Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán lớp 6 năm 2018-2019

Tam giác ABC th ỏa mãn điề u ki ện đề bài... Gọi Om là tia phân.[r]

ĐỀCƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ II MƠN TỐN – KHỐI

NỘI DUNG ƠN TẬP A LÝ THUYẾT

I Số học

1 Nêu quy tắc chuyển vế, quy tắc dấu ngoặc? Viết dạng tổng quát phân số Cho ví dụ Thế hai phân số nhau? Cho ví dụ

4 Nêu tính chất phân số? Viết dạng tổng quát

5 Phát biểu quy tắc rút gọn phân số? Thế phân số tối giản? Cho ví dụ Muốn so sánh hai phân số không mẫu ta làm nào? Cho ví dụ Phát biểu quy tắc quy đồng mẫu số nhiều phân số? Cho ví dụ

8 Phát biểu viết dạng tổng quát quy tắc thực phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân số?

9 Phát biểu tính chất phép cộng phép nhân phân số a) Nêu quy tắc tìm giá trị phân số sốcho trước? Cho ví dụ b) Nêu quy tắc tìm số biết giá trị phân số nó? Cho ví dụ c) Nêu cách tính tỷ số hai số a b? Tỷ số phần trăm? Cho ví dụ II Hình học

1 Góc nào? Kí hiệu? Hình vẽ minh họa Thế góc vng, góc nhọn, góc tù, góc bẹt?

3 Thế hai góc phụ nhau; bù nhau; kề nhau, kề bù? Khi xOy yOz+ =xOz? Vẽ hình minh họa

5 Thế tia phân giác góc? Cách vẽ tia phân giác góc? Tam giác ABC thếnào? (O; R) nào?

7 Nêu cách chứng tỏ tia nằm hai tia? (đưa ví dụ minh họa) A CÁC DẠNG BÀI TẬP

I Bài tập trắc nghiệm

A 10 −

− B

6

15 C 20

− D

12 30 Đáp án: C

Câu Phân sốnào sau phân số A

7

− B −

C

7

− D

7 −

− Đáp án: D

Câu Cho 15 x − =

Khi giá trị x là:

A 20 B – 20 C 63 D 57 Đáp án: B

Câu Cho biết x

4 12

+ = −

Khi giá trị x là:

A −4 B −2 C D Đáp án: A

Câu Tính ( ) ( )− + −6 10

A 10 B – 16 C – 10 D 16 Đáp án: B

Câu Tính ( )−5 8−

A – 40 B 40 C – 13 D 13 Đáp án: A

Câu Khi x =2 x bằng:

A B – C – D Đáp án: C

Câu Tập hợp sốnguyên ước là:

A  1; B − −1; 2 C 0; 2; 4; 6;  D − −2; 1;1; 2 Đáp án: D

Đáp án: D

Câu 10 Hỗn số 23

− viết dạng phân số là: A 13

5 B 13

5

− C 10

− D

5 − Đáp án: B

Câu 11 Kết phép tính 1 4− +20

A 10 B C

10 −

D

10 Đáp án: B

Câu 12 Tỉ số % 15

4 20 là:

A 100% B 12% C 30% D 15%

Đáp án: A

Câu 13 75% 60 là:

A 40 B 80 C 45 D 90 Đáp án: C

Câu 14

7 là: A 41

20 B 10

21 C

10 D Đáp án khác Đáp án: C

Câu 15 Biết

6 x

10 x bằng: A 63

25 B

4 C

38

25 D

4 Đáp án: A

Câu 16 Học kì I lớp 6A có 20 học sinh giỏi Học kì II số học sinh giỏi tăng thêm 20% Số học sinh giỏi lớp 6A học kì II là:

Câu 17 Trong câu sau, câu đúng, câu sai? Hình tạo hai tia cắt góc

2 Góc tù góc nhỏhơn góc bẹt

3 Nếu tia Om tia phân giác xOy xOm=yOm Nếu aOb=bOc Ob tia phân giác aOc Góc vng góc có sốđo 90o

6 Hai góc kề hai góc có cạnh chung hai cạnh cịn lại nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa cạnh chung

7 Tam giác ABC hình gồm ba đoạn thẳng AB, BC, CA

8 Mọi điểm nằm đường tròn cách tâm khoảng bán kính Đáp án: S, Đ, Đ, S, 5Đ, Đ, S, Đ

Câu 18 aOb bOc+ =aOc

A Tia Oa nằm hai tia Ob, Oc B Tia Oc nằm hai tia Oa, Ob C.Tia Ob nằm hai tia Oa, Oc D Cảba phương án sai Đáp án: C

