Đề thi thử THPT quốc gia

Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và đường trung trực của đoạn OA. Tìm nghiệm kia. Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC. b) Khi điểm D di động trên trên đường tròn thì BMD [r]

(1)

DAYHOCTOAN.VN

ĐỀ SỐ

Câu ( điểm ) Cho biểu thức :

2

1

1 ) 1 1

( x x

x x

A   

   

1) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa 2) Rút gọn biểu thức A

3) Giải phương trình theo x A = -2

Câu ( điểm ) Giải phương trình 5x1 3x2  x1

Câu ( điểm )

Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( -2 , ) đờng thẳng (D) : y = - 2(x +1) a) Điểm A có thuộc (D) hay khơng ?

b) Tìm a hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A

c) Viết phơng trình đờng thẳng qua A vng góc với (D)

Cho hình vng ABCD cố định , có độ dài cạnh a E điểm chuyển đoạn CD ( E khác D ) , đờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC F , đờng thẳng vng góc với AE A cắt đ-ờng thẳng CD K

1) Chứng minh tam giác ABF = tam giác ADK từ suy tam giác AFK vng cân 2) Gọi I trung điểm FK , Chứng minh I tâm đờng tròn qua A , C, F , K 3) Tính số đo góc AIF , suy điểm A , B , F , I nằm đờng tròn

ĐỀ SỐ

Cho hàm số : y = 2

x

1) Nêu tập xác định , chiều biến thiên vẽ đồ thi hàm số

2) Lập phơng trình đờng thẳng qua điểm ( , -6 ) có hệ số góc a tiếp xúc với đồ thị hàm số

Cho phơng trình : x2 – mx + m – =

1) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 , x2 Tính giá trị biểu thức

2 2

1

x x x x

x x M

  

 Từ tìm m để M >

2) Tìm giá trị m để biểu thức P = x12 x22 1 đạt giá trị nhỏ Câu ( điểm )

Giải phơng trình : a) x4 4x

b) 2x3 3x

Cho hai đờng tròn (O1) (O2) có bán kính R cắt A B , qua A vẽ cát

tuyến cắt hai đờng tròn (O1) (O2) thứ tự E F , đờng thẳng EC , DF cắt P

(2)

DAYHOCTOAN.VN 2) Một cát tuyến qua A vuông góc với AB cắt (O1) (O2) lần lợt C,D Chứng

minh tứ giác BEPF , BCPD nội tiếp BP vng góc với EF 3) Tính diện tích phần giao hai đờng trịn AB = R

ĐỀ SỐ

1) Giải bất phơng trình : x2  x4

2) Tìm giá trị nguyên lớn x thoả mãn

2 3

1

2x  x 

Cho phơng trình : 2x2 – ( m+ )x +m – = a) Giải phơng trình m =

b) Tìm giá trị m để hiệu hai nghiệm tích chúng

Câu3 ( điểm )

Cho hàm số : y = ( 2m + )x – m + (1) a) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) qua điểm A ( -2 ; )

b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số ln qua với giá trị m

Cho góc vng xOy , Ox , Oy lần lợt lấy hai điểm A B cho OA = OB M điểm AB

Dựng đờng tròn tâm O1 qua M tiếp xúc với Ox A , đờng tròn tâm O2 qua M

tiếp xúc với Oy B , (O1) cắt (O2) điểm thứ hai N

1) Chứng minh tứ giác OANB tứ giác nội tiếp ON phân giác góc ANB 2) Chứng minh M nằm cung tròn cố định M thay đổi

3) Xác định vị trí M để khoảng cách O1O2 ngắn

ĐỀ SỐ

Cho biểu thức : 

  

 

 

 

   

1 :

) 1 (

x x

x x A

a) Rút gọn biểu thức

b) Tính giá trị A x42

Giải phơng trình :

x x

x x x

x x

x

6

2 36

2

2 

     



Cho hàm số : y = - 2

x a) Tìm x biết f(x) = - ; -

8

(3)

DAYHOCTOAN.VN b) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A B nằm đồ thị có hồnh độ lần lợt

là -2

Cho hình vng ABCD , cạnh BC lấy điểm M Đờng trịn đờng kính AM cắt đờng trịn đờng kính BC N cắt cạnh AD E

1) Chứng minh E, N , C thẳng hàng

2) Gọi F giao điểm BN DC Chứng minh BCF CDE 3) Chứng minh MF vng góc với AC

ĐỀ SỐ

Cho hệ phơng trình :

  

 

  

1

5

y mx

a) Giải hệ phơng trình m =

b) Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số m c) Tìm m để x – y =

1) Giải hệ phơng trình :

   

  

 

y y x x

y x

2

1

2) Cho phơng trình bậc hai : ax2 + bx + c = Gọi hai nghiệm phơng trình x

1 , x2

Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm 2x1+ 3x2 3x1 + 2x2

Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) nội tiếp đờng tròn tâm O M điểm chuyển động đờng tròn Từ B hạ đờng thẳng vng góc với AM cắt CM D

Chứng minh tam giác BMD cân

1) Tính :

2

1

5

  

2) Giải bất phơng trình :

( x –1 ) ( 2x + ) > 2x( x + )

ĐỀ SỐ

Giải hệ phơng trình :      

   

   

4

7 1

y x

Câu ( điểm ) Cho biểu thức :

x x x x x x

x A

 

  

2 : a) Rút gọn biểu thức A

(4)

DAYHOCTOAN.VN

Tìm điều kiện tham số m để hai phơng trình sau có nghiệm chung x2 + (3m + )x – = x2 + (2m + )x +2 =0

Cho đờng tròn tâm O đờng thẳng d cắt (O) hai điểm A,B Từ điểm M d vẽ hai tiếp tuyến ME , MF ( E , F tiếp điểm )

1) Chứng minh góc EMO = góc OFE đờng tròn qua điểm M, E, F qua điểm cố định m thay đổi d

2) Xác định vị trí M d để tứ giác OEMF hình vng

ĐỀ SỐ

Cho phơng trình (m2 + m + )x2 - ( m2 + 8m + )x – =

a) Chứng minh x1x2 <

b) Gọi hai nghiệm phơng trình x1, x2 Tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức :

S = x1 + x2

Cho phơng trình : 3x2 + 7x + = Gọi hai nghiệm phơng trình x

1 , x2 khơng giải

phơng trình lập phơng trình bậc hai mà có hai nghiệm :

1



x x

1

2



x x

Câu ( điểm )

1) Cho x2 + y2 = Tìm giá trị lớn , nhỏ x + y

2) Giải hệ phơng trình :   

 

 

8 16 2

y x

3) Giải phơng trình : x4 – 10x3 – 2(m – 11 )x2 + ( 5m +6)x +2m =

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Đờng phân giác góc A , B cắt đờng tròn tâm O D E , gọi giao điểm hai đờng phân giác I , đờng thẳng DE cắt CA, CB lần lợt M , N

1) Chứng minh tam giác AIE tam giác BID tam giác cân 2) Chứng minh tứ giác AEMI tứ giác nội tiếp MI // BC 3) Tứ giác CMIN hình ?

ĐỀ SỐ

Câu1 ( điểm )

Tìm m để phơng trình ( x2 + x + m) ( x2 + mx + ) = có nghiệm phân biệt

  

 

6

3 y mx

my x a) Giải hệ m =

(5)

DAYHOCTOAN.VN

Cho x , y hai số dơng thoả mãn x5+y5 = x3 + y3 Chứng minh x2 + y2  + xy

1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) Chứng minh

AB.CD + BC.AD = AC.BD

2) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng trịn (O) đờng kính AD Đờng cao

tam giác kẻ từ đỉnh A cắt cạnh BC K cắt đờng tròn (O) E a) Chứng minh : DE//BC

b) Chứng minh : AB.AC = AK.AD

c) Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành

ĐỀ SỐ

Trục thức mẫu biểu thức sau :

2

1

  

A ;

2 2

1   

B ;

1

1   

C

Cho phơng trình : x2 – ( m+2)x + m2 – = (1)

a) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình Tìm m thoả mãn x1 – x2 =

b) Tìm giá trị nguyên nhỏ m để phơng trình có hai nghiệm khác

Cho

3

1 ;

3

1

  

 b

a

Lập phơng trình bậc hai có hệ số số có nghiệm x1 =

1 ;

1  

 a

b x

b a Câu ( điểm )

Cho hai đờng tròn (O1) (O2) cắt A B Một đờng thẳng qua A cắt đờng

tròn (O1) , (O2) lần lợt C,D , gọi I , J trung điểm AC AD

1) Chứng minh tứ giác O1IJO2 hình thang vuông

2) Gọi M giao diểm CO1 DO2 Chứng minh O1 , O2 , M , B nằm đờng

tròn

3) E trung điểm IJ , đờng thẳng CD quay quanh A Tìm tập hợp điểm E 4) Xác định vị trí dây CD để dây CD có độ dài lớn

ĐỀ SỐ 10

1)Vẽ đồ thị hàm số : y =

2

x

2)Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm (2; -2) (1 ; -4 )

3) Tìm giao điểm đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị Câu ( điểm )

(6)

DAYHOCTOAN.VN

1

2     

 x x x

x

b)Tính giá trị biểu thức

2

1

1 y y x

x

S     với xy (1x2)(1 y2) a

Cho tam giác ABC , góc B góc C nhọn Các đờng trịn đờng kính AB , AC cắt D Một đờng thẳng qua A cắt đờng trịn đờng kính AB , AC lần lợt E F

1) Chứng minh B , C , D thẳng hàng

2) Chứng minh B, C , E , F nằm đờng trịn

3) Xác định vị trí đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn

Cho F(x) = 2x 1x

a) Tìm giá trị x để F(x) xác định b) Tìm x để F(x) đạt giá trị lớn

ĐỀ SỐ 11

1) Vẽ đồ thị hàm số

2

x y

2) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm ( ; -2 ) ( ; - ) 3) Tìm giao điểm đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị

1) Giải phơng trình :

2

2     

 x x x

x

4

   

x x x

x

Cho hình bình hành ABCD , đờng phân giác góc BAD cắt DC BC theo thứ tự M

và N Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNC

1) Chứng minh tam giác DAM , ABN , MCN , tam giác cân 2) Chứng minh B , C , D , O nằm đờng tròn

Cho x + y = y  Chứng minh x2 + y2 5

ĐỀ SỐ 12

1) Giải phơng trình : 2x5 x18

2) Xác định a để tổng bình phơng hai nghiệm phơng trình x2 +ax +a –2 = bé

(7)

DAYHOCTOAN.VN a) Vẽ đồ thị đờng thẳng Gọi giao điểm đờng thẳng với trục tung trục hoành

là B E

b) Viết phơng trình đờng thẳng qua A vng góc với đờng thẳng x – 2y = -2

c) Tìm toạ độ giao điểm C hai đờng thẳng Chứng minh EO EA = EB EC tính diện tích tứ giác OACB

Câu ( điểm )

Giả sử x1 x2 hai nghiệm phơng trình :

x2 –(m+1)x +m2 – 2m +2 = (1)

a) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm kép , hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để

2 x

x  đạt giá trị bé , lớn

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Kẻ đờng cao AH , gọi trung điểm AB , BC theo thứ tự M , N E , F theo thứ tự hình chiếu vng góc của B , C đờng kính AD

a) Chứng minh MN vng góc với HE

b) Chứng minh N tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác HEF

ĐỀ SỐ 13

So sánh hai số :

3

6 ;

2 11

9

  

 b

a

  

 

  

2

y x

a y x

Gọi nghiệm hệ ( x , y ) , tìm giá trị a để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ

Câu ( điểm )

Giả hệ phơng trình :

  

  

7 2

xy y x

1) Cho tứ giác lồi ABCD cặp cạnh đối AB , CD cắt P BC , AD cắt Q Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABQ , BCP , DCQ , ADP cắt điểm

3) Cho tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp Chứng minh

BD AC DA DC BC BA

CD CB AD AB

 



Câu ( điểm )

Cho hai số dơng x , y có tổng Tìm giá trị nhỏ : xy

y x S

4

2  

(8)

DAYHOCTOAN.VN

Tính giá trị biểu thức :

3 2

3

2

3

 

 

 

 

P

1) Giải biện luận phơng trình : (m2 + m +1)x2 – 3m = ( m +2)x +3

2) Cho phơng trình x2 – x – = có hai nghiệm x

1 , x2 Hãy lập phơng trình bậc hai

có hai nghiệm :

2 2

1 ;

1 x

x x x

 

Tìm giá trị nguyên x để biểu thức :

2

  

x x

P nguyên

Cho đờng tròn tâm O cát tuyến CAB ( C ngồi đờng trịn ) Từ điểm cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB I , CM cắt đờng tròn E , EN cắt đờng thẳng AB F

1) Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh góc CAE góc MEB

3) Chứng minh : CE CM = CF CI = CA CB

Đề số 15

Giải hệ phơng trình :    

  

  

0 4

3

2

xy y

y xy x

Cho hàm số :

2

x

y y = - x –

a) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục toạ độ

b) Viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y = - x – cắt đồ thị hàm số

4

x

y điểm có tung độ

Cho phơng trình : x2 – 4x + q =

a) Với giá trị q phơng trình có nghiệm

b) Tìm q để tổng bình phơng nghiệm phơng trình 16

1) Tìm số nguyên nhỏ x thoả mãn phơng trình :

4 3  

 x

(9)

DAYHOCTOAN.VN

0 1

3 x2  x2  

Cho tam giác vng ABC ( góc A = v ) có AC < AB , AH đờng cao kẻ từ đỉnh A

Các tiếp tuyến A B với đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt M Đoạn MO cắt cạnh AB E , MC cắt đờng cao AH F Kéo dài CA cho cắt đờng thẳng BM D Đ-ờng thẳng BF cắt đĐ-ờng thẳng AM N

a) Chứng minh OM//CD M trung điểm đoạn thẳng BD b) Chứng minh EF // BC

c) Chứng minh HA tia phân giác góc MHN Đề số 16

Câu : ( điểm )

Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*)

1) Tính giá trị m để đồ thị hàm số qua : a) A( -1 ; ) ; b) B( - ; ) 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ - 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ -

Câu : ( 2,5 điểm )

Cho biểu thức : A= 1 : 1 1- x x x x x

     

       

   

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị A x = 3

c) Với giá trị x A đạt giá trị nhỏ

Câu : ( điểm )

Cho phơng trình bậc hai :

3

x  x  gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2

Khơng giải phơng trình , tính giá trị biểu thức sau : a) 2 2

1 1

x  x b)

2 2

x x c) 3 3

1 1

x x d) x1  x2

Câu ( 3.5 điểm )

Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đờng trịn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn điểm thứ hai F , G Chứng minh :

a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD

b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đợc đờng tròn c) AC song song với FG

d) Các đờng thẳng AC , DE BF đồng quy

Đề số 17

(10)

DAYHOCTOAN.VN 10 Cho biểu thức : A = 1 :

2

a a a a a

a

a a a a

    



 

    

 

a) Với giá trị a A xác định b) Rút gọn biểu thức A

c) Với giá trị nguyên a A có giá trị ngun

Một ô tô dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đờng AB thời

gian dự định lúc đầu

a) Giải hệ phơng trình :

1

3

2

1

x y x y

  

  

 

  

  



b) Giải phơng trình : 2 2 2 25

5 10 50

x x x

x x x x x

  

 

  

Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm ;CB = 40 cm Vẽ nửa mặt phẳng bờ AB nửa đờng trịn đờng kính theo thứ tự AB , AC , CB có tâm lần lợt O , I , K Đờng vng góc với AB C cắt nửa đờng trịn (O) E Gọi M , N theo thứ tự giao điểm cuae EA , EB với nửa đờng tròn (I) , (K) Chứng minh :

a) EC = MN

b) MN tiếp tuyến chung nửa đờng tròn (I) (K) c) Tính độ dài MN

d) Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn

ĐỀ 18

Cho biểu thức : A = 1 1

1 1 1

a a

a a a a a

     

      

1) Rút gọn biểu thức A

2) Chứng minh biểu thức A dơng với a

Cho phơng trình : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - =

1) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 = 11

2) Tìm đẳng thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m

3) Với giá trị m x1 x2 dơng

Câu ( điểm )

(11)

DAYHOCTOAN.VN 11

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O M điểm cung AC ( khơng chứa B ) kẻ MH vng góc với AC ; MK vng góc với BC

1) Chứng minh tứ giác MHKC tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh AMBHMK

3) Chứng minh  AMB đồng dạng với  HMK Câu ( điểm )

Tìm nghiệm dơng hệ :

( ) ( ) 12 ( ) 30 xy x y yz y z zx z x

 



  



  

 ĐỂ 19

( THI TUYỂN SINH LỚP 10 - THPT NĂM 2006 - 2007 - HẢI DƠNG - 120 PHÚT - NGÀY 28 / / 2006

Câu ( điểm )

1) Giải phơng trình sau : a) 4x + =

b) 2x - x2 =

2) Giải hệ phơng trình :

5

x y

y x

  

    Câu 2( điểm )

1) Cho biểu thức : P = 4 a > ; a  4

2

a a a

a

a a

  

  



 

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P với a =

2) Cho phơng trình : x2 - ( m + 4)x + 3m + = ( m tham số )

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x13x23 0

Khoảng cách hai thành phố A B 180 km Một ô tô từ A đến B , nghỉ 90 phút B , lại từ B A Thời gian lúc đến lúc trở A 10 Biết vận tốc lúc vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc ô tô

Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N

Chứng minh :

a) CEFD tứ giác nội tiếp

b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE DN = EN BD

(12)

DAYHOCTOAN.VN 12 Tìm m để giá trị lớn biểu thức 2

1

x m

x



ĐỂ 20

Câu (3 điểm )

1) Giải phơng trình sau : a) 5( x - ) =

b) x2 - =

2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng y = 3x - với hai trục toạ độ

1) Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình : y = ax + b

Xác định a , b để (d) qua hai điểm A ( ; ) B ( - ; - 1)

2) Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình x2 - 2( m - 1)x - = ( m tham số )

Tìm m để : x1  x2 5

3) Rút gọn biểu thức : P = 1 ( 0; 0)

2 2

x x

x x x

 

   

  

Câu 3( điểm)

Một hình chữ nhật có diện tích 300 m2 Nếu giảm chiều rộng m , tăng chiều dài thêm

5m ta đợc hình chữ nhật có diện tích diện tích diện tích hình chữ nhật ban đầu Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu

Cho điểm A ngồi đờng trịn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đờng tròn (B , C tiếp điểm ) M điểm cung nhỏ BC ( M  B ; M  C ) Gọi D , E , F tơng ứng hình chiếu vng góc M đờng thẳng AB , AC , BC ; H giao điểm MB DF ; K giao điểm MC EF

1) Chứng minh :

a) MECF tứ giác nội tiếp b) MF vng góc với HK

2) Tìm vị trí M cung nhỏ BC để tích MD ME lớn

Câu ( điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ ( Oxy ) cho điểm A ( -3 ; ) Parabol (P) có phơng trình y = x2 Hãy tìm toạ độ điểm M thuộc (P) độ dài đoạn thẳng AM

nhỏ

II, Các đề thi vào ban tự nhiên Đề

CÂU : ( ĐIỂM ) GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH

a) 3x2 – 48 =

b) x2 – 10 x + 21 = c)

5 20

  

 x

(13)

DAYHOCTOAN.VN 13 Câu : ( điểm )

a) Tìm giá trị a , b biết đồ thị hàm số y = ax + b qua hai điểm A( ; - ) B ( ;2)

2

b) Với giá trị m đồ thị hàm số y = mx + ; y = 3x –7 đồ thị hàm số xác định câu ( a ) đồng quy

Câu ( điểm ) Cho hệ phương trình

  

 

 

n y x

ny mx

2

5 a) Giải hệ m = n =

b) Tìm m , n để hệ cho có nghiệm   

 

 

1

3

y x

Câu : ( điểm )

Cho tam giác vuông ABC (C = 900 ) nội tiếp đường tròn tâm O Trên cung nhỏ AC

ta lấy điểm M ( M khác A C ) Vẽ đường trịn tâm A bán kính AC , đường tròn cắt đường tròn (O) điểm D ( D khác C ) Đoạn thẳng BM cắt đường tròn tâm A điểm N

a) Chứng minh MB tia phân giác góc CMD

b) Chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn tâm A nói c) So sánh góc CNM với góc MDN

d) Cho biết MC = a , MD = b Hãy tính đoạn thẳng MN theo a b

ĐỀ SỐ

Câu : ( điểm )

Cho hàm số : y = 3x2

( P )

a) Tính giá trị hàm số x = ; -1 ;

 ; -2 b) Biết f(x) =

2 ; ; ; 

tìm x

c) Xác định m để đường thẳng (D) : y = x + m – tiếp xúc với (P)

Câu : ( điểm )

Cho hệ phương trình : 

 

 

 

2

y x

m my x

a) Giải hệ m =

(14)

Câu : ( điểm )

Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm phương trình :

