Đề thi thử THPT quốc gia

Trong quá trình dạy học phần bài tập có chứa tham số nếu người giáo viên chú trọng đúng mực và xây dựng được hợp lý hệ thống các bài tập về sử dụng phương pháp đạo hàm[r]

www.dayhoctoan.vn 0

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO - -

SÁNG KIẾN KINH NGIỆM

"Phương pháp đạo hàm tốn tìm điều kiện có nghiệm phương trình, bất phương trình,

hệ phương trình đại số"

www.dayhoctoan.vn 1 MỤC LỤC

Trang

A Phần mở đầu 01

1 Lý chọn đề tài 01

2 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 01

3 Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu 01

4 Giả thuyết khoa học đề tài 02

5 Phương pháp nghiên cứu 02

6 Dự báo đóng góp đề tài 02

B Phần giải vấn đề 03 I Kiến thức sở 03

II Các tập minh họa 03

1 Phương trình 03 Dạng Các tốn tìm điều kiện tham số để PT có nghiệm 03

Dạng Các tốn tìm điều kiện tham số để PT có k nghiệm 10

2 Bất phương trình 15

3 Hệ phương trình 20

III Thực nghiệm 26

1 Mục đích thực nghiệm 26

2 Nội dung thực nghiệm 26

3 Kết thực nghiệm 26

C Kết luận kiến nghị 27

www.dayhoctoan.vn 2

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình tốn học bậc Trung học phổ thơng, bài tốn tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm là toán quan trọng thường gặp kì thi học sinh giỏi, tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng Những toán dạng đề cập tài liệu tham khảo với nhiều cách giải khác Tuy nhiên ta nhận thấy có phương pháp hiệu giải phần lớn tập dạng Phương pháp đạo hàm Với việc sử dụng phương pháp này, tốn tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm giải cách tự nhiên, túy, ngắn gọn đơn giản

Trong trình giảng dạy tác giả nhận thấy tâm lý chung học sinh ngại lúng túng gặp tốn có chứa tham số tốn chứa tham số mà em gặp chương trình lớp lớp 10 thường phải xét nhiều trường hợp Với mong muốn giúp em học sinh lớp 12 thay đổi tâm lý gặp tốn tham số có cách tiếp cận, giải tốn cách nhẹ nhàng, tơi tập trung khai thác tốn tìm giá trị tham số để phương trình (PT), bất phương trình (BPT), hệ phương trình (HPT) đại số có nghiệm phương pháp đạo hàm (PPĐH)

Từ lý tơi trình bày sáng kiến kinh nghiệm:

“ Phương pháp đạo hàm tốn tìm điều kiện có nghiệm Phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình đại số”

II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Để hoàn thành đề tài nói tơi nghiên cứu dạng toán PT, BPT HPT đại số chương trình đại số giải tích thuộc mơn tốn Trung học phổ thơng

Các vấn đề tơi trình bày viết hỗ trợ cho em học sinh lớp 12 cách tiếp cận toán tham số phương pháp đạo hàm

www.dayhoctoan.vn 3

- Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu nghiên cứu đề tài giúp em học sinh lớp 12 tiếp cận với tốn tìm điều kiện tham số để PT, BPT, HPT có nghiệm cơng cụ hữu hiệu đạo hàm Đồng thời rèn luyện cho học sinh kỹ giải trình bày dạng tốn Góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn trường trung học Phổ thơng

- Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu, xây dựng trình bày cách có hệ thống tập điển hình sử dụng phương pháp đạo hàm tìm điều kiện tham số để PT, BPT, HPT đại số có nghiệm

IV GIẢ THUYẾT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI:

Trong q trình dạy học phần tập có chứa tham số người giáo viên trọng mực xây dựng hợp lý hệ thống tập sử dụng phương pháp đạo hàm để giải tốn tìm điều kiện tham số để PT, BPT, HPT có nghiệm giúp học sinh tiếp cận giải tốt tập dạng từ giúp học sinh chủ động tự tin gặp tốn có chứa tham số nói chung

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

+) Nghiên cứu luận: Nghiên cứu tài liệu PT, BPT HPT chương trình tốn Trung học phổ thơng

+) Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát lực học sinh vấn đề tiếp cận giải tốn có chứa tham số

+) Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm số tiết lớp 12 để xem xét tính khả thi hiệu đề tài

VI DỰ BÁO NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI

- Trong thực tiễn dạy học thân áp dụng đề tài vào giảng

dạy thu kết khả quan, hầu hết sau em chủ động hứng thú tiếp cận với tốn có chứa tham số nói chung Từ phát huy tính tích cực, tư sáng tạo học tập

www.dayhoctoan.vn 4

B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I KIẾN THỨC CƠ SỞ

- Nếu hàm số y f x  đồng biến ( nghịch biến) D thì: +) Phương trình f x k có khơng q nghiệm D +) Với x y, D, f x  f y  x y

- Nếu hàm số y f x  đồng biến hàm số yg x  nghịch biến D phương trình f x g x  có khơng q nghiệm D

- Nếu hàm số liên tục D max ( )

D f x M, ( )D f x m phương trình

( )

f x k có nghiệm D m k M

- Nếu hàm số y f x  liên tục D max ( )

D f x M bất phương trình

( )

f x k có nghiệm D kM

- Nếu hàm số y f x  liên tục D ( )

D f x m bất phương trình f x( )k

có nghiệm D km

- Nếu hàm số y f x  liên tục D và max ( )

D f x M bất phương trình

( )

f x k thoả mãn với xD kM

- Nếu hàm số y f x  liên tục D ( )

D f x m bất phương trình f x( )k

thoả mãn với xD km

- Nếu hàm số liên tục đoạn [a;b] hàm số đạt giá tri lớn giá trị nhỏ

Trong trường hợp hàm số y f x  khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ D ta phải lập bảng biến thiên hàm số D Từ đưa kết luận cho toán

