Đề thi thử THPT quốc gia

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?. Hướng dẫn giải. Hướng dẫn giải. Trong các mệnh đề sau,mệnh đề nào sai ?. Hướng dẫn giải. Hướng dẫn giải. Hướng dẫn giải.. Hướng dẫn giải[r]

(1)

(2)

Lời nói đầu

Chào Em học sinh thân mến!

Bắt đầu từ năm 2017, kỳ thi THPT Quốc gia áp dụng hình thức trắc nghiệm mơn Tốn Đó điều mẻ tất em Thầy giáo, Cô giáo Khi biết thông tin đổi này, thân em học sinh bối rối bị bất ngờ em tiếp xúc với hình thức trắc nghiệm mơn Tốn từ trước đến Chính Thầy giáo, Cơ giáo khơng quản vất vả mang đến cho em nguồn học liệu tốt nhất, cô đọng để em rèn luyện trước kỳ thi tới!

Các Thầy, Cô xin gửi tới em cuốn:

“PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN”

Nội dung tài liệu bám sát nội dung kiến thức cấu trúc ĐỀ MINH HỌA Bộ GD&ĐT SGK Hình học 12 Cơ Tài liệu chia thành phần:

Phần 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Phần 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN

Phần 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Phần 4. BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG

Phần 5. GIẢI TỐN HÌNH KG BẰNG PP TỌA ĐỘ

Thầy hy vọng tài liệu giúp em chuẩn bị thật tốt cho kỳ thi THPT Quốc gia Cuối xin chúc em đạt điểm cao kỳ thi tới!

Mặc dù cố gắng tâm huyết để có tập tài liệu này, song trình biên soạn chắn khơng tránh khỏi sai sót định Rất mong thông cảm bạn đọc gần xa góp ý để chúng tơi có sửa chữa kịp thời hoàn thiện tài liệu theo email mr.nguyenquocthinh@gmail.com !

Trong tài liệu có sử dụng tư liệu nhiều tác giả Nhưng tài liệu phát hành với mục đích phi lợi nhuận nên kính mong thầy lượng thứ!

Nhóm tác giả:

1 Thầy Nguyễn Quốc Thịnh – THPT Trần Tất Văn, An Lão, Hải Phòng Thầy Lê Văn Định – TT GDNN GDTX Thanh Oai, Hà Nội

3 Thầy Nguyễn Đăng Tuấn – TT GDNN GDTX Phú Lộc, Thừa Thiên Huế Thầy Đoàn Trúc Danh – Tân An, Long An

5 Thầy Đặng Công Vinh Bửu – THPT Nguyễn Hữu Cầu, TP Hồ Chí Minh Thầy Ngô Nguyễn Anh Vũ – Đà Nẵng

7 Thầy Trần Bá Hải – THPT Quỳ Hợp 1, Nghệ An Thầy Lưu Chí Tài – THPT Marie Curie, Hải Phịng Cơ Nguyễn Thảo Ngun

10 Thầy Nguyễn Hồng Kim Sang – THPT Thanh Bình, Tân Phú, Đồng Nai 11 Cô Nguyễn Ngân Lam – THPT Trần Hưng Đạo, Hải Phòng

(3)

Chương III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN PHẦN 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN:

Hệ trục tọa độ Đề-các vng góc không gian gồm ba trục x Ox y Oy z Oz' , ' , ' vng góc với đôi Gọi i j k, , véctơ đơn vị trục

' , ' , '

x Ox y Oy z Oz Điểm O gọi gốc tọa độ Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) đơi vng góc với gọi cácmặt phẳng tọa độ

Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyzđược gọi không gian Oxyz

2 TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM:

Trong không gian Oxyz cho điểm M tùy ý Khi ta có OM xi  yj zk gọi ba số ( ; ; )x y z tọa độ điểm M hệ trục tọa độ Oxyz cho Như tương ứng với – điểm M không gian với ba số ( ; ; )x y z gọi tọa độ điểm M hệ tọa độ Oxyz cho trướC. Ta viết: M ( ; ; )x y z

( ; ; ) M x y z

3 III TỌA ĐỘ CỦA MỘT VÉCTƠ:

Trong không gian Oxyz cho véctơ a với aa i1 a j2 a k3

Khi ba số ( ;a a a1 2; 3) gọi tọa độ véctơ a hệ tọa độ Oxyz cho trướC. Ta viết: a( ;a a a1 2; 3) a a a a( ;1 2; 3)

4 IV BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TỐN VÉCTƠ:

Trong khơng gian Oxyz, cho hai véctơ a( ;a a a1 2; 3),b ( ; ; )b b b1 2 3 số thực k Khi ta có:

1 2 3 1 2 3

( ; ; )

a b a b a b a b a b a b a b a b ka ka ka ka

    

    

 Chú ý.

1

1 2 3

a b

a b a b

a b

     

  

(4)

3 a b ( 0) phương  có số thực k cho

1

2

3

a kb a kb a kb

       

hay

1

2

3

b ka b ka b ka

       

4 Nếu A( ;a a a1 2; 3),B( ;b b b1 2; )3 AB(b1a b1; 2a b2; 3a3)

5 V BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG:

1 Trong không gian Oxyz cho hai véctơ a( ;a a a1 2; 3),b ( ; ; ).b b b1 2 3

Ta có a b a b1 1a b2 2a b3 3

2 Độ dài véctơ: Cho véctơ a( ;a a a1 2; 3), ta có a  a a  a12 a22a32 Khoảng cách hai điểm A(xA;yA;zA) B(xB;yB;zB)

2 2

( B A) ( B A) ( B A)

AB  x x  y y  z z

4 Gọi  góc hai véctơ a( ;a a a1 2; 3) b( ; ; ).b b b1

Ta có:   1 2 3

2 2 2

1 3

cos cos ,

a b a b a b a b

a b

a b a a a b b b

    

    a b a b1 1a b2 2a b3 0

6 VI PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:

Trong khơng gian Oxyz mặt cầu tâm I ( ; ; )a b c bán kính R có phương trình là:

2 2

(x a) (y b) (z c) R x2 y2 z2 2ax 2by 2cz a2 b2 c2 R2 Ngược lại, phương trình 2

2 2

x y z Ax By Cz D với A2 B2 C2 D phương trình mặt cầu tâm I ( ; ; )A B C có bán kính R A2 B2 C2 D

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng 1. Tìm tọa độ điểm, véctơ yếu tố liên quan đến véctơ thỏa mãn số điều kiện cho trước, tọa độ điểm đặc biệt tam giác, tứ diện

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa có liên quan đến véctơ: tọa độ véctơ, độ dài véctơ, biết phân tích véctơ theo ba véctơ khơng đồng phẳng, biết tính tổng, hiệu, tích véctơ với số, biết tính tọa độ trọng tâm tam giác, trung điểm đoạn thẳng …

Một số công thức cần nhớ:

(5)

G trọng tâm  

3

3 A B C G

A B C G

x x x

x

y y y

ABC OG OA OB OC y

z z z

z

   

 

  

      



  

  H trực tâm

 



  



 , , đồng phẳng

AH BC

ABC BH AC

AH AB AC

'

A chân đường caohạ từ đỉnhA '

'

AA BC

ABC

BA k BC

     

 

D chân đường phân giác trong góc A ABC DB AB.DC AC

   

E chân đường phân giác ngoài gócA ABC EB AB EC AC

  

Xét tứ diện ABCD ta có điểm đặc biệt sau:

G trọng tâm tứ diện

4 4     

 

   

  

    



A B C D G

x x x x

x

y y y y

ABCD y

z z z z

z

H hình chiếu vng góccủaA BCD

, , đồng phẳng

AH BD

AH BC

BH BC BD

 



 

 

VD 1. Trong không gian Oxyz cho a   6i 8j 4k Tọa độ a

A. 6;8;4 B. 6;8;4 C. 3;4;2 D. 3;4;2 Hướng dẫn giải

Theo định nghĩa a   6i 8j 4k nên tọa độ a  6;8;4

Chọn đáp án A.

VD 2. Trong không gian Oxyz cho véctơ a5;7; 2 Tọa độ véctơ đối véctơ a

A.5;7;  B.  5; 7; 2 C.2;7;5  D.  2; 7; 5 Hướng dẫn giải

Véctơ a5;7; 2có véctơ đối   a 5; 7; 2    5; 7; 2 Chọn đáp án B.

VD 3. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A5;7; , B 3;0; 4 Tọa độ véctơ AB

(6)

Hướng dẫn giải Tọa độ véctơ AB 3 5; 7; 2     2; 7; 2 Chọn đáp án A.

VD 4. Trong không gian Oxyz cho ba véctơ a5; 7; , b3; 0; , c  6;1; 1  Tọa độ véctơ: m3a2b c

A. 3; 22; 3  B. 3; 22;3  C. 3; 22; 3  D. 3; 22;3  Hướng dẫn giải

Ta có

   

 

3 5; 7; 15; 21; 2 3; 0; 6; 0;

6;1; a

b c

  

     

 

   

Vậy m3a2b c 15 6; 21 1; 1       3; 22; 3  Chọn đáp án A.

VD 5. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC vớiA1;0; ,  B 2;1; ,  C 1; 2;   Tọa độ trọng tâm G tam giác

A. 1; ; 3 G 

  B.

4 1

; ;

3 3

G   

  C.

1

; ;

3 3

G  

  D. G4; 1; 1  

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức xác định tọa độ trọng tâm tam giác ta có tọa độ trọng tâm G cần tìm

1 1 2 1

; ; ; ;

3 3 3

G             

    ,

Chọn đáp án B.

VD 6. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC vớiA1;0; ,  B 2;1; ,  C 1; 2;   Xác định tọa độ điểm D đề ABCDlà hình bình hành

A. D0; 3;1  B. D0;3;1 C. D3; 0;1 D. D0; 3; 1   Hướng dẫn giải

Để ABCD hình bình hành ABDC

Ta cóAB1;1;1, gọi    

1

; ; ; ; 2

1

x x

D x y z DC x y z y y

z z

  

 

 

            

    

 

Chọn đáp án A.

Dạng 2. Tích vơ hướng ứng dụng tích vơ hướng

Phương pháp giải:

(7)

VD 1. Trong không gian Oxyz cho véctơ a5; 7; , b1;3; 4 , tích vơ hướng a bcó giá trị

A.18 B.34. C.14. D.0

Áp dụng cơng thức tích vơ hướng hai véctơ ta có a b 5.1 7.3 2.     4 21 18  Chọn đáp án A.

VD 2. Trong không gian Oxyzcho ba điểm A 1; 2;3 , B 0;3;1 , C 4; 2; 2 Tính cosBAC

A.

2 B.

9 35



C.

35 D.

9 35 Hướng dẫn giải

Ta có AB1;5; ,  AC5; 4; 1 

 

cos cos ,

2 35

AB AC

BAC AB AC

AB AC

    Chọn đáp án C.

VD 3. Trong không gian Oxyzcho tam giác ABC vớiA 1; 2;3 , B 0;3;1 , C 4; 2; 2 Có M N, trung điểm cạnh AB AC, Độ dại đường trung bình MN

A. 21

4 B.

9

2 C.

2

2 D.

3 2 Hướng dẫn giải

Ta có tọa độ 1; ; 2

 

 

 

M , 3; 0;5 2; 1;

2 2

    

   

   

N MN

Vậy độ dại đường trung bình

2

2 1

2

2 2

   

           

MN

Chọn đáp án D.

Dạng Lập phương trình mặt cầu biết tâm bán kính mặt cầu

 Phương trình mặt cầu tâm I a b c( ; ; ), bán kính R có dạng:

2 2

(x a) (y b) (z c) R  Dạng khai triển phương trình mặt cầu:

2 2

x y z ax by cz d , với R a2 b2 c2 d ,a2 b2 c2 d

VD 1. Trong khơng gian Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I(5; 3; 7) có bán kính R

A. (x 5)2 (y 3)2 (z 7)2 B. (x 5)2 (y 3)2 (z 7)2

C. (x 5)2 (y 3)2 (z 7)2 D. (x 5)2 (y 3)2 (z 7)2 Hướng dẫn giải

(8)

VD 2. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu qua điểm M(5; 2;1) có tâm I(3; 3;1)

A.(x 3)2 (y 3)2 (z 1)2 B. 2

(x 3) (y 3) (z 1)

Ta có IM (2;1;0) Do R IM 22 12 02 Chọn A.

VD 3. Trong khơng gian Oxyz, phương trình mặt cầu đường kính AB với A(4; 3; 7), (2;1;3)B

A. (x 3)2 (y 1)2 (z 5)2 B. (x 3)2 (y 1)2 (z 5)2

Tâm mặt cầu trung điểm I đoạn AB, I(3; 1;5)

( 2; 4; 4)

AB AB R

Chọn B.

Dạng Cho biết phương trình mặt cầu, xác định tâm bán kính mặt cầu

 Biến đổi phương trình mặt cầu dạng (x a)2 (y b)2 (z c)2 R2 Khi mặt cầu có tâm I a b c( ; ; ), bán kính R

 Dạng khai triển phương trình mặt cầu: 2

2 2

x y z ax by cz d Khi mặt cầu có tâm I a b c( ; ; ), bán kính R a2 b2 c2 d với a2 b2 c2 d

VD 1. Trong khơng gian Oxyz, cho phương trình mặt cầu 3x2 3y2 3z2 6x 3y 15z

Tâm bán kính mặt cầu

A.Tâm 1; 5; 2

I bán kính

6

R

B.Tâm 1; ;1

2

I bán kính 49 R

C.Tâm 1; ;1

2

I bán kính 6

R

D.Tâm 1; 5; 2

I bán kính 49

6 R

Hướng dẫn giải Phương trình mặt cầu cho viết dạng:

2

2 2 2 49

2 ( 1)

3 2

x y z x y z x y z

(9)

C BÀI TẬP CÓ GIẢI

DẠNG ĐIỀN KHUYẾT

Các câu hỏi phần lấy không gian Oxyz

Câu 1. Cho điểm A x y z A; A; A ,B x y zB; B; B, tọa độ véctơ AB

Câu 2. Cho hai điểm A B, phân biệt, M trung điểm AB Tọa độ điểm M ; ; 

Câu 3. Cho tam giác ABC G, trọng tâm tam giáC. Khi tọa độ G ; ; 

Câu 4. Cho hai véctơ uu u u1; 2; 3,vv v v1; ;2 3 , điều kiện để hai véctơ phương … số

thực k cho ukv

Câu 5. Cho véctơ amin jpk tọa độ a ; ; 

Câu 6. Hai véctơ vng góc với … chúng

Câu 7. Trong không gian mặt cầu xác định biết hai yếu tố: … mặt cầu bán kính

của

Câu 8. Cho mặt cầu  S tâm I a b c ; ;  bán kính R, điểm M x y z ; ;  nằm mặt cầu khi: IM R       2  R

Câu 9. Cho mặt cầu  S tâm I a b c ; ;  bán kính R, điểm M x y z ; ;  nằm mặt cầu khi:

     2 2

IM    R

Câu 10.Cho mặt cầu  S tâm I a b c ; ;  bán kính R, điểm M x y z ; ;  nằm mặt cầu khi: IM R        2 R

Câu 11.

Câu 12.Mặt cầu có đường kính AB có bán kính là………

Đáp án:

2 AB R

Câu 13.Tâm mặt cầu qua hai điểm A B nằm trên………

Đáp án: mặt phẳng trung trực đoạn AB

Câu 14.Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( )P có bán kính là………

Đáp án: Rd I P( ,( ))

Câu 15.Mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng d có bán kính là………

Đáp án: Rd I d( , )

Câu 16.Mặt cầu có tâm I a b c( , , )Ox thì…… Đáp án: b c

(10)

DẠNG TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, véctơ yếu tố liên quan đến véctơ thỏa mãn số điều kiện cho trước, tọa độ điểm đặc biệt tam giác, tứ diện

Câu 1. Cho ba véctơ a2; 5;3 ,  b0; 2; ,  c1; 7; 2 tọa độ véctơ 3

d  a b c

A. 11; ;181

3

d   

  B. d 11;1;18 C.

1

11; ;18

3

 

  

 

d D. 11; ; 181

3

 

  

 

d

Hướng dẫn giải Ta có

    1

4 8; 20;12 , 0; ; , 3; 21; 11; ;18

3 3 3

a   b   c  d a b c 

   

Đáp án A.

Câu 2. Cho ba véctơ a2; 5;3 ,  b0; 2; ,  c1; 7; 2 tọa độ véctơ d a 4b2c

A.d 0; 27;3  B. d 0; 27;3 C. d 0; 27; 3   D. d 0; 2;3  Hướng dẫn giải

Ta có

2; 5;3 , 4 0; 8; , 2  2; 14; 4 0; 27;3

a   b     c    d a b c  Đáp án A.

Câu 3. Cho ba véctơ a2; 1; ,  b3; 0;1 , c  4;1; 1  tọa độ véctơ d3a2b c

A. d 4; 2;3  B. d    4; 2;3 C. d   4; 2;3 D. d 4; 2;3 Hướng dẫn giải

Tương tự câu 1, Đáp án B.

Câu 4. Cho ba véctơ a2; 1; ,  b3; 0;1 , c  4;1; 1  tọa độ véctơ d 2a b 4c

A. d     9; 2; 1 B. d   9; 2; 1  C. d   9; 2;1 D. d    9; 2;1 Hướng dẫn giải

Tương tự câu 1, Đáp án C.

Câu 5. Cho ba véctơ a1; 2;3 , b2; 2; ,  c4; 0; 4  tọa độ véctơ d  a b

A. d 1; 0; 4 B. d   1; 0; 4  C. d 0;1; 4 D. d   1; 0; 4 Hướng dẫn giải

Tương tự câu 1, Đáp án D.

Câu 6. Cho ba véctơ a1; 2;3 , b2; 2; ,  c4; 0; 4  tọa độ véctơ d   a b 2c

A. d   7; 0; 4  B. d   7; 0; 4 C. d 7; 0; 4  D. d 7; 0; 4 Hướng dẫn giải

(11)

Câu 7. Cho ba véctơ a1; 2;3 , b2; 2; ,  c4; 0; 4  tọa độ véctơ d2a4b c

A. d 6;12; 6  B. d   6;12; 6 C. d 6;12; 6 D. d 1; 2;1 Hướng dẫn giải

Tương tự câu 1, Đáp án C.

Câu 8. Cho ba véctơ a2; 5;3 ,  b0; 2; ,  c1; 7; 2 tọa độ véctơ d  a b c

A. d 19; 69;17  B. 19; 69;17

2

 

  

 

d

C. 19 69; ;17

2

 

  

d D. 19; 69; 17

2

 

   

 

d

Hướng dẫn giải Tương tự câu 1, Đáp án B.

Câu 9. Cho ba véctơ a1; 2;3 , c4; 0; 4  tọa độ véctơd thỏa mãn 2d3ac

A. 7;3;5

2

d   

  B.

7

; 3;

2

 

  

 

d C. d 7;3;5 D. 7;3;

2

 

  

 

d

3

2 2;3; ;3;

2 2 2

   

          

   

d a c d a c

Đáp án A.

Câu 10. Cho ba véctơ a1; 2;3 , b2; 2; ,  c4; 0; 4  tọa độ véctơd thỏa mãn 2a b c  3d 0

A. d 0; 2; 3   B. d 0; 2; 3  C. d 0; 2;3  D. d 0; 2;3 Hướng dẫn giải

 

2 1

2 0; 2;

3 3

           

a b c d d a b c

Đáp án A.

Câu 11. Cho ba điểm A1; 1;1 ,  B0;1; , C 1;0;1 tọa độ trọng tâm G tam giácABC

A. 2; 0;4

3

G  

  B.

2 ; ; 3

 

  

G C. 2; 0;

3

 

  

 

G D. 2; 0;4

3

 

  

 

G

Hướng dẫn giải Đáp án A.

Tọa độ trọng tâm G tam giác ABClà:

 

1

3

1

0

1

3

G A B C

x x x x

y y y y

z z z z

    

 

    

 

    

(12)

Câu 12. Cho véctơ u3; 2; 5  véctơ sau véctơ phương với u A. a6; 4;10  B. 2; ;4 10

3

b  

 . C.c6; 4;10. D.d 1; 4; 2 .

Hướng dẫn giải Để u u u u 1; 2; 3 phương với v v v v 1; ;2 3

1

u u u

v  v v

Thỏa mãn điều kiện Đáp án B

Câu 13. Trong không gianOxyz cho tứ diện ABCD biếtA1;0;2 B 2;1;3 , C 3;2;4 , D 6;9; 5  Tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD

A.G  2; 3; 1 B.G 2; 3;1 C.G2;3;1 D.G2;3; 1  Hướng dẫn giải

Trọng tâm tứ diện ABCD là:

 

1

2

1

3

1

G A B C O

x x x x x

y y y y y

z z z z z

     

 

     

 

     

 Đáp án C.

Câu 14. Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' biết A1;0;1 , B 2;1;2 , D 1; 1;1 , ' 4;5;   C   Xác định tọa độ đỉnh C hình hộp

A. C2;2;0 B.C2;0;2 C. C0;2;2 D. C2;0; 2 

Câu 15. Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' biết A1;0;1 , B 2;1;2 , D 1; 1;1 , ' 4;5;   C   Xác định tọa độ đỉnh B'của hình hộp

A.B' 6;5; 4   B.B'4;5; 6  C.B' 4; 6; 5    D.B' 4;6; 5  

Câu 16. Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' biết A1;0;1 , B 2;1;2 , D 1; 1;1 , ' 4;5;   C   Xác định tọa độ đỉnh A'của hình hộp

A.A' 3;5; 6   B.A'  3; 5; 6 C.A'3;5; 6  D.A' 3; 5; 6   

Câu 17. Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' biết A1;0;1 , B 2;1;2 , D 1; 1;1 , ' 4;5;   C   Xác định tọa độ đỉnh D'của hình hộp

A. D' 3; 4; 6    B. D'3;4; 6  C. D' 3;4; 6   D. D' 3;4;6  Hướng dẫn giải Câu 14 – 17

Hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi C x y z C; C; C ta cóADBC

0; 1;0 ,  2; 1; 2

2

1

2

C C C

C C

AD BC x y z

x x

AD BC y y

z z

     

  

 

 

      

    

 

(13)

Vậy C2;0;2 Câu 14 đáp án B.

Gọi B x' B';yB';zB' ta cóCBC B' '

   ' ' ' 

' '

0;1;0 , ' ' 4; 5;

4

' '

5

B B B

B B

CB C B x y z

x x

CB C B y y

z z

    

  

 

 

           

 

Vậy B' 4;6; 5   Câu 15 đáp án D.

Gọi A x' A';yA';zA' ta cóBAB A' '

   ' ' ' 

' '

1; 1; , ' ' 4; 6;

4

' '

5

A A A

A B

BA B A x y z

x x

BA B A y y

z z

       

   

 

 

             

 

Vậy A' 3;5; 6   Câu 16 đáp án A.

Gọi D x' D';yD';zD' ta cóCDC D' '

   ' ' ' 

' '

1; 1; , ' ' 4; 5;

4

' '

5

B B B

D B

CD C D x y z

x x

CB C D y y

z z

       

   

 

 

             

 

Vậy D' 3;4; 6   Câu 17 đáp án C

Câu 18. Cho hai ba điểm

  I :A 1;3;1 , B 0;1;2 , C 0;0;1   II :M 1;1;1 , N 4;3;1 , P 9;5;1

Kết luận sau đúng?

A.Bộ ba điểm I thẳng hàng B.Bộ ba điểm II thẳng hàng

C.Cả hai ba điểm thẳng hàng D.Cả hai ba điểm khơng thẳng hàng Hướng dẫn giải

Ta có AB   1; 2;1 , AC   1; 3;0 không phương nên  I không thẳng hàng Ta cóMN  5;2;0 ; MP  10;4;0 2MN nên MN MP, phương hay  II thẳng hàng

Đáp án B.

Dạng 2. Tích vơ hướng ứng dụng tích vơ hướng

Câu 19. Trong không gian Oxyz cho a3;0; ,  b2; 4;0 , xác định giá trị a b

A. B. C. D.

3;0; , 2; 4;0 3.2 0.   4 6

a  b  a b     

(14)

Câu 20. Trong không gian Oxyz cho c1; 5;2 ,  d4;3; 5 , xác định giá trị c d

A.20 B.21 C.21 D.19

1; 5;2 , 4;3; 5 1.4  5 2. 5 21

c  d  c d      

Đáp án B.

Câu 21. Cho điểm M thuộc mặt phẳngOxz cách ba điểm A1;1;1 , B 1;1;0 , C 3;1; 1  Tọa độ điểm M

A. 5;0;

6

M  

  B.

5

;0;

6

M 

  C.

5

;0;

6

M  

  D.Không tồn M

   

     

;0;

1 ;1;1 ; ;1; ; ;1;

M Oxz M x z

MA x z MB x z MC x z

 

           

M cách điểm A B C, , nên MAMBMC hay ta có hệ phương trình

       

2 2

5

1 1 1 6

7

1 1 1

6 x

x z x z

x z x z z

 

           

  

 

         

   





Vậy 5;0;

6

M  

  Đáp án A.

Câu 22. Trong không gian Oxyz cho A4; 1;1 ,  B 2;1;0 Khoảng cách hai điểm A B,

A.3 B.4 C.5 D.6

Ta có AB  2;2; 1  AB  2 222  1  4  4 93

Đáp án A.

Câu 23. Trong không gian Oxyz cho A2;3;4 , B 6;0;4 Khoảng cách hai điểm A B,

A.3 B.4 C.5 D.6

Hướng dẫn giải Ta có AB4; 3;0 AB 42  3  16 9  255

Đáp án C.

Câu 24. Trong không gian Oxyz cho bốn điểmA1; 1;1 ,  B 1;3;1 , C 4;3;1 , D 4; 1;1  Kết luận sau

A.ABCD tứ diện B.ABCDlà hình bình hành

C.ABCD hình thang D.ABCDlà hình chữ nhật Hướng dẫn giải

Ta cóAB0;4;0 ; AD3;0;0 ; CB  3;0;0 ; CD0; 4;0 

(15)

Dạng 3+4. Phương trình mặt cầu

Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểmA1;0;0 ,  B 0;1;0 ,  C 0;0;1 ,  D 1;1;1 Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính

A.

2 B. C. D.

3 Hướng dẫn giải

 Phương trình mặt cầu dạng khai triển: 2

2 2

x y  z ax by cz d

 Mặt cầu qua A B C D, , ,

1

2

1

2

1

2 2

2

a a d

b d b

c d

c

a b c d

d

      

 

     

 

 

   

 

       

 

    Bán kính

2 2

1 1

2 2

R          

       Chọn A.

Câu 26. Cho  S mặt cầu tâm I2;1; 1  tiếp xúc với mặt phẳng   có phương trình:

2x2y  z Bán kính mặt cầu  S

A. B.

3 C.

4

3 D.

 Bán kính d I( ,( )) 2

 Chọn A.

Câu 27. Cho bốn điểm A1;1;1 ,  B 1;2;1 ,  C 1;1;2 ,  D 2;2;1 Tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABCD có tọa độ

A. 3; 3;

2 2

  

 

  B.

3 3 ; ; 2

 

 

  C. 3;3;3 D. 3; 3;3 

Hướng dẫn giải  Dùng dạng khai triển phương trình mặt cầu  Giải hệ phương trình tìm tâm 3 3; ;

2 2

 

 

 

 ChọnB.

Câu 28. Bán kính mặt cầu tâm I3;3; 4  tiếp xúc với trục Oy

A. B. C. D.

(16)

 Hình chiếu vng góc I lên Oy H(0;3;0)

 Bán kính IH5

 Chọn A.

Câu 29. Mặt cầu tâm I2;1; 1  tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình là: A. x2 2 y 1 2 z 12 4 B. x2 2 y 1 2  z 12 1

C. x2 2  y 1 2 z 12 4 D. x2 2 y 1 2 z 12 2 Hướng dẫn giải

 Bán kính mặt cầu d I Oyz( ,( ))2

 Chọn A.

Câu 30. Cho mặt cầu tâm I4;2; 2 , bán kính r tiếp xúc với mặt phẳng  P :12x5z190 Bán kính r

A. 39 B. C. 13 D. 39

 rd I P( ,( ))3

 Chọn B

Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt cầu tâm I1; 2; 0 đường kính 10 có phương trình là:

A. (x1)2(y2)2z2 25 B. (x1)2(y2)2z2 100

C. (x1)2(y2)2z2 25 D. (x1)2(y2)2z2 100 Hướng dẫn giải

 Mặt cầu tâm I1; 2; 0 đường kính 10 nên có bán kính R5 có phương trình:

2 2

(x1) (y2) z 25  Chọn đáp án A.

Câu 32. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, với giá trị m phương trình

 

2 2

2

       

x y z mx m y z m phương trình mặt cầu ?

A.

2   

m m B.1

2

 m C.m3 D.   

m m

Hướng dẫn giải  Phương trình cho phương trình mặt cầu

  2 2 2 2

1

1 5

2   

          

  

m

m m m m m

m

 Chọn đáp án D.

ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A A B C D D C B A A A B C B D A C B A B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

(17)

DẠNG TỰ LUẬN

Dạng 1:Tìm tọa độ điểm, véctơ yếu tố liên quan đến véctơ thỏa mãn số điều kiện cho trước, tọa độ điểm đặc biệt tam giác, tứ diện

Bài 1. Cho véctơ u có điểm đầu là1; 1;3  điểm cuối là2;3;5 Trong véctơ sau véctơ phương với u:a  6i 8j4 ,k b4j2 ,k c i 4j2k

Hướng dẫn giải Ta có u  3;4;2 ; a  6;8;4 ; b0;4;2 ; c1; 4;2 

Vậy có a phương u

Bài 2. Trong không gian Oxyz cho ba véctơ a5; 7; , b3; 0; , c  6;1;   Tìm tọa độ độ dài véctơ m n, biết m3a2b c n , 5a6b4c3 i

Hướng dẫn giải Ta có m3a2b  c 3; 22;3 m  502

 

5 16;39;16 2033

       

n a b c i n

Bài 3. Trong không gian Oxyz cho ba điểmA1;0; ,  B 2;1; ,  C 1; 2; 2  Tìm tọa độ điểm M cho AM 2AB3BC OM

Hướng dẫn giải Gọi M x y z ; ; 

Ta có AB1;1;1 ; BC   1; 3;3 ; OMx y z; ; ;AMx1; ;y z2

Và 2AB3BCOM      x; y;11z

Nên

0

1

7

2

2 11

9

      

 

 

         

    

  



x

x x

AM AB BC OM y y y

z z

z Vậy 0; 9;

2 M  

 

Bài 4. Trong không gian Oxyz cho ba điểm  2;3;1 , 1; 0;1 , 2; 0;1

4

A  B  C

 

a) Chứng minh rằngA B C, , không thẳng hàng b) Tìm tọa độ hình chiếuB' củaB trênAC

(18)

a) Ta có 9; 3;0 , 4; 3;0

AB   AC 

  Vì

9 4  

 nên hai véctơ AB AC, không phương Hay ba điểm A B C, , không thẳng hàng

b) Gọi '  ; ;  4; 3;0 , '  2; 3; , ' 1; ;

B  x y z AC  AB  x y z BB x y z 

 

Để B' hỡnh chiếu B trờn AC thỡ ', phương

' AB AC BB AC     18

2 25

3 22

'

1 25

' 21

1

4

25 t x t y t

AB t AC x

z BB AC y x y z                                               Vậy ' 22 21; ;1

25 25 B  

 

c) Ta có 15, 5,

4

AB

AB AC k

AC

     , gọi D x y z ; ;  chân đường phân giác góc

A, ta có:

4

DB k DC  DC

3 1 B C x x x     , 0 B C y y y     , 1 B C z z z     Vậy D1;0;1

Bài 5. Trong không gianOxyz cho ba véctơ tùy ý a b c, , Gọiu a ,b v3b c , w2c3 a Chứng minh ba véctơ u v, , w đồng phẳng

Muốn chứng minh ba véctơ đồng phẳng ta cần tìm hai số p q, cho w puqv

Giả sử ta có

           

w puqv2c3a p a2b q 3b c  3p a 3q2p b q2 c0

Vì ba véctơ a b c, , tùy ý nên để  1 sảy :

3

2 p p q p q q                   

Vậy w  3u 2v, nên ba véctơ u v, , wđồng phẳng

Bài 6. Trong không gian Oxyz cho véctơ a tùy ý khác véctơ Gọi   , , ba góc tạo ba véctơ đơn vị i j k, , ba trục tọa độ Ox Oy Oz, , véctơ a Chứng minh rằng:

2 2

cos cos  cos  1

(19)

Gọi a0 véctơ đơn vị hướng với a, ta có a0 a a 

Gọi OA0 a0; A A A1, 2, 3 theo thứ tự hình chiếu vng góc A0 lên trục tọa độ Ox Oy Oz, , Khi ta có:

0 0

cos , cos , cos

OA OA OA

OA   OA   OA  

Vì OA0  1 OA1 cos , OA2 cos , OA3 cos

Ta có OA0 OA1OA2OA3 OA0 cos  icos  jcos  kcos ;cos ;cos  

Mà OA0 a0 a0  1 cos2cos2cos2 1

Bài 7. Bộ ba điểm sau thẳng hàng

a) A1;3;1 , B 0;1;2 , C 0;0;1 b) A1;1;1 , B 4;3;1 , C 9;5;1 c) A0; 2;5 ,  B 3;4;4 , C 2;2;1 d) A1; 1;5 ,  B 0; 1;6 ,  C 3; 1;5  e) A1;2;4 , B 3;7;4 , C 0;1;5

Để xác định ba điểm A B C, , thẳng hàng ta thực bước sau Bước 1: xác định tọa độ véctơ AB AC,

Bước 2: tìm số k thỏa mãn ABk AC

Nếu tồn số k ba điểm A B C, , thẳng hàng Thực toán ta kết a, c, d, e) Không thẳng hàng

b) Thẳng hàng

Bài 8. Tính tích vơ hướng hai véctơ a b, khơng gian với tọa độ cho là: a) a3;0; ,  b2; 4; c

b) a1; 5;2 ,  b4;3; 5 

c) a0; 2; , b 1; 3; 2

Áp dụng cơng thức tọa độ tính tích vơ hướng hai véctơ ta dễ dàng tính kết a) 66c ; b) 21 ; c)

Bài 9. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh A a( ;0;0 ,  B 0; ;0 ,b  C 0;0;c Chứng minh tam giác ABC nhọn

Ta có AB  a b; ;0 ; AC  a;0;cAB AC a2  0 BAC900

(20)

Bài 10. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1; 1;0 ,  B 2;2;1 , C 13;3;4 a) Chứng minh A B C, , ba đỉnh tam giáC.

b) Tìm tọa độ điểm E chân đường phân giác góc A tam giác ABC Hướng dẫn giải

a) Ta có AB1;3;1 ; AC12;4;4dễ thấy hai véctơ không phương Vậy ba điểm A B C, , ba đỉnh tam giác

b) AB 11;AC4 11 , E chân đường phân giác góc A tam giác ABC

Ta có: 21 11 2; ;

4 5

AB

EB EC EC E

AC

 

      

 

Bài 11. Tìm tâm bán kính mặt cầu có phương trình sau đây:

a x2y2 z2 8x2y 1 0;

b 3x23y2 3z26x8y15z 3

Hướng dẫn giải A Tâm I(4;1;0), bán kính R4

B Tâm 1; 4; ,

3

I   

  bán kính

433 R

Bài 12. Trong trường hợp sau, viết phương trình mặt cầu:

a Đi qua ba điểm A(0;8;0), (4;6;2), (0;12;4)B C có tâm nằm mặt phẳng (Oyz);

b Có bán kính 2, tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) có tâm nằm tia Ox;

c Có tâm I(1;2;3) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) Hướng dẫn giải A Mặt cầu có tâm I(0; ; )b c nằm mặt phẳng (Oyz)

, ,

A B C thuộc mặt cầu tâm IIAIBIC

     

       

 

 

 



      

 

2 2 2 2

2

2 2 2 2

8

8 12

b c b c

IA IB

IA IC b c b c

7

b

  c5 Vậy I(0;7;5)

Bán kính mặt cầu RIA 25   26

 Phương trình mặt cầu 2

( 7) ( 5) 26

x  y  z 

B Mặt cầu ( )S có tâm Inằm tia Ox mặt cầu ( )S tiếp xúc với mp(Oyz) nên tiếp điểm O(0;0;0)

 Bán kính mặt cầu RIO2 I(2;0;0)

Phương trình mặt cầu 2 (x2) y z 4

C Mặt cầu có tâm I(1;2;3) tiếp xúc với mp(Oyz)

 Bán kính mặt cầu Rd I mp Oyz( , ( )) xI 1

(21)

D BÀI TẬP TỰ LUYỆN

PHẦN BÀI TẬP TỰ LUẬN

Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, véctơ yếu tố liên quan đến véctơ thỏa mãn số điều kiện cho trước, tọa độ điểm đặc biệt tam giác, tứ diện

Bài 1. Trong không gian Oxyz cho a1; 3; 4 

a) Tìm y z, để véctơb2; ;y z phương với a b) Tìm c biết c ngược hướng với b vàc 3ab

Bài 2. Cho a1; 2;1 , b  3;5; , c0; 4;3  Tìm tọa độ độ dài véctơ m n, biết: a) m2a3b4c5j b) n  a b 2c3 k

Bài 3. Cho điểm M x y z 0; 0; 0 Hãy tìm tọa độ điểm:

a) M M M1; 2; hình chiếu vng góc củaM mặt phẳng tọa độ Oxy , Oyz , Oxz

b) M M', ''lần lượt điểm đối xứng vớiM qua gốc tọa độ O qua trục Oy

Bài 4. Cho ba điểmA1;1;1 , B  1; 1;0 , C 3;1; 1 

a) Tìm điểm M thuộc trụcOy cách hai điểmB C, b) Tìm điểmN thuộcOxy cách A B C, ,

c) Tìm điểmP thuộcOxy choPA PC ngắn

Bài 5. Cho hai điểm A1;1; , B 1;3; 9 

a) Tìm điểmM thuộc trụcOysao cho tam giác ABM vuông tạiM

b) Gọi N giao điểm đường thẳngAB với mặt phẳngOyz HỏiN chia đoạnAB theo tỉ số ? Tìm tọa độ điểm N

c) Gọi   , , góc tạo đường thẳng AB trục tọa đọ Hãy tính giá trị biểu thức

2 2

cos cos cos

P    

Bài 6. Tìm độ dài đường phân giác góc A ABC biết:

a) A1; 2;2 ,  B 5;6;4 , C 0;1; 2 

b) A2; 1;3 ,  B 4;0;1 , C 10;5;3

Bài 7. Cho bốn điểmA1;2;4 , B 2;1;3 , C 0;0;5 , D 3;0; 2 

a) Chứng minh ABCD tứ diện Tính thể tích tứ diện độ dài đường cao tứ diện suất phát từ đỉnh D

b) Xét hình hộp ABCD A B C D' ' ' ' tìm tọa độ đỉnh A B C D', ', ', ' hình hộp c) Tìm tọa độ điểm K nằm mặt phẳngABC choBCK vuông tạiB ACK

vuông A

(22)

Bài 8. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với A1;0;2 , B 2;1;3 , C 3;2;4 Tìm tọa độ trực tâm H tam giácABC

Bài 9. Trong khơng gian Oxyz xác định tâm bán kính mặt cầu có phương trình sau đây:

a) x2 y2  z2 6x2y16z260;

b) 2x22y22z28x4y12z1000

Bài 10. Trong phương trình sau đây, phương trình phương trình mặt cầu ? Nếu

phương trình mặt cầu, tìm tâm tính bán kính a x2y2 z2 2x6y  8z 0;

b x2y2 z2 10x4y2z300;

c x2y2  z2 y 0;

d 2x2 2y22z22x3y5z 2 0;

e x2y2 z2 3x4y 8z 250

Bài 11. Lập phương trình mặt cầu hai trường hợp sau đây:

a Có đường kính AB với A(4; 3;7), B(2;1;3)

b Đi qua điểm A(5; 2;1) có tâm C(3; 3;1).