2

 

x

2 2

 

x

Câu : ( điểm )

Cho ABCD tứ giác nội tiếp P giao điểm hai đờng chéo AC BD

a) Chứng minh hình chiếu vng góc P lên cạnh tứ giác đỉnh tứ giác có đường trịn nội tiếp

b) M điểm tứ giác cho ABMD hình bình hành Chứng minh góc CBM = góc CDM góc ACD = góc BCM

c) Tìm điều kiện tứ giác ABCD để : )

(

BC AD CD AB

SABCD  

ĐỀ SỐ 3

Giải phương trình a) 1- x - 3x = b) x2 2x 30

Cho Parabol (P) : y = 2

x đường thẳng (D) : y = px + q

Xác định p q để đường thẳng (D) qua điểm A ( - ; ) tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp điểm

Câu : ( điểm )

Trong hệ trục toạ độ Oxy cho parabol (P) :

x

y

và đường thẳng (D) :y mx2m1 a) Vẽ (P)

b) Tìm m cho (D) tiếp xúc với (P)

c) Chứng tỏ (D) qua điểm cố định

Cho tam giác vng ABC ( góc A = 900 ) nội tiếp đường trịn tâm O , kẻ đường kính AD

1) Chứng minh tứ giác ABCD hình chữ nhật

2) Gọi M , N thứ tự hình chiếu vng góc B , C AD , AH đường cao tam giác ( H cạnh BC ) Chứng minh HM vng góc với AC

3) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHN

(15)

ĐỀ SỐ

Giải phương trình sau a) x2 + x – 20 =

b)

x x

x

1 1

  



c) 31x x1

Cho hàm số y = ( m –2 ) x + m +

a) Tìm điều kiệm m để hàm số nghịch biến

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hành độ

c) Tìm m để đồ thị hàm số y = - x + ; y = 2x –1và y = (m – )x + m + đồng quy

Cho phương trình x2 – x + 10 = Khơng giải phương trình tính

a)

2 x

x 

b)

2 x

x 

c) x1  x2

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , đường phân giác góc A cắt cạnh BC D cắt đường tròn ngoại tiếp I

a) Chứng minh OI vng góc với BC b) Chứng minh BI2 = AI.DI

c) Gọi H hình chiếu vng góc A BC Chứng minh góc BAH = góc CAO

d) Chứng minh góc HAO = B C

ĐỀ SỐ

Câu ( điểm ) Cho hàm số y = x2 có đồ thị đường cong Parabol (P)

a) Chứng minh điểm A( - 2;2)nằm đường cong (P)

b) Tìm m để để đồ thị (d ) hàm số y = ( m – )x + m ( m R , m 1 )cắt đường cong (P) điểm

c) Chứng minh với m khác đồ thị (d ) hàm số y = (m-1)x + m qua

một điểm cố định

Câu ( điểm ) Cho hệ phương trình :

  

 

  

1

5

y mx

a) Giải hệ phương trình với m =

b) Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m

(16)

Giải phương trình

5

4

3      

 x x x

x

Cho tam giác ABC , M trung điểm BC Giả sử gócBAM = Góc BCA a) Chứng minh tam giác ABM đồng dạng với tam giác CBA

b) Chứng minh minh : BC2 = AB2 So sánh BC đường chéo hình vng cạnh AB

c) Chứng tỏ BA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC

d) Đường thẳng qua C song song với MA , cắt đường thẳng AB D Chứng tỏ đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tiếp xúc với BC

ĐỀ SỐ

a) Giải phương trình : x13 x2

c) Cho Parabol (P) có phương trình y = ax2 Xác định a để (P) qua điểm A( -1; -2)

Tìm toạ độ giao điểm (P) đường trung trực đoạn OA

a) Giải hệ phương trình

     

   

   

1 2

2 1

x y

y x

1) Xác định giá trị m cho đồ thị hàm số (H) : y =

x

1

đường thẳng (D) : y = - x + m tiếp xúc

Cho phương trình x2 – (m + )x + m2 - 2m + = (1)

a) Giải phương trình với m =

b) Xác định giá trị m để (1) có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm

Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm đường trịn đường kính AB Hạ BN DM vng góc với đường chéo AC

Chứng minh :

a) Tứ giác CBMD nội tiếp

b) Khi điểm D di động trên đường trịn BMDBCD khơng đổi c) DB DC = DN AC

ĐỀ SỐ

(17)

DAYHOCTOAN.VN 17 b) x2 - x - =

c)

9

1  

              

x x x

x

Cho phương trình x2 – ( m+1)x + m2 – 2m + = (1)

a) Giải phương trình với m =

b) Xác định giá trị m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép c) Với giá trị m

2 x

x  đạt giá trị bé , lớn

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD , M trung điểm cạnh CD Nối MI kéo dài cắt cạnh AB N Từ B kẻ đường thẳng song song với MN , đường thẳng cắt đường thẳng AC E Qua E kẻ đường thẳng song song với CD , đường thẳng cắt đường thẳng BD F

a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp

b) Chứng minh I trung điểm đoạn thẳng BF AI IE = IB2

c) Chứng minh

2 NA IA

= NB IB

ĐỀ SỐ

Phân tích thành nhân tử

a) x2- 2y2 + xy + 3y – 3x b) x3 + y3 + z3 - 3xyz

Cho hệ phương trình

  

 

 

5

3 my x

y mx

a) Giải hệ phương trình m =

b) Tìm m để hệ có nghiệm đồng thời thoả mãn điều kiện ;

) (

2     

m m y x

Cho hai đường thẳng y = 2x + m – y = x + 2m a) Tìm giao điểm hai đường thẳng nói b) Tìm tập hợp giao điểm

Cho đường tròn tâm O A điểm ngồi đường trịn , từ A kẻ tiếp tuyến AM , AN với đường tròn , cát tuyến từ A cắt đường tròn B C ( B nằm A C ) Gọi I trung điểm BC

1) Chứng minh điểm A , M , I , O , N nằm đường tròn

2) Một đường thẳng qua B song song với AM cắt MN MC E F Chứng minh tứ giác BENI tứ giác nội tiếp E trung điểm EF

(18)

Cho phương trình : x2 – ( m + n)x + 4mn = a) Giải phương trình m = ; n =

b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m ,n c) Gọi x1, x2, hai nghiệm phương trình Tính 22

2 x

x  theo m ,n

Giải phương trình a) x3 – 16x =

b) x x2

c)

9 14

1

2   

x x

Cho hàm số : y = ( 2m – 3)x2

1) Khi x < tìm giá trị m để hàm số ln đồng biến

2) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm ( , -1 ) Vẽ đồ thị với m vừa tìm

Câu (3điểm )

Cho tam giác nhọn ABC đường kính BON Gọi H trực tâm tam giác ABC , Đường thẳng BH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M

1) Chứng minh tứ giác AMCN hình thanng cân

2) Gọi I trung điểm AC Chứng minh H , I , N thẳng hàng 3) Chứng minh BH = OI tam giác CHM cân

ĐỀ SỐ 10 Câu ( điểm )

Cho phương trình : x2 + 2x – = gọi x

1, x2, nghiệm phương trình

Tính giá trị biểu thức :

2 2

1

x x x x

x x x x A

    Câu ( điểm)

Cho hệ phương trình   

 

  

1

7

y x

y x a

a) Giải hệ phương trình a =

b) Gọi nghiệm hệ phương trình ( x , y) Tìm giá trị a để x + y =

Cho phương trình x2 – ( 2m + )x + m2 + m – =0

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m

b) Gọi x1, x2, hai nghiệm phương trình Tìm m cho : ( 2x1 – x2 )( 2x2 – x1 ) đạt

giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ

c) Hãy tìm hệ thức liên hệ x1 x2 mà không phụ thuộc vào m

Cho hình thoi ABCD có góc A = 600 M điểm cạnh BC , đường thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài N

(19)

DAYHOCTOAN.VN 19 b) Đường thẳng DM cắt BN E Chứng minh tứ giác BECD nội tiếp

c) Khi hình thoi ABCD cố định Chứng minh điểm E nằm cung tròn cố định m chạy BC

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1999 Đại học khoa học tự nhiên

Bài Cho số a, b, c thỏa mãn điều kiện:  2

0 14

a b c

  

   Hãy tính giá trị biểu thức P 1 a4b4c4

Bài a) Giải phương trình x 3 7 x 2x8 b) Giải hệ phương trình :

1

2

x y

xy xy

     



  



Bài Tìm tất số nguyên dương n cho n2 + 9n – chia hết cho n + 11

Bài Cho vòng tròn (C) điểm I nằm vòng tròn Dựng qua I hai dây cung MIN,

EIF Gọi M’, N’, E’, F’ trung điểm IM, IN, IE, IF a) Chứng minh : tứ giác M’E’N’F’ tứ giác nội tiếp

b) Giả sử I thay đổi, dây cung MIN, EIF thay đổi Chứng minh vòng tròn ngoại tiếp tứ giác M’E’N’F’ có bán kính khơng đổi

c) Giả sử I cố định, day cung MIN, EIF thay đổi ln vng góc với Tìm vị trí dây cung MIN, EIF cho tứ giác M’E’N’F’ có diện tích lớn

Bài Các số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu

thức : 2

2

1

P x y

y x

  

    

 

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên toán 1992 Đại học tổng hợp

Bài a) Giải phương trình (1 + x)4 = 2(1 + x4) b) Giải hệ phương trình

2

7 28 x xy y y yz z z xz x

   

    

   



Bài a) Phân tích đa thức x5 – 5x – thành tích đa thức bậc hai đa thức bậc ba

với hệ số nguyên

b) Áp dụng kết để rút gọn biểu thức

4

2

4 5 125 P

  

Bài Cho  ABC Chứng minh với điểm M ta ln có MA ≤ MB + MC

Bài Cho  xOy cố định Hai điểm A, B khác O chạy Ox Oy tương ứng cho OA.OB = 3.OA – 2.OB Chứng minh đường thẳng AB đI qua điểm cố định

Bài Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn m > n m không chia hết cho n Biết số dư

(20)

D C

B A

E

F Bài Cho x > tìm giá trị nhỏ biểu thức

6 6 3

3

1

2

1

( ) ( )

( )

x x

P

x x

   



  

Bài Giải hệ phương trình

1

2

1

2

y x

x y



  

  

   



Bài Chứng minh với n nguyên dương ta có : n3 + 5n

Bài Cho a, b, c > Chứng minh :

3 3

a b c

ab bc ca

b  c  a   

Bài Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi M, N, P, Q điểm nằm

các cạnh AB, BC, CD, DA

a) Chứng minh 2a2 ≤ MN2 + NP2 +PQ2 + QM2 ≤ 4a2

b) Giả sử M điểm cố định cạnh AB Hãy xác định vị trí điểm N, P, Q cạnh BC, CD, DA cho MNPQ hình vng

Bài a) Tính 1

1 2. 3. 1999 2000.

S   

b) GiảI hệ phương trình :

2

3

x x

y y

x x

y y

    



   



Bài a) Giải phương trình

4 1

x  x x    x x  b) Tìm tất giá trị a để phương trình

2 11

2 4

2

( )

x  a x a   có nghiệm nguyên

Bài Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thang ABCD (AB // CD), tiếp xúc với cạnh AB

tại E với cạnh CD F hình a) Chứng minh BE DF

AE  CF

b) Cho AB = a, CB = b (a < b), BE = 2AE Tính diện tích hình thang ABCD

Bài Cho x, y hai số thực khác khơng

Chứng minh ( 42 22 8 22 22)

( )

x y x y

x  y  y  x  Dấu đẳng thức

xảy ?

Bài a) GiảI phương trình 2

8

x   x  b) GiảI hệ phương trình : 24 2

7 21 x xy y

x x y y

   

   

(21)

Bài Các số a, b thỏa mãn điều kiện :

3

3 19 98 a ab b ba

  

  



Hãy tính giá trị biểu thức P = a2 + b2

Bài Cho số a, b, c  [0,1] Chứng minh {Mờ}

Bài Cho đường tròn (O) bán kính R hai điểm A, B cố định (O) cho AB < 2R Giả

sử M điểm thay đổi cung lớn AB đường trịn

a) Kẻ từ B đường trịn vng góc với AM, đường thẳng cắt AM I (O) N Gọi J trung điểm MN Chứng minh M thay đổi đường trịn điểm I, J nằm đường trịn cố định

b) Xác định vị trí M để chu vi  AMB lớn

Bài a) Tìm số nguyên dương n cho số n + 26 n – 11 lập phương

số nguyên dương

b) Cho số x, y, z thay đổi thảo mãn điều kiện x2 + y2 +z2 = Hãy tìm giá trị lớn

của biểu thức 1 2 2 2

2 ( ) ( ) ( )

Pxyyzzx x yz y zx z xy

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1993-1994 Đại học tổng hợp

Bài a) GiảI phương trình 1

2

x x  x  b) GiảI hệ phương trình : 33 22

2 12

8 12

x xy y

y x

   

  



Bài Tìm max biểu thức : A = x2y(4 – x – y) x y thay đổi thỏa mãn điều kiện

: x  0, y  0, x + y ≤

Bài Cho hình thoi ABCD Gọi R, r bán kính đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABD, ABC a độ dài cạnh hình thoi Chứng minh 12 12 42 R  r  a

Bài Tìm tất số nguyên dương a, b, c đôI khác cho biểu thức

1 1 1 A

a b c ab ac bc

      nhận giá trị nguyên dương

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1991-1992 Đại học tổng hợp

Bài a) Rút gọn biểu thức

2 2. 44 16

A  

b) Phân tích biêu thức P = (x – y)5 + (y-z)5 +(z - x )5 thành nhân tử

Bài a) Cho số a, b, c, x, y, z thảo mãn điều kiện

0 0

a b c

x y z

a b c



        

    

tính giá trị biểu

thức A = xa2 + yb2 + zc2

b) Cho số a, b, c, d số không âm nhỏ Chứng minh ≤ a + b + c + d – ab – bc – cd – da ≤ Khi đẳng thức xảy dấu

Bài Cho trước a, d số nguyên dương Xét số có dạng :

a, a + d, a + 2d, … , a + nd, …

(22)

Bài Trong hội thảo khoa học có 100 người tham gia Giả sử người quen biết

với 67 người Chứng minh tìm nhóm người mà người nhóm quen biết

Bài Cho hình vng ABCD Lấy điểm M nằm hình vng cho  MAB =  MBA = 150 Chứng minh  MCD

Bài Hãy xây dựng tập hợp gồm điểm có tính chất : Đường trung trực đoạn thẳng nối

hai điểm ln đI qua hai điểm tập hợp

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên Lý 1989-1990

Bài Tìm tất giá trị nguyên x để biêu thức

2

2 36

2

x x

x

  

 nguyên

Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + ab + b2 – 3a – 3b +

Bài a) Chứng minh với số nguyên dương m biểu thức m2 + m + khơng phảI số phương

b) Chứng minh với số nguyên dương m m(m + 1) khơng thể tích số ngun liên tiếp

Bài Cho  ABC vuông cân A CM trung tuyến Từ A vẽ đường vuông góc với MC cắt BC H Tính tỉ số BH

HC

Bài Có thành phố, thành phố có thnàh phố liên lạc với

nhau Chứng minh thành phố nói tồn thành phố liên lạc với

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2004 Đại học khoa học tự nhiên(vòng1)

Bài a) GiảI phương trình

1 1

x    x x  b) Tìm nghiệm nguyên cảu hệ 32

8

2 2

x y x y

y x xy y x

    

     



Bài Cho số thực dương a b thỏa mãn a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Hãy tính giá trị biểu thức P = a2004 + b2004

Bài Cho  ABC có AB=3cm, BC=4cm, CA=5cm Đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành phần Hãy tính diện tích phần

Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, có hai đường chéo AC, BD vng góc

với H (H không trùng với tâm cảu đường tròn ) Gọi M N chân đường vng góc hạ từ H xuống đường thẳng AB BC; P Q giao điểm đường thẳng MH NH với đường thẳng CD DA Chứng minh đường thẳng PQ song song với đường thẳng AC bốn điểm M, N, P, Q nằm đường trịn

Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức

10 10

16 16 2 2

1

2( ) 4( ) ( )

x y

Q x y x y

y x

     

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2004 Đại học khoa học tự nhiên(vòng 2)

(23)

Bài GiảI hệ phương trình

2 2

15

( )( )

x y x y

   

   



Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3 2

1

( ) ( )

( )( )

x y x y

P

x y

  



  với x, y số thực lớn Bài Cho hình vng ABCD điểm M nằm hình vng

a) Tìm tất vị trí M cho  MAB =  MBC =  MCD =  MDA

b) Xét điểm M nằm đường chéo AC Gọi N chân đường vng góc hạ từ M xuống AB O trung điểm đoạn AM Chứng minh tỉ số OB

CN có giá trị không đổi M di chuyển đường chéo AC

c) Với giả thiết M nằm đường chéo AC, xét đường trịn (S) (S’) có đường kính tương ứng AM CN Hai tiếp tuyến chung (S) (S’) tiếp xúc với (S’) P Q Chứng minh đường thẳng PQ tiếp xúc với (S)

Bài Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên số a số ngun lớn khơng vượt q a

và kí hiệu [a] Dãy số x0, x1, x2 …, xn, … xác định công thức

1

2

n

n n

x      

   

Hỏi 200 số {x1, x2, …, x199} có số khác ?

Đề thi thử vào THPT Chu Văn An 2004

Bài Cho biểu thức 2

4

2 2

( x ) : ( x x x )

P

x

x x x x x

  

   



   

a) Rút gọn P b) Cho 23 11

4 x

x



  Hãy tính giá trị P

Bài Cho phương trình mx2 – 2x – 4m – = (1)

a) Tìm m để phương trình (1) nhận x = nghiệm, tìm nghiệm lại b) Với m 

Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm x1, x2 phân biệt

Gọi A, B điểm biểu diễn nghiệm x1, x2 trục số Chứng

minh độ dài đoạn thẳng AB không đổi (Không lắm)

Bài Cho đường trịn (O;R) đường kính AB điểm M di động đường tròn (M

khác A, B) Gọi CD điểm cung nhỏ AM BM

a) Chứng minh CD = R đường thẳng CD tiếp xúc với đường tròn cố định

b) Gọi P hình chiếu vng góc điểm D lên đường thẳng AM đường thẳng OD cắt dây BM Q cắt đường tròn (O) giao điểm thứ hai S Tứ giác APQS hình ? Tại ?

c) đường thẳng đI qua A vng góc với đường thẳng MC cắt đường thẳng OC H Gọi E trung điểm AM Chứng minh HC = 2OE

(24)

DAYHOCTOAN.VN 24 AB Chứng minh :

1 1

2 2

MK MAMA MB MB MK 

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2003 Đại học khoa học tự nhiên(vịng 2)

Bài Cho phương trình x4 + 2mx2 + = Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn x14 + x24 + x34 + x44 = 32

Bài Giải hệ phương trình :

2

4

x xy y x y

x y x y

      

      

Bài Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2

Bài đường tròn (O) nội tiếp  ABC tiếp xúc với BC, CA, AB tương ứng D, E, F Đường tròn tâm (O’) bàng tiếp góc  BAC  ABC tiếp xúc với BC phần kéo dài AB, AC tương ứng P, M, N

a) Chứng minh : BP = CD

b) Trên đường thẳng MN lấy điểm I K cho CK // AB, BI // AC Chứng minh : tứ giác BICE BKCF hình bình hành

c) Gọi (S) đường tròn qua I, K, P Chứng minh (S) tiếp xúc với BC, BI, CK

Bài Số thực x thay đổi thỏa mãn điều kiện : 2

3

( )

x  x 

Tìm 4 2

3

( ) ( )

P x  x  x x

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2003 Đại học khoa học tự nhiên

Bài Giải phương trình

5 110

( x  x )(  x  x ) Bài Giải hệ phương trình

3

2

6

x yx y xy

  

  



Bài Tím số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức : 2y x2    x y x22y2xy

Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R M, N hai điểm nửa đường tròn (O)

sao cho M thuộc cung AN tổng khoảng cách từ A, B đến đường thẳng MN R a) Tính độ dài MN theo R

b) Gọi giao điểm hai dây AN BM I Giao điểm đường thẳng AM BN K Chứng minh bốn điểm M, N, I, K nằm đường trịn , Tính bán kính đường trịn theo R

c) Tìm giá trị lớn diện tích  KAB theo R M, N thay đổi thỏa mãn giả thiết toán

Bài Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện : x + y + z + xy + yz + zx = Chứng minh

rằng : x2 + y2 + z2

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2002 Đại học khoa học tự nhiên Bài a) Giải phương trình : x23x 2 x 3 x22x 3 x2

b) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x + xy + y =

Bài Giải hệ phương trình :

2 3

1

x y xy

x y x y

   

   

(25)

Bài Cho mười số nguyên dương 1, 2, …, 10 Sắp xếp 10 số cách tùy ý vào

hàng Cộng số với số thứ tự hàng ta 10 tổng Chứng minh 10 tổng tồn hai tổng có chữ số tận giống

Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P 4a 3b or 5b 16c b c a a c b a b c

  

      Trong a, b, c

là độ dài ba cạnh tam giác

Bài Đường tròn (C) tâm I nội tiếp  ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng A’, B’, C’

a) Gọi giao điểm đường tròn (C) với đoạn IA, IB, IC M, N, P Chứng minh đường thẳng A’M, B’N, C’P đồng quy

b) Kðo dài đoạn AI cắt đường tròn ngoại tiếp  ABC D (khác A) Chứng minh

.

