Từ công thức Picard đến công thức Euler

Vì số điểm nguyên nằm bên trong tam giác ABC là hữu hạn nên đến một thời điểm thì quá trình này dừng và thu được các tam giác nguyên thủy bên trong không chứa điểm nguyên nào, có thể trê[r]

Từ công thức Picard đến công thức Euler Dịch từ tạp chí Kvant

Ngày 27 tháng năm 2010

Tóm tắt nội dung

Lưới nguyên Z2 tập hợp tất điểm mặt phẳng tọa độ Descartes vng góc với tọa độ nguyên Một đa giác gọi nguyên tất đỉnh thuộc lưới nguyên Z2 Trong này, tiếp cận cơng thức Picard cho diện tích đa giác ngun công thức Euler mối liên hệ chúng

1 Tam giác nguyên thủy

Một tam giác nguyên gọi nguyên thủy ngoại trừ đỉnh khơng có điểm nằm cạnh cuả tam giác có tọa độ ngun (Hình 1)

Hình

Định lý 1.1 Tam giác nguyên nguyên thủy có diện tích 12

Chứng minh Cho tam giác nguyên thủyABC, xét hình nhật nguyên nhỏ với cạnh song song với trục tọa độ, chứa tam giác ABC

Hình

Trường hợp a) b) rõ ràng tam giác nguyên thủy điểmKtrên hình vẽ có tọa độ ngun Trường hợp d) bao hàm trường hơp c), giả sử đỉnhCcó thể nằm trênOA, OB(trường hợp đặc biệt trùng với

O) Như vậy, ta cần xét trường hợp d) Khơng tính tổng qt, đặtO(0,0);D(p,0);A(q,0);E(0, r);B(0, s)

Kí hiệu I(P) số điểm nguyên nằm không nằm cạnh đa giác P Khi dễ thấy

I(OAF B) = (q−1)(s−1)

Vì đoạn AB khơng chứa điểm ngun nên

I(OAB) = I(OAF B)

2 =

(q−1)(s−1)

2

Tương tự, ta có

I(ACD) = (q−p−1)(r−1)

I(CBE) = (s−r−1)(p−1)

Tam giácABC khơng chứa điểm ngun nên

I(OAB)−I(ACD)−I(CDE) =pr

ở prlà số điểm nguyên nằm ODCE điểm nguyên nằm cạnh CD CE trừD vàE

Từ suy

(q−1)(s−1)−(q−p−1)(r−1)−(s−r−1)(p−1) = 2pr

rút gọn ta qs−ps−qr =

Kí hiệu [F]là diện tích hình phẳngF Khi đó,

[ABC] = [OAB]−[ACD]−[CBE]−[ODCE] = sq

2 −

(p−q)r

2 −

(s−r)p

2 −pr = qs−ps−qr

2 =

Như vậy, ta chứng minh chiều thuận định lý Ngược lại, giả sử tồn tam giác ngun với diện tích 12 mà khơng ngun thủy Khi đó, ta cần chứng minh tam giác nguyên ln phân hoachj thành tam giác ngun thủy

Hình

Gỉa sử tam giác khơng nguyên thủyABC có điểm nằm cạnh nguyên Khi đó, tồn cạnh chứa điểm nguyên, ta nối điểm với đỉnh A (như hình 3), cạnh nối khơng có chứa điểm nguyên nên tam giác chia ra, ngoại trừ nhiều hai tam giác chứa cạnhAB, AC (trong trường hợp cạnhAB, AC chứa điểm nguyên), ngun thủy Kí hiệu hai tam giác khơng ngun thủy ABP

vàAQC, từP vàQta nối tương ứng với điểm nguyên nằm cạnhAB, AC Khi đó, tồn tam giác chia nguyên thủy

Hình

Gỉa sử tam giácABC chứa số điểm nguyên (hình 4) Ta chọn điểm nối với đỉnh

Như tam giác khơng ngun thủy ABC phân hoạch thành hai tma giác nguyên thủy, mà tam giác có diện tích 12 phần thuận định lý nên[ABC]> 12, mâu thuẫn cho ta chứng minh phần đảo

Bài toán 1.2 Chứng minh với số M >0 bất kì, ln tồn tam giác ngun thủy mà chiều dài cạnh lớn M

2 Công thức Picard

Trong phần này, nhắc đến đa giác, xem chúng đa giác đơn, nghĩa đa giác bị chặn biên chúng khơng tự cắt Trong hình số ví dụ đa giác khơng đơn

Hình

Định lý 2.1 (Picard) Với đa giác nguyên P diện tích tính theo cơng thức

[P] =Ni+

Ne

2 −1

trong Ni số điểm nguyên nằm Ne số điểm nguyên nằm cạnh đa giác P ngoại trừ đỉnh

Hình

Thí dụ hình 6, ta có Ni = 9,Ne = 11 nên áp dụng ccong thức Picard diện tích đa giác ngun

Chứng minh Trước hết, có nhận xét nhỏ sau:

