẫn khoa học GS TS Phạm Chí Vĩnh, người tận tình giúp đỡ tơi đường khoa học Thầy dìu dắt tơi đường làm học, tạo thử thách giúp tơi tự học hỏi, tìm tịi sáng tạo Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ sâu sắc đến Thầy Tôi muốn bày tỏ cảm ơn chân thành đến ban Giám hiệu Trường Đại học Xây dựng, ban chủ nhiệm Khoa Xây Dựng Dân dụng Công nghiệp đặc biệt thầy cô Bộ môn Cơ học lý thuyết trường Đại học Xây dựng động viên, khuyến khích,tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận án Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Bộ mơn Cơ học, Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, anh chị nhóm sermina thầy Phạm Chí Vĩnh hướng dẫn, chia sẻ kinh nghiệm, tạo môi trường nghiên cứu khoa học tốt cho thân Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình tơi ln ln giúp đỡ, động viên ủng hộ tơi suốt q trình làm luận án Nghiên cứu sinh Trịnh Thị Thanh Huệ Mục lục MỞ ĐẦU 1 TỔNG QUAN 1.1 Sóng Rayleigh tự ứng suất 1.2 Sóng Rayleigh khơng tự ứng suất 1.2.1 Sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi chịu điều kiện biên trở kháng 1.2.2 Sóng Rayleigh bán không gian quay chịu điều kiện biên trở kháng 1.2.3 Sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi phủ lớp mỏng 1.2.4 Phương pháp vectơ phân cực 1.3 Kết luận 4 7 11 11 SĨNG RAYLEIGH TRONG BÁN KHƠNG GIAN ĐÀN HỒI CHỊU ĐIỀU KIỆN BIÊN TRỞ KHÁNG 13 2.1 2.2 2.3 Hệ thức Sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi trực hướng, nén chịu điều kiện biên trở kháng 2.2.1 Các phương trình 2.2.2 Phương trình tán sắc 2.2.3 Một số trường hợp đặc biệt Sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi tạo vật liệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0, nén chịu điều kiện biên trở kháng 2.3.1 Phương trình dạng ma trận 2.3.2 Sóng Rayleigh Phát biểu Stroh 2.3.3 Phương trình tán sắc 13 17 17 19 21 23 23 26 28 2.4 2.5 2.6 2.3.4 Các trường hợp đặc biệt Sóng Rayleigh bán khơng đàn hồi trực hướng, không nén chịu điều kiện biên trở kháng 2.4.1 Các phương trình 2.4.2 Phương trình tán sắc 2.4.3 Một số trường hợp đặc biệt Sóng Rayleigh truyền bán khơng gian đàn hồi không nén được tạo vật liệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0, không nén chịu điều kiện biên trở kháng 2.5.1 Phương trình dạng ma trận 2.5.2 Sóng Rayleigh Phát biểu Stroh 2.5.3 Phương trình tán sắc 2.5.4 Các trường hợp đặc biệt Kết luận 30 34 34 36 37 39 39 42 43 45 48 SÓNG RAYLEIGH TRONG BÁN KHƠNG GIAN ĐÀN HỒI CĨ ỨNG SUẤT TRƯỚC CHỊU ĐIỀU KIỆN BIÊN TRỞ KHÁNG 50 3.1 3.2 3.3 3.4 Sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi, nén có ứng suất trước chịu điều kiện biên trở kháng 3.1.1 Các phương trình 3.1.2 Phương trình tán sắc 3.1.3 Một số trường hợp đặc biệt Sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi, khơng nén có ứng suất trước chịu điều kiện biên trở kháng 3.2.1 Các phương trình 3.2.2 Phương trình tán sắc 3.2.3 Các trường hợp đặc biệt Sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi khơng nén được, có biến dạng trước: chịu đồng thời kéo (nén) cắt, chịu điều kiện biên trở kháng 3.3.1 Các phương trình dạng ma trận 3.3.2 Sóng Rayleigh Phát biểu Stroh 3.3.3 Phương trình tán sắc 3.3.4 Các trường hợp đặc biệt Kết luận 50 50 53 55 57 57 59 62 63 63 69 71 73 76 SÓNG RAYLEIGH TRONG BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI QUAY CHỊU ĐIỀU KIỆN BIÊN TRỞ KHÁNG 77 4.1 4.2 4.3 Sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi monoclinic x3 = quay, nén chịu điều kiện biên trở kháng 77 4.1.1 Các phương trình 77 4.1.2 Sóng Rayleigh Phát biểu Stroh 80 4.1.3 Phương trình tán sắc 82 Sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi gia cố cốt sợi, không nén được, quay chịu điều kiện biên trở kháng 89 4.2.1 Các phương trình 89 4.2.2 Sóng Rayleigh Phát biểu Stroh 92 4.2.3 Phương trình tán sắc 94 Kết luận 100 SÓNG