Bài 12. Trong không gian Oxyz lập phương trình mặt cầu trường hợp sau:

a Có tâm I(5; 3;7) có bán kính r2;

b Có tâm điểm C(4; 4;2) qua gốc tọa độ; c Đi qua điểm M(2; 1; 3)  có tâm C(3; 2;1).

Bài 13. Viết phương trình mặt cầu:

a Có tâm I(1;0; 1), đường kính

b Có đường kính AB với A ( 1;2;1),B(0;2;3)

c Có tâm O(0;0;0) tiếp xúc với mặt cầu ( )S có tâm (3; 2;4), bán kính d Có tâm I(3; 2;4) qua A(7;2;1)

e Có tâm I(2; 1;3) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy)

f Có tâm I(2; 1;3) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)

g Có tâm I(2; 1;3) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz)

Bài 14. Viết phương trình mặt cầu trường hợp sau:

a qua A(1;2; 4), (1; 3;1), (2;2;3) B  C có tâm nằm mp(Oxy)

b qua hai điểm A(3; 1;2), (1;1; 2) B  có tâm thuộc trục Oz

(23)

PHẦN 2: DẠNG TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉCTƠ

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho điểm M thỏa mãn hệ thứcOM  2i j Tọa độ

điểm M là:

A.0; 2;1  B.2; 0;1  C.2;1;0  D.0;1; 

Câu 2. Trong cặp véctơ sau, cặp véctơ đối

A.a1; 2; ,  b   1; 2;1 B.a1; 2; ,  b1; 2; 1 

C.a   1; 2;1 , b   1; 2;1 D.a1; 2; ,  b   1; 2; 0

Câu 3. Điểm M4;0;7 nằm trên:

A.mp Oxz  B.trục Oy C.mp Oxy  D.mp Oyz 

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu vng góc điểm M3; 2;1 Ox có

tọa độ là:

A.0;0;1  B.3; 0;  C.3;0;0 D.0; 2;0 

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3;1; 2) Điểm N đối xứng với M qua

trục Ox có tọa độ là:

A.N(3; 1; 2) B.N(0;1; 2) C.N( 3;1; 2)  D.N(3; 0; 0)

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểmM3; 4;5 Điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng Oyz có tọa độ là:

A.3; 4; 5  B.3; 4; 5   C.3; 4;5 D.  3; 4; 5

Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho véctơa  1;1; 0; b1;1; 0; c1;1;1 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai:

A. a  B.c  C.ab D.bc

Câu 8. Cho điểm A2;1;4 ,  B –2;2; –6 ,  C 6;0; –1 Tích AB AC bằng:

A.–67 B.65 C.67 D.33

Câu 9. Cho a2;5;3, b4;1; 2  Kết biểu thức a b, 

A. 216 B. 405 C. 749 D. 708

Câu 10. Cho ba véctơ a5; 7; ;  b0;3; ; c  1;1;3 Tìm tọa độ véctơ n3a4b2c

A.n13; 7; 28  B.n13; 7; 28   C.n13; 7; 28 D.n13; 7; 28 

Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho ba véctơa ( 1;1;0),b(1;1;0),c(1;1;1) Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

(24)

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;3; 2  B4; 5; 2  Tọa độ véctơ AB là:

A.3;8; 4  B.3; 8; 4  C.3; 2;  D.3; 2; 4

Câu 13. Trong không gianOxyz, điểm sau nằm mặt phẳng tọa độ mpOxy

A.A1; 2;3 B.B0;1; 2 C.C0;0; 2 D.D2;0;0

Câu 14. Trong không gian Oxyz, hình chiếu A điểmA3; 2;1lên trục Ox có tọa độ là:

A.3; 2;0  B.3; 0;  C.0;0;1  D.0; 2;0 

Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho a1; 2;3 , b  2;3; 1 .Khi a b có tọa độ là:

A.1;5; 2 B.3; 1; 4  C.1;5;  D.1; 5; 2  

Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho a1; 2;3 , b  2;3; 1 .Khi đó:

A.a b   1;5; 2 C.a b 3; 1; 4   B.b a 3; 1; 4  D.a b 3

Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho a1; 2;3 , b  2;3; 1 .Khi đó: A.3a b 1;9;8 B.a2b5; 4;5

B.2b a 5; 4;5  D.a2b  3;8;1

Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho a1; 2;3 , b  2;3; 1 .Khi đó:

A.a b  1 B a b  1 C.2 b a 2 D.a2b  3;8;1

Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a1; 2;3 , b  2;3; 1  Khi a b có tọa độ là:

A.1;5; 2 B.3; 1; 4  C.1;5;  D.1; 5; 2  

Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho véctơ  2;1; 0



 

a ; 1;3; 2



 

b ; 2; 4;3





c Tọa độ

2

   

u a b c là:

A.3;7;9 B.5;3; 9  C.  3; 7; 9 D.3;7;9 

Câu 21. Trong không gian Oxyz, cho điểm B1; 2; và  C7; 4; 2  Nếu điểm E thỏa mãn đẳng thức CE2EB tọa độ điểm E :

A. 3; ;8

3

  

 

  B.

8

;3;

3

  

 

  C.

8 3;3;

3

  

 

  D.

1 1; 2;

3

 

 

 

Câu 22. ChoA1; 2;3 ;  B 0;1; 3  Gọi M điểm cho AM 2BAkhi tọa độ điểm M

A.M3; 4;9 B.M3; 4;15 C.M1;0; 9  D.M(1;0;9)

Câu 23. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz choA2;0;0 ;  B 0;3;1 ;  C 3;6; 4 Gọi M điểm nằm cạnh BC choMC2MB Độ dài đoạn AM là:

(25)

Câu 24. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm A2; 2;1 ,  B 3; 2;1   Tọa độ điểm C đối xứng với A qua B là:

A.C1; 2; 1  B.C1; 2; 1   C.C1; 2;1 D.C4; 2;1 

Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho u1;1; 2, v1; ;m m2 Khi

 u v,  14 thì:

A. 1; 11

5

  

m m B. 1; 11

3

   

m m C.m1;m 3 D.m 1.

Câu 26. Trong không gian Oxyz, cho ba véctơ a1;1;0, b1;1; 0 c1;1;1 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A. a  B.c  C.ab D.b c

Câu 27. Trong không gian Oxyz, cho ba véctơ a1;1;0, b1;1; 0 c1;1;1 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A.a c 1. B.avà bcùng phương C.cos ,

6



b c D.a b  c

Câu 28. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A1;0;0 ,  B 0;1;0 ,  C 0;0;1và D1;1;1 Gọi ,

M Nlần lượt trung điểm AB CD Khi tọa độ trung điểm G đoạn thẳng MN là:

A. 1 1; ; 3

 

 

 

G B. 1 1; ;

4 4

 

 

 

G C. 2 2; ;

3 3

 

 

 

G D. 1 1; ;

2 2

 

 

 

G

Câu 29. Trong không gian Oxyz, cho a1; 2;3 , b  2;3; 1  Kết luận sau đúng? A.a b   1;5; 2. B.a b 3; 1; 4  

C.b a 3; 1; 4  D a b 3

Câu 30. Cho ba điểm A1; 2;3 , B 0; 1; 2  C1;0;1 Kết luận sau đúng?

A.AB    1; 3; 1 B.AC  1;3; 1  C.BC   1; 3;1 D BA1; 3;1 

Câu 31. Cho hai điểm A0;1;0 B1;0;1Tính:

A.AB1; 1;1  B.AB1 C.AB D.AB  1;1; 1 

Câu 32. Cho ba điểm B1;0; 1  C0; 1; 2  Độ dài đoạn thẳng BC

A.2 B. 11 C.1 D.

Câu 33. Cho hai điểm A1; 2; 0, B1;0; 1 Độ dài đoạn thẳng AB bằng?

(26)

Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ a4; 2; ,   b6; 3; 2  2a3b a 2b có giá trị

A.250 B. 200 C.

200 D.200

Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A2;1; , B 2; 2;6 , C 6;0; 1  Khi

AB AC

A.27 B.65 C.67 D.33

Câu 36. Trong không gian Oxyz, cho véctơ: a ( 1,1, 0); b(1,1, 0); c(1,1,1) Trong mệnh đề sau mệnh đề sai

A. a  B.c  C.ab. D.bc

Câu 37. Cho a b có độ dài Biết góc  

, 60

a b ab bằng:

A.1 B.2 C. D. 22

2

Câu 38. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho véctơ a 2;3;1 , b 5; 7; , c 3; 2; 4  Bộ số

m n p; ;  thỏa mãn hệ thức ma nb pc 0

A.0;0;0  B.1; 0;  C.0;1;0  D.1;1;1 

Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a2; 1;3 ,  b1; 3; ,  c3; 2; 4  Gọi x véctơ thỏa mãn x a  5, x b  11, x c 20 Tọa độ x

A.x2;3; 2 . B.x2;3;1. C.x3; 2; 2 . D.x1;3; 2

Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a x; 2;1 , b 2;1; 2.Tìm x, biết

  cos ,

3



a b

A.

2



x B.

3



x C.

2



x D.

4



x

Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho A( 2; 2; 1)  , B2;3;0 , C x ;3; 1 .Giá trị x

để tam giác ABCđều

A.x 1 B.x 3 C.

3

      

x

x D x1

Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai điểm A(2;1;1), B0;3; 1 và điểm Cnằm mặt phẳng Oxy cho ba điểm A B C, , thẳng hàng Điểm Ccó tọa độ

A.1; 2;3 B.1; 2;1 C.1; 2;0 D 1;1;0 

(27)

A.cos ,



b c B.ac1

C.a b phương D. a b c  0.

Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A2; 1;5 ,  B 5; 5;7 ,  M x y; ;1Với giá trị x y, A B M, , thẳng hàng

A.x4;y7 B.x 4;y 7 C.x4;y 7 D.x 4;y7

Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm P x ; 1; ,   Q 3; 3;1 , biết PQ3, giá trị x là:

A.2 B.-2 -4 C.2 -4 D.4 -2

Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a x; 2;1 , b 2;1; 2.Tìm x biết

  cos ,

3



a b

A.

2



x B.

3



x C.

2



x D.

4



x

Câu 47. Trong không gian Oxyz cho a3; 2; ;  5;1; 6





b ;  3; 0; 2



 

c Tọa độ x cho x

đồng thời vng góc với a b c, , là:

A.0;0;1  B.0;0;0  C.0;1;0  D.1;0;0 

Câu 48. Cho ba điểm A1;1; , B 1;3; , C 1; 2;3 Tính tọa độ trung điểm I đoạn AC A.I0;0;6 B. 0; ;3

2

 

 

 

I C. 1; 2;8

3

 

 

 

I D. 0; ; 23

2

 

 

 

I

Câu 49. Cho điểmM1; 1;1  H0;1; 4 Tìm tọa độ điểm N cho đoạn thẳng MN nhận H làm trung điểm

A.N1;3;3 B.N1;3; 4 C.N1;3;6 D.N1;3;7

Câu 50. Góc hai véctơ a2;5; 0 b ; 7; 0   là:

A.

30 B.

45 C.

60 D.

135

Câu 51. Cho điểm M 2; 3;5 , N 4;7; , P 3;2;1 , Q 1; 8;12 Bộ điểm sau

thẳng hàng:

A.M, N, P B.M, N,Q C.M, P,Q D.N, P,Q

Câu 52. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M 2; 3; , N 1;1;1 ,

P 1;m 1;2 Với giá trị m tam giác MNP vng N?

A.m 3 B.m 2 C.m 1 D.m

Câu 53. Cho véctơ u(1;1; 2) v(1; 0; )m Tìm m để góc hai véctơ u v có số đo 450

(28)

Bước 1:   2 cos ,    m u v m Bước 2: Góc u, v

45 suy

2

1

2    m m

1 (*)

  m m 

Bước 3: phương trình (*)

(1 ) 3( 1)

  m  m 2

2             m m m m

Bài giải hay sai? Nếu sai sai bước nào?

A.Bài giải B.Sai bước C.Sai bước D.Sai bước

TỌA ĐỘ ĐIỂM ĐẶC BIỆT

Câu 54. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABCvớiA(1; 4; 2) , ( 3; 2;1), (3; 1; 4) B  C  Khi trọng tâm Gcủa tam giácABC là:

A. 1; 1;7

3

  

 

 

G B.G3; 9; 21  C. 1; 1;7

2

  

 

 

G D. 1; 7;

4

  

 

 

G

Câu 55. Trong không gian Oxyz cho điểm A2; 1;1 ,   B 5;5; ,  C3; 2; 1  Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC

A. 10 4; ; 3

 

 

  B.

10

; 2;

3

 

 

  C.

1 10 ; ; 3

 

 

  D.

1 ; 2; 3      

Câu 56. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A1;1;3 ;  B 1; 3; ;  C 1; 2;3 .Tính tọa độ trọng tâm Gcủa tam giác ABC

A.G0;0;6 B. 0; ;33

 

 

 

G C. 1; 2;8

3

 

 

 

G D. 0; ; 23

2

 

 

 

G

Câu 57. Trong không gian Oxyz, cho điểm A2; 1;1 ,   B 5;5; 4 ,C 3; 2;   Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC

A. 10 4; ; 3

 

 

  B.

1

; 2;

3

 

 

  C.

1 10 ; ; 3

 

 

  D.

10 ; 2; 3      

Câu 58. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; 2) , ( 3; 2;1), (3; 1; 4) B  C  Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC

A. 1; 1;7

3

  

 

  B.3; 9; 21  C.

1

; 1;

2

  

 

  D.

1

; ;

4

  

 

 

Câu 59. Trong không gian Oxyz, cho ba điểmA(1; 0; 0) , (1;1; 0), (0;1;1)B C Biết D điểm cho tứ giác ABCDlà hình bình hành Hãy tìm tọa độ điểm D

A.D1;1;1 B.D0;0;1 C.D0; 2;1 D.D2;0;0

Câu 60. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A1; 2; ,  B 2;3; ,  C1; 0;1 Trong điểm M4;3; ,  N  1; 2;3 , P 2;1;0, điểm đỉnh thứ tư hình bình hành có đỉnh A, B, C ?

(29)

Câu 61. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M1; 0; 0, N0; 2; 0  P0;0;1 BiếtMNPQlà hình bình hành Tìm tọa độ điểm Q

A.1; 2;1 B.1; 2;1 C.2;1; 2 D.2;3; 4

Câu 62. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A2;0;0,C0; 4;0 Biết điểmB a b c ; ; là điểm cho tứ giác OABC hình chữ nhật Tính giá trị biểu thức P  a 4b c

A.14 B.12 C.14 D.12

Câu 63. Trong khơng gianOxyz, cho hình bình hành OADBcó OA  1;1; 0, OB i j Khi tọa

độ tâm hình hìnhOADBlà:

A.(0;1; 0). B.(1; 0; 0). C.(1; 0;1). D.(1;1; 0)

Câu 64. Trong không gian Oxyz, cho điểm A1;0; ,  B 2;1;3 ,  C 3; 2; ,  D 6;9;   Tọa độ trọng tâm tứ diện ABCDlà:

A.2;3;1  B.2; 3;1  C.2;3;1 D.2;3; 1 

Câu 65. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(1; 0; 0),C(0; 0;1)vàD(1;1;1) Gọi M N, trung điểm ABvà CD Khi tọa độ trung điểm G đoạn thẳng MNlà:

A. 1; ; 4

 

 

 

G B. 1 1; ;

4

 

 

 

G C. 2 2; ;

3 3

 

 

 

G D. 1 1; ;

2 2

 

 

 

G

Câu 66. Cho hình hộp ABCD A B C D ’ ’ ’ ’có A1;0;1 ,  B 2;1; ;  D 1; 1;1 vàC’ 4;5;5  Tọa độ C A’là:

A.C2;0;2 , ’ 3;5;4  A   B.C2 ;5; , ’ 3;4;   A   

C.C4;6; , ’ 3;5; 6  A    D.C2;0;2 , ’ 3;4; 6 A  

Câu 67. Cho hình lập phương ABCD A B C D ’ ’ ’ ’có cạnh 1, điểm A trùng với gốc tọa độ O B, nằm tia Ox, D nằm tia Oy A’ nằm tia Oz Kết luận sau SAI?

A.A0;0;0 B.D0;1;1 C.C1;1;1 D.A  1; 1; 1

Câu 68. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;1), B0;3; 1 và điểm C nằm mặt phẳng Oxysao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Điểm C có tọa độ

A.1; 2;3 B.1; 2;1 C.1; 2;0 D.1;1;0 

Câu 69. Chọn hệ tọa độ cho hình lập phương ABCD A B C D     có A(0; 0; 0), C(2; 2; 0) tân I hình lập phương có tọa độ (1;1;1) Tìm tọa độ đỉnh B

A.2;0; 2 B.0; 2; 2  C.2;0;  0; 2; 2 D.2; 2;0 

Câu 70. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A3; 4;0 ,  B 0; 2; , C 4; 2;1 Tọa độ điểm D Ox thỏa mãn ADBC là:

A.0;0;0  6;0;0  B.0;0;  0;0;8 

(30)

Câu 71. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A3;1;0 ; 1; 1;0  B(  ) Gọi M điểm trục tung cách Avà B thì:

A.M2;0;0 B.M(0; 2; ) ) C.M0; 2;0 D.M0;0; 2

Câu 72. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;1;1,B 1; 1;0,C3;1; 1  Tọa độ điểm N thuộc (Ox )y cách A B C, , :

A. 0; ; 27

 

 

  B.

7 2; ;

4

 

 

  C.

7 2; ;

4

  

 

  D.

7 2; ;

4

  

 

 

Câu 73. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểmB( 1; 1; 0)  ,C(3;1; 1) Tìm tọa độ điểm M thuộc Oyvà cách B C,

A. 0; ; 09

 

 

  B.

9 0; ;

2

 

 

  C.

9 0; ;

2

  

 

  D.

9 0; ;

4

  

 

 

Câu 74. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCDcó

2; 1;1 

A ,B3;0; 1 ,C2; 1;3 và D thuộc trụcOy Tính tổng tung độ điểm D Biết thể tích tứ diện

A.6 B.2 C.7 D.4

Câu 75. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểmA(2; 0; 0), (0; 2; 0), (0; 0; 2), (2; 2; 2)B C D mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính

A.3. B. 3 C.

2 D.

2

Câu 76. Trong không gian Oxyz, cho điểm A2,3,1 1; 0;1

 

 

 

B , C2,0,1 Tọa độ chân đường phân giác góc A tam giác ABC

A. 1;0;1  B.-1; 0;1  C.1;1;1  D.1;0; 1 

Câu 77. Trong không gian với tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A1;0;0 ; B 0;1;0; C0; 0;1 trực tâm H tam giác ABC

A. 1 1; ; 3

 

 

  B.1;1;1 C.

1 1 ; ; 2

 

 

  D.0;0;0 

Câu 78. Trong không gianOxyz, cho bốn điểmA1;0; ,  B -2;1;3 ,  C 3; 2; 4 Tọa độ trực tâm H tam giác ABC

A. 5 11; ; 8

 

 

 

H B. 5; 11;

4 8

  

 

 

H C. 5; 5; 11

4 8

   

 

 

H D. 5; ; 11

4 8

  

 

 

H

Câu 79. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A1; 1;0 ,   B 2; 2;1 ,  C 13;3; ,  D 1;1;1  Tọa độ chân đường cao H tứ diện ABCD đỉnh D

A. 10 10 5; ;

9 9

 

 

 

H B. 10; -10 5;

9 9

 

 

 

H C. -10 10 5; ;

9 9

 

 

 

H D. 10 10; ; -5

9 9

 

 

 

(31)

XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU

Câu 80. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S): x2y2z28x4y2z 4 0 Bán kính R mặt cầu:

A.R 17 B.R 88 C.R2 D.R5

Câu 81. Trong không gian Oxyz, tâm I mặt cầux2y2z28x2y 1 có tọa độ là:

A.I(4;1; 0) B.I(4; 1; 0) C.I( 4;1; 0) D.I( 4; 1; 0) 

Câu 82. Cho mặt cầu (S): x2y2z22x4y `1 có tâm I bán kính R là:

A.I(1; 2; 0), R2 B.I(1; 2;1), R2

C.I(1; 2;1), R 6 D.I(1; 2;0), R

Câu 83. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S :x5 2 y42 z2 9 Hãy tìm tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu  S

A.I5; 4;0, R3 B.I5; 4; 0, R9

C.I5; 4;0 , R3 D.I5; 4;0 , R9

Câu 84. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S : (x1)2 (y 2)2 (z 1)2 9 Hãy tìm tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu  S

A.I( 1; 2;1) vàR3 B.I(1; 2; 1)  R3

C.I( 1; 2;1) vàR9 D.I(1; 2; 1)  vàR9

Câu 85. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S :x2y2z2 9 Hãy tìm tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu  S

A.I(0; 0; 0)vàR3 B.I(0; 0;1)vàR9

C.I(1;1;1)vàR3 D.I(0;1; 0)vàR3

Câu 86. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S : 2x22y22z24x8y 2 Hãy tìm tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu  S

A.I2; 4; ; R3 B.I1; 2; ; R

C.I1; 2;0 ; R2 D.I1; 2; ;  R

Câu 87. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2y2z2 x 2y 1 0có tâm I bán kính R.Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A. 1;1;

 

 

 

I

4



R B. 1; 1;

2

  

 

 

I

2



R

C. 1; 1;

  

 

 

I

2



R

D.

;1;

 

 

 

I

2



R

Câu 88. Trong mặt cầu S : x1 2 y2 2 z 32 12 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai:

(32)

C. S qua điểmN3; 4; 2 D. S qua điểm M1;0;1

Câu 89. Tìm tâm bán kính mặt cầu x2y2z2 x 2y - 3z =

A.Tâm 1; 1;

2

 

 

 

I bán kính R = 13

2 B. Tâm I1;1;3 bán kính R = 14

C. Tâm I1;1;3và bán kính R = 14 D.Tâm 1; 1;

2

 

 

 

I bán kính R = 14

Câu 90. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,mặt cầu 2

2

( ) : xS y z  x y z 0 có tâm I, bán kính R :

A.I( 2; 4; 6),  R 58 B.I(2; 4; 6), R 58

C.I( 1; 2; 3),  R4 D.I(1; 2;3), R4

Câu 91. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình sau phương trình phương

trình mặt cầu:

A.x2y2z210xy 8 y2z 0  B.3x23y23z22x 6 y4z 0 

C.2x22y22z22x 6 y4z 9 0 D.x2yz22x 4 y  z

Câu 92. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, giá trị tham số m để phương trình

2 2

2 2( 2) 2( 3) 37

         

x y z mx m y m z m phương trình mặt cầu:

A.m 2hay m4 B.m 4hay m2

C.m 4 hay m 2 D.m 2 hay m4

Câu 93. Tìm tất giá trị m để phương trình 2

2 28

      

x y z mx my mz m phương

trình mặt cầu:

A.m0hoặc m2 B.0 m 2 C.m0 D.m2

Câu 94. Trong mặt cầu   S : x1 2 y2 2 z 32 12 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai:

A. S có tâm I1; 2;3 B. S có bán kính R2

C. S qua điểm M1;0;1 D. S qua điểm N3; 4; 2

Câu 95. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M1; 1;3  mặt cầu  S có phương trình  2 2

1

    

x y z Khẳng định là:

A.M nằm  S B.M nằm  S

C.M nằm trên S D.M trùng với tâm  S

Câu 96. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( ) :S x2y2z22x4y6z0 ba điểm (0; 0; 0), (1; 2;3), (2; 1; 1) 

O A B Trong ba điểm số điểm nằm bên mặt cầu là:

A.1 B.2 C.0 D.3

Câu 97. Trong không gian Oxyzcho mặt cầu ( ) :S x2y2 z22x4y6z0 ba điểm (0; 0; 0), (1; 2;3), (2; 1; 1) 

O A B Trong ba điểm số điểm thuộc mặt cầu là:

(33)

Câu 98. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình

2 2

( ) :S x y z 2x6y4z0 Biết OA, (O gốc tọa độ) đường kính mặt cầu ( )S Tọa độ điểm A

A.A( 1;3; 2) B.A( 1; 3; 2)  C.A(2; 6; 4)  D.A( 2; 6; 4)

Câu 99. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S : 2x22y22z212x4y 4 Mặt cầu  S có đường kính AB Biết điểm A( 1; 1; 0)  thuộc mặt cầu  S Tọa độ điểm B

A.B( 5;3; 2)  B.B( 11;5; 0) C.B( 11;5; 4)  D.B( 5;3; 0)

Câu 100. Trong không gian Oxyz mặt cầu ( ) :S x2y2z24mx4y2mzm24m0 Có bán kính nhỏ m bằng:

A.1

2 B.

1

3 C.

3

2 D.0

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Câu 101. Trong khơng gian với tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu có tâm I4; 1;3  bán kính là:

A.x4 2 y1 2 z 32 5 B.x4 2 y1 2 z 32 25

C.x4 2 y1 2 z 32  5 D.x4 2 y1 2 z 32 5

Câu 102. Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(1; 1; 2) bán kính R4 có phương trình là:

A.(x1)2(y1)2 (z 2)2 16 B.(x1)2(y1)2 (z 2)2 16

C.(x1)2(y1)2 (z 2)2 4 D.(x1)2(y1)2 (z 2)24

Câu 103. Trong khônggian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S có tâm I5; 4;3, bán kính R4 Hãy tìm phương trình mặt cầu  S ?

A.x5 2 y4 2 z 32 2

B.     

2 2

5 16

     

x y z

C.x5 2 y4 2 z 322

D.     

2 2

5 16

     

x y z

Câu 104. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I1; 2; 3  bán kính R2 là:

A.x2y2 z22x4y6z100 B.x2y2z22x4y6z100

C.x1 2 y2 2 z 32 32 D.x1 2 y2 2 z 32 22

Câu 105. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S có tâm I5; 4;3, bán kính R5

Phương trình mặt cầu  S

A.x5 2 y4 2 z 32 25

B.     

2 2

5 25

     

x y z

C.x5 2 y4 2 z 32 25

D.     

2 2

5 25

     

(34)

Câu 106. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2;5), (2;1;1)B C(0; 0;3) Phương trình mặt cầu  S có tâm trọng tâm tam giác ABC bán kính

A.(x1)2(y1)2 (z 3)2 3 B.(x1)2(y1)2 (z 3)2 9

C.(x1)2(y1)2 (z 3)2 9 D.(x1)2(y1)2 (z 3)2 3

Câu 107. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S có tâm I1;3; 2 , biết diện tích mặt cầu 100 Khi phương trình mặt cầu  S là:

A. 2

2x 4z

      

x y z y B. 2

2x 4z 86

      

x y z y

C.x2y2z22x 6 y4z 9 0 D.x2y2z22x 6 y4z 11 0 

Câu 108. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S có tâm I1; 4; 2, biết thể tích khối cầu 972 Khi phương trình mặt cầu  S là:

A.x1 2 y4 2 z 22 81 B.x1 2 y4 2 z 22 9

C.x1 2 y4 2 z 22 81 D.x1 2 y4 2 z 22 9

Câu 109. Trong khônggianOxyz, mặt cầu tâm I(1;1; 2) qua A( 2;1; 6) có phương trình là:

A.(x1)2(y1)2 (z 2)225 B.(x1)2(y1)2 (z 2)2 5

C.(x1)2(y1)2 (z 2)2 25 D.(x1)2(y1)2 (z 2)2 5

Câu 110. Mặt cầu  S có tâm I(1; 2;3) bán kính R3 phương trình mặt cầu  S là:

A.x1 2 y2 2 z 32 9 B.x1 2  y2 2 z 32 3

C. 2

2

      

x y z x y z D.x1 2 y2 2 z 32 

Câu 111. Mặt cầu  S có tâm I(2; 1; 2) qua điểm A(2; 0;1) có phương trình là:

A.x2 2 y1 2 z 22 1 B.x2 2 y1 2  z 22 2

C.x2 2 y1 2 z 22 1 D.x2 2 y1 2 z 22 1

Câu 112. Trong không gianOxyz, mặt cầu tâm I(1;1; 2) qua A( 2;1; 6) có phương trình :

A.(x1)2(y1)2 (z 2)225 B.(x1)2(y1)2 (z 2)2 5

C.(x1)2(y1)2 (z 2)2 25 D.(x1)2(y1)2 (z 2)2 5

Câu 113. Phương trình mặt cầu tâm I2;1; 2  qua 3; 2; 1  là:

A.x2y2z24x2y4z 6 0 B.x2y2z24x2y4z 6

C. x2y2z24x2y4z120 D.x2y2z24x2y4z 6

Câu 114. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;1; 3), (4;3; 2), (6; 4; 1) B  C   Phương trình mặt cầu tâm A qua trọng tâm G tam giác ABC là:

A. 2

(x2) (y1)  (z 3) 6 B. 2

(x2) (y1)  (z 3) 6

C. 2

(x2) (y1)  (z 3) 4 D. 2

(35)

Câu 115. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I2; 1; 2  qua điểm A2; 0;1 có phương trình là:

A.x2 2 y1 2 z 222 B.x2 2 y1 2 z 22 2

C.x2 2 y1 2 z 22 1 D.x2 2 y1 2 z 22 1

Câu 116. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S có tâm I3; 3;1  qua điểm

5; 2;1 

M Phương trình mặt cầu  S có dạng:

A.x3 2 y3 2 z 12 5 B.x3 2 y3 2 z 12 2

C.x3 2 y3 2 z12 5 D.x3 2 y3 2 z 12 5

Câu 117. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2;3) Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy

A.(x1)2(y2)2 (z 3)2 13 B.(x1)2(y2)2  (z 3)2 5 C.(x1)2(y2)2 (z 3)2 14 D.(x1)2(y2)2 (z 3)2 10

Câu 118. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu  S có tâm I3; 4; 2   tiếp xúc với trục Ox Bán kính mặt cầu  S là:

A.R5 B.R2 5 C.R3 D.R3

Câu 119. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S có tâm I3; 2; 4  tiếp xúc với trục Oy Viết phương trình mặt cầu  S

A.x3 2 y2 2 z 42 25 B.x3 2 y2 2 z 42 45

C.x3 2 y2 2 z 4225 D.x3 2 y2 2 z 42 54

Câu 120. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai điểm B(1;1; 9),C(1; 4; 0) Mặt cầu  S qua điểm B tiếp xúc với mặt phẳng Oxy C có phương trình là:

A.x1 2 y4 2 z 52 25 B.x1  2 y 42 z 52 5

C.x1 2 y4 2 z 52 25 D.x1 2 y4 2 z 52 5

Câu 121. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( 1; 0;1) , (1; 2; 1) , ( 1; 2;3) B  C  I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lập phương trình mặt cầu  S có tâm Ivà tiếp xúc với mặt phẳng Oxz là:

A.x2(y2)2 (z 1)28 C.x2(y2)2 (z 1)2 10

B.x2(y2)2 (z 1)2 4 D.x2(y2)2 (z 1)2 6

Câu 122. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1;3) Phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng Oyz là:

A.(x2)2(y1)2 (z 3)2 2 B.(x2)2(y1)2 (z 3)2 14

(36)

Câu 123. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 2; 4) Mặt cầu  S có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (xOz) là:

A.(x3)2(y2)2 (z 4)2 25 B.(x3)2(y2)2 (z 4)2 18

C.(x3)2(y2)2 (z 4)2 4 D.(x3)2 (y2)2 (z 4)2 13

Câu 124. Viết phương trình mặt cầu  S qua điểm A1; 2; 0 có tâm gốc tọa độ O

A.2x2y2z2 5 B.x22y23z2 5

C.x2y2 2z2 5 D.x2y2 z2 5

Câu 125. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M1; 1; ,   N 3;1; 4 Mặt cầu đường kính MN có phương trình là:

A.x22 y2 z 32 3 B.x22y2 z 32 3

C.x1 2 y1 2 z 12 3 D.x1 2 y1 2 z 12 12

Câu 126. Lập phương trình mặt cầu đường kính AB với A6; 2; 5  B4;0;7

A.x5 2 y1 2 z 62 62 B.x5 2  y1 2 z 62 62

C.x1 2 y1 2 z 12 62 D.x1 2 y1 2 z 12 62

Câu 127. Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu có đường kính AB với A(4; 3; 7); (2;1;3) B là:

A.(x3)2(y1)2 (z 5)2 9 B.(x3)2(y1)2 (z 5)2 9

C.(x3)2(y1)2 (z 5)2 3 D.(x3)2(y1)2 (z 5)2 3

Câu 128. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2; 4;1 , B 2; 2; 3  Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

A.x2 y3 2 z 12 9 B.x2y3 2 z 12 9

C.x2 y3 2 z 12 3 D.x2y3 2 z 12 9

Câu 129. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 2; 0; 3)  , B(2; 2; 1) Phương trình sau phương trình mặt cầu đường kính AB?

A.x2y2z22y4z 1 B.x2y2z22x4z 1

C.x2y2z22y4z 1 D.x2y2z22y4z 1

Câu 130. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;1), ( 1; 0;3) B  Tâm mặt cầu  S đường kính AB có tọa độ là:

A.I(0; 2; 4) B.I(2; 2; 2)  C.I(0; 1; 2) D.I( 2; 2; 2)

Câu 131. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A4, 3, ,  B 2,1,3 Phương trình mặt cầu có đường kính AB là:

A.x3 2 y1 2 z 52 9 B.x3 2 y1 2 z 52 9

(37)

Câu 132. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD vớiA2; 1; , 1; 1; ,  B  C 2; –1; , 1; –1 D( ; 0) Tìm tọa độ tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

A. 3; 0;3

2

 

 

 

G , 17

2

 

R GA B. 3; 0;3

2

 

 

 

G , 14

3

 

R GA

C. 3; 0;3

2

 

 

 

G , 13

2

 

R GA D. 3; 0;3

2

 

 

 

G , 14

2

 

R GA

Câu 133. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0;1; 0), C(0; 0;1) D(1;1;1) Khi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính:

A.

2 B. C. D.

3

Câu 134. Cho A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2), D(2; 2; 2) Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính:

A.3 B. 3 C.