II CÁC BÀI TẬP MINH HỌA. 1 PHƯƠNG TRÌNH

Dạng 1 Các tốn tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm

Trong dạng này, tác giả đưa số ví dụ phân tích cách tiếp cận khác để thấy lợi phương pháp đạo hàm dạng toán Dấu hiệu quan trọng để sử dụng PPĐH dạng tốn tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm PT biến đổi dạng: f(x) = g(m)

Trong hệ thống tập gồm loại sau:

+) Bài 1, 2, 3, 4, biến đổi dạng: f x( )m

www.dayhoctoan.vn 5

Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2

4 5

x  x  x  x m (1)

Phân tích tốn: Đây tốn sử dụng kiến thức lớp 10 giải

quyết Thật vậy, sau chuyển vế, bình phương rút gọn ta có PT:

2

2m x 4x 5 8x m (*) PT(*) phải xử lý đây? Đối với nhiều học sinh gặp khó khăn! Phải xét trường hợp m, đặt điều kiện bình phương để đưa dạng Quá trình thời gian địi hỏi phải có kỹ thuật để xử lý linh hoạt vài điểm mấu chốt

Liệu có có cách giải đơn giản khơng?

Đạo hàm cơng cụ giúp ta có cách tiếp cận khác

Lời giải: Điều kiện: x

Xét hàm số 2

4 5

y x  x  x  x + )

2 2

2 2

' ,

4 5 ( 2) ( 2)

x x x x

y x

x x x x x x

   

     

       

+) y' 0 x2 x22 1 x2 x221 (2)   2 2   2 2

( 2)( 2)

2 2

x x

x x x x

  



           

    



Hệ phương trình vơ nghiệm Như y’ = vô nghiệm

Mặt khác, ,

(0)

5

y   y' hàm liên tục

Từ ta suy ra: y'0 , x ; Ta có:

2

2

8

4 5

4 5

1

x x

y

x x x x

x

x x x x

  

 

         

 

 

 lim 4; lim xy xy 

Ta có bảng biến thiên:

x - +

y’ +

y

-4

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (1) có nghiệm    4 m Đáp số:   4 m

Nhận xét:

www.dayhoctoan.vn 6

+) Ở toán ta khơng giải PT y'=0, mà chứng minh ' ,

y   x cách xét hàm

2

( )

1 t f t

t 

 f t đồng biến ( )

Bài tốn tổng quát thành:

Bài 1’ Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

a 2

( 0, )

ax bx c ax bx c m a b  ac

b 2

( ) ( 0, )

m ax bx c ax bxc  bx a b  ac

Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4

13

    

x x m x (1)

Phân tích tốn: Ở tốn chưa có dạng f(x) = g(m), nhiên

quan sát kỹ ta thấy ‘‘cơ lập’’ m cách chuyển về, bình phương để chuyển PT: f(x)=m với f(x) hàm số bậc Từ ta chuyển tốn việc tìm m để PT có nghiệm x1 Rõ ràng dạng tốn việc sử dụng kiến thức không liên quan đến đạo hàm khó thực (vì f(x) hàm số bậc 3) Thông thường trường hợp sử dụng đồ thị dùng BBT (cả hai sử dụng kiến thức sở đạo hàm)

Lời giải: Ta có:

 4  

4

1

(1)

4

13

x x

x x x m

x x m x

 

 

 

      

    

 



Xét hàm số  

4

f x   x  x  x tập ;1 Ta có:  

' 12 12

f x   x  x ;

' 

f x   x (loại);

2

x  Bảng biến thiên:

x -

 f’(x)  +

f(x) +

12

2



Ta có: (1) có nghiệm  (2) có nghiệm x  ;1

2

m   

Đáp số:

  m

Nhận xét: Với PPĐH cho cách tiếp cận đơn giản để giải toán trên, PP khác khó để làm điều tương tự Qua toán chúng ta nhận thấy điểm “mạnh” PPĐH để giải toán chứa tham số so với PP khác

www.dayhoctoan.vn 7

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

3 x 1 m x 1 x 1 (1)

Lời giải: Điều kiện :x1

Ta có: (1) 3 24

1

 

   

 

x x

m

x x (2)

Đặt

1 x t

x

 

 Ta có: 4

1

0 1

1

x

t

x x



      

  ;

Với t0;1 ta ln có x1 để

4

4

1

( 1)

1

x t

t x

x t

    

 

Phương trình (2) trở thành :

3

m  t  t (3) Xét hàm số:

( )

f t   t  t với t0;1 '

'( ) ; ( )

3

f t   t f t   t

Ta có bảng biến thiên:

t

3 f’(t) + 

f(t)

3

-1 Phương trình (1) có nghiệm x  1;  phương trình (3) có nghiệm t0;1

1

m    

Đáp số: 1

m   

Nhận xét: Ở toán này, sau ‘‘cơ lập’’ m giáo viên cần phân tích để

học sinh thấy cần thiết phải đặt ẩn phụ để đưa phương trình đơn giản hơn Và điều quan trọng sau đặt ẩn phụ học sinh cần phải tìm điều kiện xác ẩn phụ Học sinh hay gặp sai lầm nêu t0, không chỉ t <

Qua toán thấy việc sử dụng PPĐH để giải dạng tốn tìm điều kiện tham số m để PT có nghiệm thực theo bước sau:

Bước 1: Biến đổi đưa phương trình dạng f x( )g m( ).(Đối với tốn chưa sẵn có dạng f x( )g m( ))

Bước 2: Tìm miền giá trị của f x( ) Bước 3: Kết luận cho toán

Chú ý: Trường hợp phương trình chứa biểu thức phức tạp cần đặt ẩn phụ, ta thực

hiện sau:

