Phương pháp lập luận xấp xỉ tối ưu dựa trên đại số gia tử và ứng dụng trong điều khiển mờ

Phương pháp lập luận xấp xỉ tối ưu dựa trên đại số gia tử và ứng dụng trong điều khiển mờ Phương pháp lập luận xấp xỉ tối ưu dựa trên đại số gia tử và ứng dụng trong điều khiển mờ Phương pháp lập luận xấp xỉ tối ưu dựa trên đại số gia tử và ứng dụng trong điều khiển mờ luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG ĐỒN TRỌNG HIẾU PHƯƠNG PHÁP LẬP LUẬN XẤP XỈ TỐI ƯU DỰA TRÊN ĐẠI SỐ GIA TỬ VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐIỀU KHIỂN MỜ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG ĐỒN TRỌNG HIẾU PHƯƠNG PHÁP LẬP LUẬN XẤP XỈ TỐI ƯU DỰA TRÊN ĐẠI SỐ GIA TỬ VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐIỀU KHIỂN MỜ Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH Mã số: 8.48.01.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN DUY MINH THÁI NGUYÊN - 2020 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết đạt luận văn sản phẩm cá nhân hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Duy Minh Trong toàn nội dung luận văn, nội dung trình bày cá nhân tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu khác Tất tài liệu tham khảo có xuất xứ rõ ràng trích dẫn hợp pháp Tơi xin chịu trách nhiệm chịu hình thức kỷ luật theo quy định cho lời cam đoan Thái Nguyên, tháng năm 2020 Tác giả Đoàn Trọng Hiếu ii LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến TS Nguyễn Duy Minh - người hướng dẫn khoa học, thầy định hướng nhiệt tình hướng dẫn, giúp đỡ em trình làm luận văn Em xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trường Đại học Công nghệ thông tin Truyền thông; Viện công nghệ thông tin thuộc Viện hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quý báu cho chúng em thời gian học tập Xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, ban cán học viên lớp cao học CK15, người thân gia đình động viên, chia sẻ, tạo điều kiện giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2020 Tác giả Đoàn Trọng Hiếu iii MỤC LỤC MỤC LỤC iii DANH MỤC BẢNG vi DANH MỤC HÌNH vii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT viii MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Biến ngôn ngữ, mơ hình mờ 1.1.1 Biến ngôn ngữ 1.1.2 Mơ hình mờ 1.2 Đại số gia tử 1.2.1 Độ đo tính mờ giá trị ngơn ngữ 1.2.2 Hàm định lượng ngữ nghĩa 10 1.2.3 Đại số gia tử tuyến tính đầy đủ 12 1.2.4 Khái niệm ngưỡng hiệu chỉnh định lượng ngữ nghĩa 14 1.3 Phương pháp lập luận xấp xỉ mờ đa điều kiện 15 1.4 Bài toán tối ưu giải thuật di truyền 17 1.4.1 Bài toán tối ưu .17 1.4.2 Giải thuật di truyền 18 1.4.2.1 Các khái niệm giải thuật di truyền 18 1.4.2.2 Cơ chế thực giải thuật di truyền 22 1.4.2.3 Các phương pháp biểu diễn nhiễm sắc thể toán tử di truyền