Câu 19 Biết o o

xOy 70 , yOz 110= = hai góc hai góc

A Kề bù B Phụ C Kề D Bù Đáp án: A

Câu 20 Biết

xOy 60= ,

yOz=30 Hai góc hai góc

A Kề bù B Phụ C Kề D Bù Đáp án: B

II Bài tập tự luận

Dạng 1: Thực phép tính Bài Thực phép tính a) 113 65 41 12

4

 

− − +

  b)

17 11 :

20− 15+ 20 c) :3 7.43

7

 

 

  d)

2 15 :

9 23 29 23

 

 

 

a) 133

12 b) 49

15 c)

7 d) 12

Bài Thực phép tính a) 113 65 41 12

4

 

− − + 

  b)

7 23

5 0,5 :

8 26

 

− −

 

 

c) 1713 33 212 15 15  −  − − 

   

    d) ( )

2 15

2 0,375 10

3 24

− − −

Hướng dẫn:

a) 133

12 b) 13

12 c) 1642

105 d) –

Bài Thực phép tính a) :3 :4

4− b)

3 3

5 7 − +− +−

c) 7 51 52

7 11 11 3

 

− + −

 

  d)

5 4 39 3

 

+

 

 

Hướng dẫn:

a)

15 b)

− c)

3

− d) 10

Bài 4: Thực phép tính cách hợp lý a) 5 2

7 11+ 11− 11 b) ( ) ( )

3

2 0,4 2,75 1,2 : − − + − 11

c)

3 5

5 4

5.27 2

:

6 10

 

 

 

  d)

5 5 15 15

5 15

3 27 : 11 121 8 16 16

8 16

3 27 11 121

− − − − +

− − − − +

Hướng dẫn:

a) 37

7 b) 44

5

− c) 648 d)

3

Bài Thực phép tính cách hợp lý a) 7

10.11 11.12 12.13+ + + +69.70 b)

2 2

5 5

1.6+6.11+ +26.31 c) 2+ 2+23+ + 250 d) 1 1

2 1024

Hướng dẫn:

a)

5 b) 150

31 c)

51

2 −2 d) 2047

1024

Dạng 2: Tìm x Bài Tìm x, biết: a) x 3:

10 15

− = b) 46 1x 23 24 = c) x : 31 13

21 − + = −

 

  d) x 25%.x 0, 5− =

Hướng dẫn:

a) x 97 90

= b) x =2 c) x =6 d) x

= Bài Tìm x, biết:

a) x 27 11 22 121

+ = b) 1: x 1

5 = −5 c) 2 : x 42

11

 

− − =

 

  d)

1

3 x 16 13, 25 + = −

Hướng dẫn:

a) x 22

= b) x

2

= c) x 48

121

= − d) x= −9 Bài Tìm x, biết

a) 3x x 3( ) 1x

4 − =4 − +4 b)

5 30%x x

6 − + = c) (2x 3x 12− )( + )=0 d) 3.22x 1 49

2

+ + =

Hướng dẫn:

a) x 23

= b) x

7

= c) x= −4và x

2

= d) x =1 Bài Tìm x, biết

a) 2x

− = b) 2x 1( )2 10 13 13 13

 +  + =

 

b) x 53 x x

7

  − − = + − 

  d)

3 x x

16

− = Hướng dẫn:

a) Xét x

 ta có: 2x x

2

− =  = (thỏa mãn)

Xét x

 ta có: 2x x

2

− + =  = − (thỏa mãn)

Vậy x 5;

8

 

= − 

 

b) x 1;

8

 

= − 

 

c) x 11 180

= 

d) x 3; ;0 4

 

= − 

 

Dạng 3: Bài toán có nội dung thực tế

Bài 10 Lớp 6A có 50 học sinh Trong có

5 số học sinh thích chơi đá bóng, 80% số học sinh thích chơi đá cầu,

10 số học sinh thích chơi cầu lơng Hỏi: a) Lớp 6A có học sinh thích chơi bóng đá?

b) Lớp 6A có học sinh thích chơi đá cầu? c) Lớp 6A có học sinh thích chơi cầu lơng? Hướng dẫn:

a) Lớp 6A có số bạn thích chơi bóng đá là: 50 30

5 = (học sinh)

b) Số học sinh thích chơi đá cầu lớp 6A là: 80%50 40= (học sinh) c) Số học sinh thích chơi cầu lơng lớp 6A là: 50 35

10 = (học sinh) Bài 11 Một bểnước hình chữ nhật có chiều cao 1,6 m, chiều rộng

Hướng dẫn:

Chiều rộng bểnước là: 2, ,

4 = (m)

Chiều dài bểnước là: 150%1 8, = , (m)

Thể tích bểnước hình chữ nhật là: 456,  ,  , = , (m3)

Bài 12 Một ô tô 120 km ba Giờ thứ xe

3 quãng đường Giờ thứhai xe 40% quãng đường lại Hỏi thứ ba xe kilômét?

