Đang tải... (xem toàn văn)
Lấy kết quả này chia cho a rồi trừ đi a. Lại lấy kết quả chia cho a rồi trừ đi a. Cuối cùng được số -a. Chứng minh rằng:.. a) BIC đồng dạng với FIE.[r]
(1)UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
KỲ THI OLYMPIC HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 2016-2017
Mơn: TỐN – Lớp 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1(3,5 điểm):
Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng:
a)
a b c
b c c a a b b)
bc ac ab
a b c a b c Bài 2(4,0 điểm):
Cho ba số hữu tỷ x, y, z đôi khác Chứng minh rằng:
a)
2 2
M= x y z
x y x z y z y x z x z y có giá trị số nguyên.
b) 2
1 1
N =
(x y ) (y z ) (z x ) có giá trị bình phương số hữu tỷ. Bài 3(4,0 điểm):
a) Giải phương trình: 2x6 3x8 6x17 2
b) Số 36 chia cho số nguyên a trừ a Lấy kết chia cho a trừ a Lại lấy kết chia cho a trừ a Cuối số -a Tìm số a?
Bài 4(5,0 điểm):
Tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE, CF cắt I Hạ FG vng góc với BC (G thuộc BC); Hạ FH vng góc với AC (H thuộc AC) Chứng minh rằng:
a) BIC đồng dạng với FIE
b) EB phân giác góc FED
c) Đường thẳng GH song song với đường thẳng DE Bài 5(3,5 điểm):
Cho tam giác ABC vuông cân A có cạnh huyền BC = a Gọi D trung điểm AB, E điểm thuộc cạnh AC Hạ DG EH vng góc với BC (G, H thuộc cạnh BC)
a) Tính diện tích tứ giác DGHE theo a EC=2EA
b) Xác định vị trí điểm E cạnh AC để tứ giác DGHE có diện tích lớn
(2)UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
KỲ THI OLYMPIC HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 2016-2017
Mơn: TỐN – Lớp 8 HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1(3,5 điểm): Với a,b, c dương có:
a a
b c a b c 0,50
Tương tự: ;
b b c c
c a c a b a b a b c 0,50
Cộng:
a b c a b c a b c
b c c a a b a b c c a b a b c a b c
0,50
2
bc ac b a b a
c c
a b a b ab
0,50
Do
2
2 2 b a 2
a b ab
ab
(do ab dương)
2 bc ac
c
a b 0,50
Tương tự có
ac ab a
b c ;
bc ab b
a c . 0,50
Cộng được:
2 bc ac ab 2a 2b 2c bc ac ab a b c
a b c a b c
0,50
Bài 2(4,0 điểm):
2( ) 2( ) 2( ) 2 2 2( )
M=x y z y x z z x y x y x z y x y z z x y
x y y z x z x y y z x z
1,00
2
2 ( )
( ) ( )( ) ( ) x y xy xz yz z
xy x y z x y x y z x y
x y y z x z x y y z x z
0,50
( ) ( ) ( ) ( )
x y x y z z y z x y y z x z x y y z x z x y y z x z
0,50
2
1 1 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
N
x y y z z x x y y z y z z x z x x y
0,50
1 1
2
( )( )( )
z x x y y z
x y y z z x x y y z z x
0,50 2
1 1 1
0
x y y z z x x y y z z x
(3)
1 1
; ;
x y y z z x
1 1
x y y z z x hữu tỷ đpcm Bài 3(4,0 điểm):
2
6x18 6x16 6x17 12 0,50
Đặt y 6x17được (y+1)(y-1)y2 =12
y4 –y2 =12 4y4 –4y2 =48 (2y2-1)2 =49 0,50
2y2-1 = y2 = y = ±2 6x 17
2 x
;
19 6x 17 -2
6 x
0,50
2y2-1 = -7 2y2-1 = -6 (vơ nghiệm). 0,50
Thực tính từ cuối:
Ngược lần 3: -a + a = 0; * a =0; Ngược lần 2: 0+ a = a; a * a = a2;
Ngược lần 1: a2 + a = a2 + a ; (a2 + a)* a = 36
1,00 (a2 + a)* a = 36 a2 (a+1) = 36
36 có ước bình phương số ngun 0; 9; 36 0,50 Thử giá trị: Với a = 0: a2 (a+1)= (loại);
Với a =±6 a+1 = (loại) Với a=±3 a+1=4 a =
0,50 Bài 4(5,0 điểm):
IFB đồng dạng với IEC (g.g) IF/ IE = IB/IC
FIE = BIC (đđ) FIE đồng dạng với BIC (c.g.c) (1)
0,50 0,50 0,50
(1) FEB ICB
Tương tự có IED IAB
Mà ICB IAB (cùng phụ với ABC )
FEB IED hay EB phân giác góc FED
0,50 0,50 0,50 0,50
(4)ID//FG CI/CF=CD/CG CE/CH= CD/CG GH//DE
0,50 0,50 Bài 5(3,5 điểm):
Hạ AF vng góc với BC Có: - F trung điểm BC
- GBD vuông cân G; HEC vuông cân H
0,25 0,25 - GD = GB = FB/2 = a/4
- HE = HC = 2FC/3 = a/3 - GH = a –a/4-a/3 = 5a/12
0,25 0,25 0,25 - Tứ giác DGHE hình thang vng có diện tích là:
5
DG HE GH 12 35a
2 288
a a a
050 SDGHE = (DG+HE).GH/2
Do hai số (DG+HE) GH có tổng BG+ HC + GH =a khơng đổi nên tích lớn BG + HC = GH = a/2
0,25 0,75
HC = GH-BG = 4
a a a
H trung điểm FC E trung điểm AC
0,25 0,50