chuyên biệt 25 iv 1.4.2.4 Biểu diễn thực 25 1.4.2.5 Các toán tử chuyên biệt hoá 26 1.5 Kết luận Chương 28 CHƯƠNG 2: GIẢI PHÁP NHÚNG GA VỚI PHƯƠNG PHÁP LẬP LUẬN XẤP XỈ MỜ DỰA TRÊN ĐẠI SỐ GIA TỬ 29 2.1 Phương pháp lập luận xấp xỉ mờ dựa đại số gia tử 29 2.2 Các giải pháp tối ưu tham số định lượng ngữ nghĩa 32 2.3 Các giải pháp xác định tham số định lượng ngữ nghĩa tối ưu 36 2.3.1 Giải pháp tối ưu tham số đại số gia tử 36 2.3.2 Giải pháp xác định mơ hình định lượng ngữ nghĩa tối ưu 37 2.3.2.1 Phân tích ảnh hưởng tham số hiệu chỉnh 37 2.3.2.2 Thuật toán xác định mơ hình định lượng ngữ nghĩa tối ưu 38 2.4 Phương pháp lập luận xấp xỉ mờ dựa đại số gia tử dựa mơ hình định lượng ngữ nghĩa tối ưu 40 2.4.1 Vấn đề xác định giá trị định lượng ngữ nghĩa tối ưu 40 2.4.2 Sử dụng tham số hiệu chỉnh tối ưu cho phương pháp lập luận xấp xỉ mờ dựa đại số gia tử .41 2.5 Tổng kết Chương 43 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LẬP LUẬN XẤP XỈ TỐI ƯU DỰA TRÊN ĐẠI SỐ GIA TỬ TRONG ĐIỀU KHIỂN 45 3.1 Phương pháp điều khiển mờ truyền thống 45 3.1.1 Phương pháp lập luận mờ điều khiển mờ 45 3.1.2 Phương pháp xây dựng điều khiển mờ dựa luật 45 3.1.3 Phương pháp xây dựng điều khiển mờ dựa mơ hình 45 v 3.1.4 Phương pháp xây dựng điều khiển thông minh dựa tri thức logic mờ 45 3.1.5 Bộ điều khiển mờ truyền thống 50 3.2 Phương pháp lập luận xấp xỉ mờ dựa đại số gia tử điều khiển 50 3.3 Phương pháp lập luận xấp xỉ mờ dựa đại số gia tử với mơ hình định lượng ngữ nghĩa tối ưu điều khiển 53 3.4 Ứng dụng 55 3.4.1 Bài tốn 1: Xấp xỉ mơ hình mờ EX1 Cao-Kandel [9] 55 3.4.2 Bài tốn 2: Bài tốn điều khiển mơ hình quạt gió cánh nhơm 60 3.5 Kết luận Chương 65 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 vi DANH MỤC BẢNG Bảng 2.1 So sánh giá trị ĐLNN 35 Bảng 3.1 Mơ hình EX1 Cao-Kandel 55 Bảng 3.2 Các kết xấp xỉ EX1 tốt Cao-Kandel [9] 56 Bảng 3.3 Mơ hình SAM gốc - xấp xỉ mơ hình EX1 58 Bảng 3.4 Mơ hình SAM (PAR2) - xấp xỉ mơ hình EX1 58 Bảng 3.5 Sai số lớn phương pháp mơ hình EX1 59 Bảng 3.6 Số liệu quan sát vào u, y hệ QGCN 61 Bảng 3.7 Hệ luật điều khiển hệ QGCN (bảng FAM) 62 Bảng 3.8: Mơ hình định lượng ngữ nghĩa chứa tham số PAR 63 vii DANH MỤC HÌNH Hình 1.1 Độ đo tính mờ 10 Hình 1.2 Mã hoá nhị phân biểu diễn cá thể 20 Hình 1.3 Biểu diễn giá trị  hai lần chọn 27 Hình 3.1 Sơ đồ phương pháp điều khiển CFC 50 Hình 3.2 Sơ đồ phương pháp điều khiển FCHA 51 Hình 3.3 Đường cong thực nghiệm mơ hình EX1 56 Hình 3.4 Kết xấp xỉ mơ hình EX1 Cao Kandel 59 Hình 3.5 Hệ thống quạt gió cánh nhơm PP-200 60 Hình 3.6 Phân hoạch mờ đầu vào u 62 Hình 3.7 Phân hoạch mờ đầu y 62 Hình 3.8 Đồ thị quan sát hệ QGCN sử dụng FCHA 64 Hình 3.9 Đồ thị quan sát hệ QGCN sử dụng FCOPHA 64 viii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Các ký