Bước 1: Biến đổi đưa phương trình dạng f x( )g m( )

www.dayhoctoan.vn 8

Bước 3: Đưa phương trình ẩn x phương trình ẩn t: h t( )g m( ) Bước 4: Tìm miền giá trị h t( )

Bước 5: Kết luận cho toán

Trong bước hai điều mà học sinh hay thiếu việc tìm điều kiện xác cho ẩn phụ Tìm điều kiện xác có nghĩa tìm tập giá trị ẩn phụ, thông thường ta sử dụng đạo hàm giải triệt để vấn đề

Bài 4 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2

5 ( 11)

        

x x x x m x (1)

Lời giải: Điều kiện: 1 x

PT (1) 2

5 ( 4) ( 11)

 x x  x  x  x x   x  m x

2

5 ( 4)

x  x  x  x x mx

2

5

2

     

  m x x  x x

x x (do x > 0) (2)

Đặt

2

5 4

5

  

 x x    

t x

x x

Xem t hàm số x  1; , ta có: +)

2

4 '

2 ( 4)

x t

x x x x

 

   ; t'   0 x 2(loại); x2 +) t(1)0; (2)t 1; (4)t 0;

Ta có:

 1;4  1;4

min ( )t x  t max ( )t x  0 t Phương trình (2) trở thành:

2

  

m t t (3)

Xét hàm số

( )  2

f t t t , 0 t

f t'( )     2t 0, x  0;1 Suy f(t) hàm số đồng biến  0;1 Ta có:

 0;1  0;1

min ( )f t  f(0)0;max ( )f t  f(1) 1

Do (1) có nghiệm x 1; (3) có nghiệm t 0;1    1 m Đáp số:   1 m

Nhận xét:

+) Điều quan trọng tốn cần sử dụng đạo hàm để tìm điều kiện xác ẩn phụ Đây điều học sinh dễ gặp sai lầm đánh giá

0 t

+) Việc tìm điều kiện xác cho t tốn thực sau:

4

5 ;

t x u u x

x x

         Từ tìm điều kiện xác cho u sau

www.dayhoctoan.vn 9

Bài 5: (HSG lớp 12 tỉnh Vĩnh Phúc 2008-2009)

Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3

2 3 1

x  x  m  m   x (1)

Lời giải: Ta có: (1)

3 2 3

1

2 ( 1) 3 (2)

x x

x x m m x x x m m

 

 

  

        

 

PT (1) có nghiệm  PT (2) có nghiệm x thỏa mãn: x1 Xét hàm f x( )x33x2 1; có:

'( ) ; '( ) 0

f x  x  x f x   x (loại) ; x2 lim ( )

x f x  

Ta có bảng biến thiên:

x  f’(x)  +

f(x) -2 

-4 Ta có: (2)  f x( ) f m( )

Qua bảng biến thiên ta thấy:

PT (2) có nghiệm x thỏa mãn x1 f m( ) f(2)  f m( ) f(2)0 (m1)(m2)2 0   m

Đáp số: m 1

Nhận xét: Trong toán ta biến đổi PT cho dạng ( ) ( )

f x  f m Sau đưa tốn giải BPT: f m( ) f(2)0 (*), vế trái của (*) hàm bậc m dễ nhận thấy có nghiệm đặc biệt m=2 Do BPT (*) giải cách đơn giản

Bài 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2

( 10)

x  x m  m  m   (1)

Lời giải: Đặt: x t; t0

Ta có: (1)t m( 54m39m10) t4

4

5 3

4 10 t

m m m

t 

     (do t0 nghiệm PT)

5 3

4 10

m m m t

t

      (2) Xét hàm: f t( )t3

t

 với t(0;) f t'( )

4

2

3 3

3t t ; f t'( ) t

t t



      (loại); t1

0

lim ( ) ; lim ( )

www.dayhoctoan.vn 10 Bảng biến thiên:

t  f’(t)  +

f(t) + 

Ta có, (1) có nghiệm (2) có nghiệm t thỏa mãn: t0

5

4 10 4

m m m m m m

          (3)

Xét hàm:

( )

g m m  m  m có

g m'( )5m4 12m3 9 m4(2m2 3)2   0, m Suy hàm g(m) đồng biến Mà ta lại có: (3)g m( ) g( 1)  m

Vậy (1) có nghiệm m 1 Đáp số: m 1

Nhận xét: Ở bài toán này sau đặt ẩn phụ, đưa PT cho dạng h(t)=g(m), g(m) hàm bậc m Ta cần xét biến thiên hàm h(t) và g(m) đồng thời có phát quan trọng để rút kết luận cho toán

Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

x 3x2 4x 2 6m3 15m2 12m m  1 (1)

Lời giải: Điều kiện:x

Ta có: (1)  x 3x24x  2 6m315m212m m 1 Xét hàm: f x( ) x 3x24x2 trên

Ta có:

2

3

'( ) ; '( )

3

x x x

f x f x x

x x

   

   

 

2

2

4

lim ( ) lim ;

4

lim ( ) lim

x x

x x

f x x

x x

f x x

x x

 

 

 

      

 

 

      

 

Bảng biến thiên:

x -  f’(x) + 

f(x)

- - Qua bảng biến thiên ta thấy (1) có nghiệm 

6m 15m 12m m

      0

www.dayhoctoan.vn 11

2 1

'( ) 18 30 12 6( 1)(3 2) 0,

2 1

g m m m m m m

m m

            

 

Suy ( )g m hàm nghịch biến 1;

Do g m( )g(1)  1 0,  m Vây PT có nghiệm với m1 Đáp số: m1

Nhận xét: Ở toán để đến kết luận phải giải BPT g m( )0 Việc giải BPT tương đối phức tạp g(m) khơng có nghiệm đặc biệt Ở chúng ta sử dụng PPĐH để đánh giá g m( ) tìm nghiệm BPT g m( )0 Đây một ưu PPĐH việc giải PT, BPT khơng có nghiệm đặc biệt

Chú ý: Khi học sinh giải thành thạo tốn "Tìm điều kiện tham số m để PT có

nghiệm" (1), để tạo linh hoạt cho em ta thay đổi yêu cầu toán (1) trở thành toán "Tìm điều kiện tham số m để PT vơ nghiệm" (2) Đối với toán (2) ta thực bước giải toán (1), sau kết luận tập giá trị m cần tìm là: S  \S1, S1 kết toán (1)

Dạng 2 Các tốn tìm điều kiện tham số để phương trình có k nghiệm

Về mặt phương pháp giải dạng toán này, giống phương pháp giải dạng Tuy nhiên cần phải lập BBT sử dụng đồ thị để xác định xác số nghiệm PT

Đặc biệt với toán dạng cần đặt ẩn phụ t điều quan trọng sau đặt ẩn phụ, học sinh cần phải biết tương ứng số nghiệm t số nghiệm x

Bài 1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm 1;1



 

 

 

3 1x2 2 x32x2  1 m (1)

Phân tích toán: Ở vế trái PT hàm số phức tạp

PPĐH có lẽ phương án tối ưu để giải tốn, trước hết gặp khó khăn tìm điều kiện có nghĩa cho PT, việc tìm điều kiện dẫn tới việc giải bất phương trình

2

x  x   (2) đoạn 1;1



 

 

  Vì đa thức vế trái (2) khơng có nghiệm đặc biệt nên thông thường BPT (2) vô nghiệm đoạn xét Để kiểm tra điều ta thường sử dụng đạo hàm

Lời giải: Ta có:

1 0, ;1

2

x x  

     

 

Xét hàm số  

2

g x x  x  1;1



 

 

 

Ta có: +)  

3 0

g x  x  x  x

+) 11;  0 1;  1 4;

2

g  g  g 

 

Do đó:  

1 ;1

min

     



g x , suy ra:   1, 1;1

 

    

 

www.dayhoctoan.vn 12 Suy PT (1) xác định 1;1

2

x  

   

 

Xét hàm số  

3 2

f x  x  x  x  1;1        Ta có: '

2 2

3 3

( )

1 1

x x x x

f x x

x x x x x x

                    Rõ ràng:

2

3

0, ;1

2

1

x

x

x x x

  

     

 

  

Do f x   0 x Ta có bảng biến thiên:

x

 f’(x) +  f(x)

3 22



-4 Qua bảng biến thiên ta thấy:

(1) có nghiệm 1;1



 

 

  

3 22

4

2

m 

   m1

Đáp số: 3 22

2

m 

   m1

Bài 2: Cho phương trình:

2

   

x mx x (1)

Tìm m để: a) Phương trình có nghiệm nhất; b) Phương trình có nghiệm phân biệt

Lời giải: Ta có:

 

 2

2

1 1

2

1

3

2

x x

mx x x

x mx x

                    2

3

           x x x m x (vì x0khơng phải nghiệm PT)

Xét hàm số f x  3x

x

   tập 1;0 0; 

D   

 có:

f ' x 12 0, x D x

    

0

lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( )

www.dayhoctoan.vn 13 Ta có bảng biến thiên:

x

 +∞ f’(x) + +

f(x) +∞ +∞

2 -∞ Dựa vào bảng biến thiên ta có:

a) (1) có nghiệm

 m

b) (1) có nghiệm thực phân biệt

m

 

Nhận xét:

+) Đối với toán sử dụng kiến thức lớp 10 để giải quyết, nhiên sẽ phức tạp theo hướng dẫn đến việc giải số bất phương trình vơ tỷ

+)Với tốn ta thấy phương trình ln có nghiệm  m R ta thay đổi yêu cầu tốn thành "Chứng minh phương trình có nghiệm  m R"

Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt:

2

1

x m m x  (1)

Lời giải: Điều kiện:x

Ta có:    

1  x m x  1 (2)

Dễ thấy, (1) ln có nghiệm x =

Với  

2

1 0,

1

x x

x m m

x x

 

    

  (3)

Xét hàm số f x  x2 x x

 

 ;0  0; có:  

2

(1 1)

' x 0,

f x x

x

  

   

0

lim ( ) 1; lim ( ) lim ( ) ; lim ( )

x f x  x f x   x f x   x f x  

Ta có bảng biến thiên:

x -∞ +∞ f’(x)   f(x) -1 +∞

-∞ (1) có nghiệm phân biệt  (3) có nghiệm x0 Dựa vào bảng biến thiên, (3) có nghiệm x0

1

m m

 

   

www.dayhoctoan.vn 14 Đáp số:

1 m m      

Nhận xét: Trong này, điều quan trọng phải nhận xét x0 nghiệm PT

Bài 4: Cho phương trình:  

5 4 4

m x  x   x  x  (1) Tìm m để phương trình: a) Có nghiệm nhất;

b) Có nghiệm phân biệt

Phân tích tốn:Ta nhận thấy “cô lập” m cách chia hai vế

cho

5 x 2 x 4 PT tương đối phức tạp chưa thấy xuất ẩn phụ Ở giáo viên cần phân tích để học sinh tìm mối liên hệ thức xuất toán Nếu xem

2

x a;

2

x b ta có x2 a2;

2

x b2 Lúc (1) trở thành PT đẳng cấp bậc hai ẩn a, b Đối với

dạng PT ta thường chia cho a2 b2 để đưa ẩn phụ thích hợp Ở

lựa chọn chia cho b2 với điều kiện PT a 0, cịn b >

Lời giải:Điều kiện: x2

Chia vế (1) cho x2 ta có:  1 5 44 5 44

2 2

x x x

m

x x x

    

    

  

  (2)

Đặt

2 x t x  

 Do

2 2 x x x   

  suy 0 t với  x 2;

Với t0;1 ta ln có giá trị x2 để: 4 2 ( 2) x t t x x t       

Ta có, (2) trở thành:  

2

4

5

5

t

m t t t m

t t



    

 (3)

(do 0;

t t nghiệm PT)

Xét hàm số ( ) 42

5 t f t t t  



4

0; ;1

5

            có:

+ )  

 

2

2

20 50 20

' ; '( )

5

t t

f t f t t

t t         (loại); t  + )

lim ( ) ; lim ( )

t t

f t f t

 

      ; 4

5

lim ( ) ; lim ( )

t t

f t f t

 

 

www.dayhoctoan.vn 15 Bảng biến thiên

t

2

5 f’(t)  + +

f(t)   -1

 Ta có:

a) (1) có nghiệm  (3) có nghiệm 0;4 4;1

5

t    

   

m4hoặc m 1

b) (1) có nghiệm phân biệt  (3) có nghiệm phân biệt 1, 2 0;4 4;1

5

t t     

   

 m4 Đáp số: a) m4 m 1; b) m4 Nhận xét:

+) Như nói phần đầu của dạng này, điều quan trọng toán sau đặt ẩn phụ học sinh cần phải biết tương ứng số nghiệm t x

+) Trong này, giáo viên cần lưu ý học sinh phải quan sát biểu thức

xuất đề bài:

2; 2;

x x x  , từ dự đốn phải đặt ẩn phụ

ẩn phụ gì? Chính bước đầu ta chưa nên "cô lập" m mà nên chia vế cho x2 trước để thấy rõ ẩn phụ cần đặt

Bài 5.(HSG Hà Tĩnh Lớp 12 năm học 2012-2013)

Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm phân biệt:

2

4

4 x m x x

x     (1)

Lời giải:

Điều kiện: 2x2

Đặt

4 x x

t   Xem t hàm số x, xét hàm số t 2;2:

 

2

2

4

' , 2;2

4

x x x

t x

x x

 

     

  ; t'0x Bảng biến thiên hàm số t 2;2:

x -2 2 t' +  t 2 2

www.dayhoctoan.vn 16

Từ bảng biến thiên ta có t  2; 2 quan hệ số nghiệm t x: +) giá trị t 2;2 t 2 cho tương ứng nghiệm x, +) giá trị t 2; 2 cho tương ứng hai nghiệm x

Ta có 2

4

4 x x

t    

2 4

2

2  

x t

x

Phương trình (1) trở thành:  t t2m

2

1

Xét hàm số

2 )

(t  t2 t

f tập 2; 2 f t'( )  t 1; f t'( )  0 t

Ta có bảng biến thiên:

t -2 2 f’(t) +  

f(t)

22 -2

Từ bảng biến thiên f(t), phương trình (1) có nghiệm  phương trình f(t)m có nghiệm t 2; 2)

nghiệm t  2; 2 2  22m2

Đáp số: 2 22m2

Nhận xét: Về mặt phương pháp giải toán giống toán 4,

đây có khác biệt ta khó khăn biểu diễn x qua t toán 4, để khắc phục điều cách giải sử dụng đạo hàm để tìm tương ứng giữa t x

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:

Tìm m để phương trình sau có nghiệm

1

4x 2 21 4 xx m

2 6 x 4x2x2 m 4 4 x 2x2

3

9

x    x x x m

4 2

1

x   x x   x m

5 2

2 1x 4 1x 2x  m

6 4

www.dayhoctoan.vn 17

2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Trong phần tác giả trình bày số tốn tìm điều kiện tham số để BPT:

+) có nghiệm

+) có nghiệm D (với D tập đó) +) nghiệm với xD

Cũng tương tự PT, dấu hiệu quan trọng để sử dụng PPĐH dạng tốn BPT biến đổi dạng: f(x) > g(m) f(x) < g(m); f (x)g(m); f (x)g(m) Và để giải toán ta thực bước tương tự nêu phần PT, nhiên bước tìm tập giá trị f(x) (hoặc h(t)) phần PT sang phần BPT khơng thiết phải làm đầy đủ, mà tùy theo dạng BPT ta cần tìm f x m f x ; ax   (hoặc ( ); m ax ( )h t h t ) đủ sở để đưa kết luận cho tốn

Bài Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x x x12m 5 x 4x (1)

Lời giải: Điều kiện: 0 x

Do 5 x 4   x 0, x  0; nên ta có: 12

(1)

5

x x x

m

x x

 

 

  

( 12 )( )

m x x x x x

       (2) Xét hàm số: f x (x x x12) ( 5 x 4x) đoạn  0;

+) '     12 1 ,  0;4

2 2

x

f x x x x x x x x

x x x x

   

              

  

   

+) f ' x   0 x  0;

 Hàm số f(x) đồng biến  0; Do ta có:

 0;4    

min f x  f 2 154

(1) có nghiệm  2 có nghiệm

 0;4  

min 15

 m f x  m 

Đáp số: m2 154

Nhận xét:

+) Trong tập ta hàm số f x  đồng biến  0; bằng cách vận dụng kiến thức sau: Nếu hàm số yh x( ) đồng biến D , f x( )0 với xD hàm số yg x( ) đồng biến D , g x( )0 với xD hàm số yh x g x( ) ( ) đồng biến D

+) Có thể thay yêu cầu tìm m để BPT có nghiệm thành tìm m để BPT vơ nghiệm hoặc tìm m để BPT nghiệm với x[ 0; 4], lúc ta có kết tương ứng là

 0;4  

min

m f x ;

www.dayhoctoan.vn 18

Bài Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

mx x  3 m (1)

Lời giải: Đặt t x3, t0 Ta có:

3,

x t (1) trở thành:  

2

1

3

2

      

 t

m t t m m

t (2)

Xét hàm số   2

t f t

t  

 0; ta có:

 

 

2 2

2

'

2

t t

f t t

   



 

' 3;

f t     t t   (loại)

Ta có bảng biến thiên

t  1 3 +∞ f’(t) + 

f(t)



2

Dựa vào BBT, (1) có nghiệm  (2) có nghiệm t0

0;   

3

m max f t m

4





   

Đáp số:

0;   

3

m max f t m

4





  

Nhận xét: Nếu tập ta không đặt ẩn phụ mà biến đổi đưa

bất phương trình:

1

 

 

x m

x Khi dẫn đến việc xét hàm số  

1

1

x f x

x

 



 Đối

với hàm số việc tính đạo hàm, giải phương trình đạo hàm xét dấu đạo hàm gặp khó khăn

Bài 3: Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc 0;1 3

   

2 2

     

m x x x x (1)

Lời giải: Đặt  

2 2

t x  x  x x  t

Ta có (1) trở thành  

1

www.dayhoctoan.vn 19

2

1

' ; '

2

x

t t x

x x



   

 

(0)t  2; (1)t 1; (1t  3)2 Suy ra:

[0;1min ( ) ]t x 1; m ax ( )[0;1 3 ]t x 2   1 t

Do t 1 0, t [1;2] nên (2)

2 2     t m

t (3)

Xét hàm số  

2 t f t t  

  1; có:

 

 

2

2

' , (1;2)

1

t t

f t t

t

 

   

 ;

Suy hàm số đồng biến [1;2], đó:

 1;2  

2

max ( )

3

 

f x f

Ta có (1) có nghiệm x0;1 3  3 có nghiệm t 1;

 1;2

2 max ( )

3

 m f t  m

Đáp số:

m

Bài 4 (HSG lớp 12 tỉnh Hà Tĩnh 2013-2014)

Tìm m để bất phương trình sau nghiệm  x[-1;1]:

1 12 16 15

m  x x  x m  x m (1)

Lời giải:

Điều kiện:   1 x

(1)2[9(x 1) (1x)(1x) (1 x)]m(3 1 x 1   x 2) (2) Đặt: 1 x 1 x t, (2) trở thành 2t2m t(   2) (3) Xem t hàm số x, ta có:

'

2

t

x x

  

  ,  x ( 1;1)

Suy t là hàm đồng biến [ 1;1]

Vì t( 1)   2; t(1)=3 nên  2 t t[- 2;3 2] có [- 2;3 2]

x nên yêu cầu toán tìm m để bất phương trình (3) nghiệm [- 2;3 2]

t

 

Do t 2 0, t [- 2;3 2] nên: (3)

2      t m

t (4)

Xét hàm số ( ) 2 t f t t   

 tập  2;3 2 ta có:

2

2

'( ) 0,

( 2)

t t

f t x

t

  

   

  2;3 2

Do f t( ) hàm số nghịch biến  2;3 2 Suy

[- ;3 ]

31

m in ( ) (3 2)

3 2

f t  f  

www.dayhoctoan.vn 20 Ta có (4) nghiệm  t [- 2;3 2]  m

[- ;3 ]

m in f t( ) 31

3 2

m 

  

Vậy (1) nghiệm  x[-1;1] 31

3 2

 



m

Đáp số: 31

3 2

 

 m

Bài Tìm m để bất phương trình sau nghiệm  x[0; 2]

2 2 x x x x

m(   )(   ) (1)

Lời giải:

Đặt:

1

  

t x x với x[0; 2] Xem t là hàm số x, x[0; 2] Ta có: t'2x   1 0, x [0; 2]

Suy t hàm số đồng biến [0; 2] Do đó:

[0;2] [0;2]

min ( )t x t(0) 1; m ax ( )t x t(2)5, suy ra:   1 t Ta có (1) trở thành:

( 2)

 

mt t (2) Ta thấy t0 nghiệm (2)

Với t0 ta có:

 

2

2

(t 2)

m ; t

t

(t 2)

m ; t

t                (3)

Ta có (1) nghiệm  x[0; 2] (2) nghiệm t  1;5 (3) nghiệm t  1;0  0;5

Xét hàm số

2

( 2)

( ) t

f t

t tập 1;0  0;5

2

4

'( ) t ; '( )

f t f t t

t 

     (loại); t 2

0

lim ( ) ; lim ( )

t f t   t f t  

Bảng biến thiên:

t -1 f’(t)   +

f(t) -1  49

- Ta có (3) nghiệm  t  1;0  0;5

   

 

1;0

0;5

m max f (t); t

m f (t); t

             m

1 m

m

  

www.dayhoctoan.vn 21 Vậy (1) nghiệm  x[0; 2]    1 m

Đáp số: m 8  

Nhận xét: Bài toán giống tốn dạng tốn tìm điều kiện m để BPT với  x D, có điều khó khăn để lập m ta cần xét t=0 và t0 sau dẫn đến hệ bất phương trình cần tìm điều kiện m để hệ này với t  1;0  0;5

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 1) 3x 1 5 x m

2)  3

3 1

    

x x m x x

Tìm m để bất phương trình sau

3) (12x)(3x)m(2x2 5x3) nghiệm với [ ;3]

1

x 

4) x2 - 2x + - m2 0 nghiệm với mọix [1; 2]

3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Cũng tốn PT, BPT có chứa tham số , toán HPT chứa tham số thông thường giải cách đơn giản sử dụng PPĐH

Bài 1.(ĐH - Khối D-2007)

Cho hệ phương trình

3

3

1

5

1

15 10

     



     

 x y

x y

x y m

x y

(1)

Tìm m để: a) Hệ có nghiệm (x;y);

b) Hệ có nghiệm thỏa mãn (x;y) thỏa mãn x > 1, y > 1

Phân tích tốn: Đây hệ đối xứng loại 1, nhiên việc đặt s x y p, xy phức tạp cho việc xử lý phần sau Ở ta dùng nhận xét

3

3

1 1

( ) 3( )

a a a

a a a

     để đặt ẩn phụ

Lời giải

Đặt u x 1,v y

x y

   

a) Điều kiện: u 2, v 2 Hệ (1) trở thành

 

3

5

3 15 10

u v

u v u v m

  

     



5

u v

u v m

  

   



, u v

 nghiệm phương trình

5

t   t m (2) Xét hàm số  

5

f t   t t với t 2 có: '  5; ( )

2

www.dayhoctoan.vn 22

2

lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) 2; lim ( ) 22

x f t   x f t   x f t  x f t 

Ta có bảng biến thiên:

t -∞ -2

2 +∞

f'(t)   + f(t) + +

22

(1) có nghiệm  (2) có nghiệm tt t1, t2 thỏa mãn t1 2;t2 2

 m 22

4 m

b) Xét hàm số g t  t

t 1; ta có:

   

1

'  1    0 1;

g t t

t ;

Do g(t) hàm đồng biến 1; Từ suy g(t) > g(1)= 2,   t 1;  Vậy ta có điều kiện: u v 2 ,  ;

Xét hàm số  

5

f t   t t với t2 '( ) 5; '( )

2 f t  t f t   t

2

lim ( ) ; lim ( )

x f t   x f t 

Ta có bảng biến thiên:

t

2 +∞ f'(t)  +

f(t) +

Ta có: (1) có nghiệm thỏa mãn (x;y) thỏa mãn x1, y > 1

(2) có nghiệm tt t1, t2 thỏa mãn t12;t2 2

4 m

  

Đáp số: a) m22 4 m b)

7

2

4 m

www.dayhoctoan.vn 23

+) Trong câu (b) với x > 1, y > 1, ta phải sử dụng đạo hàm để tìm điều kiện chính xác ẩn phụ

+) Có thể thay yêu cầu tốn câu b thành tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn x >3; y >3 x < -2; y < -2…

Bài 2.(ĐH - Khối D-2011)

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

    2 2 ,             

x y x xy m

x y R

x x y m

(1)

Lời giải:

      

   

2

3 2

2

2

2

1

2

1

x x x y m

x x y x xy m

x x x y m

x x y m

                         

Đặt:

,

ux x v xy ta có 1,

u  v

(1) trở thành:  

1 2

v m u

uv m

u m u m

u v m

                    2 2

v m u

u u m u              (Do

4

u  nên 2u 1 0) Hệ (1) có nghiệm  (2) có nghiệm

4

u 

Xét hàm số  

2 u u f u u   



1 ;          2

2 1

' , ;

4

2

u u

f u u

u

   

     

 

 ;

'  3;

2

f u   u   u  (loại)

Ta có bảng biến thiên:

u



 

+∞ f’(u) + 

f(u)   -∞ Dựa vào BBT, (1) có nghiệm

2

m 

 

Đáp số:

m 

www.dayhoctoan.vn 24

+) Đối với toán này, ta cần quan sát khéo léo biến đổi để phát ẩn phụ hợp lý

+) Bài toán thay đổi u cầu sau: Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) với x khơng âm; có nghiệm (x, y) với x < a x>a, (a cho trước)

Bài 3 (HSG lớp 12 tỉnh Nghệ An 2011-2012)

Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm

3

2 2

12 16 (1)

4 (2)

x x y y

x x y y m

     

 

     



Phân tích toán: Ở PT (1) x, y đứng độc lập với có số mũ cao

nhất 3, điều gợi cho suy nghĩ: chuyển PT (1) dạng f(ax+b) = f(y) f(ay+b) = f(x) với f(x) hàm số bậc

Lời giải:

Điều kiện: 2

0

x y

   

   

Ta có  3  

(1)x 12x y2 12 y2

Xét hàm số  

( ) 12 , 2;

f t  t t t  ;

'    

( ) 12 , 2;

f t t t t

        

f(t) hàm liên tục 2; 2 Suy hàm số f(t) nghịch biến 2; 2 Ta có: x y – thuộc đoạn 2; 2

f x( ) f y( 2)      x y y x (3) Thay (3) vào (2) ta phương trình 2

3 4x 4x m (4) Hệ phương trình cho có nghiệm phương trình (4) có nghiệm x2; 2

Xét hàm số: 2

( ) 4

g x  x  x , x  2; 2

2

3

'( ) ; '( ) 0

4

g x x g x x

x

 

       



 

g( 2)  16; g(2) 16; g(0)6 Ta có:

 2;2  2;2

min g(x) 16; m ax g(x)

    

(4) có nghiệm x2; 2   16 m

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm khi:   16 m Đáp số:   16 m

Nhận xét:

+)Đối với này, việc phân tích để xử lý PT (1) từ rút mối quan hệ x và y quan trọng, sau giải PT (2) tương tự toán dạng1

www.dayhoctoan.vn 25

Bài 4 Cho hệ phương trình:

1

1

x y m

y x m

    

 

   

 Tìm m để hệ phương trình trên: a) Có nghiệm;

b) Có nghiệm

Lời giải:

Điều kiện:

0

x y   

   

Từ hệ ta suy ra: x 1 y 1 x x

 x 1 x y 1y (1)

Xét hàm số f t( ) t 1t ,t 0;1 ' 1   ( ) , 0;1 2 f t t t t       Suy hàm số y f t( ) đồng biến  0;1 Ta có: (1)  f x( ) f y( ) x y Thay vào hệ ta : x 1  x m (2)

Xét hàm số f x( ) x 1x  0;1 Ta có : '( ) (1 ) x x f x x x     ; '( ) f x   x Bảng biến thiên : x