Nhận xét 2.2 Bất kì đa giác đơn có số đỉnh lớn hơn4 tồn đường chéo nằm hoàn toàn đa giác

Chứng minh nhận xét khơng khó hiển nhiên với đa giác lồi cịn với đa giác khơng lồi khơng có đường chéo thành đa gics tự cắt, tức không đơn

Từ nhận xét trên, ta dễ dàng chứng minh quy nạp rằngk-giác phân hoạch thnhaf k−2tam giác mà đỉnh chúng đỉnh đa giác ban đầu Do đó, tổng góc mộtk-giác đơn (k−2)π

Mỗi tam giác nhận từ cách phân hoạchk-giác nguyên P ta tiếp tục chia nhỏ chúng thành tam giác cách trình bày 1.1 Diện tích tam giác nguyên thủy 12, số tam giác nguyên thủy chia đùng bằngN = 2[P]và khơng phụ thuộc vào cách chia

Và điều ta cần chứng minh tương đương với

N = 2Ni+Ne−2

Hình

Tổng tất góc thuộc tam giác nguyên thủy chia mà góc có đỉnh đỉnh củak-giácP tổng góc k-giác này, bằng(k−2)π (hình 7a)

Tổng tất góc thuộc tam giác nguyên thủy chia mà góc có đỉnh nằm cạnh khơng trùng với đỉnh k-giácP (Ne−k)π (hình 7b)

Tổng tất góc thuộc tam giác nguyên thủy chia mà góc có đỉnh nằm bên đa giác 2Niπ (hình 7c)

Mặt khác tổng tất góc thuộc tam giác nguyên thủy chia 2N π Do

2N π= 2Niπ+ (Ne−k)π+ (k−2)π

hay N = 2Ni+Ne−2, điều phải chứng minh

Gỉa sử đa giác P với đỉnh nằm lưới Λthỏa mãn công thức Picard mở rộng

[P] =

Ni+

Ne

2 −1

∆(Λ) đó∆(Λ) diện tích hình bình hành lướiΛ

3 Phân tích logic chứng minh

Chúng ta phát biểu lại lần khẳng định mà ta chứng minh phần trên: VỚi đa giác ngun ta có cơng thức Picard

[P] =Ni+

Ne

2 −1

2 Diện tích tam giác nguyên thủy 12

3 Với phân hoạch đa giác nguyênP thành N tam giác nguyên thủy

N = 2Ni+Ne−2

Chúng ta có lược đồ logic chứng minh hình

Hình

Trong hình 8a, ta chứng minh cơng thức Picard (1) cách độc lập với (2) (3), từ (1) suy (2) tầm thường, từ (3) suy từ (1) (2) (xem 3.1)

Trong hình 8b, lược đồ mà ta chứng minh Đầu tiên chứng minh (2) cách độc lập, từ nhận (3), cơng thức Picard hệ (2) (3)

Chúng ta xem xét hai lược đồ chứng minh đáng ý lại

giác nguyên thủy{Tk}, chứa T

Chúng ta phân hoach P thành tam giác nguyên thủy theo cách khá: chia đôi đường chéo ô vng đơn vị cấu thành nênP Gỉa sử diện tích P làpq có tất 2pq tam giác nguyên thủy số tam giác nguyên thủy phụ thuộc vào cách phân hoạch Quay lại cách chai đàu tien, ta có:

2

X

k=1

pq[Tk] =pq

Lại cóTk≥ 12 với mỗik= 1,2, ,2pqsuy Tk= 12, đặc biệt[T] = 12

Bây ta xem xét suy (1) từ (2) Xét hàm

F(P) =Ni+

Ne

2 −1 xác định đa giác nguyên đơn

Hình

Nếu phân hoạch đa giác nguyênP bới đường gấp khúc bên mà đỉnh cảu đường gấp khúc điểm nguyên hai đa giác nguyên P1, P2, viếtP =P1+P2 (xem hình 9) Dễ thât F là hàm cộng tính, tức

F(P1+P2) =F(P1) +F(P2) diện tích thỏa mãn cộng tính

[P1+P2] = [P1] + [P2]

Do đố công thức Picard cho đa giác nguyên P1, P2 cho cảP Và biết, đa giác nguyên phân hoạch thành tam giác nguyên thủy (2) công thức Picard cho tam giác nguyên thủy

Bài tốn 3.1 Sử dụng cách ngoại tiếp hình chữ nhật 1.1 hàm cộng tính F(P) để chứng minh (1) cách độc lập với (2) (3)

4 Công thức Euler

Bản đồ đa giác xem trường hợp riêng đồ thị phẳng Ta gọi đa giác phân hoạch diện cạnh đa giác cạnh đồ

Đối với đồ thị phẳng (và trường hợp riêng đồ đa giác), có cơng thức Euler quen thuộc liên hệ số đỉnhV, số cạnhE số diện F

V +F−E = Có thể xem ví dụ hình

Hình 10

Từ "bản đồ" nhấn mạnh công thức Euler nói chung cho phân hoạch cong (xem hình 11), quan trọng cách nối điểm thỏa mãn điều kiện "đúng" (Thí dụ, thay cho phân hoạch thnahf đa giác hình 10, ta thay đoạn thẳng đoạn cong để nhận đồ cong hình 11)

Hình 11

Trong trường hợp diện đồ đa giác tam giác ta gọi đồ tam giác Hiển nhiên với đa giác đơnP mặt phẳng, có vơ hạn cách phân hoạch thành đồ tam giác Đồng thời sốN diện tam giác thỏa mãn công thức (không riêng lưới nguyên Z2)

N = 2Ni+Ne−2

Mặt khác, ý Ne số đỉnh đồ nằm cạnh P, nên E−Ne số cạnh hoàn toàn

đa giácP, cạnh cạnh chung hai tam giác Tổng số cạnh tất diện đồ P

3N = 2(E−Ne) +Ne= 2E−Ne (1)

Từ suy

E= 3N +Ne

2 =

3(2Ni+Ne−2) +Ne

2 = 3Ni+ 2Ne−3

Định lý 4.1 (Euler) Với đồ đa giác nào, ta có

V +F −E =

Chứng minh Gỉa sử đồ đa giác với số đỉnhV, số cạnhE số diện F Chúng ta đặt diện đồ điểm, nối điểm với đỉnh diện chứa

HÌnh 12

Khi thu đồ tam giác R (xem hình 12) với số tam giác phân hoạch làN, số đỉnh nằm biên đa giác ban đầu Ne, số đỉnh nằm đa giác Ni, số cạnh làE0 Do cách bổ sung đỉnh nên ta

có tổng số đỉnh R

Ni+Ne =V +F

Mỗi diện đồ cũ phân hoạch thành diện con, mà số lượng số cạnh nối nằm diện này, số cạnh đồ

E0=E+N

Sử dụng cơng thức ứng với đồR ta có 3N = 2E0−Ne, từ

V +F−E = (Ni+Ne)−(E0−N)

=Ni+Ne−(E0+Ne)

=Ni+Ne−

3Ni+ 3Ne−3

3 =

Ta có đpcm

Như trên, trình bày mối liên hệ logic hai cơng thức Picard Euler, chúng hiểu tương đương

Hình 13

Chúng ta mở rộng hai cơng thức trường hợp đồ với lỗ khoét, mà lỗ khoét có dạng đa giác đơn (phần tơ đậm hình trên)

Định lý 4.4(Định lý Picard trường hợp "lỗ khoét") Với đa giác nguyên P vớin lỗ khoét đa giác ngun P có diện tích

[P] =Ni+

Ne

2 −1 +n

trong đó, Ni số đỉnh nằm bên đa giác P không nằm cạnh P cạnh lỗ khoét, Ne số đỉnh nằm cạnh P cạnh lỗ khoét

Định lý 4.5 (Định lý Euler trường hợp "lỗ khoét") Với đồ đa giác với n lỗ khoét

V −E+F = 1−n

5 Một số toán liên quan

Bài toán 5.1 Xét tam giác nguyên cho cạnh khơng chưa điểm nguyên khác đỉnh CMR tam giác chứa điểm ngun điểm trọng tâm tam giác

Bài toán 5.2 Gỉa sử mộtn-giác nguyên lồi cho bên cạnh cảu khơng chưa điểm nguyên khác đỉnh CMR n≤4

Bài toán 5.3 CMR với hai điểm nguyên A, B cho đoạn nói chúng khơng chứa điểm ngun khác, tìm điểmC choABC tam giác nguyên thủy Khoảng cách từC đếnABlà biếtAB=d Bài tốn 5.4 Xét nđiểm ngun (n≥3)sao cho điểm chúng lập thành tam giác mà trung tuyến khơng cắt điểm ngun khác Tìm nlớn

Bài toán 5.6 Trong trường hợp hinh 14, tính diện tích hình bình hành đươcj tơ đậm, biết cạnh

AD, AB hình bình hànhABCD chia thànhm vàn phần [ABCD] =

Hình 14

Bài toán 5.7 Mỗi cạnh tam giácABC chia thành3 phần nhau, cạnh nối điểm chia với đỉnh tam giác đối diện hinh 15 Tính tỉ lệ diện tích tam giác tơ đậm tam giác ABC

Hình 15

Bài toán 5.9 Đặt

f(P) =aNi(P) +bNe(P) +c

vớia, b, c số GỈa sử hàm số xác định đa giác nguyên thỏa mãnf(P1) +f(P2) =

f(P) P phân hoạch thành đa giác nguyên P1, P2 đường gấp khúc với đỉnh nguyên

CMR b= a2, c=−a

Bài toán 5.10 CMR với đa giác nguyên P bất kì, ta ln có

2[P] = 2N(2P)−2N(P) +

ở N(P) số tất điểm nguyên thuộc đa giác P và2P đa giác nhận từ phép vị tự tâm O gốc tọa độ k=

Bài toán 5.11 Hãy 1000 điểm mặt phẳng cho: i) Khơng có điểm chúng thẳng hàng

ii) Khoảng cách hai điểm mốt số vơ tỉ