Đang tải... (xem toàn văn)
Ví dụ 1.. Kết quả khác. Tính theo a thể tích khối hộp. Đáp án khác.. Kết quả khác.. Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho.. ‒ Các mặt bên là các tam giác cân. ‒ Các mặt bên là các[r]
(1)HÌNH KHÔNG GIAN THỂ TÍCH
TỪ CƠ BẢN ĐẾN NÂNG CAO FULL
Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt
HÌNH KHƠNG GIAN THỂ TÍCH
ƠN TẬP 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP – 10
1 Hệ thức lượng tam giác vuông: Cho ABC vuông A Ta có: a) Định lý Pitago : BC2 AB2 AC2
b) BA2 BH BC CA. ; CH CB.
c) AB AC BC AH. .
d) 1 2 12 1 2
AH AB AC
e) BC 2AM
f) sinB b,cosB c, tanB b,cotB c
a a c b
g) .sin .cos , .sin .cos ,
sin cos
b a B a C c a b b
B B a
C
C a
.tan .cot
b c B c C
2 Hệ thức lượng tam giác thường
Định lý hàm số côsin: a2 b2 c2 2 cosbc A
Định lý hàm số sin:
sin sin sin
a b c
R
A B C
3 Các cơng thức tính diện tích
a) Cơng thức tính diện tích tam giác
.
1 1
sin
2 a 2 4
abc
S a a b C pr p p a p b p c
R h
với
2
a b c p
Đặc biệt: ABC vuông A:
S AB AC
ABC
cạnh ABC:
2 3
4 a S b) Diện tích hình vng: S cạnh x cạnh c) Diện tích hình chữ nhật: S dài x rộng d) Diện tích hình thoi:
2
S (chéo dài x chéo ngắn)
a
c b
A
M
(2)e) Diện tích hình thang:
S (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
f) Diện tích hình bình hành: S đáy x chiều cao g) Diện tích hình trịn: S R2
ÔN TẬP 2: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG Định nghĩa
Đường thẳng mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung
a& P a P
2.Các định lý:
Định lý 1: Nếu đường thẳng a không nằm mặt phẳng song song với đường thẳng nằm a song song với
a
b a a
b
& &
Định lý 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng P mặt phẳng Q chứa a mà cắt P cắt theo giao tuyến song song với a
( )
a P
a Q b a
P Q b
&
&
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng
P Q b
P a b a
Q a
& & &
§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Định nghĩa:
Hai mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung
P & Q P Q
a
(P)
α b
a
Q
P
b a
Q
P b
a
(3)2 Các định lý:
Định lý 1: Nếu mặt phẳng P chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng Q P Q song song với
,
,
a b P
a b I P Q
a Q b Q
& & &
Định lý 2: Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với mặt phẳng
P Q
a Q
a P
&
&
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng P Q song song mặt phẳng R cắt P phải cắt Q giao tuyến chúng song song
P Q
R P a a b
R Q b
&
&
B QUAN HỆ VNG GĨC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Định nghĩa:
Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng
,
a P a c c P
2 Các định lý:
Định lý 1: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mặt phẳng P đường thẳng d vng góc với mặt phẳng P
, ,
d a d b
a b P d P
a b
Định lý 3: (Ba đường vng góc) Cho đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng P đường thẳng b nằm P Khi đó,
, '
a P b P
b a b a
I b
a
Q P
a
Q P
b a R
Q P
P c
a
d
(4)điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu 'a a P
§2.HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC Định nghĩa:
Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900.
2 Các định lý:
Định lý 1: Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với
a P
Q P
a Q
Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng P Q vng góc với đường thẳng a nằm
P , vng góc với giao tuyến P Q vng góc với mặt phẳng Q
,
P Q
P Q d a Q
a P a d
Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng P Q vng góc với A điểm P đường thẳng a qua điểm A vng góc với Q nằm P
P Q
A P
a P A a
a Q
Định lý 4: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba
P Q a
P R a R
Q R
§3.KHOẢNG CÁCH
Q
P a
d Q
P
a
A
Q P
a
a
R
(5)1 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng, đến mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng P ) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M đường thẳng a ( mặt phẳng P )
; ; ; d O a OH d O P OH
2 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song:
Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng P song song với a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng P
; d a P OH
3 Khoảng cách hai mặt phẳng song song:
là khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng
;
d P Q OH
4.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:
là độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng
;
d a b AB
§4.GĨC Góc hai đường thẳng a b
là góc hai đường thẳng 'a 'b qua điểm phương với a b
a H O
H O
P
a
H O
P
H O
Q P
B A
b a
b' b
(6)2 Góc đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng P
là góc a hình chiếu 'a mặt phẳng P
Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt phẳng P ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng P 90
3 Góc hai mặt phẳng
là góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng
Hoặc góc đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến điểm
4 Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác H mặt phẳng P S' diện tích hình chiếu H' H mặt phẳng P' thì:
' cos
S S
trong góc hai mặt phẳng P P'
ƠN TẬP 3: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
A CÁC CƠNG THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN: Thể tích khối lăng trụ:
V S h
Trong đó: S : Diện tích đa giác đáy
h: Đường cao hình lăng trụ a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V a b c với , ,a b c ba kích thước
P a'
a
b a
Q P
P Q
a b
M C
B A
S
B' C'
D'
D A
(7)b) Thể tích khối lập phương:
3
V a với a độ dài cạnh
2 Thể tích khối chóp:
1 V S h
Trong đó: S : Diện tích đa giác đáy h: Đường cao hình chóp
3 Tỉ số thể tích tứ diện:
Hai khối chóp S ABC S MNP có chung đỉnh S góc đỉnh S Khi đó:
S MNP S ABC
V SM SN SP
V SA SB SC
4 Thể tích khối chóp cụt:
' '
3 h
V B B BB Trong đó: B B, ': Diện tích hai đáy
h: Chiều cao Chú ý:
1/ Đường chéo hình vng cạnh a d a 2,
Đường chéo hình lập phương cạnh a d a 3,
Đường chéo hình hộp chữ nhật có ba kích thước , ,a b c d a2 b2 c2
,
2/ Đường cao tam giác cạnh a h a
3/ Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên ( có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy)
4/ Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác
B' C'
D'
B C
D A
A'
A C
B S
M
P N
B A
C
A' B'
(8)PHÂN DẠNG BÀI TẬP
A LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
1 Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ Cho ( )H khối lăng trụ đứng tam giác có tất cạnh a Thể tích ( )H bằng:
A
3
2
a
B
3 3
2 a
C
3 3
4 a
D
3 2
3 a
Hướng dẫn giải:
3
3 '
4
SBC
a V S AA
Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC A B C có AA a, tam giác ABC cạnh a Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C
A
3
3 12
ABC A B C
a
V B
3
3
ABC A B C
a
V C
3
3
ABC A B C
a
V D
3
6
ABC A B C
a V
Hướng dẫn giải:
2 3 3
, '
4
ABC ABC
a a
S h AA a V S h
Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác vng, BA BC a , AA a 2 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C
A
3
2
ABC A B C
a
V B
3
2
ABC A B C
a
V C
3
2
ABC A B C
a
V D
3
3
ABC A B C
a V
Hướng dẫn giải:
B'
C'
A
B
C A'
C B
A' B'
(9)3
1
'
2
a V AB BC AA
Ví dụ Lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vng tạiA, BC2 ,a AB a Mặt bên BB C C’ ’ hình vng Khi thể tı́ch lăng trụ là:
A
3
3 a
B a3 2. C. 2a3 3. D. a3 3
Hướng dẫn giải:
Ta có: BB C C' ' hình vng
’ ’ ’
2
2
3
2
3
1
2
ABC A B C ABC
ABC
h BB a
AC BC AB a
a
S AB AC
V BB S a
Ví dụ Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC A B C ' ' ' tam giác ABC vuông cân A có cạnh BC a
và biết 'A B3a Tính thể tích khối lăng trụ
A a3. B. a3 2. C. a3 3. D. 2a3.
Hướng dẫn giải:
ABC
vuông cân A nên AB AC a
' ' '
ABC A B C lăng trụ đứng
2
3
'
' ' 2
2 ABC '
V B h
AA AB
AA A B
A
A a
A B
S a
A' C'
B C
A B'
A' C'
B C
A B'
B'
C'
A C
(10)Ví dụ Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC A B C ' ' ' tam giác cạnh a4 biết diện tích tam giác '
A BC Tính thể tích khối lăng trụ
A
3 B
8
3 C D
Hướng dẫn giải:
Gọi I trung điểm BC.Ta có: ABC
nên
' '
2
' ' '
3
2 3; '
2
2
' '
2
' '
' '
'
A BC A BC
ABC A B C ABC
AB
AI AI BC A I BC
S S BC A I A I
BC
AA ABC AA AI
AA A I AI
V S AA
Ví dụ Cho lăng trụ tứ giác ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ
A 9a3. B C. 3a3. D
Hướng dẫn giải:
' ' ' '
ABCD A B C D lăng trụ đứng nên 2
' '
BD BD DD a ABCD hình vng
2 a AB
Suy
2
9
ABCD
a B S
3
ABCD ' V B h S AA a
Ví dụ Cho hình hộp đứng ABCD A B C D có đáy ABCD hình vng, tam giác A AC vuông cân
A C a Tính theo a thể tích khối hộp ABCD A B C D
A
3
2 24
ABCD A B C D
a
V B
3
2 48
ABCD A B C D
a
V C
3
2 16
ABCD A B C D
a
V D
3
2
ABCD A B C D
a V
Hướng dẫn giải:
I B'
C'
A C
B A'
B'
C' D'
B C
D A
(11)3
' '
2
2 '
8
ABCD
a a
A C a AC AA AB
a
V S AA
Ví dụ Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọn 60 Đường chéo lớn đáy
bằng đường chéo nhỏ hình hộp Tính thể tích hình hộp A
3 6
2 a
B
3 3
2 a
C
3 6
6 a
D
3 3
6 a
Hướng dẫn giải:
Ta có tam giác ABD nên BD a
2 3
2
ABCD SABD
a
S
Theo đề BD' AC a
2 . '
' '
2 V SABCD DD a
DD BD BD a
Ví dụ 10 Một bìa hình vng có cạnh 44cm, người ta cắt bỏ góc bìa hình vng cạnh 12cm gấp lại thành hộp chữ nhật nắp Tính thể tích hộp
A.1200cm3. B. 1600cm3. C. 2400cm3. D. 4800cm3.
Hướng dẫn giải:
Theo đề bài, ta có:AA'BB'CC'DD' 12 cm nên ABCD hình vng
3
44 24 20 ; 12
4800
ABCD
AB cm cm cm h cm
V S h cm
2 Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc đường thẳng mặt phẳng
C B
B'
D
A' D'
C' A
B'
C' D'
B C
D A
A'
B'
C' D'
B C
D A
(12)Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác vng cân B, BA BC a , A B hợp với mặt đáy góc 60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C
A
3
3
ABC A B C
a
V B
3
ABC A B C
V a C
3
ABC A B C
V a D
3
ABC A B C
V a
Hướng dẫn giải:
n
3
' ', ' , ' 60
1
' tan 60 '
2
AA ABC AA ABC A B AB ABA
a
AA AB a V AB BC AA
Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác cân C, góc BC ABB A bằng
60, AB AA a Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C
A
3
15
ABC A B C
a
V B
3
18
ABC A B C
a
V C
3
15
ABC A B C
a
V D
3
18
ABC A B C
a V
Hướng dẫn giải:
Gọi M trung điểm A B' '
n
2
2
' ' ' ' ' '
' '
', ' ' ', ' 60
15
' ' ' tan 60
2
15 15
'
4
A B C A B C
C M ABB AC
BC ABB A BC BM MBC
a
MC BB MB
a a
S V S AA
Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác vuông A, AC a ACB ,n 60, góc BC mặt phẳng AA C C 30 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C. .
A
ABC A B C
V a B
3
ABC A B C
V a C
3
2
ABC A B C
V a D
3
ABC A B C
V a
Hướng dẫn giải:
B' C'
A C
B A'
M B'
C'
A
B
(13)
n
2
3
3,
' '
', ' ' ', ' ' 30
' ' ' 2
1
'
2
AC a AB a BC a
AB AA C C
BC AA C C BC AC AC B
AC a CC AC AC a
V AB AC CC a
Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABCD A B C D có đáy ABCD hình vng cạnh a đường chéo BD lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 30 Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D .
A
3
3
ABCD A B C D
a
V B
3
2
ABCD A B C D
a
V C
3
6
ABCD A B C D
a
V D Kết khác
Hướng dẫn giải:
n
3
'
'; ', ' 30
6 ' tan 30
3 '
3
ABCD
DD ABCD
BD ABCD BD BD DBD
a
DD BD
a
V S DD
Ví dụ Cho hình hộp đứng ABCD A B C D có đáy ABCD hình thoi cạnh a nBAD 60o
Biết AB hợp với đáy ABCD góc 30 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D .
A .
2
ABCD A B C D
a
V B
3
ABCD A B C D
V a C
3
ABCD A B C D
V a D
3
3
ABCD A B C D
a V
Hướng dẫn giải:
n
3
'
', ', ' 30
3 ' tan 30
3
' '
2
ABCD ABD
BB ABCD
AB ABCD AB AB BAB
a
BB AB
a
V S BB S BB
A'
C'
B
A
C B'
C B
B'
D
A' D'
C' A
C B
B'
D
A' D'
(14)Ví dụ Cho lăng trụ tứ giác ABCD A B C D có cạnh đáy a, góc AC' mặt phẳng BCC B
bằng 30 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D
A
ABC A B C
V a B
3
ABC A B C
V a C
3
2
ABC A B C
a
V D
3
ABC A B C
V a
Hướng dẫn giải:
n
2
3
' '
', ' ' ', ' ' 30
' cot 30
' ' ' '
'
ABCD
AB BCC B
AC BCC B AC BC AC B
BC AB a
BB BC B C a
V S BB a
Ví dụ Cho lăng trụ tứ giác ABCD A B C D có cạnh đáy a, đường chéo AC' tạo với mặt bên
BCC B góc 0 45o
Khi đó, thể tích khối lăng trụ bằng:
A a3 cot2 1
B a3cot 2 C a3 cot2 1
D a3 tan21
Hướng dẫn giải:
n
2
3
' '
', ' ' ', ' '
' cot ' cot
' cot
ABCD
AB BCC B
AC BCC B AC BC AC B
BC AB BB a
V S BB a
3 Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc hai mặt phẳng
Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác vuông cân B, BA BC a , A B hợp với mặt đáy góc 60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C
A
3
3
ABC A B C
a
V B
3
ABC A B C
V a C
3
ABC A B C
V a D
3
ABC A B C
V a
Hướng dẫn giải:
C B
B'
D
A' D'
C' A
C B
B'
D
A' D'
(15) n
3
' ', ' , ' 60
1
' tan 60 '
2
AA ABC AA ABC A B AB ABA
a
AA AB a V AB BC AA
Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác cân A, AC2 ,a nCAB120, góc A BC mặt phẳng ABC 45 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C .
A
ABC A B C
V a B
3
3
ABC A B C
V a C
3
ABC A B C
V a D
3
ABC A B C
V a
Hướng dẫn giải:
Gọi M trung điểm BC
n
2
3
.cos 60
2 cos120
' ,
' , ' , ' 45
1
' '
2
AM AC a
BC AC AB AB AC a
A M BC AM BC
A BC ABC A M AM AMA
AA AM a V BC AM AA a
Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a Mặt phẳng AB C' ' tạo với mặt đáy góc 600 Tính theo a thể tích lăng trụ ABC A B C ' ' '
A 3 a
V B
3
3
4 a
V C
3
3 a
V D
3
3
8 a
V
Hướng dẫn giải:
Gọi M trung điểm B C' '
n
n
0
2
' ' '
' ' '
60 ' ' , ' ' ' , ' '
3
' ; ' ' tan '
2
3 3
'
4
A B C ABC
A M B C
AB C A B C AM A M AMA
a a
A M AA A M AMA
a a
S V S AA
B' C'
A C
B A'
M B'
C'
A
B C A'
M B
C A
B'
(16)Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC A B C có cạnh đáy a Góc hai mặt phẳng A BC ABC 30 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C .
A
3
3
ABC A B C
a
V B
3
3
ABC A B C
a
V C
3
2
ABC A B C
a
V D
3
3
ABC A B C
a V
Hướng dẫn giải:
Gọi M trung điểm BC
n
3
' ,
' , ' , ' 30
3
' tan 30 '
2 ABC
A M BC AM BC
A BC ABC A M AM A MA
a a
AA AM V S AA
Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vuông B, BC a , mặt phẳng A BC' tạo với đáy góc 30 tam giác A BC' có diện tích
3
a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '
A
3 3
8 a
B
3
3
4 a
C
3
3
8 a
D
3
3
2 a
Hướng dẫn giải:
n
2 '
'
' '
' '
'
, ' , ' '
2
1
' '
2
A BC A BC
BC AB
BC A B
BC AA
BC AB ABC
BC A B A BC
BC ABC A BC
ABC A BC AB A B ABA
S a
S A B BC A B a
BC a
n n
3 ' ' '
' cos ' 3.cos30 ; ' ' sin ' 3.sin 30
1 3
' '
2 2
ABC A B C ABC
AB A B ABA a a AA A B ABA a a
a
V B h S AA AB BC AA a a a
M B'
C'
A
B
C A'
B'
C'
A C
(17)Ví dụ Cho lăng trụ tứ giác ABCD A B C D có cạnh đáy a, mặt phẳng BC D' hợp với đáy
ABCD góc 60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D .
A
3
6
ABCD A B C D
a
V B
3
3
ABCD A B C D
a
V C
3
6
ABCD A B C D
a
V D Kết khác
Hướng dẫn giải:
Gọi I trung điểm BD
n
3
, ' '
' ; , ' ' 60
1
' tan 60
2 2
6 '
2
ABCD
AC BD C I BD
BC D ABCD BD
BC D ABCD AC C I CIC
a a
CI AC CC CI
a
V S CC
Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' Mặt phẳng A BC' hợp với đáy ABCD góc 600,
'
A C hợp với đáy ABCD góc 300 AA'a Tính theo a thể tích khối hộp A V 2a3 6
B
3
2
3 a
V C V 2a3 D V a
Hướng dẫn giải:
n
n
n n
0
2 2
3 ' ' ' '
'
30 ' , ' , '
60 ' , ' , '
' '
;
tan ' tan '
2 2; 2
'
ABCD ABCD A B C D ABCD
AA ABCD
A C ABCD A C AC A CA
A BC ABCD A B AB A BA
AA AA
AB a AC a
A BA A CA
BC AC AB a S AB BC a
V S AA a
4 Dạng 4: Khối lăng trụ xiên
Ví dụ Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC tam giác cạnh a Biết cạnh bên a 3 hợp với đáy ABC góc 60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C .
A
3
3
ABC A B C
a
V B
3
3
8
ABC A B C
a
V C
3
5
8
ABC A B C
a
V D Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
I
B' C'
D'
B C
D A
A'
B' C'
D'
B
A'
A D
(18)Kẻ A H' ABC
AA', ABC AA AH', nA AH' 60
3
3
' '.sin 60 '
2
3
8
ABC
a
A H AA V S A H a
Ví dụ Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC tam giác cạnh a, điểm A' cách ba điểm A B C, , Góc AA' ABC 60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C .
A
3
3
4
ABC A B C
a
V B
3
3
ABC A B C
a
V C
3
3
ABC A B C
a
V D
3
5
4
ABC A B C
a V
Hướng dẫn giải:
Gọi G trọng tâm ABCA G' ABC
n
3
', ', ' 60
3
' tan 60 '
4
ABC
AA ABC AA AG GAA
a
A G AG a V S A G
Ví dụ Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC tam giác vuông cân B,AC2a; cạnh bên AA 2a Hình chiếu vng góc A mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AC Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A B C
A
2
V a B
3
3 a
V C V a3
D
3
2 a
V
Hướng dẫn giải:
A' B'
B
A C
C'
H
G A'
B'
B
A C
(19)Vì ABC tam giác vng cân B nên trung tuyến BH đường cao
1
HB HA HC AC a
2 2
3
' '
1
' '
2
ABC A B C ABC
A H A A AH a a a
V A H S A H BH AC a
Ví dụ Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc A' lên mặt phẳng ABC trùng với tâm O tam giác ABC Tính theo a thể tích khối lăng trụ
ABC A B C , biết khoảng cách AA' BC a
A
3
3 12
ABC A B C
a
V B
3
3
ABC A B C
a
V C
3
4
5
ABC A B C
a
V D Kết khác
Hướng dẫn giải:
Gọi M trung điểm BCBCAA M' Gọi H hình chiếu M lên AA'
', n
3
sin '
8
AA BC
a HM
HM d A AO
AM
n n
3
' 30 ' tan '
3
'
12
ABC
a
A AO A O AO A AO
a
V S A O
Ví dụ Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A'
ABC trung điểm BC, góc cạnh bên mặt đáy 30 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C
A
3
3
ABC A B C
a
V B
3
3
ABC A B C
a
V C
3
3 12
ABC A B C
a
V D
3
3
ABC A B C
a V
Hướng dẫn giải:
H
B'
C'
A B
C A'
M O
A' B'
B
A C
C'
(20)Gọi M trung điểm BC
n
3
'
', ', ' 30
3
' tan 30 '
2 ABC
A M ABC
AA ABC AA AM A AM
a a
A M AM V S A M
Ví dụ Cho lăng trụ ABC A B C có đáy ABC tam giác cạnh 2a Hình chiếu vng góc A'
ABC trung điểm AB, góc mặt phẳng AA C C mặt đáy 60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C
A
ABC A B C
V a B
3
3
ABC A B C
V a C
3
3
2
ABC A B C
a
V D
3
ABC A B C
V a
Hướng dẫn giải:
Gọi M trung điểm AB, kẻ MH AC
n
2
3
'
' ' , ' , ' 60
1
3;
2 2
3
' tan 60
2
3
'
2
ABC AMC ABC
ABC
A M ABC
ACC A ABC A H HM A HM
a
S a S AC MH S
a a
MH A M MH
a
V S A M
Ví dụ Cho lăng trụ ABC A B C có 10, 2, ,n 135
o
a
AA AC a BC a ACB Hình chiếu vng góc C lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm M AB Tính theo a thể tích khối lăng trụ
ABC A B C
A
ABC A B C
V a B
3
6
ABC A B C
a
V C
3
3
ABC A B C
a
V D
3
3
ABC A B C
V a
Hướng dẫn giải:
M A'
B'
B
A C
C'
M A'
B'
B
A C
C'
(21)n
2
2 2
2
3
2 cos
2
4
6
' '
4
1
.sin135 '
2
AB AC BC AC BC ACB a
AC BC AB a
MC
a
MC CC MC
a
V AC BC MC
Ví dụ Cho lăng trụ ABC A B C có độ dài cạnh bên a, đáy ABC tam giác vng C, nBAC 60o , góc BB' ABC 60 Hình chiếu vng góc B' lên ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C
A
3
27 208
ABC A B C
a
V B
3
27 280
ABC A B C
a
V C
3
73 208
ABC A B C
a
V D
3
27 802
ABC A B C
a V
Hướng dẫn giải:
Gọi G trọng tâm ABC, M trung điểm ACB G' ABC
n
2
2 2
2
', ', ' 60
3
' '.sin 60 , '.cos 60
2
3 cos 60 , sin 60
2
3
2
3 13
2 4 13
9 27
'
104 208
ABC
ABC ABC
BB ABC BB BG B BG
a a
B G BB BG BB
AB AB
AC AB BC AB
AB S
AB BC AC
a AB a
BM BG AB
a a
S V S B G
Ví dụ Cho hình hộp ABCD A B C D có đáy ABCD hình chữ nhật với AB 3,AD 7 Hai mặt bên
ABB A' ' ADD A' ' tạo với đáy góc 45 60 Tính theo thể tích khối hộp
ABCD A B C D biết cạnh bên
A B.3 C D
Hướng dẫn giải:
M C'
B'
B
C A
A'
G M
C' B'
B
C A
(22)Kẻ A H' ABCD HM, AB HN, AD
n n
' , ' ' 45 , ' 60
A M AB A N AD A MH A NH
Đặt 'A H x Khi đó:
2
2
2
' ; ' '
sin 60 3
x x
A N AN AA A N x HM
Mà HM x.cot 45 x
2
' ' ' '
3
3
ABCD A B C D
x
x x
V AB AD x
Ví dụ 10 Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O AB a AD a , 3; A O' vng góc với đáy ABCD Cạnh bên AA' hợp với mặt đáy ABCD góc 45 Tính theo a thể tích khối lăng trụ cho
A
3
3 a
V B
3
3 a
V C
3
6 a
V D V a3
Hướng dẫn giải:
n
2
2
3 ' ' ' '
2
2 '
45 ', ', '
' '
ABCD
ABCD A B C D ABCD
S AB AD a
AC
AC AB AD a AO a
A O ABCD
AA ABCD AA AO A AO
A O AO a V S A O a
B LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP
Một số hình chóp đặc biệt:
M
N B'
C' D'
B
A'
A
D
C H
O
B' C'
D'
B C
D A
(23)Hình chóp tam giác đều: Hình chóp tam giác đều:
‒ Đáy tam giác
‒ Các mặt bên tam giác cân Hình tứ diện đều:
‒ Đáy tam giác
‒ Các mặt bên tam giác Cách vẽ:
‒ Vẽ đáy ABC ‒ Vẽ trung tuyến AI ‒ Dựng trọng tâm H ‒ Vẽ SHABC Ta có:
‒ SH chiều cao hình chóp
‒ Góc cạnh bên mặt đáy: nSAH ‒ Góc mặt bên mặt đáy: nSIH Hình chóp tứ giác đều:
Hình chóp tứ giác đều: ‒ Đáy hình vng
‒ Các mặt bên tam giác cân Cách vẽ:
‒ Vẽ đáy ABCD
‒ Dựng giao điểm H hai đường chéo AC BD ‒ Vẽ SHABCD
Ta có:
‒ SH chiều cao hình chóp
‒ Góc cạnh bên mặt đáy: nSAH ‒ Góc mặt bên mặt đáy: nSIH Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy:
H I
B
C A
S
O B
A D
(24)‒ SAABC
‒ Góc cạnh bên SB mặt đáy: nSBA ‒ Góc cạnh bên SC mặt đáy: nSCA
‒ SAABCD
‒ Góc cạnh bên SB mặt đáy: nSBA ‒ Góc cạnh bên SC mặt đáy: nSCA ‒ Góc cạnh bên SD mặt đáy: nSDA
Chú ý:
a) Đường chéo hình vng cạnh a d a
Đường chéo hình lập phương cạnh a d a
Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a b c, , d a2 b2 c2
b) Đường cao tam giác cạnh a a h
c) Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên ( có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy)
1 Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy
Ví dụ Cho hình chóp S ABC SB SC BC CA a Hai mặt ABC ASC vng góc với SBC Thể tích khối chóp S ABC bằng:
A
3
3 12
S ABC
a
V B
3
3 2
S ABC
a
V C
3
3 6
S ABC
a
V D
3
3 3
S ABC
a
V
Hướng dẫn giải:
A C
B S
B
S
A
(25)ABC SBC , ASC SBCACSBC SB SC BC SBC
3
1 3
. .
3 SBC 12
a
V S CA
Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông B, AB a AC a , , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA a Tính theo a thể tích khối chóp S ABC
A
3
3 3
S ABC
a
V B
3
3
S ABc
a
V C
3
2 3
S ABM
a
V D
3
3 2
S ABM
a
V
Hướng dẫn giải:
3
2 2 1 1 . . .
3 2 3
a
BC AC AB a V AB BC SA
Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy SB2a Tính theo a thể tích khối chóp S ABC
A
3
4
S ABC
a
V B
3
3
S ABC
a
V C
3
2
S ABC
a
V D
3
7
S ABC
a
V
Hướng dẫn giải:
2
2
3
1
3 ABC 4
SA SB AB a
a a
V S SA a
B C
S A
A C
S
B
A C
S
(26)Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân B, AC a Biết bên SA vng góc với đáy
và SB hợp với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S ABC
A
3 6
8 a
B
3 3
8 a
C
3 6
24 a
D
3 3
24 a
Hướng dẫn giải:
n
2
3
, , 60
2
;
2
6
.tan 60
2 24
ABC
ABC
SA ABCD
SB ABCD SB AB SBA
a a
AB BC S AB BC
a a
SA AB V S SA
Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Biết SA vng góc với đáy ABC SBC hợp với đáy ABC góc 60 Tính thể tích hình chóp
A
3
3 a
B
3
3 a
C
3
3
8 a
D
3
3 a
Hướng dẫn giải:
Gọi M trung điểm BC.Ta có: ABC
nên
n
3
, 60
3
.tan 60
2 ABC
AM BC SA BC
SBC ABC SMA
a a
SA AM V S SA
Ví dụ Cho hình chóp S ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc BAC 120 Tính theo a thể tích khối chóp S ABC
3
2.a 2.a3 2.a3 2.a3
A C
B S
M
A C
(27)Hướng dẫn giải:
SB SC AB AC ABC cân A Có BC2 AB2AC22.AB AC .cos120
2
3
3
;
3
1
.sin120
3 36
a a
AB AC SA SB AB
a
V AB AC SA
Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB a 2,BC a SCA ,n 60, cạnh bên SA vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD
A VS ABCD. a3 2 B VS ABCD. a3 3 C VS ABCD 3a3 D
3
2
S ABCD
V a
Hướng dẫn giải:
n
2
3
; 60
.tan 60
3
AC AB BC SCA
SA AC a
V AB BC SA a
Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy ABCD
và mặt bên SCD hợp với đáy góc 60 Tính thể tích hình chóp S ABCD
A a3 3. B 3
2 a
C
3
3 a
D
3
3 a
Hướng dẫn giải:
M B
S
C A
B C
A D
(28)
n
3
;
, 60
.tan 60
1
3 ABCD
SA ABCD CD AD CD SD
SCD ABCD SDA
SA AD a
a
V S SA
Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy ABCD Biết góc SC mặt phẳng ABCD 60 Tính thể tích khối chóp S ABCD
A
3 3
6 a
B 3a3 C
3 2
3 a
D
3 6
3 a
Hướng dẫn giải:
n
2
3
2
, 60
tan 60 tan 60
1
3 ABCD 3
AC AB BC a
SA ABCD SA AC
SC ABCD SCA
SA
SA AC a
AC
a
V S SA a a
Ví dụ 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A D, AD CD a , AB3a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Góc SC với mặt đáy 45 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD
A
3
2 3
S ABCD
a
V B
3
2 3
S ABCD
a
V C
3
2 2
3
S ABCD
a
V D
3
3
S ABCD
a
V
Hướng dẫn giải:
B
S
A
D C
D C
B A
(29) n
2
3
, , 45
2
1 2
3
SA ABCD SC ABCD SC AC SCA SA AC AD CD a
a V AB CD AD SA
2 Dạng 2: Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy
Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B, AC 2 ,a ACBn 30o
Hình chiếu vng góc S lên mặt đáy trung điểm H cạnh AC SH a Tính theo a thể tích khối chóp
S ABC
A
3
6 17
S ABC
a
V B
3
6 3
S ABC
a
V C
3
6 5
S ABC
a
V D
3
6 6
S ABC
a
V
Hướng dẫn giải:
3
.sin30 3
1 1 6
. . .
3 2 6
AB AC a BC a
a
V AB AC SH
Ví dụ Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác đều, BCD tam giác vuông cân D, ABC BCD AD hợp với BCD góc 60 Tính thể tích khối tứ diện ABCD
A
3 3
9
ABCD
a
V B
3 3
6
ABCD
a
V C
3 3
3
ABCD
a
V D VABCD a3
Hướng dẫn giải:
A B
D C
S
H
B
A C
(30)Gọi H trung điểm BC
Ta có tam giác ABC nên AH BCD
3
,
.tan 60
3
.cot 60 ;
3
1
3 BCD
ABC BCD AH BCD
AH HD AH AD a
a a
HD AD BC HD
a
V S AH
Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân A, SC2 5a Hình chiếu vng góc S lên ABC trung điểm M cạnh AB, góc đường thẳng SC với mặt phẳng đáy 60o Tính theo a thể tích khối chóp S ABC.
A
3
2 15
3
S ABC
a
V B
3
15 3
S ABC
a
V C
3
2 3
S ABC
a
V D
3
3 15
2
S ABC
a
V
Hướng dẫn giải:
, , n 60
.cos 60 5; 15
SM ABC SC ABC SC CM SCM
CM SC a SM a
Tam giác MAC vuông
3
1 1 2 15
2 . . .
3 2 3
a
AAC aV AB AC SM
Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông cân B, BC a Mặt bên SAC vng góc với
đáy, mặt bên cịn lại tạo với mặt đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S ABC
A
3
S ABC
a
V B
3
3
S ABC
a
V C
3
3
S ABC
a
V D
3
S ABC
a
V
H A
B
C D
M
A C
B S
M
A C
(31)Kẻ SH BC Gọi I J, hình chiếu H AB BC
n n
,
, 45
SAC ABC SH ABC
SI AB SJ BC SIH SJH SHI SHJ HI HJ
BH
đường phân giác ABC H
trung điểm AC
3
1
2 S ABC ABC 12
a a
HI HJ SH V S SH
Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân A, AB a SBC , ABC Hai mặt bên cịn lại hợp với đáy góc 60o Tính theo a thể tích khối chóp S ABC.
A
3
3 12
S ABC
a
V B
3
3 5
S ABC
a
V C
3
3 18
S ABC
a
V D
3
7 3
12
S ABC
a
V
Hướng dẫn giải:
Kẻ SH BC Do SBC ABCSHABC Kẻ HD AB HE AC , n nSDH SEH 60
Do tam giác ABC vuông cân A nên
2 a
HD HE H trung điểm BC
3
3 1 1 3
.tan60 . . .
2 3 2 12
a a
SH HD V AB AC SH
Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S ABCD
A
3 3
6 a
B
3 3
4 a
C
3 3
2 a
D a3 3.
I J
A C
B S
H
B C
A S
H
D E
H
A C
B
D
(32)Hướng dẫn giải:
Gọi H trung điểm AB SAB
SH AB
3
3 3
2 ABCD
SAB ABCD SH ABCD
AB a a
SH V S SH
Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có mặt bên SAB vng góc với mặt phẳng đáy tam giác SAB cân S Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD , biết rằng: đáy ABCD hình vng cạnh a, góc mặt SBD mặt đáy 60
A VS ABCD. a3 6 B
3
6 5
S ABCD
a
V C
3
12
S ABCD
a
V D
3
6 12
S ABCD
a
V
Hướng dẫn giải:
Gọi M trung điểm AB SAB ABCDSMABCD
Gọi O giao điểm AC BD, N trung điểm OB
n
3
, , 60
6
.tan 60
4 12
MN BD
BD SMN BD SN
SM BD
SBD ABCD SN MN SNM
a a
SM MN V AB SM
Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có mặt bên SAB vng góc với mặt phẳng đáy tam giác SAB cân S Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD , biết rằng: đáy ABCD hình chữ nhật,
H
B C
D A
S
M
N O
D A
N O M
B
D A
C S
(33)A
3
3
S ABCD
a
V B
3
6
S ABCD
a
V C
3
2
S ABCD
a
V D
3
8
S ABCD
a
V
Hướng dẫn giải:
Gọi M trung điểm AB SAB ABCDSMABCD
Kẻ BH vng góc với AC, gọi N trung điểm AH MNAC
n
2 2
3
, , 60
1 1 6
3
2
.tan 60
2 3
MN AC
AC SMN AC SN
SM AC
SAC ABCD SN MN SNM
a BH a
BH MN
BH AB BC
a a
SM MN V AB AD SM
Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi, AB BC BD a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích khối chóp S ABCD
A
3
4
S ABCD
a
V B
3
5 6
S ABCD
a
V C
3
5 2
S ABCD
a
V D
3
11 8
S ABCD
a
V
Hướng dẫn giải:
Gọi M trung điểm AB N M
H
D
M
B B C
S
C A
D A
H N
A D
M B
S
C A
D
(34)SAB ABCDSMABCD
2
3 3 1
, 2 . .
2 ABCD ABD 2 3 ABCD 4
a a a
SM S S V S SM
Ví dụ 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB3 ,a AD2 ,a CD a , tam giác SAD cân S , mặt phẳng SAD vng góc với đáy, góc mặt phẳng SBC mặt đáy 60 Tính thể tích khối chóp S ABCD
A
3
4 6
3
S ABCD
a
V B
3
2 6
3
S ABCD
a
V C
3
5 6
3
S ABCD
a
V D
3
6 3
S ABCD
a
V
Hướng dẫn giải:
Gọi M trung điểm AD
n
3
, , 60 tan 60
1
3
SAD ABCD SM ABCD SM BC
BC SMC BC SC
MC BC
SBC ABCD SC MC SCM SM MC a
a
V AB CD AD SM
3 Dạng 3: Khối chóp
Ví dụ Cho H khối tứ diện cạnh a Thể tích H bao nhiêu?
A
3 2
6 a
B
3 3
12 a
C
3 2
12 a
D
3 3
4 a
Hướng dẫn giải:
M M
B
C D
A S
D C
(35)Gọi G trọng tâm tam giác ABCSGA CB
2
2
2 3
3 3
1
3 ABC 12
a a a
AG SG SA AG
a a a
V S SG
Ví dụ Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính thể tích khối chóp S ABC
A
3 11
36 a
B
3 11
12 a
C
3 11
6 a
D
3 11
24 a
Hướng dẫn giải:
Gọi G trọng tâm tam giác ABCSGA CB
2
2
3
;
3
33
3 11
4 12
ABC S ABC ABC
AB a
AG SA a
a
SG SA AG
AB a a
S V S SG
2
1 3 3
. .
3 4 3 36
a a a
V
Ví dụ Cho khối tứ diện ABCD có cạnh a, M trung điểm CD Tính thể tích hình chóp
M ABC A
3
3 24
M ABC
a
V B
3
3 16
M ABC
a
V C
3
3 12
M ABC
a
V D
3
3
M ABC
a
V
Hướng dẫn giải:
G
A C
B S
G
A C
(36)Gọi G trọng tâm ABC Kẻ MH & DG
2
2
1
2
3 3
4 24
ABC ABC
DG ABC MH ABC
a
MH DG CD GC
AB a a
S V S MH
Ví dụ Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp S ABI
A
3
41 24
S ABC
a
V B
3
11 24
S ABC
a
V C
3
31 24
S ABC
a
V D
3
21 24
S ABC
a
V
Hướng dẫn giải:
Gọi G trọng tâm tam giác ABCSGABC
2
2 2
3
3 33
3
1 1 11
2 24
S ABI S ABC ABC
AB a
SG SA AG SA
a
V V S SG
Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S ABCD tất cạnh a Tính theo a thể tích khối chóp
S ABCD
A
3 2
2 a
V B
3 2
3 a
V C
3 2
4 a
V D
3 2
6 a
V
Hướng dẫn giải:
M
G B
C A
D
H
G I
B S
(37)Gọi O giao điểm AC BD
2
3
1 2
;
2 2
1
3 ABCD
SO ABCD
a a
AO AC SO SA AO
a V S SO AB BC SO
Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S ABCD cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 60 Tính
theo a thể tích khối chóp S ABCD A
3
3 6
S ABCD
a
V B
2
6 6
S ABCD
a
V C
3
6 5
S ABCD
a
V D
2
6 5
S ABCD
a
V
Hướng dẫn giải:
Gọi O giao điểm AC BD, M trung điểm CD
n
3
,
, , 60
3 tan 60
2
1
3 ABCD
OM CD SM CD
SCD ABCD OM SM SMO
a SO OM
a
V S SO
Ví dụ Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a diện tích xung quanh gấp đơi diện tích đáy Khi thể tích khối chóp là:
A
3 3
3 a
B
3 3
12 a
C
3 3
6 a
D
3 2
3 a
Hướng dẫn giải:
O B
A
D
C S
O M
B
S
C A
(38)Gọi O giao điểm AC BD, M trung điểm CD
2 2
2
3
1
4 ;
2
2
3
1
3
xq SCD d xq d
ABCD
S S CD SM a SM S AB a
S S a SM a SM a
a
SO SM OM
a
V S SO
4 Dạng 4: Khối chóp phương pháp tỉ số thể tích
Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi B' C' trung điểm AB AC Khi tỉ số thể tích khối tứ diện AB C D' ' khối tứ diện ABCD bằng:
A
2 B
1
4 C
1
6 D
1
Hướng dẫn giải:
' ' '. '. 1
4
AB C D
ABCD
V AB AC AD
V AB AC AD
Ví dụ Cho hình chóp tam giác S ABC Gọi A B, trung điểm SA SB Mặt phẳng A B C chia hình chóp thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần bằng:
A
2 B
1
3 C
1
4 D
2
Hướng dẫn giải:
' ' ' '
' '
' ' 1 1
. .
4 3
S A B D S A B D
S ABC ABCDA B
V SA SB SC V
V SA SB SC V
O M
B
S
C A
D
C' B'
B D
C A
B' A'
S
B
(39)Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân B, AC a 2, cạnh bên SA vng góc với đáy, SA a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng qua AG song song với BC, cắt
,
SC SB M N, Tính thể tích khối chóp S AMN
A
3
9
S AMN
a
V B
3
27
S AMN
a
V C
3
2 27
S AMN
a
V D
3
2
S AMN
a
V
Hướng dẫn giải:
Gọi I trung điểm BC
3
2
2
9
4 1
9 27
S AMN S ABC
S AMN S ABC
AC a AB BC a
SM SN SG BC MN BC
SB SC SI
V SM SN
V SB SC
a
V V AB BC SA
& &
Ví dụ Cho tam giác ABC vuông cân A, AB a Trên đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng ABC lấy điểm D cho CD a Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD F cắt
AD E Tính theo a thể tích khối tứ diện CDEF A
3
36
a
B
3
18
a
C
3
24
a
D
3
12
a
Hướng dẫn giải:
3
2
2
2 2
2
3
1
3
2
:
3
1
6 36
ABCD ABC
CDEF
CDEF ABCD ABCD
a
V S CD
DE DA DC DE DC
DE DA DC
DA DA DA DA
DF DC
CMTT
DB DB
V DE DF a
V V
V DA DB
N
M G
I S
B
C A
A C
B
D
(40)Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M N trung điểm SB SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp
S AMN S ABD A
4 B
3
4 C
1
2 D
1
Hướng dẫn giải:
1
. .
4
S AMN
S ABD
V SA SM SN
V SA SB SD
Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi A B C D', ', ', ' trung điểm SA SB SC SD, , , Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S A B C D ' ' ' ' S ABCD là:
A
8 B
1
6 C
1
4 D
1
Hướng dẫn giải:
' ' ' ' ' '
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
' ' ' ' ' '
;
8
1
S A B C S A D C S ABC S ADC
S A B C S A D C S A B C S A D C S A B C D S ABC S ADC S ABC S ADC S ABCD
V SA SB SC V SA SD SC
V SA SB SC V SA SD SC
V V V V V
V V V V V
Ví dụ Cho khối chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng qua A B, trung điểm M SC Tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng là:
A
4 B
3
8 C
5
8 D
3
N M
B S
C D A
C' D' B'
A'
B
A D
(41)Kẻ MN& CD N CD , suy hình thang ABMN thiết diện khối chóp
1 ;
2
1
2
1
4
1
4 8
5
8
S ABM S ABMN S ABM S AMN
S ABC S ABM S ABC S ABCD S AMN
S AMN S ABCD S ACD
S ABMN S ABCD S ABCD S ABCD S ABMN
ABMNDC S ABCD
ABMNDC
V SM
V V V
V SC
V V V
V SM SN
V V
V SC SD
V V V V
V
V V
V
Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc
60 Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD cắt SB E cắt SD F Tính theo a thể tích khối chóp S AEMF
A
3 6
36 a
B
3 6
18 a
C
3 6
9 a
D
3 6
6 a
Hướng dẫn giải:
Gọi I SO AM
3
3
6
.tan 60
2
1 1
3
1
2
3 18
S ABCD ABCD S AMF
S AMF S ACD S ABCD S ACD
S AEMF S AMF S AME S AMF S ABCD
AEMF BD EF BD
a a
SO OA V S SO
V SM SF
V V V
V SC SD
a
V V V V V
& &
Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SA a Gọi B D', ' hình chiếu A lên SB SD, Mặt phẳng AB D' ' cắt SC 'C Tính theo
a thể tích khối chóp S AB C D' ' ' A
3
2
9 a
B
3 2
9 a
C
3
2
27 a
D
3 2
18 a
Hướng dẫn giải:
N M
O
B C
D A
S
F E
I
M
O
A D
C B
(42)2 ' '
' '
3 ' ' ' ' ' ' ' ' '
' '
;
3
' ' 1
3
2 2
2
3
S AB C
S AB C S ABC S ABC
S AB C D S AB C S AC D S AB C S ABC
SB SA SC
SB SB SC
V SB SC
V V
V SB SC
a
V V V V V
Ví dụ 10 Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích V với đáy hình bình hành Gọi C' trung điểm cạnh SC Mặt phẳng qua AC' song song với BD cắt cạnh SB SD, B D', ' Khi thể tích khối chóp S A B C D ' ' ' ' bằng:
A
V . B.
3
V . C
4
V . D
2 V .
Hướng dẫn giải:
Gọi O giao điểm AC BD, gọi I giao điểm củaSO AC' Qua I kẻ B D' ' song song với BD Khi mặt phẳng quaAC' song song với BDlà mặt phẳng AB C D' ' '
Ta dễ dàng nhận thấy I trọng tâm tam giác SAC nên SI SO Theo định lí Ta lét ta có ' '
3
SD SI SB
SD SO SB
' '
' '
' ' ' ' ' ' '
' ' 1
3 ' ' 1
3
2
1
2
SAD C SADC SAB C SABC
SADC SABC SABCD
SAD C B SAD C SAB C SABCD
V SA SD SC
V SA SD SC V SA SB SC
V SA SB SC
V V V
V
V V V V
C'
B
S
A
D C
B'
D'
D'
B' I
O C'
B
S
A D