Cho tam giác ABC vuông tại A, M là điểm bất kì trên AB, gọi O là trung điểm của CM. a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật. b) Kẽ BE vuông góc với AD và MF vuông góc AC, các đường t[r]
(1)Chú ý: Ơn tập kĩ tính chất cách nhận biết hình học trước tiến hành làm bài tập.
A) Bài tập tham khảo BÀI 1
Cho ABC, đường phân giác AD góc A, kẽ DE//AB ( E thuộc AC), DF//AC (F thuộc AB ) Chứng minh: AD vng góc với EF.
GIẢI:
Chứng minh AD vng góc EF. Ta có DE//AF ( gt)
DF//AE ( gt)
Vậy tứ giác AEDF hình bình hành, mà có AD phân giác góc A (gt) nên tứ giác AEDF hình thoi Do AD vng góc với FE
BÀI : Cho tam giác ABC cân A.Gọi D, E, F theo thứ tự trung điểm AB, BC, AC Vẽ điểm M điểm đối xứng điểm B qua điểm F điểm N điểm đối xứng điểm E qua điểm D.1) Chứng minh:
a/ Tứ giác BCFD hình thang cân b/ Tứ giác ADEF hình thoi c/ Tứ giác ABCM hình bình hành d/ Tứ giác ANBE hình chữ nhật
GIẢI
a/ Tứ giác BCFD hình thang cân
Xét �ABC, ta có : DA = DB (gt) FA = FC (gt)
=> DF đường trung bình �ABC => DF // BC
=> Tứ giác BCFD hình thang
(2)=> hình thang BCFD hình thang cân
b / Tứ giác ADEF hình thoi :
Ta có : AB = AC (gt) AD = AB : (gt) AF = AC : (gt)
=> AD = AF = AC : = AB : (1) Xét ΔABC, ta có :
DA = DB (gt) EB = EC (gt)
=> DE đường trung bình => DE = AC : (2)
Cmtt, ta : EF = BA : (3)
Từ (1), (2) (3) ta : AD = AF = DE = EF Vậy tứ giác ADEF hình thoi
c/ Tứ giác ABCM hình bình hành :
Xét Tứ giác ABCM, ta có :
FB = FM (M điểm đối xứng điểm B qua điểm F) FA = FC (gt)
Mà hai đường chéo BM AC cắt F =>Tứ giác ABCM hình bình hành
d/ Tứ giác ANBE hình chữ nhật :
Xét ΔABC cân A, ta có : EB = EC (gt)
=>AE đường trung tuyến tam giác cân đường cao => AE BC hay
Xét Tứ giác ANBE, ta có : Xét Tứ giác ABCM, ta có :
DE = DN (N điểm đối xứng điểm E qua điểm D) DA = DB (gt)
Mà hai đường chéo EN AB cắt D =>Tứ giác ANBE hình bình hành
Mà : (cmt)
Nên : hình bình hành ANBE hình chữ nhật
BÀI :
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA
a/ Chứng minh: Tứ giác MNPQ làhình bình hành b/ Chứng minh: Tứ giác MNPQ làhình thoi
c/ Nếu AC BD tứ giác MNPQ hình gì? Vì
(3)a/Tứ giác MNPQ làhình bình hành :
Xét ABD, ta có : MA = MB (gt) QA = QD (gt)
=> MQ đường trung bình => MQ // BD MQ = BD : (1) Cmtt, ta :
NP // BD NP = BD : (2) NM // AC NM = AC : (3)
Từ (1) (2) : MQ // NP MQ = PP => Tứ giác MNPQ làhình bình hành
b/Tứ giác MNPQ làhình thoi.
ta có :
AC = BD ( hai đường chéo hình thang cân ABCD) NM = AC : (cmt)
MQ = BD : (cmt) => NM = MQ
Xét hình bình hành MNPQ, ta có : NM = MQ (cmt)
=> hình bình hành MNPQ hình thoi c/Nếu AC BD tứ giác MNPQ hình gì? Nếu AC BD
NM // AC (cmt) NP // BD (cmt) => NM NP N Hay
Xét hình thoi MNPQ , ta có : (cmt) => hình thoi MNPQ hình vng
BÀI :
Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường trung tuyến AO Trên tia đối tia OA lấy điểm D cho OD = OA
1 Chứng minh : ABDC hình chữ nhật
2 Từ B kẻ BH vng góc AD H, Từ C kẻ CK vng góc AD K chứng minh BH = CK BK // CH
3 Tia BH cắt CD M, tia CK cắt AB K chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng Trên tia đối tia BH lấy điểm E cho BE = AD Chứng minh
GIẢI.
