[r]
(1)n c nă
ONTHIONLINE.NET
Trường thpt cẩm thuỷ i
Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trường
Khối 11 THPT - Năm học 2007-2008
Mơn thi: Tốn
(Thời gian làm bài: 180 phút
)
Bài 1(5 điểm)
a) Giải phương trình: cos cos ( ) sin (2 )
2
x x
x
b) Cho a,bR Chứng minh hai phương trình sau phải có phương trình có nghiệm:
b x a
x cos
sin 2008
b x
a
x cot tan
2008
Bài 2 ( điểm)
a) Dãy số u1,u2,u3, ,un xác định sau:
1 , ,
1 ,
1 ,
0 2 1 3 2 1
1 u u u u un un
u
Chứng minh rằng:
1 ) (
1
2
1u un
u
n .
b) Tìm giới hạn dãy số có số hạng tổng quát:
2 2
2
2
2 2
n
u
Bài 3 (5 điểm)
a) Trên mặt phẳng cho đa giác lồi 10 cạnh T A1A2 An. Xét tam giác có đỉnh đỉnh của đa giác T Hỏi số tam giác có tam giác mà cạnh ba cạnh đa giác T?
b) Tìm giá trị nguyên dương x thoả mãn
x k
k
k C C C
C C
C C
C C
C 2008.2
1 2007 2008 2007
2008 2008 2005
2006 2008 2006
2007
2008 2007
2008
2008
Bài 4 (5 điểm)
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1
a) Hãy tìm điểm M đường chéo BD mặt ABCD điểm N đường chéo CD1 mặt bên CDD1C1 cho MN//AC1
b) Gọi I J trung điểm A1D1 vµ B1B Chứng minh IJ AC1
(2)Cán coi thi khơng giải thích thêm.
Trường thpt cẩm thuỷ i Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trường Khối 11 THPT - Năm học 2007-2008
Đề thi thức
đáp án – hướng dẫn chấm mơn Tốn
(Thời gian làm bài: 180 phút
)
Câu Nội dung điểm
Câu điểm
a)
Giải phương trình: cos cos ( ) sin (2 )
2
x x
x
(1)
2 điểm
+) Ta có (1) cos2 xcos2 2xcos23x1 (2)
+) Đặt t cos2 x, điều kiện t
0;1 (*) 0.5+) Khi (2) trở thành:
4 0
) 10 (
t t t t
t
t 0.5
+) Giải tìm nghiệm x 0.5
+) Kết luận: Nghiệm phương trình cho là:
Z m m x
Z l l x
Z k k
x ,
6 ;
, ;
,
2
0.5
b) điểm
*) Có hai trường hợp xảy ra:
+) Trường hợp 1: 20082 a2 b2 (1) có nghiệm 0.5
+) Trường hợp 2: 20082 a2 b2
Ta có
0 sin
) ( tan
tan
2008 )
2
(
x
a x b
x 0.5
Nhận xét: (2) có nghiệm (3) có nghiệm tanx0 0.5
Ta có: *) (b 2)2 4a.20082(a2 20082 2a.2008)2(a 2008)2 0
*) 2008
2
b
S
(luôn đúng, có 20082 a2 b2 nên b0
Do (3) có nghiệm khác
1
+) Kết luận: 0.5
Câu điểm
a) điểm
Ta chọn số un1 cho un1 un 1 Khi ta có:
(3)n c nă
( 1)
) ( ) ( 2 2 2 2 2 2
n n n
n u u u
u u u u u u u u u u Suy ra: ) ( ) ( ) ( 2 3 2 2 2 2 n n n n n n u u u u n n n u u u u u n u u u u u u u u u u u u 0.5
+) Kết luận: 0.25
b) Ta có:
2 cos 2 2 cos cos 2 2 cos cos 2 n 0.75
(Chứng minh quy nạp) 0.5
Ta có 1 2 sin 2 sin sin 2 cos cos cos cos
n n
n n n n u ) 2 sin ( lim lim 1 n n n n
n u 0.75
Câu điểm
a) điểm
+) Số tam giác phân biệt có đỉnh đỉnh đa giác T C103 120 0.5 +) ứng với cạnh đa giác T có cách chọn đỉnh lại để tạo thành tam giác chứa cạnh Suy số tam giác có cạnh cạnh đa giác T 80 (tam giác)
0.5 +) Trong 80 tam giác có 10 tam giác có cạnh cạnh đa giác T lặp
lại hai lần 0.5
+) Kết luận: Số tam giác cần tìm (120 – 80) + 10 = 50 (tam giác) 0.5 b) Tìm giá trị nguyên dương x thoả mãn
x k
k
k C C C
C C C C C C
C 2008.2
1 2007 2008 2007 2008 2008 2005 2006 2008 2006 2007 2008 2007 2008
2008
(4)+) Ta có
k k
k
k C
k k k
k C
C 2007 2007
2008
2008 2008
)! 2007 (
! ) 2008 ( )! 2008 ( !
! 2008
+) Do
) / ( 2007
2
2
2 2008 )
(
2008
2 2008
2007
2007 2007
2007
2007
2007
2007 2007
2007
2007
2007
0 2007 2008 2007
2008 2008 2005
2006 2008 2006
2007
2008 2007
2008 2008
m t x
C C
C C
C C
C C
C C C
C C
C C
C C
C
x
x
x
x k
k k
+) Kết luận:
0.75 0.75
0.5
Câu điểm
a) điểm
Đặt ABa, ADb, AA1 c Ta có AC1 abc
Vì MN//AC1 nenkR*:MN kAC1 hay MN kakbkc (1)
1
Mặt khác ta có:
) ( )
1 ( ) ( ) ( )
(
1
c m b n a
m n a c m b b a n
CD m BC DB n CN BC MB MN
0.75
Từ (1) (2) ta suy
3 3 1
n m k
k m
k n
k m n
0.75
A B
D A
1
B 1
C C D1
M
N I
(5)Vậy với
1
2
CD CN
va DB
MB
MN//AC1 0.5
b)
Gọi I J trung điểm A1D1 vµ B1B Chứng minh IJ AC1 điểm
+) AC1 abc 0.5
+) IJ a b 2c
1
0.5
+) )( )
1 (
.AC1 a b c abc
IJ 0.75