2 D.

2

Câu 135. Bán kính mặt cầu qua bốn điểm O0;0;0 ,  A 4;0;0 ,  B 0; 4;0  ,C 0;0; 4 :

A. 2 B.2 3 C.3 2 D.12

Câu 136. Cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0;1; 0), C(0; 0;1), O(0; 0; 0) Khi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có phương trình là:

A.x2y2z22x2y2z0 B.x2y2z2   x y z

C.x2 y2z2   x y z 0 D.x2y2z22x2y2z0

Câu 137. Trong không gian Oxyz, mặt cầu qua bốn điểm A(6; 2;3), (0;1; 6), B C(2; 0; 1), D(4;1; 0) có phương trình là:

A.x2y2z24x2y6z 3 0 B.x2y2z24x2y6z 3

C.x2y2z24x2y6z 3 0 D.x2y2z24x2y6z 3

Câu 138. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểmA( 1; 2; 1),  B(2;1; 1), C(3; 0;1) Mặt cầu qua điểm O A B C, , , (O gốc tọa độ) có bán kính bằng:

A.R 13 B.R2 13 C.R 14 D.R2 14

Câu 139. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A1;0;0 ,  B 0; 2;0 và C0;0;3 Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

A.x2y2 z22x4y6z100 B.x1 2 y2 2 z 32 22

C.x2y2z2 x 2y - 3z = 0 D.x1 2 y2 2 z 32 32

Câu 140. Trong khơng gian Oxyz, phương trình mặt cầu ( )S qua ba điểm A(1; 2; 4) , B(1;3; 1) , C(2; 2; 3)  có tâm nằm mặt phẳng Oxy là:

A.x2y2z24x2y21 0 B.x2y2z24x2y3z210

(38)

Câu 141. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 0), ( 3; 4; 2)B  I điểm thuộc trục Ox Phương trình mặt cầu tâm I qua A B, có phương trình là:

A.(x3)2y2z2 20 B.(x3)2y2z2 20

C.( 1)2 ( 3)2 ( 1)2 11

     

x y z . D.(x1)2(y3)2 (z 1)2 20

Câu 142. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S qua điểmA 1; 2;3 ,  B 2;0; 2 và có tâm nằm trục Ox Phương trình mặt cầu  S là:

A.(x1)2(y2)2z2 29 B.(x3)2 y2 z2 29

C.x2y2 (z 3)2 29 D.(x3)2 y2 z2 29

Câu 143. Cho mặt cầu  S có tâm I nằm mặt phẳng (Oxy) qua điểm

1, 2, ;  

A B1, 3,1 ;   C2, 2, 3 Toạ độ tâm I

A.2,1, 0 B.0;0; 2  C.2; 1;0  D.0, 0,1 

Câu 144. Cho hình lập phương ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ có cạnh Gọi M trung điểm đoạn AD,N tâm hình vng CC D D’ ’ Tính bán kính mặt cầu qua điểm B C M N, ’, ,

A. 35 B. 35

2 C.4 D.7

Câu 145. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểmA(0; 2; 0), ( 1;1; 4)B  C(3; 2;1) Mặt cầu  S tâm I qua A B C, , độ dài OI  (biết tâm I có hồnh độ ngun, O gốc tọa độ) Bán kính mặt cầu  S là:

A.R2 B.R3 C.R4 D.R5

Câu 146. Trong không gian với hệ toạ độOxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ có A O ,

3;0;0 ,  0;2;0 , ’ 0;0;1   

B D A Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với AB’

A.( 3)2 ( 2)2 49

10

    

x y z B.( 3)2 ( 2)2 64

10

    

x y z

C.( 3)2 ( 2)2 25 10

    

x y z D.( 3)2 ( 2)2 81

10

    

x y z

Câu 147. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’ có tam giác ABC vuông A , đỉnh A trùng với gốc tọa độ O , B1; 2; 0 tam giác ABC có diện tích

5 Gọi M trung điểm CC’ Biết điểm A' 0; 0; 2  điểm C có tung độ dương Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB C M' '

A.( ) :S x2y2z23x3y3z 1 B.( ) :S x2y2z23x3y3z0

C.( ) :S x2y2z23x3y3z0 D.( ) :S x2y2z23x3y3z 1

Câu 148. Mặt cầu tâm I2; 4; 6 tiếp xúc với trục Oz có phương trình:

A. x2 2 y4 2 z 62 20 B. x2 2 y4 2 z 62 40

(39)

Câu 149. Mặt cầu tâm I2; 4; 6 tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình:

A. x2 2 y4 2 z 62 16 B. x2 2 y4 2 z 62 4

C. x2 2 y4 2 z 62 36 D. x2 2 y4 2 z 62 56

Câu 150. Cho điểm A2;1; 1  B1;0;1 Mặt cầu qua hai điểm A, B tâm thuộc trục Oy có đường kính là:

A. 6.. B. 2 C. D.

Câu 151. Gọi (S) mặt cầu có tâm I1; 3;0  cắt trục Ox hai điểm A, B cho tam giác IAB Điểm sau không thuộc mặt cầu (S):

A. 2; 1;1   B. 3; 3; 2   C. 3; 3; 2    D. 1; 3;  

Câu 152. Mặt cầu (S) có tâm I2;1; 1  cắt trục Ox hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông Điểm sau thuộc mặt cầu (S):

A. 2;1;1  B. 2;1;  C. 2; 0;  D. 1; 0; 

Câu 153. Cho ba điểm A(6; 2;3) , B(0;1; 6), C(2; 0; 1) , D(4;1; 0) Khi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình là:

A. 2

4

      

x y z x y z B. 2

4

      

x y z x y z

C.x2y2z22x y 3z 3 D.x2y2z22x y 3z 3 ĐÁP ÁN

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C A A B C C D D C A A B D A A A A D A B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B C D C D C D A A A B D D A D C A A D 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

C C A D A D B B D D B D D A B C D A B D 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

B C A A A A D C C A A C A A B A A B A D 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A A C A A C B C D D B A A D A A A A D A 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

A B B B B B D A C C B C A A A D D B C A 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 1333 134 135 136 137 138 139 140

B C C D B C B D C C D D A B B B A C C D 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153

(40)

PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng

Vectơ n0 véctơ pháp tuyến   giá n vng góc với  

Chú ý: Nếu n VTPT   kn k0 VTPT   . 2 Phương trình tổng quát mặt phẳng

0

AxByCz D với A2B2C2 0

 Nếu   có phương trình AxByCz D n( ; ; )A B C véctơ pháp tuyến

 

 Phương trình mặt phẳng qua M x y z0( ;0 0; 0) có véctơ pháp tuyến n( ; ; )A B C là:

0 0

( ) ( ) ( )

A xx B yy C zz 

3 Các trường hợp riêng

Chú ý:  Nếu phương trình   khơng chứa ẩn   song song chứa trục tương ứng

 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: x y z

a  b c   cắt trục toạ độ các

điểm a;0;0 , 0; ;0 , 0;0;  b   c

Các hệ số Phương trình mặt phẳng   Tính chất mặt phẳng  

D AxByCz0   qua gốc toạ độ O

0

A ByCz D   //Ox   Ox

0

B Ax Cz  D   //Oyhoặc   Oy

0

C AxBy D   //Ozhoặc   Oz

0

A B Cz D    // Oxyhoặc     Oxy

0

A C  By D    // Oxzhoặc     Oxz

0

(41)

4 Vị trí tương đối hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng     ,  có phương trình:   : A x1 B y C z1  1 D1 0   : A x2 B y C z2  2 D2 0      ,  cắt  A B C1: 1: 1 A2:B2:C2

     1 1

2 2

// A B C D

A B C D

     

     1 1

2 2

A B C D

      

        A A1 2B B1 2C C1 0

5. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho điểm M0x y z0; 0; 0 mặt phẳng   :AxBy Cz  D

  0

0, ( ) 2 2 2

Ax By Cz D d M

A B C

    

 

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M x y z 0; 0; 0và có véctơ pháp tuyến

 ; ; 

n A B C

Phương pháp giải:

Phương trình mặt phẳng qua M0x y z0; 0; 0 có véctơ pháp tuyến nA B C; ;  là:

 0  0  0

A xx B yy C zz 

VD 1. Gọi   mặt phẳng qua điểm M1; 2; 4 và nhận n2;3;5làm véctơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng   là:

A. 2x3y5z160 B. 2x3y5z160 C. 2x3y5z280 D. 2x3y5z280

Hướng dẫn giải Chọn A

(42)

VD 2. Gọi   mặt phẳng qua điểm M1; 2;3và nhận n4;5; 6làm véc tơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng   là:

A. 4x5y6z320 B. 4x5y6z320 C. x2y3z320 D. x2y3z320

Hướng dẫn giải Chọn B

Phương trình mặt phẳng ( ) : 4x 1 5 y 2 6 z  3 4x5y6z320

VD 3. Gọi   mặt phẳng qua điểm M2;0;1và nhận n1;1;1làm véc tơ pháp tuyến.Phương trình mặt phẳng   là:

A. 2x0y  z B. x   y z C. 2x0y  z D. x   y z

Hướng dẫn giải Chọn D

Phương trình mặt phẳng   : 1x 2 1 y 0 1 z      1 x y z Dạng Viết phương trình mặt phẳng qua điểm song song với mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng   qua điểm M x y z 0; 0; 0 song song với mặt

phẳng  :AxBy Cz  D nên phương trình có dạng:

   :A xx0B y y0C z z00

VD 1. Gọi   mặt phẳng qua điểm M2; 1; 2 và song song với mặt phẳng

( ) : 2Q x y 3z 4 0.Phương trình mặt phẳng   là:

A. 2x y 2z 11 B. 2x y 3z110 C. 2x y 3z 11 D. 2x y 3z 4

Hướng dẫn giải Chọn C

Phương trình mặt phẳng  Q : 2x y 3z 4 có véc tơ pháp tuyến n2; 1;3 do 2; 1;3

(43)

VD 2. Gọi   mặt phẳng qua điểm M1; 2;3 và song song với mặt phẳng

 Q : 2x3y  z 0.Phương trình mặt phẳng   là:

A. 2x3y  z 11 B. 2x3y z 110 C. x2y3z 11 D. 2x3y  z

Mặt phẳng  Q có véc tơ pháp tuyến n2; 3;1 do n2; 3;1 làm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng   nên có phương trình2x3y  z 11

VD 3. Gọi   mặt phẳng qua điểm M2;6; 3 và song song với mặt phẳngOxy Phương trình mặt phẳng   là:

A. z 3 B. x  y

C. 2x6y3z0 D. z 3 Hướng dẫn giải

Chọn D

Phương trình mặt phẳng Oxy có véc tơ pháp tuyến k0; 0;1do chọn k0; 0;1làm véctơ pháp tuyến mặt phẳng   nên có phương trình z 3

Dạng Viết phương trình mặt phẳng qua điểm vng góc với mặt phẳng cho trước (Hoặc viết phương trình mặt phẳng qua điểm song song chứa giá hai véctơ cho trước.)

Mặt phẳng   qua điểm M x y z 0; 0; 0 vng góc với hai với mặt phẳng P :A x0 B y0 C z0 D0 0 ;  Q :A x1 B y1 C z1 D1 0nên có véc tơ pháp tuyến :  n nQ,nP( ; ; )A B C

   :A xx0B y y0C z z00

VD 1. Gọi   mặt phẳng qua điểm M( 2;3;1) vng góc với mặt phẳng  P  Q có phương trình 2x y 2z 5 0;3x2y  z Phương trình mặt phẳng   là:

(44)

Gọi n véctơ pháp tuyến mặt phẳng    n n nQ, P  3; 4;1

Mặt phẳng  P qua điểm M2;3;1và có véctơ pháp tuyến n nên có phương trình : 3x 4y z 19

    

VD 2. Gọi   mặt phẳng qua điểm M3; 1; 5  và vng góc với mặt phẳng  P  Q có phương trình 3x2y2z 7 0; 5x4y3z 1 Phương trình mặt phẳng

  là:

A. 2x y 2z150 B. 2x y 2z150 C. 2x y 2z150 D. 2x y 2z150

Gọi n véctơ pháp tuyến mặt phẳng    n n nQ, P2;1; 2 

Mặt phẳng  P qua điểm M3; 1; 5  và có véctơ pháp tuyến n nên có phương trình: 2x y 2z150

VD 3. Gọi   mặt phẳng qua điểm M0; 2; 0và vng góc với mặt phẳng  P  Q có phương trình z 3 0; 3x4y7z 1 0.Phương trình mặt phẳng   là:

A. 4x3y 6 B. 4x3y 6 C. 4x3y 6 D. 4x3y 6

Gọi n véctơ pháp tuyến mặt phẳng    n n nQ, P4;3; 0

Mặt phẳng  P qua điểm M0; 2; 0và có véctơ pháp tuyến n nên có phương trình: 4x3y 6

Dạng Viết phương trình mặt phẳng qua điểm không thẳng hàng cho trước

Mặt phẳng   qua ba điểm M N P; , nên có véc tơ pháp tuyến :

, ( ; ; )

n MN MP A B C

  

(45)

VD 1. Gọi   mặt phẳng qua điểm A2; 1;3 ;  B 4;0;1 ; C 10;5;3 Phương trình mặt phẳng   là:

A. x2y2z 6 B. x2y2z 6 C. x2y2z 6 D. x2y2z 2

Gọi n véctơ pháp tuyến mặt phẳng    n AB AC, 1; 2; 2

Mặt phẳng  P qua điểm A2; 1;3 và có véctơ pháp tuyến n nên có phương trình:

2

x y z 

VD 2. Gọi   mặt phẳng qua điểm A1;0;0 ; B 0; 2;0 ;  C 0;0; 3  Phương trình mặt phẳng   là:

A. 6x3y2z 6 B. 6x3y2z 6 C. 6x3y2z 6 D. 6x3y2z 6

Gọi n véctơ pháp tuyến mặt phẳng    n AB AC, 6; 3; 2  

Mặt phẳng  P qua điểm A1;0;0và có véctơ pháp tuyến n nên có phương trình: 6x3y2z 6

VD 3. Gọi   mặt phẳng qua điểm A1;1;1 ; B 4;3; ; C 5; 2;1 Phương trình mặt phẳng   là:

A. x4y5z 2 B. x4y5z 2 C. x4y5z100 D. x4y5z 8

Gọi n véctơ pháp tuyến mặt phẳng    n AB AC, 1; 4;5 

Mặt phẳng  P qua điểm A1;1;1và có véctơ pháp tuyến n nên có phương trình:

4

(46)

Dạng Viết phương trình mặt phẳng qua điểm vng góc với mặt phẳng

Mặt phẳng   qua ba điểm M N; vng góc với mặt phẳng P nên có véc tơ pháp tuyến :  n MN n, P( ; ; )A B C

   :A xxMB y yMC z zM0

VD 1. Gọi   mặt phẳng qua điểm A0; 2;0 ; B 0;0;0và vng góc với mặt phẳng ( ) : 2Q x3y4z 2 Phương trình mặt phẳng   là:

A. 2x   y z B. 2x z 0

C. 2x z D. 2x  y z Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi n véctơ pháp tuyến mặt phẳng    n AB n, Q2; 0;1

Mặt phẳng  P qua điểm A0; 2;0và có véctơ pháp tuyến n nên có phương trình: 2x z

VD 2. Gọi   mặt phẳng qua điểm A0;1;0 ; B 2;3;1và vng góc với mặt phẳng ( ) :Q x2y z Phương trình mặt phẳng   là:

A. 4x3y2z 3 B. 4x3y2z 3 C. 4x3y2z 3 D. 4x3y2z 3

Gọi n véctơ pháp tuyến mặt phẳng    n AB n, Q4; 3; 2  

Mặt phẳng  P qua điểm A0;1;0và có véctơ pháp tuyến n nên có phương trình: 4x3y2z 3

VD 3. Gọi   mặt phẳng qua điểm A1;0;1 ; B 5; 2;3và vng góc với mặt phẳng

 Q :2x   y z Phương trình mặt phẳng   là:

A. x2z 1 B. x2z 1 C. x2z 3 D.  x 2z 3

(47)

Chọn B

Gọi n véctơ pháp tuyến mặt phẳng    n AB n, Q1; 0; 2 

Mặt phẳng  P qua điểm A1;0;1và có véctơ pháp tuyến n nên có phương trình:

x z 

Dạng Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng MN

Mặt phẳng   qua trung điểm I hai điểm M N; vng góc với MN nên có véc tơ pháp tuyến :  n MN ( ; ; )A B C

   :A xxIB y yIC z zI0

VD 1. Gọi   mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB với A2;3;7 ; B 4;1;3 Phương trình mặt phẳng   là:

A. x y 2z 9 B. x y 2z 9 C. x y 2z 9 D. x y 2z 9

Gọi n véctơ pháp tuyến mặt phẳng    n AB2; 2; 4  

Mặt phẳng   qua điểm trung điểm I3; 2;5 AB có véctơ pháp tuyến n nên có phương trình :x y 2z 9

VD 2. Gọi   mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB với A1; 2; ;  B 3;6; 2 Phương trình mặt phẳng   là:

A. x4y  z B. x4y  z C. x4y  z D. x4y  z

Gọi n véctơ pháp tuyến mặt phẳng    n AB2;8; 2 

Mặt phẳng   qua điểm trung điểm I2; 2;3 AB có véctơ pháp tuyến n nên có phương trình: x4y  z

(48)

A. 3x2y5z 11 B. 3x2y5z110 C. 3x2y5z 11 D. 3x2y5z 11

Gọi n véctơ pháp tuyến mặt phẳng    n AB6; 4;10 

Mặt phẳng   qua điểm trung điểm I1;1; 2  AB có véctơ pháp tuyến n

nên có phương trình: 3x2y5z 9

Dạng Vị trí tương đối hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng     ,  có phương trình:   : A x1 B y C z1  1 D1 0

  : A x2 B y C z2  2 D2 0      ,  cắt nhau  A B C1: 1: 1 A2:B2:C2

     1 1

2 2

// A B C D

A B C D

     

     1 1

2 2

A B C D

      

        A A1 2B B1 2C C1 0

VD 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng   : 2x3y2z 5

  : 3x4y8z 5 Khi vị trí tương đối     là:

A.   cắt   B.     //  C.       D.      

Vì

3

  

   cắt  

VD 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng   : 5x5y5z 1

(49)

C.       D.       Hướng dẫn giải Chọn B

VD 3. Vì 5

3 3

 

  

     //  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng   :x2y4z 6

  : 2x3y  z Khi vị trí tương đối     là: A.   cắt   B.     //  C.       D.      

Vì 1.2  2 3    4  1      

VD 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng   : 2x2y4z 5

  25

: 5 10

2

x y z

     Khi vị trí tương đối     là: A.   cắt   B.     // 

C.       D.       Hướng dẫn giải Chọn C

Vì 2

25

5 10

2

 

  

       

Dạng Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm mặt phẳng Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng

Giả sử mặt phẳng   :AxBy Cz  D có VTPT nA B C; ; 

 H x y z ; ;  hình chiếu M x M;yM;zM lên mặt phẳng  

 

0 M

M

M x At x y Bt y MH t n

z Ct z H

Ax By Cz D 

 

 

   

 

   



 



    

(50)

Giải hệ phương trình ta có t suy x y z, ,

 Mx y z  ; ;  điểm đối xứng M qua mặt phẳng  

H

 trung điểm MM

2 2 H M H M H M

x x x

y y y

z z z

              

Từ xác định tọa độ điểm M

VD 1. Tọa độ hình chiếu H điểm M1; 1; 2 lên mặt phẳng   :x3y  z là:

A 13; 20; 11 11 11 H  

  B

13 20

; ;

11 11 11 H 

 

C 13 5; ; 20 11 11 11 H  

  D

13 20

; ;

11 11 11 H  

 

Ta có:   có VTPT n1;3; 1 

Gọi H x y z ; ; là hình chiếu M1; 1; 2  lên mặt phẳng  

  13 11 11

13 20

1 ; ; .

2 11 11 11 11

3

20

3

2

11

x

x t t

y t MH t n

x t y H

z t H

y t

x y z z

z t                                                               

VD 2. Tọa độ M điểm đối xứng điểm M1; 2;3 qua mặt phẳng   :x   y z là: A. M0; 2;   B. M4; 2;   C. M2; 1;5   D. M0;1;3 

  có VTPT n1;1; 1 

Gọi H x y z ; ; là hình chiếu M1; 2;3 lên mặt phẳng  

  3

14

1 ; ;

3 3 3

2 14 3 x

x t t

y t MH t n

x t y H

z t H

y t

x y z z

z t                                                                 ; ; 

(51)

H

 trung điểm MM  

2

2 0;1;3

2

H M

x x x

y y y M

z z z

     

  

          

VD 3. Tọa độ H hình chiếu điểm M2; 3;1  qua mặt phẳng   : x 2y  z là: A 2; 14;

3 3

H  

  B

2 14

; ;

3 3 H 

  C

2 14

; ;

3 3

H  

  D

2 14

; ;

3 3

H  

 

  có VTPT n  1; 2;1

Gọi H x y z ; ; là hình chiếu M2; 3;1  lên mặt phẳng  

   

2

1

2

1 1; 1;

1

2

2 1

x t t

x

y t x t

MH t n

y H

z t y t

H

z

x y z z t



   

  



 

      

   

       

   



   

  

       

 

Dạng Tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M0x y z0; 0; 0 đến mặt phẳng   : AxBy Cz  D

  0

0, ( ) 2 2 2

Ax By Cz D d M

A B C

    

 

Chú ý: ● Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng

● Nếu hai mặt phẳng khơng song song khoảng cách chúng

VD 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 3;5) mặt phẳng   có phương

trình: 2x y 2z 6 Khoảng cách từ điểm M mặt phẳng   là: A 5

7 B.

11

3 C

17

3 D

Chọn B

Áp dụng công thức     

 2

2

2.2 2.5 11

,

3

2

d M       

  

(52)

A

2 B

4

2 C.

4

3 D

Chọn C

Áp dụng công thức     

 2

2

1.2 1.1 1 4

,

3

1 1

d A P      

  

VD 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng:

   

:

: 16

x y z x y z 



       

Khoảng cách hai mặt phẳng     là:

A 14 B 0 C. 15 D 23

Vì

2 1 16



   

      // 

Chọn M0;0; 2    khoảng cách     là:

   

    

 2 2

2.0 3.0 16

, , 14

2

d   d M      

   Dạng 10 Tìm góc hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng     ,  có phương trình   :A x1 B y C z1  1 D1 0

  :A x2 B y C z2  D2 0

Vì góc     ,  bằng bù với góc hai VTPT n n1, 2nên

   

  2 2

2 2 2

1 1 1 1 2 2 2

cos ,

.

n n A A B B C C

n n A B C A B C

     

   

Chú ý:  00 ( ), ( )  900  ( ) ( )  A A1 2B B1 2C C1 2 0

VD 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng có phương trình:

  :x   y z   :x   y z

Gọi  góc tạo hai mặt phẳng     , cos số nào? A 1

2 B.

1

3 C

1

4 D

(53)

  có VTPT n11;1; 1    có VTPT n2 1; 1;1 

   

     

   

1

2

2 2

1

1.1 1

cos ,

1 1 1 1 1 1

n n n n

        

     

  : –x y2z 4   :x2y2z 4 Góc hai mặt phẳng     ,  bằng:

A. 90  B. 60  C. 30  D. 45 

  có VTPT n12; 1; 2    có VTPT n2 1; 2; 2  

   

       

1

2.1 2

cos ,

4 4

n n n n

         

   

      ,   90

  

  : – 2x y3z 6   :x3z 1

Gọi  góc tạo hai mặt phẳng     , cos số nào? A

2 B

3

2 C

7

7 D

Chọn C

  có VTPT n11; 2;3    có VTPT n2 1; 0; 1 

   

     

1

1.1

cos ,

1

n n n n

        

  

      ,   90

(54)

Câu 1. Phương trình tổng quát mặt phẳng   qua điểm B3; 4; 5  song song với giá vectơ a3;1; ,  b1; 2;1  là:

A. x4y7z160 B. x4y7z160 C. x4y7z160 D. x4y7z160

Ta có: a b,        1; 4; 7 Vectơ pháp tuyến   là: n1; 4; 7 Phương trình   có dạng: x4y7z D

Vì B    3 16 35   D D 16 Vậy   :x4y7z160

Câu 2. Phương trình tổng quát mặt phẳng qua điểm A3, 1, ,  B 4; 2; ,   C 2, 0, 2là:

A. x  y B. x  y C. x  y D. x  y

Ta có: AB1; 1; ,   AC  1;1; 0 AB AC, 3;3; 0 vectơ pháp tuyến mặt phẳng ABClà: n1;1; 0

Phương trình mặt phẳng ABC qua A3; 1; 2  nhận vectơ n1;1; 0 làm pháp tuyến nên phương trình có dạng: x  y

Câu 3. Cho hai mặt phẳng  P :x5y2z 4  Q : 2x   y z Gọi  góc tạo hai mặt phẳng    P , Q , cos số nào?

A

6 B

6

5 C

2

3 D

Chọn A

 P có VTPT n1 1; 5; 2   Q có VTPT n2 2;1; 1 

 2

1.2 5.1 1.2

cos cos ,

6 25 4 1 n n

     

   

(55)

A. 9x y 7z400 B. 9x y 7z400 C. 9x y 7z400 D. 9x y 7z400

1; 2; 1 VTPT ,  9;1; 7

AB   nAB a  

Phương trình tổng quát mặt phẳng qua điểm A2; 1;3  nhận vectơ n  9;1; 7  làm vectơ pháp tuyến nên phương trình có dạng: 9x y 7z400

Câu 5. Phương trình tổng quát mặt phẳng qua điểm A4; 1;1 ,  B 3;1; 1 và song song với trục Ox là:

A. y  z B. y  z

C. y z D. y z

 1; 2; 2

AB   , vectơ đơn vị trục Ox i1; 0; 0

 

, 0; 2;

n AB i

    

Phương trình tổng quát mặt phẳng qua điểm A4; 1;1  nhận vectơ n0; 2; 2   làm vectơ pháp tuyến nên phương trình có dạng: y z

Câu 6. Cho tứ diện ABCD có A3; 2;1 ,  B 4;0;3 , C 1; 4; ,  D 2;3;5 Phương trình tổng quát mặt phẳng chứa AC song song với BD là:

A. 12x10y21z350 B.12x10y21z350 C. 12x10y21z350 D. 12x10y21z350

Ta có: AC  2; 6; ;  BD6;3; 2 n AC BD, 24; 20; 42  

Phương trình tổng quát mặt phẳng qua điểm A4; 1;1  nhận vectơ

24; 20; 42

n   làm vectơ pháp tuyến nên phương trình có dạng: 12x10y21z350

Câu 7. Cho ba điểm A4;3; , B  1; 2;1 , C 2; 2; 1  Phương trình tổng qt mặt phẳng qua A vng góc với BC là:

A. x4y2z 4 B. x4y2z 4 C. x4y2z 4 D. x4y2z 4

Ta có: BC   1; 4; 2 

Phương trình tổng qt mặt phẳng vng góc với BC có dạng:  x 4y2z D Vì phương trình mặt phẳng qua A nên 4.3 2.2       D D

(56)

Câu 8. Cho hai điểm A1; 4; ,  B 3; 2;6 Phương trình tổng quát mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB là:

A. x3y  z B. x3y  z C. x3y  z D. x3y  z

Gọi I trung điểm AB I2; 1;5 

2; 6; 2

AB

Phương trình tổng quát mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB qua I2; 1;5  nhận vectơ AB2; 6; 2làm VTPT nên có dạng:x3y  z

Câu 9. Mặt phẳng Oxy có phương trình là:

A. x  y z B. x y

C. x y D. z0

Phương trình mặt phẳng Oxy có véc tơ pháp tuyến k0; 0;1và qua O0;0;0 nên có phương trình z0

Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A2; 1;1 ,  B 1;0; , C 0; 2; 1   Phương trình mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng BC là:

A. 2x y 5z 5 B. x2y5z 5 C. x2y5z 5 D. 2x y 5z 5

Véctơ phương (VTCP) đường thẳng BC BC   ( 1; 2; 5)

Phương trình mặt phẳng qua điểm A2; 1;1  vng góc với đường thẳng BC nên có VTPT nBC   ( 1; 2; 5)

Phương trình mặt phẳng là:   (x 2) 2(y 1) 5(z 1)  x 2y5z 5

Câu 11. Mặt phẳngOyz có phương trình là:

A. y z B. x0

C. y z D. y z

(57)

Phương trình mặt phẳng Oyz có véc tơ pháp tuyến i1; 0; 0và qua O0;0;0 nên có phương trình x0

Câu 12. Mặt phẳng Oxz có phương trình là:

A. y0 B. x z

C. x z 0 D. x  y z

Phương trình mặt phẳng Oxz có véc tơ pháp tuyến j0;1; 0và qua O0;0;0 nên có phương trình y0

Câu 13. Gọi   mặt phẳng qua điểm M3; 0; 0và nhận n1, 2,3làm véc tơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng   là:

A. x2y3z 3 B. x2y3z 3 C. 3x 1 D. 2y3z 3

Phương trình mặt phẳng   là: 1x 3 2 y 0 3 z0  0 x 2y3z 3

Câu 14. Gọi   mặt phẳng qua điểm M1;3; 2 và vuông góc với trục Oy.Phương trình mặt phẳng   là:

A. z 2 B. x  z

C. y 3 D. x   y z Hướng dẫn giải

Chọn C

Phương trình mặt phẳng   có véc tơ pháp tuyến j0;1; 0và qua M1;3; 2  nên có phương trình y 3

Câu 15. Gọi   mặt phẳng qua điểm M3; 2; 0và nhận i1, 0, 0làm véctơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng   là:

A. 3x2y 3 B. y 2

C. z0 D. x 3

(58)

Câu 16. Gọi   mặt phẳng qua điểm M1;3; 2 và vng góc với đường thẳng BC với

0; 2; ; 1; 4;1

B  C  Phương trình mặt phẳng   là:

A. x6y4z250 B. x6y4z250 C. x6y4z250 D. x6y4z250

Phương trình mặt phẳng   có véc tơ pháp tuyến BC1; 6; 4 và qua M1;3; 2  nên có phương trình x6y4z250

Câu 17. Gọi   mặt phẳng qua điểm M0; 1; 2 và song song chứa giá hai véc tơ

3; 2;1 ;  3; 0;1

u v  Phương trình mặt phẳng   là:

A. x3y3z 9 B. x3y3z 9 C. x3y3z 9 D. x3y3z 9

Gọi n VTPT mặt phẳng    n u v, 2; 6; 6 

Mặt phẳng  P qua điểm M0; 1; 2 và có VTPT n nên có phương trình:

3

x y z 

Câu 18. Gọi   mặt phẳng qua điểm M3;1; 1 và song song chứa giá hai véctơ

2; 1;3 ;  1; 2;5

u  v   Phương trình mặt phẳng   là:

A. x13y5z 5 B. x13y5z 5 C. x13y5z 5 D. x13y5z 5

Gọi n VTPT mặt phẳng    n u v, 1; 13; 5  

Mặt phẳng  P qua điểm M3;1; 1 và có VTPT n nên có phương trình :

13 5

x y z 

Câu 19. Gọi   mặt phẳng qua điểm O0;0;0và song song chứa giá hai véctơ

2; 0; ; 4; 1; 2

u v  Phương trình mặt phẳng   là: A. 2y z B. 2y z C. x2y z D.  x 2y z

(59)

Chọn B

Gọi n VTPT mặt phẳng    n u v, 0; 4; 2  

Mặt phẳng  P qua điểm M0; 0; 0và có VTPT n nên có phương trình : 2y z

Câu 20. Lập phương trình mặt phẳng  P qua điểm M1; 3; 2  vng góc với hai mặt phẳng

 Q : 2x y 3z 1  R :x2y  z

A. 7x5y3z140 B. 4x3y240 C.  4x 3y240 D. 4x3y0

Gọi n VTPT mặt phẳng  P  n n nQ, R7;5; 3 

Mặt phẳng  P qua điểm M1; 3; 2  có VTPT n nên có phương trình: 7x5y3z140

Câu 21. Gọi   mặt phẳng qua điểm A5;1;3 ; B 1;6; ; C 5;0; 4 Phương trình mặt phẳng   là:

A. x   y z B. x   y z C. x   y z D. x   y z

Gọi n VTPT mặt phẳng    n AB AC, 4; 4; 4

Mặt phẳng  P qua điểm A5;1;3và có VTPT n nên có phương trình :

9

x   y z

Câu 22. Gọi   mặt phẳng qua điểm A5;1;3 ; B 5;0; ; C 4;0;6 Phương trình mặt phẳng   là:

A. 2x  y z 140 B. 2x  y z 140 C. 2x   y z D. 2x  y z 120

Gọi n VTPT mặt phẳng    n AC AB, 2;1;1

(60)

Câu 23. Gọi   mặt phẳng qua điểm hình chiếu vng góc điểm M2;3; 5 lên trục tọa độ Ox Oy Oz; ; Phương trình mặt phẳng   là:

A. 15x10y6z300 B.15x10y6z300 C. 15x10y6z300 D. 15x10y6z300

Gọi A B C; ; hình chiếu điểm M2;3; 5 lên trục tọa độ Ox Oy Oz; ; Lúc ta có

2;0;0 ; 0;3;0 ; 0;0; 5

A B C  Phương trình mặt phẳng   là:

1 15 10 30

2

x y z

       



Cách khác :Gọi n VTPT mặt phẳng    n AB AC, 15;10; 6  Mặt phẳng  P qua điểm A2;0;0và có VTPT n nên có phương trình: 15x10y6z300

Câu 24. Gọi   mặt phẳng qua điểm hình chiếu vng góc điểm M1;1;1lên mặt phẳng tọa độ Oxy Oyz Ozx; ; Phương trình mặt phẳng   là:

A. x   y z B. x   y z C. x   y z D. x   y z

Gọi A B C; ; hình chiếu điểm M1;1;1lên mặt phẳng tọa độ Oxy Oyz Ozx; ; Lúc ta có: A1;1;0 ; B 0;1;1 ; C 1;0;1

Gọi n VTPT mặt phẳng    n AB AC, 1;1;1

Mặt phẳng  P qua điểm A1;1;0và có VTPT n nên có phương trình :

2

x   y z

Câu 25. Gọi   mặt phẳng qua điểm hình chiếu vng góc điểm M30;15;6lên

trục tọa độ Ox Oy Oz; ; Phương trình mặt phẳng   là:

A. x2y5z300 B. x2y5z300 C. x2y5z900 D. x2y5z300

Gọi A B C; ; hình chiếu điểm M30;15;6lên trục tọa độ Ox Oy Oz; ; Lúc ta có

30;0;0 ; 0;15;0 ; 0;0;6

(61)

1 30

30 15

x y z

       

Câu 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB với

3; 1; ,

A  B3;1; 2 là:

A. 3x y B. 3x y

C. x3y0 D. x3y0 Hướng dẫn giải

Chọn A

VTPT mặt phẳng n AB   6; 2; 0 Tọa độ M trung điểm AB là: M0; 0; 2

Phương trình mặt phẳng: 6(x 0) 2(y0 ) 0(0  z  2) 3x y

Câu 27. Cho ba mặt phẳng: x y 2z 1 0;   :x   y z 0;   :x  y 0; Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A.     //  B.       C.       D.      

Véctơ pháp tuyến mặt là: n 1;1; ; n 1;1; ;  n 1; 1; ;  nhận thấy n k n     //  ; sai

Câu 28. Với giá trị m để cặp mặt phẳng sau vng góc?

  : 2x my 2mz 9   : 6x  y z 100

A. m2 B. m3 C. m4 D. m1 Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có véc tơ pháp tuyến hai mặt phẳng là: n 2; ; 2m m;n 6; 1; 1   Để hai mặt

phẳng vng góc n n    0 m

Câu 29. Xác định giá trị m n để cặp mặt phẳng sau song song với nhau:

   

:

x my z nx y z 



       

A m n

    

 B

4 m n

(62)

C 4 m n

   

 D

4 m n

     

Ta có    // 12

6 24

8

n m

m

m n

n

           

    

   

Câu 30. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng     có phương trình:

  : 2xm1y3z 5 0,    : n1x6y6z0 Hai mặt phẳng     song song với tích m n bằng:

A. B.10 C. 10 D. 5

Ta có:     //   A B C D

C D

A B

  

 

  

2

1 6

m n



 

  

2 m n

     

 m n  10

Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng   : 2x my 3z  m 0và

   : m3x2y5m1z100 Với giá trị m     song song với nhau?

A. B. C. 3 D. 1

Hai mặt phẳng     // 

3 10

m m

 

  

    (*)

Xét phương trình 2

3

m

m m

m



    

 

1 m m

     



Thay m1vào (*) ta có:

4 10



  

  Vậy m1 thỏa mãn yêu cầu toán

Thay m 4 vào (*) ta có: 1  19

   Vậy m 4 khơng thỏa mãn u cầu tốn

Câu 32. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng:   : 3x5ymz 3 0,

  : 2x ny 3z 1 Cặp số m n,      song song với nhau? A.  3;3 B.  1;3 C.  1; D 9; 10

2

  

 

 

(63)

Hai mặt phẳng   / /( )

2

m n

 

  



Ta có:

3

2

n m

      

 



10 n m

     

   

Câu 33. Gọi H tọa độ hình chiếu vng góc điểm O0;0;0 lên mặt phẳng tọa độ

  :x2y 5 300 Tọa độ H là:

A. H2;1;5  B. H1; 2;5  C. H1; 0;5  D. H5;1;  Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi H x y z ; ;  tọa độ hình chiếu vng góc điểm O(0; 0; 0)lên mặt phẳng tọa độ   Lúc ta có véctơ pháp tuyến mặt phẳng   OH phương , tức OH kn

Ta có hệ  

2 30 25 30

1

1; 2;5

2 2

5 5

x y z t t t t

x t x t x

H

y t y t y

z t z t z

        

  

     

   

     

  

     

  

Câu 34. Gọi H tọa độ hình chiếu vng góc điểm M1;1;1lên mặt phẳng tọa độ Oxy Tọa độ

của H là:

A. H1;1;  B. H1;1;1  C. H1; 0;  D. H0; 0;1  Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi H tọa độ hình chiếu vng góc điểm M(1;1;1)lên mặt phẳng tọa độ Oxy Lúc tọa độ H có dạng H x y ; ;0và MH x 1;y 1; 1mà

 

MH i MH Oxy

MH j

 



  



  

1

1;1;

1

x x

H

y y

  

 

  

  

 

Câu 35. Gọi H Tọa độ hình chiếu vng góc điểm M1;1;1lên mặt phẳng Oyz Tọa độ H

là:

A. H0; 0;1  B. H1; 0;1  C. H1; 0;  D. H0;1;1  Hướng dẫn giải

Chọn D

(64)

O 

MH k

MH yz

MH j

 



  



  

1

0;1;1

1

z z

H

y y

  

 

  

  

 

Câu 36. Gọi H tọa độ hình chiếu vng góc điểm M1;1;1lên mặt phẳng tọa độ Oxz Tọa độ H là:

A. H0;1;1  B. H1; 0;1  C. H1; 0;  D. H0;1;1  Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi H tọa độ hình chiếu vng góc điểm M1;1;1lên mặt phẳng tọa độ Oxz Lúc tọa độ H có dạng H x ; 0;zvà MH x(  1; 1;z1)mà

 

MH i MH Oxz

MH k

 



  



  

1

1; 0;1

1

x x

H

z z

  

 

  

  

 

Câu 37. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, khoảng cách hai mặt phẳng

  : 2x4y4z 1 0và   :x2y2z 2 là: A.

2 B.1 C.

1

2 D

Chọn C

Mặt phẳng     //  nên    

2 2 2

1

'

,

2

1 2

D D d

A B C

 

 

  

 

     

Câu 38. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, góc hợp mặt phẳng   : 2x   y z 0và mặt phẳng (Oxy) là?

A. 60 B 30 C 45 D 90

Mặt phẳng   có vec tơ pháp tuyến n1 2;1;1

Mặt phẳng O xy có vec tơ pháp tuyến n2 0; 0;1

Gọi  góc mặt phẳng

 

1 2

2

2 2 2

1

| 2.0 1.0 1.1| 1

cos cos ,

2

2 1 1 0 0 1

n n n n

n n

      

   

0

60



(65)

Câu 39. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, hình chiếu vng góc A2; 4;3trên mặt phẳng 2x3y6z190có tọa độ là:

A. 1; 1;   B 20 37 3; ;

7 7

 

 

  C

2 37 31

; ;

5 5

 

 

  D. 2; 3;1  

Cách 1: Giải tự luận

Mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến n P 2; 3; 6 

Đường thẳng AH vng góc  P nên nhận n P 2; 3; 6  làm vectơ phương  Đường thẳngAH qua A2; 4;3 có phương trình tham số là:

2 3

x t

y t

z t

   

       

Ta có H d H( 2 ; ;3 )  t  t  t mặt khác H( )P nên:

      20 37

2 2 6 19 ; ;

7 7

t t t t H 

             

 

Cách 2: Giải trắc nghiệm

Ứng dụng công thức giải nhanh tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng

Hằng số  

 2

2 2 2

2 3.4 6.3 19

Ax

7

2

A ByA CzA D t

A B C

   

  

     

    

Tọa độ điểm H là:  

3 20

2

7

3 37 20 37

; ;

7 7 7

3

7

H A

x x A t

y y B t H

z z C t

          

  



          

    

   



  

     

  

  

Câu 40. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng qua điểmA1; 2; ,  B1;0; ,

2; 1;1

C  cắt trục Ox điểm có hồnh độ:

A. 11; 0;

M 

  B

11 ; 0;

M 

  C

11 ; 0;

M 

  D. M3; 0; 

Ta có:  

   

2; 2;3

, 5; 7;8

1; 3; AB

AB AC AC

    

 

 

  

(66)

Mặt phẳng (ABC)qua A1;1;1 nhận AB AC,   5; 7;8 làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 5x 1 7 y 2 8 z  1 5x7y8z 11

Gọi M giao điểm ABC với trục Ox.M x ;0;0Ox

    11

; 0; : 11

5

M x  ABC x y z   x

Câu 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P qua hai

điểmE4; 1;1 ,  F3;1; 1  chứa trục Ox Phương trình phương trình tổng quát  P :

A.  P :x y B.  P :x  y z C.  P :y z D.  P :x z Hướng dẫn giải :

Chọn C

Ta có: EF   1; 2; 2 

Trục Oxcó véc tơ phương là: i1; 0; 0

 

, 0; 2;

EF i

 

   

Mặt phẳng  P qua A1;1;1 nhận EF i, 0; 2; 2   làm véc tơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng  P là:y z

Câu 42. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi  P mặt phẳng qua A1; 2;3 song song với mặt phẳng  Q :x4y z 120 Phương trình mặt phẳng  P là:

A. x4y  z B. x4y z 120 C. x4y  z D. x4y  z

Hướng dẫn giải : Chọn A

Mặt phẳng  Q có vectơ pháp tuyến n Q 1; 4;1 

Vì mặt phẳng  P song song mặt phẳng  Q nên mặt phẳng  P nhận n Q 1; 4;1  làm vectơ pháp tuyến

Mặt phẳng  P qua A1; 2;3 có phương trình là:

     

1 x 1 y 2 z   3 x 4y  z

Câu 43. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I2; 6; 3 và mặt phẳng

  :x 2 0,   :y 6 0,  :z 3 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: A.   qua điểm I B.   / /Oz

(67)

Hướng dẫn giải : Chọn B

Mặt phẳng ( ) : z 3 cắt trục Oz điểm M0;0; 3 

Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng chứa trục Oy điểm

1; 4; 3 M  là:

A. 3x z B. 3x y C. x3z0 D. 3x z Hướng dẫn giải :

Chọn D

Ta có: OM 1; 4; 3 

Trục Oycó véc tơ phương là: j0;1; 0

 

, 3; 0;1 OM j

 

 

Mặt phẳng  Q qua O0;0;0 nhận OM j,   3; 0;1 làm véc tơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng  Q là: 3x z

Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng   : 2y z Tìm mệnh đề đúng mệnh đề sau:

A.   / /Ox B.   / / yOz C.   / /Oy D.   Ox Hướng dẫn giải :

Chọn D

Ta thấy O0;0;0 thuộc mặt phẳng   : 2y z nên loại câu A; B C

Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, khoảng cách từ điểm M 2; 4;3 đến mặt phẳng

 P : 2x y 2z 3 :

A.3 B.2 C.1 D.11

Hướng dẫn giải : Chọn C

Ta có

2 2

2.( 2) 2.3

( , ( ))

2

d M P      

 

Câu 47. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi H hình chiếu vng góc A2; 1; 1   mặt phẳng  P :16x12y15z 4 Độ dài đoạn AH là:

A.55 B. 11

5 C.

1

25 D.

(68)

Chọn B

Vì H hình chiếu vng góc điểm A lên mặt phẳng ( P) nên Ta có

2 2

16.2 12 15 11 ( , ( ))

5 16 12 15

AH d A P     

 

Câu 48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng   :x   y z

  : 2x2y2z 3 Khoảng cách     là: A.

