[r]
(1)ONTHIONLINE.NET
Đề thi học sinh giỏi 12
(Thời gian làm 180’)
Câu 1: Ch ng minh r ng h m s y = xứ ằ ố 4- 6x2 + 4x + ln ln có 3
c c tr ự ị đồng th i g c to ố độ O l tr ng tâm c a tam giác t o b i 3à ọ ủ nh v i m c c tr c a th h m s
đỉ đ ể ự ị ủ đồ ị ố
Câu 2: Gi i h phả ệ ương trình
x+y = √4z −1
y + z = √4x −1
z + x = √4y −1
Câu 3: Trong m t ph ng v i h to ặ ẳ ệ độ Đề vng góc oxy cho parabôn (P): y2 = 4x M l m t i m di à ộ đ ể động (P) M 0, T l m tà ộ
i m (P) cho T
đ ể 0, OT vng góc v i OM
a Ch ng minh r ng M di ứ ằ động (P) đường th ng MT lnẳ i qua m t i m c nh
đ ộ đ ể ố đị
b Ch ng minh r ng M di ứ ằ động (P) thì trung i m I c ađ ể ủ MT ch y pa bol c ố định
Câu 4: Gi i phả ương trình sau:
sinx + siny + sin (x+y) = 3√3
2
Câu 5: Cho dãy s Iố n = ∫
2nπ
4nπ cosx
x dx , nN*
Tính lim
n →+∞ In
Câu : Cho a > 0, ch ng minh r ng ứ ằ
lna a−1 <
1+√3a a+√3a
Đáp án
Câu 1: (3 i m )đ ể
T p xác ậ định: D = R y = x4 - 6x2 + 4x + 6.
y’ = 4x3 - 12x + 4 y’ = <=> g(x) = x3 - 3x + = (1)
(2)
¿
g(- 2).g(- 1)<
g(-1).g( 1)<
g( 1).g( 2)< ¿{ {
¿
g(x) liên t c nên phụ ương trình (1) có nghi m phân bi t th a mãn : ệ ệ ỏ - < x1 < -1 < x2 < < x3 <
* Ta có y =
4 y’.x- 3.(x2 - x - 2) (1)
G i i m c c tr l A (xọ đ ể ự ị 1,y1), B(x2,y2), C (x3,y3) v G (xà 0,y0)
tr ng tâm tam giác ABC ọ
Theo L Viet có Đ x1 + x2 + x3 = (2)
x1x2 + x2x3 = x3x1 = -3 (3)
T (2) suy xừ =
x1+x2+x3
3 =
T (1) (2) (3) suy ra:ừ y0 =
3 (y1+y2+y3) = -3 ( x12+x22+x32 )-(x1+x2+x3) - 6
= -3 (x1 + x2 + x3)2 - (x1x2 + x2x3 + x3x1) - 6 = -3 (0 - (-3) - 6) =
V y G (0;0) ậ 0(0;0) ( PCM)Đ
Câu 2: ( i m)đ ể
x+y = √4z −1 (1)
y + z = √4x −1 (2) (I) k x,y,z đ >
4
z + x = √4y −1 (3) áp d ng b t ụ ấ đẳng th c cosi tacó:ứ
√4z −1=√(4z −1) < (4z−1)+1
2 = 2z (1’)
Tương t ự √4x −1 < 2x (2’) ❑
√4y −1 < 2y (3’) T (1’) ;(2’) ; (3’) v (1) ; (2) ; (3) suy
2(x+y+z) = √4z −1+√4x −1+√4y −1 < 2z + 2x + 2y (4) T (4) suy ra:
4z - =
(I) <=> 4x - = <=> x = y = z =
2 nghi m úngệ đ
(I)
4y - =
V y h (I) có nghi m x = y = z = ậ ệ ệ
2
Câu 3: (P): y2 = 4x
a (3 i mđ ể ) Gi s ả M( y1
2
4 ; y1) ; T(
y22
4 ; y2) v i yớ 1,y2 0; y1 y2 OTOM ⃗OT ⃗OM = ⇔ y1
2
4
y1
4 + y y2 =
y1 y2 + 16 = (1)
Phương trình đường th ng MT: ẳ
x - y1
2
4
y22
4 -
y12
4