1 ABDC hình chữ nhật :
(4)OB = OC (đường trung tuyến AO �ABC) OA = OD (gt)
=> tứ giác ABDC hình bình hành
Mà : (gt)
=> hình bình hành ABDC hình chữ nhật
2 BH = CK BK // CH :
Xét �HOB �OC, ta có : (gt) OB = OC (cmt)
(đối đỉnh) => �HOB = �OC
=> OH = OK (cạnh tương ứng) Xét tứ giác BHCK, ta có : OH = OK (cmt)
OB = OC (cmt)
Mà hai đường chéo BC HK cắt O => tứ giác BHCK hình bình hành
=> BH = CK BK // CH
3 chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng.
Xét tứ giác BMCN, ta có : BM // CN (cùng vng góc AD) BN // CM
=> tứ giác BMCN hình bình hành
=> hai đường chéo BC NM cắt trung điểm đường Mà : OB = OC (cmt)
=> OM = ON
Hay N, O, M thẳng hàng
4 Chứng minh
Ta có :
BC = AD (hai đường chéo hình chữ nhật ABDC ) BE = AD (gt)
=> BE = BC
=> tam giác EBC cân B =>
Mà : (so le trong)
=> (1)
Mặt khác : OD = OC (O giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật) => tam giác COD cân O
=>
Mà : (cùng phụ với góc DAC)
=> (2)
Cộng (1) (2), ta : =>
=> CE tia phân giác góc ACD =>
B) Bài tập tự ôn: BÀI :
Cho hình vng ABCD, tâm O Gọi I điểm đoạn OA (I khác A, O ), đường thẳng qua I vng góc với AC cắt AB ,AD M N
a) Chứng minh tứ giác MNDB hình thang cân
b) Kẽ IE IF vng góc với AB,AD Chứng minh tứ giác AEIF hình vng BÀI 2:
(5)a / Chứng minh :Tứ giác MBPA hình bình hành b / Chứng minh : Tứ giác PACM hình chữ nhật c / CN cắt PB Q Chứng minh BQ = PQ
d / Tam giác ABC có thêm điều kiện hình chữ nhật PACM hình vng
BÀI :
Cho hình bình hành ABCD có M trung điểm AB N trung điểm CD a/ Chứng minh : tứ giác AMND hình bình hành
b/ Chứng minh : tứ giác AMCN hình bình hành c/ Chứng minh : AC, BD, MN đờng quy
d/ Hình bình hành ABCD có điều kiện tứ giác AMND hình chữ nhật, hình thoi, hình vng
BÀI :
Cho tam giác ABC Gọi D, E trung điểm AB BC a.Chứng minh tứ giác ADEC hình thang
b.Trên tia đối tia DE lấy điểm F cho DF = DE.Chứng minh tứ giác AEBF hình bình hành
c.Với điều kiện tam giác ABC để AEBF hình vng?
BÀI :
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA.Biết AC vng góc BD
a/ Chứng minh: Tứ giác MNPQ làhình bình hành b/ Chứng minh: Tứ giác MNPQ làhình thoi
c/ Nếu AC vng góc BD tứ giác MNPQ hình gì? Vì sao?
BÀI 6:
Cho tam giác ABC vuông A, M điểm AB, gọi O trung điểm CM Điểm O di động đường M di động đoạn AB ?
BÀI 7
Cho tam giác ABC vng A có BC=2AB, gọi M trung điểm BC, lấy D đối xứng A qua M a) Chứng minh tứ giác ABDC hình chữ nhật
b) Kẽ BE vng góc với AD MF vng góc AC, đường thẳng BE, MF cắt N Chứng minh tứ giác ANCM hình thoi
: