Đang tải... (xem toàn văn)
Tính theå tích cuûa khoái troøn xoay taïo thaønh khi quay hình (H) quanh truïc Ox.[r]
(1) Chuyên đề 4: TÍCH PHÂN
Vấn đề 1:
BIẾN ĐỔI VỀ TỔNG – HIỆU CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng ba tích chất sau để biến đổi tích phân cần tính thành tổng – hiệu tích phân
1/ b b
a a
k.f(x)dx k f(x)dx 2/ b b b
a a a
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx
3/ b c b
a a c
f(x)dx f(x)dx f(x)dx
BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp
1 dx x c; kdx kx c
2
x dx x c, ( 1)
3 dxln x c
x
4 e dx ex x c
5 a dxx ax c (0 a 1)
lna
6 cosxdx sinx c sinxdx cosx c dx2 tanx c
cos x
9 dx2 cot x c
sin x
10 tanxdx ln cosx c 11 cot xdx ln sinx c
(u = u(x))
1
u u'dx u c ; ( 1)
1
2 u'dx ln u c
u
3 e u'dx eu uc
4 a u'dxu au c (0 a 1)
lna
5 u'cosudx sin u c u'sin udx cosu c u' dx tanu c2
cos u
8 u' dx cotu c2
sin u
(2)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Đặc biệt: u(x) = ax + b; f(x)dx F(x) c f(ax b)dx 1F(ax b) c
a
1
(ax b) dx (ax b) c
a
2
dx 1ln ax b c
ax b a
3 eax b dx1eax b
a
4
a x dx 1ln x c cos(ax b)dx 1sin(ax b) c
a
6 sin(ax b)dx 1cos(ax b) c
a
7
dx 1 tan(ax b) c
a cos (ax b)
dx
8 cot(ax b) c
a sin (ax b)
1
9 tan(ax b)dx ln cos(ax b) c
a
10 cot(ax b)dx ln sin(ax b) c
a
11
2
dx ln x a c
2a x a
x a
B – ĐỀ THI Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011
Tính tích phân
2x
I dx
x(x 1)
Giaûi
I =
1
(x 1) xdx x(x 1)
=
1
1 1 dx
x x
= lnx(x 1)12 ln6 ln3
2
Baøi 2: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010
Tính tích phân:
1
2x
I dx
x
Giaûi
1
2x
I dx
x =
1
3
2 dx
x =
1
2x 3ln x = – 3ln2
Bài 3: CAO ĐẲNG GTVT III KHỐI A NĂM 2007
Tính tích phân sau:
2
2
x x 3x 2x
I dx
x x
Giaûi
(3)
4
2
2
x x 3x 2x x 3 x
x x x x =
2
x
x x
2
1
I x dx
x x
2
1
x 3x ln x 2ln x
3
I = 16ln3
3
Bài 4: CAO ĐẲNG KINH TẾ – CÔNG NGHIỆP TPHCM NĂM 2007 Tính tích phân:
1x
dt I(x)
t(t 1), với x > Từ tìm xlim I(x)
Giải
I(x) =
x x
1
dt 1 dt
t t t t =
x x
1 1
t
lnt ln t ln
t
=
x
ln ln
x
x x
x
lim I x lim ln ln ln2
x
Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005
Tính tích phân: 4 sin x
tan x e cosx dx
Giaûi
4 sin x 4 4 sin x
0 0
I tanx e cosx dx tanxdx sinx 'e dx
=
sin x
0 0
ln cosx + e
2
ln e
Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ
Tính tích phân: 3
dx I
x x
Giaûi
13 13 22 13 13
dx x x x 1 2x
I dx dx dx
x x
(4)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
2
1 3
lnx 2ln(x 1) lnx ln x
1
x 3
ln ln ln ln
2
1
1 x
Baøi 7:
Tính tích phân : I =
2
x xdx
Giaûi
Tính
2
2 2
0
I x x dx x x dx x x dx
Do : x
x2x +
3 1 2
x x x x
I
0
3
Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ Cho hàm số: f(x) =
x
a bxe
x
Tìm a b biết f’(0) = 22 1
f(x)dx
Giải
Ta coù:
x
a
f(x) bx.e
(x 1)
x
3a
f (x) be (x 1) f (0) 3a b 22 (1)
(x 1)
1
1 1
3 x x x
2
0 0
a 3a
f(x)dx a(x 1) dx b xe b(xe e ) b (2)
8 2(x 1)
(1) vaø (2) ta có hệ:
3a b 22 a 8
3a b 5 b 2
8
(5) Vấn đề 2:
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI I
1 Sử dụng công thức:
b
a
f[u(x)].u (x)dx f(u)du
2 Phương pháp: Xét tích phân b a
I f(x)du
- Đặt t = u(x) dt = u'(x)dx - Đổi cận u(a) = t1 ; u(b) = t2
- Suy ra: t2 t2t1 t1
Ig(t)dt g(t) (g(t) f[u(x)].u (x)) Thường đặt ẩn phụ t
thức, mũ e, mẫu số, biểu thức ngoặc có sinxdx đặt t = cosx, có cosxdx đặt t = sinx, có dx
x đặt t = lnx
ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI II
Công thức:
/ b
a
f( (t)) (t)dt f(x)dx ; x (t); ( ) a, ( ) b
Tính: b a
I f(x)dx
Đặt x (t) dx (t)dt
Đổi cận: x (t); ( ) a, ( ) b Khi đó:
b
a
I f( (t)) (t)dt f(x)dx
Các dạng thường gặp: b
2
a
a x dx đặt x asint
2
b
2
a
dx đặt x asin t
a x
b
2
a
dx đặt x atan t
a x
(6)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Tính tích phân :
xsinx x cosx
I dx xsinx cosx Giaûi
Ta coù:
xsin x cosx x cosx
I dx
xsin x cosx
x cosx dx
xsin x cosx
4
0
xcosx xcosx
x dx dx
xsinx cosx xsinx cosx
Đặt t = xsinx + cosx dt = xcosxdx Khi x = t = 1, x =
4thì t =
2 1 Suy ra: 1 dt I t 1 ln t ln 4
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 Tính tích phân:
0
4x
I dx
2x
Giải
Đặt: t 2x 2 2x t 2 2x t 2 4t
x t2 4t
dx = (t – 2)dt x = t = 3, x = t =
Suy ra:
2
t 4t
4
2
I t dt
t =
2t 8t t
dt t
= 3
2t 12t 21t 10dt
t
=
3
10
2t 12t 21 dt
t = 3
2t 6t 21t 10ln t
3 =
34 10ln3
3
(7)Tính tích phaân: I = e
2
ln x dx
x(2 ln x)
Giaûi
Đặt u lnx du1dx
x , x = u = 0, x = e u =
1
0
u
I du du
2 u
2 u u
1
2 ln u
2 u
2
ln3 ln2
3
3
ln
2
Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009
Tính tích phân:
x
dx I
e
Giải
Đặt t = ex dx = dt
t ; x = t = e; x = t = e
3
e e
e e
dt 1
I dt
t t t t
3
e e
e e
ln t ln t ln e 2 e 2
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008
Tính tích phân: 6
0
tan x
I dx
cos2x
Giải
Cách 1: Đặt t = tanx dt = (1 + tan2x)dx
dt dx
1 t
2
1 t cos2x
1 t
Đổi cận: x = t = 0; x t
6
Khi đó:
3
3
2
2
0
t
I dt t dt
(8)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
3
t t 1 tln 1ln 10
3
3 t 0
Cách 2:
Ta có:
6 6
2 2
0 0
tan x tan x tan x
I dx dx dx
cos2x cos x sin x cos x(1 tan x)
Đặt: t = tanx dt dx2
cos x
Đổi cận: x = t = 0; x t
6
Khi đó:
3
3
2
t 10
I dt ln
2
1 t
Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008
Tính tích phân:
4
sin x dx
4 I
sin2x 2(1 sinx cosx)
Giải
Tính tích phân:
4
sin x dx
4 I
sin2x 2(1 sinx cosx)
Đặt t = sinx + cosx
dt (cosx sinx)dx sin x dx
4
Đổi cận: x = t = 1; x t
Ta coù: t2 = sin2x + cos2x + 2sinxcosx = + sin2x sin2x = t2–
Khi đó:
2 2
1
2 dt dt
I
2 t 2(1 t) (t 1)
2 1. 2 1
2 t 11 2
Bài 5: ĐẠI HỌC SAØI GỊN KHỐI B NĂM 2007 Tính tích phân:
1
1
I dx
(9)Giaûi
I =
1
2
1 dx
1
x
2
Đặt x 3tant, t ; dx 31 tan t dt2
2 2 2
I =
2
2
3 tan t
2 dt
3 1 tan t 3 3
4
Bài 6: CAO ĐẲNG XÂY DỰNG SỐ NĂM 2007 Tính tích phân: I =
1e
dx x lnx
Giaûi Đặt: t31 lnx lnx = t3– 1, dx3t dt2
x
Đổi cận: x = t = 1; x = e t32 I13 23tdt 3t2 323 33
2
Bài 7: CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM NĂM 2007 Tính tích phân:
01xx dx2 1
Giaûi
01 xdx2 01 2dx
I I I
x x ;
2
1 1
I ln(x 1) ln2
0
2
Đặt x = tant,
dt
t 0, , dx
4 cos t
4
2 0
I dt
4 Vaäy
1
I ln2
2
Baøi 8: CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN NĂM 2007
Tính tích phân:
2
3
sin x
I dx
(10)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Giải
Đặt t = cosx dt = sinxdx x
3
2
t
2
I =
1
0 2
2
1 0
2
1
dt dt dt
3
2t t 2t t t 2t 1
I =
1 ln ln 1ln4
t 2t
3
Bài 9: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Tính tích phân: I =
dx
2x 4x
Giaûi
Đặt t 4x 1 x t21dx1tdt
4
5 5
2 2
3 3
t dt t 1 1
2
I dt dt
t
t (t 1) (t 1)
2 t
4
5
1
ln t ln
3
t 12
Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Tính tích phân: I =
10
dx x x
Giaûi
Đặt t = x 1 t2 x dx 2tdt vaø x = t2 +
Đổi cận x 5t 2 103
Khi đó: I =
3
2
2
2tdt 2 1 dt
t
t 2t t
=
3
2
2ln t 2ln2
(11)Bài 11: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006
Tính tích phân:
2
2
0
sin2x
I dx
cos x 4sin x
Giải
Ta có:
2
2
0
sin2x
I dx
cos x 4sin x =
2
2
sin2x dx
1 3sin x
Đặt t = + 3sin2x dt = 3sin2xdx
Với x = t = 1, với x =
2 t =
4
1
1 dt 2
I t
3 t 3
Bài 12: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Tính tích phân:
ln5
x x
ln3
dx I
e 2e
Giaûi
ln5 ln5 x
x x 2x x
ln3 ln3
dx e dx
I
e 2e e 3e
Đặt t = ex dt = ex dx Với x = ln3 t = ; với x = ln5 t =
5 5
3
dt 1
I dt
(t 1)(t 2) t t =
t
ln ln
t
Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005
Tính tích phân: I =
2
sin2x sin x dx 3cosx
Giaûi
2
(2cosx 1)sin x
I dx
1 3cosx
Ñaët t =
2
t
cosx 3cosx
3sin x
dt dx
2 3cosx
x = t = 2, x =
(12)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN I =
1 2
2
2
t 2
2 dt 2t dt
3
=
3
2 2t t 16 2 1 34.
9 3 27
1
Bài 14: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005
Tính tích phaân:
2
sin2x cosx
I dx
1 cosx
Giải
Ta có
2
sin2x cosx
I dx
1 cosx Đặt t = + cosx dt = sinxdx
x = t = 2, x =
2 t =
1 2
2
(t 1)
I ( dt) t dt
t t
=
2
t
2 2t ln t
2
1
= 2
1
(2 ln2) 2ln2
2
Bài 15: ĐỀ DỰ BỊ
Tính tích phân: 3
0
I sin x.tan xdx
Giaûi
3 3
0
sinx
I sin xtanxdx sin x dx
cosx
Đặt t = cosx dt = sinxdx dt = sinxdx, sin2x = – t2
Đổi cận
x 3 t 12
1
1 1
2 1
1 1
2
2
(1 t ) t
I dt t dt lnt ln2
(13)Bài 16: ĐỀ DỰ BỊ
Tính tích phân:
x
I dx
x
Giaûi
x
I dx
x
Đặt t3x 1 t3 x 3t dt dx2 x t3
Đổi cận: x 0t 1 72
2
2
2
1 1
t t t 231
I 3t dt t t dt
t 10
Bài 17: ĐỀ DỰ BỊ
Tính tích phân:
3
e
1
ln x
I dx
x lnx
Giaûi
1e3
ln x
I dx
x lnx
Đặt t lnx 1 t2 = lnx +
dx 2tdt
x ln x t
Đổi cận
3
x e
t
2 2 2 4 2
1
(t 1)
I 2tdt (t 2t 1)dt
t =
5
3
t 76
2 t t
1
5 15
Bài 18:
Tính tích phân:
x I
1 x 1dx
Giaûi
Đặt t = x 1 t2 = x 2tdt = dx Đổi cận
(14)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Vaäy
2
1
2
0 0
t 2t t t 2
I dt dt t t dt
1 t t t
1
3
0
t t 11
I 2t 2ln | t 1| 4ln2
3
Bài 19:
Tính tích phân: e
1 3lnx.lnx
I dx
x
Giải
Đặt t 3lnx t2 1 3lnx 2tdt = 3dx x
Đổi cận
x e t =
x t =
2 2
4
1
2
t 2tdt 2 t t 116
I t t t dt
1
3 9 135
Bài 20: ĐỀ DỰ BỊ
Tính tích phân: 2 42
x x
I
x dx
Giaûi
I =
2
2
2 2
0
x x 1dx x 4 x 17 dx
x x x
=
2 2
3
2
2 0
x 4x 1ln x 4 17 dx
3 x 4
Tính: I1 =
2
dx
x Đặt x = 2tant dx = 2(tan
2x + 1)dt
Đổi cận:
x t
4
I1 =
4 4
2 0
0
tan t 1
2 dt dt
2
4 tan t
Vaäy I =
2
2
x 4x 1ln x 4 17.
3 =
17 16 ln2
(15)Bài 21:
Tính tích phân:
2
dx I
x x
Giải Tính tích phân
2
dx I
x x Ta coù
2 3
2 2
5
dx xdx
I
x x x x
Đặt
2 2
2
xdx
t x t x dt =
x
Đổi cận
x t =
x t =
Vaäy
2
4
dt t 1 1
I ln ln ln ln
3
4 t
t
Bài 22: ĐỀ DỰ BỊ Tính tích phân:
ln3 2x
x ln2
e dx I
e
Giaûi
ln5 2x
x ln2
e
I dx
e Đặt t =
x
e 1 t2 = ex– 2tdt = exdx vaø ex = t2 +
Đổi cận: x ln2t 1 ln52
2
2
1
t 2tdt t 20
I t
t 3
Bài 23:
Tính tích phân:
4
1 2sin x
I dx
1 sin2x
Giaûi
Ta coù 4
0
d sin2x
cos2x 1
I dx ln sin2x ln2
1 sin2x sin2x 0
Bài 24: ĐỀ DỰ BỊ Tính tích phân:
ln3 x
3 x
e dx I
e
(16)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Giaûi
ln3 x
3 x
e
I dx
e
Đặt t e x 1 dt e dx x ; Đổi cận: x ln3t 2 4
Khi 4
3
2 2
dt
I
t t
Bài 25: ĐỀ DỰ BỊ
Tính tích phân:
26
0
I cos x sinxcos xdx
Giaûi
26 26 3
0
I cos x sinxcos xdx cos x.cos x.sinx.cos xdx
Đặt t61 cos x t6 1 cos x3 6t dt 3sinxcos xdx5 2t5dt = sinxcos2xdx vaø cos3x = – t6
Đổi cận;
x 2
t
1
1 13
6 12
0 0
2 2t 12
I t t 2t dt 2t 2t dt t
7 13 91
Baøi 26: CAO ĐẲNG KINH TẾ TP HCM
Tính tích phân: 2
I xsin2xdx
Giải
u x du dx
cos2x
dv sin2xdx v
2
Vaäy: I =
2
2
0 0
1
xcos2x cos2xdx sin2x
2 4
(17) Vấn đề 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Công thức: b bab
a a
u(x).v (x)dx u(x).v(x) v(x).u (x)dx
Viết gọn: b ba b
a a
udv uv vdu
B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011
Tính tích phân: 2
1 xsin x
I dx
cos x
Giải
Ta có: 2 2 2
0 0
1 xsin x xsin x
I dx dx dx
cos x cos x cos x
3 3
0 2
0
xsin x xsin x
tan x dx dx
cos x cos x
Tính J = 2
xsin x dx cos x
phương pháp tích phân phần Đặt: u = x du = dx
dv = sin x2
cos xdx, choïn v = cosx
Suy ra: J = 3
0 0
x 1 dx
cosx cosx
=
3
2 dx
3 cosx
Tính K = 3 2
0
1 dx cosx dx
cosx sin x
(18)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Suy ra:
3 3
2 2
2
0
dt 1 t
K ln ln
2 t 2
1 t
2
1ln ln 2 3
2
Vaäy I = ln 2 3
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009
Tính tích phân:
3
2
3 ln x
I dx
x
Giaûi
dx 1
u lnx dv ; du dx v
x x
x
3
1 1
3 lnx dx
I
x x x
3
1
3 ln3 1dx dx
4 x x
3
1
3 ln3 ln x ln x 1 3 ln27
4 16
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008
Tính tích phân:
3
ln x
I dx
x
Giải
Tính tích phân:
3
ln x
I dx
x Đặt:
u ln x
dx du dx
dv x
x
, choïn v 12 2x
2
2
1
2
1
I ln x dx
1
2x 2x =
1ln2 12 2 1ln2 3 2ln2
1
8 4x 16 16
Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007
Tính tích phân: e
3
1
I x ln xdx
(19)Tính tích phân
Đặt u = ln2x du2lnxdx; x dv = x
3dx v x4.
Ta coù:
e e
4 e
2 3
1
1
x e
I ln x x lnxdx x lnxdx
4
Đặt u = lnx dudx
x , dv = x
3dx, choïn vx4. Ta coù
e e
e e 4
3
1 1
x e 3e
x lnxdx lnx x dx x
4 4 16 16
Vaäy I5e41
32
Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
Tính tích phân:
2x
I (x 2)e dx
Giải
Tính tích phân
1
2x
I (x 2)e dx Đặt
2x 2x
u x 1
du dx, choïn v = e dv e dx
1
2x 2x
0
1
I (x 2)e e dx
2 =
2x
0
e 1 1e 3e
2 4
Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
Tính tích phaân: I =
2
(x 1)sin2xdx
Giải
Đặt
u x du dx, choïn v 1cos2x
dv sin2xdx
2
0
x 1
I cos2x cos2xdx
2
(20)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Tính tích phân: I =
2
(x 2)ln xdx
Giải Đặt
2
u lnx 1 x
du dx, choïnv 2x
dv x dx x
I =
2 2
2
1
x 2x lnx x 2 dx 2ln2
2
Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005
Tính tích phân:
2
0
I 2x cos xdx
Giaûi
2 2
0
1 cos2x
I (2x 1)cos x.dx (2x 1) dx
2
2 2
0
1 (2x 1)dx (2x 1)cos2x.dx
2
Tính
2 2
1
0
I (2x 1)dx x x
4
Tính 2
0
I (2x 1)cos2x.dx
Ñaët
u 2x du 2dx choïnv 1sin2x
dv cos2xdx
2
2
0 0
1
I (2x 1)sin2x sin2xdx cos2x
2
I1I11I22
(21)Baøi 9:
Tính tích phân:
2
I ln x x dx
Giaûi
2
I ln x x dx
Ta coù I =
3 3
2
2 2
ln x x dx lnx x dx lnx ln x dx
Đặt
dx u lnx du =
x dv dx choïn v = x
3
1
2
3
I lnxdx xlnx dx xlnx x 3ln3 2ln2
2
3ln3 2ln2 1
3
2
2 1
2
I ln x dx lnudu ulnu u 2ln2
Vaäy
2
1
2
I ln x x dx I I 3ln3 2ln2 2ln2 1 I 3ln3 2
Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ
Tính tích phân:
4
x
I dx
1 cos2x
Giaûi
4 4
0
x xdx
I dx
1 cos2x cos x Đặt
u x du dx
du
dv choïn v tan x cos x
4
4 4
0
0 0
1 1
I xtanx tanxdx xtanx ln cosx ln2
2 2
Bài 11: CĐ KINH TẾ – KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP I Tính tích phân:
13
lnx
I dx
(22)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Giaûi
Đặt u = lnx dudx
x
dv = (x + 1)-2dx, choïn
1 v
x
3
1
3
lnx (x 1) x 1
I dx ln3 dx
1
x x(x 1) x x
=
3
1ln3 ln x 1ln3 ln3
4 x
Bài 12: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI Tính tích phân:
4
0
ln 2x
I dx
(2x 1)
Giaûi
Đặt u = ln 2x 1 , dv=
(2x 1) dx du = (2x 1)1dx, choïn v = (2x 1) 12
I =
4
0
1
(2x 1) ln 2x 1 ln3
3
Bài 13: CAO ĐẲNG KINH TẾ TP HCM
Tính tích phân : 2
I xsin2xdx
Giaûi
u x du dx
cos2x dv sin2xdx, choïnv
2
Vaäy: I =
2
2
0 0
1
xcos2x cos2xdx sin2x
2 4
2
Vấn đề 4:
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHỐI HỢP
A.ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010
Tính tích phân :
xx x
1
x (1 2e ) e
I dx
(23)Giaûi
x x x
x x
1 1
0 0
x (1 2e ) e e
I dx x dx dx
1 2e 2e
1
0
1
x
I x dx
3
x
2 x
1
e
I dx
1 2e =
xx
1
1 d(1 2e )
2 2e =
1 x
0
1ln(1 2e )
2 =
1ln 2e
2
Vaäy I =
1 1ln 2e
3
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010
Tính tích phaân:
e
1
3
I 2x ln xdx
x
Giaûi
e e e
1 1
3
I 2x lnxdx xlnxdx lnx dx
x x
Xeùt 1 e
I x ln xdx Đặt u lnx dudx
x ;
2
x
dv xdx v
2
Do
2 2
1
e e e
1
1
x e x e
I lnx xdx
2 2 2
Xeùt I2 =
e
1 ln x dx
x
Đặt t = lnx dt dx x
Với x = t = 0; x = e t =
Do
1
2
0
t
I tdt
2 Vaäy
e2
I
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009
Tính tích phân
2
0
(24)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Giaûi
2 2
0
I cos xdx cos xdx
Đặt t = sinx dt = cosxdx; x = t = 0, x t
1
2 2 2
5 2
1
0
0 0
2
I cos xdx sin x cosxdx t dt t t t
3 15
2 2
2
0
0
1 1
I cos xdx cos2x dx x sin2x
2 2
Vaäy I I 1 I2 8
5
Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009
Tính tích phân 1 2x x
I e x e dx
Giải
Ta có 1 x 1 x
0
I e dx xe dx
11 x
0
I e dx x1
0
1
e
e
2 1 x
0
I xe dx Đặt u x du dx; đặt dv e dx, chọn v e x x
Suy 2 x1 1 x
0
I xe e dx Vaäy I I 1 I2 2 e
Bài 5: ĐẠI HỌC SÀI GỊN KHỐI A NĂM 2007 Tính:
1
2x
I dx
x x
Giaûi
I =
1 1
0
2x dx 2 dx
(25)I1 =
1 1
2
2 0
0
2x dx ln x x 1 ln3
x x ; I2 =
1
2
dx
1
x
2
Đặt x + 1 tant
2 dx = 23 tan t dt
I2 =
2
2
3 tan t dt 2
2
3 1 tan t 6 3
4
I = ln3 2
6
Baøi 6: CAO ĐẲNG GTVT III KHỐI A NĂM 2007
Tính tích phân :
2
J sin xdx
Giaûi
Đặt t = x dx = 2tdt
3
J 2t sin tdt
Choïn :
u 2t du 2dt
dv sintdt choïn v cost
J =
3
0
0
0
2t cost costdt 2t cost 2sint =
3
Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005
Tính tích phân
2 sin x
I e cosx cosxdx
Giaûi
2 sin x 2
0
1 cos2x
I e d sinx dx
2
2 sin x
0
2 1
2e x sin2x
2
0
e
(26)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ
Tính tích phân:
I x sin xdx
Giaûi
02
I x sin xdx Đặt t = x t2 = x 2tdt = dx
Đổi cận
x 2 t
0
I t sintdt Đặt
2
u t
dv sin tdt
du 2tdt
v cost
2 1
0
I 2(t cost) t costdt 4I
0
Tính I10t costdt
Đặt
u t
dv costdt
du dt
choïnv sint
I1tsint0sintdt cost 2
0 Vaäy I = 2
2–
Bài 9: ĐỀ DỰ BỊ
Tính tích phân:
1 2
3 x
I x e dx
Giải
Tính
1 2 2
3 x x
0
I x e dx x e xdx
Đặt t = x2 dt = 2xdx dtxdx
2 Đổi cận:
x
t
1 1 1
t t t t t
0 0
0
1 1
I te dt te e dt te e
2 2
Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ
Tính tích phân:
0
2x
1
(27)Giaûi
Tính
0 0
2x 2x
1 1
I x e x dx x.e dx x x 1dx
Tính
0 2x
1
I xe dx Đặt
2x 2x
du dx u x
1 choïn v e dv e dx
2
0 0
0 x 2x 2x 2x
1 1 1 2
1
1
1 1
I uv vdu x.e e dx x.e e
2 2 4e
Tính
0
1
I x x 1dx
Đặt t3x 1 t3 x 3t dt dx2 Đổi cận: xt 0 11
1
1
3
2
0 0
t t
I t t.3t dt t t dt
7 28
Vaäy I = I1 + I2 = 32 1 32 4
4 28
4e 4e
Bài 11: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG
Tính tích phân:
4
1 sin2x dx cos x
Giaûi I =
4
1 sin2x dx
cos x =
4
2
0
1 dx sin2xdx
cos x cos x
22
4 d(cos x)
tan x dx
cos x
=
tan x ln(cos x)4
0
(28)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Vấn đề 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
TÍNH DIỆN TÍCH
Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục không âm đoạn [a, b] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b là:
b b
a a
S f(x)dx f(x) dx
Từ tốn suy f(x) khơng dương đoạn [a, b]
b b
a a
S f(x)dx f(x) dx
Bài toán 2: (Tổng quát)
Cho hai hàm số y1 = f(x), y2 = g(x) liên tục đoạn [a, b] có đồ thị
là (C1), (C2) Diện tích hình phẳng giới hạn (C1), (C2) hai đường x = a, x = b xác định công thức:
b a
S f(x) g(x) dx (*)
* Phương pháp giải (*):
Giải phương trình: f(x) = g(x) (1) Nếu (1) vô nghiệm thì:
b a
S (f(x) g(x))dx
Nếu (1) có nghiệm thuộc [a, b] giả sử , ( )
b a
S (f(x) g(x) dx (f(x) g(x) dx (f(x) g(x) dx
Bài toán 3: Cho (C ): x1 1f(y), (C ): x2 2g(y), f(y), g(y) liên tục đoạn [a, b] Diện tích hình phẳng S giới hạn (C1); (C2) hai đường thẳng y = a, y = b xác định công thức:
b a
S f(y) g(y) dy
y
0
x = a x = b y = f(x)
y
x = a x = b y = f(x)
S
(29)THỂ TÍCH CÁC VẬT THỂ I CƠNG THỨC THỂ TÍCH
Giả sử vật thể T xác định mặt phẳng ( ) ( ) song song với Ta chọn trục Ox cho vng góc với mặt phẳng ( () Ta có Ox () = A, Ox () = B Giả sử mặt phẳng (( ) Ox, ( ) Ox C, () cắt vật thể T có thiết diện S(x)
Khi b a
V S(x)dx
II BÀI TỐN
Bài tốn 1: Giả sử hình phẳng giới hạn đường y = f(x), x = a, x = b y = quay quanh Ox Hình trịn S(x) có bán kính R = y: S(x) y2
b
2 a
V y dx
Bài toán 2: Thể tích hình phẳng: x = g(y), x = 0, y = a, y = b quay quanh trục Oy:
b
2 a
V x dy
Bài tốn 3: Tính thể tích vật thể hình phẳng giới hạn hai đường cắt quay quanh Ox:
1
2
y f(x), y g(x)
y y x [a, b]
b
2
2
a
V (y y )dx
Bài tốn 4: Tính thể tích vật thể hình phẳng giới hạn hai đường cắt quay quanh Ox
1
1
y f(x),y g(x)
y y x [a,b]
b
2
1
a
V (y y )dx
x y
O A C B
a x b
S(x)
x y
O y
x a
y = f(x)
S(x) b
O x
y
a b x x = g(y)
x O a b y
g(x) = y2 f(x) = y1
x y
g(x) = y2
f(x) = y1
(30)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
B ĐỀ THI Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008
Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol (P): x = x2 + 4x đường
thẳng d: y = x
Giải
Phương trình hồnh độ giao điểm (P) d: x24x x x hayx
3 3 3
0
3
x 3x
S x 3x dx ( x 3x)dx
0
3 2 (ñvdt)
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x
Giaûi
Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường cho là: (e + 1)x = (1 + ex)x (ex e)x = x = x =
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
1 1
x x
0 0
S xe exdx e xdx xe dx
Ta coù:
1
1 1 1
x x x x
0
0 0
ex e
e xdx , xe dx xe e dx e e
2
VậyS e
2 (đvdt)
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007
Cho hình phẳng (H) giới hạn đường: y = xlnx, y = 0, x = e
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục Ox
Giải
Phương trình hồnh độ giao điểm đường y = xlnx y = là: xlnx = x =
Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình H quanh trục hoành là: e e
1
V y dx (xlnx) dx
Đặt u = ln2x, dv = x2dx du2lnxdx, vx3.
x Ta coù:
e
e e e
2 2
1 1
x e
(xlnx) dx ln x x lnxdx x lnxdx
(31)Đặt u = lnx, dv = x2dx dudx, chọnvx3.
x Ta có:
e e
e e 3
2
1 1
x e x 2e
x lnxdx lnx x dx
3 3 9
Vaäy V(5e32)
27 (ñvtt)
Bài 4: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006
Tính diện tích hình phẳng giới hạn paraol y = x2– x + đường thẳng
d: y = 2x +
Giaûi
Phương trình hồnh độ giao điểm parabol d: x2– x + = 2x + x2– 3x + = x = x =
Ta coù 2 2 2 2
1
S (x x 3) (2x 1)dx x 3x dx
2
2
2
x 3x
( x 3x 2)dx 2x
1
3 (ñvdt)
Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh phép quay xung quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn trục Ox đường y = xsinx (0 x )
Giaûi
V = 2
0 0
f x dx x.sin xdx x cos2x dx
2 =
0 0
xdx x.cos2xdx
2
Tính : I1 =
2
0
x xdx
2 Tính : I2 =
xcos2xdx
Ñaët
du dx u x
1 dv cos2xdx choïn v sin2x
2
I2 =
0
xsin2x sin2xdx xsin2x 1cos2x 0
2 2
V =
2
0
(32)TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Baøi 6:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y x 24x y = x + 3
Giaûi
5
2
0
S x x 4x dx x 4x dx
5
2
0
S x 5x dx x 4x dx
3
2
5
x 5x x
S 2x 3x
0
3
109
S
6 (đvdt)
Bài 7:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y 4x2 y = x2
4
Giaûi
Ta coù y 4x2 y2 4 x2 x2 y2 4 x2 y2 1 (E)
4 4 16
Phương trình hoành độ giao điểm: 4x2 x2 x2 x4
4 4 32
x48x2128 x2 8 x2 16 (loại) x = 2
Neân S =
2 2 2 2 2
0
2
x x x x
4 dx dx dx
4 4
Tính 12 2
x
I dx
4
Đặt x = 4sint dx = 4costdt Đổi cận
t =
x 2
x t 0
x y
1
1 O 1
3
3
5 y = x +
y = x2
4
x y
2
4 O
(33)
4
2
1
0
1
I 8cos tdt cos2t dt t sin2t
2
2 2
2
x x 2
I dx
3
4 12
Vaäy S2 43ñvdt
Bài 8: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường
(P1): y = x2 2x vaø (P2) : y = x2 + 4x
Giải
Phương trình hồnh độ giao điểm (P1) (P2) là: x2 2x = x2 + 4x
2x2 + 6x =
2x(x 3) = x = x = Diện tích cần tìm:
3
2 2
0
S (( x 4x) (x 2x))dx ( 2x 6x)dx
=
3
2 x 3x
3 = (đvdt)
Bài 9: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = – 2x2, y = x2 +
Giaûi
Phương trình hồnh độ giao điểm – 2x2 = x2–
3x2 = x = x = 1
Diện tích S cần tìm
1 2 2 1
1