hiệu:  Tổng độ đo tính mờ gia tử âm  Tổng độ đo tính mờ gia tử dương  Giá trị định lượng phần tử trung hòa AX Đại số gia tử AX* Đại số gia tử tuyến tính đầy đủ W Phần tử trung hòa đại số gia tử 𝜀 Ngưỡng hiệu chỉnh định lượng ngữ nghĩa δ Tham số hiệu chỉnh giá trị định lượng ngữ nghĩa c -, c + Các phần tử sinh Các chữ viết tắt: ĐLNN Định lượng ngữ nghĩa ĐSGT Đại số gia tử QGCN Quạt gió cánh nhơm GA Genetic Algorithm FMCR Fuzzy Multiple Conditional Reasoning FAM Fuzzy Associative Memory SAM Semantic Associative Memory HAR Hedge Algebras Reasoning OpPAR Optimal - Parameter CFC Conventional Fuzzy Control FCHA Fuzzy Control using Hedge Algebras FCOPHA Fuzzy Control using Optimal Hedge Algebras MỞ ĐẦU Khoa học ngày phát triển có nhiều thiết bị máy móc hỗ trợ cho đời sống người Các thiết bị máy móc “thơng minh” thay sức lao động thiết bị dạng dường đích mà người vươn tới Như vậy, nhu cầu thiết yếu sống tạo máy móc hành xử giống với người Hay nói cách khác máy phải biết suy luận để đưa định đắn Người tiên phong lĩnh vực Zadeh [11] Trong cơng trình ơng mơ tả cách toán học khái niệm mơ hồ mà ta thường gặp sống như: cao, thấp; đúng, sai tập mờ Nhờ việc xây dựng lý thuyết tập mờ mà người suy diễn từ khái niệm mơ hồ đến khái niệm mơ hồ khác mà thân logic kinh điển không làm Trên sở thơng tin khơng xác thu được, người ta đưa định hiệu cho tình tốn Tuy nhiên, phương pháp lập luận người vấn đề phức tạp khơng có cấu trúc Vì kể từ lý thuyết tập mờ đời nay, chưa có sở lý thuyết hình thức chặt chẽ theo nghĩa tiên đề hố cho logic mờ lập luận mờ Để đáp ứng phần nhu cầu xây dựng sở toán học cho việc lập luận ngôn ngữ, N.Cat Ho Wechler [12] đề xuất cách tiếp cận dựa cấu trúc tự nhiên miền giá trị biến ngơn ngữ, cơng trình, tác giả rằng, giá trị biến ngôn ngữ thực tế có thứ tự định mặt ngữ nghĩa, ví dụ ta hồn tồn cảm nhận rằng, ‘trẻ’ nhỏ ‘già’, ‘nhanh’ lớn ‘chậm’ Về mặt lý thuyết, năm 1990 N.Cat Ho Wechler xây dựng cấu trúc đại số gia tử (ĐSGT) cho biến ngôn ngữ [2,3], sở vấn đề định lượng nhãn ngôn ngữ ĐSGT đề cập [2], theo giá trị ngơn ngữ biến ngôn ngữ định lượng giá trị thực thuộc khoảng [0, 1], công thức hàm ngữ nghĩa định lượng xây dựng dựa tham số độ đo tính mờ của phần tử sinh gia tử ĐSGT ứng dụng vào số lĩnh vực xây dựng mơ hình sở liệu mờ Và gần ĐSGT ứng dụng vào lĩnh vực điều khiển mờ [2] Các kết cho thấy toán sử dụng tiếp cận ĐSGT đề cập cho kết tốt nhiều so với toán sử dụng tiếp cận mờ truyền thống Tuy nhiên vấn đề định lượng giá trị ngôn ngữ ĐSGT phương pháp lập luận mờ dựa ĐSGT hàm chứa nhiều câu hỏi cần tiếp tục giải như: - Giả thiết độ đo tính mờ phần tử trung hòa ĐSGT (fm(W) = 0) liệu có chặt ảnh hưởng đến q trình lập luận? - Vấn đề xác định tham số ánh xạ ngữ nghĩa định lượng (còn gọi tham số