3 B.2 C.

7

2 D.

7 Hướng dẫn giải :

Chọn D Ta có

   

:

3

: 2 0

2

x y z

x y z x y z

 

   

        

Vì     //  nên ta có  

2 2

3

7

( , ( ))

2

1 1

d  



 

 

Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng   : 3x2y  z đường thẳng

1

:

2

x y z

   Gọi   mặt phẳng chứa  song song với   Khoảng cách     là:

A.

14 B.

9

14 C.

3

14 D.

3 14 Hướng dẫn giải :

Chọn B

  : 3x2y  z có véctơ pháp tuyến n  (3; 2; 1) 

1

:

2

x y z

   qua M(1; 7;3) có véctơ phương u  (2;1; 4)

Vì  

   

Δ //



 

  

 nên   qua điểm M(1; 7;3) có véctơ pháp tuyến n  (3; 2; 1)  Do mp  3x2y z 140

Vì     //  nên ta có  

2 2

14

( , ( ))

14

3

d     

 

(69)

A. B.3 C.

2 D.

3 Hướng dẫn giải :

Chọn B Ta có

( 2; 2; 1) ( 2;1;0)

AB AC

    

Mặt phẳng (ABC) qua điểm A có véctơ pháp tuyến nAB AC, (1; 2; 2)là

1 2( 1) 2( 3) 2

x  y  z   x y z  Do

2 2

9

( , ( ))

1 2

d O ABC  

 

Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua điểm M1; 2; 4  nhận n2;3;5 làm vectơ pháp tuyến

b) Đi qua điểm A0; 1; 2  song song với giá vectơ u3; 2;1 v  3; 0;1  c) Đi qua ba điểm A3; 0; 0, B0; 2; 0  C0;0;  

d) Đi qua điểm M2; 1; 2  song song với mặt phẳng   : 2x y 3z 4

e) Đi qua hai điểm A1;0;1, B5; 2;3 vng góc với mặt phẳng   : 2x   y z f) Đi qua ba điểm M2;0; 1 , N1; 2;3 , P0;1; 

g) Đi qua hai A1;1; 1 , B5; 2;1 song song với trục Oz

h) Đi qua điểm M3; 2; 1  song song với mặt phẳng có phương trình x5y z i) Đi qua hai điểm A0;1;1, B1; 0; 2 vuông góc với mặt phẳng x   y z

j) Đi qua điểm G1; 2;3 cắt trục tọa độ điểm A B C, , cho G trọng tâm tam giác ABC

k) Đi qua điểm H2;1;1 cắt trục tọa độ điểm A B C, , cho H trực tâm tam giác ABC

a) Phương trình mặt phẳng qua điểm M1; 2; 4  nhận n2;3;5 làm vectơ pháp tuyến là: 2x 1 3 y 2 5 z4 0 2x3y5z160

b) Phương trình mặt phẳng qua điểm A0; 1; 2  nhận nu v, 2; 6; 6  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

     

(70)

Phương trình mặt phẳng ABC qua A3; 0; 0 nhận  n 2;3; 6 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: 2x 3 3 y 0 6 z0 0 2x3y6z 6

d) Đi qua điểm M2; 1; 2  song song với mặt phẳng   : 2x y 3z 4

Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng: 2x y 3z 4 nên phương trình có dạng: 2x y 3z D

Vì M2; 1; 2     2.2 1.   1 2.3    D D 11 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x y 3z 11 e) Gọi   mặt phẳng cần tìm

Ta có: AB4; 2; 2   có VTPT là: n  2; 1;1 

Vì   qua hai điểm A1;0;1, B5; 2;3 vuông góc với mặt phẳng

  : 2x   y z  n AB n,   4; 0; 8 

Vậy phương trình mặt phẳng   qua A1;0;1 nhận n4; 0; 8  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: 4x 1 8 z   1 x 2z 1

f) Ta có: MN    1; 2; , MP  2;1;3  n MN MP,   10; 5; 5  

Phương trình mặt phẳng MNP qua M2;0; 1  nhận n  10; 5; 5   làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: 10x 2 5 y 0 5 z  1 2x   y z g) Ta có: AB4;1; 2 Oz có vectơ đơn vị k0; 0;1

 

, 1; 4; n AB k

   

Phương trình mặt phẳng cần tìm qua A1;1; 1  nhận n1; 4; 0  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: 1x 1 4 y 1 0 z   1 x 4y 3

h) Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng: x5y z nên phương trình có dạng:

 

5

x y  z D 

Vì M3; 2; 1     3 5.2      1 D D Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: x5y  z

i) Ta có: AB   1; 1;1 n1; 1;1  VTPT mặt phẳng x   y z

 

, 0; 2; m AB n

  

(71)

j) Gọi   mặt phẳng cần tìm

Vì   cắt trục tọa độ điểm A B C, , A a ;0;0 , B 0; ;0 ,b  C 0;0;c

Mặt khác: G1; 2;3 trọng tâm tam giác ABC 1, 2, 3, 6,

3 3

a b c

       

3;0;0 , 0;6;0 , 0;0;9

A B C



Vậy phương trình mặt phẳng   theo đoạn chắn là:

3

x  y z k) Gọi   mặt phẳng cần tìm

Vì   cắt trục tọa độ điểm A B C, , A a ;0;0 , B 0; ;0 ,b  C 0;0;c

H trực tâm ABC 2

0

AB CH a b

b c a b c

BC AH

    



       

 



 phương trình mặt phẳng   theo đoạn chắn là: 2

2

x y z

x y z a a a a      Mặt khác, ta có: H2;1;1    2.2 1  2a a

Vậy phương trình mặt phẳng   là: 2x   y z

Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB với A2;3; 7, B4;1;3 Hướng dẫn giải

Mặt phẳng trung trực  P đoạn thẳng AB đoạn thẳng qua trung điểm I AB vng góc với vectơ AB

Ta có AB2 ; 2; 4   I3; 2;5 nên phương trình mặt phẳng  P là:

     

2 x 3 y 2 z   5 x 2y2z 9

Bài 3.

a) Lập phương trình mặt phẳng Oxy, Oyz, Oxz

b) Lập phương trình mặt phẳng qua điểm M2;6; 3  song song với mặt phẳng tọa độ

a) Mặt phẳng Oxyqua điểm O0;0;0 có vectơ pháp tuyến k 0; 0;1 vectơ phương trụcOz Phương trình mặt phẳng Oxycó dạng:

     

(72)

Tương tự ta có, phương trình mặt phẳng Oyzlà: x0 phương trình mặt phẳng

Oxzlà:y0

b) Mặt phẳng  P qua điểm M2;6; 3  song song với mặt phẳng Oxynhận 0; 0;1

k  làm vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng  P có dạng:z 3

Tương tự mặt phẳng  Q qua M2;6; 3  song song với mặt phẳng Oyzcó phương

trình là: x 2

Mặt phẳng qua M2;6; 3  song song với mặt phẳng Oxz có phương trìnhy 6

Bài 4. Lập phương trình mặt phẳng:

a) Chứa trục Ox điểm P4; 1;   b) Chứa trục Oy điểm Q1; 4;   c) Chứa trục Oz điểm R3; 4;  

a) Gọi   mặt phẳng qua P chứa trục Ox   qua điểm O0;0;0 chứa giá vectơ OP4 ; 1; 2  i1; 0; 0 Khi nOP i, 0 2;1;  vectơ pháp tuyến  

Phương trình mặt phẳng   có dạng: 2y z

b) Tương tự phần a) mặt phẳng   qua điểm Q1; 4; 3  chứa trục Oy   qua điểm

0;0;0

O có OQ1; 4; 3  j0;1; 0 Khi nOQ i, 3 0;1;  vectơ pháp tuyến  

Phương trình mặt phẳng (β) có dạng: 3x z

c) Mặt phẳng   qua điểm R3; 4; 7  chứa trục Oz chứa giá vectơ

3; 4; 7

OR  k 0; 0;1 Khi nOR i, 4 3; 0;  vectơ pháp tuyến   Phương trình mặt phẳng   có dạng: 4x3y0

Bài 5. Cho tứ diện có đỉnh A5;1;3, B1; 6; 2, C5;0; 4, D4; 0; 6 a) Viết phương trình mặt phẳng ACD BCD

b) Viết phương trình mp  qua cạnh AB song song với cạnh CD Hướng dẫn giải

a) ● Mặt phẳng ACD qua A5;1;3 chứa giá vectơ AC0; 1;1 

 1; 1;3 

(73)

Vectơ nAC AD,   2; 1; 1 vng góc với mặt phẳng ACD

Phương trình ACD có dạng:2x 5 y    1 z 3 2x  y z 140

● Tương tự: Mặt phẳng BCD qua điểm B1; 6; 2 nhận vectơ m BC BD,  làm vectơ pháp tuyến

Ta có BC4; 6; ,   BD3; 6; 4 và m  12; 10; 6   Phương trình mặt phẳng BCD có dạng:

     

12 x 10 y 6 z 6x 5y 3z 42

           

b) Ta có: AB  4;5;1, CD  1; 0; 2

Mặt phẳng   qua cạnh AB song song với CD   qua A nhận

 

, 10;9;5

n AB CD  làm vectơ pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng   có dạng: 10x9y5z740

Bài 6. Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng sau:

a) x2y  z 2x3y7z 4 ; b) x2y  z 2x y 4z 2 ; c) x   y z 2x2y2z 3 ; d) 3x2y3z 5 9x6y9z 5 ; e) x y 2z 4 10x10y20z400

Hướng dẫn giải a) Ta có:

2

  

  hai mặt phẳng cắt

b) Ta có:

2



 

  hai mặt phẳng cắt

c) Ta có: 1 1

2 2



    hai mặt phẳng song song d) Ta có: 3

9



 

   hai mặt phẳng cắt

e) Ta có: 1

10 10 20 40

 

  

   hai mặt phẳng trùng

Bài 7. Xác định m n để cặp mặt phẳng sau song song:

(74)

a) Hai mặt phẳng 2xmy3z 5 nx8y6z 2 song song với

khi:

4

8

n m m n             

b) Hai mặt phẳng 3x5ymz 3 2xny3z 1 song song với khi:

10

3 3

9

2

2 n m n m                 

c) Hai mặt phẳng 2xny2z 3 mx2y4z 7 song song với

khi: 2

4

2

n n m m            

d) Hai mặt phẳng 2x y mz 2 xny2z 8 song song với khi:

1

2

1

4 n m n m            

Bài 8. Cho hai mặt phẳng 2xmy3z  6 m m3x2y5m1z100 a) Tìm m để hai mặt phẳng song song

b) Tìm m để hai mặt phẳng trùng c) Tìm m để hai mặt phẳng cắt d) Tìm m để hai mặt phẳng vng góc

Hướng dẫn giải a) Để hai mặt phẳng song song

2 2

2

3 3 4 0

2

5

3 10

5 29 24

3

5 10

m

m m m

m m

m m m

m m m m                                        

Hệ vô nghiệm nên khơng có m thỏa mãn đề b) Để hai mặt phẳng trùng

2 2

2

3 3 4 0

2

5

3 10

5 29 24

3

5 10

m

m m m

(75)

2 2

2

3 3 4 0

2

5

3 10

5 29 24

3

5 10

m

m m m

m m

 

     

 

  

          

      

  

 

 

  



d) VTPT hai mặt phẳng là: n12;m;3 , mm 3; 2;5m1

Để hai mặt phẳng vng góc 1 2 2 3 5 1 19 n n   m  m m   m 

Bài 9. Tính khoảng cách từ điểm A2; 4; 3  đến mặt phẳng  P sau: a) 2x y 2z 9 ;

b) 12x  5z ; c) x0

a)     

 2

2

2.2 1.4

,

2

d A P      

  

b)     

 2

12.2 5 44

,

13

12

d A P     

 

c) d A P , 2

Bài 10. Giải toán sau phương pháp tọa độ:

Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh

a) Chứng minh hai mặt phẳng AB D  BC D  song song với b) Tính khoảng cách hai mặt phẳng nói

x

y z

D'

C' A'

D

B

C A

(76)

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ

Ta có: A0;0;0 , B 1;0;0 , D 0;1;0 , A 0;0;1 Khi B1;0;1 , D 0;1;1 , C 1;1;1  a) Mặt phẳng AB D qua điểm A nhận vevtơ n AB AD,  làm vectơ pháp tuyến Ta

có AB 1; 0;1 , AD 0;1;1 n   1; 1;1  Phương trình mặt phẳng AB D có dạng:

 

x   y z

Tương tự, mặt phẳng BC D  qua điểm B nhận vectơ n BD BC,  làm vectơ pháp tuyến

Ta có BD  1;1; ,  BC0;1;1 vàm1;1;   Phương trình mặt phẳng BC D  có dạng:

 

1

x   y z

So sánh hai phương trình  1  2 , ta thấy hai mặt phẳng AB D  BC D  song song với

b) Vì AB D  // BC D  nên khoảng cách từ A đến mặt phẳng BC D  khoảng cách hai mặt phẳng Ta có:  , 

3 d A BC D   

Bài 11. Tìm tập hợp điểm hai mặt phẳng sau:

a)   : 2x y 4z 5  ' : 3x5y  z ; b)   : 2x y 2z 1  ' : 6x3y2z 2 ; c)   :x2y  z  ' :x2y  z

Hướng dẫn giải a) Gọi M x y z ; ;  điểm cách     ,  Ta có:

 

     5

, ,

4 16 25

x y z x y z

d M  d M         

   

   

     

5 3

2 3 5 5

x y z x y z

x y z

        

        

 

       



(77)

2 53 3 x 55 3 y 5 3z5 5 30

2 53 3 x 55 3 y 5 3z5 5 30 b) Gọi M x y z ; ;  điểm cách     ,  Ta có:

 

 ,   ,  2 2

4 36

x y z x y z

d M  d M         

   

   

7 2 2

4 16 20

32 13

x y z x y z

x y z

        

    



     



Vậy tập hợp điểm hai mặt phẳng:  4x 16y20z 1 32x2y8z130 c) Gọi M x y z ; ;  điểm cách     ,  Ta có:

 

 ,   ,  2

1 1

x y z x y z

d M  d M         

   

  2

2

x y z x y z

       

          

        

1

   (vô lý) x2y  z

Vậy tập hợp điểm mặt phẳng: x2y  z

Bài 12. Tìm điểm M trục Oz trường hợp sau:

a) M cách điểm A2;3; 4 mp  :2x3y z 170 b) M cách mp x   y z x   y z

Hướng dẫn giải Vì MOzM0;0;c

a) Ta có: MA 9 4c2  184c2

Vì M cách điểm A2;3; 4 mp  : 2x3y z 170 nên ta có:

 

  2   

, ,

MAd M  MA  d M      

2 17

13

14 c

c  c

     

0;0;3  M



b) Vì M cách mp x   y z x   y z nên ta có:

 

1

3

c c

c c c

 

        

0;0;  M



(78)

Mặt cầu: x2y2z22x4y6z 2 có tâm I1; 2;3 bán kính R4 Gọi   mặt phẳng cần tìm

Vì mặt phẳng   song song với mặt phẳng 4x3y12z 1 nên có dạng 4x3y12z D

Mặt khác:   tiếp xúc với mặt cầu d I ,  R 78 36

4 26 52

26 16 144

D D

D



   

       

 

  

Vậy mặt phẳng   có phương trình là: 4x3y12z780 4x3y12z260

D BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Gọi   mặt phẳng qua điểm M0; 2; 0và song song với mặt phẳng

( ) : 2Q x3y4z 5 0.Phương trình mặt phẳng   là:

A. 2x3y4z 6 B. 2x3y4z 6 C. 2x3y4z 6 D. 2x3y4z 6

Câu 2. Gọi   mặt phẳng qua điểm M3; 2; 1 và song song với mặt phẳng

 Q :x5y  z Phương trình mặt phẳng   là:

A. x5y  z B x5y  z C. x5y z 180 D x5y  z

Câu 3. Gọi   mặt phẳng qua điểm M a b c ; ;  song song với mặt phẳng Oyz Phương

trình mặt phẳng   là:

A. y b B. z c 0 C. x a 0 D. y   z b c

Câu 4. Gọi   mặt phẳng qua điểm M a b c ; ;  song song với mặt phẳng (Ox )y Phương trình mặt phẳng   là:

A. x   y b a B. x a 0 C. y b D. z c 0

Câu 5. Gọi   mặt phẳng qua điểm M a b c ; ;  song song với mặt phẳng Oxz.Phương trình mặt phẳng   là:

A. y b B. z c 0 C. x a 0 D. x z a c   0

Câu 6. Gọi   mặt phẳng qua điểm M4;0;1và vng góc với mặt phẳng  P ( )Q có phương trình 2x y 2z 3 0; 12x6y 7 0.Phương trình mặt phẳng   là:

A. x2y2z 6 B x2y2z 4 C x2y2z 6 D x2y2z 6

Câu 7. Gọi   mặt phẳng qua điểm M2;5; 7 và vng góc với mặt phẳng  P  Q có phương trình x2y3z 6 0; 3x  5z 0.Phương trình mặt phẳng   là: A. 5x2y3z210 B. 5x2y3z210

(79)

Câu 8. Gọi   mặt phẳng qua điểm M1; 4; 3 và song song chứa giá hai véc tơ

0;1; ; 1; 4; 3

u v  Phương trình mặt phẳng   là:

A. 3x z  6 B. 3x z C.    3x z D. 3x z

Câu 9. Gọi   mặt phẳng qua điểm M3; 4;7 và song song chứa giá hai véc tơ

0; 0;1 ; 3; 4; 7

u v  Phương trình mặt phẳng   là:

A. 4x3y0 B. 4x3y240 C.  4x 3y240 D 4x3y0

Câu 10. Gọi   mặt phẳng qua điểm A1;6; ; B 5;0; ; C 4;0;6 Phương trình mặt phẳng   là:

A. 10x9y5z740 B.10x9y5z740 C. 10x9y5z740 D. 10x9y5z340

Câu 11. Gọi   mặt phẳng qua điểm A0;1;1 ; B 1; 2;0 ;  C 1;0; 2 Phương trình mặt phẳng   là:

A.    2x y z B. 2x  y z C. 2x   y z D     2x y z

Câu 12. Gọi   mặt phẳng qua điểm A3;1; ;  B 2; 1; 4 và vuông góc với mặt phẳng

 Q :2x y 3z 4 Phương trình mặt phẳng   là:

A. x13y5z 5 B. 2x   y z C. x13y5z 5 D. 2x  y z

Câu 13. Gọi   mặt phẳng qua điểm A(2;3; 4) ; (2; 4; 4)B vng góc với mặt phẳng

 Q :2x y 3z 4 Phương trình mặt phẳng   là:

A. 3x2z 14 B. 3x2z 2 C. 3x2z 2 D.  3x 2z 2

Câu 14. Gọi   mặt phẳng qua điểm A0;6;0 ; B 3;0;0và vng góc với mặt phẳng

 Q :5x3y3z 7 Phương trình mặt phẳng   là:

A. 6x3y13z180 B. 6x3y13z180 C. 6x3y13z180 D.  6x 3y13z180

Câu 15. Gọi   mặt phẳng qua điểm A2;0;0 ; B 0;3;0và vng góc với mặt phẳng

 Q :x   y z Phương trình mặt phẳng   là:

A. 3x2y5z 6 B. 3x2y5z 6 C. 3x2y5z 6 D. 3x2y5z 6

Câu 16. Gọi   mặt phẳng qua điểm A1; 2;3 ; B 3;3;5và vng góc với mặt phẳng

 Q :3x2y  z Phương trình mặt phẳng   là:

A.  3x 4y  z B. 3x4y  z C. 3x   4 z D. 3x4y  z

Câu 17. Gọi   mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB vớiA2;0;1 ,  B 4; 2;5 PT mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB là:

(80)

C. 3x y 2z100 D. 3x y 2z100

Câu 18. Gọi   mặt phẳng qua điểm A0;1;1 ; B 1;0; 2và vng góc với mặt phẳng

 Q :x   y z Phương trình mặt phẳng   là:

A. y  z B. y  z C.   y z D. x   y z

Câu 19. Gọi   mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB với A1;3;1 ; B 3; 3;3  Phương trình mặt phẳng   là:

A. x3y  z B x3y  z C x3y  z D x3y  z

Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng qua điểm M1;1;1và nhận a1; 1; 2 và

2;3; 4

b làm cặp vectơ phương, có phương trình là:

A. 2x  z B. 2x   y z C. 2x  z D. 2x   y z

Câu 21. Gọi   mặt phẳng qua điểm A1;1; ;  B 5; 2;1và vng góc với mặt phẳng Oxy

.Phương trình mặt phẳng   là:

A. 2x   y z B x4z 3 C. 2x   y z D x4z 3

Câu 22. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng có phương trình sau mặt phẳng

đi qua điểm A0; 1; ,  B 1; 2; ,  C 0;0; 2 ?

A. 7x4y  z B. 3x4y  z C. 5x4y  z D. 7x4y  z

Câu 23. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng   qua hai điểm

5; 2;0 ,  3; 4;1

A  B  có vectơ phương a1;1;1 Phương trình mặt phẳng

  là:

A. 5x9y4z 7 B. 5x9y14z 7 C. 5x9y4z 7 D. 5x9y4z 7

Câu 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi   mặt phẳng qua hình chiếu

5; 4;3

A lên trục tọa độ Phương trình mặt phẳng   là: (dùng pt đoạn chắn)

A. 60

5

x  y z 

B 12x15y20z600

C.

5

x y z

   D.12x15y20z600

Câu 25. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng qua hai điểm

3;1; , 2; 1; 4

A  B  vuông góc với mặt phẳng 2x y 3z 4 là: A.13x y 5z 5 B. 2x y 5z 3 C. x13y5z 5 D. x2y5z 3

Câu 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho   mặt phẳng qua điểm M1;3; 2  song song với mặt phẳng 2x y 3z 4 Phương trình mặt phẳng là:

(81)

C. 2x y 3z 7 D. 2x y 3z 7

Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng qua hai điểm

2; 1;1 ,

A  B2;1; 1  vng góc với mặt phẳng 3x2y  z là:

A. x5y7z0 B. x5y7z 4 C x5y7z0 D. x5y7z0

Câu 28. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba mặt phẳng

  :x y 2z 1 0,  :x   y z 0,  :x  y Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A.     / /  B.       C.       D.      

Câu 29. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm

5;1;3 , 1;6; , 5;0; , 4;0;6

A B C D Mặt phẳng   qua hai điểm A, B song song với đường thẳng CD có phương trình là:

A.10x9y5z0 B.10x9y5z740 C.10x9y5z740 D. 9x10y5z740

Câu 30. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng   qua điểm M5; 4;3 cắt tia

Ox, Oy, Oz điểm , ,A B C cho OA OB OC có phương trình là: A. x  y z 120 B. x  y z

C. x   y z D. x  y z

Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, điểm M trục Oy cách hai mặt phẳng

  :x   y z 0,  :x   y z có tọa độ là:

A. M0; 2;0 B. M0; 3;0  C. M0;1;0 D. M0; 1;0 

Câu 32. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho   mặt phẳng qua điểm H2;1;1và cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt

phẳng   là?

A. 2x   y z B. 2x   y z C. x   y z D. 2x   y z

Câu 33. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho   mặt phẳng qua điểm G1; 2;3và cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C cho G trọng tâm tam giác ABC Phương trình

mặt phẳng   là?

A. 2x3y6z180 B. 6x3y2z180 C. 3x6y2z180 D. 6x2y3z180

Câu 34. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng  P qua giao tuyến hai mặt phẳng

 1 :y2z 4 0, 2 :x y 5z 5 0và vng góc với mặt phẳng  3 :x   y z Phương trình mặt phẳng  P là?

(82)

Câu 35. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P qua giao tuyến hai mặt

phẳng  1 : 3x   y z 0, 2 :x4y 5 0đồng thời song song với mặt phẳng

 3 : 2x21y  z Phương trình mặt phẳng  P là?

A. 2x21y z 230 B. 2x21y z 230 C. 2x21y z 230 D. 2x21y z 230

Câu 36. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng   : 2x y Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A.   Oz B.   / /Oy C.    / / yOz D.   / /Ox

Câu 37. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng qua điểm M1; 2;3 chứa trục Oy là:

A. x3z0 B. 3x z C. 3x y D. 3x z 0

Câu 38. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M1; 6; 3  mặt phẳng

  :x 1 0,  :y 3 0,  :z 3 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A.   / /Oz B.   qua M. C.    / / xOz D.      

Câu 39. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng qua ba điểm

1; 0; , 0; 2; ,

A B  C0; 0; 3  có phương trình:

A. x2y3z0 B. 6x3y2z 6 C. 3x2y5z 1 D. x2y3z0

Câu 40. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,khoảng cách mặt phẳng

 P :x2y2z 11  Q :x2y2z 2 là:

A.7 B.5 C.3 D.

-Hết - ĐÁP ÁN PHẦN TRẮC NGHIỆM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C A A B C C C D D C

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B A A C D A C A B A

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

B A A C D A A C A C

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

(83)

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

C A B D D C B D B B

ĐÁP ÁN PHẦN TỰ LUYỆN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B A C D A A C D A A

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B A C A A D A B A A

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

D A B A C D A A B A

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

(84)

PHẦN 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

A TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng

 Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M x y z0( ;0 0; 0) có vectơ

phương a( ;a a a1 2; 3)với a0 là:

1

( ) : ( )

  

   



   

o

o x x a t

d y y a t t z z a t

 Nếu a a a1 0

0 0

1

( ) :d xx  yy  zz

a a a gọi là phương trình tắc của d

2 Vị trí tương đối hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d d,  qua hai điểm M0x y z0; 0; 0, M0x0  ;y0 ;z0  có vectơ

chỉ phương aa a a1; 2; 3, a a a1  ; 2 ;a3  Khi đó, ta có:



0

;

a a d d

M d

       

  

€



0

;

a a d d

M d

     

  

  

 d cắt d

0

;

a a

a a M M    

 

  

   

 d d chéo a a; .M M0 00

 d d a a 0

3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng

Cho mặt phẳng   :AxBy Cz  D đường thẳng

0

:

  

   

   

x x ta d y y ta

z z ta

Xét phương trình: A x( 0ta1)B y( 0ta2)C z( 0ta3) D (ẩn t) (*)

 d€   (*) vô nghiệm

(85)

4 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu

Cho đường thẳng

0

:

  

   

   

x x ta d y y ta z z ta

(1) mặt cầu   2 2

: (  ) (  )  ( ) 

S x a y b z c R (2)

Để xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt cầu  S ta thay (1) vào (2), a phương trình: x0ta1a 2 yx0ta2b 2 z0ta3c2 0 (*)

 d  S khơng có điểm chung  (*) vơ nghiệm d I d , R

 d tiếp xúc  S  (*) có nghiệm d I d , R

 d cắt  S tạihai điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt d I d , R 5 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (chương trình nâng cao)

Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP a điểmM

0 ;

( , ) M M a d M d

a

 

 



6 Khoảng cách hai đường thẳng chéo (chương trình nâng cao)

Cho hai đường thẳng chéo d1 d2

d qua điểm M1 có VTCP a1, d2 qua điểm M2 có VTCP a2

 

1 2

1

, ( , )

,  a a M M

d d d

a a

Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 bằng khoảng cách d1 với mặt phẳng   chứa d2 song song với d1

7 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song

Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng   song song với khoảng cách từ một điểm M d đến mặt phẳng  

8 Góc hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1, d2lần lượt có VTCP a a1, 2 Khi góc d1, d2 là:  1 2  1 2

1

cos ; cos ,

  a a

d d a a

a a 9 Góc đường thẳng mặt phẳng

Cho đường thẳng d có VTCP a( ;a a a1 2; 3) mặt phẳng   có VTPT n( ; ; )A B C .

Góc đường thẳng d mặt phẳng   góc đường thẳng d với hình chiếu d của nó  

 

2 2 2

1

sin , ( )

   

   

Aa Ba Ca d

(86)

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

Dạng 1. Phương trình đường thẳng qua điểm biết véctơ phương Phương pháp giải:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng d qua điểm M0x y z0; 0; 0 có vectơ phương aa a a1; 2; 3 với

2 2

1  2 0

a a a có phương trình tham số là:           

x x a t y y a t z z a t

VD 1. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P :x2y3z 4

 Q : 3x2y5z 4 Giao tuyến  P  Q có phương trình tham số là:

A 2            x t y t z t

B

2             x t y t z t

C

2           x t y t z t

D

2           x t y t z t

Hướng dẫn giải Cách 1: Xét hệ ( )

3

   



      

x y z x y z

Cho x0 thay vào ( ) tìm y 8,z 4 Đặt A(0; 8; 4) 

Cho z0 thay vào ( ) tìm x2,y 1

Đặt B(2; 1; 0)  AB2; 7; 4 VTCP    P  Q

Như vậy, phương trình tham số    P  Q

2            x t y t z t Chọn đáp án A

Cách 2: Xét hệ ( )

3

   



      

x y z x y z

Cho z0 thay vào ( ) tìm x2,y 1 Đặt B(2; 1; 0)

 P :x2y3z 4 có VTPT nP (1; 2;3)  Q : 3x2y5z 4 có VTPT nQ (3; 2; 5)

 

, 4;14;8

 

n nP Q chọn u(2; 7; 4) VTCP giao tuyến    P  Q

Như vậy, PTTS    P  Q

2            x t y t z t Chọn đáp án A

Cách 3: (kỹ máy tính cầm tay)

(87)

A 2B 3C 4: 3A 2B 5C 4     

Rút toạ độ điểm ( ;x y z0 0; 0) từ PTTS câu, dùng lệnh CALC nhập vào máy

KQ ứng với câu cho đáp số nhận (ở tạm thời nhận A B)

Tiếp tục cho t1 (ngoài nháp) vào PTTS nhận để có số ( ; ; )x y z lại thay vào biểu thức nhập hình

Lại tìm số cho đáp số (ở câu A đảm bảo điều nên đáp án A)

VD 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d qua điểm M1; 2; 0  có véctơ phương u0; 0;1  Đường thẳng d có phương trình tham số là:

A          x y z t

B

1 2            x t y t z t

C

1          x t y t z

D

1 2            x t y t z

Học thuộc lòng công thức

0 0           

x x at y y bt z z ct

thay số vào

1

2

0                     

x t x

y t y

z t z t

Chọn đáp án A

VD 3. Phương trình tham số đường thẳng d biết qua điểm M(1; 2;3) có véctơ

1; 4;5  

a

A            x t y t z t

B

1              x t y t z t

C            x t y t z t

D

1              x t y t z t

Đường thẳng d qua điểm M(1; 2;3) có vectơ phương a1; 4;5 có phương trình tham số là:

1            x t y t z t

VD 4. Phương trình tham số đường thẳng d biết qua điểm M(0; 2;5) có véctơ

1; 1;3  

a

A 1             x t y t z t B              x t y t z t C 2             x t y t z t D 2            x t y t z t

(88)

Đường thẳng d qua điểm M(0; 2;5) có vectơ phương a1; 1;3 có phương trình tham số là:

0 2             x t y t z t

Chọn đáp án C

VD 5. Phương trình tham số đường thẳng d biết qua điểm M(1; 2;3) có véctơ

2; 0; 0 

a

A            x t y t z t

B

1            x t y t z t

C

1          x t y z D           x t y t z

Đường thẳng d qua điểm M(1; 2;3) có véctơ phương a2; 0; 0có phương trình tham số là:

1          x t y z

VD 6. Phương trình tham số đường thẳng d biết qua gốc tọa độ O có véctơ phương

2; 3;1

 

a

A             x t y t z t

B

0            x t y t z t

C

1            x t y t z t

D

1           x t y t z

Đường thẳng d qua điểm qua gốc tọa độ O có véctơ phương a2; 3;1 có phương trình tham số là:

0            x t y t z t

Chọn đáp án B

Dạng 2. Phương trình đường thẳng qua điểm M N;

 Tìm tọa độ véctơ MN

 Phương trình đường thẳng cần tìm qua M ( hoặcN) có véctơ phương

phương với véctơ MN

(89)

A  

2

4

  

    

    

x t

y t t

z t

B  

2

3

1

  

     



    

x t

y t t

z t

C  

1

2

4

  

    

    

x t

y t t

z t

D  

2

3

1

  

    



    

x t

y t t

z t

Phương pháp: Để tìm toạ độ điểm đầu mút đoạn thẳng có phương trình tham số có điều kiện kèm theo ta thay giá trị (đầu mút) tham số vào phương trình tìm x y z, ,

a) Với phương án A, thay t1 vào PTTS ta toạ độ điểm 2;3; 1 

nhưng t2 ta lại điểm 3; 4; 6  khác toạ độ điểm A điểm B b) Với phương án B, thay t 1 ta toạ độ điểm B1; 2; 4

và t0 ta toạ độ điểm A2;3; 1  Chọn đáp án : B

Lưu ý 1:

- Để viết phương trình tham số đoạn thẳng AB ta viết phương trình tham số đường thẳng AB, tìm giá trị t tA, B để từ phương trình tham số ta tìm lại toạ độ điểm

, A B

- Kết phương trình tham số có kèm điều kiện t đoạn tạo t tA, B

- Tuy nhiên phương pháp chậm khó để chọn phương án cách cho đề Lưu ý 2:

- Nếu HS dùng phương pháp thay toạ độ điểm A B vào phương trình tham số phương án (A,B,C,D) để tìm giá trị t tìm t tA, B đầu mút đoạn điều kiện cho kèm theo phương trình tham số, phương án

VD 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2; 3  B3; 1;1  Phương trình sau phương trình tắc đường thẳng qua hai điểm A B ?