= y - y1
y2 - y1
(3) 4x - (y1 + y2) y - 16 = 4(x- 4)- (y1 + y2) y=
Nên đường th ng MT i qua i m c ẳ đ đ ể ố định J (4;0) b (3 i mđ ể ) G i I (xọ 0, y0) l trung i m MT thìà đ ể
x0 = 8(y1
2
+ y22) (1) y0 =
y1+ y2
2 (2)
T (1) suy xừ =
8 (y1+y2)2 - 2y1y2 =
8 (2y0)2 - (-16)
=
2 y02+4 y02 = 2x0 -
T ó đ I ch y parabôn (P) : yạ 2 = 2x = c ố định
Câu 4: (3 i mđ ể )
sin x + sin y + sinz (x+y) = 3√3
2 (1)
áp d ng b t ụ ấ đẳng th c Bunhiac pxki v t (1) ta có ứ ố
3√3
2 ¿
2
27 =¿
= [sinx + siny + sinz (x+y)] 2 < (12 + 12+12).(sin2x + zin2y +
sin2(x+y))
= 1−cos 2x
2 +
1−cos 2y
2 +sin2 (x+y)
= 3.[1- cos (x+y) cos (x-y) + - cos2 (x+y)]
= 2-(cos (x+y)+
2 cos (x-y)2) +
4 cos2 (x-y)
< (2- +
4 ) = 27
4 (2) (Do cos2 (x-y) < 1; (cos (x+y) +
2 cos
(x-y)2 > 0
T (2) suy ra:
cos2 (x-y) =
(1) cos (x+y) +
2 cos (x-y) =
sinx = sin y = sin (x+y) = ❑√3
2
¿
x =π
3 + 2kπ y =π
3 + 2nπ víi k , n ∈ Z
¿{ ¿
Câu 5: (3 i m) đ ể In =∫ 2n π
4n π cosx
x dx
Ta ch ng minh:ứ < In <
4nπ (1)
Ta có: In = ∫
2nπ
4nπ cosx
x dx = 4∫nπ
4nπ
d(sinx)
x =
sinx x
¿4nπ ¿2nπ
-∫
2nπ
4nπ
sinx.d(1
(4)= ∫ 2nπ
4nπ sinx
x2 dx
* Ta có: sinx
x2 <
1
x2 x 2n , 4n nên
In < ∫
2nπ
4nπ dx
x2=−
1
x
¿4nπ
¿2nπ = -
1 4nπ+
1 2nπ=
1
4nπ (2)
* Ta có: In = Σ k=n
2n−1
∫
2kπ
2(k+1)π
sinx
x2 dx đặt JK = ∫ 2kπ
2(k+1)π
sinx x2 dx => JK = ∫
2kπ
(2k+1)π
sinx
x2 + (2k∫+1)π
2(k+1)π sinx
x2 dx > 2∫kπ
2(k+1)π
sinx (
x+π¿2 ¿
1
x2−
1
¿
)dx >0 (3)
Ta l i có: Iạ n = Σ k=n
2n−1
Jk (3) nên In > (4)
T (2) (4) suy < Iừ n
4nπ (1) úngđ
Ta l i có Lim
n →+∞
4nπ = nên Lim n →+∞ In
=
Câu 6: (3 i m)đ ể
lna
a−1 <
1+√3a
a+√3a (1) v i a >
Trong h p 1: a >1ợ (1) <=> (a +
√a )lna < (1 +
√a ) (a-1) (2) Đặt x =
√a => x >1
(2) <=> 3(x3 +x) lnx < (1+x).(x3-1) x > 1
<=> x4 + x3 - x - - (x3+x)lnx > (3) x > 1
t f(x) = x
Đặ 4 + x3 - x - -3 (x3 + x)lnx x 1;+ ∞ )
Ta có f’(x) = x3 + 3x2 - - (3x2 + 1) lnx + (x3 + x)
x
= 4x3 - - (3x2 + 1) lnx
f”(x) = 3.(4x2 - 3x - 6xln x -
x ) f(3)(x) = ( 8x +
1
x2 -6ln x - 9) f(4)(x) = 3.(8-
x−
2
x3 ) =
6(4x3−3x −1)
x3 =
4x2+4x+1
¿
6(x −1)¿ ¿
> , x > Suy f(3)(x) đồng bi n nên [1;+ế ∞ )
f(3)(x) > f(3)(1) = tương t f’(x)ự > v i ớ x >
f(x)> f (1) = v i x >1 suy (3) úng.đ
Trường h p 2:ợ < a < đặt a =
a1
, a1 > quay v trề ường
(5)