Hướng dẫn:

Trong thứ xe số km là: 120 40

 = (km)

Trong thứhai xe số km là: (120 40− )40%=32(km) Trong thứba xe số km là: 120 40 32 48− − = (km)

Bài 13 Khối trường THCS có ba lớp gồm 120 học sinh Số học sinh lớp 6A chiếm 35% số học sinh khối Số học sinh lớp 6B 20

21 số học sinh lớp 6A, lại học sinh lớp 6C Tính số học sinh lớp

Hướng dẫn:

Số học sinh lớp 6A 42 học sinh, số học sinh lớp 6B 40 học sinh, số học sinh lớp 6C 38 học sinh

Bài 14 Học sinh lớp A trồng 56 ba ngày Ngày thứ trồng

8 số Ngày thứ hai trồng

7 số cịn lại Tính số học sinh lớp A trồng ngày?

Hướng dẫn:

Bài 15 Một cửa hàng bán số mét vải ba ngày Ngày thứ bán số mét vải Ngày thứ hai bán

7 số mét vải lại Ngày thứ ba bán nốt 40 mét vải Tính tổng số mét vải cửa hàng bán

Hướng dẫn:

Ngày thứ hai cửa hàng bán số phần là: 35

 −  =

 

  (số mét vải) Số phần ứng với 40 mét vải là:

5 35− =7 (số mét vải)

Vậy cửa hàng có số mét vải là: 40:2 140 = (m)

Bài 16 Nam đọc sách ba ngày Ngày thứ đọc

8 sách, ngày thứhai đọc1

3cuốn sách, ngày cuối đọc nốt 35 trang lại Hỏi sách dày trang?

Hướng dẫn:

Quyển sách dày 120 trang

Bài 17 Tổng kết năm học ba lớp 6A, 6B, 6C có 45 em đạt học sinh giỏi Số học sinh giỏi lớp 6A

3 tổng số học sinh giỏi lớp Số học sinh giỏi lớp 6B 120 % số học sinh giỏi lớp 6A Tính số học sinh giỏi lớp ?

Hướng dẫn:

Số học sinh giỏi lớp 6A 15 học sinh, Số học sinh giỏi lớp 6B 18 học sinh, Số học sinh giỏi lớp 6C 12 học sinh

Bài 18 Một người mang bán số trứng Sau bán

8 số trứng cịn lại 21 Tính số trứng mang bán

Hướng dẫn:

Bài 19 Hai lớp 6A 6B có tất 102 học sinh Biết

3 số học sinh lớp 6A

4 số học sinh lớp 6B Hỏi lớp có học sinh ?

Hướng dẫn:

Số học sinh lớp 6A 54 học sinh, Số học sinh lớp 6B 48 học sinh

Bài 20 Khối trường có lớp Trong số học sinh lớp 6A

13 tổng số học sinh ba lớp lại Số học sinh lớp 6B

12 tổng số học sinh ba lớp lại Số học sinh lớp 6C 24

61 tổng số học sinh ba lớp lại Số học sinh lớp 6D 32 học sinh Tính tổng số học sinh lớp?

Hướng dẫn:

Số học sinh lớp 6A 40 học sinh, số học sinh lớp 6B 50, số học sinh lớp 6C 48

Vậy tổng số học sinh lớp 170 học sinh

Bài 21 Giá vé vào sân vận động xem bóng đá 200000đồng/ vé Sau giảm giá vé, số khán giảtăng thêm 25%, doanh thu tăng 12,5% Hỏi giá vé sau giảm bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Giá vé sau giảm 180000 đồng Bài 22

a) Tính tỉ lệ xích vẽ, biết chiều dài vẽ 2,5cm chiều dài thật 2,5km b) Trên đồ có tỉ lệ xích 1:1000000, hai thành phố cách 13cm Hỏi thực tế hai thành phố cách km?

c) Hai địa điểm A B thực tế cách 350km

Hỏi đồ có tỉ lệ 1:500000, A B cách cm? Hướng dẫn:

b) Đổi 13 cm 13 100000

= km

Khoảng cách hai thành phốđó là: 13 1000000 130

100000 = (km) c) A cách B 70cm

Bài 23 Một xí nghiệp làm số dụng cụ, giao cho ba phân xưởng thực Số dụng cụphân xưởng I làm 30% tổng số Số dụng cụphân xưởng II làm gấp rưỡi so với phân xưởng I Phân xưởng III làm phân xưởng II 84 Tính số dụng cụ phân xưởng làm

