Hỏi có hay không số nguyên dương
(1)9
HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAMMYTS 2019
MYTS 2019
Tìm kiếm Tài Tốn học trẻ
Ngày thi: 21/04/2019 Thời gian làm bài: 120 phút Câu (10 điểm) Cho hai số 𝑥, 𝑦 có tổng Chứng minh
𝑥𝑥 𝑦−𝑦 ≥ Hỏi dấu xảy nào?
Câu (15 điểm) Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 số nguyên, cho 𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎 chia hết cho Chứng minh 𝑎𝑏𝑐𝑎𝑏𝑐 chia hết cho
Câu (15 điểm) Cho tam giác nhọn 𝐴𝐵𝐶 nội tiếp đường tròn 𝑂 Trên cung 𝐵𝐶 nhỏ 𝑂, lấy điểm 𝐷 tùy ý, khác 𝐵, 𝐶 Hạ 𝐷𝑋 ⊥𝐵𝐶 𝐷𝑌 ⊥𝐴𝐶 Gọi 𝑀, 𝑁 tương ứng trung điểm 𝐴𝐵, 𝑋𝑌 Chứng minh 𝐷𝑁 𝑀\ ∘
Câu (20 điểm) Cho hai số nguyên dương 𝑚, 𝑛 số nguyên tố 𝑝 cho 𝑝 𝑚𝑛
√
𝑚𝑛 Chứng minh 𝑝 𝑚 𝑝 𝑛 số phương
Câu (20 điểm) Có 2019 thẻ, thẻ có ghi số ngun dương khơng vượt 2019, hai số ghi hai thẻ khác Hỏi có hay khơng số nguyên dương 𝑛 cho ta xếp 2019 thẻ vào 𝑛 hộp, thỏa mãn điều kiện: hộp, chia thẻ thành hai nhóm mà tổng số ghi thẻ nhóm tổng số ghi thẻ nhóm cịn lại?
(Nếu nhóm có thẻ tổng số ghi thẻ nhóm số thẻ ấy.)
Câu (20 điểm) Xét tất vé số mà có in số có chín chữ số, tạo thành từ chữ số ,, Hai vé số gọi “tách biệt” có in số 𝑎 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏 mà 𝑎𝑖̸ 𝑏𝑖 với 𝑖 ,, ,
(a) Chứng minh dùng ba màu xanh, đỏ vàng để tơ tất vé số nói trên, cho vé tô màu, hai vé tách biệt tô màu khác
(b) Xét cách tô thỏa mãn điều kiện phần (a) Giả sử cách tơ đó, vé tô màu đỏ, vé tô màu vàng; hỏi vé tô màu nào?