Chứng minh rằng: Trong một hình thang, tổng các bình phương hai đường chéo bằng tổng các bình phương hai cạnh bên cộng hai lần tích hai cạnh đáy.. Bài 5: (5 điểm).[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT HUYỆN KẾ SÁCH
¯¯¯¯¯¯¯
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Đề thức
Mơn: Toán - lớp 9
(Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian phát đề) Ngày thi 18/12/2016
¯¯¯¯¯
Đề thi có 01 trang
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức:
1 2
1 2
x x
P
x x x x x x
a) Tìm điều kiện để biểu thức P xác định. b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tìm giá trị P với x 3 2.
Bài 2: (4 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y =
5 17 3x
(1) cắt đường thẳng y = 4x (2) tại A y =
1 4x
(3) tại B.
a) Xác định tọa độ điểm A, B bằng phương pháp đại sớ. b) Tam giác AOB tam giác gì? Tại sao?
c) Tính chu vi diện tích tam giác AOB.
Bài 3: (4 điểm)
Hai người thợ cùng làm một công việc 16 xong Nếu người thứ nhất làm giờ, người thứ hai làm làm được 25% khối lượng công việc. Hỏi mỗi người thợ làm mợt cơng việc đó mới xong?
Bài 4: (3 điểm)
Chứng minh rằng: Trong mợt hình thang, tổng bình phương hai đường chéo bằng tổng bình phương hai cạnh bên cợng hai lần tích hai cạnh đáy.
Bài 5: (5 điểm)
Cho hình vng ABCD Gọi E mợt điểm cạnh BC Qua A kẻ tia Ax vuông góc với AE Ax cắt CD tại F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD ở K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G Chứng minh:
a) AE = AF tứ giác EGFK hình thoi b) AF2 = FK.FC
(2)-Hết -PHÒNG GD&ĐT HUYỆN KẾ SÁCH
¯¯¯¯¯¯¯
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Đề thức
Mơn: Tốn - lớp 9
(Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian phát đề) Ngày thi 18/12/2016
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 2
1 2
x x
P
x x x x x x
4,0 điểm
a 1,0 điểm
Biểu thức P có nghĩa chỉ
0
2
1 x x x x 0,5đ 1 2 3 x x x x x x x
Điều kiện xác định x 1; x ≠ 2; x ≠
0,5đ
b 2,0 điểm
1 2
1 2
x x
P
x x x x x x
=
1 ( 3)( 2) 2
( 1)( 1) ( 2)( 2) ( )
x x x x x
x x x x x x x x x
0,5đ =
1 ( 3)( 2) 2
( 1) ( 2) ( )
x x x x x x
x x x x x
0,5đ =
1
x x x
x
0,5đ
=
( x 2)( 1) x 0,25đ x P x 0,25đ
c 1,0 điểm
Thay x 3 2 hay x 2 2 ( 1) vào biểu thức
(3)2 2 ( 1)
( 1)
P
2
2
0,25đ
2 ( 1) 2
2
P
1 P
0,25đ
2
2 ( 2)
P
0,25đ
Bài 2
Các đường thẳng y =
5 17 3x
(1); y = 4x (2); y = 4x
(3) 4,0 điểm
a 1,5 điểm
Hồnh đợ giao điểm điểm A nghiệm phương trình: 17
3x
= 4x
0,25đ
Giải phương trình ta được x =
Thay x = vảo (2) ta được y = 0,25đ
Tọa độ điểm A (1; 4) 0,25đ
Hồnh đợ giao điểm điểm B nghiệm phương trình: 17
3x
= 4x
0,25đ
Giải phương trình ta được x =
Thay x = vảo (3) ta được y = -1 0,25đ
Tọa độ điểm B (4; -1) 0,25đ
b 1,5 điểm
Ta có tích hệ số góc đường thẳng y = 4x (2); y = 4x
(3) là:
4 (
) = -1 nên hai đưởng thẳng vuông góc với
0,5đ
OA = 1242 17 0,25đ
OB = 1242 17 0,25đ
Suy OA = OB 0,25đ
Do đó tam giác AOB vuông cân tại O 0,25đ
c 1,0 điểm
Áp dụng đinh lý Pitago vào tam giác vuông cân AOB ta có:
AB = OA2OB2 2.OA2 2( 17)2 34 0,5đ
Chu vi tam giác AOB bằng AB + OA + OB =
= 17 + 17 + 34 = 17+ 34 0,25đ
Diện tích tam giác AOB bằng
2
( 17) 17
2 2
OA OB OA
(4)Bài 3 4,0 điểm Gọi thời gian để người thứ nhất làm mợt xong cơng việc x (giờ); x > 16;
Gọi thời gian để người thứ hai làm mợt xong cơng việc y (giờ); y > 16; 0,5đ
Trong người thứ nhất làm được khối lượng công việc x;
Trong người thứ hai làm được khối lượng công việc
y;
0,5đ
Hai người làm chung 16 xong cơng việc nên ta có phương trình
x + y =
1 16 (1)
0,5đ
Sau người thứ nhất làm được
x khối lượng công việc
Sau người thứ hai làm được
y khối lượng công việc
0,5đ
Vì hai người làm được 25% khới lượng cơng việc nên ta có phương trình:
x + y =
1 4 (2)
0,25đ
Theo đề ta có hệ phương trình: 1
6 x y x y
0,25đ
Giải hệ phương trình ta được:
24 48 x y
1,0đ
Vậy thời gian để người thứ nhất làm mợt xong cơng việc 24 (giờ);
thời gian để người thứ hai làm một xong cơng việc 48 (giờ) 0,5đ
Bài 4 3,0 điểm
0,5đ
Hạ AE, BF vuông góc với DC (E, F thuộc DC) Áp dụng định lý Pitago cho:
- Tam giác vuông EAC có: AC2 = AE2 + EC2 = AE2 + EF2 + FC2 + 2EF.FC. 0,5đ
- Tam giác vuông AED có AE2 = AD2 - DE2. 0,25đ
Suy ra: AC2 = AD2 - DE2 + EF2 + FC2 - 2EF.FC (1) 0,25đ
- Tam giác vuông BFD có: BD2 = BF2 + FD2 = BF2 + EF2 + DE2 + 2EF.DE. 0,5đ
- Tam giác vuông BFC có BF2 = BC2 - FC2. 0,25đ
Được: BD2 = BC2 - FC2 + EF2 + DE2 + 2EF.DE (2) 0,25đ
Cộng (1) ( 2) được: AC2 + BD2 = AD2 + BC2 + 2EF2 + 2EF.FC + 2EF.DE
= AD2 + BC2 + 2EF (EF + FC + DE ) = AD2 + BC2 + 2EF.DC 0,25đ
Tứ giác ABFE hình chữ nhật nên FE = AB
Do đó AC2 + BD2 =AD2 + BC2 + 2AB.DC. 0,25đ
D E
A B
(5)Bài 5 5,0 điểm A
I
D C
B
x
E
F K
G
0,5đ
a AE = AF tứ giác EGFK hình thoi 2,0 điểm
AB = DA (ABCD hình vng) B D = 1v
AB AD ; AE AF (gt)
BAE DAF (góc có cạnh tương ứng vuông góc) ABE = ADF (gcg)
0,5đ
nên AE = AF 0,25đ
vuông AEF vuông cân tại A AI EF 0,25đ
IE = IF (I trung điểm EF) FG // AB // CD
IEG IFK (cặp góc so le trong) EIG FIK (cặp góc đối đỉnh)
EIG = FIK (gcg) nên IG = IK
0,5đ
Vì tứ giác EGFK có hai đường chéo vừa cắt ở trung điễm mỗi đường vừa
vuông góc với Do đó tứ giác EGFK hình thoi 0,5đ
b AF2 = FK.FC. 1,5 điểm
KAF = 450 (AK trung tuyến vừa phân giác tam giác cân AEF) 0,25đ
ACF = 450 (AC đường chéo hình vng ABCD) 0,25đ
KAF ACF = 450; 0,25đ
F góc chung 0,25đ
KAF ACF 0,25đ
AF KF
CF AF AF.AF = KF.CF hay AF2 = FK.FC 0,25đ
c Chu vi tam giác EKC không đổi 1,0 điểm
EK = FK (EGFK hình thoi) FK = DK + DF
DF = BE (ABE = ADF) EK = BE + DK
0,5đ
Chu vi EKC = KC + CE + EK = KC + CE + BE + DK
Hay chu vi EKC = KC + DK + BE + CE = CD + BC = 2BC 0,25đ Vì BC canh hình vng ABCD không đổi nên chu vi EKC = 2BC không đổi 0,25đ Ghi chú: Thí sinh giải theo cách khác Nếu cho trọn số điểm theo qui định
(6)