A

3 1

     

x y z

B

2

     

x y z

C 1

1

     

x y z

D

2

     

x y z

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận:

Gọi d đường thẳng qua điểm A1; 2; 3  B3; 1;1  Đường thẳng d qua (1; 2; 3)

A có vectơ phương ud AB(2; 3; 4) nên có phương trình tắc là:

1

2

     

x y z

(90)

Đường thẳng qua A1; 2; 3  B3; 1;1  có vectơ phương AB(2; 3; 4) nên loại phương án A C Xét thấy điểm A(1; 2; 3) thỏa mãn phương trình tắc phương án B nên chọn B đáp án

VD 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng qua hai điểm A1; 2;1 ,  B 2;1;3 có phương trình:

A

1

    

x y z

B

1

     

x y z

C

1

    

x y z

. D

1

    

x y z

Đường thẳng AB qua A1; 2;1  nhận AB(1; 3; 2) làm vectơ phương nên có phương trình:

1

    

x y z

VD 10. Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm M(1; 2;3) N(3; 0; 0)

A            x t y t z t

B

3            x t y t z t

C

1 2 3            x t y t z t

D

3 2            x t y t z t

Ta có véctơ MN 2; 2; 3   véctơ phương đường thẳng MN Chọn đáp án D

VD 11. Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A(1; 2; 3)  B(3; 0;1) A            x t y t z t

B

3            x t y t z t

C

1 2 3            x t y t z t

D

3 2            x t y t z t

Ta có véctơ AB2; 2; 4 nên véctơ phương đường thẳng AB u1;1; 2 Chọn đáp án B

VD 12. Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A(1; 2; 3)  B(3; 0;1) A            x t y t z t

B

2 1              x t y t z t C 2 3            x t y t z t

D

3 2            x t y t z t

Ta có véctơ AB2; 2; 4 nên véctơ phương đường thẳng AB là u1;1; 2 Mặt khác tọa độ trung điểm AB điểm I2; 1; 1  

(91)

 Véctơ phương đường thẳng  u

 Phương trình đường thẳng cần tìm qua điểm M có véctơ phương phương với véctơ u

VD 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình đường thẳng qua điểm M2;1; 2

và song song với trục Ox là:

A 2          x t y t z t

B

2           x y t z

C

2           x t y z

D

2           x t y t z t

Trục hoành Ox nhận véctơ đơn vị i (1;0;0) làm VTCP

Đường thẳng d song song với trục hoành phải nhận i (1;0;0) làm VTCP ln Ngồi M2;1; 2d nên viết PTTS d ta chọn phương án C

VD 14. Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M(1; 2;3) song song với đường

thẳng d cóphương trình             x t y t z t A            x t y t z t

B

3            x t y t z t

C

1              x t y t z t

D            x t y t z t

Ta có véctơ u1; 4; 5   véctơ phương đường thẳng d

Vì €d nên véctơ u1; 4; 5   véctơ phương đường thẳng  Chọn đáp án A

VD 15. Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M(1;1;1) song song với đường

thẳng d cóphương trình             x t y t z t A 1            x t y t z t

B

1            x t y t z t

C

1            x t y t z t

D

3            x t y t z t

Ta có véctơ u1; 4; 5   véctơ phương đường thẳng d

(92)

VD 16. Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M(1;1;1) song song với đường thẳng d có phương trình

1            x t y z t A 1           x t y z t B 1           x t y z t C 1           x t y z t D            x t y t z t

Ta có véctơ u1; 0; 2  véctơ phương đường thẳng d

Vì €d nên véctơ a  2; 0; 4 véctơ phương đường thẳng  Chọn đáp án C

Dạng 4. Phương trình đường thẳng qua điểm M0 vng góc với mặt phẳng ( )P cho trước Phương pháp giải:

 Véctơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P n

 Phương trình đường thẳng cần tìm qua điểm M0 có véctơ phương phương

với véctơ n

VD 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi  đường thẳng qua điểm M2;0; 3  vng góc với mặt phẳng   : 2x3y5z 4 Phương trình tắc  là:

A

1

   



x y z

B

2

   



x y z

C

2

   



x y z

D

2

   

x y z

  : 2x3y5z 4 có VTPT n 2; 3;5  Do  ( ) nên  nhận n làm VTCP

Ngồi ra, M2;0; 3  nên phương trình tắc :

2

 

  



x y z

VD 18. Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M(1; 2;3) vng góc với mặt

phẳng  P cóphương trình x4y5z 3

A            x t y t z t B            x t y t z t C              x t y t z t D            x t y t z t

Ta có véctơ n1; 4; 5   véctơ pháp tuyến mặt phẳng (P)

(93)

VD 19. Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M(1; 2;3) vng góc với mặt phẳng  P cóphương trình x  5z

A           x t y z t B           x t y z t C             x t y z t D           x t y z t

Ta có véctơ n1; 0; 5  véctơ pháp tuyến mặt phẳng  P

Vì  ( )P nên véctơ u  1; 0;5 véctơ phương đường thẳng  Chọn đáp án A

VD 20. Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M(1; 2;3) vng góc với mặt

phẳng Oxy A          x t y z B          x y t z C          x y z t D            x t y t z t

Ta có véctơ k 0; 0;1 véctơ pháp tuyến mặt phẳng Oxy

Vì  (Oxy) nên véctơ n0; 0; 1  véctơ phương đường thẳng  Chọn đáp án C

Dạng 5. Phương trình giao tuyến hai mặt phẳng

Cách 1:

 Đặt ẩn t giải hệ phương trình theo t

Cách 2:

 Véctơ phương đường thẳng tích có hướng véctơ pháp tuyến mặt phẳng

 Chọn điểm thuộc mặt phẳng điểm thuộc đường thẳng

VD 21. Phương trình tham số đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng có phương trình

( ) : x2y  z ( ') : x y 2z 3

A 5            x t y t z t B 5            x t y t z t C 5            x t y t z t D            x t y t z t

Ta có phương trình tổng qt đường thẳng là

2

x y z x y z

    

     

(94)

VD 22. Phương trình tham số đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng có phương trình ( ) :2 x2y  z ( ') :2 x   y z

A

6           x t y t z t

B

6           x t y t z t

C

6           x t y t z t

D

6            x t y t z t

Ta có phương trình tổng qt đường thẳng là 2

2

x y z x y z

    

     

Đặt xt tìm y z; theo t Chọn đáp án D

VD 23. Phương trình tham số đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng có phương trình

( ) : x y () :2x  y z 150

A 15           x t y t z t B 15           x t y t z t C 15          x t y t z t D 15            x t y t z t

Ta có phương trình tổng qt đường thẳng là

2 15

  

    



x y x y z Đặt xt tìm y z; theo t

Dạng 6. Phương trình đường thẳng d qua điểm M0 vng góc với đường thẳng d d1; không

song song

 Véctơ phương đường thẳng d u  u u1; 2

 Phương trình đường thẳng cần tìm qua M0 có véc tơ phương u

VD 24. Cho hai đường thẳng d d1; 2 có phương trình

1:

6            x t

d y t

z t

2:

2

 

 



x y z

d Phương trình tắc đường thẳng d3đi qua

1; 1; 2 

M vng góc với d1và d2là

(95)

Hướng dẫn giải Ta có: véctơ phương d3là u3u u1; 214;17;9 Chọn đáp án B

1:

2           x t

d y t

z t

2

2 :           x t

d y t

z t

Phương trình tắc đường thẳng d3đi qua

1; 1; 2 

M vng góc với d1và d2là

A 14 17             x t y t z t B 14 17             x t y t z t C 14 17             x t y t z t D 14 17             x t y t z t

Hướng dẫn giải Ta có: véctơ phương d3là u3u u1; 214;17;9

1:

2           x t

d y t

z t

và 2

2 :            x t

d y t

z t

Phương trình tắc đường thẳng d3đi qua M1; 1; 2 

vng góc với d1và d2là

A             x t y t z t B             x t y t z t C             x t y t z t D             x t y t z t

Hướng dẫn giải Ta có: véctơ phương d3là u3u u1; 2  2;3; 1 

Dạng 7. Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M0 lên mặt phẳng ( ) cho trước Tìm tọa

độ điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng cho trước

 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M0 vng góc với ( )

 Tọa độ H hình chiếu điểm M0lên mặt phẳng ( ) nghiệm hệ phương trình ( )

  

d  Điểm M’ điểm đối xứng điểm M0 qua mặt phẳng ( ) suy H trung điểm

0 '

(96)

VD 27. Cho điểm M1; 4; 2 mặt phẳng ( ) : x2y  z Tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng ( )

A 1; 2; 0 B 1; 2; 0 C  1; 2; 0 D 1; 2;1 Hướng dẫn giải

Ta có:

Phương trình đường thẳng d qua điểm M1; 4; 2 vng góc với mặt phẳng ( ) là:

4 2

          

x t

y t

z t

Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình

4 2

x y z  



   

   

     

x t

y t

z t

VD 28. Cho điểm M1; 1; 2  mặt phẳng ( ) :2 x y 2z110 Tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng ( )

A   3; 1; 2 B 3;1; 2  C 3;1; 2  D 3;1; 2 Hướng dẫn giải

Ta có:

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M vng góc với mặt phẳng ( ) là:

1 2

  

    

   

x t

y t

z t

Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình

1 2

2 11

  

    

   

     

x t

y t

z t

x y z Chọn đáp án C

VD 29. Cho điểm M1; 4; 2 mặt phẳng ( ) : x2y  z Tọa độ điểm M điểm đối xứng điểm M qua mặt phẳng ( )

A 1; 2;1 B 3;0; 2 C 3; 0; 2  D 3;0; 2 Hướng dẫn giải

Ta có:

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M1; 4; 2 vng góc với mặt phẳng ( ) là:

4 2

          

x t

y t

z t

Tọa độ hình chiếu M ( ) nghiệm hệ phương trình

4 2

2

  

   

   

     

x t

y t

z t

x y z

(97)

VD 30. Cho điểm M1; 1; 2  mặt phẳng ( ) :2 x y 2z110 M điểm đối xứng điểm

M qua mặt phẳng ( )

A 7;3; 6  B 7;3; 6  C   7; 3; 6 D 7;3; 6 Hướng dẫn giải

Ta có:

Phương trình đường thẳng d qua điểm M vng góc với mặt phẳng ( ) là:

1 2

  

    

   

x t

y t

z t

Tọa độ hình chiếu M ( ) nghiệm hệ

1 2

2 11

  

    

   

     

x t

y t

z t

x y z

Vì H trung điểm MM nên tọa độ điểm M  7;3; 6  Chọn đáp án A

Dạng 8. Hình chiếu điểm M đường thẳng d Phương pháp giải:

 Lấy Hd Tính MH

 H hình chiếu M d MH u d 0

VD 31. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :

1

x y z

d     điểm A1;2;7 Tìm toạ độ điểm H hình chiếu vng góc A d?

A H4;5;2  B H2;1;0  C H3;3;1  D H1; 1;   

Hướng dẫn giải: Phương pháp trắc nghiệm:

Nhập vào máy tính: 1 1 A 2 2B 1 7C

Sau đó: CALC A4,B5,C2 ta  6 0 loại đáp án A CALC A2,B1,C0 ta 60 loại đáp án B CALC A3,B3,C1 ta  chọn đáp án C CALC A1,B 1,C 1 ta 120  loại đáp án D Chọn đáp án C

Đường thẳng d có vectơ phương ud 1;2;1

H hình chiếu vng góc A d  H d H2t;1 ; t t

3 ; ; 7

(98)

Ta có: AH u d 0 1 3    t 2 2t 1 t7  0 t

Vậy H3;3;1 Chọn đáp án C

VD 32. Trong không gian Oxyz, tọa độ hình chiếu vng góc điểm M 2; 1;1 đường thẳng

1

:

1

x y z

d     là:

A 1;0;2  B 2;2;3  C 0; 2;1   D  1; 4;0 

Nhập vào máy tính: 1 2 A   2 B 1 1C

Sau đó: CALC A1,B0,C2 ta  6 0 loại đáp án A CALC A2,B2,C3 ta 120 loại đáp án B CALC A0,B 2,C1 ta  chọn đáp án C CALC A 1,B 4,C0 ta 60 loại đáp án D Chọn đáp án C

H hình chiếu vng góc A d  H d H1t t;2 ;2t

3 ;1 ; 1

MH t  t t

Ta có: MH u d 0 1 3  t 2 2 t 1 t    1 t

Vậy H0; 2;1  Chọn đáp án C

VD 33. Trong không gian Oxyz, cho điểm A3; 5;2  đường thẳng

6 :

1

x t

d y t

z t

  

    

    

Hình chiếu

của A lên d có tọa độ là:

A 2; 3;1   B 2; 3;    C 2;3;1  D  2; 4;3 

Hướng dẫn giải Phương pháp trắc nghiệm:

Nhập vào máy tính: 4 3 A   1 B 2 2C

(99)

CALC A2,B 3,C 1 ta 40 loại đáp án B CALC A2,B3,C1 ta 60 loại đáp án C CALC A 2,B 4,C3 ta  21 0 loại đáp án D Chọn đáp án A

Đường thẳng d có vectơ phương ud    4; 1;2

GọiH hình chiếu vng góc A d  H d H6 ; 2 t    t; 2t

3 ;3 ;2 3

AH  t t t

Ta có: AH u d 0  4 4  t 1 3 t 2 2t   3 t

Vậy H2; 3;1  Chọn đáp án A

Dạng 9. Hình chiếu đường thẳng d mặt phẳng   Phương pháp giải:

Trường hợp 1: d cắt  

 Tìm giao điểm A d  

 Lấy M cụ thể d Tìm hình chiếu M M    Hình chiếu d đường thẳng AM

Trường hợp 2: d€ 

 Lấy M cụ thể d Tìm hình chiếu M M d  Hình chiếu d đường thẳng qua M song song với d

VD 34. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng :

2 1

x y z

d    

  P :x  y z 100 Viết

phương trình hình chiếu d d lên  P

Mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến n1;1;1, lấy M0;1;3d Toạ độ giao điểm A d  P nghiệm hệ

 

6

1

2 6; 2;6

2 1

10

x

x y z

y A

x y z z

 

 

  

     



 

      

 

(100)

Đường thẳng MH qua M0;1;3 nhận n1;1;1 làm vectơ phương nên có phương trình:

3 x t

y t

z t

         

Toạ độ H thoả hệ  

2

1

2;3;5

3

10

x t x

y t y

H

z t z

x y z t

 

 

    

  

    

 

      

 

Đường thẳng d qua H2;3;5 nhậ AH  4;5; 1  làm vectơ phương nên có phương trình:

2 5

x t

y t

z t

          

VD 35. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : 1

2

x y z

d       P :x2y2z 4 Viết phương trình hình chiếu d d lên  P

Hướng dẫn giải Mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến n1;2; 2 

Đường thẳng d qua điểm M1; 1;2  có vectơ phương u2;1;2

Nhận thấy d€ P nên gọi H hình chiếu cuả M  P d qua H d€d Đường thẳng MH qua M1; 1;2  nhận n1;2; 2  làm vectơ phương nên có phương trình:

1 2

x t

y t

z t

  

    

   

1

2;1;0

2

x t x

y t y

H

z t z

x y z t

  

 

     

  

    

 

      

 

Đường thẳng d qua H2;1;0 nhận u2;1;2 làm vectơ phương nên có phương trình:

2 2

x t

y t

z t

          

VD 36. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng :

3

x y z

d     

  P :x y 2z130

(101)

Mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến n1; 1;2 , lấy M4;1;2d Toạ độ giao điểm A d  P nghiệm hệ

 

1

4

0 1;0;6

3

2 13

x

x y z

y A

x y z z

 

  

  

   



 

      

 

Gọi H hình chiếu M  P

Đường thẳng MH qua M4;1;2 nhận n1; 1;2  làm vectơ phương nên có phương trình:

4 2

x t

y t

z t

          

4

1

5;0;4

2

2 13

x t x

y t y

H

z t z

x y z t

  

 

    

  

    

 

      

 

Gọi M đối xứng với M qua  P H trung điểm MM M6; 1;6 

Đường thẳng d qua M6; 1;6  nhận AM 5; 1;0  làm vectơ phương nên có phương trình:

6

x t

y t

z   

    

  

Dạng 10 Phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 d2

 Chuyển d d1, 2 dạng tham số

 Giả sử A B, chân đường vng góc chung d d1, 2  Tìm toạ độ A B, theo tham số d d1, 2

 Từ điều kiện dd d1, d2 suy

1

2

d

AB u AB u

 

 



  toạ độ A B

 Đường thẳng d đường thẳng qua A nhận AB làm VTCP

VD 37. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng  d1  d2 chéo có phương trình  1

1

: 10

x

d y t

z t

 

   

  

,  2

3

:

2

x t

d y t

z

         

Gọi đường thẳng vng góc chung

(102)

A 177 98 17 49 x t y t z t

B

7 46 147 246 x t y t z t

C            t z t y t x 3 2

D

           t z t y t x 2

Nhập vào máy tính: 0A2B1C

Sau đó: CALC A2,B3,C 6 ta  chọn đáp án A

CALC A 46,B 147,C246 ta  48 0 loại đáp án B CALC A2,B3,C 3 ta 30 loại đáp án C

CALC A2,B 3,C 4 ta 100 loại đáp án D Chọn đáp án A

 d1 có VTCP u1 0;2;1 ,  d2 có VTCP u13; 2;0 

Gọi M1;10 ; t t1 1   d1 , N3 ;3 ; 2t2  t2    d2 Suy MN 3t2 1; 2t22t1  7; t1 2

Ta có:

1

2

164

16 49

4 13 11

49

t

MN u t t

t t

MN u t

                         

Do đó: 1;162 164; ,

49 49

M 

 

27 129

; ;

49 49

N  

 ,  

11

2;3; 49

MN   

Từ suy phương trình MN Chọn A Cách làm trắc nghiệm:

  có VTCP u u u1, 22;3; 6  Chọn đáp án A

VD 38. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi đường vng góc chung hai đường thẳng:

 1

2 :

1

x

d y t

z t          

và  2

4 : 11 x t

d y t

z t             

(103)

A

x t

y t

z t

B

1 2

x t

y t

z t

C

3

2

1   

 y z

x

D

2

1    

 y z

x Hướng dẫn giải Phương pháp trắc nghiệm:

  có VTCP u u u1, 2  2; 4; 4 2 1; 2; 2    Chọn A D

Để loại A D, ta cần xét thêm có cắt với  d1 hay khơng cách giải hệ Chọn đáp án B

 d1 có VTCP u1 0; 1;1  , d2 có VTCP u14;1;1

Gọi M2;t1;1 t1  d1 , ;2 2;11 2  2

4

N t t t  d

 

Suy 42 2; 2 1 7; 2 1

4

MN  t  t  t t  t 

 

Ta có:

1

2

0

1

4

t MN u

 

 

 

  



 

 

Do đó: M2;0;1 , N1;2;3, MN  1;2;2   1; 2; 2

Từ suy phương trình MN Chọn đáp án B.

VD 39. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo

3

:

1

x t

d y t

z t

  

    

    

6

:

2 x t

d y t

z t

   

         

Phương trình sau phương trình đường vng góc chung d d

A 1

1 2

x y z

  B 1

1 2

x y z

 

C 1

1 2

x y z

  D 1

1 2

x y z

 

Đường thẳng d d có vectơ phương a  4;1;1 b  6;1;2 Lấy M3 ; 2 t     t; t d N, 6 ;1t t;2 2 td

 3; 3;2 3

(104)

MN đoạn vng góc chung 2

41 27 27 0

MN a MN a t t t

t t t

MN b MN b

                           

 1; 1;0 , 0;1;2

M N

  

Phương trình MN phương trình đường vng góc chung d d nên có phương trình:

1

1 2

x y z

 

Dạng 11 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M0 cắt đường thẳng d thoả mãn điều kiện cho trước

Điều kiện cho trước là:

 Vng góc với đường thẳng 1 cho trước

 Song song với mặt phẳng  P cho trước

 Giả sử  cắt đường thẳng d M M có toạ độ phụ thuộc tham số t d  Từ điều kiện cho trước dẫn đến phương trình bậc theo tham số t  toạ độ M

 Viết phương trình đường thẳng  qua M0 có VTCP MMo

VD 40. Trong không gian Oxyz cho điểm A2;0;1 đường thẳng :

1

x y z

d     Phương trình

đường thẳng qua điểm A, vng góc cắt đường thẳng d là:

A 2 x t y z t          

B

2 1 x t y z t          

C

2 x t y z t          

D

1 x t y z t          

Hướng dẫn giải Đường thẳng d có vectơ phương u1;2;1

Gọi  đường thẳng qua điểm A, vng góc cắt d M M1t t;2 ;2m Vì d  u AM 0 4t   0 t M1;0;2

Phương trình  cần tìm là:

2 x t y z t          

VD 41. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 2

1 1

x y z

d      ; 2

1 :

1

x t

d y t

z t            

điểm A(1;2;2) Đường thẳng  qua A, vng góc với d1 cắt d2 có phương trình

A 2

2

x  y  z

  B

1 2

1

x  y  z

(105)

C 2

1

x  y  z

D 2

1

x  y  z

 Hướng dẫn giải

Đường thẳng d1 có vectơ phương u1;1;1

Gọi  đường thẳng qua điểm Avà cắt d2 M M1t;1 ; 1 t  t

 ;2 1; 3 AM t t t

Vì d1  u AM 0 2t   4 t M1;5;1

Phương trình  cần tìm qua A1;2;2 nhận AM  2;3; 1 làm vectơ phương nên

có phương trình: 2

2

x y z

 

 

VD 42. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1

1

x y z

d     

 , mặt phẳng

( ) : 2 x   y z điểm A(1;2; 1) Đường thẳng  qua A cắt d song song với

( )

mp  có phương trình

A

1

x  y  z

B

1

x  y  z

 

C

2 2

x  y  z

 D

1

x  y  z

Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến n2;1; 1 

Gọi  đường thẳng qua điểm Avà cắt d M M1t;1 ; 1 t  t

 ;2 1;  AM t t t

Vì   € n AM 0       t t M2; 1; 2  

Phương trình  cần tìm qua A1;2; 1  nhận AM1; 3; 1  làm vectơ phương nên

có phương trình:

1

x  y  z

 

Dạng 12 Viết phương trình đường thẳng  cắt hai đường thẳng d1 d2 thoả mãn điều kiện cho trước

Điều kiện cho trước là:

 Đi qua điểm M cho trước không thuộc d1 d2

 Song song với đường thẳng d cho trước

 Vng góc với mặt phẳng  P cho trước

(106)

 Giả sử  cắt d1 d2 A B, Ad B1, d2  Từ điều kiện cho trước xác định toạ độ điểm A B,

 Khi đường thẳng  đường thẳng qua A nhận vectơ u AB làm VTCP

Cụ thể:

 Nếu điều kiện qua điểm M A B, ,M thẳng hàng

 Nếu điều kiện song song với đường thẳng d AB phương với ud  Nếu điều kiện vng góc với mặt phẳng  P AB phương với nP

VD 43. Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình 1:

3

x z

d    y 

2

3

:

1

x y z

d     

  Viết phương trình đường thẳng cắt d1 d2 đồng thời qua điểm

3;10;1

M

Gọi đường thẳng cần tìm d giả sử d cắt hai đường thẳng d1 d2

2 ; ; 

A  a    a a d B3b;7 ;1 b b   d2

Do đường thẳng d qua M3;10;1 MAkMB

3 1; 11; 

MA a a   a ; MBb; 2  b 3; b

3 1

11

4

a kb a

a kb k k

a kb b

  

 

 

      

     

 

Phương trình đường thẳng d là:

3 10 10

x t

y t

z t

  

   

   

VD 44. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d1 cắt

cả hai đường thẳng d2 d3, biết phương trình d d d1, 2, là:

1

:

1 x

d y t

z t

 

    

   

2

1 2

:

1

x y z

d      3

1

:

x t

d y t

z t     

    

   

Hướng dẫn giải Đường thẳng d1 có vectơ phương u0;6; 1 

1 ; ;2 

A   a a  a d B 1 ;3b b b; d3

2 2; 5; 2

(107)

Do đường thẳng d song song với d1 ABku

2 0

4

3

b a k a

b a k k

b a k b

   

 

 

            

 

 

A 1; 2;2 , B1;4;1

Phương trình đường thẳng d qua A có vectơ phương AB0;6; 1  nên có phương trình

1 x

y t

z t

 

    

   

VD 45. Trong không gian toạn độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x6y  3z hai đường thẳng

1

:

2

x y z

d      2: 2

1

x y z

d    

 Viết phương trình đường thẳng d vng

góc với  P đồng thời cắt hai đường thẳng d1 d2 Hướng dẫn giải Mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến n1; 6; 3  

 ;1 ;2 

A   a  a  a d B2  b; ; 2b  bd2

 3;5 3; 2

AB b a b a   b a

Do đường thẳng d vng góc với  P ABkn

2

5 3

2

b a k a

b a k b

b a k k

   

 

 

             

 

1;4;3 , 2; 2;0

A B

 

Phương trình đường thẳng d qua A có vectơ phương AB1; 6; 3   nên có phương trình

1 3

x t

y t

z t

          

Dạng 13 Viết phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng  P cắt hai đường thẳng d1 d2

 Đường thẳng  nằm mặt phẳng  P cắt đường thẳng d1 A A  P d1

 Đường thẳng  nằm mặt phẳng  P cắt đường thẳng d2 B B  P d2

 Tìm toạ độ điểm A B, tính AB

(108)

VD 46. Viết phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng   :x y 2z 1 cắt hai đường thẳng

1 :           x t

d y t

z t

2

:

4             x t

d y t

z

A 1

1

x y z

 

 B

1

x y z

 



C 1

1

x  y z

 D

1

x  y  z  

Gọi A giao điểm d1   nên toạ độ điểm A thoả hệ

 

1

1; 0;1

1

2z 1

                           

x t t

y t x

A

z t y

x y z

Gọi B giao điểm d2   nên toạ độ điểm B thoả hệ

 

2

1 2

2;9;

4

2z

                               

x t t

y t x

B

z y

x y z

 3;9;3 AB 

Đường thẳng  thoả mãn tốn qua A1;0;1 có VTCP 1; 3; 1

u   AB  

Phương trình tắc đường thẳng  là: 1

1

x  y z  

Chọn đáp án D

VD 47. Trong không gian toạn độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1 1

:

2 1

x y z

d     

 ,

2

1

:

1

x y z

d      mặt phẳng  P : 2x   y z Phương trình tắc đường thẳng  nằm  P cắt hai đường thẳng d d1, 2là

A 1

1

x y z

  B 1

3

x y z

 



C 1

3

x  y  z

 D

1 1

1 2

x  y  z 

(109)

Đường thẳng d1 d2 có phương trình tham số 1

1

:

1

x t

d y t

z t            

2

1

:

1

x t

d y t

z t               

Gọi A giao điểm d1   nên toạ độ điểm A thoả hệ

 

1

1;1;1

1

2 z

                               

x t t

y t x

A

z t y

x y z

 

1

2

2;3;

1

2 z

                                  

x t t

y t x

B

z t y

x y z

Đường thẳng  thoả mãn tốn qua A1;1;1 có VTCP u AB3;2; 4  nên có phương trình tắc là: 1

3

x y z

 



VD 48. Trong không gian toạn độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x3y2z 7 hai đường thẳng

1

2 :

1

x y z

d   



4

:

1

x y z

d     Phương trình đường thẳng  nằm  P cắt d1 d2

A

2 1

x y z

 

 B

1

x y z

 

 

C

1

x  y  z

 D

1

1 2

x  y  z



Đường thẳng d1 d2 có phương trình tham số 1: 2

x t

d y t

z t          

4 :

3

x t

d y t

z t             

(110)

 

1

2

1; 4;3

3

  

 

     

   

   

 

      

 

x t t

y t x

A

z t y

x y z z

 

1

2

1; 2;

1 2

3 2z



  

 

     

   

      

 

       

 

x t t

y t x

B

z t y

x y z

2; 2; 4 AB  

Đường thẳng  thoả mãn toán qua A1;4;3 có VTCP 1; 1; 2

u  AB   nên có phương trình tắc là:

1

x  y  z

 

Dạng 14 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A P , nằm mặt phẳng  P vng góc với đường thẳng d

 Tìm VTCP d ud VTPT  P nP  Đường thẳng  có VTCP u  u nd; P

 Viết phương trình đường thẳng  qua A có VTCP vừa tìm

VD 49. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x y 2z 2 đường thẳng

1

:

1

x t

d y t

z          

Đường thẳng  qua M1;2;1 nằm  P vng góc với d có phương trình:

A

4

x y z

 

  B

1

4

x y z

 

 

C

4

x  y  z

D

4

x  y  z



Đường thẳng d có vectơ phương ud 1;2;0, mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến

2;1; 2 n 

Đường thẳng  nằm  P vng góc với d nên có VTCP

   

; 4;2; 4; 2;3

d

(111)

 qua M1;2;1 có VTCP u4; 2;3  nên có phương trình

4

x y z

 



VD 50. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x   y z đường thẳng

1 :

2

x t

d y t

z t           

Đường thẳng  qua giao điểm  P d, vng góc với d nằm

 P có phương trình:

A 1 x t y t z            

B

1 x t y t z            

C

1 2 x t y t z           

D

1 x t y t z            

Gọi M giao điểm d  P suy toạ độ M thoả hệ:

1

2

x t

y t

z t

x y z

                 1 1 t x y z               

 1; 1;1

M

  

Đường thẳng d có vectơ phương ud 2;1; 3 , mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến

2;1;1

n

Đường thẳng  nằm  P vng góc với d nên có VTCP

   

; 4; 8;0 1; 2;0

d

uu n   

 qua M 1; 1;1 có VTCP u1; 2;0  nên có phương trình

1 x t y t z            

(112)

Dạng 15 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng

 Cho mặt phẳng  P :AxByCz D đường thẳng  

0 0

,

:

x x at y y bt t z z ct d

  

   



   

 Xét hệ phương trình

       

0

1

0

  



  



  

    



Ax By Cz D

 Thay      1 , , vào  4 ta có phương trình :

      * 

A x at B y bt C z ct  D

TH1:  * vô nghiệm dvà  P khơng có giao điểm hay dvà P song song

TH2: * có nghiệm t d và P có giao điểm hay dvà P cắt điểm TH3: * có vơ số nghiệm dvà P có vơ số giao điểm hay dnằm mặt phẳng  P Chú ý:

1 Trong trường hợpd € P d  P VTCP d VTPT  P vng góc 2 Khi d € P thì khoảng cách d  P chính khoảng cách từ điểm d đến mặt phẳng  P

VD 51. (Bài 14 SGK trang 97) Cho mặt phẳng   : 2x y 3z 1 đường thẳng d có phương

trình tham số:

3 2

1    

      

x t

y t

z

Trong mệnh đề sau, mệnh đề ?

A.d  ; B dcắt   ; C.d€  ; D.d   Hướng dẫn giải

Cách 1: Xét phương trình 2    3 t 2t 3.1 1   0 0(luôn với t)

dvà   có vơ số điểm chung hay d   Chọn đáp án D.

Cách 2: Ta có vectơ pháp tuyến   : 2x y 3z 1 n2;1;3,vectơ phương đường thẳng d u1; 2; 0 mà n u     2 n u(loại A B)

Trên đường thẳng d lấy M3;2;1, thay tọa độ M vào phương trình   ta

(113)

VD 52. (Bài tập 3.71 - SBTCB trang 119) Tọa độ giao điểm M đường thẳng

12

:

4

x y z

d      mặt phẳng   : 3x5y  z 0là:

A.1;0;1 ; B 0; 0; ;  C.1;1;6 ; D.12;9;1  Hướng dẫn giải

Phương trình tham số d là:

12

x t

y t

z t

  

   

   

Thay x y z, , phương trình vào phương trình tổng quát   ta được:

     

3 12 4 t 5 3 t     1 t 26t    78 t Vậy dcắt   giao điểm

 

0 0; 0;

M 

Chọn đáp án B.

VD 53. (Bài 3.72 SBTCB trang 120) Cho mặt phẳng   :x3y  z đường thẳng d có phương trình tham số:

1 2

x t

y t

z t

  

   

   

A d€  ; B dcắt   ; C d  ; D d   Hướng dẫn giải

Xét phương trình 1 t 3 2 t 1 2 t  1 0.t 3(phương trình vơ nghiệm) dvà   khơng có điểm chung hay d€ 

Chọn đáp án A.

VD 54. (Bài 3.73 SBTCB trang 120) Cho đường thẳng : 1

1

x y z

d     

 mặt phẳng   :x   y z Trong mệnh đề sau, mệnh đề ?

A dcắt   ; B d€  ; C d  ; D d   Hướng dẫn giải

Phương trình tham số d là:

1 2

x t

y t

z t

  

       

Xét phương trình 1  t 1 2t  3 t  4 0.t0(phương trình vơ số nghiệm)  

d  

(114)

Dạng 16 Vị trí tương đối hai đường thẳng

 Cho hai đường thẳng:

1

 qua A có vectơ phương a

2

 qua B có vectơ phương b  Ta có trường hợp sau:

 1 2 nằm mp a b AB, . 0  1 2 cắt 

, 0

, . 0

     

  

  

a b a b AB

 1 2 song song với 

, 0

   



     

a b AB b

 1 2 trùng nhau

, 0

   



     

a b AB b

 1 2 chéo nhaua b AB, . 0

VD 55. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1

:

1

  

  

 

x y z

2

:

1 x t

y t

z t

      

    

Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A.1/ /2 B.  1 2 C.  1 2 D.1 2 chéo nhau. Hướng dẫn giải

Ta có : 1đi qua điểm A1;1; 2 có vectơ phương u1; 1; 4  

2

 qua điểm B(0;1; 1) có vectơ phương Vì

1

,

     

     

u u u AB

nên  1€ 2 u 2; 2; 8   

VD 56. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1và d2 cắt có phương trình

1

:

2

    

x y z

d 2

6

:

2   

    

    

x t

d y t

z t

Tọa độ giao điểm d1và d2 là:

A. 3;5; B 3;5; C 3; 2; D 3; 5;5

(115)

Phương trình tham số đường thẳng 1  

: ;

3             x s

d y s s

z s

Xét hệ phương trình:

2 (1) (2)

4 (3)

s t s t s t             

Từ (1) (2) ta có: s t      

 thỏa mãn (3), tức d1và

2

d cắt Khi t 3 vào phương trình d2 ta 3;5; 5  Chọn đáp án A.

VD 57. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:  1 :

2

x y z

d

m

  

 2

1

:

3

x y z

d     Với giá trị m  d1  d2 cắt nhau?

A.m B.m C.m D.m

Hướng dẫn giải Phương trình tham số  1  

2

: ,

x s

d y s s

z ms          

và  2  

1

: ,

x t

d y t t

z t              Để  d1  d2 cắt hệ phương trình sau có nghiệm:

3 (1) (2)

(3) t s t s ms t          

Từ (1) (2) ta có: 1 t s    

 Thế 1 t s    

 vào (3) ta m1 Chọn đáp án A.

VD 58. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1

:

3

x t

d y t

z t           

:

2

x t

d y t

z t                

Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề ?

A d cắt d B dvà d chéo C dd D. d d€  Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận :

Đường thẳng d có VTCP u(1;1; 1) Đường thẳng d có VTCP u (2;2; 2)

Ta thấy u 2u nên ,u u hai vectơ phương Suy d d€  dd

(116)

0 1

3

2

2 2

1

t t

t

    

 

 

     

 

    

    



(vô nghiệm) Suy M(1; 2;3)d

Từ suy d d€ ' Chọn đáp án D.

Dạng 17 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

 Cho điểm M x y z 0; 0; 0 đường thẳng 0

:   

 x x  y y  z z

a b c Khoảng cách từ M đến d Ký hiệu : d M ,

  1,

,

 

 

  M M u

d M

u

VD 59. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M2; 0;1 đường thẳng d có phương trình

1

x  y  z

Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d

A 12 B C. D 12

Gọi H hình chiếu M đường thẳng d H d H(1t; ; 2t t) Ta có: MH  (t 1; ;t t1) u(1; 2;1) VTCP d

Vì MH  d MH  u MH u         0 t 4t t t nên H(1; 0; 2) Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d độ dài đoạn MH

Ta có MH  MH  ( 1) 02 12  Chọn đáp án C.

Phương pháp trắc nghiệm :

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ M tới d là: , M M u h

u

 

 

(117)

Dạng 18 Khoảng cách hai đường thẳng chéo

 Cho hai đường thẳng chéo :

1

:

  



       

2

'

: '

'   



       

x x a t y y b t z z c t

Khoảng cách hai đường thẳng 1và 2 Ký hiệu d 1; 2  Ta có :

1

 qua M1x y z1; 1; 1 có u1a b c; ; , 2 qua M2 x y z2; 2; 2 có u2 a b c'; '; '  Khi đó:  1 2 2

1

,

 

 

  

 

 

u u M M d

u u

VD 60. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường đường thẳng  1 :

4 1

x y z

  

 ,

 2

1

:

6

x y z

  

 Khoảng cách  1 và 2 là:

A.3 B C 14 D.9

1 qua điểm A(3; 2; 1) có véctơ phương u1( 4;1;1) qua điểm B(0;1; 2) có véctơ phương u2( 6;1; 2)

1

( 3;3;3), , (1; 2; 2)

AB u u

1 2

1

,

u u AB d

u u Chọn đáp án A.

VD 61. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:

3

x y z

d     

 ,

2

4 18

:

3

x y z

d    

 Khoảng cách hai đường thẳng d1 d2 là:

A.25 B.20 C.15 D 15

Gọi M7;5;9d1, H0; 4; 18  d2 Ta có MH 7; 9; 27  ,  

2 3; 1;

d

a   suy

 

2

, d 63; 109; 20 MH a

    

  Vậy    

2

1 2

,

, , d 25

d MH a d d d d M d

a

 

 

  

(118)

VD 62. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, khoảng cách hai đường thẳng

1

2

:

4

x y z

d    

 

7

:

6 12

x y z

d    

 là:

A 35

17 B

35

17 C

854

29 D. 30

1

d có vectơ phương u1(4; 6; 8)  ; d2 có vec tơ phương u2( 6;9;12) Ta có:

6 12

   

 nên nên u1 u2 phương d1 d2 song song trùng

Chọn A(2; 0; 1) d1,B(7; 2; 0)d2.Ta có: AB(5; 2;1);AB u, 2  (15; 66;57)

Khi :

2 2

2

1 2 2 2 2

2

AB, (15) ( 66) (57)

(d , ) (A, ) 30

( 6) (9) (12) u

d d d d

u

    

 

   

  

Chọn đáp án D.

Dạng 19 Góc hai đường thẳng

 Cho hai đường thẳng : d: x x0 y y0 z z0

a b c

  

  ' : 1

' ' '

x x y y z z d

a b c

    

 Gọi  d d, ' Thì :

2 2 2

' aa' ' '

os

' ' ' '

u u bb cc

c

u u a b c a b c

   

   

VD 63. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, số đo góc tạo hai đường thẳng  1

1

:

2

x t

d y

z t

   

        2

8 :

2

x t

d y t

z t

        

là:

A.90o B.60o C.30o D.45o

Hướng dẫn giải Véctơ phương d1:u1 (1; 0;1)

Véctơ phương d2:u2 ( 2;1; 2) Ta có: u u1 2 d1 d2

Vậy số đo góc tạo d1 d2 là: o

(119)

VD 64. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng  1

1

:

2

x t

y t

z t

   

   

   

và

 2

2

:

2

x t

y t

z mt

       

   

Với giá trị m  1  2 hợp với góc 60o?

A.m B.m C

2

m D

2

m

Hướng dẫn giải Véctơ phương 1:u1 (1; 2;1)

Véctơ phương 2:u2 (1; 2; )m

Ta có: cos 60o cos u u1, 2 m m2 m Chọn đáp án A.

VD 65. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, số đo góc đuờng thẳng

2

:

1 1

x y z

  



1

:

1

x t

d y t

z t

  

    

   

A

0 B

30 C.

90 D

có vec tơ phương u( 1;1;1) ; dcó vec tơ phương (2; 1;3)ud 

d ( 1)2 1.( 1) 1.3

u u       nên ,d900 Chọn đáp án C.

Dạng 20 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu

Phương pháp giải

 Cho mặt cầu S I R ;  đường thẳng  Gọi H hình chiếu I 

dIH khoảng cách từ I đến   Ta có:

 d Rsuy  cắt S I R ; 

(120)

VD 66. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho đường thẳng dvà mặt cầu  S có phương trình

là 2

1

: , ( ) : ( 1) ( 1)

2   

       

    

x t

d y t S x y z

z t

Giao điểm đường thẳng mặt cầu có tọa độ:

A 2;0;0 , 1;3; 2   B 2; 2; , 1; 2;3   C 2; 2; , 1;3; 2   D 2; 2;0 , 1; 2;3   Hướng dẫn giải

Thay x y z, , từ phương trình tham số dvào phương trình mặt cầu  S ta được:

 

2 2 1; 2;3

(1 ) (2 ) (2 1) 6

1 2; 2;  

           

   

t

t t t t t

t Chọn đáp án D.

VD 67. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho đường thẳng dvà mặt cầu  S có phương trình

là  2 2

1

: , ( ) : 11

x t

d y t S x y z

z t

  

     



 



Gọi A B, giao điểm đường thẳng

dvà mặt cầu  S Độ dài đoạn thẳng AB bằng:

A 11 B 33 C 11 D 11

2 2

(3 )t ( )t ( )t 1111t   11  

 

1 4;1;1

36 4 11

1 2; 1;

t A

AB

t B

  

    



      

(121)

Câu 1. [SGK - NC] Tọa độ hình chiếu vng góc điểm M2;0;1 đường thẳng

1

:

1

x y z

d     là:

A 1;0;2 B 2;2;3 C 0; 2;1  D  1; 4;0 Hướng dẫn giải:

Phương pháp trắc nghiệm:

Nhập vào máy tính: 2 A 2 0B 1 1C

Sau đó: CALC A1,B0,C2 ta 0 chọn đáp án A CALC A2,B2,C3 ta  6 0 loại đáp án B

CALC A0,B 2,C1 ta 60 loại đáp án C CALC A 1,B 4,C0 ta 120  loại đáp án D Chọn đáp án A

Gọi H hình chiếu vng góc M d  H d H1t t;2 ;2t

 1;2 ; 1

MH t t t

Ta có: MH u d 0 1t 1   2 2t 1 t   1 t

Vậy H1;0;2 Chọn đáp án A

Câu 2. [SGK - NC] Cho điểm A1;1;1 đường thẳng

6 2

x t

y t

z t

  

    

    

Hình chiếu A lên d có tọa

độ là:

A 2; 3;1  B 2; 3; 1   C 2;3;1 D 2;3;1 Hướng dẫn giải:

Nhập vào máy tính: 4 1 A 1 1B 2 1C

(122)

CALC A2,B3,C1 ta 60 loại đáp án C CALC A 2,B3,C1 ta  10 0 loại đáp án D Chọn đáp án A

Đường thẳng d có vectơ phương ud    4; 1;2

GọiH hình chiếu vng góc A d  H d H6 ; 2 t    t; 2t

5 ; ;2 2

AH  t  t t

Ta có: AH u d 0  4 4  t    1 t 2 2t2  0 t

Vậy H2; 3;1  Chọn đáp án A

Câu 3. [SBT - NC] Cho đường thẳng

8 :

x t

d y t

z t

   

   

  

điểm A(3; 2;5) Tọa độ hình chiếu

điểm A d

A (4; 1;3) B ( 4;1; 3)  C (4; 1; 3)  D ( 4; 1;3)  Hướng dẫn giải:

Nhập vào máy tính: 3 A   2 B 1 5C

Sau đó: CALC A4,B 1,C3 ta 0 chọn đáp án A CALC A 4,B1,C 3 ta 420  loại đáp án B CALC A4,B 1,C 3 ta 60 loại đáp án C CALC A 4,B 1,C3 ta 320 loại đáp án D Chọn đáp án A

Đường thẳng d có vectơ phương ud 4; 2;1 

GọiH hình chiếu vng góc A d  H d H 8 ;5 ;t  t t

 11 ;7 ; 5

AH   t  t t

Ta có: AH u d 0   4 11 4t 2 2 t 1 t   5 t

(123)

Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng :

1 1

x y z

điểm 2; 1;5

M Gọi H hình chiếu vng góc M Tọa độ H là:

A.H 4;0; B.H 2;0;1 C.H 4;1; D.H 4;0; Hướng dẫn giải:

Nhập vào máy tính: 2 A   1 B 1 5C

Sau đó: CALC A4,B0,C2 ta 0 chọn đáp án A CALC A2,B0,C1 ta 30 loại đáp án B CALC A4,B1,C2 ta  1 0 loại đáp án C

CALC A 2,B3,C1 ta 80 loại đáp án D Chọn đáp án A

Gọi H4t t; ; 2  t   Ta có: MH  t 2;t1;t3

0

MH u   t Suy H4;0; 2 Chọn đáp án A.

Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng  

3

:

7

x t

y t

z t

   

        

điểm A 1; 0;

Gọi A điểm đối xứng với A qua   Tọa độ A là:

A 9;6; 11 B 9;3;11 C 3; 2;11 D 9;6;11 Hướng dẫn giải:

Nhập vào máy tính: 1 A 1 0B   1 C

Sau đó: CALC A9,B6,C 11 ta 0 chọn đáp án A CALC A9,B3,C11 ta  25 0 loại đáp án B CALC A3,B2,C11 ta  14 0 loại đáp án C CALC A9,B6,C11 ta  22 0 loại đáp án D Chọn đáp án A

Gọi H3 ; 4 t   t; t hình chiếu điểm A lên đường thẳng   Ta có:

(124)

Vectơ phương đường thẳng   u2; 1;1  

Vì H hình chiếu điểm A lên đường thẳng   nên AH     AH u   0 t Với t1 ta có H5;3;  

Khi A điểm đối xứng với A qua   H trung điểm đoạn AA

Vậy: tọa độ điểm H  

2

2 9; 6; 11

2

A H A

x x x

x y y A

z z z

  

 



     



  

 Chọn đáp án A.

Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M 1; 3; 2  đường thẳng  có phương

trình

1

x y z

  Tọa độ hình chiếu vng góc điểm M đường thẳng  A.0; 2;1   B.1;1;   C.1; 0;  D.2; 2;3 

Nhập vào máy tính: 1 A   2 B 1 2C

Sau đó: CALC A0,B 2,C1 ta 0 chọn đáp án A CALC A 1,B1,C 1 ta  3  loại đáp án B CALC A1,B0,C2 ta  6 0 loại đáp án C CALC A2,B2,C3 ta  12 0 loại đáp án D Chọn đáp án A

Gọi H(1t; ; 2t   t) hình chiếu vng góc M đường thẳng  Ta có MH ( ; 2t t3; )t u (1; 2;1) VTCP đường thẳng 

Vì MH   MH u    0 t 2(2t        3) t 6t t nên H(0; 2;1) Chọn đáp án A.

Câu 7. [SBT - NC] Cho đường thẳng : 1

2 1

x y z

d      Hình chiếu vng góc d mặt phẳng tọa độ (Oxy)

A

0

x

y t

z

 

    

  

B

1

x t

y t

z

  

    

  

C

1

x t

y t

z

   

   

  

D

1

x t

y t

z

   

    

  

(125)

Toạ độ giao điểm A d (Oxy) nghiệm hệ

 

3

1

3 3; 3;0

2 1

0 0

x

x y z

y A z z                        

Gọi H hình chiếu M (Oxy)H1; 1;0 

Đường thẳng d qua H1; 1;0  nhận 2;1;0

u AH làm vectơ phương nên có

phương trình: x t y t z           

Chọn đáp án B. Cơng thức nhanh:

 Hình chiếu vng góc đường thẳng

0 0 :

x x at d y y bt z z ct

          

trên mặt phẳng Oxy

0 :

0 x x at d y y bt

z           

0 0 :

          

trên mặt phẳng Oyz

0 0 :

x

d y y bt z z ct

          

0 0 :

          

trên mặt phẳng Oxz

0

:

x x at

d y

z z ct           

Câu 8. [SBT - NC] Phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng

1

:

3

x t

d y t

z t             mặt

(126)

A 0 x y z t         

B

0 3 x y t z t           

C

1 2 x t y t z           

D

1 x t y z t          

Hướng dẫn giải Áp dụng công thức nhanh

Chọn đáp án C.

Câu 9. [SBT - NC] Phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng

1

:

3

x t

d y t

z t             mặt

phẳng Oyz là:

A 0 x y z t         

B

0 3 x y t z t           

C

1 2 x t y t z           

D

1 x t y z t          

Hướng dẫn giải Áp dụng công thức nhanh

Chọn đáp án B.

Câu 10. [SBT - NC] Cho đường thẳng

9 : x t

d y t

z t             

và mặt phẳng  P : 3x2y3z 1 Gọi

d hình chiếu d mặt phẳng  P Trong vectơ sau, vectơ không phải vectơ phương d?

A 5; 51; 39    B 10; 102; 78    C 5;51;39  D 5;51;39 

Hướng dẫn giải: Đường thẳng d có vectơ phương ud   1;5;3

Mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến nP 3; 2;3 

Gọi  Q mặt phẳng chứa d vng góc với mặt phẳng  P , suy  Q có vectơ pháp tuyến nQ u nd; P21;12; 13 

(127)

Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng  1

3

:

1

x t

d y t

z t

  

    

    

 2

6

:

2    

    

    

x t

d y t

z t

Độ dài đoạn vng góc chung  d1  d2 là:

A.3 B.6 C D 17

Gọi M3 ; 2 t     t; t ( )d1 N6 ;1t t; 2 t   d2 Ta có: MN     4t ;3t  t t;3 t 2t

Vec tơ phương  d1  d2 là: u1   4;1;1 ; u2   6;1; 2

Khi MN đoạn vng góc chung  d1  d2 1

2

MN u MN u

   

 

 

 

 

 

18 27 18

27 41 27

t t t



  

 

     

 

Với

t t

    

 , ta có MN 1; 2; 2MN 3 Chọn đáp án A.

Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng  1 : 1

2

x y z

d     



 2

2

:

3

x y z

d    

  Đường vng góc chung  d1  d2 có vectơ phương là:

A.a 3; 3;1 B.a 3; 3;3 C.a 1; 0; D.a 1; 3; Hướng dẫn giải:

Phương pháp trắc nghiệm: Nhập vào máy tính: 2A1B3C

Sau đó: CALC A 3,B 3,C1 ta 0 chọn đáp án A CALC A3,B 3,C3 ta 180 loại đáp án B CALC A1,B0,C 1 ta  1 0 loại đáp án C CALC A1,B 3,C2 ta 110 loại đáp án D Chọn đáp án A

Ta có: Vec tơ phương  d1  d2 là: u1 2; 1;3 ;  u2   3; 2; 3 

(128)

        d d

     

  

Khi đó: vectơ phương   uu u1; 2   3; 3;1 

Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:

1

x y z

d     



2

3 1

:

7

x y z

d     

 Phương trình đường vng góc chung d1 d2 là:

A 1

1

x  y  z

  B

7

2

x  y  z

C

2

x y z

 

 D

7

2

     

x y z

Nhập vào máy tính: 1A2B1C(1;2; 1 toạ độ vectơ phương d1) Sau đó: CALC A 1,B2,C 4 ta 70 loại đáp án A

CALC A2,B1,C4 ta 0 chọn đáp án B CALC A2,B 1,C4 ta  4 0 loại đáp án C CALC A2,B1,C 4 ta 80 loại đáp án D Chọn đáp án B

Gọi A, B là đoạn vuông góc chung d1 d2 7 ;3 ;9 

A m  m m d B3 ;1 ;1 3 n  n  nd2

 ; 2 ; 

AB   nm   n m   nm

Do

2

6 0

62 0

AB n n m m

n m n

AB n

      

  

     

  

 nên A7; 3; , B 3;1;1 , AB     4; 2; 8 Đường thẳng AB qua A có phương trình

2

x  y  z

Câu 14. [SBT - NC] Cho hai đường thẳng 1: 2

2 1

x y z

d     

 ;

1 :

1

x t

d y t

z t

  

   

    

điểm

(1;2;3)

(129)

A

1

x y z

 

  B

1

x y z

 

  

C

1

x y z

  D

1

x y z

 

 Hướng dẫn giải

Phương pháp trắc nghiệm: Nhập vào máy tính: 2A1B1C

Sau đó: CALC A1,B 3,C 5 ta 0 chọn đáp án A CALC A 1,B 3,C 5 ta  4 0 loại đáp án B CALC A1,B3,C5 ta 40 loại đáp án C CALC A1,B3,C 4 ta  6 0 loại đáp án D Chọn đáp án A

Đường thẳng d1 có vectơ phương ud 2; 1;1 

Giả sử d cắt đường thẳng d2 N1b;1 ; 1 b   b d2

Do đường thẳng d qua A1;2;3và vng góc với d1 nên AN u d 0

     

2 b 2b 1 b b

          N2; 1; 2  

Phương trình đường thẳng d qua A1;2;3 có VTCP AN1; 3; 5  

1

x  y  z

 

Câu 15. [SBT - NC] Cho đường thẳng : 3

1

x y z

d     , mặt phẳng ( ) : x   y z điểm A(1;2; 1) Đường thẳng  qua A cắt d song song với mp( ) có phương trình

A

1

x y z

  B

1

x y z

 

 

C

1

x y z

 

  D

1

x y z

 

Vì €  nên u n  0

Nhập vào máy tính: 1A1B1C

(130)

CALC A 1,B 2,C1 ta  4 0 loại đáp án B CALC A1,B 2,C 1 ta 0 chọn đáp án C CALC A1,B2,C1 ta 20  loại đáp án D Chọn đáp án C

Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến n1;1; 1  Giả sử  cắt đường thẳng d N3b;3 ;2 b bd

 2;3 1;2 1 AN b b b

Do đường thẳng d qua A1;2; 1 và song song với   nên AN n 0

     

1 b 2 3b 1 2b  1 2b    2 b 1N2;0; 2 

Phương trình đường thẳng d qua A1;2; 1  có VTCP AN1; 2; 1  

1

x  y z

 

Chọn đáp án C.

Câu 16. [SBT - NC] Cho hai đường thẳng : 1; :

2

x t

x y z

d d y t

z

 

        



  



Đường thẳng qua

0;1;1

A cắt d vng góc d có phương trình

A 1

1

x y z

 

 B

1 1

x y z

 



C 1

1

x y z

 

  D

1 1

x y z

 

 

Nhập vào máy tính: 2A2B1C

Sau đó: CALC A1,B 3,C4 ta  4 0 loại đáp án A CALC A 1,B3,C4 ta 120  loại đáp án B CALC A 1,B 3,C4 ta 0 chọn đáp án C CALC A 1,B 3,C4 ta 0 chọn đáp án D Mặt khác đường thẳng qua A0;1;1 nên chọn đáp án D.

(131)

Đường thẳng d có vectơ phương ud   2;2;1

Gọi  đường thẳng cần tìm, giả sử  cắt đường thẳng d N t ;t;2d  ; 1;1

AN t  t

Do đường thẳng  qua A0;1;1và vng góc với d nên AN u d 0

     

2 1

4

t t t

         1; ;2

4

N 

  

 

1

; ;1

4

AN  

    

 

Phương trình đường thẳng  qua A0;1;1 có VTCP u4.AN   1; 3;4 là:

1

x  y  z

 

Câu 17. (Bài tập 24 - SGKNC trang 116) Cho mặt phẳng   :x3y  z đường thẳng

1

:

2

x t

d y t

z t

  

   

   

Tọa độ giao điểm A dvà   là:

A.A3; 0; ; B A3; 4;0 ;  C.A3; 0; ; D.A3;0;   Hướng dẫn giải

Xét phương trình 1 t 3 2 t 2 3 t   1 5.t    10 t A3;0; 4 . Chọn đáp án D

Câu 18. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

 

1

:

1

x m t

d y m t

z m

      



  



Với giá trị

của m đường thẳng d nằm mặt phẳng Oyz ?

A.m B.m C.m m D.m

Hướng dẫn giải: Do d Oyz nên x m t m Chọn đáp án A

Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng :

2

x y z

m m

  

  

 mặt phẳng

  :x3y2z 5 Với giá trị m  vng góc với   ?

A.m B.m C.m D.m

Hướng dẫn giải Do    nên u n cùng phương 2

1

m m

  

   m

(132)

Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng  

11

:

7

x t

y t

z t

  

       

mặt phẳng

  : 5xmy3z 2 Để   cắt   điểm có hồnh độ giá trị thích hợp m là:

A.2 B C.3 D

Gọi M     M(11 ; ;7 )t   t t Hoành độ điểm M nên: 11t  0 t

 

(0; 1;0) 5.0 ( 1) 3.0 2

M  m m

          

Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x y 3z 1 đuờng thẳng

d có phương trình tham số:

3 2

x t

y t

z

   

      

, mệnh đề sau, mệnh đề đúng:

A.d vuông góc với ( )P B.d cắt ( )P C.d song song với ( )P D.d thuộc ( )P

Xét hệ phương trình :

3 2

2

x t

y t

z

x y z

   

      

     

     

2 t 2t 1 0

          (ln đúng) Do hệ phương trình có vơ số nghiệm Vậy d thuộc  P Chọn đáp án D

Câu 22. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, toạ độ giao điểm :

1

x y z

d    

 mặt phẳng ( ) : 2P x   y z là:

A.M1; 1; 2  B.M2;0; 2  C.M3; 1; 0  D.M3;1; 0 Hướng dẫn giải

Gọi M giao điểm đường thẳng d  P

(3 ; ; ) M d M   t t t

     

( ) : 0

         

M P t t t t

(133)

Câu 23. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng : 12

4

x y z

d      mặt phẳng  P : 3x5y  z Tọa độ giao điểm H d ( )P

A H1; 0;1 B H0; 0; 2  C H1;1; 6 D H12; 9;1 Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có phương trình tham số là:

12

x t

y t

z t

  

   

   

Vì H  d ( )P suy H d H(124 ; 9t 3 ;1t t) Mà H P : 3x5y  z nên ta có: 3(124 )t 5(93 )t     (1 t) 26t78   0 t

Vậy H0;0; 2  Chọn đáp án B

Câu 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thăng

1

:

1

x t

d y t

z t

  

   

   

mặt phẳng

 P :x3y  z Trong khẳng định sau đây, khẳng định ? A.d// P B.d cắt  P C.d  P D.d  P

Hướng dẫn giải Đường thẳng

1

:

1

x t

d y t

z t

  

   

   

có VTCP u(1; 1; 2)

Mặt phẳng  P :x3y  z có VTPT n(1;3;1)

Ta có: u n1.1 ( 1).3 2.1   0 nên un Từ suy d//( )P d ( )P

Lấy điểm M1; 2;1d, thay vào  P :x3y  z ta được: 3.2 1 9    0 nên ( )

M P Suy d//( )P Chọn đáp án A

Câu 25. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng   : 2x y 3z 1 đường thẳng

: 2

1

x t

d y t

z

   

   

  

Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng ?

A.d   B.d cắt   C.d€  D.d   Hướng dẫn giải

(134)

Dễ thấy:

2 0

A A A

x y z

u n

         



   



Vậy d nằm mặt phẳng  P Chọn đáp án D

Xét hệ gồm phương trình d phương trình (P):

2

3 2

x y z

x t

y t

z

    

   

 

   

  

hệ vô số nghiệm

Từ suy d nằm mặt phẳng  P Chọn đáp án D

1

:

2

x t

d y t

z t

  

   

   

mặt phẳng

 P :x3y  z Toạ độ giao điểm đường thẳng mặt phẳng là: A.3; 0; 4 B.3; 4; 0  C.3; 0; 4 D.3; 0; 4 

Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận

3

1

2

x y z x

x t y

y t z

z t t

    

 

    

 

     

 

    

 

Từ suy d cắt mặt phẳng  P điểm M3; 0; 4  Chọn đáp án D

Phương pháp trắc nghiệm

Dễ thấy tọa độ điểm A3; 0; 4; B3; 4; 0 ; C3; 0; 4 không thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P)

Kiểm tra M(3; 0; 4  thỏa mãn phương trình

1

:

2

x t

d y t

z t

  

   

   

phương trình mặt phẳng

 P :x3y  z Vậy suy rad cắt mặt phẳng  P điểm M(3; 0; 4  Chọn đáp án D

3

:

4

x t

d y t

z t

  

    

   

mặt phẳng

(135)

A.d song song với mặt phẳng  P B.d cắt mặt phẳng  P

C.d vuông góc với mặt phẳng  P D.d nằm mặt phẳng  P Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận

Đường thẳng d có véc tơ phương (4; 1; 2)u  qua điểm A(3; 1; 4) Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến n(1; 2; 1)

Dễ thấy: 3

2

A A A

x y z

u n

       

 

   

 Vậy d nằm mặt phẳng  P

Phương pháp trắc nghiệm

Chuyển phương trình d dạng phương trình tắc:

4

x y z

 



2

3

4

3

4

x y z

x y

x z



    

  

 

 



 

 



Dễ thấy hệ vô số nghiệm x y z; ;  Từ suy d nằm mặt phẳng  P Chọn đáp án D

Câu 28. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1 :

1

x mt

d y t

z t

     

    

2

1

: 2

3

x t

d y t

z t

  

   

   

Với giá trị m d1 d2 cắt ?

A.m B.m C.m D.m

d có VTCP u1m;1; 2 qua M11;0; 1 ,d2có VTCP u2   1; 2; 1  qua M21; 2;3

1

d cắt d2

 

1 2

, 0.( 5) 2( 2) 4(2 1) 0

0 5; 2;

,

         

    

     

  

  



u u M M m m

m

m m

u u Chọn đáp án A

Câu 29. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi đường thẳng qua điểm A 3; 2; , song

song với mặt phẳng   : 3x2y3z 7 cắt đường thẳng d :

3 2

x y z

điểm M Tọa độ điểm M là:

(136)

  có vec tơ pháp tuyến n(3; 2; 3)  ;dcó vec tơ phương u(3; 2; 2) Ta có:M    d M(2 t; 4  2 t;1 t) ; AM( 3t; 2 t;5 t)     Vì song song với   nên:

       

t 2 t t

AM n             t Vậy:M(8; 8;5)

4

x y z

d    

 

2

7

:

6 12

x y z

d    

 Vị trí tương đối d1 d2 là:

A.Trùng B.Song song C.Cắt D.Chéo Hướng dẫn giải

1

d có vec tơ phương u1(4; 6; 8)  ;d2 có vec tơ phương u2( 6;9;12) Ta có :

6 12

   

 nên u1 u2 cùng phương d1 d2 song song trùng

Chọn A(2;0; 1) d1.Thay vào phương trình đường thẳng d2:2

6 12

  

 

 (vô nghiệm)

Do đó:A(2;0; 1) d2 Vậy d1 song song d2 Chọn đáp án B

3

:

6

x t

d y t

z t

   

    

   

5

:

20     

          

x t

d y t

z t

Tọa độ giao điểm hai đường thẳng d d

A. 3; 2; 6 B.3;7;18 C.5; 1; 20  D.3; 2;1  Hướng dẫn giải

Xét hệ phương trình:

3 (1)

2 (2)

6 20 (3)

t t

     

      

     

Từ phương trình (1) (2) suy t3 t' 2 Thay vào phương trình (3) ta thấy thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm t3, 't  2

(137)

1 :

1

x mt

d y t

z t

     

    

1

: 2

3     

         

x t

d y t

z t

Giá trị tham số m để hai đường thẳng d d' cắt

A.m 1 B.m1 C.m0 D.m2

Hướng dẫn giải Xét hệ phương trình:

1 (1)

2 (2)

1 ' (3)

mt t

t t

    

    

    

Để đường thẳng d d cắt hệ phương trình phải có nghiệm Từ phương trình (2) (3) suy t2 t 0 Thay vào phương trình (3) suy m0 Chọn đáp án C

Câu 33. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo

1

:

1

x t

d y t

z

  

    

  

2

:

1 1

  

  



x y z

d Khoảng cách hai đường thẳng d d

A B

2 C

1

6 D

Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]

Gọi MN đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo d d' (Md N, d') Vì M  d M(12 ; 1t  t;1) Nd' N(2t'; 2 t'; 3t')

Suy MN      (1 2t t'; t t'; 2t')

Đường thẳng d d' có VTCP ud (2; 1; 0) ud'  ( 1;1;1)

Ta có:

'

3

2(1 ') ( ') 2

' . 0 (1 ') ( ') (2 ')

' d

d

t MN u

MN d t t t t

MN d MN u t t t t t

t

 

  

       

   

             



     



Từ suy 1; 1;1

2

MN    

 

6 MN  MN 

Vậy khoảng cách hai đường thẳng d d' Chọn đáp án B.

[Phương pháp trắc nghiệm]

(138)

' '

, '

, d d

d d

u u MM h

u u

 

 



 

 

, (với Md M, 'd')

1

x y z

d    

2

1

:

2

x y z

d     Khẳng định sau đúng?

A.d1cắt d2 B.d1 trùng d2 C.d1€d2 D.d1 chéo d2 Hướng dẫn giải

Thứ ta thấy d1 có véc tơ phương u1 (1; 2; 3) ; d2 có véc tơ phương u2 (2; 4; 6) Vậy u2 2.u1

Mặt khác A1(1; 0; 3)d1 không thuộc d2 Từ suy d1€d2 Chọn đáp án C.

3

:

7        

    

x t

y t

z t

điểm A 1; 0;

Gọi A điểm đối xứng với A qua  Tọa độ A là:

A 9;6; 11 B 9;3;11 C 3; 2;11 D 9; 6;11

Gọi H3 ; 4 t   t; t hình chiếu điểm A lên đường thẳng Ta có:

2 ; ;  AH   t   t t

Vectơ phương đường thẳng  n2; 1;1  

Vì H hình chiếu điểm A lên đường thẳng  nên AH  AH u   0 t

Với t1 ta có H5;3;  

Khi A điểm đối xứng với A qua  H trung điểm đoạn AA

2

2 9; 6; 11

2

A H A

x x x

x y y A

z z z

  

 



     



  

 Chọn đáp án A

Câu 36. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho đường thẳng dvà mặt cầu  S có phương trình

là 2

1

: , ( ) : ( 1) ( 1)

2

x t

d y t S x y z

z t

  

       

    

Giao điểm đường thẳng mặt cầu có tọa độ:

(139)

 

2 2 1; 2;3

(1 ) (2 ) (2 1) 6

1 2; 2;  

           

   

t

t t t t t

t Chọn đáp án D

Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho đường thẳng dvà mặt cầu  S có phương trình

là

 2 2 2

1

: , ( ) : 11

  

     

   

x t

d y t S x y z

z t

Gọi A B, giao điểm đường thẳng d

và mặt cầu  S Độ dài đoạn thẳng ABbằng:

A 11 B 33 C.2 11 D 11

 

2 2 4;1;1

(3 ) ( ) ( ) 11 11 11 36 4 11

1 2; 1;

  

                  

t A

t t t t AB

t B

(140)

Câu 1. [SGK – CB] Viết phương trình tham số đường thẳng d trường hợp sau:

a) d qua điểm M5; 4;1 có VTCPa2; 3;1 

b) d qua điểm A2; 1;3  vng góc với mặt phẳng   :x   y z

c) d qua điểm B2; 0; 3  song song với đường thẳng

1

: 3

4

   

       

x t

y t

z t d) d qua hai điểm P1; 2;3 Q5; 4; 4

a) PTTS đường thẳng d qua điểm M5; 4;1 có VTCP a2; 3;1 là:

5

          

x t

y t

z t

b) VTPT   :x   y z a1;1; 1 

PTTS đường thẳng d qua điểm A2; 1;3  có VTCP a1;1; 1 là:

1

  

    

   

x t

y t

z t

c) PTTS đường thẳng d qua điểm B2; 0; 3  song song với đường thẳng

: 3

4

   

       

x t

y t

z t

2

:

3

     

    

x t

d y t

z t

d) Ta có PQ(4; 2;1) PTTS đường thẳng d qua điểm P1; 2;3 có VTCP PQ(4; 2;1) là:

1 2

          

x t

y t

z t

Câu 2. [SGK – CB] Viết phương trình tham số đường thẳng hình chiếu vng góc đường

thẳng

2

:

1

  

    

   

x t

d y t

z t

mặt phẳng sau:

a)Oxy b) Oyz

A' A

(141)

a) PTTQ Oxylà z0 , ( ) 5; 11;

3

 

    

 

d Oxy I

Gọi A(2; 3;1) điểm thuộc đường thẳng d , hình chiếu A(2; 3;1) lên (Oxy)

2; 3;0

A  Ta có 1; 2; 11; 2; 0

3 3

A I     

 

Vậy PTTS đường thẳng A I qua A2; 3;0  nhận u1; 2; 0 làm VTCP

3

x t

y t

z

  

    

  

b) PTTQ Oyzlà x0 , d(Oyz)I0; 7; 5  

Gọi A(2; 3;1) điểm thuộc đường thẳng d , hình chiếu A(2; 3;1) lên (Oyz)

0; 3;1 A

  Ta có A I 0; 4; 6  

Vậy PTTS đường thẳng A I qua A0; 3;1  nhận A I 0; 4; 6   làm VTCP

3

 

    

   

x

y t

z t

Câu 3. [SGK – CB] Cho điểm M1; 4; 2 mặt phẳng   :x   y z a) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu M   ;

b) Tìm tọa độ điểm M đối xứng với M qua mặt phẳng   ; Hướng dẫn giải

M' H M

a) Đường thẳng d qua M1; 4; 2 vng góc với   :x   y z có PTTS là:

:

2

          

x t

d y t

z t

Gọi d( ) H1t; 4t; 2t, M  nên ta có t  2

(142)

b) Gọi Mx y z; ;  điểm đối xứng với M qua mặt phẳng   suy H trung điểm

đoạn MM Vậy

1

4 ( 3;0; 2)

2

x x

y y M

z z

    

 

        

 

     

 

Câu 4. [SGK – NC] Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình tham số tắc (nếu có)

các đường thẳng sau đây:

a) Các trục toạ độ Ox, Oy, Oz

b) Đường thẳng qua M2;0; 1  có VTCPu  1;3;5 c) Đường thẳng qua N2;1; 2 có VTCPu0; 0; 3 

d) Đường thẳng qua N3; 2;1 vuông góc với mặt phẳng 2x5y 4 e) Đường thẳng qua hai điểm P2;3; 1  Q1; 2; 4

a) Trục Ox qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) nhận VTCP i(1; 0; 0) nên có PTTS là: 0

       

x t y z

Tương tự

0 :

0

       

x Oy y t

z ;

0

:

       

x Oz y

z t

b) Đường thẳng qua M2;0; 1  có VTCPu  1;3;5 Có PTTS

2

1

     

    

x t

y t

z t

, PTCT

1

    

x y z

c) Đường thẳng qua N2;1; 2 có VTCPu0; 0; 3 

2

         

x y

z t

d) Đường thẳng qua N3; 2;1 vng góc với mặt phẳng 2x5y 4 có dạng tham số

3 2

         

x t

y t

z

e) Đường thẳng qua hai điểm P2;3; 1  Q1; 2; 4

Có dạng tham số là:

1

      

    

x t

y t

z t

, Dạng tắc:

1

    

 

(143)

Câu 5. [SGK – NC] Viết phương trình tham số, tắc (nếu có) đường thẳng sau đây: a) Đường thẳng qua điểm 4;3;1 song song với đường thẳng có phương trình

1 3

          

x t

y t

z t

b) Đường thẳng qua điểm 2;3;1 song song với đường thẳng có phương trình:

2

    

x y z

a) Đường thẳng qua điểm 4;3;1 song song với đường thẳng có phương trình

3

          

x t

y t

z t

có dạng tham số

4 3

          

x t

y t

z t

tắc

2

  

 



x y z

b) Đường thẳng qua điểm 2;3;1 song song với đường thẳng có phương trình:

2

    

x y z

có dạng tham số

2 3

   

       

x t

y t

z t

,

và dạng tắc

2

    

x y z

Câu 6. [SBT – CB] Viết phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng 

trường hợp sau:

a)  qua điểm A1; 2;3 có VTCPa3;3;1

b)  qua điểm B1; 0; 1  vng góc với mặt phẳng   : 2x   y z c)  qua hai điểm C1; 1;1  D2;1; 

Hướng dẫn giải a) Phương trình tham số đường thẳng 

1 3

          

x t

y t

z t

Phương trình tắc đường thẳng 

3

    

x y z

b) Do    nên  nhận n 2; 1;1  làm véc tơ phương

Phương trình tham số đường thẳng 

1

      

    

x t

y t

(144)

Phương trình tắc đường thẳng  1

2 1

 

 



x y z

c) CD1; 2;3 véc tơ phương đường thẳng 

Phương trình tham số đường thẳng 

1

  

    

   

x t

y t

z t

Phương trình tắc đường thẳng  1

1

    

x y z

Câu 7. [SBT – CB] Cho điểm M1; 1; 2  mặt phẳng   : 2x y 2z120 a) Tìm toạ độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng   b) Tìm toạ độ điểm M đối xứng với M qua mặt phẳng  

a) Gọi H hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng  

 



MH nên đường thẳng MH nhận n 2; 1; 2  làm véc tơ phương

Phương trình tham số đường thẳng MH

1 2

  

    

   

x t

y t

z t

Tọa độ H1 ; 1 t  t; 2 t    2 2  t    1 t 2 2 t120 19

19

9

  t    t Vậy, 29 10; ; 20

9 9

  

 

 

H

b) M đối xứng với M qua   , suy H trung điểm đoạn MM

67

9 29

9 58

9

M H M

x x x

y y y

z z z



     

 

   



     

Câu 8. [SBT – NC] Viết phương trình tham số tắc đường thẳng d, biết:

(145)

Hướng dẫn giải a)   có véc tơ pháp tuyến n1 1; 3;1 

  có véc tơ pháp tuyến n2 1;1; 1 

Suy ra, véc tơ phương đường thẳng d un n1, 22; 2; 42 1;1; 2 

Xét hệ:

4    

     

x y z

x y z Chọn

2

2       



x y

z Suy M2;0; 2d

Phương trình tắc đường thẳng d 2

1

   

x y z

b)   có véc tơ pháp tuyến n1 0;1; 2  Oyz có véc tơ pháp tuyến n2 1; 0; 0

Suy ra, véc tơ phương đường thẳng d un n1, 20; 2; 1  

Xét hệ: 0

   

  

y z

x Chọn z   0 y Suy M0; 3;0 d

Phương trình tham số đường thẳng d

3

 

    

   

x

y t

z t

Câu 9. [SBT – NC] Cho hai điểm A2; 4; 1  B5;0;7 Viết phương trình tham số đường thẳng AB, tia AB đoạn thẳng AB

Hướng dẫn giải 3; 4;8

 

AB véc tơ phương đường thẳngAB

 Phương trình tham số đường thẳng AB

2 4

      

    

x t

y t

z t

 Gọi M x y z , ,  thuộc đoạn AB Khi đó:

2

0

1

  

      

   

x

y t

z

Suy ra, phương trình tham số đoạn AB

2 4

1

      

    

x t

y t

z t

(146)

 Phương trình tham số tia AB

2 4

      

    

x t

y t

z t

, với t0

Câu 10. [SBT – NC] Viết phương trình đường thẳng trường hợp sau đây:

a) Đi qua A2;0; 1  có VTCPu  i 3j5 k b) Đi qua A2;1; 2 song song với trục Oz c) Đi qua A2;3; 1  B1; 2; 

d) Đi qua A4;3;1 song song với đường thẳng

1

:

3

       

   

x t

y t

z t

e) Đi qua A1; 2; 1  song song với đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng

  :x   y z   : 2x y 5z 4

f) Đi qua A2;1;0 vng góc với mặt phẳng   :x2y2z 1

g) Đi qua A2; 1;1  vng góc với hai đường thẳng có VTCPlà u1   1;1; 2 

 

2  1; 2; 

u

Hướng dẫn giải a) Đi qua A2;0; 1  có VTCPu  i 3j5 k Ta có u  i 3j5k  u  1;3;5

Đường thẳng xác định  

 

2;0; 1;3;5

 

 

  

qua A VTCP u

Đường thẳng cần lập có phương trình

1

     

    

x t

y t

z t

b) Đi qua A2;1; 2 song song với trục Oz Trục Oz có VTCP k0; 0;1

 

2;1; 0;0;1

 

 

 

qua A VTCP k

2

         

x y

z t

c) Đi qua A2;3; 1  B1; 2;  Ta có AB   1; 1;5

 

2;3;

1; 1;5

 

 

   

(147)

1

      

    

x t

y t

z t

d) Đi qua A4;3;1 song song với đường thẳng

1

:

3

       

   

x t

y t

z t

1

:

3

       

   

x t

y t

z t

có VTCP u2; 3; 2 

 

4;3;1 2; 3; 



  

qua A VTCP u

4 3

          

x t

y t

z t

e) Đi qua A1; 2; 1  song song với đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng

  :x   y z   : 2x y 5z 4

  :x   y z có VTPT n1;1; 1    : 2x y 5z 4 có VTPT n'2; 1;5  Ta có un n, '4; 7; 3  

 

1; 2; 4; 7;

 

 

   

qua A VTCP u

1

      

    

x t

y t

z t

f) Đi qua A2;1;0 vng góc với mặt phẳng   :x2y2z 1

  :x2y2z 1 có VTPT n1; 2; 2  Đường thẳng xác định  

 

2;1;0 1; 2;

 

 

 



qua A VTCP n

2

   

       

x t

y t

z t

g) Đi qua A2; 1;1  vng góc với hai đường thẳng có VTCPlà u1   1;1; 2 

 

2  1; 2; 

u

(148)

 

2; 1;1 4; 2;1

 

 

   

qua A VTCP n

2

  

    

   

x t

y t

z t

Câu 11. [SGK – CB] Cho điểm A1;0;0 :

1

x y z

  

a) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc A ; b) Tìm tọa độ điểm A đối xứng với A qua đường thẳng 

a) H hình chiếu vng góc A    H H2t;1 ; t t

1 ;1 ; 

AH t  t t

 có VTCPu 1;2;1

   

1 2

2 AH  AH u    t  t  t   t

Vậy 3;0;

2

H    

b) A đối xứng với A qua đường thẳng   H trung điểm AA 

 

  

 

   

    



2

A H A

x x x

y y y

z z z

Vậy A2;0; 1 

Câu 12. [SBT – CB] Cho điểm M2; 1;1  đường thẳng : 1

2

x y z

  



a) Tìm toạ độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M đường thẳng  b) Tìm toạ độ điểm M đối xứng với M qua đường thẳng 

a) H hình chiếu vng góc M   H H1 ; 1 t  t t;2 

2 1; ;2 1 MH t t t

 có VTCPu 2;1; 2 

     

2 1 2 0

MH  MH u   t   t t   t

Vậy H1; 1;0 

b) M đối xứng với M qua đường thẳng   H trung điểm MM

2

M H M

x x x

y y y

z z z

  

  

 

    

    



(149)

Câu 13. [SBT – NC] Cho ba điểm A1;3; , B 4;0; ,  C 5; 1; 4  Tìm toạ độ hình chiếu H điểm A đường thẳng BC

Đường thẳng BC qua điểm B4;0; 3  nhận vectơ BC1; 1;7  làm VTCPnên có phương trình tham số:

4

3

x t

y t

z t

      

    

H hình chiếu vng góc A đường thẳng BC H BCH4   t; t; 7t 5 ; 3;7 5

AH   t t t

9

1(5 ) 1( 3) 7(7 5)

17 AHBCAH BC      t t t   t

Vậy 77; 12;

17 17 17

H  

 

Câu 14. [SBT – NC] Cho đường thẳng : 2

3

x y z

d    

 điểm M4; 3; 2  Tìm toạ độ hình

chiếu H M đường thẳng d

Hướng dẫn giải Đường thẳng

2

: 2

x t

d y t

z t    

    

   

d có VTCPud 3;2; 1 

Gọi H hình chiếu vng góc M lên d   H d H 2 ; 2 ;t   t t

 ;1 ; 

MH   t  t  t

Ta có MH u d    0 3 3t 2 2 t     2 t t

Suy H1;0; 1 

M đối xứng với M qua d  H trung điểm MM

  

   

 

   

    



2

2z

M H M

x x x

y y y

z z

Vậy M  2;3;4 

Câu 15. [SBT – NC] Tìm toạ độ điểm đối xứng M3;1; 1  qua đường thẳng d giao tuyến

(150)

Đường thẳng

3

2

4 13

:

2

x t

x y

d y t

y z

z t    

   



   

    

  

 

d có VTCP 3;2;1

d

u   

 

Gọi H hình chiếu vng góc M lên d ; ;

H d H t t t

       

 

3

10 ; ;

2

MH  t   t t 

 

Ta có              

 

3 104

10

2 29

d

MH u t t t t

Suy 47 63 104; ; 29 29 29

H 

 

181

29 97

29 237 2z

29

M H M

x x x

y y y

z z



   

  

   



   



Vậy 181 97 237; ;

29 29 29 M 

 

Câu 16. [SBT – NC] Tìm toạ độ điểm đối xứng M2; 1;1  qua đường thẳng d giao tuyến

hai mặt phẳng   :y  z 2x   y z Hướng dẫn giải Đường thẳng

1

4

:

2

x y z

d y t

x y z

z t     

   

     

  



d có VTCPud 0; 1;1 

Gọi H hình chiếu vng góc M lên d   H d H1;4t t; 

 1;5 ; 1 MH  t t

(151)

Suy H1;1;3

2

2z

M H M

x x x

y y y

z z

  

  

 

   

   



Vậy M0;3;5 

Câu 17. [SGK – CB] Viết phương trình tham số đường thẳng hình chiếu vng góc đường

thẳng

2

:

1

x t

d y t

z t

  

    

   

mặt phẳng sau:

a) Oxy b)  Oyz

 Phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d mặt phẳng toạ độ Oxy là:

2

x t

y t

z   

    

  

 Phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d mặt phẳng toạ độ Oyz là:

0 3 x

y t

z t

 

    

   

Câu 18. [SGK – NC] Cho đường thẳng :

3

x t

d y t

z t

         

và mặt phẳng  P :x   y z

a) Tìm VTCPcủa d điểm nằm d

b) Viết phương trình mặt phẳng qua d vng góc với mp P

c) Viết phương trình hình chiếu vng góc d mp P

a) Đường thẳng d qua điểm M0;8;3 có VTCPud 1;4;2

b) Mặt phẳng   qua d vng góc với  P có vectơ pháp tuyến

 

; 2;1;

d P

nu n  

  qua d nên M     : x   0 y 8 3 z  3 2x   y 3z c) Hình chiếu vng góc d  P giao tuyến  P với mặt phẳng   chứa d

(152)

8

2

15

7

x t

x y z

y t

x y z

z t    

   

   

     

  



Câu 19. [SGK – NC] Cho đường thẳng d mặt phẳng   có phương trình:

 

2 1

: ; :

2

x y z

d       x   y z

Viết phương trình hình chiếu vng góc d  

Hình chiếu vng góc đường thẳng d mặt phẳng   giao tuyến mặt phẳng

  với mặt phẳng   ,   mặt phẳng chứa đường thẳng d vng góc với

 

Đường thẳng d qua điểm M2; 1;1  có VTCP ud 2;3;5

Mặt phẳng   có VTPT n2;1;1

  mặt phẳng chứa d vng góc với   nên có VTPT n u nd;   2;8; 4 

  chứa d nên M    : 2 x 2 8 y 1 4 z    1 2x 8y4z160

Vậy phương trình hình chiếu

2 16

x y z

    

     

40

9

8

9

x t

y t

z t

   

 

    

  

Câu 20. [SBT – NC] Viết phương trình hình chiếu đường thẳng

1

:

3

x t

d y t

z t

  

    

   

mặt

phẳng sau: mpOxy, mpOxz, mpOyz, mp  :x   y z Hướng dẫn giải

 Phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d mặt phẳng toạ độ Oxy là:

1 2

x t

y t

z   

    

  

 Phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d mặt phẳng toạ độ Oxz là:

1

x t

y

z t

         

(153)

0 3 x

y t

z t

 

    

   

 Hình chiếu vng góc đường thẳng d mặt phẳng   giao tuyến mặt phẳng

  với mặt phẳng   ,   mặt phẳng chứa đường thẳng d vng góc với

 

Đường thẳng d qua điểm M1; 2;3  có VTCP ud 2;3;1

Mặt phẳng   có VTPT n1;1;1

  mặt phẳng chứa d vuông góc với   nên có VTPT n u nd; 2; 1; 1  

  chứa d nên M     : x 1 1 y 2 1 z  3 2x   y z

Vậy phương trình hình chiếu

7

x y z x y z

    

     

8 13

3

x

y t

z t

    

   

  

Câu 21. [SBT – NC] Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng

7

:

2

x t

d y t

z t

   

        

trên mặt phẳng   :x2y2z 2

Phương trình hình chiếu vng góc giao tuyến hai mặt phẳng       mặt phẳng chứa d vng góc với  

Đường thẳng d qua điểm 7;0;0 M 

  có VTCP ud 3; 2; 2  

Mặt phẳng   có VTPT n1;2; 2 

  mặt phẳng chứa d vng góc với   nên có VTPT ; 2;1;2

4 d

n  u n

  chứa d nên M   : 1 0 2 0 2

x y z x y z

  

            

 

Vậy phương trình hình chiếu 2

2

x y z

    

    



1

2 x t

y t

z t

      

(154)

Câu 22. [SBT –CB] Cho hai đường thẳng :

1

x y z

d    



1

:

1

x t

d y t

z              Lập phương trình đường vng góc chung d d

d có VTCP u1  1;2;3 , d có VTCP u2 1; 2;0  Gọi M1t1;2 ;3 t1 t1d , N1t2;3 ;1 t2 d Suy MN t2 t1; 2t22t1  1; 3t1 1

Ta có:

1

2

1

14 5 3

5

15                         t

MN u t t

t t

MN u t

Do đó: 8; ;1 , 3

 

 

 

M 16 43; ;1

15 15

 

 

 

N , 1; ;0

5

 

  

 

MN Đường vng góc chung qua 8; ;1

3 M 

  nhận vectơ u5MN2;1;0 làm VTCP nên

có phương trình :

             2 x t y t z

Câu 23. [SBT –NC] Viết phương trình đường vng góc chung cặp đường thẳng sau:

a) :

2

x y z

d     



1 4

:

3

x y z

d     

  b) : x t

d y t

z t           2 : x t d y z t          

a) Đường thẳng d d có VTCPlà ud 2;3; 5 , ud 3; 2; 1  

Điểm M d M2 ;3 ; 5 t  t   t

Điểm N d N 1 ;4 ;4t  t t

 3 ;1 ;8 

MN t t t t t t

        

MN đường vuông góc chung d d

     

2 3 3

38 43

14 19

3 3 2

d d

t t t t t t

MN u t t t

t t t

t t t t t t

MN u

                                                     

(155)

Vậy phương trình tắc đường vng góc chung  là:

1 1

x y z   b) Tương tự, phương trình đường vng góc chung là:

1

x  y  z

Câu 24. [SGK – NC] Viết phương trình đường thẳng qua M1; 1;1  cắt hai đường thẳng sau

đây:

1 :

3

x t

d y t

z t          

:

2 x t

d y t

z t            

Gọi đường thẳng cần tìm  giả sử  cắt hai đường thẳng d d

1 ; ;3 

A  a a  a d B b ; ;2  b  b d

Do đường thẳng  qua M1; 1;1  MAkMB 2 ; 1;2 

MA a a a ; MBb 1; ;1b b

      3 2 1 1 13

2 13 13

4

a a

a k b

a k b kb b

a k b

k k                                       

Phương trình đường thẳng d qua M1; 1;1  có VTCP

 

1

2 3; ; 6;1;

2

MA  

      

  có phương trình là:

1 1 x t y t z t            

Câu 25. [SGK – NC] Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d1 cắt hai đường thẳng d2 d3, biết phương trình d d d1, 2, 3 là:

1

:

1 x

d y t

z t           

1 2

:

1

x y z

d      3

4

:

x t

d y t

z t               

1 ; ;2 

A   t t  t d B 4 ; ;t  t t d3 5 5;9 5; 2

AB t t t t t t

(156)

Do đường thẳng d song song d1 ABku

5

9

3

t t k t

t t k k

                        

1; 2;2

A

 

Phương trình đường thẳng d qua A1; 2;2  có VTCPu0;4; 1  nên có phương trình là: x y t z t           

Câu 26. Cho hai đường thẳng có phương trình 1:

3

x z

d    y  2:

1

x y z

d     

  Viết

phương trình đường thẳng cắt d1 d2 đồng thời qua điểm M3;10;1 Hướng dẫn giải

2 ; ; 

A  a    a a d B3b;7 ;1 b b   d2

Do đường thẳng d qua M3;10;1 MAkMB

3 1; 11; 

MA a a   a ; MBb; 2 b 3; b

3 1

11

4

a kb a

a kb k k

a kb b

                     

Phương trình đường thẳng d là:

3 10 10 x t y t z t           

Câu 27. [SBT – CB] Viết phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng   :y2z0

cắt hai đường thẳng 1

1 :

4

x t

d y t z t         

2

:

4

x t

d y t

z            

Gọi A giao điểm d1   suy toạ độ A thoả  

(157)

Gọi B giao điểm d2   suy toạ độ B thoả  

2

8

8 8; 8;4

4

4 2z

x t

x

y t

y B

z

z y

   

     

     

  

  

    

Đường thẳng  qua A1;0;0 nhận AB7; 8;4  làm VTCPnên có phương trình

1

:

4

x t

y t

z t        

  

Câu 28. Cho hai đường thẳng

1 1

:

2 1

x y z

d     

 ,

1

:

1

x y z

d      mặt phẳng

 P :x   y 2z Viết phương trình tắc đường thẳng  nằm  P cắt hai đường thẳng d d1, 2

Hướng dẫn giải Đường thẳng d1 d2 có phương trình tham số 1

1

:

1

x t

d y t

z t

   

       

2

1

:

1

x t

d y t

z t

   

    

     

Gọi A d1  P A1;0;2; B d2  P B2;3;1

Đường thẳng  thoả mãn toán qua A có VTCP u  AB1;3; 1 

Phương trình tắc đường thẳng  là:

1

x y z  



Câu 29. [SGK – NC] Cho đường thẳng  mặt phẳng  P có phương trình:

 

1

: ; :

1 2

x y z

P x z

  

     

Viết phương trình đường thẳng qua A1;2;3, nằm  P vng góc với 

Hướng dẫn giải Đường thẳng  có VTCPu 1;2;2

Mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến nP 2;0;1

Đường thẳng d nằm  P vng góc với  nên có vectơ pháp tuyến

 

; P 2;3;

uu n  

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:

2

(158)

Câu 30. [SBT – CB] Cho mặt phẳng   : 2x   y z đường thẳng :

2

x y z

d    

 Gọi M giao điểm d   , viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với d nằm  

Hướng dẫn giải Phương trình tham số

1 :

2

x t

d y t

z t           

Toạ độ điểm M thoả hệ

1 2

1

2

7

2

x t x

y t

y

z t

x y z z

                             2; ; 2

M 

   

 

Đường thẳng d có VTCPud 2;1; 3 

Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến n 2;1;1

Đường thẳng  nằm   vng góc với d nên có vectơ pháp tuyến

 

; 4; 8;0

d

uu n 

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:

2 x t y t z              

Câu 31. (Hoạt động trang 89) Xét số giao điểm mặt phẳng   :x   y z với đường thẳng

d trường hợp sau:

a)

2

: ;

1

x t

d y t

z           b)

: ;

1

x t

d y t

z t            c)

:

1

x t

d y t

z t            Hướng dẫn giải

a) Xét phương trình 2       t t 3 0(vô lý) dvà   khơng có điểm chung hay dvà   song song

b) Xét phương trình 2        t t t 0 0(luôn với t ) dvà   có vơ số điểm chung hay dvà   trùng

c) Xét phương trình 5          t 4t 3t 4t t 0(có nghiệm t ) dvà

  có điểm chung hay dvà   cắt Khi giao điểm dvà  

1;1;1 

(159)

Câu 32. (Bài tập – SGK trang 90) Tìm số giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng   với trường hợp sau:

a)

12

:

1

x t

d y t

z t

  

   

   

và   : 3x5y  z 0;

b)

1

:

1

x t

d y t

z t

  

   

   

và   :x3y  z 0;

c)

1

:

2

x t

d y t

z t

  

       

và   :x   y z

a) Xét phương trình 12 4  t 5 3 t     1 t 26t    78 t dvà

  có điểm chung

b) Xét phương trình 1 t 2       t 2t (vô lý) dvà   điểm chung

c) Xét phương trình 1        t 2t 3t 0 0(luôn với t ) dvà   có vơ số điểm chung

Câu 33. (Ví dụ 1- SBTCB trang 106) Xét vị trí tương đối đường thẳng

1

:

3

x t

y t

z t

       

   

với

các mặt phẳng sau : a)  1 :x   y z 0; b)  2 : 4x8y2z 7 0; c)  3 :x y 2z 5 0; d)  4 : 2x2y4 10z 0

Đường thẳng  qua điểm M01; 2;3 có VTCPa2; 4;1 

Các mặt phẳng        1 , 2 , 3 , 4 có vectơ pháp tuyến

       

1 1;1;1 ; 4;8; ; 1; 1; ; 2; 2;

n  n  n   n  

Ta có:

(160)

b) n2 2 a Vậy đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng  2 c)

 

0

n a

M 

     

 



Vậy đường thẳng   3 song song d)

         vi 2

3 10

n a

M  

    



 

  

 

Vậy đường thẳng  nằm mặt phẳng  4

Câu 34. (Ví dụ 2- SBTCB trang 106) Cho đường thẳng : 1

2 1

x y z

d    

 mặt phẳng   :x2y  z Chứng minh rẳng dcắt   tìm tọa độ giao điểm

Hướng dẫn giải Phương trình tham số d là:

1

x t

y t

z t

  

    

   

     

1 2 1

3

t t t t t

            có nghiệm t Vậy dcắt   giao điểm 0 7; 1;

3 3

M    

 

Câu 35. (Bài tập 3.35 - SBTCB trang 113) Xét vị trí tương đối đường thẳng d với mặt phẳng  

với trường hợp sau:

a) :

1

x t

d y t

z t

     

   

và   :x2y  z 0;

b)

2 :

2

x t

d y t

z t

         

và   :x  z 0;

c)

3

:

1

x t

d y t

z t

  

   

   

(161)

a) Thay x y z, , phương trình tham số d vào phương trình tổng quát   ta được: t2 2  t     1 t 4t  0 t Vậy đường thẳng dcắt  

 

0 0;1;1

M

b) Thay x y z, , phương trình tham số d vào phương trình tổng quát   ta được: 2 t 2   t 0t 9 Phương trình vơ nghiệm, đường thẳng dsong song với 

c) Thay x y z, , phương trình tham số d vào phương trình tổng quát   ta được: 3 t 2  t 1 2t  6 0t0 Phương trình ln thỏa mãn với t, đường thẳng dchứa trong 

Câu 36. (Bài tập 6.3 - SBTNC trang 131) Xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt phẳng  

cho phương trình sau :

a) : 12 1,

4

x y z

d        : 3x5y  z 0;

b) : ,

2

x y z

d       : 3x3y2z 5 0;

c) : 3,

8

x y z

d        :x2y4z 5 0;

d) : 5,

5

x y z

d        :x3y2z 5 0;

e) dlà giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : 3P x5y7z160 ( ) : 2Q x   y z 0,

  : 5x  z 0;

a) Đường thẳng d qua điểm M012;9;1 có VTCPa4;3;1  Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến n3;5; 1 

Vì a.n260nên dcắt  

b) Đường thẳng d qua điểm M01;3; 0 có VTCPa2; 4;3  Mặt phẳng  có vectơ pháp tuyến n3; 3; 2 

Vì a n 0 vàM0  nên dsong song với 

c) Đường thẳng d qua điểm M09;1;3 có VTCPa8; 2;3  Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến n1; 2; 4 

(162)

d) Đường thẳng d qua điểm M07;1;5 có VTCPa5;1;  Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến n1; 3; 2 

Vì a.n 8 0nên dcắt  

e) Mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến n13;5; 7 Mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến

 

2 2; 1;1

n   Từ ta tính an n1; 212;11; 13  Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến n5; 0; 1 

Vì a n 0 nên dcắt  

Câu 37. (Ví dụ SGKCB trang 87) Xét vị trí tương đối hai đường thẳng sau:

1

:

5

x t

d y t

z t

  

    

   

1

: 2

1

x t

d y t

z t

   



           

Hai đường thẳng dvà dcó VTCPlần lượt là:a 2;3;1 và a 3; 2;  

Vì khơng tồn số kđể akanên avà a khơng phương Từ suy dvà dcắt chéo

Xét hệ phương trình

1

1 2

5

t t

    

      

      

Từ hai phương trình đầu ta

t 

t   , thay vào phương trình cuối khơng thỏa mãn Ta suy hệ vô nghiệm Vậy hai đường thẳng dvà dchéo

Câu 38. (Ví dụ SGKCB trang 88) Chứng minh hai đường thẳng sau vng góc

5

:

4

x t

d y t

z t

  

    

  

9

: 13

1

x t

d y t

z t

   



         

Hai đường thẳng dvà dcó VTCPlần lượt là:a1; 2; 4và a 2;3;    Ta có a.a      2 d d

Câu 39. (Bài tập SGKCB trang 90) Xét vị tría tương đối hai đường thẳng sau:

a) :

2

x y z

d      ' : 20

1

x y z

d     

(163)

b) :

1 1

x y z

d     



1

' :

2 2

x y z

d     

 ; Hướng dẫn giải

a) Hai đường thẳng dvà dcó VTCPlần lượt là:a 2;3; 4 và a 1; 4;1   

3

2

6 20

t t

     

      

     

, từ hai phương trình đầu ta t3và t  2, thay

vào phương trình cuối ta 18 18 thỏa mãn Ta suy hệ có nghiệm Vậy hai đường thẳng dvà dcắt M03; 7;18

b) Hai đường thẳng dvà dcó VTCPlần lượt là:a 1;1; 1  và a 2; 2;   

Vì a 2anên avà acùng phương Từ suy dvà dsong song trùng

1

2

3 2

t t

    

      

     

Từ hai phương trình đầu ta suy hệ vơ nghiệm Vậy hai đường thẳng dvà dsong song

Câu 40. (Bài tập SGKCB trang 90) Tìm a để hai đường thẳng sau cắt nhau:

1 :

1

x at

d y t

z t

  

  

    

1 ' ' : 2 '

3 '

x t

d y t

z t

  

   

   

1

2 2

at t

t t

    

    

     

dvà dcắt hệ có nghiệm Từ hai phương trình cuối ta t2và t 0, thay vào phương trình đầu ta 2 a   1 a Vậy Khi a0 dvà dcắt

Câu 41. (Bài tập SGKCB trang 91) Chứng minh hai đường thẳng sau chéo nhau:

1 : 2

3

x t

d y t

z t

  

   

  

1 ' ' : '

1

x t

d y t

z

  

   

  

(164)

1 '

2 '

t t

t

   

    

  

từ hai phương trình đầu ta suy hệ vô nghiệm Vậy hai

đường thẳng dvà dchéo

Câu 42. (Ví dụ SBTCB trang 103) Xét vị trí tương đối đường thẳng : 1 1 5

2

x y z

với đường thẳng sau

a) 1: 3 2  6

4

x y z

d ; b) 2: 4  1 3

6

x y z

d ;

c) 3: 3 2  6

4

x y z

d ; d) 4: 1 2  1

3 2

x y z

d

Ta có đường thẳng  qua điểm M01; 1;5  có VTCPa2;3;1  a) Đường thẳng d1 qua điểm M13; 2;  có VTCPa12; 4; 

Ta có na a; 10; 0; 0và M1 thuộc 

2

    

Vậy  d1

b) Đường thẳng d2 qua điểm M24;1;3  có VTCPa26;9;3  Ta có na a; 20; 0; 0và M2 khơng thuộc 

4 1

2

  

Vậy / /d2

c) Đường thẳng d3 qua điểm M33; 2;  có VTCPa34;3;5 

Ta có na a; 312; 6; 6   0và M M0 2;3;1 , M M n0 24 18 6  0

Vậy  d3 cắt

d) Đường thẳng d4 qua điểm M41; 2;    có VTCPa43; 2; 

Ta có na a; 44; 1; 5   0và M M0 3 0; 1; ,   M M n0 3   0 300 Vậy  d4 hai đường thẳng chéo

Câu 43. (Ví dụ 2- SBTCB trang 106) Cho đường thẳng : 1

2 1

x y z

d    

(165)

Hướng dẫn giải Phương trình tham số d là:

1

x t

y t

z t

  

    

   

     

1 2 1

3

t t t t t

            có nghiệm t Vậy dcắt   giao điểm 0 7; 1;

3 3

M    

 

Câu 44. (Bài tập 3.35 - SBTCB trang 113) Xét vị trí tương đối đường thẳng d với mặt phẳng  

với trường hợp sau:

a) :

1

x t

d y t

z t

     

   

và   :x2y  z 0;

b)

2 :

2

x t

d y t

z t

         

và   :x  z 0;

c)

3

:

1

x t

d y t

z t

  

   

   

và   :x   y z 0;

a) Thay x y z, , phương trình tham số d vào phương trình tổng quát   ta được: t2 2  t     1 t 4t  0 t Vậy đường thẳng dcắt  

 

0 0;1;1

M

b) Thay x y z, , phương trình tham số d vào phương trình tổng quát   ta được: 2 t 2   t 0t 9 Phương trình vơ nghiệm, đường thẳng dsong song với 

c) Thay x y z, , phương trình tham số d vào phương trình tổng quát   ta được: 3    t 2 t 1 2t  6 0t0 Phương trình ln thỏa mãn với t, đường thẳng dchứa trong 

Câu 45. (Bài tập 6.3 - SBTNC trang 131) Xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt phẳng  

(166)

a) : 12 1,

4

x y z

d        : 3x5y  z 0;

b) : ,

2

x y z

d       : 3x3y2z 5 0;

c) : 3,

8

x y z

d        :x2y4z 5 0;

d) : 5,

5

x y z

d        :x3y2z 5 0;

e) dlà giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : 3P x5y7z160 ( ) : 2Q x   y z 0,

  : 5x  z 0;

a) Đường thẳng d qua điểm M012;9;1 có VTCPa4;3;1  Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến n3;5; 1 

b) Đường thẳng d qua điểm M01;3; 0 có VTCPa2; 4;3  Mặt phẳng  có vectơ pháp tuyến n3; 3; 2 

Vì a n 0 vàM0  nên dsong song với 

c) Đường thẳng d qua điểm M09;1;3 có VTCPa8; 2;3  Mặt phẳng  có vectơ pháp tuyến n1; 2; 4 

Vì a n 0 vàM0  nên dchứa  

d) Đường thẳng d qua điểm M07;1;5 có VTCPa5;1;  Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến n1; 3; 2 

e) Mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến n13;5; 7 Mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến

 

2 2; 1;1

n   Từ ta tính an n1; 212;11; 13 

(167)

Câu 46. (Ví dụ SGKCB trang 87) Xét vị trí tương đối hai đường thẳng sau:

1

:

5

x t

d y t

z t

  

    

   

1

: 2

1

x t

d y t

z t

   



           

Hai đường thẳng dvà dcó VTCPlần lượt là:a 2;3;1 và a 3; 2;  

Vì khơng tồn số kđể akanên a a khơng phương Từ suy dvà dcắt chéo

1

1 2

5

t t

    

      

      

Từ hai phương trình đầu ta

t 

t   , thay vào phương trình cuối khơng thỏa mãn Ta suy hệ vô nghiệm Vậy hai đường thẳng dvà dchéo

Câu 47. (Ví dụ SGKCB trang 88) Chứng minh hai đường thẳng sau vng góc

5

:

4

x t

d y t

z t

  

    

  

9

: 13

1

x t

d y t

z t

   



         

Hai đường thẳng dvà dcó VTCPlần lượt là:a1; 2; 4và a 2;3;    Ta có a.a      2 d d

Câu 48. (Bài tập SGKCB trang 90) Xét vị trí tương đối hai đường thẳng sau:

c) :

2

x y z

d      ' : 20

1

x y z

d     

 ;

d) :

1 1

x y z

d     



1

' :

2 2

x y z

d     

 ; Hướng dẫn giải

c) Hai đường thẳng dvà dcó VTCPlần lượt là:a 2;3; 4 và a 1; 4;1   

(168)

3

2

6 20

t t t t t t                   

, từ hai phương trình đầu ta t 3và t  2, thay

vào phương trình cuối ta 18 18 thỏa mãn Ta suy hệ có nghiệm Vậy hai đường thẳng dvà dcắt M03; 7;18

d) Hai đường thẳng dvà dcó VTCPlần lượt là:a 1;1; 1  và a 2; 2;   

Vì a 2anên avà acùng phương Từ suy dvà dsong song trùng

1

2

3 2

t t t t t t                  

Từ hai phương trình đầu ta suy hệ vơ nghiệm Vậy hai đường thẳng dvà dsong song

Câu 49. (Bài tập SGKCB trang 90) Tìm a để hai đường thẳng sau cắt nhau:

1 :

1

x at

d y t

z t            ' ' : 2 '

3 '

x t

d y t

z t           

1

2 2

at t t t t t                

dvà dcắt hệ có nghiệm Từ hai phương trình cuối ta t2và t 0, thay vào phương trình đầu ta 2 a   1 a Vậy Khi a0 dvà dcắt

Câu 50. (Bài tập SGKCB trang 91) Chứng minh hai đường thẳng sau chéo nhau:

1 : 2

3

x t

d y t

z t           ' ' : '

1

x t

d y t

z          

Hai đường thẳng dvà dcó VTCPlần lượt là:a1; 2;3và a 1; 2;   

Vì khơng tồn số kđể akanên a a khơng phương Từ suy dvà dcắt chéo

1 '

2 ' t t t t t            

từ hai phương trình đầu ta suy hệ vơ nghiệm Vậy hai

(169)

Câu 51. (Ví dụ SBTCB trang 103) Xét vị trí tương đối đường thẳng : 1 1 5

2

x y z

với đường thẳng sau

a) 1: 3  2  6

4

x y z

d b) 2: 4  1 3

6

x y z

d ;

c) 3: 3  2  6

4

x y z

d ; d) 4: 1 2  1

3 2

x y z

d

Ta có đường thẳng  qua điểm M01; 1;5  có VTCPa2;3;1  e) Đường thẳng d1 qua điểm M13; 2;  có VTCPa12; 4; 

Ta có na a; 10; 0; 0và M1 thuộc 

3

2

    

Vậy  d1

f) Đường thẳng d2 qua điểm M24;1;3  có VTCPa26;9;3  Ta có na a; 20; 0; 0và M2 khơng thuộc 

4 1

2

  

Vậy / /d2

g) Đường thẳng d3 qua điểm M33; 2;  có VTCPa34;3;5 

Ta có na a; 312; 6; 6   0và M M0 2;1;3 , M M n0 24 18 6  0

Vậy  d3 cắt

h) Đường thẳng d4 qua điểm M41; 2;    có VTCPa43; 2; 

Ta có na a; 44; 1; 5   0và M M0 3 0; 1; ,   M M n0 3   0 300 Vậy  d4 hai đường thẳng chéo

Câu 52. (Ví dụ SBTCB trang 104) Cho hai đường thẳng    



1 :

2 1

x y z

d

  

   

    

3 :

1

x t

d y t

z t

a) Xét vị trí tương đối d d b) Tìm giao điểm có d d

a) Phương trình tham số d là:

1

x t

y t

z t

   

     

(170)

     

3

2

1

t t

    

     

     

, từ hai phương trình đầu ta t0và t 1, thay

vào phương trình  3 thỏa mãn Ta suy hệ có nghiệm Vậy hai đường thẳng dvà

dcắt

b) Thay t0vào phương trình tham số dta giao điểm M3;0;  

Câu 53. (Bài tập 3.33 SBTCB trang 112) Xét vị trí tương đối hai đường thẳng sau:

a) : 1 1 2

1

x y z

d ' : 1 5 4

3 2

x y z

d ;

b)

 

   

   

:

x t

d y t

z t

và

   



    

   



9 : ;

10

x t

d y t

z t

c)

     

    

:

x t

d y t

z t

và

     

   

0 :

x

d y

z t

a) Đường thẳng d qua điểm M01;1; 2  có VTCPa1; 2;3  Đường thẳng d qua điểm M01;5; 4 có VTCPa3; 2; 

Ta có na a;   2; 7; 4  0và M M0 0 2; 4; , M M n0 3 0 Vậy  d3 cắt b) Đường thẳng d qua điểm M00;1;  có VTCPa1;1;  

Đường thẳng d qua điểm M09;8;10 có VTCPa2; 2;   Ta có na a; 0và M0d Vậy  d3 song song

c) Đường thẳng d qua điểm M00; 0;   có VTCPa1;3;   Đường thẳng d qua điểm M00;9; 0 có VTCPa0; 0;5 

Ta có na a; 15;5; 00và M M0 0 0;9;1 , M M n0 3 450 Vậy  d3 chéo

Câu 54. (Bài tập 3.34 SBTCB trang 113) Tìm a để hai đường thẳng sau song song:

  

  

   

5 :

2

x t

d y at

z t

  

   

   

1 ' ' : ' 2 '

x t

d y a t

z t

(171)

Câu 55. Trong khơng gianOxyz xét cặp đường thẳng dm,dm có phương trình là:

1

: :

1

m m

x mt x m t

d y m t d y mt

z m t z m t



   

 

      

 

        

 

Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng tùy theo giá trị m Hướng dẫn giải

Đường thẳng dm qua điểm M1; m;1m có VTCPa m ; 2; -3  Đường thẳng dm qua điểm M m ; 0;1m có VTCPa  2; ;1 m  Ta có MM m 1; m; 

Từ ta tính a a; .MM 4m27m 2 m2 4 m1 Vậy :

Nếu m2

m  hai đường thẳng chéo nhau;

Nếu m2thì a2; 2; -3và a  2; 2;1không phương, suy hai đường thẳng cho cắt nhau;

Nếu

4

m  1; 2; -3 a 

 và

1 2; ;1

4 a   

 không phương, suy hai đường thẳng

cho cắt

Câu 56. (Bài tập 62 SBTNC trang 131) Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau:

a) : 1 7  3

2

x y z

d ,     



6

' :

3

x y z

d ;

b)    



1 :

2

x y z

d ,    



8 ' :

2

x y z

d ;

c)    

 

2

:

4

x y z

d ,    



7 ' :

6 12

x y z

d ;

a) Đường thẳng d qua điểm M01; 7;3 có VTCPa2;1;  Đường thẳng d qua điểm M06; 1; 2   có VTCPa3; 2;1  

(172)

Đường thẳng d qua điểm M00; 8;   có VTCPa  2;3;1 

Ta có na a;    5; 4; 20 M M0 0    1; 10; , M M n0 3 0 Vậy d dchéo

c) Đường thẳng d qua điểm M02; 0;   có VTCPa4; 6;    Đường thẳng d qua điểm M07; 2; 0 có VTCPa  6;9;12  Ta có na a; 0 M0d Vậy d dsong song

Câu 57. Cho hai đường thẳng Δ1 Δ2 có phương trình:Δ :1 2;

2 1

     

x y z

2

3 1

Δ :

2

     

x y z

.Tìm góc hai đường thẳng Hướng dẫn giải

Ta có: Đường thẳng Δ1có véctơ phương v12; 1;1  qua điểm M1(1;3; 2) Đường thẳng Δ2có véctơ phương v22;1;3 qua điểm M2(3;1;1) Cosin góc  hai đường thẳng Δ1 Δ2được cho bởi:

 

1 2 2 2 2 2 2

1

| | | 2.( 2) 1.1 1.3 | cos ,

| | | | 2 ( 1) 1 ( 2) 1 3 21   

  

     

v v v v

v v

 góc hai đường thẳng  77, 40

Câu 58. ( Bài SGKCB trang 91) Cho điểm A1;0;0 :

1

x y z

  

a) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc A  ; b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng 

a) Gọi H2t;1 ; t t hình chiếu điểm A lên đường thẳng  Ta có:

1 ;1 ;  AH  t  t t

VTCPcủa đường thẳng  u1; 2;1 

Vì H hình chiếu điểm A lên đường thẳng  nên

 

2

2 AH    AH u   t  t     t t Với

2

t  ta có 3; 0;

2

H  

 

(173)

2 2; 0;

2

A H A

x x x

x y y A

z z z

  

 



     



  



Câu 59. ( Bài 3.40 SBTCB trang 114) Cho điểm M 2; 1;1      



1 :

2

x y z

a) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc M  ;

b) Tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với M qua đường thẳng  Hướng dẫn giải

a) Gọi H1 ; 1 t  t; 2t hình chiếu điểm M lên đường thẳng  Ta có:

 ; ; 

MH    t   t t

VTCPcủa đường thẳng  u2; 1;  

Vì H hình chiếu điểm M lên đường thẳng  nên

     

2 2

9 MH   MH u    t     t t   t Với

9

t ta có 17; 13 8;

9 9

H  

 

b) Gọi M điểm đối xứng với M qua  H trung điểm đoạn MM

Vậy: tọa độ điểm H

2

16 17

2 ; ;

9 9

2

M H M

x x x

x y y M

z z z

  

 



      

  

 

  



Câu 60. Cho điểm A(2; -1;5) đường thẳng :

1 1

   

x y z

d Tìm tọa độ hình chiếu A

d

Cách 1: Hình chiếu Atrên dchính giao điểm d mặt phẳng   qua A vng góc với d Phương trình mặt phẳng   :x   y z 0.Khi tọa độ H nghiệm hệ

x = + t y = t

t = z = + t

x + y + z - = 



 

  

Vậy tọa độ hình chiếu H 4;0; 

Cách 2: H d H(4t t; ; 2t AH); (2t;1  t; t) Hlà hình chiếu vng góc A

(174)

Câu 61. ( Bài 3.36 SBTCB trang 113) Tính Tính khoảng cách từ điểm A1;0;1 đến đường thẳng

:

2

  

x y z

d

Gọi H hình chiếu A đường thẳng d H d H(2t1; ; )t t Ta có: AH (2 ; ;t t t1) u(2; 2;1) VTCP d

Vì 4 1

9

AH  d AH  u AH u  t     t t t nên 11 1; ; 9

H 

  Khoảng cách từ điểm A tới đường thẳng d độ dài đoạn AH

Ta có

2 2

9 9

AH  AH           

     

Câu 62. Tính Tính khoảng cách từ điểm A2; 1;5  đến đường thẳng :

1 1

 

 

x y z

d Hướng dẫn giải

Cách 1: Gọi H hình chiếu A đường thẳng d H d H(4t t; ; 2t) Ta có: AH (2 t;1  t; t) u(1;1;1) VTCP d

Vì AH  d AH  u AH u           0 t t t t nên H4; 0; 2 Khoảng cách từ điểm A tới đường thẳng d độ dài đoạn AH

Ta có AH  AH       2 2 2 3  14

Cách 2: d qua M4; 0; 2 có VTCPu(1;1;1),AM 2;1; , 

 

, 4; 5;1

   

AM u Ta có:  

, 42

, 14

3

 

 

 AM u  

d M d

u

Câu 63. ( Ví dụ SBTCB trang 111) Tính khoảng cách hai đường thẳng sau:

1

:

-1-1

      

  

x t

y t

z

' : 2

1 1

  

  



x y z

;

Hướng dẫn giải Cách 1:

(175)

Gọi   mặt phẳng chứa  song song với  vectơ pháp tuyến mặt phẳng

  na a,    1; 2;1  Mặt phẳng   chứa nên qua điểm M0nên phương trình mặt phẳng   là: x2y  z

Khi     

2

, ,

2   

 

     

 

d d M

Cách 2: Ta có: a a,    1; 2;1 , M M0 01; 1;  

Vậy   0

, 1 2 6

,

2 ,

       



    

   

 

a a M M d

a a

Câu 64. ( Bài 3.38 SBTCB trang 113) Tính khoảng cách hai đường thẳng sau:

a)

1

:

-1-1

      

  

x t

y t

z

2 - '

' : '

3 '

  

   

  

x t

y t

z t ;

b) :

1

 

  

 

x y z

' :

1 3

 

  



x y z

a) Cách 1: Đường thẳng  qua điểm M01; 1;1   có VTCPa1; 1;   Đường thẳng  qua điểm M02; 2;  có VTCPa  3;3;3 

  na a,    3; 3;  Mặt phẳng   chứa nên qua điểm M0nên phương trình mặt phẳng   là: x y Khi  ,   0,  2 2

1 

 

     



d d M

Cách 2: Ta có: a a,    3; 3; , M M0 01;3;1 

Vậy   0

, 3 9 12

, 2

9 ,

      



     

   

 

a a M M d

a a

b) Cách 1: Đường thẳng  qua điểm M00; 4;   có VTCPa1; 1;   Đường thẳng  qua điểm M00; 2;  có VTCPa  1; 3; 

(176)

mặt phẳng   là: 9x5y2z220 Khi     

5.2 22 12

, ,

81 25 110 

 

     

 

d d M

Cách 2: Ta có: a a, 9;5; ,  M M0 00; 2;1  

Vậy   0

, 10 2 12

,

81 25 110 ,

      



    

   

 

a a M M d

a a

Câu 65. ( Bài 3.39 SBTCB trang 114) Cho hai đường thẳng :

2

x y z

  



2 1

' :

4

x y z

  

 

a) Xét vị trí tương đối và' b) Tính khoảng cách và'

a) Đường thẳng  qua điểm M01; 3; 4  có VTCPa2;1;   Đường thẳng  qua điểm M0  2;1;   có VTCPa   4; 2;  Ta có : a 2.a M0.Vậy và song song

b) Ta có M M0 0   3; 4; ,  M M0 0 ,a   3; 16; 11  

    0

0

, 9 256 121 386

, ,

3 4

    

 

 

      

 

M M a

d d M

a

Câu 66. ( Bài 3.43 SBTCB trang 114) Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a Bằng phương pháp toạ độ tính khoảng cách hai đường thẳng CA DD

Ta chọn hệ trục tọa độ sau: C gốc tọa độ, ADi CB,  j CC, k Ta có:

0; 0; ,  ; ;  , ; 0; ,  ; 0;   ; ; , 0; 0; ,  ; 0; 0

C A a a a D a D a a CA a a a DD a CD a

 2   

2

, 2

, ; ;0 , ,

2 ,

  

 

    

     

  

 

CA DD CD a a

CA DD a a d CA DD

a CA DD

Câu 67. Tính khoảng cách hai đường thẳng :

4 1

  

  



x y z

:

6

 



  



x y z

(177)

  na a, 1; 2;  Mặt phẳng   chứa nên qua điểm M0nên phương trình mặt phẳng   là: x2y2z 3 Khi  ,   0, 

3 4

 

 

      

 

d d M

Cách 2: Ta có: a a, 1; 2; , M M0 03;3;3 

Vậy   0

, 3 6 9

,

3 4 ,

       



     

   

 

a a M M d

a a

Câu 68. Cho đường thẳng dvà mặt cầu  S có phương trình:

2 2

3

: ; ( ) : ( 1) ( 2)

2

 

      

x y z

d S x y z

Chứng minh đường thẳng dkhông cắt mặt cầu  S Hướng dẫn giải

Cách 1: Đường thẳng dcó vec tơ phương u(2; 6;5) qua điểm M(0; 3; 5)  Mặt cầu  S có tâm I(1; 0; 2) bán kính R3

Chuyển phương trình dvề dạng tham số:

2 3, 5  

    

   

x t

y t t R

z t

Thay phương trình tham số dvào phương trình mặt cầu  S ta được:

2 2

(2t1) (6t3) (5t7)   9 t 22t100, vô nghiệm

Vậy đường thẳng dkhông cắt mặt cầu  S

Cách 2: Đường thẳng dcó VTCPu(2; 6;5) qua điểm M(0; 3; 5)  Mặt cầu  S có tâm I(1; 0; 2) bán kính R3

Ta có:      

, 9 10

1;3; , , 27; 9; ,

5

 

 

        

 

u MI

MI u MI d I d R

u

Vậy Vậy đường thẳng dkhông cắt mặt cầu  S

Câu 69. Cho đường thẳng dvà mặt cầu  S có phương trình:

2 2

1

: , ( ) : ( 4) ( 1) ( 2) 27

2

          

x y z

d S x y z

Chứng minh dcắt mặt cầu  S hai điểmA B, Tính độ dài AB Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có VTCPu(2;1; 2) qua điểm M(1; 2; 1)

(178)

Ta có

,

( , ( ))

 

 

 MI u  

d I d R

u Suy dcắt mặt cầu  S hai điểm A B, Khi đó, với H trung điểm AB : 2    2

2 2 3

     

AB AH R d

Câu 70. Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu  S có phương trình :

2 2

( ) :S x y z 2x6y4z130 đường thẳng dđi qua điểm A(2;1; 0) có VTCPa(1;m;2) Biện luận theo m số giao điểm dvà  S

Phương trình đường thẳng dđi quaA(2;1; 0)có VTCPa(1;m;2)là

2

1 ,

2

x t

y mt t

z t

  

    

   

Thay x y z, , từ phương trình tham số dvào phương trình mặt cầu  S ,ta phương trình:2t 2 1 mt  2 2t 22 2  t 6 1mt   4 2t 130

     

5 2 20 0,

m t m t 

  

Vậy số giao điểm đường thẳng dvà mặt cầu  S số nghiệm phương trình  1

Ta có

4 40 75

   m  m , vậy:

Nếu 152

52       



m

m d không cắt S

Nếu 152

52  

     

m

m d tiếp xúc với  S

(179)

PHẦN 4: ÔN TẬP CHƯƠNG

A BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

Câu Trong không gian Oxyz cho ba vectơ: a  1;1; , b1;1; , c1;1;1. Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai ?