RAYLEIGH TRONG BÁN KHƠNG GIAN ĐÀN HỒI MONOCLINIC CĨ MẶT PHẲNG ĐỐI XỨNG x3 = ĐƯỢC PHỦ LỚP MỎNG 101 5.1 5.2 Sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi monoclinic có mặt phẳng đối xứng x3 = nén phủ lớp mỏng đàn hồi monoclinic có mặt phẳng đối xứng x3 = nén được102 5.1.1 Phương trình cho bán không gian lớp mỏng đàn hồi monoclinic có mặt phẳng đối xứng x3 = nén 102 5.1.2 Điều kiện biên hiệu dụng bậc hai cho lớp mỏng đàn hồi monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = nén 105 5.1.3 Sóng Rayleigh 106 5.1.4 Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc hai độ dày lớp sóng Rayleigh 108 Sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi monoclinic có mặt phẳng đối xứng x3 = không nén phủ lớp mỏng đàn hồi monoclinic có mặt phẳng đối xứng x3 = không nén 111 5.2.1 Phương trình cho bán khơng gian lớp mỏng đàn hồi monoclinic có mặt phẳng đối xứng x3 = không nén 111 5.2.2 5.3 Điều kiện biên hiệu dụng bậc hai cho lớp mỏng đàn hồi monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = không nén 5.2.3 Sóng Rayleigh 5.2.4 Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc hai độ dày lớp sóng Rayleigh Kết luận KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 114 115 117 120 121 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 123 Tài liệu tham khảo 124 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài nghiên cứu Các tốn truyền sóng mơi trường đàn hồi (xem, chẳng hạn [3], [7], [11], [26]), bật sóng mặt Rayleigh, sở lý thuyết cho nhiều ứng dụng khác khoa học cơng nghệ Sóng mặt Rayleigh truyền môi trường đàn hồi đẳng hướng nén được, mà Rayleigh [52] tìm trăm năm trước, nghiên cứu cách mạnh mẽ ứng dụng to lớn nhiều lĩnh vực khác khoa học công nghệ địa chấn học, âm học, địa lý, cơng nghệ truyền thơng khoa học vật liệu Có thể nói nghiên cứu Rayleigh sóng mặt truyền bán khơng gian đàn hồi có ảnh hưởng sâu rộng đến sống đại Nó sử dụng để nghiên cứu động đất, thiết kế mobile phone nhiều thiết bị điện tử cực nhỏ, Adams cộng [4] nhấn mạnh Đã có số lượng nghiên cứu lớn sóng mặt Rayleigh Như viết [92], Google.Scholar, cơng cụ tìm kiếm mạnh khoa học, cho triệu đường links cho yêu cầu tìm kiếm "Rayleigh waves" Kết tìm kiếm thu thật đáng kinh ngạc! Nó rằng, sóng mặt Rayleigh có vị trí cao khoa học, quan tâm lớn nhà khoa học nước Tuy nhiên, hầu hết nghiên cứu trước sóng Rayleigh, bán không gian đàn hồi giả thiết tự ứng suất Có nghiên cứu dành cho bán không gian đàn hồi không tự ứng suất Chính lý mà luận án nghiên cứu toán truyền sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi khơng tự ứng suất Mục đích luận án • Mục tiêu thứ luận án phát triển phương pháp vectơ phân cực cho trường hợp ma trận Stroh ma trận phức (được gọi "phương pháp vectơ phân cực phức") • Mục tiêu thứ hai luận án tìm phương trình tán sắc dạng (dạng tường minh) sóng Rayleigh truyền bán không gian đàn hồi không tự ứng suất Đối tượng nghiên cứu Sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi không tự ứng suất bán không gian chịu điều kiện biên trở kháng, bán không gian phủ lớp mỏng Phạm vi nghiên cứu Sóng Rayleigh mơi trường đàn hồi tuyến tính Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều kiện biên hiệu dụng (xem tài liệu [88]) để đưa toán cần nghiên cứu tốn truyền sóng Rayleigh bán không gian không tự ứng suất - Phương pháp vectơ phân cực phức (được trình bày mục 2.1 Hệ thức bản) để tìm phương trình tán sắc dạng tường minh sóng Ngồi ra, luận án sử dụng phương pháp truyền thống (tham khảo tài liệu [1]) để thiết lập phương trình tán sắc sóng Những đóng góp luận án Phát triển phương pháp vectơ phân cực Tìm phương trình tán sắc xác dạng tường minh sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi dị hướng (trực hướng monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0) nén không nén chịu điều kiện biên trở kháng Xây dựng phương trình tán sắc xác dạng sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước (chịu kéo nén túy đồng thời chịu kéo nén cắt) chịu điều kiện biên trở kháng Thiết lập phương trình tán sắc xác dạng sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = quay chịu điều kiện biên trở kháng sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi khơng nén quay có gia cố cốt sợi chịu điều kiện biên trở kháng Dẫn phương trình tán sắc xấp xỉ sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi dị hướng (nén không nén được) phủ lớp mỏng đàn hồi dị hướng (nén khơng nén được) Phương trình tán sắc tìm có dạng bậc hai độ dày lớp mỏng Một số kết luận án cơng bố tạp chí quốc tế (SCI: hai bài), hai báo cáo Hội nghị Cơ học vật rắn biến dạng toàn quốc Điều kiện tắt dần vơ có dạng ξ(+∞) = (5.65) Đặt v = t − Au ta có w = iQw, ≤ y < +∞, w(+∞) = 0, v(0) = (5.66)   u w =  , v   Q1 Q2  Q= Q3 Q4 (5.67) Q1 = N1 + N2 A, Q = N2 Q3 = N3 + NT1 − AN1 − AN2 A, Q4 = NT1 − AN2 Từ (5.67) hệ thức sau ¯ T = N2 , N ¯ T = N3 , N ¯ T = N4 , A ¯ T = −A N (5.68) ta dễ dàng chứng minh ¯ T = Q2 , Q 5.2.4 ¯ T = Q3 , Q ¯ T = Q4 Q (5.69) Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc hai độ dày lớp sóng Rayleigh Ta thay P = Q (với Q xác định từ phương trình (5.67)) Y = w vào phương trình (2.4) Từ điều kiện v(0) = (xem phương trình (5.66)), phương trình (2.4) rút gọn thành (n) ¯ T (0)Q3 u(0) = ∀ n ∈ Z u (5.70) Để đơn giản việc trình bày, ta kí hiệu thành phần ma (n) (n) trận Q3 Qij (i, j = 1, 2) Vì Q ma trận cấp × nên theo Chú ý 2.1, ii), từ hệ thức (2.4) ta thu hệ ba phương trình độc lập tuyến tính với ba giá trị khác n Dễ dàng thấy việc lựa chọn n = −1, 1, lựa chọn tốt Giả sử U1 (0) = 0, 117 véctơ u(0) viết lại dạng: u(0)=U1 (0)[1 α]T , với α = U2 (0)/U1 (0) số phức Tức α có dạng: α = a + ib với a, b số thực Thế biểu thức u(0) vào phương trình (5.70) có tính đến ma (n) trận Q3 ma trận hermitian (xem (5.69)) ta có    (n) (n) Q11 Q12    = 0, n = −1, 1, [1 α ¯ ]  (n) (5.71) (n) α Q12 Q22 hay   (−1) (−1) (−1) (−1)   Q + Q α + Q α ¯ + Q ¯=0  11 12 12 22 αα   (1) (1) (1) (1) Q + Q α + Q α ¯ + Q ¯=0 11 12 12 22 αα     (2) (2) (2)  Q(2) ¯ + Q22 αα ¯=0 11 + Q12 α + Q12 α (n) (5.72) (n) thành phần Qij ma trận Q3 (n = −1, 1, 2) (đã bỏ số hạng bậc cao hơn) xác định sau (1) Q11 = X − a1 + a ˆ1 + (1) Q12 = −iˆ a1 + (1) Q22 = X − a ˆ1 (2) a ˆ b1 ˆ −a (X ˆ1 )2 c66 (5.73) 2 b1 ˆ −a [2(X ˆ1 )2 + a ˆ1 c66 ] c66 ˆ − 2X ˆ2 a ˆ1 (b21 c66 + X − a1 + 2X) =a1 − 2X − iˆ a1 b + 2c66 Q11 =2b1 (X − a1 ) + (2) Q12 (2) Q22 = − a ˆ1 b1 118 (5.74) (−1) Qij ˆ (−1) /q q ∈ R định thức ma trận Q(1) =Q ij ˆ (−1) = − X + a Q ˆ1 11 ˆ ˆ1 (c66 − X) + X X a ˆ b1 ˆ (−1) = − b1 X − i a Q + 12 c66 (a1 − X)(c66 − X) a ˆ1 (c66 − X) + X (−1) ˆ Q22 = − b1 X − c66 c66 (n) (n) (5.75) (n) Do ma trận Q3 ma trận hermitian, nên Q11 , Q22 (n = 1, 2), (−1) ˆ ˆ (−1) số thực Q(n) (n = 1, 2), Q ˆ (−1) số phức Q 11 , Q22 12 12 (n,r) mà phần thực phần ảo biểu diễn tương ứng sau: Q12 (n,i) ˆ (−1,r) Q ˆ (−1,i) Thế biểu thức α = a + ib, Q12 (n = 1, 2), Q 12 12 (n) (n,r) (n,i) ˆ (−1) = Q ˆ (−1,r) + iQ ˆ (−1,i) vào phương Q12 = Q12 + iQ12 (n = 1, 2), Q 12 12 12 trình (5.72) thu hệ ba phương trình tuyến tính có dạng sau      (−1,r) ˆ (−1,i) ˆ (−1) (−1) ˆ ˆ Q Q12 Q22 2a −Q11  12      (1,r)   (1,i) (1)   (1)  (5.76)  Q12 Q12 Q22   −2b  =  −Q11       (2,r) (2,i) (2) (2) a2 + b −Q11 Q12 Q12 Q22 Hệ phương trình (5.76) có nghiệm 2a = D1 /D, −2b = D2 /D, a2 + b2 = D3 /D (5.77) D định thức ma trận hệ số hệ phương trình (5.76) (ma trận cấp × 3), Dk định thức ma trận nhận từ ma trận D cách thay cột thứ k véctơ cột vế phải hệ (5.76) Theo phương trình (5.77) ta suy D12 + D22 − 4DD3 = (5.78) Phương trình (5.78) phương trình tán sắc xấp xỉ dạng (dạng tường minh) sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = không nén được phủ lớp mỏng đàn hồi monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = khơng nén Đây phương trình xấp xỉ bậc hai độ dày không thứ nguyên lớp = kh Mặc dù biểu thức định thức D, Dk dài không viết tường minh đây, chúng tính tốn cách dễ dàng việc sử dụng biểu thức (5.73) - (5.75) 119 5.3 Kết luận Như vậy, sử dụng phương pháp vectơ phân cực phức, tác giả luận án tìm phương trình tán sắc xấp xỉ bậc hai độ dày lớp dạng sóng Rayleigh truyền bán khơng gian đàn hồi monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = (nén được, không nén được) phủ lớp mỏng monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = Các kết chương cơng bố báo cáo Hội nghị Cơ học vật rắn biến dạng tồn quốc năm 2013 năm 2015 Phạm Chí Vĩnh, Trịnh Thị Thanh Huệ (2013), Phương trình tán sắc xấp xỉ sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi monoclinic x3 = phủ lớp mỏng đàn hồi trực hướng, Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI, pp 1387-1394 Phạm Chí Vĩnh, Trịnh Thị Thanh Huệ (2015), Phương trình tán sắc xấp xỉ sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi monoclinic x3 = phủ lớp mỏng đàn hồi monoclinic x3=0 không nén được, Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XII, pp 1685-1691 120 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Truyền sóng mơi trường đàn hồi sở lý thuyết cho nhiều ứng dụng thực tế, trải dài từ dự báo động đất đến việc chế tạo thiết bị vi nhỏ công nghệ viễn thơng Các kết nghiên cứu sóng đàn hồi làm cho ứng dụng ngày mở rộng hiệu Các kết nghiên cứu luận án mới, đóng góp nhỏ bé có nhiều ý nghĩa cho lĩnh vực sóng đàn hồi Các kết mà luận án thu là: Phát triển phương pháp vectơ phân cực cho phát biểu Stroh với ma trận Stroh phức Phương pháp áp dụng khơng cho tốn nghiên cứu luận án mà cho nhiều toán khác Rút phương trình tán sắc dạng sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi dị hướng (trực hướng, monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = 0) nén được, không nén được, chịu điều kiện biên trở kháng Xây dựng phương trình tán sắc xác dạng sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi có ứng suất trước (chịu kéo nén túy đồng thời chịu kéo nén cắt) chịu điều kiện biên trở kháng Thiết lập phương trình tán sắc xác dạng sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = quay chịu điều kiện biên trở kháng sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi khơng nén được, quay, có gia cố cốt sợi chịu điều kiện biên trở kháng Dẫn phương trình tán sắc xấp xỉ sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi dị hướng (nén không nén được) 121 phủ lớp mỏng đàn hồi dị hướng (nén không nén được) Các vấn đề tiếp tục phát triển sau luận án Tìm phương trình tán sắc dạng sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi quay phủ lớp mỏng Tìm phương trình tán sắc dạng tường minh sóng Rayleigh bán khơng gian liên kết với bán khơng gian khác 122 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Phạm Chí Vĩnh, Trịnh Thị Thanh Huệ (2013), "Phương trình tán sắc xấp xỉ sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi monoclinic x3 = phủ lớp mỏng đàn hồi trực hướng", Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI, pp 1387-1394 Pham Chi Vinh, Trinh Thi Thanh Hue (2014), "Rayleigh waves with impedance boundary conditions in anisotropic solids", Wave Motion (51), pp 1082-1092 Pham Chi Vinh, Trinh Thi Thanh Hue (2014), "Rayleigh waves with impedance boundary conditions in incompressible anisotropic halfspace", International Journal of Engineering Science (85), pp 175-185 Phạm Chí Vĩnh, Trịnh Thị Thanh Huệ (2015), "Phương trình tán sắc xấp xỉ sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi monoclinic x3 = phủ lớp mỏng đàn hồi monoclinic x3=0 không nén được", Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XII, pp 1685-1691 123 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Chí Vĩnh (2015), Các phương pháp tìm phương trình tán sắc dạng sóng Rayleigh ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] Achenbach J D and Keshava S P (1967), “Free waves in a plate supported by a semi-infinite continuum”, J Appl Mech 34, pp 397404 [3] Achenbach J D (1973), Wave propagation in Elastic Solids, NorthHolland, Sterdam [4] Adam S D M et al (2007), “Rayleigh Waves Guided by TopograPhy”, Proc R Soc London, Ser A 463, pp 531-550 [5] Antipov Y A (2002), "Diffraction of a plane wave by a circular cone with an impedance boundary condition", SIAM Journal on Applied Mathematics 62, pp 1122-1152 [6] Asghar S., Zahid G H (1986), "Field in an open-ended waveguide satisfying impedance boundary conditions", Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP) 37, pp 194-205 [7] Ben-Menahem, A and Singh, S J (2000), Seismic waves and Sources, Springer-Verlag New York Inc., Second edition [8] Bergmann L (1948), Ultrasonics and their scientific and technical applications, Jonh Wiley Sons, New York [9] Bovik P (1996), “A comparison between the Tiersten model and O(H) boundary conditions for elastic surface waves guided by thin layers”, Journal of Applied Mechanics, 63, pp 162-167 [10] Brekhovskikh L M (1990), "Acoustics of layered media: plane and quasi-plane waves", Springer-Verlag, Berlin [11] Brekhovskikh, L M and Goncharov, V (1994), Mechanics of continua and wave dynamics, Springer-Verlag, New York [12] Briggs G A D (1992), Acoustic microscopy, Clarendon Press, Oxford [13] Castro L P., Kapanadze D (2008), "The impedance boundary-value problem of diffraction by a strip ", Journal of Mathematical Analysis and Applications 337(2), pp 1031-1040 [14] Chadwick P (1976), The existence of pure surface modes in elastic materials with orthorhombic symmetry, J Sound Vib 47, pp 3952 [15] Clarke N.S., Burdess J.S (1994), “A rotation rate sensor based upon a Rayleigh resonator”, J Appl Mech 61, pp 139–143 [16] Clarke N.S., Burdess J.S (1994), “Rayleigh waves on a rotating surface”, J Appl Mech 61, pp 724–726 [17] Collet B., Destrade M (2004), “Explicit secular equations for piezoacoustic surface waves: Shear - horizontal modes”, J Acoust Soc Am 116(6), pp 3432-3442 [18] Currie P K (1979), "The secular equation for Rayleigh waves on elastic crystal", Q J Mech Appl Math 32, pp 163-173 [19] Destrade M (2001), “The explicit secular equation for surface acoustic waves in monoclinic elastic crystals”, J Acoust Soc Am 109(4), pp 1398 - 1402 [20] Destrade M (2003), “Rayleigh waves in symmetry planes crystals: explicit secular equation and some explicit wave speeds”, Mech Mat 35, pp 931-939 [21] Destrade M (2003), “Surface acoustic waves in rotating orthorhombic crystals”, Proc R Soc London 460, pp 653–665 [22] Destrade M (2004), “Rayleigh waves in anisotropic crystals rotating about the normal to a symmetry plane”, Jourmal of Applied Mechanics 71(4), pp 516-520 [23] M Destrade, R W Ogden (2005), "Surface waves in a stretched and sheared incompressible elastic material", International Journal of Non-Linear Mechanics 40, pp 241 - 253 [24] Dowaikh M A., Ogden R W (1991), "On surface waves and deformations in a compressible elastic half-space", Stability and Applied of Continuous Media 1(1), pp 27 - 45 125 [25] Every A G (2002), “Measurement of the near-surface elastic properties of solids and thin supported films”, Meas Sci Technol 13, pp 21-39 [26] Ewing, W M., Jardetzky, W S., and Press, F (1957), Elastic Waves in Layered Media, McGraw-Hill, New York [27] Fang H., Yang J., Jiang Q (2000), “Rotation perturbed surface acoustic waves propagating in piezoelectric crystals”, Int J Solids Struct 37, pp 4933-4947 [28] Fu Y B and Mielke A (2002), “A new identity for the surfaceimpedance matrix and its application to the determination of surface-wave speeds”, Proc R Soc Lond A 458, pp 2523-2543 [29] Godoy E., Durán M., Nédélec J-C (2012), “On the existence of surface waves in an elastic half-space with impedance boundary conditions”, Wave Motion 49, pp 585-594 [30] Grigorevskii V.I., Gulyaev Yu.V., Yu.V Kozlov Yu.V (2000), “Acoustic waves in rotating elastic medium”, Acoust Phys 46, pp 236-238 [31] Hiptmair R., Lopez-Fernander M and Paganini A (2014), "Fast convolution quadrature based impedance boundary conditions", Journal of Computational and Applied Mathematics 263, pp 500517 [32] Jahangir E., Howe R.M (1993), “Time-optimal attitude control scheme for spinning missile”, J Guidance Contr Dyn 16, pp 346353 [33] Jose K.A., Suh W.D., Xavier P.B., Varadan V.K., Varadan V.V (2002), “Surface acoustic wave MEMS gyroscope”, Wave Motion 36, pp 367-381 [34] Kawasaki K., Sekiguchi M., Matsuhisa T (1991), “Detecting flaws formed in surfaces of rotating members with ultrasonic waves”, J Acoust Soc Am 90, pp 3386-3386 [35] Lao B.Y (1980), “Gyroscopic effect in surface acoustic waves”, IEEE Ultras Symp pp 687-690 [36] Li X-F (2006), “On approximate analytic expressions for the velocity of Rayleigh waves”, Wave Motion 44, pp 120-127 [37] Makarov S., Chilla E and Frohlich H J (1995), “Determination of elastic constants of thin films from phase velocity dispersion of 126 different surface acoustic wave modes”, J Appl Phys 78, pp 50285034 [38] Malischewsky P.G (1987), Surface Waves and Discontinuities, Elsevier, Amsterdam [39] Malischewsky P G (2000), “Comment to "A new formula for velocity of Rayleigh waves" by D.Nkemzi [Wave Motion 26 (1997) pp 199-205]”, Wave Motion 31, pp 93-96 [40] Mathews I C., Jeans R A (2007), "An acoustic boundary integral formulation for open shells allowing different impedance conditions, top and bottom surfaces", Journal of Sound and Vibration 300, pp 580-588 [41] Mozhaev V G (1995), Some new ideas in the theory of surface acoustic waves in anisotropic media, in D F Parker and A H., England (eds.), IUTAM Symposium on Anisotropy, Inhomogeneity and Nonlinearity in Solid Mechanics, Kluwer Academic Pub, Dordrecht, The Netherlands, pp 455-462 [42] Murty G S (1975), “A theoretical model for the attenuation and dispersion of stoneley waves at the loosely bonded interface of elastic half spaces”, Phys Earth Planet Interiors 11, pp 65-79 [43] Murty G S (1975), “Wave propagation at an unbounded interface between two elastic half-spaces”, J Acoust Soc Am 58, pp 10941095 [44] Nesvijski E G (2001), “On Rayleigh Equation and Accuracy of Its Real Roots Calculations”, J Thermo Plast Compt Mater 14, pp 356-364 [45] Niklasson A J., Datta S K., Dunn M L (2000), “On approximating guided waves in thin anisotropic coatings by means of effective boundary conditions”, J Acoust Soc Am 108, pp 924-933 [46] Nkemzi D (1997), “A new formula for the velocity of Rayleigh waves”, Wave Motion 26, pp 199-205 [47] Ogden R W (1984), "Non-linear Elastic Deformations", Ellis Horwood, Chichester [48] Ogden R W and Pham Chi Vinh (2004), “On Raylegh waves in incompressible orthotropic elastic solids”, J Acoust Soc Am 115(2), pp 530-533 127 [49] Pohl A., Ostermayer G., Reindl L., Seifert F (1997), “Monitoring the tire pressure at cars using passive SAW sensors”, IEEE Ultras Symp 1, pp 471-474 [50] Qin H-H., Colton D (2012), "The inverse scattering problem for cavities with impedance boundary condition", Advances in Computational Mathematics 36(2), pp 157-174 [51] Rahman M., Barber J.R (1995), “Exact expression for the roots of the secular equation for Rayleigh waves”, ASME J Appl Mech 62, pp 250-252 [52] Rayleigh, L (1885), "On waves propagating along the plane surface of an elastic solid", Proc R Soc Lond A17, pp 4-11 [53] Rokhlin S.I and Huang W (1993), “Ultrasonic wave interaction with a thin anisotropic layer between two anisotropic solids II Secondorder asymptotic boundary conditions”, J Acoust Soc Am 94, pp 3405-3420 [54] Schoenberg M., Censor D (1973), “Elastic waves in rotating media”, Quart Appl Math 31, pp 115-125 [55] Senior T B A (1960), "Impedance boundary conditions for imperfectly conducting surfaces", Applied Scientific Research, Section B 8, pp 418-436 [56] Baljeet Singh (2015), "Rayleigh wave in an incompressible fibrereinforced elastic solid with impedance boundary conditions", Journal of the Mechanical Behavior of Materials 24(5-6), pp 183-186 [57] Steigmann, D.J (2007), "Surface waves supported by thinfilm/substrate interactions", IMA J Appl Math 72, pp 730-747 [58] Stoneley R (1924), “Elastic waves at the surface of separation of two solids”, Proceedings of the Royal Society of London Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, 106(738), pp 416-428 [59] Stroh A N (1958), Dislocations and cracks in anisotropic elasticity, Philos Mag , pp 625- 646 [60] Stroh A.N (1962), “Steady state problems in anisotropic elasticity”, J Math Phys 41, pp 77-103 [61] Stupfel B., Poget D (2011), "Sufficient uniqueness conditions for the solution of the time harmonic Maxwell’s equations associated with surface impedance boundary conditions", Journal of Computational Physics 230, pp 4571-4587 128 [62] Taylor D B., Currie P K (1981), "The secular equation for Rayleigh waves on elastic crystals II: corrections and additions", textitQ J Mech Appl Math 34, pp 231-234 [63] Taziev R.M (1989), “Dispersion relation for acoustic waves in an anisotropic elastic half-space”, Sov Phys Acous 35(5), pp 535-538 [64] Tiersten H F (1969), “Elastic Surface Waves Guided by Thin Films”, J Appl Phys 46, pp 770-789 [65] Ting T.C.T., 1996 Anisotropic Elasticity: Theory and Applications Oxford University Press, New York [66] T C T Ting (2002), Explicit secular equations for surface waves in monoclinic materials with the symmetry plane at x1 = 0, x2 = or x3 = 0, Proc R Soc Lond A 458, 1017-1031 [67] Ting T.C.T (2004), “The polarization vector and secular equation for surface waves in an anisotropic elastic half-space”, Int J solids and Struct 41, pp 2065-2083 [68] Ting T.C.T (2004), “Surface waves in a rotating anisotropic elastic half-space”, Wave Motion 40, pp 329-346 [69] Ting T.C.T (2005), “The polarization vectors at the interface and the secular equation for stoneley waves in monoclinic bimaterials”, Proc R Soc A, 461, pp 711-731 [70] Ting T.C.T (2013), “A new secular equation for slip waves along the interface of two dissimilar anisotropic elastic half-spaces in sliding contact”, Wave Motion 50(8), pp 1262–1270 [71] Tuan T.T (2008), “The ellipticity (H/V -ratio) of Rayleigh surface waves”, PhD thesis, Friedrich-Schiller University Jena [72] Viktorov I A (1967), Rayleigh and Lamb waves: Physical theory and applications, Plenum Press, New York [73] Vinh P.C and Ogden R.W (2004), “On formulas for the Rayleigh wave speed”, Wave Motion 39, pp 191-197 [74] Vinh P.C and Ogden R.W (2004), “Formulas for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids”, Ach Mech 56 (3), pp 247-265 [75] Vinh P.C and Ogden R.W (2005), “On a general formula for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids”, Meccanica 40, pp 147-161 129 [76] Vinh P.C and Malischewsky P (2006), “Explanation for Malischewsky’s approximate expression for the Rayleigh wave velocity”, Ultrasonics 45, pp 77-81 [77] Vinh P.C and Malischewsky P (2007), “An improved approximation of Bergmann’s form for the Rayleigh wave velocity”, Ultrasonic 47, pp 49-54 [78] Vinh P.C and Malischewsky P (2007), “An approach for obtaining approximate formulas for the Rayleigh wave velocity”, Wave Motion 44, pp 549-562 [79] Vinh P.C and Malischewsky P (2008), “Improved Approximations of the Rayleigh Wave Velocity”, J Thermoplast Comp Mater 21, pp 337-352 [80] Vinh P.C and Malischewsky P (2008), “Improved Approximations for the Rayleigh Wave Velocity in [-1 0.5]”, Vietnam Journal of Mechanics 30, pp 347-358 [81] Pham Chi Vinh and Geza Seriani (2010), “Explicit secular equations of Stoneley waves in a non-homogeneous orthotropic elastic medium under the influence of gravity”, Appl Math Compt 215, pp 35153525 [82] Vinh P.C., Pham Thi Ha Giang (2010), “On formulas for the Rayleigh wave velocity in pre-strained elastic materials subject to an isotropic internal constraint”, Int J Eng Sci 48, pp 275-289 [83] Pham Chi Vinh (2010), “On Formulas for the velocity of Rayleigh waves in prestrained incompressible elastic solids”, Trans ASME, J Appl, Mech 77(2), pp 1-9 [84] Pham Chi Vinh (2011), “On formulas for the Rayleigh wave velocity in pre-stressed compressible solids”, Wave Motion 48, pp 614-625 [85] Pham Chi Vinh and Pham Thi Ha Giang (2011), “On formulas for the velocity of Stoneley waves propagating along the loosely bonded interface of two elastic half-spaces”, Wave Motion 48, pp 646-656 [86] Pham Chi Vinh and Pham Thi Ha Giang (2012), Uniqueness of Stoneley waves in pre-stressed incompressible elastic media, Int J Non-Liner Mech 47, pp.128-134 [87] Pham Chi Vinh (2013), Scholte-wave velocity formulae, Wave Motion 50, pp 180-190 130 [88] Pham Chi Vinh, Nguyen Thi Khanh Linh (2013), “An approximate secular equation of generalized Rayleigh waves in pre-stressed compressible elastic solids”, Int J Non-Linear Mech 50, pp 91-96 [89] Pham Chi Vinh, Nguyen Thi Khanh Linh (2013), “Rayleigh waves in an incompressible elastic half-space overlaid with a water layer under the effect of gravity”, Meccanica 48(8), pp 2051-2060 [90] Pham Chi Vinh, Trinh Thi Thanh Hue (2014), "Rayleigh waves with impedance boundary conditions in anisotropic solids", Wave Motion 51(7), pp 1082-1092 [91] Pham Chi Vinh, Trinh Thi Thanh Hue (2014), "Rayleigh waves with impedance boundary conditions in incompressible anisotropic half-spaces", International Journal of Engineering Science 85, pp 175-185 [92] Voloshin V (2010), “Moving load on elastic structures: passage through the wave speed barriers”, PhD thesis, Brunel University [93] Wauer J (1999), “Waves in rotating conducting piezoelectric media”, J Acoust Soc Am 106, pp 626-636 [94] Wang J et al (2006), “Exact and approximate analysis of surface acoustic waves in an infinite elastic plate with a thin metal layer”, Ultrasonics 44, pp 941-945 [95] Yla-Oijala P., Jarvenppa S (2006), "Iterative solution of high-order boundary element method for acoustic impedance boundary value problems", Journal of Sound and Vibration 291, pp 824-843 [96] Zakharov D D (2006), "Surface and internal waves in a stratified layer of liquid and an analysis of the impedance boundary conditions", Journal of Applied Mathematics and Mechanics 70, pp 573581 [97] Zhou Y.H., Jiang Q (2001), “Effects of Coriolis force and centrifugal force on acoustic waves propagating along the surface of a piezoelectric half-space”, Z Angew Math Phys 52, pp 950-965 131 ... công thức Đến năm 2004, Vinh and Ogden [73] chứng minh cách chặt chẽ công thức Malischewsky, tìm cơng thức khác Đối với vật liệu trực hướng, không nén được, Ogden and Vinh [48] đưa công thức dạng... liệu tham khảo đây) Chú ý có tạp chí lớn "Thin Solid Films" (và International Journal of Thin Films Science and Technology) dành riêng công bố kết nghiên cứu liên quan đến cấu trúc mỏng Để đánh... Grigorevskii cộng (2000) [30] khảo sát toán tương tự bỏ qua lực ly tâm Fang cộng (2000) [27], Zhou and Jiang (2001) [97] nghiên cứu sóng mặt trog bán khơng gian đàn-điện quay Destrade (2003) [21]