IB IC r

ID  r bán kính đường trịn (C)

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2002 Đại học khoa học tự nhiên Bài a) Giải phương trình : 8 x  5 x 5

b) Giải hệ phương trình :(x xx( 1)(1)y y y1()  81) xy17

Bài Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh phương trình x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = vơ nghiệm

Bài Tìm tất số nguyên n cho n2 + 2002 số phương

Bài Tìm giá trị nhỏ biểt thức: 1

1 1

S

xy yz zx

  

   Trong x, y, z số

dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 ≤

Bài Cho hình vng ABCD M điểm thay đổi cạnh BC (M không trùng với B)

N điểm thay đổi cạnh CD (N không trùng D) cho  MAN =  MAB +  NAD a) BD cắt AN, AM tương ứng p Q Chứng minh điểm P, Q, M, C, N nằm đường tròn

b) Chứng minh đường thẳng MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định M N thay đổi

c) Ký hiệu diện tích  APQ S diện tích tứ giác PQMN S’ Chứng minh tỷ số

'

S

S không đổi M, N thay đổi

Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2001 Đại học khoa học tự nhiên Bài Tìm gia trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: (y + 2)x2 + = y2

Bài a) Giải phương trình :

3 1

( ) ( )

x x  x x  x b) Giải hệ phương trình :

2 2

2

x xy x y

x y

    

   

Bài Cho nửa vịng trịn đường kính AB=2a Trên đoạn AB lấy điểm M Trong nửa mặt

phẳng bờ AB chứa nửa vòng tròn, ta kẻ tia Mx My cho  AMx = BMy =300

(26)

DAYHOCTOAN.VN 26 AB

a) Cho AM= a/2, tính diện tích hình thang vng EE’F’F theo a

b) Khi M di động AB Chứng minh đường thẳng EF tiếp xúc với vòng tròn cố định

Bài Giả sử x, y, z số thực khác thỏa mãn :

3 3

1 1 1

2

( ) ( ) ( )

x y z

y z z x x y

x y z

       

 

    

.Hãy tính giá trị P 1 x y z

  

Bài Với x, y, z số thực dương, tìm giá trị lớn biểu thức:

( )( )( )

xyz M

x y y z z x



  

Đề Bài 1: (4,0 điểm).Cho biểu thức:

   

 

 

  

  

 

  

 

   

6 x x

x x

3 x x

3 x : x

x x P

a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P =

Bài 2: (5,0 điểm)

a) Giải phương trình: )

1

(

2

  

 x

x x

b) Tìm nghiệm nguyên hệ:

  

  

8 zx yz xy

z y x

Bài 3: (2,0 điểm).

Cho số dương x,y,z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1

Tính: T =   2  2

1

x z y x

 

   

2 2

1 1

y x z

y

  

  2 2 2

1 1

z y x

z

   

Bài 4: (3,0 điểm).Cho hai dãy số chiều : a1 ≤ a2 ≤ a3 ; b1 ≤ b2 ≤ b3

Chứng minh : (a1+ a2 +a3)(b1 + b2 + b3 ) ≤ 3(a1b1 +a2b2+a3b3)

Áp dụng chứng minh : với 0abc

c b a c

b a

c b a

   



2006 2006 2006

2005 2005 2005

Bài 5: (6,0 điểm).

1 Cho hai đường tròn (o1) (o2) cắt A B Tiếp tuyến chung gần B hai

đường tròn tiếp xúc với (o1) (o2) C D Qua A kẻ đường thẳng song song với

CD cắt (o1) (o2) M N Các đường thẳng BC BD cắt đường thẳng

MN P Q Các đường thẳng CM DN cắt E Chứng minh rằng: a) Đường thẳng AE vng góc với đường thẳng CD

(27)

DAYHOCTOAN.VN 27 Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB>CD) Hãy xác định điểm E thuộc cạnh bên BC cho đoạn thẳng AE chia hình thang thành hai hình có diện tích

HƯỚNG DẴN GIẢI đk                    x x x x x x

Ta có: 

                         ) x )( x ( x ) x )( x ( ) x )( x ( : x )( x ( ) x ( x P =              

 (2 x)(3 x x x : x =                ) x ( ) x )( x ( x = x

 Vậy P = x

 Ta thấy P = 1

2 x

3  

  x 23 x 5x 25 Vậy với x = 25 P = a ĐK: x  -1 PT <=>  1

1 2                    

 x x

x x x

x x

<=>  x112  x4 x13 Giải Pt x = (t/m x  -1) KL: x = b Hệ   

         z y x xy z y x Đặt       v xy u y x

x, y là nghiệm phương trình: t2 - ut + v = (a)

Phương trình có nghiệm  u2 – 4v  0 (*)

Ta có hệ:

       zu v z

u  

 2

Thế (1) vào (2)  v = – z(5 - z) = z2 –5z +

Hệ có nghiệm  (a) có nghiệm  (*) xảy  (5-z)2 – 4(z2 – 5z + 8)   - 3z2 + 10z – 

 (z-1)(-3z+7)  0

                      7 z z z z                 7 z z z ) ( ) ( VN

Từ (3) z nguyên  z = 1;

+)                     2 4 4 y x xy y x v u

z +)

                                2 3 y x y x xy y x v u z

Vậy hệ có nghiệm nguyên là: (2; 2; 1); (1; 2; 2); (2; 1; 2) Ta có 1+x2 = xy + yz + zx + x2 = y(x+z)+x(x+z)

(28)

DAYHOCTOAN.VN 28 A

D

F

C E

B Tương tự ta có: 1+y2 =(y+x)(y+z)

1+z2 =(z+x)(z+y)

T=      y

x z x

y z x z z y x y x

 

  

     

x yy z

z x y x y z x z y

 

   

     

y z x z

z y x y z x y x z

 

   

 =

=x(y+z)+y(x+z)+z(x+y) =2(xy+yz+zx)=2 Vậy T=

4 Do a1  a2  a3  a1 - a2  0; a1 - a3  0; a2 - a3 

và b1  b2  b3  b1 - b2  0; b1 - b3  0; b2 - b3 

 (a1 - a2)(b1 - b2) + (a1 - a3)(b1 - b3) + (a2 - a3)(b2 - b3)

 2(a1b1+ a2b2 + a3b3)- a1b2 - a2 b1 - a1 b3 - a3b1 - a2b3 - a3b2 

a1b1+a2b2+a3b3+a1b2+a2b1+a1b3+a3b1+ a2b3+a3b23(a1b1+a2b2+ a3b3)

 a1(b1+ b2+b3)+ a2(b1+ b2+b3)+ a3(b1+ b2+b3)3(a1b1+a2b2+ a3b3)

( a1 + a2 + a3 )( b1+ b2+b3) 3(a1b1+a2b2+ a3b3)

Đặt a1 = a2005 ; a2 = b2005 ; a3 = c2005

b1 =

c b a

a



 ; b2 =a b c b



 ; b3 =

c b a

c

 

Do  a  b c Nên ta có ; a1  a2  a3 b1 b2 b3

áp dụng câu a ta có;

(a2005+b2005+c2005) 

  

 

      

 a b c

c c b a

b c b a

a

3 

  

 

 

c b a

c b

a2006 2006 2006



c b a c

b a

c b a

   

 



2006 2006 2006

2005 2005 2005

5.1) Do MN // CD nên EDC = ENA

Mặt khác CDA= DNA ( Cùng chắn cung DA) -> EDC= CDA hay DC phân giác góc ADE Lâp luận tương tự -> CD phân giác góc ACE -> A E đối xứng qua CD-> AE  CD

Do PQ song song với CD nên AE  PQ ( *)

Gọi I giao điểm AB CD Ta có AID đồng dạng với  DIB ( Do chung BID IAD = IDB (cùng chắn cung BD))

->

IA ID

=

ID IB

-> ID 2 = IA.IB (1)

Lập luân tương tự -> IC2 = IA.IB (2)

Từ (1) (2) -> IC = ID Mà

AP IC

= AQ

ID

( BA

BI

) => AP = AQ Kết hợp với (*) -> EPQ cân E

2)

Biến đổi hình thang thành hình tam giác có diện tích ABF

Từ D kẻ DF//AC , DF cắt đt BC F Chứng minh SABCD = SABF

(29)

DAYHOCTOAN.VN 29 diện tích AE đoạn thẳng

chia hình thang thành hai hình có diện tích

Đề

Bài 1: (4,0 điểm).Cho biểu thức : 

                      x x x x x x x x x x x x P : 2 8

a) Tìm x để P có nghĩa chứng minh P1 b) Tìm x thoả mãn :  x 1.P1

Bài 2: (5,0 điểm).

a) Giải phương trình : 1 2          x x x

b) Giải hệ phương trình : x2y – 2x + 3y2 =

x2+ y2x + 2y =

Bài 3: (3,0 điểm).Cho x,y,zR thỏa mãn :

z y x z y

x     

1

1 Hãy tính giá trị biểu thức : M =

4

+ (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10)

Bài 4: (6,0 điểm)

1 Cho ABC với BC=a, CA=b, AB=c (c<a, c<b) Gọi M N tiếp điểm cạnh AC cạnh BC với đường tròn tâm O nội tiếp ABC Đoạn thẳng MN cắt tia AO P cắt tia BO Q Gọi E, F trung điểm AB AC

a) Chứng minh :

c PQ b

NQ a

MP  

b) Chứng minh : Q, E, F thẳng hàng

2 Cho tứ giác ABCD Lấy điểm M tùy ý cạnh AB xác định điểm N cạnh DC cho MN chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích

Bài 5: (2,0 điểm)

Cho a,b,c >0 a+b+c = Chứng minh b+c ≥ 16abc HƯỚNG DẴN GIẢI a) Điều kiện x>0 Ta có :

) ( ) ( ) ( : ) ( ) ( ) 8 ( )

( 2

           x x x x x x x x x x P P= 4    x x x  P-1= ) ( ) ( 4 2           x x x x x Vậy  P

b) ( x 1).P1 4 x 12 x2 x 53x + x -1 =

 3 3 3       x x  3 7 

x (thoã mãn điều kiện x>0) (loại)

(30)

2 a ĐK : x1

1 ) (

2 2

2        x x x x x x

x 

1 ) ( 2      x x x x

x  1)

1 ( 2    x x  ) ( ) ( ) ( ) ( 2           x x x x  2

2  



x (thỏa mãn)

b Giải hệ phương trình :

Nếu y=0  x=0 Vậy x=0, y=0 nghiệm hệ phương trình Với y0 hệ cho trở thành x2y – 2x + 3y2 =

x2y+ y3x + 2y2 =

 2 2       y x y x y x x y

Nhận thấy  

y khơng thoả mãn hệ phương trình

Xét  

y từ (1) 

2   y y

x thay vào (2) ta có : 2 ) ( 2    

 y y

y y y y  2 ) ( 3 3            y y y y

y  3y6 11y3 80

 3 1 3                x y y x y y

Vậy hệ có nghiệm (0;0) (1;-1) (-2 3; 3

2 

)

3 Từ :

z y x z y

x     

1

=>1 1 0

     z y x z y

x =>     0

     z y x z z z y x xy y x

        

0 ( )

( )

zx zy z xy

x y x y x y y z z x

xy z x y z xyz x y z

      

             

     

 

Ta có : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).=

y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8) z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5) Vậy M =

4

+ (x + y) (y + z) (z + x).A = 4

a) Ta có : BOP góc ngồi AOB  BOP= OAB + OBA =

(BAC +

(31)

DAYHOCTOAN.VN 31 Lại có : PNB=1800 – MNC =1800 -

0

180

180 ( )

2

ACB

BAC ABC

      

 BOP+PNP=1800  tứ giác BOPN nội tiếp

 OPM = OBC (cùng bù OPN )

Mặt khác : OMP = OCN  OPM OBC (g.g)



OB OP OC OM a

PM



 (1)

Tơng tự ta có :ONQ OCA (g.g) 

a PM OC

OM OC ON b

NQ

 

 

AOB QOP (g.g) 

a PM OB OP c

PQ



  Từ (1) , (2) 

c PQ b

NQ a

MP



b Tứ giác AMQO nội tiếp (CM trên)

 AQO=AMO = 900 ABQ vng Q có QE trung tuyến

 EQB= EBQ=CBQ EQ//BC mà EF//BC  E, Q, F thẳng hàng Cho ba số thực a b c, , không âm cho a b c  1

Chứng minh: b c 16abc Dấu đẳng thức xảy ? Theo kết câu 3.1, ta có:

 2  2  

4

a b c  a b c  a b c

mà a b c  1 (giả thiết)

nên: 4 a b c     b c 4a b c  2 (vì a, b, c khơng âm nên b + c không âm) Nhưng:  2

4

b c  bc (không âm) Suy ra: b c 16abc

Dấu đẳng thức xảy khi: 1,

4

a b c

b c a

b c

 

    

 



Đề

Bài 1: (4,0 điểm).Cho biểu thức:P x x x : 1 x x

2 x x x x

       

       

   

   

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm giá trị nguyên x để P nguyên

Bài 2: (3,0 điểm) Cho x > 0, y > x + y = Chứng minh: 4

8(x y )

xy

  

Bài 4: (3 điểm) a) Giải hệ phương trình

1 2   

y x y x

3  



y x y x

(32)

DAYHOCTOAN.VN 32 1) Cho ABC vuông A, đường cao AH Gọi (P), (Q) theo thứ tự đường tròn nội tiếp hai tam giác AHB AHC Kẻ tiếp tuyến chung (khác BC) (P) (Q) cắt AB, AH, AC theo tự M, K, N Chứng minh

a HPQ ABC b KP // AB, KQ // AC

c Tứ giác BMNC nội tiếp

2) Cho a, b, clà độ dài cạnh ABC Gọi m, n, k độ dài đường phân giác ba góc ABC Chứng minh rằng:

m + n +

1 k >

1 a +

1 b +

1 c

Bài 5: (2,0 điểm).

Tìm tất tam giác vng có độ dài cạnh số ngun số đo diện tích số đo chu vi

HƯỚNG DẴN GIẢI

1 Điều kiện để P có nghĩa: xx 02 xx 04

x x



  

   

 

   

 

Ta có:

(x 9) (4 x) x

(2 x )( x 3) ( x 2)( x 3)

P

x ( x 3)

( x 3)( x 3)

   



   





 

       

    

  

(x 9) (4 x) (9 x) x x x

P P

(2 x )( x 3) x (2 x ) x x

Theo câu a ta có: P x 1

x x



   Do để P  Z ta cần

x  Z 

x

x (lo¹ i)

 

  

 x = 1.Vậy với x = P có giá trị nguyên Ta có: x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2

= [(x + y)2 – 2xy]2 – 2x2y2 = (1 – 2xy)2 – 2x2y2= 2x2y2 – 4xy +

    2        

8(x y ) 16x y 32xy (4xy 7)(4xy 1)

xy xy xy

Vì x > y > nên theo BĐT Cơsi ta có:

(4xy 7)(4xy 1)

1

2 xy x y xy

4

xy

  

 

      

  

4

1

(4xy 7)(4xy 1) 8(x y )

xy xy

          Dấu xảy x y x y

2 x y



   

  



3 1) ĐKXĐ: - 10  x  10 Đặt a =

25x ; b =

10x ( a, b  ) Ta hệ pt : 2 23 15

a b

a b

   

 



Giải hệ pt ta : a = ; b = Suy : x1 = ; x2 = -3

2) Đky0:

y x y

x y

x   

    

   

 3

2

2 (1):

y x y

x y

x   

  

 

   

(33)

2

1 M

D A

B C

Cộng (1) (2) vế với vế ta được: 1

     

 

     

 



y x y

x 20

  

 

     

 

  

y x y

x

   

 

  

  

0

y x



   

   

 

 

  

4

3

y x

Từ (3) (2) ta có:  

  

 

   

6

y x

  



  

y x

y y

6

(*)

(*) vô nghiệm

 hệ vô nghiệm Từ (4) (2) ta có  

    

   

1

y x

  



  

y x

y

y2

;  

x y hệ có nghiệm

;   y x

4 1) a AHB CHA mặt khác P Q tâm đường tròn nội tiếpAHB AHC =>

AC AB HQ HP 

(1) lại cóBAC = PHQ = 900 (2)

Từ (1) (2) suy HPQ ABC

b Theo câu a ta có PQH = ACB (3)

PKQ = PHQ = 900 => tứ giác PKQH nội tiếp => PKH = PQH (4) Từ (3) (4) => PKH = ACB

lại có BAH = ACB=> PKH = BAH => PK // AB chứng minh tương tự ta có KQ //AC

c Ta cóACB = PKH = MKP = AMK

=> BMN + NCB = BMN + AMK = 1800 => tứ giác BMNC nội tiếp

2) Qua điểm C vẽ đường thẳng song song AD cắt AB M

A1 = M1, A2 = C2, Mà A1 = A2, (AD tia phân giác góc A )

Nên M1 = C1,  AM = AC Xét AMC : MC < AM + AC = 2AM

Xét BMC ta có : AD // MC  AD MC =

AB

BM = Error! Nên AD = Error! < Error!  Error! > Error! ( Error! + Error! )

P Q

H B

M

C N

A

(34)

DAYHOCTOAN.VN 34 

m > (

1 b +

1 c ) Tương tự :

n > (

1 a +

1 c ) ;

1 k >

1 (

1 a +

1

b ) Vậy m +

1 n +

1 k >

1 a +

1 b +

1 c Gọi a, b, c số đo cạnh tam giác vng cần tìm Giả sử a b c   Ta có hệ phương trình : 2

a b c

ab 2(a b c)

  

   



(1) (2) Từ (1)  c2 = (a + b)2 − 2ab

 c2 = (a + b)2 − 4(a + b + c) (theo (2))

(a + b)2 − 4(a + b) = c2 + 4c(a + b)2 − 4(a + b) + = c2 + 4c +

(a + b − 2)2 = (c + 2)2 a + b − 2 = c + (do a + b 2)c = a + b −

Thay vào (2) ta được: ab = 2(a + b + a + b − 4)

ab −4a−4b + = b(a −4) −4(a−4) = (a −4)(b−4) = Phân tích = 1.8 = 2.4 nên ta có:

a

ho ho

b

     



     

  



a - = a = a =6

Ỉc Ỉc

b - = b = 12 b=8

Từ ta có tam giác vng có cạnh (5 ; 12 ; 13) (6 ; ; 10) thỏa mãn yêu cầu toán

Đề Bài 1: (4,0 điểm).Cho biểu thức:

3

6 3

3 3

3

x x x

A x

x x x

x

 

   

    

  



  

b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

Bài 2: (3,0 điểm).

a) Giải hệ phương trình: 2

19

x y xy

   

     

b) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + = xy > Tìm giá trị lớn biểu thức : M 1

x y

 

Bài 3: (5,0 điểm).Giải phương trình a)

3

  x

x +

1 63 16

1 35

12 15

8

2

2 

      

 x x x x x

x

b) x64 x2  x116 x2 1

Bài 4: (6,0 điểm).

Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O Tia phân giác góc A cắt (O) D Một đường trịn (L) thay đổi qua A, D cắt AB, AC điểm thứ hai M, N

a) CMR: BM = CN

(35)

Bài 5: (2,0 điểm).Cho tứ giác ABCD, gọi I giao điểm hai đường chéo Kí hiệu AIB; CID; ABCD

S S S S S S

a Chứng Minh: S1  S2  S

b Khi tứ giác ABCD hình thang hệ thức xảy nào? HƯỚNG DẴN GIẢI

1 Ta có: 3x2 3x 4  3x12 3 0;1 3x   0, x 0, nên điều kiện để A có nghĩa

 3    4

3 3 0,

3

x   x x x  x  x    x

   

3

1

6

3

x

x x

A x

x x x

x

   



  

    

  

   

  

 

6  3  3 3  3

x x x

A x x x

x x x

    

 

   

    

 

 4  3 1

3 3

x x

A x x

x x x

   

 

  

    

 

 

2

3

x A

x

 

 (

4

3

x

  )

  2  2 

3 2 1

3

3 3

x x x

A x

x x x

    

   

  

Với x số ngun khơng âm, để A số ngun 3 3 3

3

x x

   

      



 

 (vì

x x0) Khi đó: A4

2.a)  

2

2 2

19 19 19

7 7

S x y

x y xy x y xy S P

P xy

x y xy x y xy S P

  

            

                

  

   (1)

Giải hệ (1) ta được: (S 1; P 6), (S  2; P 5) Giải hệ phương trình tích, tổng:

6 x y

xy

   

  



2 x y

xy

   

  

 ta có nghiệm hệ phương

trình cho là: 3; ; ;

2 1 6 1 6

x x x x

y y y y

 

        

   

      

     

   

b) Ta có : x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + =

x3 + 3x2 + 3x +1 + y3 + 3y2 + 3y + + x + y + = 0(x + 1)3 + (y + 1)3 + (x + y + 2) =

(x + y + 2)[(x + 1)2 – (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 1] = (*)

  2    2   1  3 2

V x – x y y 1= 1 1

2

ì        x  y   y  

 

Nên (*) x + y + =  x + y = -

1

Ta c : ó M x y

x y xy xy

 

    x y2 4xy 4xy 1 2

xy xy



         Vậy MaxM = -2 x = y = -1 a) x2 + 4x + = ( x + 1)( x+ 3)

x2 + 8x + 15 = ( x +3)(x+5) x2 + 12x + 35 = ( x +5)( x + 7)

(36)

S4 S3

S2 S1

I

K H

D

C B

A

 ĐKXĐ : x  -1; x  -3; x  -5; x  -7; x  -9 pt 

5 ) )( (

1 )

7 )( (

1 )

5 )( (

1 )

3 )( (

1 

         

 x x x x x x x

x



5 ) 7 5 3 1 (

              

 x x x x x x x

x 

1 ) 1 (

  

 x

x

 5( x + - x -1) = 2( x+1)( x+9) 2x2 + 20x + 18 - 40 = 0 x2 + 10x - 11 = Phương trình có dạng a + b + c =  x1 = 1; x2 = -11 x1; x2 thỏa mãn ĐKXĐ

Vậy tập nghiệm phương trình : S = 11;1 b) ĐKXĐ: x  -2 ( 0,5 điểm)

Pt  ( x22)2  ( x23)2 1<=>| x22| + | x2 -3| = 1 | x22| + | - x2| =

áp dụng BĐT |A|+ |B| | A + B| ta có : | x22| + | - x2| 

Dấu "=" xảy : ( x22)( - x2)    x2  2 x  Vậy tập nghiệm phương trình : S = x/2  x 7

4.a) Xét BMD CND:

+ BD=CD (vì AD phân giác góc A) +

2 

ACD sđ cung AD 

MBD A1+D1=

2

1 sđ cung AB +

1 sđ cung BD =

1 sđ cung AD

ACD=MBD Trong (L), A1 = A2  DM = DN

 BMD = CND BM = CN b) Gọi I trung điểm BC  I cố định

Vẽ hình bình hành: IBMM’, ICNN’ MM’NN’ hình bình hành

 K trung điểm M’N’

Vì IM’ = BM = CN = IN’  IM’=IN’ IK phân giác M’IN’ Do

  

CN IN

MB IM

// '

 IM’, IN’ cố định Vậy: Quỹ tích K đờng phân giác M’IN’ c) DMN cântại D có MDN = 1800 -BAC = Const

MN ngắn DM nhỏ nhấtDMAB khi AD đờng kính (L) a Gọi S1= SAIB ; S2 = S CID ; S3 = S BIC ; S = S AID

Kẻ AH BD CK; BD

Ta có:

1

AIB

AID

S AH BI

S AH DI



1

(1) S BI S DI

 

1

CID

BIC

S CK DI

S CK BI



3

(2) S BI S DI

 

Từ (1) (2) suy ra:

1 4

(3) S

S

S S S S

(37)

DAYHOCTOAN.VN 37 Ta có: S ABCD = S1 + S2 + S3 + S4S1S22 S S3 4(4)

Từ (3) (4) ta suy ra:

1 2 ( 2)

SS S  S S  S  S  S  S  S

(đpcm)

b Khi tứ giác ABCD hình thang ta xét:

* Nếu AB // CD ta có: S ACD = S BCD suy ra: S = S  S  S1  S2 * Nếu BC // AD ta có: S ABC = S CAD Suy ra: S = S 

2 S

S S

 

Dấu sảy khi: S1 = S = S = S =

4 S 

ABCD hình bình hành

Đề Bài 1: (5,0 điểm).

Cho phương trình : 2

2 2

x x

   

   

a) Tìm điều kiện x để phương trình có nghĩa b) Giải phương trình

Bài 2: (3,0 điểm) a) Giải hệ phương trình:

3

5 2 x y

x y x y

  

 

  



b) Tìm nghiệm nguyên phương trình

y2 =-2(x6-x3y-32)

Bài 3: (5,0 điểm).

a) Cho x, y >0 x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 21 2

x y xy

 



b) Cho số dương a,b,c thay đổi thoả mãn : a+b+c=4 CMR: ab bc ca 4

Bài 4: (6,0 điểm).

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); H trực tâm tam giác; M điểm cung BC khơng chứa điểm A

a) Tìm vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành

b) Gọi E, F điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh E,H,F thẳng hàng

Bài 5: (2,0 điểm).Cho tam giác ABC đường cao: AA1, BB1, CC1 dòng qui H

Chứng minh rằng: 1

1

 



HC HC HB

HB HA

HA

Dấu "=" xẩy nào? HƯỚNG DẴN GIẢI

1 a) điều kiện : 0 x

2 2

b) 2 (1)

2 2 2 2

x x x x

        

       

(38)

             

2

2 2 2

2

8 Ta c :

2

8 8

(I)

2 4 4

a b

ó a b

a b

a b a b a b

a b ab a b a b ab a b ab ab a b ab

   



 

  



        

  

                  

 

  



Vì ab + > nên :    2

2

1

2

2 2

1 (loai v a 0)

3

3 4 2 3 1

b

b a

b ab

a b ab a

I a

a a b

a b

a a a

a a ì

a x

x

b x



    



      

   

      

 

  

   

       

 

    



     

 

   

 

    

 

2 Ta có:

3

5 2

x y

x y x y

  

 

  



3 3

5 2 3 2

1

( )( ) ( )

x y x y

x y x y x y x y x y

     

 

 

     

 

 

Sảy trườngg hợp: Trường hợp a:

3

0

1

x

x y

y xy



   



  

 



0 y x

    

Trường hợp b:

3 3 3

1 1

0

x y x y y y

x y x y x y

        

  

  

     

   hệ vô nghiệm

Vậy nghiệm hệ là: 0;

1

x x

y y

 

 

   

 

b) y2=-2(x6-x3y-32) 6 3 2x 2x y y 64 x (x y) 64 (x ) (x y) 64

           

Vì xZ x2N Vậy x nhận giá trị  0; 1; 

Suy cặp nghiệm nghuyên cần tìm là: (0; 8), (0;-8), (2;8), (-2;-8)

3.a.Vi a0, b0; Ta có: 2 2

a b 2 a b 2ab (Bdt Cô si) 2 a b 2ab 4ab (a b) 4ab

      

(a b)(a b) a b a a 1

4 (*)

ab ab a b ab ab a b a b a b

  

         

  

Áp dụng BÐT (*) v i a = 2

x y ; b = 2xy ; ta có: 2 2 2 42 2

x y 2xyx y 2xy (xy) (1)

Mặt khác :

2

1 1

(x y) 4xy

4xy (x y) xy (x y)

     

  (2)

2 2 2

1 1 1 1 1

A

x y xy x y 2xy 2xy x y 2xy xy

   

        

      

2 2 2 1 2 (x y) (x y) (x y) (x y)

 

       

      6

[Vì x, y >0

(39)

H C1

C B1

B A1

A

b.*Do a,b,c >0 từ gt ta có : ababc4 ab 2ab2 ab (1)

*Hoàn tồn tương tự ta có: bc2 bc (2)ca2 ca (3) *Cộng vế với vế (1),(2) (3) ta có:

2abc2 ab bc ca

Hay  ab bc ca  đpcm

a Lấy cung BC điểm M cho AM đường kính đường tròn (O) ta chứng minh tứ giác

BACM hình bình hành Gọi I trung điểm BC, ta có OI BC theo (gt) AH BCOI //AH (1)

Gọi C'CH  O ta CBC' = 1v (góc nội tiếp chắn cung nửa đường trịn (O))  AH // BC' Tương tự ta có: AC' // HB  AC'BH hình bình hành

 AH = BC'; mà BC' = IO (do IO đường trung bình CBC') OI = 1/2 AH (2) Từ (1) (2)  H, I, M thẳng hàng, tứ giác BHCM có đường chéo cắt trung điểm

đường nên hình bình hành Vậy điểm M cần tìm giao AO với (O) b Do E đối xứng M qua AB ta có: AEB = AMB (1)

Tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn (O) Nên AMB = ACB (2)(cùng chắn cung AB) H trực tâm nên tứ giác AC'HB'; BC'HA'; CA'HB' nội tiếp

Ta có AHB = A'HB' (đối đỉnh)  AHB + ACB = A'HB' + ACB = 1800 (3) Từ (1) (2) (3)  AEB = EAB + MAB (do M, E đối xứng qua AB)

Tương tự ta chứng minh CHF = CAM

Tc:EHF = EHB + BHC + CHF = (MAB + CAM) + BHC = CAB + BHC = CAB + C'HB' = 1800 E, H, F thẳng hàng

5 Do tam giác ABC nhọn, nên H nằm tam giác * S = SABC; S1 = SHBC; S2 = SHAC; S3 = SHAB

Ta cã:

1

HA HA HA

AA BC HA

BC AA S

S

  

 T2:

1

1 HB

HB S

S



 ,

1

1 HC

HC S

S





Suy ra:

1 1

3

HA HB HC

S

HA HB HC S S S

 

      

  3

1 1

(S S S )

S S S

 

      

 

Theo bất đẳng thức Côsy:

1 1

(S S S ) HA HB HC

S S S HA HB HC

 

            

 

Dấu "=" xảy tam giác ABC

Đề

Bài 1: (4,0 điểm).Cho biểu thức: A = 

  

 

   

    

 

 

1

1 :

a a a a

a a

a.Rút gọn biểu thức A

(40)

Bài 2: (4,0 điểm).a) Giải hệ phương trình:          y x y x xy y x 3 2

b) Giải phương trình: Error! + Error! = x2 - 10x + 27

Bài 3: (4,0 điểm).

a) Cho x, y, z số dương thoả mãn xyz =1 Tìm GTNN biểu thức: E =

) ( ) ( ) ( 3 y x z x z y z y

x     

b) Giải phương trình nghiệm nguyên:   3

y xz x yz z xy

Bài 4: (6,0 điểm).

Cho hình vng ABCD Điểm M thuộc cạnh AB ( M khác A B ) Tia CM cắt tia DA N Vẽ tia Cx vng góc với CM cắt tia AB E Gọi H trung điểm đoạn NE

1/ Chứng minh tứ giác BCEH nội tiếp đường trịn

2/ Tìm vị trí điểm M để diện tích tứ giác NACE gấp ba diện tích hình vng ABCD 3/ Chứng minh M di chuyển cạnh AB tỉ số bán kính cácđường tròn nội tiếp tam giác NAC tam giác HBC không đổi

Bài 5: (2,0 điểm).

Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC , tiếp điểm D, E, F Chứng minh tích khoảng cách hạ từ điểm M đường tròn xuống cạnh tam giác ABC tích khoảng cách từ M đến cạnh tam giác DEF

1 Điều kiện: a0 A = 

                  1 : a a a a a a a a                 ) )( ( 1 : 1 a a a a a a a ) )( ( : ) (        a a a a a a 2 ) )( ( ) )( ( ) (       a a a a a a  1 a) Giải hệ phương trình:

         y x y x xy y x 3 2

Từ (1) ta có PT (2) có dạng : 3

y

x  =(x3y)(x2  y2 xy)

 3

y

x  x3 xy2 x2y3x2y 3y3 3xy2  4x2y 4x y2 2y3 02y(2x2 2xyy2)0

        ) ( 2 y x x y              x y x o y             0 y x o y

+ Với y=0 thay vào (1) ta đợc x2=1x

+ Với x=0, y=0 thay vào (1) không thỏa mãn  x=0, y=0 loại Vậy hệ phương trình có nghiệm (x,y) (1,0) (-1,0)

b) Error! + Error! = x2 - 10x + 27 Đk :  x  Áp dụng BĐT Cosi cho 2số không âm , ta :

(41)

DAYHOCTOAN.VN 41 Dấu “ = ” xảy 

1          x x x

Mặt khác : x2 - 10x + 27 = ( x2 - 10x + 25 ) + = ( x - )2 + 

Dấu “ = ” xảy  x - =  x = Do : Error! + Error! = x2 - 10x + 27  x = a) Đặt a =

x

1 , b =

y

, c =

z

1 

abc = xyz

1

= 1 x + y = c(a + b)

y + z = a(b + c) x + z = b(c + a)  E =

c b a  + a c b  + b a c 

Dễ dàng chứng minh đợc

c b

a

 + c a b

 +a b c

  Nhân hai vế với a + b + c > 

c b c b a a    ) ( + a c c b a b    ) ( + b a c b a c    ) (  (a+b+c)  c b a  + a c b  + b a c   c b a  

33 abc

= 3

E 

Dấu "=" xảy  a = b = c = Vậy E =

a = b = c = b) ĐK: x0; y 0;z 0 Pt  x2y2  y2z2 x2z2 3xyz

do x0; y0;z 0  x2y2 y2z2 x2z2 0  3xyz0

suy số x, y, z dương, số có hai số âm, số dương Ngoài (x,y,z) nghiệm (-x,-y,z) ; (-x,y,-z) (x,-y,-z) nghiệm Do cần xét nghiệm (x,y,z ) với x, y, z số nguyên dương Không tính tổng quát ta giả sử : x  y  z 

z z z x yz y xz z xy z x y y x z x yz y xz z z z z xy 3 ;                    

3   

 z z mà z1z1 Với z = phương trình trở thành:   3

y x x y xy

Ta có:  2

x y y x

từ đó:  xy1 mà x1 ; y1  x y1 Vậy (x,y,z) = (1,1,1) Từ nhận xét suy phương trình có nghiệm ngun (1,1,1) ; (1,-1,-1) ; 1,-1,1) ; (-1,1,-1)

4 a) Do NAE = NCE = 1v (gt) nên tg NACE nội tiếp đường trònCNE =CAE = 450

=> NCE vuông cân C Mặt khác CH trung tuyến nên CH đường cao  CHE = v

=> CBE = CHE = 1v => HBCE tứ giác nội tiếp đường trịn

b) Khơng tính tổng qt ta gọi cạnh hình vng diện tích hình vng Đặt AN = x ( x > 0)  DN =1 + x Trong tam giác vng NDC có

(42)

A

B C

O E

D

F M

H N K

Khi : SNACE = SNAC + SNCE =

2

1

CN CD

AN  =

2  

x x

Từ SNACE = S ABCD  3

2

3

2

      

x x x

x => x = , x = - ( loại )

Vậy AN = Mà theo định lý Ta lét ta có :  1 BC AN MB

AM

=> AM = MB hay M trung điểm AB c) Trước hết ta chứng minh tam giác ANC đồng dạng với tam giác BHC

+ ) Tứ giác NACE nội tiếp đường tròn =>AEN =ACN (1) ( chắn cung AN ) NAC + NEC = v (2)

+) Tứ giác HBCE nội tiếp nên BEH = BCH ( ) ( chắn cung BH )

và HBC + HEC = v (4) Từ (1) (3) ta có HCB = ACN HBC = NAC Vậy tam giác ANC đồng dạng với tam giác BHC Gọi r1 ; r2 lần lợt bán kính vịng trịn nội

tiếp hai

tam giác ANC BCH Khi 2

2

1  

BC AC r

r ( không đổi )

5  Bổ đề: Khoảng cách từ điểm đờng tròn đến đờng thẳng qua hai tiếp điểm củahai tiếp tuyến với đường trịn trung bình nhân khoảng cách từ điểm đến tiếp tuyến

 Xét hai tiếp tuyến AB AC , M(O)

Hạ đường vng góc MK, MH, ML xuống tiếp tuyến AB, AC dây EF MEN MFH

   ( chắn cung MF) MFN MEK

   ( - ME)

Suy tam giác MEN MFH , MFN MEK đồng dạng Từ MN MF MH

MK ME MN

2

MN MH.MK

  (1)

Bổ đề chứng minh

 Áp dụng (1), gọi a, b, c, d, e, f khoảng cách từ M đến đường thẳng chứa cạnh BC, CA, AB, EF, FD, DE tam giác ABC DEF ta đợc:

d b.c, e2 c.a,

f a.b Nhân vế với vế ba đẳng thức, suy điều phải chứng minh

Đề 7

Bài 1: (2,0 điểm).Cho biểu thức:P = 

  

  

 

 

     

   

  

 

6

2

3 :

1

x x

x

a) Rút gọn P;

b) Tìm giá trị a để P <

Bài 2: (2,0 điểm). a) Giải hệ phương trình     

 

   

128

4

2

y x

y x y x

b) Giải phương trình: 2x 1 3x  x

Bài 3: (2,0 điểm) a) Cho a, b, c>0 chứng minh rằng: 1        

b a

c b c b

(43)

DAYHOCTOAN.VN 43 b) Cho a, b, c dương a + b = c = Chứng minh a b b c c a

Bài 4: (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O Gọi I điểm cung nhỏ AB (I không trùng với A B) Gọi M, N, P theo thứ tự hình chiếu I đường thẳng BC, CA AB

1 Chứng minh M, N, P thẳng hàng

2 Xác định vị trí I để đoạn MN có độ dài lớn

3 Gọi E, F, G theo thứ tự tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC, CA AB Kẻ EQ vuông góc với GF Chứng minh QE phân giác góc BQC

Bài 5: (2,0 điểm). Trong đường tròn O cho dây cung AB CD cắt M gọi N trung điểm BD , đường thẳng MN cắt AC K Chứng minh : 22

CM AM KC

AK 

HƯỚNG DẴN GIẢI a) Giải hệ phương trình

          128 2 y x y x y x

ĐK : - x  y  x, x  Hệ PT 

                         256 ) ( ) ( 128 ) ( ) ( 2 2 y x y x y x y x y x y x y x y x Đặt         y x v y x u

( u, v  0) Ta

               ) 32 ( 256 4 uv uv v u v u v u                                                   & 8 0 4 ) ( 32 y x y x v u v u uv v u VN uv v u

Vậy hệ có hai nghiệm ( 8; 8) ( 8; -8)

b) 2x 1 3x  x (1), điều kiện x0 Đặt 2x 1 a a, 0; 3x b b, 0 Suy 2

1

b a  x Thay vào (1) ta a b b2a2 (a b ).(a    b 1) a b(do 0,

a b nên a+b+1>0)

Với a = b ta có 2x 1 3x  x thỏa mãn điều kiện Vậy x=1 nghiệm phương trình cho

(44)

DAYHOCTOAN.VN 44 M

C B

N K

Q I

P Mặt khác (ab)2 (bc)2 (ab)(bc)=a2 acc2 3b2 3ab3bc

Do ta cần chứng minh: 2

2

2 2 2

2

3 2

( ) ( )

2 (2)

( ) ( ) 1

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

a c b a b cb b c

b bc ab

b c a

a c b a b cb b c a c b a c c b b c b c a

VT b

b c a b c b a c a a c

b c

ab ac b ab bc b VP

a

 

    

 

          

       

Dấu “=” xảy a = b = c b) C1: Áp dụng bất đẳng thức Cô – si:

2

2 2

2 3 3 3

:

3 3

a b b c a c

a b T b c v a c

     

     

Cộng vế 1,2,3 ta có đpcm

Đẳng thức sảy a = b = c = 1/3 C2: Áp dụng Bu nhi a:

4 a) Từ giả thiết có IPAINA180 Tứ giác IPAN nội tiếp (1)

IPN IAN

  (cùng chắn cung IN)

Lại IPBIMB 90  Bốn điểm I , P , M , B

nằm đường trịn đường kính BIMPI IBM 180 (2) Vì I O CAI IBM 180 (3)

Từ (2) (3) MPI CAI (4)

Từ (4) (1) MPI IPN CAIIAN 180 Vậy M , P , N thẳng hàng b) Theo chứng minh ta có

(5)

IBAIMN (góc nội tiếp chắn cung IP đường tròn qua điểm I , B , M , P) (6)

INM IAB (góc nội tiếp chắn cung IP đường tròn qua điểm I , N , A , P) Từ (5) (6)  IMN IBA MN IM IN MN AB

BA IB IA

     

Dấu "=" xảy M B IAC IBC 90 CI

N A

 

     

 đường kính  O Vậy MN lớn

AB  I đối xứng với C qua O c)

5 Qua C kẻ đường thẳng song song với KN cắt AB Q

qua Q kẻ đường thẳng song song với BD cắt KN CD lần lợt I P N trung điểm BD => I trung điểm PQ => M trung điểm CP PQ// BD => AQP  ABD ( đồng vị )

N

M P O

B C

(45)

 

 ACD

ABD ( góc nội tiếp chắn cung AD )

 

 ACD

AQP = > Tứ giác ACQP nội tiếp => AM.MQ=CM.MP

AM CM AM

MP CM MQ

2



 ( MP=CM )

2

CM AM MQ AM 



Trong tam giác ACQ có MK//CD

MQ AM KC

AK 

 nên

2 CM AM KC

AK 

Đề

Bài 1: (2,0 điểm).Cho biểu thức:P = 

  

  

       

  

     

1

2 :

8

1

x x x

x x

a Rút gọn P

b Tìm giá trị x để P =

Bài 2: (2,0 điểm).a) Cho x, y, z> thoả mãn: 1 1  z y x Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

zx x z yz

z y xy

y x P

2 2

2

2 

  

 

b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x3y + xy3- 3x-3y = 17

Bài 3: (2,0 điểm).

a) Giải phương trình: (x+1)(x+2)(x+4)(x+8) = 28x2

b) Cho hệ phương trình:

    

ax + by = c bx + cy = a cx + ay = b

(a, b, c tham số)

Chứng minh điều kiện cần đủ để hệ phương trình có nghiệm là: a3 + b3 + c3 =

3abc

Bài 4: (2,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) tâm O M điểm cung BC khơng chứa điểm A Gọi M’ điểm đối xứng với M qua O Các đường phân giác

góc B góc C tam giác ABC cắt đường thẳng AM’ E F

1/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn 2/ Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r Chứng minh: IB.IC = 2r.IM

Bài 5: (2,0 điểm). Cho hình bình hành ABCD , từ B kẻ đường thẳng cắt cạnh CD M ; từ D kẻ đường thẳng cắt cạnh BC N cho BM = DN Gọi giao điểm DN BM I Chứng minh : Tia IA tia phân giác góc BID

HƯỚNG DẴN GIẢI a)* Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky cho: 1,

y x

(46)

2 2 2

2

2 2

2

1 2 1

(1 ) (1)

3

x y

x y xy x y

x y y x



     

             

   

 

Dấu "=" xảy x = y Tương tự:

2 2

2 1 2 1

(2) (3)

3

y z z x

v

yz y z zx z x

         

   

 

Từ (1), (2), (3) 3 3            z y x

P Suy ra: Pmin = khi: x = y = z =

b) Phương trình: x3y+xy3-3x-3y=17  (x2+y2)(xy-3)=17=17.1

Do x,y nguyên dương nên x2+y2>1

                       xy 25 ) y x ( xy 17 xy ) y x ( xy 17 y

x2 2

                                                   -4 y -1 x hc y x hc 4 5 y x y x xy y x xy y x Kết luận:      y x        y x      y x        y x

3 a) Giải phương trình : (x+1)(x+2)(x+4)(x+8)=28x2 (x2 + 6x +8)(x2 + 9x + 8) = 28x2 (1)

x=0 nghiệm pt (1) Chia vế (1) cho x2 ta được: (1)  (x+ 9) 28

9 )(

8   

x x

Đặt t = x+

x

8

(1)  (t+6)(t+9) =28  t2 + 15t + 26 =0 

      13 t t

Với t = -2 x+8 2

x  x

2 + 2x + =0 vô nghiệm

Với t = -13  x+8 13

x  x

2 + 13x + =0  x = -13  137

b) Điều kiện cần : Giả sử HPT cho có nghiệm (x ; y) Khi

3 3 2

a   b c a a b b c c

2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )

bx cy a cx ay b ax by c

a bx ab y ac x ca y b cx bc y

     

( ) ( ) ( )

3

ab ax by ca cx ay bc bx cy abc cab bca abc

     

   

Điều kiện đủ: Giả sử

3 3 3

3 ( ) ( )

a b c  abc a b  c ab a b  abc

2 2 2

2 2

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

0

( ) ( ) ( )

a b c a b c a b c ab a b c a b c a b b c c a

a b c a b c

a b c

a b b c c a

                                             

a+b+c=0 , nhận thấy HPT có nghịêm : x = y = -1

a=b=c , nhận thấy HPT có nghiệm : x = ; y=1 (hoặc x = ; y = 0) Vậy 3

3

(47)

DAYHOCTOAN.VN 47 + Do M điểm cung BC nên góc BAM = góc MAC

=> AM phân giác góc A tam giác ABC nên gọi I giao điểm BE CF I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC I , A , M thẳng hàng + Do MM’ đường kính ( O ) nên AE  AM AM phân giác góc BAC nên AE phân giác ngồi Mặt khác , BE phân giác góc ABC => CE phân giác ngồi góc BCA ( Hai đường phân giác đường phân giác tam giác ABC đồng quy) mà CF

là phân giác góc BCA => góc FCE = v

Chứng minh tương tự ta có góc FBE = 1v => tứ giác FBCE nội tiếp đường tròn

b) Trước hết chứng minh : MI = MB = MC Thật gọi P giao điểm CF đường tròn ( O ) Do CP phân giác góc BCA nên cung PA = cung PB , kết hợp với cung MB = cung MC

Ta có sđ góc CIM = sdMC PA sdMB BP sdMP

1

1    

= sdMCP

2

1

=> góc CIM = góc MCI => tam giác CMI cân => MI = MC

Chứng minh tương tự ta có MI = MB Vậy MI = MC = MB Kẻ IH vng góc với BC IH = r Hạ MQ vng góc với BI tam giác BMI cân => QI

= QB Xét hai tam giác vng IQM IHC có : góc IMQ = góc ICH = 1/ góc AMB Vậy hai tam giác đồng dạng => IB.IC r.IM

BI r IQ IH IQ

IH IM

IC

2

2   



5

F E I N

C

A D

B

M

Lời giải

Từ A kẻ AE vng góc với DN ; A F vng góc với BM Ta có dt(ABM) = 1/2 dt(ABCD) ; dt(ADN) = 1/2dt(ABCD)

cho nên dt(ABM) = dt(ADN) , mà BM = DN A F = AE hay A cách hai cạnh góc BID

Vậy tia IA tia phân giác góc BID

(48)

Bài 1: (2,0 điểm). Cho biểu thức:P = 

                     1 : 1 a a a a a a a a

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị a để P <

c) Tìm giá trị P a 198

Bài 2: (2,0 điểm). a) Giải phương trình: 2006x4 x4 x2 2006x2 2005.2006 b) Giải hệ phương trình:   

2

8

16 16

y x x

x y x xy y

   

 

    



Bài 3: (2,0 điểm). Tìm a , b , c biết a , b ,c số dương

                     1 2 c b

a = abc

32

Bài 4: (2,0 điểm).

a) Cho a, b, c  [0 ; 1] Chứng minh :

1 ) )( )( ( 1

1          



 a b a b c

c c a b c b a

b) Cho số x, y, z thoả mãn x + y + z + xy + yz + zx = Chứng minh : x2 + y2 + z2 

Bài 5: (2,0 điểm).

Cho tam giác ABC có đường cao AH Gọi I,K điểm nằm tam giác ABC cho tam giác ABI ACK vuông Ivà K = ,M trung điểm BC Chứng minh :

a) MI = MK

b) Bốn điểm I,H,M,K thuộc đường tròn

2 a) Giải hệ phương trình: 2006x4 x4 x2 2006x2 2005.2006 ) 2006 2005 ( ) 2006 2006

(  2 4  

 x x x

0 ) 2006 2006 )( 2006 2006 ( ) 2006 2006

(  2 4  2  2 

 x x x x

0 ) 2006 2006 )( 2006 2006

(  2 4 2  

 x x x

0 2006 2006

2

4    

 x x (do

2006 x 2006 20060 x)x4 2006 x22006

1 2006 2006

4

1 2

2

4      

x x x x

2 2 2 2006                

 x x

2

2006

2

x x

     (

2006

x   >0; 2

x  >0)x2 1 x22006

4 2

2 2006

x x x

     x4x220050

2005 2  

t t (đặt tx2,t0)

2 8021 1

 

t (do t0)

(49)

DAYHOCTOAN.VN 49 Vậy phương trình cho có tập nghiệm:

              8021 ; 8021 S

b) Viết lại phương trình thứ hai hệ dạng    2 16 16 y  x y  x x 

Coi phương trình bậc hai, ẩn y x, tham số Có  ' 2x4216 16 x5x29x2

Từ đó, tìm y 4 x y, 5x4

Nếu y 4 x, thay vào phương trình thứ nhất, giải x0,x 2,x 5 Với x0 y  4 x Với x 2 y  4 x Với x 5 y  4 x Nếu y5x4, thay vào phương trình thứ nhất, giải x0,x 2,x19

Với x0 y5x 4 Với x 2 y5x  4 Với x19thì y5x 4 99 Vậy, nghiệm hệ     x y;  0; , 2;6 ,  2; , 5;9 , 19;99  

3 Vì a ; b ; c số dương áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

1 

a  2 a = a

2

12 2

b  2

2

b = b

12 8

c  2

c = c                       1 2 c b

a  a

2 b c = abc 32                       1 2 c b

a = abc

32              1 2 c b a              2 c b a

4 a) Cho số x, y, z thoả mãn x + y + z + xy + yz + zx = Chứng minh : x2 + y2 + z2

Ta có x2 + y2 + z2 <=> 3(x2 + y2 + z2) 

<=> 3(x2 + y2 + z2)  ( x + y + z + xy +yz + zx)-

<=> (x2 – 2xy + y2) + (y2 – 2yz + z2) + (x2 – 2zx + z2) + (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) + (z2 – 2z + 1) 

<=>( x – y)2 + (y – z)2 + (x – z)2 +(x -1)2 + (y – 1)2 +(z – 1)2

b) Vai trò a, b, c ngang nên giả sử: a  b  c áp dung BĐT Cauchy cho số: a+b+1, 1-a, 1-b ta có:

          1 1 1 1 1 1 1                                b a c b a b a b a b a b a b a b a

(50)

   

1 1

1

1 1

1

  

                       

    

b a

c b

a c b

a b b

a a c

b a b

a c c

a b c

b a

b c

a b

b a

a c

b a

5

a) Gọi E,F trung điểm AB,AC ta có:

IE =

AB = MF, EM =

AC = FK

nên IAM =MHK (c.g.c) suy MI = MK

b) Ta chứng minh Đặt = 

Ta có : = , =  nên = 1800 - 2 (1) Xét tam giác IEM có = 2 nên 1800 - 2 =

ta lại có (so le trong,AB song song với MF) (do IAM =MHK ) nên

1800 - 2 = (2)

Từ (1),(2)suy I,H,M,K thuộc đường trịn

Đề 10

Bài 1: (2,0 điểm). Cho biểu thức:P = 

  

  

  

       

  

   

 

1 2

1

: 1 2

1

x x x x

x x

x x x

x

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P x 3 2

1  

Bài 2: (2,0 điểm).

(51)

x y

2 y x

  

b) Giải phương trình: x = 2005-2006 (2005-2006 x2)2

Bài 3: (2,0 điểm).

a) Tìm giá trị lớn biểu thức: M = 4 22

x x  x 

b) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a,b,c khác a + b+ c 0

Tính P = (2008+

b a

)(2008 +

c b

) ( 2008 +

a c

)

Bài 4: (2,0 điểm). Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đường trịn tâm O qua B C.Qua A vẽ tiếp tuyến AE,AF với đường tròn (O); Gọi I trung điểm BC ,N trung điểm EF

a.Chứng minh điểm E, F ln nằm đường trịn cố định đường tròn (O) thay đổi

b.Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) K Chứng minh :EK song song với AB

c.Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy đường thẳng cố định đường tròn(O) thay đổi

Bài 5: (2,0 điểm). Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tiếp điểm (O) cạnh BC, CA, AB D, E, F Kẻ BB1AO, AA1BO

Chứng minh điểm D, E, A, B thẳng hàng

HƯỚNG DẴN GIẢI 2, a) Đk:

2 y ;

x  Ta chứng minh x=y Thật

) ( x y x x x 4 y

x y 2

y x

        

      

Tương tự:

y y x

1   (2) Từ (1) (2) ta có:

y x y x

4     

Ta có:

1 x ) x ( x x

1

x 2 x 2 x y x

2

2        



     

Vậy hệ có nghiệm x = y =1

b) Đặt y = 2005 - 2006 x2 Phương trình trở thành :

   

 

2 2006 2005

2006 2005

x y

y x

 x - y = 2006 (x2 - y2) 2006(xy)-1x-y= 0

  

   

0 ) ( 2006x y

y x

Với x = y  x = 2005 - 2006 x2 2006x2 + x - 2005 = 

   

  

2006 2005

1 y x

(52)

DAYHOCTOAN.VN 52 Với 2006 (x+y) - =  x + y =

2006

 y = 2006

1

- x 2006

1

- x = 2005-2006 x2

 20062x2 - 2006x - 2005.2006 +1 =     

 

 

 

4012 1608817

y x

3 a) Nhận xét x = M = 0, giá trị giá trị lớn Vậy M đạt giá trị lớn với x khác Chia tử mẫu cho x2 ta được:

M =

1 2

1   

  

  

x x

M đạt giá trị lớn

2

x

x  nhỏ

=>

2

x

x  = => x = 1 Vậy M lớn 1/

3 x = 1

b) Ta có: a3 + b3 + c3 = 3abc

 ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac ) =  a2 + b2 + c2 - ab - bc -ac = ( a + b + c

0)  ( a- b )2 + ( b – c )2 + ( c – a )2 = 0 a = b = c P = (2008+

b a

)(2008 +

c b

) ( 2008 +

a c

) P = ( 2008 + ) ( 2008 + ) ( 2008 + ) = 20093

4 a)  ABF AFC đồng dạng (g_g) Ta có : AB/ AF=AF/ACAF2=AB.AC

AF= AB.AC Mà AE=AF nên AE=AF= AB.AC không đổi Vậy E,F thuộc đường tròn (A; AB.AC ) cố định

b) Tứ giác AOIF nội tiếp đường trịn Ta có :AIF =AOF (1)

AOF = 

EOF EKF = 

EOF 

 EKF =AOF (2).Từ(1) và(2) AIF =EKF Do : EK vàAB song song vơí

c) Cm A,N,O thẳng hàng AOEF ; Gọi H giao điểm BC EF

Ta có : ANH AIO đồng dạng nên

AI AN AO AH 

Suy :AH.AI =AN.AO Lại có :AN AO=AE2 =AB.AC

Do : AI.AH =AB.AC

AI AC AB

AH 

 không đổi Vậy H cố định Tứ giác OIHN tứ giác nội tiếp đường trịn nên đường trịn ngoại tiếp OIN ln qua I H ;Do tâm đương f trịn nằm đường trung trực IH Theo ta có:AA1B ABˆ1B



 =900

Suy tứ giác AA1 B1 B nôi tiép đường tròn

1

1B ABˆB BA





 chắn cung BB1

(53)

1A EOˆA EA





 chắn cung AE) mà

1

, , 90

ˆ ˆ

ˆ

B A E A

O E E A O

E A B BAB

 

 



thẳng hàng (*)

Tương tự: ta có tứ giác AA1B1B nội tiếp

Theo ta có: B

B A B AA1 ˆ1



 =900

Suy tứ giác AA1 B1 B nơi tiép đường trịn

A B A A B

A1 1 1ˆ





 chắn cung AA1

Ta lại có: OD1BOBˆB1V tứ giác OB1DB nội tiếp

B O D B DB1 ˆ





 (cùng chắn cung BD)

mà

A B O O B D

B O D O B D

O B D DOB

ˆ ˆ

90 ˆ ˆ

ˆ

0



 





Tính chất tiếp tuyến cắt

Vậy    

1 1

1B BBˆ A ABˆ A 180

DB điểm D, B1, A1 thẳng hàng (**)

Từ (*) , (**) suy A1, D, B1, E thẳng hàng

Đề 11

Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức:P = 

  

  

      

  

   

 : 1

1

x x x

x x x x

x

a) Rút gọn P b) Tìm x để P0

Bài 2: (4,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình : x + y = x5 + y5 = 11

b) Giải phương trình: 3

3

x   x

Bài 3: (4,0 điểm) a) Cho a,b,c >0 a+b+c = Chứng minh b+c ≥ 16abc

b) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + = xy > Tìm giá trị lớn biểu thức

: M 1

x y

 

Bài 4: (6,0 điểm) 1 Cho hình vng ABCD cạnh a Trên đường chéo AC lấy điểm E F cho

EBF = 450 Đường thẳng BE, BF cắt AD CD M N MF NE cắt H,

BH cắt MN I

a.Chứng minh AB = BI

(54)

DAYHOCTOAN.VN 54 Cho tứ giác ABCD Lấy điểm M tùy ý cạnh AB xác định điểm N cạnh DC cho MN chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích

Bài 5: (2,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình:

7 1  

y x HƯỚNG DẴN GIẢI

2 a) Ta có x5 + y5 = ( x5 + x2y3 + x3y2 + y5 ) – ( x2y3 +x3y2) = (x3 + y3) (x2 +y2 ) – x2y2(x+y)

Vì x+ y =  x5+y5 = ( x2 – xy +y2)(x2 + y2) – x2y2 = ( x2 + 2xy + y2 – 3xy)(x2 + y2 + 2xy –2xy)

– x2y2 =

xy ) y x

(   (x +y )2 – 2xy - x2 y2 = ( 1- 3xy)(1-2xy) – x2y2

x5 + y5 = 5(xy)2 – 5(xy) +  5(xy)2 – 5(xy) + = 11 xy = 2(xy)2 – (xy) – 10 =  xy = -1

Với xy = -1 ta có hệ phương trình x + y = xy = -1

 ( x,y) = (

2 1 ;

2

1 ) (

5 1 ;

2

1 ) Với xy = ta có hệ phương trình x + y

= xy = 2( vơ nghiệm)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (

2 1 ;

2

1 ) (

5 1 ;

2 1 )

b) Đặt x 3 a, 63  x b. Tìm x = nghiệm

3 a) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: a b abc

 

16 Áp dụng BĐT Côsi x + y  2 xy ta có ( a + b) + c  2 (a b c )

  2 (a b c )   4( a + b)c nhân hai vế với a + b > ta được: A + b  4(a + b)2c mà ta chứng minh (a + b)2  4ab

Do a + b  4(4ab)c hay a + b  16abc từ suy đpcm

Theo kết câu 3.1, ta có: 2  2  

a b c  a b c  a b c mà a b c  1 (giả thiết) nên: 4 a b c     b c 4a b c  2 (vì a, b, c khơng âm nên b + c không âm)

Nhưng:  2

b c  bc (không âm)Suy ra: b c 16abc Dấu đẳng thức xảy khi: 1,

4

a b c

b c a

b c

  

   

 



b) Ta có : x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + =

x3 + 3x2 + 3x +1 + y3 + 3y2 + 3y + + x + y + = 0(x + 1)3 + (y + 1)3 + (x + y + 2) =

(x + y + 2)[(x + 1)2 – (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 1] = (*)

  2    2   1  3 2

V x – x y y 1= 1 1

2

ì        x  y   y  

 

Nên (*) x + y + =  x + y = -

1

Ta c : ó M x y

x y xy xy

 

    x y2 4xy 4xy 1 2

xy xy



         Vậy MaxM = -2 x = y = -1 1) Ta có : EBN = ECN = 450  Tứ giác BCNE nội tiếp  BEN = 900 tương tự tứ giác ABFM nội tiếp

(55)

DAYHOCTOAN.VN 55 A

M

E B

C N

D F

Tứ giác ABFM nội tiếp  ABM =AFM(cùng chắn cung AM)

Tứ giác BEHF nội tiếp  EFH =EBH (Cùng chắn cung EH)

Do ABM = MBI   BAM =  BIM ( t/h đặc biệt )  AB = BI Ta có  AMB =  IMB  AM = IM,  INB =  CNB  CN = IN

 AM + CN = IM + IN MD + AM + CN + DN = MN + MD + DN  2a = MN + MD + DN Đặt DM = x ; DN = y  MN = 2

y

x   SMDN =

2

xy

2a = x + y + 2

y x 

SMDN lớn xy lớn nhất.Bài toán đưa xác định x, y thỏa mãn :

x+y + 2

y

x  =2a cho xy lớn Ta có x+ y  xy; 2

y

x   2xy Suy a = x + y + 2

y

x   xy + 2xy  2a  xy ( 2+ 2)  xy 

2

a

 = a ( - 2) xy  a

2 ( - 2)2 = a2(6 - 4 2) xy  2a2 ( - 2 2)

Do SMDN =

2 xy 

a2 ( - 2 2) Vậy Max S

MDN = a2 ( - 2) Khi x = y = a (2 - )

Vậy DM = DN = a (2 - 2)  MDN có diện tích lớn Max SMDN = a2 ( - 2)

2)

y

Qua A vẽ Ax //MD, Ax cắt DC F,

Qua B vẽ By //MC, By cắt DC E Chứng minh SABCD = SMEF

Lấy N trung điểm EF, MN chia tam giác MEF thành hai hình có diện tích chia tứ giác ABCD hai phần có diện tích Nếu N thuộc đoạn thẳng DC, tức SAMD < 1/2SABCD SBMC < 1/2 SABCD