Hướng dẫn:

Gọi tổng số dụng cụđược giao cho phân xưởng x (x >0) Số dụng cụphân xưởng I làm là: x

10

Số dụng cụphân xưởng II làm là: x 20

Số dụng cụphân xưởng III làm là: x x x 1x 10 20

− − =

Theo ta có: x 1x 84 20 −4 = Từđó em tính x = 420

Vậy số dụng cụphân xưởng I làm 126, số dụng cụphân xưởng II làm 189, số dụng cụphân xưởng III làm 105 dụng cụ

Bài 24 Học kỳ I số học sinh giỏi lớp 6A

7 số học sinh cịn lại Sang học kì II, số học sinh giỏi tăng thêm bạn (số học sinh lớp); nên số học sinh giỏi

3 số lại Hỏi học sinh kỳ I lớp 6A có học sinh giỏi

Hướng dẫn:

Số học sinh giỏi kỳ I lớp 6A 10 học sinh

Bài 25 Một cửa hàng bán gạo bán hết số gạo ngày Ngày thứ bán

a) Ban đầu cửa hàng có gạo?

b) Tính số gạo mà cửa hàng bán ngày 1, ngày

c) Số gạo cửa hàng bán ngày chiếm % số gạo cửa hàng?

Hướng dẫn:

a) Ban đầu cửa hàng có 56 gạo

b) Ngày cửa hàng bán 24 gạo, ngày thứ cửa hàng bán gạo

c) Số gạo ngày chiếm 42,85% số gạo cửa hàng Dạng 4: Hình học

Bài 26 Trên tia Ox lấy điểm A, tia đối tia Ox lấy điểm B cho = =

OA OB 3cm

Trên tia AB lấy điểm M, tia BA lấy điểm N choAM=BN 1cm= Chứng tỏO trung điểm AB MN

Hướng dẫn:

+ Vì A B thuộc tia đối chung gốc O nên điểm O nằm hai điểm A B

Mà theo đề ta có: OA = OB = 3cm Suy O trung điểm AB

+ Vì OA = OB (gt); AM = BN (gt)  OB + BN = OA + AM hay OM = ON Vậy O trung điểm MN

Bài 27 Vẽ đoạn thẳng AB =6cm Lấy hai điểm C D nằm A B cho AC + BD= 9cm

a) Chứng tỏ D nằm A C b) Tính độ dài đoạn thẳng CD

Hướng dẫn:

a) Vì D nằm A B nên: AD + DB=AB Thay AB= 6cm ta có AD + DB = (cm)

Lại có AC + DB=9cm (gt)  AD + DB < AC + DB hay AD < AC (1) Mà D C nằm A B hay D, C thuộc tia AB (2) Từ (1) (2) suy D nằm A C

C

D B

A

N

M B

b) Vì D nằm A C suy ra: AD+DC= AC

Lại có AC + BD = nên AD + DC + BD = hay (AD+DB) + DC = Thay (AD+DB) = ta có + DC =

Vậy DC = (cm) Bài 28

a) Vẽ tam giác ABC biết AB = AC = 4cm ; BC = 6cm Nêu rõ cách vẽ?

b) Vẽđoạn thẳng BC = 3,5cm Vẽ điểm A cho AB = 3cm, AC = 2,5 cm Nêu rõ cách vẽ? Đo tính tổng góc tam giác ABC

Hướng dẫn:

a)

Vẽđoạn thẳng BC = 6cm

Vẽđường tròn tâm B bán kính 4cm Vẽđường trịn tâm C bán kính 4cm

Hai đường trịn cắt A Ta có tam giác ABC có BC = 6cm Điểm A thuộc đường tròn (B; 4cm) nên AB = 4cm

Điểm A thuộc đường tròn (C; 4cm) nên AC = 4cm Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện đề

b) Học sinh làm tương tự

Bài 29 Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oy, Oz cho

,

o o

xOy =30 xOz 150= a) Tính yOz

b) Gọi Ox’ làtia đối tia Ox Viết tên cặp góc kề bù hình c) Kẻ Ot tia phân giác gócyOz Có nhận xét xOyvà tOz? Hướng dẫn:

A

a) Xét nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có: xOyxOz (vì o o 30 150 )  Tia Oy nằm hai tia Ox Oz

Khi ta có: xOy yOz+ =xOz hay 30o+yOz 150= o  yOz 120= o b) Các cặp góc kề bù là: (xOy yOx ; ; ') (xOz zOx ; ')

c) Vì Ot tia phân giác gócyOz nên

o o yOz 120

yOt tOz 60

2

= = = =

Vậy tOz=2 xOy

Bài 30 Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oy, Ot cho xOt = 550, xOy= 1100

a) Chứng tỏ Ot tia phân giác góc xOy

b) Gọi Ox’vàOy’ làtia đối hai tia Ox, Oy Tính góc x' Oy ' Kể tên cặp góc kề bù

Hướng dẫn:

a) Xét nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có: xOtxOy (vì o o 55 110 )  Tia Ot nằm hai tia Ox Oy (1)

Khi đó: xOt+tOy =xOy hay 55o +tOy =110o  yOz 55= o

t

x'

z

y

x O

y' y

x'

t

 o xOt=tOy=55 (2)

Từ (1) (2) suy Ot tia phân giác góc xOy b) x' Oy' 110= o

Học sinh tự kể tên cặp góc kề bù

Bài 31 Cho góc kề bù xOt yOt, biết góc o yOt =60 a) Tính sốđo gócxOt

b) Vẽ phân giác Om góc yOt phân giác On góc tOx

Hỏi hai góc mOt tOn có quan hệ gì? Góc mOy góc xOn có quan hệ gì? Hướng dẫn:

a) = o xOt 120

b) Do Om tia phân giác góc yOt nên tOm =yOt

Tương tự On tia phân giác góc xOt nên tOn =xOt Suy 2 mOt tOn( + )=yOt xOt+ =180o

 180o o

mOt tOn 90

2

+ = =

Vậy mOt tOn hai góc phụ

Tương tự ta có góc mOy góc xOnlà hai góc phụ

Bài 32 Cho hai góc kề bù xOy yOt, xOy =40o Gọi Om tia phân

giác yOt a) Tính mOx

n m

x t

b) Trên nửa mặt phẳng khơng chứa tia Oy có bờ đường thẳng chứa tia Ox, vẽ tia On cho xOn=70o Chứng tỏ tia Om tia On hai tia đối nhau.

Hướng dẫn:

a) Ta có xOy yOt+ =180o(Vì góc kề bù) hay 40o+yOt =180o yOt =140o

Ta có: Om tia phân giác tOy nên tOm 1tOy 70o

= =

Vì góc xOy yOt kề bù nên Ox Ot hai tia đối suy tOmvà mOx hai góc kề bù tOm mOx+ =180o hay

mOx

o o o

70 +mOx=180  =110

b) Ta có mOx+xOn 110= o+70o =180o mOx xOnlà hai góc bù (1) Do Om Oy thuộc nửa mp có bờ đường thẳng chứa tia Ox;

Lại có On Oy nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ đường thẳng chứa tia Ox nên Om On nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ đường thẳng chứa tia Ox mOx xOnlà hai góc kề (2)

Từ (1) (2) suy mOx xOnlà hai góc kề bù hay tia Om tia On hai tia đối (đpcm)

Bài 33 Cho điểm M N nằm phía A, nằm phía B Điểm M nằm A B Biết AB = 5cm; AM = 3cm; BN = 1cm Chứng tỏ rằng: a) Bốn điểm A, B, M, N thẳng hàng

b) Điểm N trung điểm đoạn thẳng MB

c) Vẽ đường tròn tâm N qua B đường tròn tâm A qua N, chúng cắt C, tính chu vi CAN

Hướng dẫn:

n m

y

a) Bốn điểm A,B, M, N thẳng hàng chúng nằm đường thẳng MN

b) Vì điểm M nằm A B nên ta có: BM = AB – AM = (cm) M, N  tia AB mà BM > BN (2 cm > cm)  N nằm B M

Do ta có: MN + NB = BM  MN = BM – BN = cm  MN = BN Vậy N đường trung điểm BM (đpcm)

c) Đường tròn tâm N qua B nên CN = NB = cm Đường tròn tâm A qua N nên AC = AN = AM + MN = cm

Vậy chu vi tam giác CAN là: AC + CN + NA = + + = (cm)

Bài 34 Cho đoạn thẳng OO’ = 6cm Vẽcác đường trịn tâm O bán kính 4cm tâm O’ bán kính 3cm chúng cắt A B; cắt đoạn thẳng OO’ M N a) Tính AO, BO, AO’, BO’?

b) N có phải trung điểm đoạn thẳng OO’ khơng? Vì sao? c) Tính MN?

Hướng dẫn:

a) Vì A, B thuộc đường trịn tâm O bán kính 4cm nên AO = BO = 4cm Vì A, B thuộc đường trịn tâm O’ bán kính 3cm nên AO’ = BO’ = 3cm b) Vì N thuộc đường trịn tâm O’ bán kính 3cm nên O’N = 3cm

Lại có N nằm đoạn OO’ nên điểm N nằm hai điểm O O’(1) nên ta có:

' OO '

ON NO+ = hay ON = OO’ –NO’ = – = 3cm Suy ON = NO’

C

N

M B

A

B A

N M O'

Vậy N trung điểm đoạn thẳng OO’ c) MN = 1cm

Bài 35 Trên đoạn thẳng AB = cm lấy điểm M Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho AM = AN

a) Tính độdài đoạn thẳng BN BM = cm

b) Hãy xác định vị trí M (trên đoạn thẳng AB) đểBN có độ dài lớn Hướng dẫn:

Điểm M nằm hai điểm A, B nên MA = AB – MB = – = (cm) Suy AN = AM = 2cm

Điểm A nằm hai điểm N, B nên BN = AN + AB = + = (cm) BN = AN + AB, AB không đổi nên BN lớn AN lớn AN lớn AM lớn

Mà AM lớn AM = AB, M trùng với B BN = cm

Bài 36 Cho đường thẳng xy, O thuộc xy Trên nửa mặt phẳng bờ xy vẽ tia Ot, Oz

sao cho o o

xOt=60 , yOz=45

a) Kể tên cặp góc kề nhau, kề bù có hình vẽ b) Tính xOz,zOt, tOy

Hướng dẫn:

a) Các cặp góc kề là: (xOt tOz ; ; ) (tOz zOy ; ; ) (xOt tOy ; ; ) (xOz zOy ; )

Các cặp góc kề bù là: (xOt tOy ; ; ) (xOz zOy ; )

b) xOz=135o; zOt =75o; tOy =120o

B M A

N

45 60

z t

y

Bài 37 Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy Oz cho

o o

xOy=90 , xOz 120=

a) Trong ba tia Ox, Oy, Oz tia nằm hai tia cịn lại? Tại sao? b) Tính yOz

c) Vẽ tia Ot tia phân giác xOz Tính tOz Hướng dẫn:

a) Trên nửa mặt phẳng bờ Ox ta có xOy xOz(vì 90o 120o) nên tia Oy nằm hai tia Ox Oz

b) Vì tia Oy nằm hai tia Ox Oz nên ta có: xOy yOz+ =xOz

hay o o o

90 +yOz 120= yOz 30= c) = o

tOz 60

Bài 38 Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy Oz cho

o o

xOy=60 , xOz 120=

a) Chứng minh Oy tia phân giác xOz

b) Gọi Ox’ tia đối tia Ox Trên nửa mặt phẳng bờ Ox, vẽ tia Ot cho o

tOy=90 Chứng minh Ot phân giác zOx' Hướng dẫn:

t

z y

x O

t

x'

z y

a) Trên nửa mặt phẳng bờ Ox ta có xOy xOz(vì 60o 120o) nên tia Oy nằm hai tia Ox Oz (1)

Vì tia Oy nằm hai tia Ox Oz nên ta có: xOy yOz+ =xOz hay 60o +yOz 120= o yOz=60osuy xOy =yOz (2)

Từ (1) (2) suy Oy tia phân giác xOz

b) Vì x Oz' zOx hai góc kề bù nên x Oz 180' = o−120o =60o Vì x Oy' yOx hai góc kề bù nên x Oy' =180o−60o =120o Trên nửa mặt phẳng bờ Oy ta có yOtyOx'(vì 90o 120o)

nên tia Ot nằm hai tia Oy Ox’ x Ot' +tOy=x Oy' x Ot' =120o−90o =30o Xét nửa mặt phẳng bờOx’ ta có x Ot' x Oz' (vì o o

30 60 ) nên tia Ot nằm hai tia Ox’ Oz (3)

Vì tia Ot nằm hai tia Ox’ Oz nên x Ot' +tOz=x Oz' tOz=60o−30o =30o Do x Ot' =tOz(4)

Từ (3) (4) suy Ot phân giác zOx'(đpcm) Dạng 5*: Một số tập nâng cao

Bài 39

a) Cho M 3 3 10 11 12 13 14

= + + + + Chứng minh M 2  b) Chứng tỏ N= + + + +1 1 +

2 16 17 không số tự nhiên Hướng dẫn:

a) M= + + + +  + + + +

10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 M 1 = + + + +  + + + +  1520 =

M S

b) Ta có

1 1 1 1 1 1 1 1

N

2 10 11 12 13 14 15 16 17

         

= + + +  + + +  + + +  + + +  + + + 

         

Vì 1 3.1

6 7+ + 8 6=2;

1 1 1

3

9 10 11+ +  9=3;

1 1 1

3

12 13 14+ +  12=4;

1 1

15 16 17+ + 5

Nên N 1 1 1 1 3 2 4

   

  + + +   + + + =

   

Chứng minh tương tự ta có N2

Vậy ta chứng minh N 3  nên N số tự nhiên Bài 40 So sánh hai số sau:

19 18 13 A 13 + =

+

20 19 13 B 13 + = +

Hướng dẫn:

Ta có: ( )

18 19

18 18 18

13 13 12

13 13 12 12

A 13

13 13 13

+ −

+ −

= = = −

+ + +

Tương tự ta có:

20

19 19

13 12

B 13

13 13

+

= = −

+ +

Vì 1318 1319 1812 1912 A B 13 13

+  +    

+ +

Bài 41 Cho phân số: p 6n 3n

+ =

+ (nN)

a) Chứng minh phân số p phân số tối giản

b) Với giá trị n phân số p có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn

Hướng dẫn:

a) Gọi d ước chung 6n+5 3n+2 Ta có (6n d+ ) (3n d+ )

(3n d+ ) 2 3n d( + ) hay (6n d+ )

( )

6n 6n d d d

  + − +    = Vậy phân số p 6n

3n + =

b) Ta có p 6n 6n

3n 3n 3n

+ + +

= = = +

+ + +

Phân số p đạt giá trị lớn

3n 2+ đạt giá trị lớn nhất, 3n+2 đạt giá trị nhỏ

Vì 3n 2+  nên 3n 2+ nhỏ n = Vậy giá trị lớn p

2 n =

Bài 42 Cho phân số = + + 5n A

8n (n ) Với giá trị n A rút gọn được? Hướng dẫn:

A rút gọn (5n 8n 7+ ; + )1 Đặt (5n 8n 7+ ; + )=d

( ) ( )  ; 

5n d

8 5n 8n 13 d d 13 8n d

+ 

  + − + =  

+ 

Để (5n 8n 7+ ; + )1thì d = 13

Khi d =13 5n 13+ 8 5n 6( + )=40n 48+ = (39n 39+ ) (+ n 9+ ) 13 Mà (39n 39 13+ ) (n 13+ )

Suy n có dạng 13k + (kN)

Vậy n số tựnhiên chia 13 dư A rút gọn Bài 43

a) Tìm sốnguyên n để phân số 6n 3n

−

+ có giá trị số nguyên

b) Tìm tất số tựnhiên n để phân số n 13 n

+

− phân số tối giản

Hướng dẫn:

Ta có: 6n 6n 5

3n 3n 3n

− + −

= = −

Để phân số 6n 3n

−

+ có giá trị số nguyên

5

3n 1+ có giá trị số

nguyên

Suy 3n + ước nên 3n 1+  − − 1 5; ; ; 

Xét trường hợp ta tìm n = n = -2 thỏa mãn Thử lại ta thấy n = 0, n = -2

Vậy n =0 n = -2 phân số 6n 3n

−

+ có giá trị số nguyên

b) Ta có: n 13 15 (n 2) n n

+

= + 

− −

Để phân số n 13 n

+

− phân số tối giản phân số

15

n 2− phân số tối giản Khi 15 n – phải hai số ngun tốcùng Vì 15 có hai ước khác 1, khác 15 Từđó suy n – không chia hết cho 3, không chia hết cho Vậy n 3k 2 + n 5k 2 + (k N k , 0)

Bài 44 Tìm x, biết: a)

( )

1 1 101

5.8 8.11 11.14+ + + +x x 3+ =1540

b) ( )

+ + + +

− =

+ + + + +

1 1

1

2 200 x 20

1 198 199 200

199 198 197

Hướng dẫn:

a) Ta có:

( )

+ + + + =

+

3 3 303

5.8 8.11 11.14 x x 1540

1 1 1 1 303

5 8 11 11 14 x x 1540

 − + − + − + + − =

+

1 303

x 311 x 1540

 − =  =

−

b) Ta đặt P 198 199

199 198 197

1 198

P 1 1

199 198 197

       

 = + +  + +  + + + + + 

       

200 200 200 200 200 1 1

P 200

200 199 198 197 200 199 198

 

 = + + + + + =  + + + + 

 

Do đó: ( )

+ + + +

− =

+ + + + +

1 1

1 200

x 20

1 198 199 200

199 198 197

(x 20) 1 x 20 x 21 200 200

 − =  − =  =

Vậy x = 21 Bài 45

1) Tìm cặp số nguyên x, y cho: a) x + = −1

7 14 y b)

y

5

x

−

− =

−

2) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn: 2x 3y+ =14 Hướng dẫn:

1)

a) 2x 1

14 y

+ =

−

(2x 1+ )( )− =y 14

Mà x, y  Z nên 2x +  Z, (- y) Z Suy 2x+1; (-y) ước 14 Mà 2x + số lẻ nên ta có bảng sau:

2x + 1 -1 - -y 14 -14 -2 x -1 -4 y -14 14 -2

2) Xét 2x 5y+ =14

Ta có: 14 2x 2; 5y Do (5,2)=1 nên y Ta có 5y < 14  y2

Mà y số nguyên dương y nên y = Ta có 2x 14+ = 2x=  =4 x

Vậy x=2, y=2 Bài 46

a) Chứng minh (7x 4y 37+ ) (13x 18y 37+ )

b) Tìm n (n 1 ) cho A 3= + + +! ! ! n!+ sốchính phương

Hướng dẫn:

a) Xét hiệu: A =9 7x 4y( + ) (−2 13x 18y+ )=37x  A chia hết cho 37

Vì 7x 4y+ chia hết cho 37 nên 7x 4y( + )chia hết cho 37

( )

2 13x 18y

 + chia hết cho 37, mà (2 37; )=1 suy 13x 18y+ chia hết cho 37 Vậy (7x 4y 37+ ) (13x 18y 37+ )

b)

Với n = ta có A= =1! 12 Với n = ta có A 2= + =! !

Với n = ta có A= + + = =1 3! ! ! 32 Với n = ta có A 4= + + + =! ! ! ! 33 Với n = ta có A 153=

Với n = ta có A=873

Nhận xét: với n 5 5!, 6!,….,n! tận Suy

! ! !

0

A 33 6= + + + +n =

A khơng phải sốchính phương (đpcm) Vậy n = n =3

Hướng dẫn:

- Vì a chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư nên ta có:

(a 3− ) (, a 5− ) (, a 7− )

Suy (a 3+ ) (, a 5+ ) (, a 7+ )

Suy (a 51 3+ + ) (, a 50 5+ + ) (, a 49 7+ + ) Suy (a 52 3+ ) (, a 52 5+ ) (, a 52 7+ )

Vậy a + 52  BC(3; 5; 7) (a 52 105+ ) Suy a 52 105k+ = (k = 1, 2, 3,…)

Lần lượt thửk = 1, 2, 3,… mà a số tự nhiên nhỏ nên với k = ta được: a = 105 – 52 = 53

Vậy a = 53 số cần tìm Bài 48 Cho phân số A 2019

x 49

=

− Tìm x để:

a) A có giá trị lớn b) A có giá trị nhỏ Hướng dẫn:

Điều kiện x 49

a) Nếu x < 49 x – 49 < 0, ta có A 0

Nếu x > 49 x – 49 > Vì x nên x 49−  x 49 1−  Khi A 2019 2019

x 49

= 

−

A = 2019 x – 49 =1  x = 50

Vậy A có giá trị lớn 2019 x = 50 b) Nếu x > 49 x – 49 > 0, ta có A0

Nếu x < 49 49 – x > Vì x nên 49 x−  49 x 1−  Khi A 2019 2019 2019

x 49 49 x −

= =  −

− −

Bài 49 Chứng minh rằng: Tồn n > cho (25n −1 101) Hướng dẫn:

Xét 102 số: a1 =251 −1; a2 =252−1;…; a102 =25102−1

Theo nguyên lý Dirichlet, 102 số chia cho 101 tồn số có sốdư Giả sử số a a sm; n ốdư chia cho 101 (m>n)

( ) ( m ) ( n )

m n

a −a 101 25 − −1 25 −1  101

(25m 25n) 101 25 25n( m n− 1 101)

 −  −

Vì (25 101n, )=1 nên (25m n− −1 101) (đpcm) Bài 50 Cho A =

100

1 1 1

1

2 4 2 1

+ + + + +

− Chứng minh 50 < A < 100

Hướng dẫn:

2 99 100

1 1 1 1 1 1

A

2 15 2

       

= + +  + + + +  + + + + + + + + 

−

       

Ta thấy 1 1 1.2 2 2+  + = ;

2 2 2

1 1 1 1 1

2 + + + 2 +2 +2 +2 =2

Làm tương tự với ngoặc cịn lại ta có:

2 99

2 99

100

1 1

A 2 1 100

2 2

 + + + + + = + + + + =

Vậy A<100 (1) Mặt khác,

99 100 100 100

1 1 1 1 1 1

A

2 2 2

     

= + + +  + + + + + + + + + −

+ −

     

Ta thấy

2

1 1 1

1 1 13 8+ + +  =2

Làm tương tự với ngoặc lại ta có:

100 100

100

1 1 1 1 1

A 1 50 1 50

2 2 2 2 2

 + + + + − = + − 

Vậy A> 50 (2)