ĐSGT) nào? - Việc sử dụng phép kết nhập nội suy tuyến tính phương pháp lập luận mờ dựa ĐSGT liệu có hợp lý hay khơng? Đây nội dung cần nghiên cứu nhằm hồn thiện thêm phương pháp lập luận xấp xỉ mờ dựa ĐSGT Mục tiêu luận văn phát triển phương pháp lập luận xấp xỉ tối ưu dựa ĐSGT, cụ thể: - Nhúng giải thuật di truyền vào phương pháp lập luận xấp xỉ mờ dựa ĐSGT để giải vấn đề xác định tham số phương pháp - Dựa vào phương pháp lập luận xấp xỉ mờ ứng dụng điều khiển Phương pháp cài đặt thử nghiệm số toán điều khiển mờ, kết đánh giá so sánh với phương pháp lập luận khác công bố 3 CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Biến ngơn ngữ, mơ hình mờ 1.1.1 Biến ngôn ngữ Một biến ngôn ngữ biến mà “các giá trị từ câu ngôn ngữ tự nhiên ngôn ngữ nhân tạo” Ví dụ nói nhiệt độ ta xem biến ngơn ngữ có tên gọi NHIỆT_ĐỘ nhận giá trị ngơn ngữ “cao”, “rất cao”, “trung bình”… Đối với giá trị này, gán cho chúng hàm thuộc Giả sử lấy giới hạn nhiệt độ đoạn [0, 230oC] giả sử giá trị ngôn ngữ sinh tập quy tắc Khi đó, cách hình thức, có định nghĩa biến ngôn ngữ sau đây: Định nghĩa 1.1 Biến ngôn ngữ gồm năm thành phần (X,T(X), U, R, M), X tên biến, T(X) tập giá trị ngôn ngữ biến X, U không gian tham chiếu biến sở u, giá trị ngôn ngữ xem biến mờ U kết hợp với biến sở u, R qui tắc cú pháp sinh giá trị ngôn ngữ cho tập T(X), M qui tắc ngữ nghĩa gán giá trị ngôn ngữ T(X) với tập mờ U Ví dụ 1.1 Từ định nghĩa ta có tên biến ngơn ngữ X NHIỆT_ĐỘ, biến sở u có miền xác định U = [0, 230] tính theo oC Tập giá trị ngôn ngữ tương ứng biến ngôn ngữ T(NHIỆT_ĐỘ) = {cao, cao, tương_đối cao, thấp, thấp, trung bình, …} R qui tắc để sinh giá trị M quy tắc gán ngữ nghĩa cho giá trị ngôn ngữ gán với tập mờ Chẳng hạn, giá trị nguyên thủy cao, M(cao) = {(u, cao(u) | u  [0, 230]}, gán sau: u  170 0,  u  170  , 170  u  185 cao(u) =  15  185  u 1, Ngữ nghĩa giá trị khác T(NHIỆT_ĐỘ) tính thông qua tập mờ giá trị nguyên thủy phép toán tương ứng với gia tử tác động rất, tương_đối,… 1.1.2 Mơ hình mờ Cấu trúc mơ hình mờ tập bao gồm luật mà luật mệnh đề dạng “If…then…”, phần “If” gọi mệnh đề điều kiện hay tiền đề phần “then” gọi phần kết luận Mơ hình mờ dạng đơn giản hay cịn gọi mơ hình SISO (Single Input Single Output) tập luật mà luật chứa điều kiện kết luận cho sau: if X = A1 then Y = B1 if X = A2 then Y = B2 (1.1) if X = An then Y = Bn X, Y biến ngơn ngữ thuộc không gian U, V tương ứng giá trị ngôn ngữ A1, A2,…, An, B1, B2, …, Bn tập mờ Tuy nhiên, số lĩnh vực, chẳng hạn điều khiển, phụ thuộc biến vật lý không biểu diễn dạng đơn giản mơ hình mà bao gồm nhiều điều kiện ràng buộc Vì vậy, mơ hình mờ dạng tổng quát tập luật (mệnh đề If-then) mà phần tiền đề luật điều kiện phức viết sau: If X1 = A11 and and Xm = A1m then Y = B1 If X1 = A21 and and Xm = A2m then Y = B2 (1.2) If X1 = An1 and and Xm = Anm then Y = Bn X1, X2, …, Xm Y biến ngôn ngữ, Aij, Bi (i = 1,…, n; j = 1,…, m) giá trị ngôn ngữ tương ứng ([11]) 5 Hầu hết ứng dụng hệ chuyên gia mờ, phân cụm mờ, điều khiển mờ,… liên quan đến việc suy diễn mơ hình mờ phần khơng thể thiếu ứng dụng gắn liền với phương pháp giải toán lập luận xấp xỉ đa điều kiện Bài toán lập luận xấp xỉ mờ đa điều kiện phát biểu đây: Cho mơ hình mờ (1.2) giá trị ngơn ngữ A01, A02, …, A0m tương ứng với biến ngơn ngữ X1, X2, …, Xm Hãy tính giá trị Y Có nhiều phương pháp để giải toán Các phương pháp cụ thể trình bày Mục 1.3 1.2 Đại số gia tử Trong mơ hình mờ thường dùng mơ tả ngơn ngữ cho biến vật lý Với biến ngôn ngữ X, gọi X = Dom(X) tập giá trị ngôn ngữ biến X Miền giá trị X xem ĐSGT AX = (X, G, H, ) G tập phần tử sinh, H tập gia tử “” quan hệ cảm sinh ngữ nghĩa X Ta giả thiết G có chứa phần tử 0, 1, W với ý nghĩa phần tử bé nhất, phần tử lớn phần tử trung hòa (neutral) X Nếu tập X H tập thứ tự tuyến tính, ta nói AX = (X, C, H, ) ĐSGT tuyến tính Khi tác động gia tử h  H vào phần tử x  X, ta thu phần tử ký hiệu hx Với x  X ta ký hiệu H(x) tập tất phần tử u thuộc X xuất phát từ x cách sử dụng gia tử H ta viết u = hn…h1x, với hn, …, h1  H Bây xét vài tính chất phát biểu định lý ĐSGT tuyến tính Định lý 1.1 ([12]) Cho tập H– H+ tập thứ tự tuyến tính ĐSGT AX = (X, G, H, ) Khi ta có khẳng định sau: (1) Với u  X H(u) tập thứ tự tuyến tính 6 (2) Nếu X sinh từ G gia tử G tập thứ tự tuyến tính X tập thứ tự tuyến tính Hơn u < v, u, v độc lập với nhau, tức u  H(v) v  H(u), H(u)  H(v) Một cách tổng quát chứng minh tài liệu ([12]), miền ngơn ngữ biến ngơn ngữ tiên đề hóa gọi ĐSGT AX = (X, G, H, ), H tập thứ tự tuyến tính phận Chúng ta có định lý sau Định lý 1.2 ([12]) Cho ĐSGT AX = (X, G, H, ) Khi ta có khẳng định sau: (1) Các toán tử Hc so sánh với nhau, c  {+, –} (2) Nếu x  X điểm cố định toán tử h  H, tức hx = x, điểm cố định gia tử khác (3) Nếu x = hn…h1u tồn số i cho hi…h1u x biểu diễn chuẩn x tương ứng với u (x = hi…h1u hi…h1u ≠ hi-1…h1u) hjx = x với j > i (4) Nếu h ≠ k hx = kx x điểm cố định (5) Với gia tử h, k  H, x ≤ hx (x ≥ hx) x hx) hx < kx, h ≠ k, hx  +  = i 1 i Định nghĩa 1.3 (Sign function) Hàm dấu Sign: X  {−1, 0, 1} ánh xạ xác định đệ quy sau đây, h, h’  H c  {c, c+}: (1) Sign(c) = 1, Sign(c+) = +1, (2) Sign(h'hx) = Sign(hx), h’hx  hx h' âm h (hoặc tương ứng với c, h = I & x = c); (3) Sign(h'hx) = Sign(hx), h’hx  hx h' dương h (hoặc tương ứng với c, h = I & x = c); (4) Sign(h'hx) = 0, h’hx = hx Mệnh đề 1.2 Với gia tử h  H phần tử x  X, Sign(hx) = +1 ta có hx > x Sign(hx) = 1 hx < x Định nghĩa 1.4 Cho fm hàm độ đo tính mờ tập X Hàm định lượng ngữ nghĩa : X  [0,1], kết hợp với hàm fm, xác định sau: (1) (W) =  = fm(c), (c) =  − fm(c) = fm(c), (c+) =  + fm(c+); (2) (hjx) = (x) + Sign(h j x)  fm(hi x)   (h j x) fm(h j x) , j i  Sign ( j ) (hjx) = 1  Sign(h j x)Sign(hp h j x)(    ), j  {j: q  j  p & j  0} = [q^p] Mệnh đề 1.3 (1) Với x  X, ≤ (x) ≤ (2) Với x, y  X, x < y suy (x) < (y)  12 1.2.3 Đại số gia tử tuyến tính đầy đủ Để thuận tiện chứng minh đây, nhắc lại số khái niệm ĐSGT tuyến tính đầy đủ Định nghĩa 1.5 Đại số gia tử đầy đủ AX = (X, G, H, , , ≤) gọi tuyến tính tập phần tử sinh G = {0, c–, W, c+, 1} tập gia tử H– = {h-1, , h-q} H+ = {h1, , hp} tập thứ tự tuyến tính,   hai phép toán với ngữ nghĩa cận cận tập H(x), tức x = supremum(H(x)), x = infimum(H(x)), H = HH+, ta luôn giả thiết h-1 < h-2 < < h-q; h1 < < hp Định nghĩa 1.6 Giả sử AX = (X, G, H, , , ) ĐSGT đầy đủ, tuyến tính tự do, fm(x) (h) tương ứng độ đo tính mờ giá trị ngôn ngữ x gia tử h Khi đó, ta nói  ánh xạ cảm sinh độ đo tính mờ fm ngơn ngữ xác định sau: (1) (W) =  = fm(c), (c) =  – fm(c) = fm(c), (c+) =  +fm(c+); Sign ( j ) (2)  (h j x)   ( x)  Sign(h j x)ijSign ( j )  ( hi ) fm( x )   ( h j x )  ( h j x ) fm( x ),  (h j x)  1  Sign(h j x)Sign(h p h j x)(   )  ,  , với j, –q  j  p j  0; (3) (c) = 0, (c) =  = (c+), (c+) = 1, với j thỏa –q  j  p, j  0, ta có: (hjx) = (x) + Sign ( j ) Sign(h j x)ijSign ( j )  ( hi ) fm( x) 1  Sign(h j x) (h j ) fm( x), (hjx) = (x) + Sign ( j ) Sign(h j x)ijSign ( j )  ( hi ) fm( x)  1  Sign(h j x) (h j ) fm( x) 13 Một số tính chất giá trị ngôn ngữ: Trước hết việc xây dựng ánh xạ  để gán phần tử x  X với đoạn đoạn [0,1] cho đoạn (x) đoạn [0,1] có độ dài độ đo tính mờ phần tử x Cho trước ĐSGT tuyến tính đầy đủ AX = (X, G, H, , , ) hàm độ đo tính mờ fm: X  [0,1] Gọi Intv([0,1]) họ tất đoạn đoạn [0,1] Việc gán ngữ nghĩa mờ xác định ánh xạ  : X  Intv([0,1]) thỏa điều kiện sau: (1) Với x  {c, c+} (c), (c+) đoạn đoạn [0,1] Ký hiệu |.| độ dài đoạn, ta có |(c)| = fm(c), |(c+)| = fm(c+) (c) ≤ (c+) (2) Giả sử x  X, x có độ dài n, ký hiệu l(x) = n, ta gán |(x)| = fm(x) x < y (x) ≤ (y) Hơn h−qx < … < h−1x < h1x < h2x cho trước Mệnh đề 1.4 Cho ĐSGT tuyến tính đầy đủ AX = (X, G, H, Σ, Φ, ) số ε > bé tùy ý Đặt k   log  ( /  ) λ = max{µ(hj): j  [−q^p]}, γ = max{fm(c−), fm(c+)} Khi với giá trị thực r  [0,1] tồn giá trị ngôn ngữ x  Xk thỏa |(x) − r| ≤ ε 1.2.4 Khái niệm ngưỡng hiệu chỉnh định lượng ngữ nghĩa Giả thiết ĐSGT AX* = (X*, G, H, ρ , , ) tuyến tính, đầy đủ tự do, X* tập sở, G = (0, c-, W, c+, 1) với c-, c+ phần tử sinh, 0, W, tập phần tử không sinh nghĩa, (phần tử W gọi phần tử trung hòa), H tập gia tử âm dương,  quan hệ thứ tự toàn phần X*, ρ  hai phép toán mở rộng cho với x  X*, x, ρx tương ứng cận cận X* tập H(x), tập tất phần tử sinh từ x nhờ gia tử H Giả sử H = HH+ H = {h-1, , h-q}, với h-1