A a  2 B c  3 C. ab D. bc Hướng dẫn giải

Ta có :b c 1.1 1.1 0.1   2 0 Đáp án D

Câu Cho ba điểm A0; 2;1 , B 3; 0;1 , C 1; 0; 0. Phương trình mặt phẳng ABC A. 2x3y4z 2 0 B. 2x3y4z 2 0 C. 10x4y6z210 D. 5x2y3z210

Ta có : AB3; 2; ,  AC1; 2; 1   n AB AC; 2;3; 4  Phương trình mặt phẳng ABC: 2x3y4z 2 0.

Đáp án B

Câu Cho ba mặt phẳng  P :x y 2z 1 0, Q :x   y z 0, R :x  y 0 Trong mệnh đề sau,mệnh đề sai ?

A.    P  Q . B.    R  Q C.    P € R D.    P  R Hướng dẫn giải

Ta có :1 1 1 1 Đáp án C

Câu Cho d đường thẳng qua điểm A1; 2;3 vng góc với mặt phẳng   : 4x3y7z 1 0 Phương trình tham số d .

A

1 3

x t

y t

z t

   

    

    

B

1 3

x t

y t

z t

  

   

   

C

1

x t

y t

z t

  

   

   

D

1 14

x t

y t

z t

   

    

    

Đường thẳng d qua điểm A1; 2;3 nhận vectơ pháp tuyến n4;3; 7  mặt phẳng

  làm vectơ phương nên có phương trình tham số :

1 3

x t

y t

z t

  

   

   

Đáp án B

Câu Cho  S mặt cầu tâm I2;1; 1  tiếp xúc với mặt phẳng   có phương trình : 2x2y  z 0 Bán kính  S ?

A 2 B 2

3 C

3

4 D

(180)

Do mặt cầu  S tiếp xúc mặt phẳng     ,  2.2 2.1  1 4

Rd I       

  .

Đáp án A

Câu Viết phương trình mặt phẳng trung trực  đoạn thẳng MN với M(1; 2; 4), N(5; 4; 2). A. 10x9y5z700 B. 4x2y6z110

C. 2x y 3z 6 0 D. 2x  3z 0 Hướng dẫn giải

Ta có : MN 4; 2; 6

Gọi I trung điểm AB I3;3; 1 .

Mặt phẳng trung trực AB qua điểm I nhận MN làm VTPT nên có phương trình :

     

4 x 3 y 3 z  1 2x y 3z 6 0. Đáp án C

Câu Cho (2; 1;1), ( ;3; 1), (1;2;1).u  v m  w Ba vectơ đồng phẳng giá trị m là:

A 8 B 4 C

3

 D

3

 . Hướng dẫn giải

Ta có : u w;      3; 1;5 ; 3

u w v m m

 

          Đáp án D

Câu Góc đường thẳng

5

:

2

x t

d y

z t

         

và mp  P :y  z là:.

A 600. B 450. C 300. D 900 Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vectơ phương u  1; 0;1. Mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến n0;1, 1 . Gọi  góc mặt phẳng   đường thẳng d.

Ta có sin cos , 1 30

2 2

u n u n

u n



      

Đáp án C

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M2;3; 1 , N1;1;1, P1;m1; 2. Với giá trị m tam giác MNP vuông N

A. m3 B. m2 C. m1 D. m0 Hướng dẫn giải

3; 2; , 2; 2;1 0

(181)

Câu 10 Cho hai mặt phẳng  P :x   y z 0, Q :x   y z 0. Điểm nằm Oy cách  P  Q là:

A. 0;3; 0 B. 0; 3; 0  C. 0; 2;0  D. 0; 2;0 Hướng dẫn giải

0; ;0  ;   ;  0; 3;0

M m d M P d M Q        m m m M  Đáp án B

Câu 11 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu   S : x1 2 y3 2 z 22 49. Phương trình sau phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S ?.

A. 6x2y3z0 B. x2y2z 7 0 C. 6x2y3z550 D. 2x3y6z 5 0

Hướng dẫn giải  S có tâm I1; 3; ;  R7

 

6 6

;

7 36 d I     

  ;   2 

1

;

3 4 d I      

  ;   3 

6 6 55

;

36 d I      

 

Đáp án C

Câu 12 Mặt phẳng sau cắt trục tọa độ Ox Oy Oz, , A B C, , cho tam giác ABC nhận điểm G1; 2;1 làm trọng tâm?.

A. x2y2z 6 0 B. 2x y – 0z  C. 2x2yz– 0 D. 2x2y6 – 0z 

Gọi A a ;0;0 , B 0; ;0 ,b  C 0;0;c giao điểm mặt phẳng ABC cắt trục , ,

Ox Oy Oz

Phương trình mặt phẳng ABC:x y z a  b c Vì G trọng tâm ABC

3

a b c

       

1 2

3

x y z

        

Đáp án B

Câu 13 Trong không gian Oxyz cho ba vectơ : a  1;1; , b1;1; 0. cho hình bình hành thỏa mãn điều kiện OAa OB; b.Tọa độ tâm hình bình hành OADB ?

A. 0;1; 0 B. 1; 0; 0 C. 1; 0;1 D. 1;1; 0 Hướng dẫn giải

Ta có: 1   1 0;1; 0 0;1; 0

2 2

OI  OD OA OB  a b  I Đáp án A

(182)

A.Bốn điểm A B C D, , , tạo thành tứ diện B ABD tam giác đều.

C. ABCD D. BCD tam giác

Ta có : AB  1;1; , CD1;1; 0AB CD  1.1 1.1 0   0 ABCD. Đáp án C

Câu 15 Trong không gian Oxyzcho bốn điểm A1;0;0 , B 0;1;0 , C 0;0;1 , D1;1;1. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính ?

A

2 B 2 C 3 D

Phương trình tổng quát mặt cầu : 2

2 2

x y z  ax by cz d

2 2

(a b   c d 0)

Mặt cầu qua bốn điểm A B C D, , , ta có hệ :

0

1

2

1

1 2

2

3 2

1

d

a d a

b d

R

c d b

a b c d

c                                     

Đáp án A

Câu 16 Cho hai đường thẳng 1

1

:

3

x t

d y t

z t           

3

:

7

x t

d y t

z t              

.Trong mệnh đề sau ,mệnh đề ?

A d1 d2 B d1€d2 C d1d2 D d1,d2chéo Hướng dẫn giải

Đường thẳng d1 qua điểm M1; 2;3 có VTCP u12;3; 4 Đường thẳng d2 qua điểm N3;5; 7 có VTCP u2 4; 6;8

Ta có :u2 2u1u u1, 2 phương d1€d2, d1d2

Thế tọa độ điểm M vào phương trình d2:

1

4

      

2

M d

  d1d2 Đáp án C

Câu 17 Cho đường thẳng  

1

:

x t

d y t t

z t           

Phương trình sau phương trình tắc d

A

1 1

x y z

 

  . B

1

1 1

x y z

 



C

1 1

x y z

 

   D

1

1 1

x y z

 

(183)

Hướng dẫn giải Đáp án B

Câu 18 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tọa độ điểm A2; 1;1 ;  B1;0;0 ; C3;1;0 0; 2;1

D . Cho mệnh đề sau :.

(1) Độ dài AB 2; (2) Tam giác BCDvng tạiB ; (3) Thể tích tứ diện A BCD 6 Các mệnh đề :

A.(1); (2). B.(3). C.(1); (3). D. (2). Hướngdẫn giải

 1;1;1

AB  AB  1 sai loai đáp án A,C

Mà BC2;1;1 ; BD  1; 2;1BC BD      2 1 loại D. Đáp án B

Câu 19 Trong không gian cho hai đường thẳng: 1 2

1

: ; :

2

3

x t

x y z

d y d

z t              

Phương trình

đường thẳng d qua O0;0;0 vng góc với d1 d2 là:

A. x t y t z t         

B

x t y t z t        

C.

x t y t z t        

D

1 x y t z         

Ta có :  

1; 1; 5;1

d d d

u u u   :

x t

d y t

z t          

Đáp án A

Câu 20 Cho A a( ; 0; 0); (0; ; 0); C(0; 0; c)B b với a b c, , 0. Biết mặt phẳng ABC qua điểm I(1;3;3) thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất. Khi phương trình ABC là.

A. x3y3z210 B. 3x3y z 150 C. 3x   y z 0 D. 3x   y z 0

Hướng dẫn giải ABC: x y z

a  b c .Do IABC

1 3

1 a b c

    .

Áp dụng bất đẳng thức cau-chy: 1 3 33 9 243

27 abc

a b c abc abc

       

1 81

6

OABC

V  abc

Giá trị nhỏ thể tích

1 3 3

81

9 3

2

1

O ABC

a a b c

V b

c a b b

(184)

Phương trình mặt phẳng  :

3 9

x y z

ABC     x   y z Đáp án C

A BÀI TẬP TỰ LUẬN.

Bài Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A1;0;0, B0;1;0, C0;0;1, D2;1; 1  a) Chứng minh A B C D, , , đỉnh tứ diện

b) Tìm góc hai đường thẳng AB CD c) Tính độ dài đường cao hình chóp A BCD

a) Theo phương trình đoạn chắn ta có :  : 1

1 1

x y z

ABC        x y z Thế tọa độ D vào vế phải mặt phẳng ABC ta có:      2 1 1

Vậy DABC Suy điểm A B C D, , , bốn đỉnh tứ diện b) Gọi  góc hai đường thẳng AB CD,

Ta có : cos  cosAB CD, 

Mà cos , 

2

AB CD AB CD

AB CD

   

, 45

AB CD

 

45 

 

c) Ta có: BC0; 1;1 ;  BD  2; 0; 1  Gọi n vptt mặt phẳng BCD

Ta có : nBC BD;    1; 2; 2

Phương trình mặt phẳng BCD: x2y2z 2

Chiều cao hình chóp A BCD khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD:

 

 2 2

1

,

1 2

hd A BCD   

  

Bài Cho mặt cầu  S có đường kính AB biết A6;2; 5 , B4;0;7 a) Tìm tọa độ tâm I tính bán kính R  S

b) Lập phương trình  S

c) Lập phương trình mặt phẳng   tiếp xúc với  S A Hướng dẫn giải

a) Tâm I mặt cầu  S trung điểm đoạn AB I1;1;1

Bán kính      

2 2

4

62

2

AB

R        

b) Phương trình mặt cầu   S : x1 2 y1 2 z 12 62

Mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu  S điểm A mặt phẳng   qua A vng góc với bán kính IA

(185)

Phương trình mặt phẳng   : 5x y 6z620

Bài Cho mặt cầu   S : x3 2 y2 2 z 12 100 mặt phẳng

  : 2x2y  z Chứng minh   cắt  S theo đường trịn Tìm tọa độ tâm tính bán kính đường trịn

Hướng dẫn giải Mặt cầu  S có tâm I3; 2;1  bán kính R10

Mà d I ,   6 R.Suy mặt phẳng   cắt mặt cầu  S theo giao tuyến đường tròn

 C có tâm J có bán kính r

Xác định tâm :J

Gọi d đường thẳng qua tâm I vng góc với mặt phẳng  

d nhận n2; 2; 1   làm VTCP

3

: 2

1

x t

d y t t R

z t

   

         



 

J  d  nên tọa độ thỏa hệ :

3 2

2

x t

y t

z t

x y z

  

    

   

     

18 9t t      

Vậy tâm J1;2;3 Xác định bán kính r:

 

 2

2

, 100 36 64

r R  d I      r

Bài Cho   : 3x5y  z

 



   

   

12 :

1

x t

d y t

z t

a) Tìm giao điểm M đường thẳng d mặt phẳng   b) Viết phương trình mp  chứa M vng góc với d

a) M  d   suy tọa độ M thỏa hệ phương trình :

    

   

   

   

3

12

9

1

x y z

x t

y t

z t

 

26t 78 t M 0;0;

       

Mặt phẳng   vuông góc với d nên nhận VTCP a4;3;1 d làm VTPT phương trình mặt phẳng   : 4x3y  z

Bài Cho điểm A1; 2; 3 , vectơ a6; 2; 3   đường thẳng : 1

3

x y z

  



(186)

b) Tìm giao điểm M d  

c) Viết phương trình đường thẳng  qua A vng góc với giá a cắt d Hướng dẫn giải

Mặt phẳng   chứa A1; 2; 3  vng góc với giá a6; 2; 3   nên nhận a làm VTPT suy có phương trình   : 6x2y3z 1

a) M  d   suy tọa độ M thỏa hệ phương trình :

6

1 3

x y z

x t

y t

z t

    

   

    

   

 

0 1; 1;3

t M

   

b) Đường thẳng  cần tìm đường thẳng AM nên nhận AM 2; 3; 6  làm VTCP có phương trình đường thẳng

1

:

3

x t

y t

z t

   

        

Bài Viết phương trình mp  tiếp xúc với mặt cầu  S :x2y2z210x2y26z1700

và song song với hai đường thẳng

5 :

13

x t

d y t

z t

   

   

    

;

7 ' ' : '

8

x t

d y t

z

   

    

   Hướng dẫn giải Đường thẳng d có VTCP ad 2; 3; 2  Đường thẳng 'd có VTCP ad' 3; 2; 0  Mặt cầu  S có tâm I5; 1; 13   bán kính R5

Phương trình mặt phẳng   song song với d d; ' nên nhận vectơ na ad; d'4; 6;5 làm

một VTPT suy phương trình mặt phẳng   : 4x6y5z m

Do   tiếp xúc với  S nên d I ,   R m51 5 77  m 51 77 Vây phương trình mặt phẳng   : 4x6y5z51 77 0

Bài Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M1; 1;2  mặt phẳng

  : 2x y 2z110

Hướng dẫn giải Ta có n 2; 1; 2  VTPT mặt phẳng  

Gọi d đường thẳng qua M1; 1; 2  vng góc với mặt phẳng  

d nhận n2; 2; 1   làm VTCP

1

:

2

x t

d y t t R

z t

   

         

(187)

 

H  d  nên tọa độ thỏa hệ :

1 2

2 11

x t

y t

z t

x y z

                   

18 9t t H 3;1;         

Bài Cho điểm M2;1;0 mp  :x3y z 270 Tìm tọa độ điểm M đối xứng với M

qua  

Hướng dẫn giải Ta có n 1;3; 1  VTPT mặt phẳng   GọiH hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng  

Gọi d đường thẳng qua M2;1;0 vng góc với mặt phẳng  

d nhận n1;3; 1  làm VTCP

2

:

x t

d y t t

z t                

H  d  nên tọa độthỏa hệ:

3 27

x t

y t

z t x y z

                  

11t 22 t H 4;7;

      

M đối xứng với M qua   suy H trung điểm MM

 

2

2 6;13;

2

M H M

x x x

y y y M

z z z

                

Bài Viết phương trình đường thẳng  vng góc với mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng

4 :

1 1

x y z

d    

 ;

  

  

 

1

:

2

x y z

d

Gọi M giao điểm đường thẳng  đường thẳng d nên M t ; 4 t;3t

Gọi N giao điểm đường thẳng  đường thẳng d nên N1 ; 3 t  t; 5 t

Ta có MN  1 2tt;1 t t;1 5 tt , mặt phẳng Oxzcó VTPT j0,1, 0 Do đường thẳng  vng góc với mặt phẳng tọa độ Oxznên ta có MN k j

1

t t t t k

(188)

Đường thẳng  qua 3; 25 18;

7 7

M  

  nhận j0,1, 0 làm VTCP nên có phương trình :

3

25 18

7

x

y m m

z

   

      

   

Bài 10 Tìm tọa độ điểm A đối xứng với điểm A1; 2; 5   qua đường thẳng :

1 2

x t

y t

z t

  

    

   Hướng dẫn giải

Gọi   mặt phẳng chứa A vng góc với 

Mặt phẳng   qua nhận ud2; 1; 2  làm VTPT nên có phương trình : 2x y 2z 6

Gọi H hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng   H     nên tọa độ

thỏa hệ :

1 2

2

x t

y t

z t x y z

  

    

  

     

 

9t t H 1;0;         

Do A đối xứng với A qua đường thẳng  nên H trung điểm AA

 

' ' '

2

2 ' 3; 2;1

2

A H A

x x x

y y y A

z z z

 

 

    

  



Bài 11 Cho hai điểm A1;2; 1 , B7; 2;3  đường thẳng d có phương trình:

1 2 2

x t

y t

z t

   

   

   

a) Chứng minh hai đường thẳng AB d đồng phẳng b) Tìm điểm I d cho IAIB nhỏ

Hướng dẫn giải a) Đường thẳng AB có VTCP AB6; 4; 4 

Đường thẳng d có VTCP u3; 2; 2 

Xét nAB u; 0; 0; 0 hai đường thẳng d AB, thuộc mặt phẳng b) Ta nhận thấy : AB2u ;A d d€AB

(189)

Ta có: IAIBIAIBA B Để IAIB nhỏ IAIBA B  I I0 Lúc điểm I giao điểm A B' d Do d€ABnên I giao điểm d mặt phẳng trung trực AB

Phương trình mặt phẳng  trung trực AB:3x2y2z140

  3  2 2  2 2  14

I  d     t   t   t     t I2;0; 4

Bài 12 Cho hai đường thẳngd1 :

x t

y t z t

         

d2 :

  

     

   

2

x t

y t

z t

a) Chứng minh hai đường thẳng d1 d2 chéo

b) Viết phương trình mặt phẳng   chứa d1 song song d2 Hướng dẫn giải

a) Ta có : d1 qua điểm M1;0;0 có VTCP u1   1;1; 1 

2

d qua điểm N0; 1;0  có VTCP u2 2;1;1 Do : u u1; 2  2; 1; ;   MN    1; 1; 0

Xét u u1; 2.MN   1 0u u MN1; 2; không đồng phẳng d1;d2 chéo

b) Gọi n VTPT mặt phẳng  

Do mặt phẳng   chứa d1 song song d2n u u1; 22; 1; 3  

Mặt phẳng   qua M có VTPT n 2; 1; 3   có phương trình : 2x y 3z 2 Bài 13 Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng với ABC Biết ACAD4cm,AB3cm,

5

BC cm

a) Tính thể tích tứ diện ABCD

b) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng BDC Hướng dẫn giải

d I°

A

A'

B

(190)

Chọn hệ trục gốc tọa độ điểm A ,các đường thẳng AB AC AD, , theo thứ tự trục

, ,

Ox Oy Oz

Ta có : A0;0;0 , B 3;0;0 , C 0; 4;0 , D 0;0; 4

3

1

, 8( )

6 ABCD

V  AB AC AD  cm

Phương trình mặt phẳng ( ) : 3 12

3 4

x y z

BCD     x y z 

 

  2 122 2 12

,

34

3 4

d A BDC  

 

Bài 14 Lập phương trình mặt phẳng  P song song cách hai mặt phẳng

 P1 : 2x y 2z 1  P2 : 2x y 2z 5

Hướng dẫn giải Gọi M x y z ; ;  điểm thuộc mặt phẳng  P

Theo để:

   

       

    

1

, ,

, , 2 2

d P P d P P

d M P d M P x y z x y z



         

2x y 2z

    

Vậy phương trình mặt phẳng  P : 2x y 2z 3

Bài 15 Cho hai mặt phẳng  P1 : 2x y 2z 1  P2 : 4x2y4z 7 0.Lập phương trình mặt phẳng P cho khoảng cách từ điểm đến    P1 , P2

Hướng dẫn giải Gọi M x y z ; ;  điểm thuộc mặt phẳng  P

Theo để:  , 1   , 2  2 4

4 16 16

x y z x y z

d M P d M P        

   

2 2x y 2z 4x 2y 4z

       

x

z

y A

D

B

(191)

4

8

y z x

   

    

Vậy phương trình mặt phẳng  P 4y8z 5 8x 9

Bài 16 Cho hai đường thẳng

6

:

7

x

d y t

z t

         

1

2

:

11

x t

d y

z t

    

   

     

.Lập phương trình mặt phẳng  P

cho khoảng cách từd d, 1 đến  P Hướng dẫn giải

Đường thẳng d qua M6;0;7 có VTCP u0; 2;1  Đường thẳng d1 qua N  2; 2; 11 có VTCP u11; 0; 1 

Xét : u u; 12;1; ; MN  8; 2; 18u u; 1.MN    16 360d d, 1 chéo Do d d, 1 chéo nên  P mặt phẳng qua trung điểm I đoạn vng góc chung

AB d d, song song với d d,

Ta có: 14

2 10

0

AB u AB u t t t

t t t

AB u AB u

          

   

        

 

    

 

     

6; 4;5 , 6; 2;

A B

   

Gọi n VTCP mặt phẳng  P  n u u, 12,1, 2

Gọi I trung điểm ABnên I0;1; 1 

Phương trình mặt phẳng   : 2x y 2z 1

Bài 17 Lập phương trình mặt phẳng  P qua điểm M1; 3; 2  vng góc với hai mặt phẳng

 Q : 2x y 3z 1  R :x2y  z Hướng dẫn giải

Gọi n VTCP mặt phẳng  P  n n nQ, R7;5; 3 

Mặt phẳng  P qua điểm M1; 3; 2  có VTPT n nên có phương trình : 7x5y3z140

d

d1

P

I

(192)

Bài 18 Cho mặt phẳng  P :x2y2z 3 đường thẳng

1

:

9

x t

d y t

z

         

.Lập phương trình

đường thẳng d hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng  P Hướng dẫn giải

Đường thẳng d qua điểm M1;1;9 có VTCP u1;1; 0 Gọi  Q mặt phẳng chứa d vng góc với mặt phẳng  P

Ta có : nQ u n; P  2; 2;1

Phương trình mặt phẳng  Q :2x2y  z Khi d    P  Q  u n nQ; P6;3; 6

Gọi A điểm thuộc d  tọa độ A thỏa hệ : 2

2

x y z

    

     

Cho y 1 3;

2

x z

   

       

  A3;1;1

Phương trình đường thẳng d:

3 1

x t

y t

z t

   

   

   

Bài 19 Trong không gian Oxyz, cho điểm A 4; 2; 4 đường thẳng

3

:

1

x t

d y t

z t

   

   

    

Viết phương

trình đường thẳng  qua A ,cắt vng góc với đường thẳng d Hướng dẫn giải

Ta có : u2; 1; 4  VTCP d

Gọi B giao điểm ,d

Do : B 3 ;1t   t; 4tAB 1 ;3t   t; 4t

21 21

d AB u t t

         AB3; 2; 1  Vậy phương trình đường thẳng : 4

3

x y z

  



Bài 20 Cho điểm A2;0;0 ; B 0;0;8 điểm C cho AC0; 6; 0 Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA

Hướng dẫn giải Ta có : AC x2; ;y zC2;6;0

I trung điểm ABI1;3; 4

(193)

Bài 21 Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 có cạnh Gọi M N P, , trung điểm

của cạnh BB CD A D1, , 1 1 Tính khoảng cách góc hai đường thẳng MP C N, 1 Hướng dẫn giải

Ta chọn hệ trục sau : B1 gốc tọa độO ,B A1 1 trục Ox ,B C1 1 trục Oy,B B1 trục

Oz

Ta có: 0; 0;1 , 1;1;1 , 1; ; ,1 10;1; 0

2 2

M  N  P  C

     

Gọi   mặt phẳng chứa C N1 song song với MP Gọi n VTPT mặt phẳng  

Ta có : , 1 ; 1 1; 5; 12; 5; 1

2 4 4

nMP nC N  n MP C P       n

  

Mặt phẳng qua C1 có VTPT n2; 5; 1   có phương trình :2x5y  z

    

3 30

; ,

20 d MP C N d M  

   

1

cos , , 90

MP C N

MP C N MP C N

MP C N



   

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Bài Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A2;6;3, B1;0;6, C0;2; 1 , D1;4;0 a) Viết phương trình mpBCD Suy ABCD tứ diện

b) Tính chiều cao AH tứ diện ABCD

c) Viết phương trình mp  chứa AB song song CD

Đáp Án :

a) 8x3y2z 4 ABCD

b)  ,  36

77 AH d A BCD  c) x z  5

Bài Lập phương trình tham số đường thẳng:

a) Đi qua hai điểm A1;0; 3 , B3; 1;0 

z

y

x

B1 C1

D1

A1

N

P M

C

D A

(194)

b) Đi qua M2;3;5 song song với :

2

x y z

  

 

Đáp án :

a)

1

3

x t

y t t R

z t

  

     

    

b)

1

5

x t

y t t R

z t

  

     

    

Bài Cho A2;4; ,   B 1;4; ,   C 2;4;3 ,  D 2;2; 1 

a) Chứng minh AB AC AD, , vng góc với đơi Tính thể tích khối tứ diện

ABCD

b) Viết phương trình mặt cầu  S qua điểm A B C D, , ,

c) Viết phương trình mặt phẳng   tiếp xúc với  S song song với mặt phẳng ABD

Đáp án:

a) AB AC 0;AB AD 0;AC AD 0 ABAC AB; AD AC; AD 

1

6

A BCD

V  AB AC AD

b)      

2

3 21

:

2

S x   y  z 

 

c)  : 4 21

2 z

   

Bài Cho điểm : A1;2;0 ,  B 3;0;2 ,  C 1;2;3 ,  D 0;3; 2 

a) Viết phương trình mặt phẳng ABC phương trình tắc đường thẳng AD b) Viết phương trình mặt phẳng   chứa AD song song với BC

Đáp án :

a) 3x5y2z130,

1

x  y  z



b) 5x9y2z230

Bài Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng   : 4x y 2z 1 mặt phẳng

  : 2x2y  z a) Chứng minh   cắt  

b) Viết phương trình tham số đường thẳng d giao điểm     ; 

Đáp án :

a) Ta có :

(195)

b) : 1

x t d y

z t

    

    

Bài Lập phương trình mặt phẳng  P qua điểm I 1; 1;1 chứa đường thẳng

2 1

:

1

x y z

d     

 

Đáp án:

 P : 2x y 2z 1

Bài Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau:

  

    

   

2 :

1

x t

d y t

z t

  

   

   

2 :

1

x t

d y t

z t

a) Viết phương trình     song song với chứa d d

b) Lấy hai điểm M2; 1;1 ;  M2;0;1 d d;  Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng   khoảng cách từ M đến mặt phẳng   So sánh hai khoảng cách

Đáp án:

a)   : 2x   y 3z 0,  : 2x   y 3z b)  ,   , 

14 d M  d M  

Bài Cho A3; 2; ,    B 3;2;0 ,  C 0;2;1 ,  D 1;1;2 a) Viết phương trình BCD Suy ABCD tứ diện b) Viết phương trình mặt cầu  S tâm A tiếp xúc BCD c) Tìm tọa độ tiếp điểm  S mặt phẳng BCD

Đáp án:

a) x2y3z 7 ABCD Suy điểm A B C D, , , bốn đỉnh tứ diện b) x3 2 y2 2 z 22 14

c) H4;0;1

Bài Cho

   

   

   

1

1 :

3

x t

d y t

z t

  

    

     

2:

3

x t

d y t

z t

a) Chứng minh d1 d2 thuộc mặt phẳng b) Viết phương trình mặt phẳng

Đáp án: a) u u1; 2.MN 0

(196)

Bài 10 Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : - 2P1 x y2 - 3z 0và mặt

phẳng P2 : 2xy- - 4z 0 đường thẳng d:

1

x  y  z

  Lập phương trình mặt

cầu  S có tâm I thuộc d tiếp xúc với hai mặt phẳng  P1 ; P2

Đáp án:

  2  2 2   2  2 2

11 26 35 1444,

x  y  z  x  y  z 

B CÁC ĐỀ KIỂM TRA.

Đề Kiểm Tra 45’ Số

I. Phần Trắc Nghiệm

Câu Trong không gian Oxyz cho ba vectơ : a  1;1; , b1;1; , c1;1;1 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai ?

A a  B c  C ab D bc

Câu Trong không gian Oxyz cho ba vectơ : a  1;1; , b1;1; , c1;1;1 Trong mệnh đề sau, mệnh đề ?

A. a c 1 B. a b c, , đồng phẳng C cos ,

b c  D. a b c  0

Câu Trong không gian Oxyzcho bốn điểm A1;0;0 , B 0;1;0 , C 0;0;1 , D 1;1;1.Gọi M,N trung điểm AB CD, Tọa độ trung điểm G MN là:

A 1 1; ; 3 G 

  B

1 1 ; ; 4 G 

  C

2 2 ; ; 3 G 

  D

1 1 ; ; 2 G 

 

Câu Cho mặt phẳng   qua điểm M0, 0, 1  song song với giá vectơ

1; 2;3 , 3; 0;5

a  b Phương trình mặt phẳng  

A. 5x2y3z210 B. 5x2y3z 3 C.10x4y6z210 D. 5x2y3z210

Câu Gọi   mặt phẳng cắt trục tọa độ ba điểm M8;0;0 , N 0; 2;0 ,  P 0;0; 4 Phương trình mặt phẳng   :

A

8

x y  z

 B 4

x y  z



C. x4y2z0 D. x4y2z 8

Câu Cho đường thẳng  qua A2; 0; 1  có vectơ chi phương a4; 6; 2  Phương trình tham số đường thẳng  :

A

2

x t

y t

z t

   

   

   

B

2

x t

y t

z t

   

       

C

2

x t

y t

z t

      

    

D

4

x t

y t

z t

  

    

   

(197)

Câu Xác định m để cặp mặt phẳng sau vng góc với nhau: 7x3ymz 3 0,

3

x y z 

A. B 4 C 1 D 2

Câu Cho mặt phẳng P :x2y3z140 Tìm tọa độ Mđối xứng với M1; 1;1  qua  P A. M  1;3;7 B. M2; 3; 2   C. M 1; 3; 7 D. M2; 1;1 

Câu Bán kính mặt cầu tâm I1;3;5 tiếp xúc với đường thẳng :

2

x t

d y t

z t

 

    

   

là:

A 14 B.14 C D.

Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng có phương trình 1

1

:

x t

d y z t

         

và

2

3 '

: '

4

x t

d y t

z

  

   

  

Độ dài đoạn vuông góc chung d1 d2

A B. C. 2 D 2

Câu 11 Gọi  góc hai đường thẳng 1:

2

x y z

d      2: 19

1

x y z

d   

 Khi cos bằng:

A

58 B

2

5 C

1

2 D

2 58

Câu 12 Mặt phẳng   qua A1; 2; 5   song song với mặt phẳng P : cách  P

khoảng có độ dài là:

A. B. C. 2 D

Câu 13 Cho điểm O0, 0, , A 1,1,3và đường thẳng :

1

x y z

d   

 Điểm M thuộc d có hồnh

độ dương cho MOA cân O Tìm tọa độ điểm M

A. M2,1, 4 B. M0, 0,1 C. M1,1, 4 D. M1, 1,3 

Câu 14 Cho đường thẳng :

2

x y z

d    

 mặt phẳng  P :x2y2z 1 Mặt phẳng  

chứa đường thẳng d vng góc với  P có phương trình :

A. 2x2yz–  B. – 2x yz–  C. – 2x y  z D. 2x2y – z 

Câu 15 Trong không gianOxyz, cho A1;0; ,  B   1; 3; , C 1;5;7 Gọi G trọng tâm tam giácABC Khi độ dài OG

A B C 3 D 1

II. Phần Tự Luận

(198)

Bài Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật OAIB CEDF có tọa độ đỉnh A3; 0; 0 ,B0; 4;0 , C 0;0;5 , O 0;0;0

a) Viết phương trình mặt phẳng ABD

b) Viết phương trình tham số đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng ABD c) Viết phương trình mặt cầu  S ngoại tiếp tứ diện ABCD

d) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC EF,

Bài Trong không gian Oxyz, cho điểm A3;5; ,  B 5; 3; 7  mặt phẳng  P :x  y z Tìm điểm M thuộc mặt phẳng  P cho MA2MB2 nhỏ

Câu Cho mặt phẳng   : 2x y 3z 1 đường thẳng d có phương trình tham số:

2

x t

y t

z

   

   

  

A. d   B. d cắt   C. d€  D. d 

Câu Cho điểmA2;1;4 , –2;2; –6 , 6;0; –1 B  C  Tích AB AC bằng:

A.–67 B 65 C 67 D 33

Câu Cho điểm M(1, 2, 3) Gọi A B C, , hình chiếu M trục Ox Oy Oz, , Viết mặt phẳng ABC

A. 6x3y2z 6 B. 6x3y2z 6 C. 6x3y2z 3 D. 6x3y2z 3

Câu Trong không gian với hệ toạ độOxyz, cho A1; 2;1 , B 1;1;1 , C 0;3; 2.tọa độ ,

AB BC

 

  là:

A.  1; 2;3 B. 1, 2, 3 C.   1; 2; 3 D. 1; 2; 3 

Câu Điều kiện cần đủ để ba vec tơ a, ,b c khác đồng phẳng là:

A a .b c0 B a,b c 

C.Ba vec tơ đơi vng góc D Ba vectơ có độ lớn

Câu Trong không gian với hệ toạ độOxyz , cho điểmA3;1;1 , B 7;3;9 , C 2; 2; 2 Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC :

A. G6;3;6 B. G4; 2; 4 C. G  4; 3; 4 D. G4;3; 4 

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a1; 0; ,   b  2;1;3, c  4;3;5 Tìm hai số thực m , n cho m a n b  c ta được:

(199)

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1:

1

x y z

d    

2

:

2

x t

d y t

z t

         

Khẳng định sau ?

A d d1; 2 cắt B d d1; 2 trùng C d1//d2 D d d1; 2 chéo

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 0;1 , B 2;1; 2

 P :x2y3z 3 Viết phương trình mặt phẳng  Q qua hai điểm A B, vng góc với  P

A. ( ) : x 2Q  y  z B. ( ) : x 2Q  y  z C. ( ) : x 2Q  y  z D. ( ) : x 2Q  y  z

Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M2;1; 0 đường thẳng

  1

:

1

x y z

  

 Điểm N thuộc   cho MN 11 Tọa độ điểm N là:

A. 1, 2, 1  B. 1, 2,1 C. 2,1,1 D. 2, 1,1 

Câu 11 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện A BCD với tọa độ A1;0;0 ; B 2;1;1 ;

0;3; ; 1;3;0

C  D , thể tích tứ diện cho là:

A 1 B 1

6 C

1

2 D 6

Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho  S : x2y2z24x2y10z140 Mặt phẳng  P :x   y z cắt mặt cầu  S theo giao tuyến đường trịn có chu vi A. 8 B. 4 C. 4 D. 2

Câu 13 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng : 2

3 2

x y z

d     

 mặt

phẳng P :x3y2z 2 Lập phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng P , qua M2; 2; 4 cắt đường thẳng( )d

A 2

9

x  y  z

B 2

9

x  y  z



C 2

9

x y z

 

 D

2

3 2

x y z

 



Câu 14 Phương trình đường thẳng qua A1; 2; 1  vng góc với mặt phẳng

 P :x2 – 3y z 1 là:

A 1. B .

1

x  y  z

2

(200)

C . D .

Câu 15 Cho mặt cầu   2

:

S x y z  mặt phẳng  P :x z Tâm đường tròn  C giao tuyến  P  S có tọa độ ?

A. 1,1,1 B. 0,1, 0 C. 1, 0,1 D. 0,1,1

II. Phần Tự Luận

Bài Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A2; 4; 1 , B1; 4; ,  C 2; 4;3 , D 2; 2; 1  a) Chứng minh đường thẳng AB AC AD, , vng góc với đơi

b) Viết phương trình tham số đường vng góc chung  hai đường thẳng AB CD c) Viết phương trình mặt cầu  S qua bốn điểm A B C D, , ,

d) Viết phương trình mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu  S song song với mặt phẳng ABD

Bài Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;3; ;  B 3;7; 8  mặt phẳng

 P : 2x   y z Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng  P cho MA MB nhỏ

Câu Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M2, 0, ; N 0, 3, ;  P 0, 0, 4 Nếu MNPQ hình bình hành tọa độ điểm Qlà

A. 2;3; 4 B. 3; 4; 2 C.  2; 3; 4 D.   2; 3; 4 Câu Mặt cầu tâm I2;1; 1  tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ Oyz có phương trình

A x2 2 y1 2 z 12 4 B x2 2 y1 2 z 12 1 C x2 2 y1 2 z 12 4 D x2 2 y1 2 z 12 2

Câu Cho đường thẳng

3

:

4

x t

d y t

z t

  

    

   

và  P :x2y  z Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng?

A. d vuông góc  P B. d song song với  P C. d giao cắt với  P D. d nằm với  P

Câu Cho A1;1;3 , B 1;3; , C 1; 2;3 Khoảng cách từ gốc tọa độ Otới ABC

A 3 B C

2 D

3

Câu Trong không gian Oxyz , cho điểm G1;1;1, mặt phẳng qua Gvà vng góc với đường thẳng

OG có phương trình

A. x  y z B. x  y z C. x  y z D. x   y z

1

x  y  z



2 4

1

x  y  z

Định dạng
Số trang	223
Dung lượng	10,52 MB