5 Điều kiện x0;y0xy0 Khi đó:

      

7 49

49 7 49

7 7

0 7

1 1

   

        

     

x y

y x x

x y

y x xy y

(56)

y

7 49

7   

    

 Z x

x Z y

Z ước 49     

49

56 ; 14 ; ; ; ; 42

7

  

     

  

x

x x

x

Các nghiệm nguyên dương phương trình là:   x;y 8;56 ; 14;1456;8

Đề 12 Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức:P =

    

  

       

  

   

a a a a

a a a

a

1 1

2

3 a) Rút gọn P

b) Xét dấu biểu thức P 1a

Bài 2: (5,0 điểm)

a) Giải phương trình: x2 2x1 x24x4 =

2006 2005 2006

2005 2005

1 2

2

2  



b) Tìm nghiệm nguyên hệ phương trình

  

  

3

3 3

z y x

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn x  y  z 3z - 3x2 = z2 = 16 - 4y2

Tìm giá trị lớn biểu thức : zy + yz + zx

b) Cho tam giác ABC có cạnh a,b,c chu vi 2p =a+ b + c Chứng minh :

a p

1

+

b p

1 +

c p

1

 (

a

1 +

b

1 +

c

1 )

Bài 4.(5,0 điểm)

Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O Gọi I điểm cung nhỏ AB (I không trùng với A B) Gọi M, N, P theo thứ tự hình chiếu I đường thẳng BC, CA AB

a) Chứng minh M, N, P thẳng hàng

b) Xác định vị trí I để đoạn MN có độ dài lớn

c) Gọi E, F, G theo thứ tự tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC, CA AB Kẻ EQ vng góc với GF Chứng minh QE phân giác góc BQC

Bài 5: (2,0 điểm)

Ở miền hình vng ABCD lấy điểm M cho 15  



MBA MAB

Chứng minh : Tam giác MCD

HƯỚNG DẴN GIẢI a) PT đưa về: x1 x2 2006  *

Xét trường hợp * Trường hợp 1: Nếu x<1 PT  

2 2003 2006

2

*   x  x (thỏa mãn) * Trường hợp 2: Nếu 0x<2 PT * 0x12006 (PT vô nghiệm)

* Trường hợp 3: Nếu x2 PT  

2 2009 2006

3

(57)

DAYHOCTOAN.VN 57 N M P O B C A I

Kết luận: PT có nghiệm ; 2003 

x

2 2009 

x

b) Ta có đẳng thức (x + y + z)3 – ( x3 + y3 + z3 ) = 3(x + y) (y + z)(z + x) nên (x + y) (y + z)(z + x) =

Đặt c = x + y, a = y + z , b = z + x abc = a,b,c { 1, 2, 4, 8 } Giả sử x  y  z c  b  a Ta có a + b + c = ( x + y + z ) = nên a 

Với a = ta có

4              z y x c b bc c b

Với a = ta có

      2 bc c b

Khơng có nghiệm ngun

Với a = ta có 5,

1                 z y x c b bc c b

Vậy hệ có nghiệm (1 ;1 ;1) ,(4 ;4 ;-5) (4 ;-5 ;4) (-5 ;4 ;4)

3 a) * Tìm giá trị lớn của: xy + yz + zx Từ giả thiết ta có: y2 =

4 z -16

, x2 =

3 z -32

Vì y z 

z -16 

z2  5t2  16z 

5

(1)Mặt khác x2 - 3y2 = 0

12 16 -5t 3t -48 -3 z

-16 2  

 x2  3y2  x  3y (2) Từ  x y 3y

 Ta có: xz =  2

2 z z 3

3  

      

z x y

x

và yz  2 z

1 

 y  xy + yz + zx  3y2 +  2  2 z z    y y = 2 16 2

3 z z

                     

= 2 

8 3

3 z

          16 32 16 3

6   

        

Dấu đẳng thức sảy x =

4 , y = z =

Vậy giá trị lớn biểu thức xy + yz + zx

16

32  đạt  

         , , z y; x;

b, ta có:

2 

  

a b c a

P ,

2 

  

b a c b

P ,

2 

  

c b a c P

áp dụng bất đẳng thức: x, y>0 ta có:

y x y

x  

4 1 , c b a p b p a p 4 1       

Tương tự ta có: 1 1)

( ) 1 ( c b a c p b p a

p       

Dấu “ =” xảy khi: a=b=c

4 a) Từ giả thiết có IPAINA180 Tứ giác IPAN nội tiếp IPN IAN (1) (cùng chắn cung IN)

(58)

DAYHOCTOAN.VN 58 Từ (2) (3) MPI CAI (4)Từ (4) (1) MPI IPN CAI IAN 180

Vậy M , P , N thẳng hàng b) Theo chứng minh ta có

(5)

IBAIMN (góc nội tiếp chắn cung IP đường tròn qua điểm I , B , M , P)

(6)

INM IAB (góc nội tiếp chắn cung IP đường tròpn qua điểm I , N , A , P)

Từ (5) (6)  IMN IBA MN IM IN MN AB BA IB IA

     

Dấu "=" xảy M B IAC IBC 90 CI N A

 

    



 đường kính  O Vậy MN nhỏ

bằng AB  I đối xứng với C qua O

c) Gọi B' , C' hình chiếu B C GF

Chứng minh B GB' C FC' (7) , suy BB G' CC F' ( )g g

'

(8) '

BB BG

CC CF

  Lại có ' (9)

'

BG BE B Q CF CEQC

Từ (8) (9) suy ' ' ' ' BB B Q

CC QC (10) Từ (7) (10)  BB Q' CC Q c g c' ( )BQB'CQC'BQECQE

Vậy QE phân giác góc BQC

5 Xác định điểm I tam giác MDA cho tam giác MIA tam giác Ta có IAD=900-150-600=150= MAB, AB=AD AM=AI

 AID= AMB  AID = AMB=1500  MID=3600-1500-600=1500

Xét IDM IDAcó ID chung; MID=AID=1500, IA=IM (do AIM đều)

 IDM=IDA AD=DM =DC (1)

Mặt khácDAM=CBM (vì BC=AD ;MB=MA;CBM=DAM)

 MC=MD (2) từ (1) (2) ta có DMC

Đề 13 Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức:

   

 

        

 

 1

x 1

1 x

2 x 2 x

1 x 2 x x

3) x 3(x P a/ Rút gọn P

b/ Tìm giá trị x nguyên để P nguyên ; c/ Tìm giá trị x để P x

Bài 2: (5,0 điểm) a) Giải hệ phương trình:

   

  

 



78 ) (

215

) (

2

b a ab

b a b

a

b) Giải phương trình:

x x x x x x

5

4

     Bài 3: (4,0 điểm)

a Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn:

3    y z

x Chứng minh

y x

1

 <1(1 1) xy z 

b Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác biết:abbcca8abc

C' B'

Q

B C

A

G

F

(59)

DAYHOCTOAN.VN 59 Chứng minh tam giác cho tam giác

Bài 4: (2,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: 7x2 + 13y2 = 1820

b) Cho x, y, z > 0, x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x)

Bài 5: (5,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa

đường trịn (O) đường kính AB Gọi C điểm nằm nửa đường trịn (O) Từ C kẻ CH vng góc với AB HAB Gọi M, N hình chiếu H lên AC CB

a) Chứng minh rằng: OC vng góc với MN;

b) Qua A kẻ đường thẳng d vng góc với AB Tiếp tuyến với (O) điểm C cắt đường thẳng d K Chứng minh rằng: BK; CH; MN đồng quy

HƯỚNG DẴN GIẢI a) Đặt (ab)2 x;ab y(x0)

Hpt                                  19 215 78 215 78 ) ( 215 2 2 2 2 xy x y x y xy y x y x y y x                                                                                     3 2 3 ) ( 19 722 721 19 215 19 19 215 2 2 2 2 b a b a b a b a ab b a y x x x y x x x x y x x x x x y y x

b) Tập xác định : (*)

0           x x x x Pt x x x x x x x x x x x x x x 5

4  

                                            2 1 x x x x x x x x

So sánh với điều kiện (*)  x=2 nghiệm

3 a) Ta có: zxy2x2y2z22xyxzyz 2 2 22   0

yz xz xy z

y

x x,y,z

                            xy z y x xyz z x y xy yz xz z y x xy yz xz 1 1 1 1 1

1 2

b) abbcca8abca2bbc2 2abc  ac2ab22abc  b2ca2c2abc0

  2   2   20 ba c ab c c b a

Ta có: bac20 a,b,c abc20 a,b,c cba20 a,b,c mà a,b,c0

  2   2   20

ba c ab c c b a a,b,c

Dấu xảy            ) ( ) ( ) ( 2 c a b c b a b a

c abc Kết luận: Vậy tam giác có cạnh

(60)

DAYHOCTOAN.VN 60 a) Do 1820 13 13y2 13, x y số nguyên nên ta cần có 7x2 13  x2 13  x 13 (vì 13 số nguyên tố) x = 13m với m  Z

Tương tự 1820 7x2 7, x y số nguyên nên ta cần có 13y2 7  y2 7  y

(vì số nguyên tố) y = 7n với n  Z

Khi phương trình cho trở thành: 7(13m)2 + 13(7n)2 = 1820  13m2 + 7n2 = 20  13m2 20  m2 m

m

 

   

, (vì m  Z) + Nếu m 0 7n2 20 n2 20 Z

7

      (loại)

+ Nếu 2 x 13

m 13 7n 20 n n

y

  

         

  

Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên (-13; -7) (-13; 7), (13; -7) (13; 7) b) x, y, z > 0, x + y + z = áp dụng BDT côsi cho số dương : xyz (1)

27 3

3

           

   

 x y z

Tương tự     (2)

27

2

3

          

     

  

 y y z z x x y y z z x

x

Từ (1),(2)

729 ) )( )(

(    

xyz x y y z z x Vậy giá trị lớn biểu thức

729

x = y = z =

3

a) ACB = 90o (vì OA = OC = OB)

b) CMH = 90o (gt) CNH = 90o (gt) => CMHN hình chữ nhật => C

1 = M1

Mà CAO = ACO (OA = OC nên tam giác ACO cân)CAO + C1 = 90o

Cho nên ACO + M1 = 90o Gọi E giao OC MN ta có CEM = 90o

Hay OC vng góc MN (đpcm)

b) Ta có KA = KC (tính chất tiếp tuyến) Kéo dài BC cắt d W Ta có WCA = 90o

Mà: KAC + AWC = 90oKCA + WCK = 90o KCA = KAC (lý KC = KA)=> KWC = WCK => KC = KW Vậy WK = KA = KC Hay K trung điểm AWI giao CH MN CMHN hình nhữ nhật, I trung điểm CH

Mặt khác WA // CH (cùng vng góc với AB); giả sử BI cắt WA K'

áp dụng talet: WK K K K

A K

WK IH

CI     

' '

' ¦ '

' ¦

Vậy BI qua trung điểm K AW Hay KB; CH; MN đồng quy

Đề 14

Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức : P =    

 

    

  

 



x x

x : 1

a) Rút gọn P b) Tính giá trị P biết x =

3

(61)

DAYHOCTOAN.VN 61 c) Tìm giá trị x thỏa mãn : P x6 x 3 x4

Bài 2: (5,0 điểm) a) Giải hệ:  

            65 185 2 2 2 2 y x y xy x y x y xy x

b) Giải phương trình:

2

2 2

x x x x

   

 

   

Bài 3: (4,0 điểm) a) Cho a , b, c, d > Chứng minh : < c b a a 

 + b c d

b



 + c d a c



 + d a b d



 < b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P=

c b a c b c a b a c b a         16

4 Với a, b, c độ dài cạnh tam giác

Bài 4: (5,0 điểm) Cho ABC có góc nhọn bên ngồi tam giác vẽ hai nửa đường trịn có đ-ường kính AB AC Một đđ-ường thẳng d quay quanh A cắt hai nửa đđ-ường tròn M N (khác A)

a) Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định

b) Giả sử ABC cân A Xác định vị trí đường thẳng d để diện tích tứ giác BCNM lớn

Bài 5: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH 10cm, đường cao BK 12cm Tính độ dài cạnh tam giác ABC

2 a) Giải hệ:  

              ) 22 ( 65 ) 21 ( 185 2 2 2 2 y x y xy x y x y xy x

Lấy (21) + (22): x2 y2 x2 y2 125 x2 y2 5 thay vào (21) xy12 Từ ta có hệ:

                24 25 2 y x y x xy y x

Từ ta có hệ pt:

a)        y x y x b)         y x y x c)         y x y x d)          y x y x

Vậy hệ cho có nghiệm:       x,y 4,3; 3;4; 3;4 ; 4,3  a) Ta ln có :

d c b a a  

 < a b c a



 < ( )

áp dụng tính chất tỉ số ta có :

c b a

a



 < a b c d d a     (2) Từ (1) (2) ta có :

d c b a a  

 < a b c a



 < a b c d d a     Tương tự ta có :

d c b a b  

 < b c d b



(62)

DAYHOCTOAN.VN 62 d c b a c  

 < c d a c



 < a b c d b c     ; d c b a d  

 < d a b d



 < a b c d c d     Cộng vế theo vế bất đẳng thức kép ta :

d c b a d c b a       < c b a a 

 + b c d

b



 + c d a c



 + d a b d



 < a b c d d c b a       ) ( Vậy <

c b a

a



 + b c d

b



 + c d a c



 + d a b d



 < (đpcm) b) Đặt b+c-a=2x; a+c-b =2y; a+b-c=2z

x, y, z >0 a= y+z b= x+z c= x+y 2P =

z y x y x z x z y      16

4 = 

                      z y y z z x x z y x x y 16 16 52 24 16

12  

  P 26

Dấu "=" xảy



x y

; 2

x z ;  y z 

3x=4y=6z; x=2; y=3; z=  a=7; b =6; c=5 a) Ta có AMB =90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) (1)

ANC = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

CN BM MN NC MN BM //      

 (2)

Từ (1) (2) suy ra: Tứ giác BMNC hình thang vng

Gọi d' trung trực MN => d' đường trung bình hình thang vng BMNC => d ln

qua điểm cố định k (k trung điểm BC) b) Xác định vị trí d để diện tích BCMN lớn

Vẽ BD NC,DCN,MN BDBC=> Max MN = BC

d d ' K D P N A B C M

Ta có SBCNM=SABC + SABM + SACN => max SBCNM <=> ( SABM+ SACN) max

<=> 1/2(BM.MA+CN.NA) max (1)

mà 1/2(BM.MA+CN.NA) 1/4(BM2+MA2+CN2+NA2) =1/4(AB2+AC2) =

2

a

( AB=AC=a) Không đổi => maxSBCNM = SABC +

2

a

(63)

K

H A

B C

<=>

NC= AN M điểm nửa đường trịn đường kính AB

<=>

N điểm nửa đường trịn đường kính AC Vậy d qua M N xác định nh SBCNM max

5. Đặt AC = AB = x, BC = y

Ta có: tam giác AHC đồng dạng với tam giác BKC ( có góc nhọn C chung) nên:

AH BK

AC  BC

Hay AH.BC = BK.AC Vậy: 5y = 6x (1)

 Mặt khác: tam giác AHC vng H ta có:

2 2

AC AH HC

Hay

2 2 y

x 10

2      

  (2)

 Từ (1) (2) ta suy ra: x = 25

2 , y = 15 Vậy: AB = AC = 25

2 cm, BC = 15cm

Đề 15

Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức :P= :

2

x x x

x

x x x x

    

 

   

      

   

a) Tìm giá trị x để P xác định b) Rút gọn P

c) Tìm x cho P>1

Bài 2: (5 điểm)

Giải hệ phương trình: 2 2 y

x xy y x y

x y x y

      

     



b) Giải phương trình: 3

1

x x

    

 

   

(64)

DAYHOCTOAN.VN 64 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức

x2 + xy + y2 = x2y2

Bài 4: (2 điểm)

Cho số x, y, z, t Thoả mãn (x+y)(z+t)+xy+88 =

Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 + 9y2 + 6z2 + 24t2

Bài 5: (6 điểm) Cho đường tròn (O; R) điểm A ngồi đường trịn Từ điểm M di động đường thẳng d OA A, vẽ tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Dây BC cắt OM OA H K

a) Chứng minh OA.OK khơng đổi, từ suy BC qua điểm cố định b) Chứng minh H di động đường tròn cố định

c) Cho biết OA = 2R, xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ Tìm giá trị nhỏ

HƯỚNG DẴN GIẢI a)

2

4

( 1)

( 2)( 1)

4

1

x=

va 13

5

x xy y x y

x y x y

y x y x x

x y x y

y x y x

x y x y

y x

x y x y

y x

x y x y

      

 

    



      

  

    



    

  

    



    

    

 

     

      

     

  

     

1 y=1

   

 

 

 

 

Vậy hệ phương trình có nghiệm: (1; 1); 4; -13 5

 

 

 

3 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức x2 + xy + y2 = x2y2

*Với x y ta có:

2 2 2

4

x y x

x y y

 

 

 

(65)

DAYHOCTOAN.VN 65 * Vậy x y

- Với x =2 thay vào phương trình ta + 2y + y2 = 4y2

hay 3y2-2y -4 =0  Phương trình khơng có nghiệm ngun - Với x =-2 thay vào phương trình ta - 2y + y2 = 4y2

hay 3y2+2y -4 =0  Phương trình khơng có nghiệm ngun - Với x =1 thay vào phương trình ta + y + y2 = y2 hay y = -1

- Với x =-1 thay vào phương trình ta - y + y2 = y2

hay 1- y =  y =1

- Với x = thay vào phương trình ta y =0

Thử lại ta phương trình có nghiệm ngun (x, y) là: (0; 0); (1, -1); (-1, 1)

4 Cho số x, y, z, t Thoả mãn (x+y)(z+t)+xy+88=0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

A = x2 + 9y2 + 6z2 + 24t2 Ta có: (x + y)(z + t) + xy + 88 = <=> 4(x + y)(z + t) + 4xy + 352 = =>A + 4(x + y)(z + t) + 4xy =

=x2 + 9y2 + 6z2 + 24t2 + 4xz + 4xt + 4xy + 4yz + 4yt =

=x2 + 4x(y + z + t) + 4(z + y + t)2 + 4y2 - 4yz + z2 + z2- 8zt +16t2 + y2- 4yt + 4t2 = =[x + 2(z + y + t)]2 + (2y - z)2 + (z - 4t)2 + (y - 2t)2 0

A352

Dấu bất đẳng thức xảy ra: 2y – z =

z - 4t = <=> y - 2t =

x + 2y + 2z + 2t =

(x + y)(z + t)+ xy + 88 =

=> (x; y; z; t) (14; -2; -4; -1) (-14; 2; 4; 1)

a) Dễ thấy OM  BC HOK AOM =>

OM OK OA

OH

 => OA.OK = OH.OM (1) Xét BOM vuông B nên : OB2 = OH.OM (2)

Từ (1) (2) suy A OK = R2 (không đổi)

=>

OA R OK

2

 (không đổi) K cố định OA b)

Ta có OHK = 900 => H nằm đường tròn đường kính OK cố định

(66)

DAYHOCTOAN.VN 66 Tứ giác MBOC có hai đường chéo vng góc nên SMBOC =

2

OM.BC => S nhỏ  OM nhỏ BC nhỏ

+ OM nhỏ  M trùng với A

+ BC nhỏ  BC  OK  H trùng với K  M trùng với A Nếu OA = 2R thì:

2

R R R

OK   ; BC = BK =

2

R R

R  

Vậy SMBOC =

2

2R 3

R

R 

Đề 16 Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức:

3

6 3

3 3

3

x x x

A x

x x x

x

 

   

    

  



  

b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

Bài 2: (5 điểm)

a) Giải hệ phương trình:

3 3 2

x y z 16 (1)

x y z (2)

x y z 2 (3)

   

   



    

b) Giải phương trình x2 263 x x3 8 (1)

Bài 3: (4 điểm)

a) Tìm cặp số nguyên dương (x; y) cho

1 2

4  

y x

x

là số nguyên dương

b) Cho x, y , z số dương thoả mãn xyz  x + y + z + tìm giá trị lớn x + y + z

Bài 4: (2 điểm)Cho số dương a,b,c thoả mãn điều kiện abc = Chứng minh rằng:

1

5 5 5

ab bc ca

a b ab b c bc c a ca

  

     

Bài 5: (5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) đường thẳng d không qua O cắt đường tròn (O) hai điểm A B Từ điểm M tùy ý đường thẳng d ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN MP với đường tròn (O) (M, N hai tiếp điểm)

a) Chứng minh 2

MN MP MA MB

b) Dựng vị trí điểm M đường thẳng d cho tứ giác MNOP hình vng

c) Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP chạy hai đường cố định M di động đường thẳng d

(67)

DAYHOCTOAN.VN 67 1.a) Ta có: 3x2 3x 4  3x12 3 0;1 3x   0, x 0, nên điều kiện để A có nghĩa

 3    4

3 3 0,

3

x   x x x  x  x    x

   

3

1

6

3

x

x x

A x

x x x

x

   



  

    

  

   

  

 

6  3  3 3  3

x x x

A x x x

x x x

    

 

   

    

 

 4  3 1 3

x x

A x x

x x x

   

 

  

    

 

 

2

3

x A

x

 

 (

4

3

x

  )

b)      

2

3 2 1

3

3 3

x x x

A x

x x x

    

   

  

Với x0, để A số nguyên 3 3 3

x x

           

 

 (vìx x0).Khi đó: A4

2 a) + Từ (3): x + y + z = 2  3

x y z 16

   

+ Từ (1) (3) ta có:  3  3 3 3

y z x y z

     

Biến đổi tương đương ta đưa được: 3(x + y)(y + z)(x + z) =

+ Xét x + y = thay vào (3) ta z = 2 , thay vào (2) x = 0; y = Do ta (x ; y; z) = (0 ; 0; 2 )

Xét y + z = 0, giải tương tự ta được: (x ; y: z) = (2 ; 0; 0) Xét z + x = 0, giải tương tự ta được: (x ; y: z) = (0; 2 ; 0)

+ Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y; z) = (0 ; 0; 2 ) ; (2 ; 0; 0) ; (0; 2 ; 0) b) Ta nhận thấy x = nghiệm PT (1)

Với 0x1 thì: x2263 x x3312 263 1 138 Nên PT vô nghiệm với

x 0 

Với x >1 Thì: x2 263 x  x3 3 12 263 1 138

Nên PT vô nghiệm với x >1 Vậy PT (1) có nghiệm x =

3 a) áp dụng BĐT Cautry cho ba số dương x, y, z Ta có x + y +z 33 xyz Biến đổi ( x + y + z)3  27(x + y + z +2 ) Đặt T = x + y + z >

Biến đổi ( T - 6) ( T + 3)2   T  Tìm GTNN T = x = y = z =2

b) Đặt

1 2

4  

y x

x

= a Với a số nguyên dương x4 + = a(x2y + 1)  x2(x2- ay) = a - (1)

Xét trường hợp sau : TH1: Nếu a = từ (1) ta có : x2(x2- y) = - 1

  

  



1

y x



  

 

2 y

x TH2: Nếu a=2 từ (1) có x2(x2- 2y)=0, suy x2 =2y nên có x= 2k, y=2k2 với k số nguyên

dương

TH3: Nếu a > từ (1), có a – > (a – 2) chia hết cho x2 nên a –  x2 a  x2 + > x2

(68)

DAYHOCTOAN.VN 68 Vậy: Cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn đề : (1; 2) (2k; 2k2) với k số nguyên

dương

4 Ta có a5 + b5 = (a + b)(a4 - a3b + a2b2 – ab3 +b4 ) =(a + b)[(a - b)2(a2 + ab + b2) + a2b2) Do (a - b) 2  0; a,b,c > 0, nên (a - b) (a + ab + b ) 2 2 

Suy a5b5a b2 2a b  Đẳng thức sảy a = b

Do đó:

     

1

2

5 1

ab ab c

ab a b ab a b c a b c

a b a b ab

a b ab

   

     

 

  (1)( có abc =1)

Chứng minh tương tự tacó

5

a b

bc

a b c c bc  

  (2) 5

b

ca

a b c c a ca   (3)

Cộng vế (1); (2); (3) ta có

5 5 5

a b c a b c

ab bc ca

a b ab b c bc c a ca

    

  

     

Dấu “=” xảy a = b = c =

a) Ta có: MN = MP (Tính chất tiếp tuyến cắt nhau)

Chứng minh tam giác MAN MNB đồng dạng

Suy ra: 2

MA MN

MN MP MA MB

MN  MB   

b) Để MNOP hình vng đường chéo OM ON R

Dựng điểm M: Ta dựng hình vng OACD, dựng đường trịn tâm O qua điểm D, cắt (d) M Chứng minh: Từ M vẽ tiếp tuyến MN MP Ta có 2

MN  MO ON R, nên Tam giác ONM vuông cân N Tương tự, tam giác OPM vng cân P Do MNOP hình vng

Bài tốn ln có nghiệm hình OM R 2R

c) + Ta có: MN MP tiếp tuyến (O), nên MNOP tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM Tâm trung điểm H OM Suy tam giác cân MPQ nội tiếp đường trịn đường kính OM, tâm H

+ Kẻ OEAB, E trung điểm AB (cố định) Kẻ HL( )d HL // OE, nên HL đường

trung bình tam giác OEM, suy ra:

(69)

DAYHOCTOAN.VN 69 + Do đó, M động (d) H ln cách dều (d) đoạn khơng đổi, nên H chạy đường thẳng (d') // (d) (d') qua trung điểm đoạn OE

Đề 17

Bài 1: (4 điểm)Cho biểu thức: A = 

  

  

     

    

  

 

 

1 1

1 : 1

1

xy x xy

x xy xy

x

a Rút gọn biểu thức b Cho  6

y

x Tìm Max A

Bài 2: (5 điểm)a) Giải hệ phương trình

     

  

1

y z

x

x z y

z y x

b) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn xyz2006

2006 1 1  

z y x Chứng minh ba số x, y, z 2006 Áp dụng giải phương trình sau: 1 1

2x1x1 x22x2

Bài 3: (2 điểm)Cho x, y, z > thoả mãn: x + y + z = Tìm GTNN P =

2 2

x y z

yz  zx xy

Bài 4: (4 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên x2y2-x2 -8y2 = 2xy (1)

b) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình m x   m y 1   (m tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) lớn

Bài 5: (5 điểm)

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định H điểm thuộc đoạn OB cho

HB = 2HO Kẻ dây CD vng góc với AB H Gọi E điểm di động cung nhỏ CB cho E không trùng với C B Nối A với E cắt CD I

a/ Chứng minh AD2 = AI.AE

b/ Tính AI.AE – HA.HB theo R

c/ Xác định vị trí điểm E để khoảng cách từ H đến tâm đường tròn ngoại tiếp DIE ngắn

HƯỚNG DẴN GIẢI a) Đk : x  0; y  0; x.y 

Quy đồng rút gọn ta được: A = y x. b)  6  9

y x A y

x  Max A = 

1

1      y x y

(70)

DAYHOCTOAN.VN 70 a) TXĐ: x, y, z 

4

Nhân vế phương trình với ta

có:                ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 y z x x z y z y x

Cộng (1), (2), (3) vế ta có:  4x11 2  4y11 2  4z112 0

            1 1 1 z y x              2 z y x

Thử lại ta thấy thoả mãn Vậy x = y = z =

nghiệm hệ b) Từ giả thiết ta có:

z y x z y

x    

1 1 1 1        z y x z y

x     0

      z y x z z z y x xy y x

   0

          z y x z xy y

x xyxzyz0 

           0 z y z x y x          2006 2006 2006 x y z

Kết luận: Vậy ba số x, y, z 2006 * Đặt a = 2x + 1, b = x - 1, c = - x-  a + b + c = 2x - Phương trình (*) trở thành 1 1

a  b c a b c  theo kết câu a ta có a b b c c a     0

 a + b = 2x     1 x x 0( /t m)

hoặc b + c =     x x ( vơ lí) a + c = 2x        1 x x x ( loại) Vậy phương trình có nghiệm là: x =

3 Vì x, y, z > ta có: áp dụng BĐT Cơsi số dương x

y z

yz

ta được:

2

4

x y z x y z x

x

y z y z

 

   

  (1) Tương tự ta có:

2

(2) (3)

4

y x z z x y

y v z

x z x y

 

   

 

Cộng (1) + (2) + (3) ta được:

 

2 2

1

2

x y z x y x x y z

x y z P x xy z y z z x x y

                

    

(71)

Dấu “=” xảy

3 x y z

    Vậy P =

3

x y z

   

4 a) Nhận thấy x=y=0 nghiệm Với x,y0

(1) <=> y2 ( x2- 7)= (x+y)2 (2) x2 – phải bình phương số nguyên

Hay: x2 – = a2 x2 – a2 = 7(x  a)(x  a)7

4

1 x a

x x

x a

  



     

 



Thay x =- 4, ta được: y=1; y=-2 Thay x = 4, ta được: y= 1; y=2

Vậy phương trình có nghiệm nguyên là: (0; 0); (-4; 1); ( -4; -2); (4; 1); (4; 2) b) Với m, đường thẳng (d) không qua gốc toạ độ O(0; 0)

 m = 4, ta có đường thẳng y = 1, khoảng cách từ O đến (d) (1)  m = 3, ta có đường thẳng x = -1, khoảng cách từ O đến (d) (2)  m  4, m  (d) cắt trục Oy, Ox tại: A 0;

m

 

  

 

1

B ;

m

 

  

 

Hạ OH vng góc với AB, tam giác vng AOB, ta có: 1

OA , OB

m m

 

 

  2 2 2

2 2

1 1 1

m m 2m 14m 25 m

OH OA OB 2

 

              

 

Suy

OH  2 OH (3)

Từ (1), (2), (3) ta có GTLN OH 2, đạt m =7

2 Kết luận: m =

a/ AD2 = AE.AI

2

( )

( ,

AD AH AB htl

AE AI AH AB AIH ABE

 

 

  

 đồng dạng) b/ Ta có AI.AE –HA.HB = AD2 – HD2 = AH2 = ( OA+OH)2 =( R+

3

R

)2 = 16

9

R

c/ Kẻ DxDI D cắt EB kéo dài FTứ giác DIEF nội tiếp (tổng hai góc đối = 1800)

 đường tròn ngoại tiếp DIE trùng với đường tròn ngoại tiếp tứ giác DIEF có đường kính IF

Gọi K giao điểm IF BD  K tâm đường tròn ngoại tiếp DIE

HK ngắn HKBDK  KD =

3

R

Egiao điểm (O;R) với ( K;

3

R

) ( E  cung nhỏ BC đường tròn tâm O )

Đề 18

Bài 1: (4 điểm)Cho biểu thức A = :

1 1

x x x

x x x x x

   

 

 

     

(72)

DAYHOCTOAN.VN 72 a) Rút gọn biểu thức A

b) Chứng minh rằng: < A <

Bài 2: (5 điểm)a) Giải hệ phương trình:

3

9 27 27

y x x

z y y

x z z

    



   



    



b) Giải phương trình: x3 – 3x2 + 9x – =

Bài 3: (2 điểm)Giả sử x, y số dương thoả mãn đẳng thức: xy  10

Tìm giá trị x y để biểu thức: P (x41)(y4 1) đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ

Bài 4: (4 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3 + y3 + 6xy = 21

b) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 4 3

a b c a b c

Bài 5: (6 điểm)

1 Cho đường trịn tâm O, đường kính BC = 2R Từ điểm P tia tiếp tuyến đường tròn B, vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A tiếp điểm) với đường trịn Gọi H hình chiếu A lên BC, E giao điểm PC AH

a) Chứng minh E trung điểm AH b) Tính AH theo R khoảng cách d = PO

2 Cho hình thang vng ABCD ( A = D = 900) DC = AB Gọi H hình chiếu D

trên đường chéo AC M trung điểm đoạn HC Chứng minh BM MD HƯỚNG DẴN GIẢI

1 a) với x0,x1 Ta có A =

  

2 1 2

:

2

1 1 1

         

  

 

         

 

x x x x x x x x

x x x x x x x x x

 2  2

1

  

  

x x

x x x

b) với x0,x1 ta ln có A > Lại có: 1 2

    

 

x x

x x hay A < Vậy < A <

2 a) Cộng vế phương trình ta được: (x + 3)2 + (y-3)2 + (z- 3)2 = (4) Mặt khác: (1)  9x2- 27x + 27 = y3= (

4 27 ) 2 

x >0 y> 0; tương tự : x > 0; z > a Xét x  từ (3)  9z2 – 27z = x3- 27  0 9z (z – 3)   z 

Tương tự y  Từ (4)  x = y= z =

b Xét < x < Từ (3)  9z2- 27z = x3 – 27 <  9z (z-3) <  z <

Từ (4)  hệ phương trình vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm (x= 3; y = 3; z = 3) b) x3 – 3x2 + 9x – = <=> 3x3 – 9x2 + 27x – 27 = <=> 3x3 = 9x2 – 27x + 27

2x3 = -x3 + 9x2 – 27x + 27 = (3 – x)3 => 3

3

4

1

x   

(73)

DAYHOCTOAN.VN 73 Đặt: t = xy, ta có: x2+ y2 = (x +y)2 – 2xy = 10 – 2t

x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2= (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2- 40t+ 100

Khi : P = t4 + 2t2- 40 t + 101= (t4 – 8t + 16) + 10 (t2- 4t + 4) + 45= (t2 – 4)2+ 10 (t – 2)2 + 45

Suy P  45 Đẳng thức xảy t = 2 x+y = 10 xy = Vậy giá trị nhỏ P P = 45 khi: (x,y) =

2 10 ;

2

10 

hoặc: 

  

 

  

2 10 ;

2 10

4 a)Đặt S = x + y ; P = xy => điều kiện cần để hệ có nghiệm S2 4P (*)

Phương trình cho tương đương với :S3 – SP + 6P = 21  S3 – 3SP + 6P – = 13

 ( S – ) ( S2 + 2S - 3P + ) = 13 (2) Xét nhân tử : M = S2 + 2S – 3P + = ( x + y ) 2 + 2(x + y ) – xy +

= x2 + y2 – xy + 2(x +y ) + =    2  2  0

2

1 2

 

  

y x y

x Vậy S – M ước số dương số nguyên tố 13 ta xét trường hợp sau :

TH1 :

  

   

 

   

 

   

 

2

3 13

4

1 2

y x P

S P

S S

S

  

 

1 y x

0,25đ TH2 :

  

   

 

   

 

86 15

4

13

2

P S P

S S

S vơ nghiệm khơng thoả mãn (*) Vậy phương trình có nghiệm nguyên ( ; ) ; ( ; ) 0,25đ

b) Với số thực x ta có :

2

3 2

( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

2

x x   x x   x x x   

 

 

 

Do đó: 4 3 3 3

( ) ( 1) ( 1) ( 1)

a b  c a  b c a a b b c c

3 3

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

a a b b c c a b c

            3

(a 1)(a 1) (b 1)(b 1) (c 1)(c 1)

         

Suy : 4 3

a b c a b c Hoặc: 3( 4 3

) 3( )

a b c  a b c

3( 4 3

) ( )( )

a b c  a b c a b c nhân vào khai triển rút gọn đưa BĐT

E

O P

C B

A

(74)

DAYHOCTOAN.VN 74 1) a) Ta có AH // PB (vì AH, PB vng góc với BC) EH CH

PB CB

  (1)

Lại có AC // PO (vì AC, PO vng góc với AB) nên hai tam giác vuông AHC PBO đồng dạng AH CH

PB BO   (2)

Mà CB = 2.BO nên AH = EH hay E trung điểm AH b) Ta có AH2 = HB HC = (2R – HC)HC

2 EH.CB EH.CB

AH 2R

PB PB

 

   

  =

AH.CB AH.CB

2R

2PB 2PB

  

 

 

2

4PB AH (4R.PB AH.2R).AH.2R

  

2 PB AH 2R PB R AH

  

 2

R PB AH 2R PB

   Mà 2

PB d R nên

2

2 2

2R

AH d R

d

 

2) Gọi N trung điểm DH

MN đường trung bình DHC =>MN =

2 DC MN//CD Mà AB =

2 CD ; AB//CD

=> MN =AB MN//AB => tứ giác ABMN hình bình hành => AN//BM Từ MN//AB mà AB AD => MN AD

=> N trực tâm AMD => AN MD AN//BM mà AN DM => BM DM

Đề 19

Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: A =  

y x

xy y

x : x y

y x

  

   

 

  



 3 3

a) Rút gọn A b) CM: A 

Bài 2: (5 điểm) a) Tìm x, y, z thỏa mãn hệ sau:

    

   

x z

z

z y

y

y x

x

3

2

3 3

b) Giải phương trình sau: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x

Bài 3: (2 điểm) Cho số dương a;b;c thỏa mãn a + b + c 

Chứng minh rằng: 2 12 2 2009 670

a b c ab bc ca

Bài 4: (3 điểm)

a) Giả sử a, b, c số thực thỏa mãn a, b, c  o     1 0 c b a c b

a

Chứng minh rằng: abc c

b a

c b a

  

 

3 3

(75)

DAYHOCTOAN.VN 75 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

A =

2 2

x y z

xy yz  zx với x > 0; y > 0; z > xy yz  zx 1

Bài 5: (6 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O;R ) Điểm M thuộc cung nhỏ BC gọi I,K,H theo thứ tự hình chiếu vng góc M AB; AC; BC Gọi P, Q trung điểm AB; HK

a) Chứng minh MQ  PQ b) Chứng minh :

MH BC MK

AC MI AB

 

c) Cho tam giác ABC Xác định vị trí điểm M cung BC để MA + MB + MC đạt giá trị lớn

HƯỚNG DẴN GIẢI a) ĐK:

    

  

y x y x

0

A =

y x

y xy x

: y x

y xy x

y x

  

   

 

  

 

 A =

y xy x

y x y

x

y xy x

xy y

x

 

 

 

 

 

A =

y xy x

xy  

b) Do: xy 0, 0

4

2

     

 

 



 xy y x y y

x => A = 0

  xy y x

xy

2 a) Biến đổi tương đương hệ ta có:

2

3

( 2)( 1) 2

3 ( 2)( 1) 2(2 ) ( 2)( 1) 3(2 )

x x y

y y z y y z

z z x z z x

    

    



         

 

         

 

Nhân vế phương trình với ta được:

(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2) (x - 2)(y - 2) (z - 2)(x1)2(y1)2(z1)2 6 =

(x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0.x = y = z =

Với x = y = z = thay vào hệ ta x = y = z = Vậy: với x = y = z = thỏa mãn hệ cho

b) Giải phương trình sau: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x <=> 9(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 24x

Đặt y = x + đặt y = x + Có nghiệm x = -9 Áp dụng (a + b + c)(1

a+

1

b +

1

c)  Ta có

2 2

2 2 2 2

1 2

( )( 2 )

( )

a b c ab bc ca

ab bc ca ab bc ca

(76)

DAYHOCTOAN.VN 76 => ab + bc + ca

2

( ) 2007 2007

3 669

3

a b c

ab bc ca

 

    

  (2) Từ (1) (2) ta có 2 12 2 2009 670

a b c ab bc ca  dấu = xảy a = b = c =

4 a) * a + b + c = => a + b = -c => (a + b)3 = -c 3 => a3 + b3 + c3 = -3ab(a + b) = 3abc

* 1

a b c => ab + bc + ca =

* a6 + b6 + c6 = (a3 )2 + (b3)2 + (c3)2 = (a3 + b3 + c3)2 – 2(a3b3 + b3c3 + c3a3)

* ab + bc + ca = => a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2

Do * a6 + b6 + c6 = (3abc)2 – 2.3a2b2c2 = 3a2b2c2 + Vậy:

6 6 2

3 3

a b c 3a b c

abc a b c 3abc

 

 

 

b) + Biến đổi để được:

A = x + y + z xy yz zx x y y z x z

 

   

  

  (1)

+ Chứng minh được: x + y + z  xy  yz  zx > (2) + Thay (2) (3) vào (1) A

2  Do đó: Min A = 1 x y z

2 xy yz zx

 

 

    

 

+ Vậy Amin = x y z

2   

5 a) Tứ giác MCKH nội tiếp  BCM = HKM = BAM; HMK = BCA = BMA  BMA HMK

Mặt khác MP, MQ trung tuyến củaBMA, HMK



MH MB MQ

MP

 BMH = PMQ  BMH PMQ

Mặt khác 0

BHM = 90  PQM = 90  PQ MQ b) Giả sử AC  AB ta có:

MK AK MI

AI MK

KC AK MI

BI AI MK

AC MI AB

     

 (1)

( Do MBI = MCK  cotg MBI = cotgMCK  ) MK

KC MI

BI

 Do C = A nªn cotgA = cotgC 1 1 

MH CH MI

AI

 ( 2) A = B nªn cotgA = cotgB 2  (3)

AK BH

MK  MH

c) Từ (1),(2) (3) suy

MH BC MH

BH MH CH MK

AC MI AB

 



(77)

MBD MAC BMDAMC DBM, CAM MB BD

MA AC

 

Tương tự ta có : MC CD

MA  AB Do

MB MC

MA MA 

Suy MA + MB + MC = 2MA  4R

Vậy max (MA + MB + MC) = 4R AM đường kính M trung điểm cung BC

Đề 20

Bài 1: (4 điểm) Cho biÓu thøc: 

  

 

        

 

  

 a

a

a a

a

M 2

1 1

2

a Tìm điều kiện biểu thức M có nghĩa

b Chøng minh biểu thức M không phụ thuộc vào a

Bài 2: (5 điểm) a) Giải phương trình :

2

3 5

4

x x x x

      

   

b) Giải hệ phương trình :

2

3

x x

y y

x x

y y

    



    

Bài 3: (4 điểm)

Ba số x;y;z thoả mản hệ thức : 1 23 6

z y

x Xét biểu thức :P= x+y

2+z3

a.Chứng minh rằng: Px+2y+3z-3? b.Tìm giá trị nhỏ P?

Bài 4: (5 điểm) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB tia tiếp tuyến Bx nửa đường

Trên tia Bx lấy điểm C, D (C: nằm B D) Các tia AC AD cắt đường tròn E F; hai dây AE BF cắt M Hai tia AF BE cắt N Chứng minh rằng:

a) MN // Bx

b) Tứ giác CDFE nội tiếp

Bài 5: (2 điểm)

Cho tam giác có số đo cạnh 6; 10 Tính khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến tâm đường tròn nội tiếp tam giác

1 §iỊu kiƯn:

  

  

1 a

0

a 2

1 1 2

1

1 1

a a a a a a a a a a a

M a a

a a a

   

              

            

     

Kết luận: biểu thức M không phụ thuộc vào a

(78)

DAYHOCTOAN.VN 78 y x y x y x y

x   

        

 3

2 2 (1) y x y x y x y

x   

        

 3 (2)

Cộng (1) (2) vế với vế ta được: 1                  y x y

x 20

                y x y x             y x y x                 3 y x y x

Từ (3) (2) ta có: 

          y x y x        y x y y (*)

vô nghiệm  hệ vô nghiệm

Từ (4) (2) ta có 

          y x y x        y x y

y2

;  

x y hệ có nghiệm x y1;

3 a) Xét nghiệm P=(x+y2+x3)= y2-2y+z3-3z+3=(y2-2y+1)+(z3-3x+2)=(y-1)2+(z-1)2(x+2)0do x+2>0)

Vậy Px+2y+3z-3

b) áp dụng BĐT Bu nhi a Cốp ski ta có (x+2y+3z)(1 3)

z y

x   =[(

2 2 ) ( ) (

) y z

x   ]

                          

 2

3 z y y  2 ) (                                z z y y x x =36

=> x+2y+3z36:66=>Px2y3z3633

Đẳng thức xảy khi:

3 2 1                         z y x z z y y x x z y x z y

Vạy giá trị nhỏ P=3 x=y=z=1 a) Trong tam giác ABN ta có:

(79)

A B

E C

D O F

I r

r

r 10

6

8

AEB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)<=> AE  BN (1)

AFB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)<=> BF  AN (2) Từ (1) (2) => M trực tâm tam giác ABN

=> MN  AB => MN //Bx (Vì vng góc với AB) b) Ta có: DFE + BFE = DFE + BAE = 900

BCA + BAC = BCA + BAE = 900=> DFE = BCA

Khi tứ giác CDFE ta có:DCE + DFE = DCE + BCA = 1800

=> Tứ giác CDEF tứ giác nội tiếp a) Ta có:BC2 = AB2 + AC2 102 = 62 + 82

 ABC vuông A, nên trung điểm O cạnh

huyền BC tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC,

D, E, F tiếp điểm đường tròn nội tiếp (I) cạnh BC, AC, AB, S, p, r diện tích,

nửa chu vi, bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC, ta có: S = pr  6.8 10.r

2

 

  r =

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: BD = BF, CD = CE, AE = AF

Suy ra: BD + CE + AF = p  BD + (CE + AE) = p

 BD + AC = p  BD = p – AC = p – b = 12 – = Do OD = OB – OD = – =

Theo định lý Pi-ta-go tam giác vng OID, ta có: OI2 = OD2 + ID2 = 12 + 22 =  OI = 5 Vậy OI = 5.

Đề 21

Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức M x y x y x y 2xy xy

1

       

     



   

(80)

DAYHOCTOAN.VN 80 a) Tìm điều kiện xác định M rút gọn biểu thức M

b) Tìm giá trị M với x 3 2

Bài 2: (5 điểm) a) Giải hệ phuơng trình:

1

2

3

x y x y

x y

  

  

   



   

b) Tìm (x;y) thoả mãn 2x y 4 y x4xy

Bài 3: (2 điểm) Cho a, b,c số thực dương Chứng minh rằng:

4 4

(1 ) (1 ) (1 ) 3(1 )

2

a b c abc

      



Bài 4: (4 điểm) a) Cho số không âm x y z, , thỏa mãn: x + y + z  Tìm giá trị lớn 2

1 1 3( )

A x  y  z  x y z b) Giải phương trình nghiệm nguyên

x2y2-x2 -8y2 = 2xy (1)

Bài 5: (5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) đường thẳng (d) không qua tâm O cắt đường tròn (O; R) hai điểm phân biệt A, B Điểm M chuyển động (d) nằm đường tròn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN MP tới đường tròn (O; R) (N, P hai tiếp điểm)

a) Chứng minh tứ giác MNOP nội tiếp đường tròn, xác định tâm đường trịn

b) Chứng minh MA.MB = MN2

c) Xác định vị trí điểm M cho tam giác MNP

d) Xác định quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP HƯỚNG DẴN GIẢI

2 a) + Đặt ĐKXĐ hệ

1

2

3

x y x y x y x y x y

  

  

   



  



(x+2y)(x+y+1)0 + Biến đổi phương trình

2

1 ( 1) ( )

2

2 ( 1)( )

x y x y x y x y

          

     

(x y 1)2 (x )y 2(x y 1)(x2 )y (x   y 1) (x )y 2   0 1 y2  0 y

+ Thay y = vào phương trình 3x + y = ta tìm đợc x = + Đối chiếu điều kiện kết luận nghiệm hệ (1; 1) b) + Điều kiên xác định: x  y  (*)

+ Đặt a x4;b y4 với a b số khơng âm điều kiện đề trở thành       

2 a 4 b b 4 a a 4 b 4

   

  

2

2 4

1

4

a b b a

a b

    

 

 

  2

2

1

4

b a

  

  2

4

2

4

b a

  

(81)

DAYHOCTOAN.VN 81 + Với a; b 2

4

1;

4

b a

b   a   Do từ (1) suy 2

4

1

4

b a

b  a   (2)

Giải (2) ta a = b = Do x = y =

+ Kiểm tra giá trị x, y thoả mãn điều kiện đề Vậy cặp số (8; 8) cặp số cần tìm Cho a, b,c số thực dương Chứng minh rằng: 4 4

(1 ) (1 ) (1 ) 3(1 )

2

a b c abc

      

 Áp dụng BĐT Cô-si cho số dương ta có:

4

4 4 3

1 1 1

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 )(1 )

a b c a b c

 

          

 

Ta chứng minh: 1 3 (1 )(1 )(1 ) (1 )

2

a b c abc

    

 (*)

Lại theo BĐT Cơ-si ta có: (1 1)(1 1)(1 1) 1 1 1 1

a b c a b c ab bc ca abc

          

3

3 3

3 1

1 (1 ) (1 )

2

( ) abc abc

abc abc abc

       



( abc+2 = abc+1+1 3 abc

 )

Vậy (*)được chứng minh BĐT cho với a,b,c>0

Đẳng thức xảy a=b=c=1 a) Cho số không âm x y z, , thỏa mãn: x + y + z 

Tìm giá trị lớn 2

1 1 3( )

A x  y  z  x y z Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xky, ta được:

2

1x  2x  (1 1)(1 x 2 )x  2(x1)

Tương tự: 2

1y  2y  (1 1)(1 y 2 )y  2(y1)

2

1z  2z  (1 1)(1 z 2 )z  2(z1) Bởi

2 2

1 1 3( )

2( 3) 2( ) 3( ) (3 2)( )

A x y x x y z

x y z x y z x y z x y z

        

              

 A  + ( - 2) (111)(x yz)  + ( - 2)3 = + (Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xky giả thiết x + y + z  )

Vậy giá trị lớn A : + 2, x = y = z = b) Nhận thấy x=y=0 nghiệm

Với x,y0

(1) <=> y2 ( x2- 7)= (x+y)2 (2)

(2) x2 – phải bình phương số nguyên

Hay: x2 – = a2 x2 – a2 = 7(x  a)(x  a)7 4

x a

x x

x a

  



     

 



(82)

DAYHOCTOAN.VN 82 (0; 0); (-4; 1); ( -4; -2); (4; 1); (4; 2)

5

a, b) Dễ

c) Tam giác MNP OM = 2R

d) Quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP đường thằng d’ song song với đường thẳng d (trừ điểm bên đường tròn)

Đề 22

Bài 1: (4 điểm) Cho biÓu thøc : 

  

 

 

 

   

1 :

) 1 (

x x

x x A

a.Rót gän biĨu thøc

b.TÝnh gi¸ trÞ cđa A x42

Bài 2: (5 điểm) a)

b) Giải hệ phương trình:

  

1 2 (1) (2) 3 (3)

x y

y z

z x

   

   



   



(I)

Bài 3: (4 điểm) a) Cho xyz = x + y + z =

Tìm GTNN B8 = x16 + y16 + z16

b) Cho a, b, c thoả mãn: a b c b c a c a b

c a b

       

Tính giá trị biểu thức: P = b c a

a b c

      

   

   

Bài 4: (5 điểm) Cho đường trịn (O) có đường kính AB = 2R điểm C thuộc đường trịn (C khác A, B) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt tia BE điểm F

(83)

DAYHOCTOAN.VN 83 3) Chứng minh CFD = OCB Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC tiếp tuyến đường tròn (O)

Bài 5: (2 điểm)

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là: BC = a, CA = b, AB = c chu vi tam giác 2P Chứng minh rằng: P P P

PaPbPc 

b) Nhân (1) (2) (3) ta có:[(x + 1)(y + 2)(z + 3)]2 = 36 (x + 1)(y + 2)(z + 3) = (x + 1)(y + 2)(z + 3) = -6 Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = hệ (I) là:

0 3

0 1

0 2

z z

x x

y y

    

    

 

     

Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = - hệ (I) là: 13 13 62

2

z z

x x

y y

             

 

       

Vậy nghiệm hệ (0 ; ; 0) (-2 ; -4 ; -6)

3 a) Ta có : (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 a,b,c a2 + b2 + c2 ab + ac + bc (1) áp dụng bất đẳng thức (1) ta có :

B8 = x16 + y16 + z16 = (x8)2 + (y8)2 + (z8)2 x8y8 + y8z8 + z8x8 B8  x8y8 + y8z8 + z8x8

 B8 (x4y4)2 + (y4z4)2 + (z4x4)2  x4y4 y4z4+ x4y4 z4x4 + y4z4 z4x4

 B8 x4y8z4 + x8y4z4 + x4y4z8 B8 (x2y4z2)2 + (x4y2z2)2 + (x2y2z4)2 x6y6z4 + x6y4z6 + x4y6z6

 B8 (x3y3z2)2 + (x2y3z3)2 + (x3y2z3)2  x5y6z5 + x6y5z5 + x5y5z6

(84)

DAYHOCTOAN.VN 84  B8min =  x = y = z =

b) Từ gt ta có a b c b c a c a b

c a b

          

suy a b c b c a c a b

c a b

       

Xét hai trường hợp * Nếu a + b + c =  a + b = -c b + c = - a c + a = -b

P = b c a

a b c

      

   

    =

a b b c c a

a b c

  

   

   

    =

( c)

a



.( a)

b



.( b)

c



= abc

abc



= -1 * Nếu a + b + c 0  a = b = c

 P = 2.2.2 =

5 * Cm bđt: 1

x  y xy với x > 0, y >

(85)

x y 1

xy x y x y x y



    

  với x ; y * Áp dụng :

 

1 4

P a P b P a P b c

1 1 1 1

P b P c c P a P b P c a b c

1

P a P b c

P P P 1 P P P 1

2P a b c

P a P b P c a b c P a P b P c a b c



   

     

  

         

       



  

  

   

               

          

2

1 1

   

 

(Áp dụng Bunhacopski) Dấu xảy ⇔ a2 = b2 = c2 ⇔ a = b = c

Đề 23

Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: A x : x 10 x

x x x x x x



   

       

   

   

1 Rút gọn biểu thức A Tìm x cho A <

Bài 2: (5 điểm) a) Giải hệ phương trình:

1

2

x y

xy xy

     



  

 b) Giải phương trình: (x + 1)4 = 2(x4 + 1)

Bài 3: (4 điểm)

1 Số thực x thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + (3 -x)2  Tìm giá trị nhỏ biểu

thức:

P = x4 + (3-x)4 + 6x2(3-x)2

2 (2đ) Cho số dương a, b, c biết 1

1

1    c  c b b a a

Chứng minh rằng: abc

 Bài 4: (5 điểm)

Cho tam giác MNP có ba góc nhọn điểm A, B, C hình chiếu vng góc M, N, P NP, MP, MN Trên đoạn thẳng AC, AB lấy D, E cho DE song song với NP Trên tia AB lấy điểm K cho DMK NMP Chứng minh rằng:

a MD = ME

2) Tứ giác MDEK nội tiếp Từ suy điểm M tâm đường trịn bàng tiếp góc DAK tam giác DAK

Bài 5: (2 điểm)

Trên đường tròn (O) lấy hai điểm cố định A C phân biệt Tìm vị trí điểm B D thuộc đường trịn để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn

(86)

DAYHOCTOAN.VN 86 a) Điều kiện xy0 Hệ cho

2

2[ ( ) ( )] (1)

2( ) (2)

xy x y x y xy

xy xy

   

 

   

Giải PT(2) ta được: 21 (3)

(4) xy xy

  

 



Từ (1)&(3) có:

1

2

1 x y x y

xy x

y

 



 

 

 

  

 

 

  

Từ (1)&(4) có:

1

2

1

2

1 x y x y

xy x

y

 

 

    



 

  

 

   

 

  

Vậy hệ cho có nghiệm là: ( ; )x y (1; 2), (2; 1), (1; / 2), (1 / 2; 1)

b) Khai triển rút gọn chia hai vế cho x2 Đặt x + 1/x = y Có nghiệm x = 1 3 3 3

3 1) Đặt y =3-x toán cho trở thành: tìm GTNN biểu thức: P= x4 + y4 + 6x2y2 x, y số thực thay đổi thỏa mãn: 2 23

5

x y

   

  

Từ hệ thức ta có:

2 2

2

5

x y xy

x y

   

 

 

  (x

2 + y2) + 4(x2 + y2 + 2xy)  + 4.9 =41

 5(x2 + y2) + 4(2xy)  41

Mặt khác 16 (x2 + y2) 2 + 25(2xy)2 40(x2 + y2)(2xy) (1)

Dấu đẳng thức xảy  (x2 + y2) =5(2xy)

Cộng hai vế (1) với 25 (x2 + y2) 2 + 16(2xy)2 ta được:

41[ (x2 + y2) + (2xy)2]  [5(x2 + y2) + 4(2xy)]2 412 hay (x2 + y2)2 + (2xy)2  41  x4 + y4+6x2y2 41 Đẳng thức xảy 2

2

( ; ) (1; 2)

( ; ) (2;1) 4( ) 5(2 )

x y

x y

x y

x y

x y xy

  

 



   

 

  



Do giá trị nhỏ P 41 đạt  x=1 x=2 Theo giả thiết

1 1

1

1 1

1

1            a  a a

c c b b c

c b b a a

Do b > 0; c > nên theo bất đẳng thức côsi ta có:

2

1 (1 )(1 ) (1 )(1 )

b c bc bc

b c  b c   a  b c 

       (1)

Tương tự ta chứng minh ) )( (

1

   

 a c

ac

b (2)

) )( (

1 

  

 a b

ab

(87)

K

E

B C

A N

M

P

D

D' B' A'

O

C A

B

D

) )( )( (

1

c b a

abc c

b

a      

 =>

1

8  

 abc abc => đpcm

4 Ta dễ dàng chứng minh tứ giác MBAN nội tiếp MAB MNB , MCAP nội tiếp CAMCPM

Lại có BNM CPM(cùng phụ góc NMP) CAMBAM (1)

Do DE // NP mặt khác MANPMADE (2)

Từ (1), (2)  ADE cân A MA trung trực DE  MD = ME

Do DE//NP nên DEK NAB, mặt khác tứ giác MNAB nội tiếp nên:

 

NMB NAB 180 NMB DEK 1800

Theo giả thiết DMK NMP  

DMK DEK 180 Tứ giác MDEK nội tiếp

Do MA trung trực DEMEA MDA

MEA MDA MEK MDC

Vì MEKMDKMDKMDCDM phân giác góc CDK, kết hợp với AM phân giác

DABM tâm đường trịn bàng tiếp góc DAK tam giác DAK

5 Không tổng quát giả sử:ABAC Gọi B’ điểm cung ABC AB'CB'

Trên tia đối BC lấy điểm A’ cho BA’ = BAAB BC CA '  Ta có: B'BCB'ACB'CA

(1) ; B'CAB'BA1800 (2)

 

B'BC B'BA ' 180 (3);Từ (1), (2), (3) B'BA B'BA '

Hai tam giác A’BB’ ABB’ A 'B'B'A

Ta có B'A B'C B'A ' B'C A 'C    = AB + BC ( B’A + B’C khơng đổi B’, A, C cố định)

Dấu “=” xảy B trùng với B’

Hoàn toàn tương tự gọi D’ điểm cung ADC ta có AD’ + CD’ AD + CD Dấu “=” xảy D trùng với D’

(88)

Đề 24

Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức:    

 

      



 

 

x x x

x x B

1

1 :

2

a) Rút gon biểu thức B

b) Tìm giá trị x để biểu thức B =

Bài 2: (5 điểm) a) Giải hệ phương trình: 3

8

6

x y

x

y

   



   

b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x3 - y3 - 2y2 - 3y -1 =

Bài 3: (2 điểm) a) Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa món: a  b c Tìn giá trị nhỏ biểu thức: 2

2 2

P a b c ab bc ca

a b b c c a

 

   

 

Bài 4: (3 điểm)

Bài 6: (5 điểm)

Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, xy tiếp tuyến B với đường trịn, CD đường kính Gọi giao điểm AC AD với xy theo thứ tự M, N

a) Chứng minh rằng: MCDN tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh rằng: AC.AM = AD.AN

c) Gọi I đường tâm tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN Khi đường kính CD quay quanh tâm O điểm I di chuyển đường tròn ?

HƯỚNG DẴN GIẢI a) Đặt z

y  Hệ cho trở thành

3 3

x z z x

   



 

  

3

3 x z z x

   

  2 

3

x z x xz z

       x z (vì x2 xzz2   3 0, x z, ) Từ ta có phương trình:

3

2 x

x x

x

  

    

 

Vậy hệ cho có nghiệm: ( , )x y   ( 1; 2), 2,1 

b) Phương trình cho tương đương với : x3 = y3 + 2y2 + 3y +1 (1)

Nhận xét rằng: 3 2

0 ( 1)

(89)

2 3 2

5y   2 x  y 2y 3y 1 (5y 2)(y1) (3)

Từ (2) (3) suy ra:

(y1) < x3 

(y1) , Vì y 

3 3

2

( 1) ( 1)

x y y y y y

      

 

      

 

2

2 1 ( )

0

y y y vi y y

y y

y

          

  

 

  

 Với y = -1 x= -1 Với y = x=

Vậy phương trình có cặp nghiệm nguyên (-1; -1) (1; 0) Ta có: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2)

= a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2

mà a3 + ab2 2a2b (áp dụng BĐT Côsi )

b3 + bc2 2b2c

c3 + ca2 2c2a

Suy 3(a2 + b2 + c2)  3(a2b + b2c + c2a) > Suy P a2 b2 c2 ab bc2 2 ca2

a b c

 

   

 

2 2

9 ( )

P

2( )

a b c a b c

a b c

  

    

 

Đặt t = a2 + b2 + c2, ta chứng minh t  3

Suy 9 3

2 2 2 2

t t t

P t

t t



           P 

Dấu xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P

(90)

DAYHOCTOAN.VN 90 6.a) ∆ ABM vuông B => BMA + BAM = 900 ∆ OAC cân O

=> ACD = BAM=> BMA + ACD = 900 ∆ ADC vuông A

=> ADC + ACD = 900 => BMA = ADC

ADC + NDC = 1800

=> ∆ MCDN có NMC + NDC = 1800 nên nội tiếp đường tròn b) ∆ ABM vuông B, BC  AM

=> AB2 = AC AM (1) ∆ ABN vuông B.BD  AN=> AB2 = aD.AN

(2) Từ (1) (2) => AC.AM = AD.AN

c) Chỉ : Kể từ IH  xy => IH // OA (1) HN = HM = AH (∆ AMN vuông A; HN = HM)=> NAH = ANH

Theo câu a : ADC = AMN mà ANH + AMN = 900

=> NAH + ADC = 900=> AH  CD

Mặt khác IO  CD (OC = OD; IO bán kính)= AH // IO (2)

(91)

Định dạng
Số trang	91
Dung lượng	2,44 MB