Đang tải... (xem toàn văn)
Đặt điều kiện rồi đối chiếu hoặc thử lại để kết luận nghiệm... Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.[r]
(1)UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015
Mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC - VỊNG I Bài (2,0 điểm):
a) Cho
2
x x x x
A
x x x x
Hãy rút gọn: B 1 A x 1 (Với 0 x 1).
b) Cho x32 32 Thực tính 64 3x (x 3) . Bài (2,0 điểm):
Giải phương trình sau:
a) x 2 2x + x23 2x = b) x4 x2 2014 2014
Bài (2,0 điểm):
Cho đường tròn tâm O hai điểm B, C thuộc đường tròn Các tiếp tuyến đường tròn B C cắt A M điểm thuộc cung nhỏ BC Tiếp tuyến đường tròn M cắt AB, AC theo thứ tự D E BC cắt OD I cắt OE K Chứng minh rằng:
a) DB.DE = DI.DO b) OM, DK, EI đồng quy Bài (2,0 điểm):
Cho đường trịn (O, R) đường kính AB Vẽ hai tiếp tuyến Ax By đường tròn Gọi M điểm tuỳ ý cung AB Tiếp tuyến M đường tròn cắt Ax By theo thứ tự C D
a) Chứng minh: AC.BD = R2
b) Tìm vị trí M để chu vi tam giác OCD nhỏ Bài (2,0 điểm):
Cho x số nguyên Chứng minh rằng: a) A(x) = x5 – x chia hết cho 5.
b) M =
x x x
5 2
(2)UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015
Mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I
Bài (2,0 điểm):
x( x 1)(x x 1) x( x 1)(x x 1) A
x x x x
0,25
A x( x 1) x( x 1) 2 x 0,25
2
B 1 2 x x 1 x 1 0,25
2
1 x 1 x 1 (1 x) x
0,25
3 3
3
x 4 3( 2 2 3) 2 2 3x . 0,50
Từ x3 = + 3x được: x3 – 3x = (x3 – 3x)3 = 43 x3(x2 – 3)3 = 43 =64. 0,25
Thay
3
3
2 3
64 3x x (x 3) 3x x 3x (x 3) (x 3)
=4 0,25
Bài 2(2,0 điểm): Giải phương trình sau:
Nhân hai vế với 2được: 2x 2x 5 + 2x 2x 14 0,25
2x 1 2
+
2
2x 3 14 0,25
2x 1 2x 14 2x 5 0,25 x = 15 Đặt điều kiện đối chiếu thử lại để kết luận nghiệm 0,25
Cộng hai vế với x
4
được: x x x x
4 2 2014 2014
4
0,25
x x
2
2 2014
2
x x
x x
2
2
1 2014
2
1 2014
2
0,25
x2 x2 2014
2
x2 x2 2014 PT vô nghiệm VT0;
(3)VP <0
x2 x2 2014 x2 x2 2014 x4 x2 2013
2
Giải phương trình nghiệm: x1 x2
8053 8053
2
;
0,25
Bài (2,0 điểm):
Hai tam giác DBI DOE có:
BDI ODE (DB, DM tiếp tuyến) 0,25
sđ DBI= sđ
BC
2 ; sđDOE sđ
BOC =sđ
BC DBI DOE DBI đồng dạng DOE
0,50
DB DO
DB.DE DI.DO
DI DE 0,25
Từ: DBI DOE DIB OIK (Đ.đỉnh)
IKO IDB
Tứ giác DBOK nội tiếp đường tròn
Do DBO = 900 nên DKO = 900 hay DKOE
0,50
Tương tự: EIO = 900 hay EI DO 0,25
OM DE (DE tiếp tuyến M)
(4)Bài 4(2,0 điểm):
- AC = CM; BD = DM nên AC.BD = MC.MD 0,25
- Chứng tỏ OCD vuông O 0,25
- MC MD = OM2 = R2. 0,25
Đặt AC = x; BD = y có:
OC = x2R2 ; OD = y2R2 .
CV= OC+OD+CD = x2R2 + y2R2 + x+y
0,25 Do x.y = R2 nên x + y nhỏ x = y = R (1) 0,25
Xét A= x2R2 + y2R2
A2 = x2 + y2 + 2R2 + 2 x y2 2R (x2 2y ) R2
= x2 + y2 +2R2 + 2 R2R (x2 2y ) R2 .
Để A nhỏ A2 x2 + y2 nhỏ nhất.
x2 + y2 2xy =2R2 Dấu "=" xảy x = y = R
(2)
0,50
Từ (1) (2) CV nhỏ x = y M điểm cung AB
Lúc CV = 2R + 2R
0,25
Bài 5(2,0 điểm):
n5 – n = n(n2 -1)(n2 + 1). 0,25
Xét số dư chi n cho 5:
n = 5k: n chia hết n5 – n.
n = 5k1: n2 -1 = 25k2 10k + 1-1 = 5(5k2 2k) chia hết cho 5.
n = 5k2: n2 +1 = 25k2 20k + 4+1 = 5(5k2 4k+1) chia hết cho 5.
Vậy với n Z n5 – n chia hết cho 5.
0,50
M =
x5 x3 2x x5 5x3 4x 30 15 30
M Z M(x) =x5 5x3 4xchia hết cho 30.
0,25
M(x) =x5 x 5x35x chia hết cho (1) 0,25 M(x) =x(x4 5) x(x2 1) x(x 1)(x1)(x21 5) x(x 1)(x 1)
x(x 1)(x 1)(x2 5)
Tích ba số nguyên liên tiếp x(x-1)(x+1) chia hết cho 2; ƯCLN(2,3)=1 nên x(x-1)(x+1) chia hết cho M(x) chia hết cho (2)
0,50
Kết hợp (1), (2) ƯCLN(5,6) = 1 M(x) chia hết cho 30 hay M nhận giá trị
(5)UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015
Mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II
Bài (2,0 điểm):
a) Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng: 1
a b a b ; 1 a b c a b c
b) Cho a, b, c số đo ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:
1 1 1
a b c b c a c a b a b c . Bài (2,5 điểm):
a) Cho hàm số y x 2có đồ thị (P) Tìm giá trị m để đường thẳng (d) có phương trình y x m cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt A x y( ; )1 , ( ; )B x y2
thoả mãn: (x2 x1)4 (y2 y1)4 18
b) Giải hệ phương trình:
x (x x y) y (y y x)
3
3
1 2
Bài (2,5 điểm):
Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) Gọi M, N trung điểm AB, CD Trên tia NC lấy điểm G Đường thẳng GM cắt DB H cắt DA K KN cắt AB E; NH cắt AB F
a) Chứng minh NM phân giác góc ENF
b) Khi G trung điểm NC Chứng minh GA, DB, KN đồng quy Bài (2,0 điểm):
Cho tam giác nhọn ABC O điểm nằm tam giác Các tia AO, BO, CO cắt BC, AC, AB M, N, P Chứng minh:
a) OMAM+ON BN+
OP CP=1 b)
AM BN CP + +
(6)Tìm số nguyên x, y để: 2x2 3xy 2y2 7
UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015
Mơn: TỐN
HƯỚNG DẪN CHẤM - VỊNG II
Bài (2,0 điểm):
a)
2
1 a b (a b) 4ab (a b) 0 a b a b ab a b
0,50
1 1 1
a b c 1 (a b c )
a b c a b c
Có:
1
a
a ;
1
b 2;c
b c nên
1 1
1 1 a b c
a b c
0,50
b) Do a, b, c ba cạnh tam giác nên a+b-c > 0; b+c-a > 0,25 Áp dụng a) có:
1
a b c b c a 2b ;
Tương tự:
1
a b c c a b 2a ;
1
a b c c a b 2a
0,50
Cộng được:
1 1 2
2
a b c b c a c a b a b c
1 1 1
a b c b c a c a b a b c
0,25
Bài (2,5 điểm):
Các điểmA x y( ; ), ( ; )1 B x y2 thuộc (d) thuộc (P) nên x1; x2 hai nghiệm
phương trình: x2 x m x2 x m 0 (1) 0,25 Đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B (1) có hai
nghiệm phân biệt
1 4m0
1 m
0,25
Các điểm A x y( ; ), ( ; ) 1 B x y2 thuộc (d) nên y1x1m y, x2 m
Thay vào: (x1 x2)4(y1 y2)4 18 được:
4 4 2
1 2 2
( ) ( ) 18 ( ) [( ) ] x x x m x m x x x x x x
(7)Theo định lí Viet x1x2 1, x x1 m Ta có
(1+4m)2 =
+ Tìm
1 m m
Đối chiếu ĐK kết luận m =
2 0,25
Trừ được:
3 2
x – y x – y – x – y
2
2
x – y x xy y x – y x y – x – y x xy y – x y
2 x y
x xy y – x y 4=0 0,25
Với x = y: x3 + = 2(x2 – x + y)
x3 – 2x2 + = 0
(x – 1) (x2 - x - 1) = 0
Giải x1 = 1; x2 =
1
; x3 =
1
Nghiệm hệ là: x ; y 1 x ; y 5 x y 5 0,50
Với: x2 xy y – x y 4=0
2
x 2xy 2y – x y =0 x y (x y) (x y)
x y (x y )
2 2
2 2
2
4 4
2
PT vô nghiệm VT lớn
0,50
(8)Nối NA, NB Chứng minh AND =BNC NA = NB NAB cân MN AB
Có: ME/GN = KM/KG (EM//GN) KM/KG = AM/DG
ME/GN = AM/DG MF/NG = HM/HG HM/HG = MB/DG MF/NG = MB/DG
Mà MA = MB nên ME/GN = MF/GN ME=MF
Tam giác ENF có NM vừa đường cao vừa trung tuyến nên NM phân giác ENF
0,50
0,25
0,25
0,25 0,25 Từ DN = 2NG chứng minh AE = 2EM
Gọi I giao điểm EN DB Có IE/IN = EB/DN = 4EM/DN
Gọi J giao điểm AG EN, Có JE/JN=AE/NG = 2EM/NG = 4EM/DN IE/IN =JE/JN I J hay GA, DB, KN đồng quy
0,25 0,25 0,25 0,25 Bài (2,0 điểm):
Lần lượt hạ AH, OK vng góc với BC Có:
OM OK
AM AH . 0,25
Lại có
OBC ABC S OK
AH S nên OBCABC S OM
AM S . 0,50
Tương tự:
OAC BAC S ON
BN S ; OABCAB S OP
CP S 0,25
Cộng được:
OBC OCA OAB ABC ABC ABC ABC ABC
S S S S
OM ON OP 1
AM BN CP S S S S 0,25
(9)1
a+
1
b+
1
c≥
9
a+b+c 1 a b c 9a b c
Có:
AM BN CP + + OM ON OP =
AM BN CP + +
OM ON OP 1 =(
AM BN CP + +
OM ON OP) (
OM ON OP AM BN CP ) 9
0,50
Bài (1,0 điểm):
Đưa phương trình tích
x xy xy y x(x y) y(x y) (x y)( x y)
2
2 2
2
0,50 Lập giải hệ phương trình:
x y x y x y x y
; ; ;
x y x y x y x y
2 2
2 2
Giải nghiệm: (3; -1); (-3; 1)