2

f’(x) + 

f(x) 2

Ta có:

a) HPT cho có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm  1  m 2  0 m 1

b) HPT cho có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm  m 1 2 m 1

Nhận xét:

www.dayhoctoan.vn 26

có nghiệm cần

2

o o

x y  .Từ tìm m thử lại Cách giải học sinh hay

gặp sai lầm khơng thử lại

Bài 5. Tìm m để hệ sau có nghiệm (x; y) thỏa mãn x0; y0:

 

 

2

4 12

16

xy x x y

x y m

     

 

   



Lời giải: Dox  0; y  nên ta có: Điều kiện:

0

  

   

x

y (*)

 

1  4xy12x   1 x y  4xy12x   1 (3 x y) (Do: 3  x y 0)

2

x 2x(y 3) y 6y

       (3) Xem (3) phương trình bậc hai biến x

Ta có:  3

  

   



x y

x y

+) Với x y từ (*) ta suy ra:

    

x y Thay vào (2) ta có m =

Như m = hệ có nghiệm (4; 0)

+) Với x y 2, kết hợp điều kiện (*) ta có: y 2  (**) thay vào x y vào (2) ta được: 2

4 12

 y y  y m (4) Hệ có nghiệm thỏa mãn x0; y0  (4) có nghiệm y 0;

Xét hàm số   2

4 12

     

f y y y y  0;

  2 2  

' 0, 0;

4 12

y y

f y y

y y y

 

    

    ;

Suy f(y) nghịch biến  0; Do ta có:

 0;2    0;2    

min f y  f(2) ; max f y  f  3

Ta có (4) có nghiệm y 0;  5m 3

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn x0; y0 5m 3

Nhận xét: Việc biến đổi PT (1) để rút x theo y điểm mấu chốt toán Và một điều cần lưu ý sau biểu diễn x theo y ta cần đặt lại điều kiện (**) cho y Bước tiếp theo chuyển từ tốn tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn x0; y0 tìm m để PT có nghiệm y thỏa mãn điều kiện (**)

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

www.dayhoctoan.vn 27 1            m x y m y x          m y x xy y x y

x 2

) )( ( 3

1 2

3

    

 

   



x y xy x

x x xy a

4              105 12 m m m y xy x y xy x 2 2

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất:

5

  

  xy 1 x m y x 6          my y x y mx x y x 2 2

Tìm tất giá trị m để hệ phương trình sau có nhiều hainghiệm:

7          ) ( )

(x 1y xy m y

m y x

2

III THỰC NGHIỆM 1 Mục đích thực nghiệm

Kiểm tra tính khả thi hiệu đề tài

2 Nội dung thực nghiệm

- Triển khai đề tài: Phương pháp đạo hàm tốn tìm điều kiện có nghiệm phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số

- Đối tượng áp dụng: Học sinh khá, giỏi mơn tốn - Thời gian thực hiện: buổi (khoảng 12 tiết)

3 Kết thực nghiệm

Tôi phân công dạy lớp khối A, khối B nhiều năm nay, có điều kiện để thể nghiệm chuyên đề nhiều lần

Tùy theo mức độ kiến thức từng khối lớp, đưa hệ thống tập phù hợp, nên làm em hứng thú say mê tiếp cận chuyên đề

Kết thật khả quan, hầu hết em tiếp cận nhanh vấn đề giải tốt tập tương tự

Kết cụ thể: (Kiểm tra lớp 12 sau dạy xong chuyên đề này) +) 50% học sinh làm tốt tất tập vận dụng

www.dayhoctoan.vn 28

C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I KẾT LUẬN

Thông qua hệ thống tập thấy việc sử dụng phương pháp đạo hàm để giải toán điều kiện tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm giúp cho toán giải cách tự nhiên, ngắn gọn đơn giản Trong hệ thống tập số tập tác giả trích từ đề thi tuyển sinh đại học thi chọn học sinh giỏi tỉnh tỉnh Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 số tự chọn ôn thi, chủ yếu hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm ẩn phụ để tìm điều kiện tham số tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình giúp cho học sinh thấy liên hệ chặt chẽ số nghiệm phương trình với số giao điểm đồ thị hai hàm số hai vế, học sinh biết cách sử dụng đạo hàm nhiều tốn tìm tham số, làm có lập luận chặt chẽ tình giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

II KIẾN NGHỊ

Trong viết trình bày phần tập dạng PT, BPT HPT đại số Trong thời gian tới để rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh dạng tập có hiệu nữa, tơi tiếp tục khai thác tập có PT, BPT HPT đầy đủ dạng lượng giác, mũ lôgarit

www.dayhoctoan.vn 29

những người u thích mơn tốn tiếp tục khai thác để đề tài ngày phát triển chiều rộng lẫn chiều sâu

Mặc dù tham khảo nhiều tài liệu để vừa viết, vừa giảng dạy lớp để kiểm nghiệm thực tế, song lực thời gian cịn hạn chế, mong đóng góp bạn đồng nghiệp để đề tài có ý nghĩa thiết thực nhà trường, góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng Giáo dục phổ thơng, giúp em học sinh có phương pháp - kỹ giải toán liên quan đến hàm số kỳ thi cuối cấp

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa sách tài tập giải tích nâng cao lớp 12 Nhà xuất

Giáo dục Năm 2008

2 Sách giáo khoa sách tài tập giải tích nâng cao lớp 12 Nhà xuất Giáo dục Năm 2008

3 Trần Tuấn Điệp - Ngô Long Hậu - Nguyễn Phú Trường Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học - Cao Đẳng Nhà xuất Hà Nội Năm 2006

Lê Hồng Đức Phương pháp giải toán Đạo hàm ứng dụng Nhà xuất Hà Nội Năm 2008

5 Các đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh Các đề thi HSG tỉnh Nghệ An Các đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc