Bài tập tự học khối 11

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nhân với một số không đổi q.. Số[r]

CHỦ ĐỀ 3: DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Phương pháp quy nạp toán học

A LÝ THUYẾT

Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số nguyên dương n với n mà thử trực tiếp làm sau:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n1.

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n k 1 (gọi giả thiết quy nạp) Bằng kiến thức biết giả thiết quy nạp, chứng minh mệnh đề với n k 1. B CÁC BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH

Ví dụ 1. Với mối số nguyên dương n, đặt S1222 n2 Mệnh đề đúng? A.

( 1)( 2)

n n n

S   

B.

( 1)(2 1)

n n n

S   

C.

( 1)(2 1)

n n n

S   

D.

( 1)(2 1)

n n n

S   

Đáp án C.

Lời giải

Cách 1:Chúng ta chứng minh phương pháp quy nạp toán học n *, ta có đẳng

thức

2 2 ( 1)(2 1)

1

6

n n n

n  

    

- Bước 1: Với n1 vế trái 12 1, vế phải

1(1 1)(2.1 1)

 



Vậy đẳng thức với n1.

-Bước 2: Giả sử đẳng thức với n k 1, tức chứng minh

   

2 2 2 ( 1) ( 1) 2( 1) ( 1)( 2)(2 3)

1 ( 1)

6

k k k k k k

k k        

       

Ta phải chứng minh đẳng thức với n k 1, tức chứng minh

   

2 2 2 ( 1) ( 1) 2( 1) ( 1)( 2)(2 3)

1 ( 1)

6

k k k k k k

k k        

       

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có

2 2 2 ( 1)( 1)(2 1)

1 ( 1) ( 1)

6

k k k

k k    k

        

Mà

2

( 1)( 1)(2 1) ( 1)(2 1) 6( 1) ( 1)( 2)(2 3)

( 1)

6 6

k k k k k k k k k k

k

         

   

Suy

2 2 2 ( 1)( 2)(2 3)

1 ( 1)

6

k k k

k k   

      

Do đẳng thức với n k 1 Suy có điều phải chứng minh. Vậy phương án C

Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai phương án đến tìm phương án thông qua số giá trị cụ thể n

+ Với n1 S  12 1 (loại phương án B D);

+ Với n2thì S  12 22 5 (loại phương án A).

Vậy phương án C

Ngồi kết nêu ví dụ 1, đề cập đến kết tương tự sau: 1)

( 1)

1

2 n n

n 

   

2)

2

3 3 ( 1)

1

4 n n

n 

   

3)

2

4 4 ( 1)(2 1)(3 1)

1

30

n n n n n

n    

   

4)

2 2

5 5 ( 1) (2 1)

1

12

n n n n

n   

   

5)

( 1)( 2)( 3)

1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2)

4

n n n n

n n n   

     

Nhận xét: Từ ví dụ tập phần nhận xét, ta thấy bậc vế trái nhỏ bậc vế phải đơn vị Lưu ý điều tính tổng dạng luỹ thừa dựa vào phương pháp hệ số bất định Từ kết ví dụ này, hồn tồn đề xuất câu hỏi trắc nghiệm sau đây:

Câu 1. Với số nguyên ,n đặt S 12 22  n2. Mệnh đề sai?

A.  

3

1

2

6

S  n  n n

B.      

3

1

1

6

S   n  n   n  n

  .

C.      

3

1

2

6

S   n  n n  n 

 . D.

 1 2 1

6

n n n

S   

Câu 2. Với số nguyên dương ,n ta có 1222 n2 an3bn2cn, , , a b c số Tính giá trị biểu thức M ab2bc2ca2

A. M 25. B.

25 216 M 

C.

25 M 

D. M 23.

Câu 3. Tìm tất số nguyên dương ,n để 12 22 n2 2017.

A. n18. B. n20. C. n17. D. n19.

Câu 4. Tính tổng S tất số nguyên dương ,n thoả mãn 1222 n2 2018.

A. S 153. B. S 171. C. S 136. D. S 190.

Ví dụ 2. Đặt Tn  2 2   (có n dấu căn) Mệnh đề mệnh đề đúng? A Tn  3. B Tn cos2n







C Tn cos2n







D Tn  5. Đáp án B.

Lời giải Ta chứng minh Tn 2cos2n







phương pháp quy nạp toán học Thật vậy: Bước 1: Với n1 vế trái 2, vế phải 2 cos21 cos4

 

  

Bước 2: Giả sử đẳng thức với n k 1, nghĩa Tk cos2k 





Ta phải chứng minh đẳng thức với n k 1, tức chứng minh Tk 2cos2k



  

Thật vậy, Tk1  2Tk nên theo giả thiết quy nạp ta có 1

2 2cos

k k k

T  T   

Mặt khác,

2

1 2

1 cos cos 2 cos

2k 2k 2k

  

  

 

    

  nên

2

1 2.2 cos 2 2 cos2

k k k

T    

Vậy phương án B

STUDY TIP

Ngoài cách làm trên, ta làm theo cách sau: kiểm tra tính – sai phương án đến tìm phương án thơng qua số giá trị cụ thể n

+ Với n1 T1 (loại phương án A, C D)

Nhận xét: Từ kết ví dụ 2, đề xuất câu hỏi đây:

Câu 1. Đặt Tn  2 2   (có n dấu căn) Tìm n để

511 2sin

1024 n

T  

A n10. B n9. C n11. D n8. Câu 2. Cho dãy số  un xác định u1 

*

1 ,

n n

u   u   n

Số hạng tổng quát dãy số  un là:

A un 2sin2n







B un cos2n







C un cos2n







D un sin2n







Ví dụ 3. Đặt

1 1

1.3 3.5 (2 1)(2 1) n

S

n n

   

  ,với n *.Mệnh đề đúng? A. 2(2 1) n n S n  

 . B

3 n n S n  

 . C n

n S

n



 . D

2 n n S n    .

Đáp án C

Lời giải

Cách 1: Rút gọn biểu thức Sn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện. Với số nguyên dươngk, ta có

1 1

(2k 1)(2k 1) 2k 2k

 

   

     .

Do đó:

1 1 1

1

2 3 2 n S n n                11 22121 n nn   . Vậy phương án phương án C

Cách 2: Kiểm tra tính – sai phương án dựa vào số giá trị cụ thể n. Với n1thì

1

1.3

S  

(chưa loại phương án nào); Với n2

1

1.3 3.5

S   

Nhận xét: Từ kết ví dụ này,chúng ta hồn tồn trả lời câu hỏi trắc nghiệm sau đây:

Câu 1. Với n *,biết

1 1

1.3 3.5 (2 1)(2 1)

an b

n n cn



   

   Trong , ,a b c số

nguyên Tính giá trị biểu thức P a 2b3c4.

A P17. B P10. C P9. D P19.

Câu 2. Với n *,biết

1 1

1.3 3.5 (2 1)(2 1) an b

n n n c



   

   Trong , ,a b c số

nguyên.Tính giá trị biểu thức   

2 2

T  a b c a  b c

A T 40. B T 4. C T 32. D T 16.

Câu 3. Biết  

2

1 1

1.3 3.5 (2 1)(2 1)

an bn c

n n n

 

   

  

,trong n * a b c, , số

nguyên Tính giá trị biểu thức   a c

F a b 

 

A F9. B F 6. C F 8. D F 27.

Câu 4. Tính tổng S tất số nguyên dương n thỏa mãn bất phương trình

1 1 17

1.3 3.5  (2n1)(2n1)35

A S 153. B S 136. C S272. D S 306.

Ví dụ 4. Tìm tất số nguyên dương n cho 2n1n2 3 n

A. n3. B. n5. C. n6. D. n4.

Đáp án D

Lời giải

Kiểm tra tính – sai bất đẳng thức với trường hợp n1, 2,3, 4, ta dự đoán

1

2n n ,n

  với n4. Ta chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp toán

học Thật vây:

-Bước 1: Với n4 vế trái 24 1 25 32, vế phải 423.4 28.

Do 32 28 nên bất đẳng thức với n4

-Bước 2: Giả sử đẳng thức với n k 4, nghĩa 2k1k2 3 k

Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n k 1, tức phải chứng minh

 

 2  

1

2k

k k

 

   

hay 2k2 k25k4

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2k1k2 3 k

Suy  

1

2.2k k 3k

 

hay 2k2 2k26k

Mặt khác  

2 2

2k 6k k 5k4 k  k 4  4 16

với k4

Do  

2 2

2k

k k k k



    

hay bất đẳng thức với n k 1 Suy bất đẳng thức chứng minh

STUDY TIP Dựa vào kết ví dụ 4, ta đề xuất tốn sau:

Tìm số nguyên tố p nhỏ cho: 2n1n23 ,n n p n,  *

A. p3 B. p5 C. p4 D. p7

C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

Câu 1. Tổng S góc đa giác lồi n cạnh, n3, là:

A S n 180. B S n 180 .

C S n1 180  D S n 180 

Câu 2. Với n *, rút gọn biểu thức S 1.4 2.7 3.10    n n3 1

A S n n 12 B S n n 22 C S n n  1 D S 2n n 1

Câu 3. Kí hiệu k!k k 1 2.1,   k * Với n *, đặt Sn 1.1! 2.2!   n n ! Mệnh đề nào đúng?

A Sn 2 !n B Sn n1 ! 1  . C Sn n1 ! D Sn n1 ! 1 

Câu 4. Với n *, đặt  

2

2 2

1 n

T      n và Mn 224262 2n2 Mệnh đề dưới

đây đúng? A

4 2 n

n

T n

M n

 

 . B

4 n

n

T n

M n

 

 . C

8 1 n

n

T n

M n

 

 . D

2 1 n

n

T n

M n

 

 .

Câu 5. Tìm số nguyên dương p nhỏ để 2n 2n1 với số nguyên np.

A. p5 B p3. C p4 D p2

Câu 6. Tìm tất giá trị n *sao cho 2n n2

A.n5. B n1 n6. Cn7. D n1 n5.

Câu 7. Với số nguyên dương n, ta có:    

1 1

2.5 5.8 3

an b

n n cn



   

   , a b c, , là

các số nguyên Tính giá trị biểu thức T ab2bc2ca2

A T 3. B T 6. C T 43. D T 42.

Câu 8. Với số nguyên dương n2, ta có:

1 1

1

4

an

n bn



     

   

     

      , a b, các

số nguyên Tính giá trị biểu thức T a2b2

A P5. B P9. C P20. D P36.

Câu 9. Biết 1323 n3an4bn3cn2dn e , n  * Tính giá trị biểu thức M    a b c d e .

A M 4. B M 1. C

1 M 

D

1 M 

.

Câu 10. Biết số nguyên dương n, ta có 1.2 2.3   n n 1 a n1 3b n1 2c n d1 

 

2 2

1.2 2.5 3.8    n n3 1 a n b n c n d . Tính giá trị biểu thức

1 2 2

T a a b b c c d d .

A T 2. B T 1. C

4 M 

D

2 T 

Câu 11. Biết 1k2k  nk, n k, số nguyên dương Xét mệnh đề sau:

 

1

1 n n

S  

,

   

2

1

n n n

S   

,

 2

2

1 n n

S  

    

4

1 3 30

n n n n n

S     

Số mệnh đề mệnh đề nói là:

A.4. B 1. C 2 D 3.

Câu 12. Với n *, ta xét mệnh đề P:"7n 5chia hết cho 2"; :"7Q n5chia hết cho 3"

:"7n

Q  chia hết cho 6" Số mệnh đề mệnh đề :

A.3. B 0. C 1. D 2.

Câu 13. Xét toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức n2n1” Một học sinh đã trình bày lời giải tốn bước sau:

Bước 1: Với n1, ta có: ! 1! 1n   2n1 21 1 20

   Vậy n! 2 n1 đúng. Bước : Giả sử bất đẳng thức với n k 1, tức ta có k! 2k1



Ta cần chứng minh bất đẳng thức với n k 1, nghĩa phải chứng minh k1 ! 2  k.

Bước : Ta có k1 ! k 1 ! 2.2 k  k12k Vậy n! 2 n1 với số nguyên dương n.

Chứng minh hay sai, sai sai từ bước ?

A Đúng. B Sai từ bước 2. C Sai từ bước 1. D Sai từ bước 3.

Câu 14. Biết    

2

1 1

1.2.3 2.3.4 16

an bn

n n n cn dn



   

    , a b c d, , , n số nguyên dương Tính giá trị biểu thức T a c b d    

là :

A.T 75. B T 364. C T 300. D T 256.

D HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. Đáp án B.

Cách 1: Từ tổng góc tam giác 180 tổng góc từ giác 360,

chúng ta dự đoán S n 180 

Cách 2: Thử với trường hợp biết để kiểm nghiệm tính –sai từ công thức Cụ thể với n3 S 180 (loại ln phương án A, C D); với n4 S 360

(kiểm nghiệm phương án B lần nữa)

Câu 2. Đáp án A.

Để chọn S đúng, dựa vào ba cách sau đây: Cách 1: Kiểm tra tính –sai phương án với giá trị n

Với n1 S1.4 4 (loại phương án B C); với n2 S 1.4 2.7 18 

(loại phương án D)

Cách 3: Ta tính S dựa vào tổng biết kết

 1

1

2 n n

n 

   

   

2 2

1

6

n n n

n  

   

Ta có: S 3 1 222 n21   n n n 12

Câu 3. Đáp án B.

Chúng ta chọn phương án dựa vào hai cách sau đây: Cách 1: Kiểm nghiệm phương án giá trị cụ thể n Với n1 S11.1! 1 (Loại phương án A, C, D).

Cách 2: Rút gọn Sn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện

     

! 1 ! ! ! ! !

k k  k  k  k k k  k  k Suy ra:

2! 1! 3! 2!   ! !  ! 1

n

S       n  n  n  .

Câu 4. Đáp án A.

Chúng ta chọn phương án dựa vào hai cách sau đây: Cách 1: Kiểm nghiệm phương án giá trị cụ thể n Với n1 T1 12 22 5;M122 4nên

1

5 T

M  (loại phương án B, C, D). Cách 2: Chúng ta tính ,T Mn n dựa vào tổng biết kết Cụ thể dựa vào ví dụ 1:

       

2 2

;

6

n n

n n n n n n

T    M   

Suy

4 2 n

n

T n

M n

 



Câu 5. Đáp án B.

Dễ thấy p2thì bất đẳng thức 2p 2p1 sai nên loại phương án D

Xét với p3 ta thấy 2p 2p1 bất đửng thức Bằng phương pháp quy nạp toán học chứng minh 2n 2n1 với n3 Vậy p3 số nguyên dương nhỏ cần tìm

Câu 6. Đáp án D

Kiểm tra với n1 ta thấy bất đẳng thức nên loại phương án A C.

Kiểm tra với n1 ta thấy bất đẳng thức Bằng phương pháp quy nạp toán học

chứng minh 2n n2, n

Câu 7. Đáp án B.

Cách 1: Với ý    

1 1

3k 3k 3k 3k

 

   

     , có:

   

1 1 1 1 1

2.5 5.8 3n 3n 5 3n 3n

 

           

     

=  

1

3

n n

n  n .

Đối chiếu với đẳng thức cho, ta có: a1,b0,c6 Suy T ab2bc2ca2 6.

Cách 2: Cho n1,n2,n3 ta được:

1 3

; ;

4 10 22

a b a b x b

c c c

  

  

   .

Câu 8. Đáp án C

Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có:

1 1

1 k k

k k k

   

Suy

2

1 1

1

4 n

     

  

     

     

1 1 2

2 3 2

n n n n

n n n n

   

  

Đối chiếu với đẳng thức cho ta có: a2,b4 Suy P a 2b2 20. Cách 2: Cho n2,n3 ta

1 3 2 ;

4 3

a a

b b

 

 

Giải hệ phương trình trren ta 2;

a b Suy 2

20 P a b  .

Câu 9. Đáp án B

Cách 1: Sử dụng kết biết:

 2

2

3 3

1

4

n n n n n

n   

    

So sánh cách hệ số, ta

1 1

; ; ;

4

a b c d e 

Cách 2: Cho n1,n2,n3,n4,n5, ta hệ phương trình ẩn a b c d e, , , , Giải hệ phương trình đó, ta tìm

1 1

; ; ;

4

a b c d e 

Suy M      a b c d e 1.

Câu 10. Đáp án C

Cách 1: Sử dụng tổng lũy thừa bậc bậc ta có:

+)      

2 2 2

1.2 2.3 1

3

n n n n n n n

               .

Suy 1 1

1

; 1; ;

3

a  b  c  d 

+) 1.2 2.5 3.8    n n3 13 1 222 n2 1   n n3n2

Suy a2 b2 1;c2 d2 0.

Do 2 2 T a a b b c c d d 

Cách 2: Cho n1,n2,n3,n4 sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta tìm

1 1

1

; 1; ;

3

a  b  c  d 

; a2 b2 1;c2 d2 0.

Do 2 2 T a a b b c c d d 

Câu 11. Đáp án D.

Bằng kết biết ví dụ 1, thấy có

 2

2

1 n n

S  

sai

Câu 12. Đáp án A

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh 7n 5 chia hết cho 6. Thật vậy: Với n1 71 5 12 6 .

Ta chứng minh mệnh đề với n k 1, nghĩa phỉa chứng minh 7k1

 chia hết cho 6. Ta có: 7k1 5 7 k5 30

Theo giả thiết quy nạp 7k 5 chia hết 7k1 5 7 k 5 30 chia hết cho

6

Vậy 7n5 chia hết cho với n1 Do mệnh đề P Q đúng.

Câu 13. Đáp án A

Câu 14. Đáp án C

Phân tích phần tử đại diện, ta có:          

1 1

1 2 1

k k k k k k k

 

   

       .

Suy ra:    

1 1

1.2.3 2.3.4  n n1 n2

     

1 1 1 1

2 1.2 2.3 2.3 3.4 n n n n

 

        

  

 

   

1 1

2 n n

 

   

 

  =

2

2

3

4 12 8 24 16

n n n n

n n n n

 



    .

Đối chiếu với hệ số, ta được: a2;b6;c8;d 24 Suy ra: T a c b d    300

DÃY SỐ

A LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa:

Một hàm số u xác định tập hợp số nguyên dương * gọi dãy số vô hạn (hay gọi tắt dãy số)

Người ta thường viết dãy số dạng khai triển u u1, , , , ,2 un un u n  viết tắt  un

Số hạng u1 gọi số hạng đầu, un số hạng tổng quát (số hạng thứ n) dãy số 2 Các cách cho dãy số:

Người ta thường cho dãy số cách đây: - Cách 1: Cho dãy số công thức số hạng tổng quát

Ví dụ 1. Cho dãy số  xn với n 3n n x  

Dãy số cho cách có ưu điểm xác định số hạng bất kỳ

của dãy số Chẳng hạn, 10 11

10 10 177147

x  

. - Cách 2: Cho dãy số phương pháp truy hồi

Ví dụ 2. Cho dãy số  an xác định a11 an13an  7, n

Ví dụ 3. Cho dãy số  bn xác định

1

2

1,

4 ,

n n n

b b

b b b n

 

 

   

 .

số cần phải tích số hạng trước phải tìm cơng thức tính số hạng tổng qt dãy số

- Cách 3: Cho dãy số phương pháp mô tả diễn đạt lời cách xác định số hẩng dãy số

Ví dụ 4. Cho dãy số  un gồm số nguyên tố.

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có cạnh Trên cạnh BC, ta lấy điểm A1 cho CA1 1 Gọi

B hình chiếu A1 CA, C1 hình chiếu B1 AB, A2 hình chiếu C1 BC, B2 hình chiếu A2 CA,… tiếp tục thế, Xét dãy số  un với

n n

u CA .

3 Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số hằng:

Dãy số  un gọi dãy số tăng ta có un1un với n * Dãy số  un gọi dãy số giảm ta có un1un với n *

Dãy số  un gọi dãy số (hoặc dãy số khơng đổi) ta có un1 un với

*

n  .

Ví dụ 6. a) Cho dãy số  xn với xn n2  2n3 dãy số tăng. Chứng minh: Ta có    

2

1

n

x  n  n  n  .

Suy    

2

1 2 0,

n n

x   x  n   n  n  n   n hay xn1 xn, n 1 Vậy  xn dãy số tăng.

b) Dãy số  yn với

2

n n

n y  

dãy số giảm Chứng minh:

Cách 1: Ta có 1

n n

n

y  

 

Suy 1

3

0,

5 5

n n n n n

n n n

y  y   n

  

      

hay

1 ,

n n

y  y  n .Vậy  yn dãy số giảm.

Cách 2: Với   n *, ta có yn 0nên ta xét tỉ số

1

n n y

y



Ta có 1

3

n n

n

y  

 

nên  

1 1, 1

5

n n

y n

n

y n

     



Vậy  yn dãy số giảm. c) Dãy số zn với z  1

n

n   dãy số tăng dãy số

giảm      

1

1 1

n n n

n n

z z 

        không xác định dương hay âm Đây dãy

số đan dấu

STUDY TIP

Để chứng minh dãy số  bn dãy số giảm dãy số tăng, thường sử dụng một hướng sau đây:

(1): Lập hiệu un un1 un Sử dụng biến đổi đại sốvà kết biết để

n u

(2): Nếu un 0, n 1thì ta lập tỉ số

1

n n

n u T

u





Sử dụng biến đổi đại số kết biết để Tn 1 (dãy số tăng),Tn 1(dãy số giảm)

4 Dãy số bị chặn

Dãy số  un được gọi bị chặn tồn số M cho um M,  n *. Dãy số  un được gọi bị chặn tồn số m cho um m n,  *

Dãy số  un được gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số M ,m cho m u m M,  n *

Ví dụ 7:

a) Dãy số  an với

3 1

2017sin n

n

a   

là dãy số bị chặn 2017an 2017,  n *

b) Dãy số  bn với

2 3 n

n b

n  

 dãy số bị chặn

*

2

1,

3bn    n . c) Dãy số  cn với cn 3n 7 n1bị chặn an 49,  n *. d) Dãy số  dn với dn  6   (n dấu căn), bị chặn

*

3, n

d    n . STUDY TIP

1) Nếu  un là dãy số giảm bị chặn u1.

2) Nếu  un là dãy số tăng bị chặn u1.

B Các tốn điển hình

Câu 5. Cho dãy số  an xác định n 2017sin 2018cos

n n

a    

Mệnh đề mệnh đề đúng?

A an6 an,  n * B

*

9 ,

n n

a  a   n

C an12 an,  n * D

*

15 ,

n n

a  a   n . Đáp án C

Lời giải Kiểm tra phương án đến tìm đáp án + Ta có

   

6

6

2017sin 2018cos 2017 sin 2018cos

2 3

n n

n n n n

a            a

+ Ta có

   

6

9

2017sin 2018cos 2017sin 2018cos

2 3

n n

n n n n

a            a

+ Ta có

   

12

12 12

2017sin 2018cos 2017sin 2018cos

2 3

n n

n n n n

a            a

+ Ta có

   

15

15 15

2017sin 2018cos 2017 sin 2018cos

2 3

n n

n n n n

a            a

Nhận xét: Từ kết ví dụ này, trả lời câu hỏi trắc nghiệm sau đây

Cho dãy số  an xác định n 2017sin 2018cos

n n

a    

Hãy chọn phương án trả lời câu hỏi sau đây:

Câu 1: Tìm số nguyên dương p nhỏ để

*

, n p p

a  a   n

Câu 2: Số hạng thứ 2017 dãy số số hạng đây?

A. 3026 B.2017 1009 3 . C. 2017 1009 3  . D.3026. Câu 6. Cho dãy số  an xác định

2 *

1

3

1; 1,

2

n n n

a  a   a  a    n

Số hạng thứ 201 dãy số  an có giá trị bao nhiêu?

A a20182. B a2018 1. C a20180. D a2018 5.

Đáp án A

Lời giải

Nhận thấy dãy số dãy số cho công thức truy hồi Ta có a11;a2 2;a3 0;a4 1;a2 2;a6  0; 1.

Từ dự đốn an3 an,  n * Chúng ta khẳng định dự đốn phương pháp quy nạp tốn học Thật vậy:

Với n1 a1 1 a4 1 Vậy đẳng thức với n1.

Giả sử đẳng thức với n k 1, nghĩa k k a  a .

Ta phải chứng minh đẳng thức với n k 1, nghĩa chứng minh ak4 ak1

Thật vậy, ta có

2

4 3

3

1

2

k k k

a   a   a  

(theo hệ thức truy hồi) Theo giả thiết quy nạp ak3ak nên

2

4

3

1

2

k k k k

a   a  a  a 

Vậy đẳng thức với n k 1 Suy an3 an,  n *

Từ kết phần trên, ta có : mpmod3 am ap. Ta có 2018 mod 3   nên a2018 2.

Vậy phương án A

Nhận xét: Việc chứng minh hệ thức an3 an,  n *giúp ta giải tốn tính tổng xác định số hạng tùy ý dãy số Vì vậy, việc phát tính chất đặc biệt dãy số giúp giải yêu cầu liên quan đến dãy số cách thuận lợi dễ dàng Chúngta kiểm nghiệm qua câu hỏi trắc nghiệm khách quan dưới nhé:

Cho dãy số an xác định

2 *

1

3

1; 1,

2

n n n

a  a   a  a    n

Hãy chọn phương án trả lời câu hỏi sau đây:

Câu 1. Tính tổng S sáu số hạng dãy  an

Câu 2. Tìm số nguyên dương p nhỏ để an p ap,  n *

A p9. B p2. C p6. D p3.

Câu 3. Tính tổng S 2018 số hạng dãy  an

A S 2016. B S 2019. C S 2017. D S 2018.

Câu 4. Tính tổng bình thường 2018 số hạng dãy  an

A S 3360. B S 3361. C S 3364. D S 3365.

Câu 7. Cho dãy số  an xác định

2 *

1 1; n n 1,

a  a   a    n

Tìm số hạng tổng quát dãy số  an .

A an  2. B an  2n1. C an  3n 2. D an  n.

Đáp án D

Lời giải Ta có a2  2;a3  3;a4  4;a5  5.

Từ số hạng đầu dãy ta dự đoán an  n Bằng phương pháp quy nạp toán học chứng minh an  n Vậy phương án D

Nhận xét: Với kết ví dụ này, đề xuất câu hỏi trắc nghiệm đây:

Cho dãy số  an xác định

2 *

1 1; n n 1,

a  a   a    n

Hãy chọn phương án trả lời trong câu hỏi sau đây:

Câu 1. Rút gọn biểu thức 2

1 1

,

n

n n

s n

a a a a a a

    

   ta được

A Sn  n1. B Sn  n1. C n

n S

n



 . D n

n S

n



 .

Câu 2. Mệnh đề

A Dãy số an là dãy số giảm. B Dãy số an không dãy số giảm.

C Dãy số an là dãy số tăng. D Dãy số an không dãy số tăng.

Câu 3. Rút gọn biểu thức Sn a12a22 an2

A Sn n n 1. B Sn n n 1. C

 1

2 n

n n

S  

D

 1

2 n

n n

S  

STUDY TIP

Ngồi cách làm bên, ta kiểm tra phương án đến tìm phương án thông qua việc xác định vài số hạng đầu dãy

+ Với a1 1 loại phương án A.

+Ta có a2  2 loại phương án B C.

Câu 8. Cho dãy số  an có tổng n số hạng Sn n3 Mệnh đề đúng?

B  an là dãy số giảm an 3n23n1

C  an là dãy số tăng an 3n23n1.

D  an là dãy số tăng an 3n2 3n1

Đáp án A.

Lời giải

Ta có a1 a2 an Sn n3và  

3

1 n n 1

a a  a  S   n

Suy  

3

3

1 3

n n n

a S  S  n  n  n  n Ta có an 3n2 3n1    

2 2

1 3 1

n

a   n  n   n  n Do an an1 6n1 0,   n *

Dấu xảy n 1 0 hay n1 suy dãy số  an là dãy số tăng. Vậy phương án A

Câu 9. Cho dãy số  an xác định a1 1;an1 3an10,  n * Tìm số hạng thứ 15 dãy số  an .

A a1528697809. B a1528697814. C a15 9565933. D a15 86093437.

Đáp án A

Lời giải

Chúng ta tìm cơng thức xác định số hạng tổng quát dãy số  an . Đặt bn an5 bn1an15

Từ hệ thức truy hồi an1 3an10,  n * suy bn1 3 bn  510 bn1 3bn

Như ta có b1 a1 5 6;bn13bn Ta có b2 3b1 ;

2

3 3

b  b  b b43 3b3 33b1 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được 1, *

n n

b  b n

    , suy an 2.3n 5,  n * Do a15 28697809 Vậy suy ra

phương án A

STUDY TIP Dãy số  an xác định a1 1;an1 qand,  n *

-Nếu q1 số hạng tổng quát dãy số  an

 1

1

1 n n

n

d q

a aq

q



 

 

 .

-Nếu q1 số hạng tổng quát dãy số  an an  a n1d.

Cho dãy số  an xác định an13an10,  n * Hãy chọn phương án trả lời câu hỏi sau

A 13, 49,157. B 49, 481, 4369. C 49,157,1453. D 49,1453, 4369.

Câu 2. Tìm số hạng tổng quát dãy số  an .

A an 2.3n 5. B

1

2.3   n  n

a . C an 2.3n 5. D 2.3 5 n n

a .

Câu 3. Số 2324522929 có số hạng dãy số  an không, có số hạng thứ bao nhiêu?

A Khơng B Có, 18 C Có, 19 D Có, 20

Câu 4.  an dãy số:

A Giảm bị chặn B Tăng bị chặn

C Tăng bị chặn D Giảm bị chặn

Ví dụ 6. Cho dãy số  an xác định a15,a2 0 an2 an16 ,an  n 1 Số hạng thứ 14 dãy số hạng nào?

A. 3164070. B 9516786. C 1050594. D 9615090. Đáp án A

Lời giải

+ Ta có an2 an16 ,an   n an22an1 3an12an, n 1. Do ta có b1a22a110 bn13 ,bn  n 1.

Từ hệ thức truy hồi dãy số  bn , ta có b2 3 ;b b1 3b2 32b b1; 3b3 33b1

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng:

1

1

3  10.3 ,  n  n   n

b b n .

+ Ta có an2 an16 ,an   n an2 3an12an1 3an, n 1. Do ta có: c1 a2 3a115 cn12 ,cn  n

Từ hệ thức truy hồi dãy số  cn , ta có    

2

2 2 ;1  2 1;  2

c c c c c c .

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng:

 2 1 15 2  1,

 

  n   n   n

c c n

+ Từ kết trên, ta có hệ phương trình:

   

1

1 1

1

2 10.3

2.3 3 15



  

 

  



   



  

 

n

n n n n

n n

n n

a a

a

a a

Do số hạng tổng quát dãy số  an  

1

2.3  ,  n   n   n

a n .

Vậy suy a14 3164070 Vậy phương án A.

Nhận xét: Với kết ví dụ này, trả lời câu hỏi trắc nghiệm khách quan đây:

Cho dãy số  an xác định a15;a2 0 an2 an16 ,an  n Hãy chọn phương án trả lời câu hỏi sau

Câu 1. Tính số hạng thứ năm dãy số  an .

A a5 210. B a5 66. C a5 36. D a5 360.

A   1

2.3  

 n   n n

a . B an 2.3n 3 2 n.

C an 2.3n1 3.2n1. D 2.3  3.2

n n

n

a .

STUDY TIP

Dãy số  an xác định a1 a a, b an2 .an1.an, với n1, phương trình t2t  0 có hai nghiệm phân biệt t1 t2 Khi số hạng tổng quát dãy số

 an 1 2

 

 n  n n

a m t m t , m m1, 2 thỏa mãn hệ phương trình

1

1 2

 

 

 



m m a

m t m t b.

Ví dụ 7. Cho dãy số  an xác định a13

2

1 4, *

       

n n

a a n n n Số 1391 số hạng thứ dãy số cho?

A 18. B 17. C 20. D 19

Đáp án A.

Lời giải Từ hệ thức truy hồi dãy số  an ta có:

     

3

2

2

1

6 17 21

1

3

  

 

               

 

n n

n n n

a a n n n a

Suy số hạng tổng quát dãy số  an

3 6 17 21

3

  



n

n n n

a

Giải phương trình an 1391 ta n18

Vậy phương án A

STUDY TIP

Dãy số  an xác định a1 a an1anf n , n 1.

Số hạng tổng quát dãy số  an tính theo cơng thức:  

1

1





  n n

i

a a f i

Ví dụ 8. Cho dãy số  an xác định a12  

1

1 ,

    

n n

a a n

Mệnh đề đúng?

A  an dãy số giảm bị chặn.

B  an dãy số tăng bị chặn.

C  an dãy số giảm không bị chặn dưới.

D  an dãy số tăng không bị chặn trên. Đáp án A

Lời giải

Ta có

3

2

2

    

a a a

Do ta loại phương án B D

+ Ta có  

1

1

 

 an an

nên  1 1 1

1

0, *

2

           

n n n n n

a a a a a a n

Suy an1an, n nên  an dãy số giảm

+ Vì  an dãy số giảm nên dãy số bị chặn a1 2.

Ta có   1

1 0, 1,

2  an an  an    n an   n Vậy phương án A

C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

Dạng 1: Bài tập xác định số hạng dãy số

Câu 1. Cho dãy số  xn có

2 , *             n n n x n

n Mệnh đề ?

A 1           n n n x

n . B

2          n n n x

n C

2          n n n x

n D

2 1 1           n n n x n .

Câu 2. Cho dãy số  yn xác định

2 sin cos     n n n y

Bốn số hạng đầu dãy số là:

A

1 0, , ,

2  2. B

1 1, , ,

2 2. C

1 3 1, , ,

2 2. D

1 1 0, , ,

2  2.

Câu 3. Cho dãy số  yn xác định y1y2 1 yn2 yn1yn,  n * Năm số hạng đầu tiên dãy số cho là:

A 1,1, 2, 4,7. B 2,3,5,8,11. C 1, 2,3,5,8. D 1,1, 2,3,5.

Câu 4. Cho dãy số  un xác định u11 un 2 .n un1 với n2 Mệnh đề là

đúng ?

A u11 2 11!10 . B

10 11 2 11!

u . C 10 10

11 2 11

u . D 10 10

11 2 11

u .

Câu 5. Cho dãy số  un xác định 1  u

un un12n với n2 Khi u50 bằng: A 1274,5. B 2548,5. C 5096,5. D 2550,5.

Câu 6. Cho dãy số  un có

1    n n u

n Số

15 số hạng thứ dãy số  un ?

A 8. B 6. C 5. D 7.

Câu 7. Cho dãy số  an có an n24n11,  n * Tìm số hạng lớn dãy số  an .

A 14 B 15 C 13 D 12

Câu 8. Cho dãy số  an có n  2100, * n

a n

n Tìm số hạng lớn dãy số  an .

A

1

20. B

1

30. C

1

25. D

1 21.

Câu 9. Cho dãy số  yn xác định y1 2

2

1 , *

      

n n

y y n n n Tổng S4 4 số hạng dãy số là:

A S4 20. B S4 10. C S4 30. D S4 14.

Câu 10. Cho dãy số  xn xác định x15 xn1xnn n,  * Số hạng tổng quát dãy số

A 10    n n n x . B 5   n n n x . C 10    n n n x . D

2 3 12

2    n n n x . Câu 11. Cho dãy số  xn xác định

2  x

 

1 , *

2 1

       n n n x x n

n x Mệnh đề dưới

đây ?

A 100

2 39999  x

. B 100

39999  x

. C 100

2 40001  x

. D 100

2 40803  x

Dạng 2: Bài tập xét tính tăng, giảm dãy số.

Câu 12. Trong dãy số dãy số dãy số tăng ?

A Dãy  an , với  

1

1  sin , *   n    n

a n

n .

B Dãy  bn , với    

2

1 , *

  n n   

n

b n

C Dãy  cn , với

1 , *       n c n

n n .

D Dãy  dn , với n  21, * n

d n

n .

Câu 13. Trong dãy số sau đây, dãy số dãy số giảm ?

A Dãy  an , với

1        n n a

B Dãy  bn với

2 1   n n b n .

C Dãy  cn , với 1   n c

n . D Dãy  dn , với dn 3.2n.

Câu 14. Cho dãy số  xn với

4    n an x

n Dãy số  xn dãy số tăng khi:

A a2. B a2. C a2. D a1.

Câu 15. Cho hai dãy số  xn với

 !

2   n n n x

 yn với  

2

sin

  

n

y n n

Mệnh đề ?

A  xn dãy số giảm,  yn dãy số giảm.

B  xn dãy số giảm,  yn dãy số tăng.

C  xn dãy số tăng,  yn dãy số giảm.

D  xn dãy số tăng, dãy số tăng. Dạng 3: Bài tập xét tính bị chặn dãy số.

Câu 16. Cho dãy số  un , với

3    n n u

n Mệnh đề ?

A Dãy  un bị chặn không bị chặn dưới.

B Dãy  un bị chặn không bị chặn trên.

C Dãy  un bị chặn bị chặn dưới.

Câu 17. Trong dãy số sau dãy số dãy bị chặn ?

A Dãy  an , với an  n216,  n *.

B Dãy  bn , với

1

, *

2

     n

b n n

n .

C Dãy  cn , với cn 2n3,  n *

D Dãy  dn , với n  24, * n

d n

n .

Câu 18. Trong dãy số dãy số bị chặn ?

A Dãy  an , với an 3n1.

B Dãy  bn , với  

2





n b

n n .

C Dãy  cn , với cn 3.2n1

D Dãy  dn , với   2 n n

d .

Câu 19. Trong dãy số đây, dãy số bị chặn ?

A Dãy  xn , với    

2

1

  n  

n

x n n

B Dãy  yn , với  

2 6

  n

y n n

C Dãy  zn , với 2018 2017 



n

n n

z

D Dãy wn, với   2017 n n

w .

Dạng 4: Bài tập tính chất dãy số.

Câu 20. Cho dãy số  xn , xác định bởi: xn 2.3n 5.2 ,n   n * Mệnh đề ?

A xn2 5xn1 6xn. B xn2 6xn1 5xn.

C xn25xn1 6xn 0 D xn26xn1 5xn 0.

Câu 21. Cho dãy số  un , với un 3n Mệnh đề ?

A

1

5

2 

 u u

u

. B

2

 u u

u

. C

100

1 100

1

1

2  u u  u u

. D u u u1 .2 100 u5050. Câu 22. Cho dãy số  an xác định

3 1

2017 cos

  

n

n a

Mệnh đề sai ?

A an12 an, n 1. B an8 an, n 1. C an9 an, n 1. D an4 an, n 1.

Câu 23. Cho dãy số  an xác định a1 1

2

3

1, *

2

      

n n n

a a a n

Mệnh đề ?

Câu 24. Cho dãy số  an xác định a1 1,a2 2 an2  3.an1 an, n 1 Tìm số nguyên dương p nhỏ cho an p an,  n *.

A p9. B p12. C p24. D p18.

Câu 25. Trong mệnh đề đây, mệnh đề SAI ?

A Dãy số  an xác định a1 1

2018

, *

2017

   

 

n n

a n

a dãy số không đổi.

B Dãy số  bn , với tan 2 1



 

n

b n

, có tính chất bn2 bn,  n *

C Dãy số  cn , với cn tann1, dãy số bị chặn.

D Dãy số  dn , với dn cosn , dãy số giảm.

Câu 10. Cho dãy số ( )un xác định u12

*

2 n 1, ,

u  u    n N có tính chất

A. Là dãy số tăng bị chặn B. Là dãy số giảm bị chặn

C. Là dãy số giảm bị chặn D. Là dãy số tăng bị chặn

Câu 11. Cho dãy số ( )un xác định u1 1

2

1 ,

n n

u   u  n

Tổng S2018 u12u22 u20182

A. S2018 20152. B.

2 2018 2018

S  C. S20182017 D. S20182016

Câu 12. Cho dãy số ( )zn xác định n sin 2cos

n n

z    

Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ số hạng dãy số ( )zn Tính giá trị biểu thức T M2 m2

A T 13 B T 5 C T 18 D. T 7

Câu 13. Cho dãy số ( )un thỏa mãn

1 1

1 2017

; ,

2 2( 1) 2018

n

n n n

n u

u u n S u u u

n u



       

  khi n

có giá trị nguyên dương lớn

A 2017 B 2015 C 2016 D 2014

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Dạng 1: Bài tập xác định số hạng dãy số

Câu 1. Đáp án C.

Ta có

2

1

n n

n x

n



    



  nên

2( 1)

1

( 1)

( 1)

n n

n

n n

x

n n

  



     

   

    

 

Ta có

2

1

2

sin os 0; sin os

4

y   c   y   c  

(loại phương án B D)

2

3

sin os2

4

y   c  

(loại phương án C)

Câu 3. Đáp án D.

Ta có y32;y4 3nên loại phương án cịn lại.

Câu 4. Đáp án B.

Ta có u2 22u u1; 36u2 2 2.3 ;2 u u1 8u3 2 2.3.4 u1 Bằng phương pháp quy nạp toán học,

chúng ta chứng minh !1 !1

n n

n

u  n u  n

  Do u112 11!10 .

Câu 5. Đáp án D

Ta có

1

2(1 ) ( 1)

2

n

u     n  n n

Suy 50

50.51 2550,5

u   

Câu 6. Đáp án D

Giải phương trình

1 15

n n

 

 ta n7

Câu 7. Đáp án B

Ta có an (n 2)215 15,  n Dấu xảy n 0  n2 Vậy số hạng lớn dãy số số hạng 15

Câu 8. Đáp án A

Ta có 2

1 100 2 .100 20 n

n n

a

n n

  

 Dấu xảy n2 100 n 10.

  

Vậy số hạng lớn dãy số hạng 20.

Câu 9. Đáp án A.

Ta tính y2 2;y34;y4 12 S4 20

Câu 10. Đáp án A.

Cách 1: Tìm số hạng tổng quát dãy số. Ta có

2

( 1) 10

(1 1)

2

n n

n n n n

x x     n  x      

Cách 2: Kiểm tra phương án tìm phương án đúng. Phương án A:

2 2

1

( 1) ( 1) 10 10 10

2 2

n n

n n n n n n

x             n x n

Cách 3: Với n 1 x15 loại phương án lại B, C, D.

Câu 11. Đáp án A.

Ta có xn 0, n 1

1

2(2 1) ,

n n

n n

x  x

    

Suy

2

1

1

4(1 1) 2( 1) ( 1) 2( 1)

2

n

n

n n n n n

x x



             

Suy 2

n

x n 

 Do 100

39999

x 

Câu 12. Đáp án B.

 Dãy số ( )an dãy đan dấu nên dãy số tăng dãy số giảm

 Với dãy ( )bn , ta có n n

b   (do ( 1)2n 1)

  Vì 1 5.5 ,

n n

n n

b  b n

        nên

( )bn là dãy số tăng.

 Dãy số ( )cn là dãy số giảm

1

,

1

n n

c c n

n n n n

     

    

 Dãy số ( )dn là dãy số giảm 2

,

2

n n

n n

d d n

n n n





    

  

Câu 13. Đáp án C.

 Dãy số ( )an dãy đan dấu nên dãy số tăng dãy số giảm

 Dãy số ( )bn là dãy số tăng

1

1 ,

1

n n

b n n b n

n n 

        

 Dãy số ( )cn là dãy số giảm 3

1

, 1 ( 1)

n n

c c n

n n 

    

  

 Dãy số ( )dn là dãy số tăng

1

3.2n 3.2n ,

n n

d  d n



    

Câu 14. Đáp án B.

Ta có

( 1) n a n x n    

 Xét hiệu

( 1) 4

3 ( 2)( 3)

n n

a n an a

x x

n n n n



   

   

   

( )xn là dãy tăng xn1 xn 0,  n 2a 0  a2

Câu 15. Đáp án D.

Ta có xn 0, n 1

1 1, 1

2 n n x n n x      

nên ( )xn là dãy số tăng.

Ta có yn1 yn sin (2 n1) sin  2n0, n nên (y )n cũng dãy số tăng. Dạng 3: Bài tập xét tính bị chặn dãy số

Câu 16. Đáp án C.

Ta có

8

1 ,

3 10

n n

u u n

n n 

      

  nên (u )n là dãy số tăng Suy bị chặn

1 u 

Lại

8

1 1,

3 n

u n

n

    

 nên dãy số un bị chặn 1.

Câu 17. Đáp án D.

 Dãy số ( )an là dãy số tăng bị chặn

2 16 17, 1.

n

a  n    n

 Dãy số ( )bn là dãy số tăng bị chặn

1

2 2,

2

n

b n n n

n n

     

 Dãy số ( )cn là dãy số tăng bị chặn 5, n

n

c     n

 Dãy số ( )dn dãy số bị chặn

1

0 ,

4 n

d n

   

1

0

4 4

n n do n n          

Câu 18. Đáp án B.

 Dãy số ( )bn có 0bn   1, n 1 nên dãy số ( )bn là dãy số bị chặn.

 Dãy số ( )cn dãy số tăng bị chặn c1 12  Dãy số ( )dn là dãy đan dấu

2

2 ( 2)

n n n

d    lớn tùy ý n đủ lớn, còn

2

2 ( 2) 2.4

n n

n

d 

    nhỏ tùy ý n đủ lớn

Câu 19. Đáp án C.

 Dãy số ( )xn là dãy đan dấu x2n lớn tùy ý n đủ lớn, x2n1 nhỏ tùy ý n đủ lớn  Dãy số ( )yn dãy số giảm ynnhỏ tùy ý n đủ lớn

 Dãy số ( )zn là dãy số tăng nên bị chặn bởi 2018 2017 z 

 Dãy số (w )n dãy đan dấu w2n lớn tùy ý n đủ lớn, w2n1 nhỏ tùy ý n đủ lớn

Dạng 4: Bài tập tính chất dãy số.

Câu 20. Đáp án A.

Ta có 2.3 5.2 18.3 20.2 ; 2.3 5.2 6.3 10.2

n n n n n n n n

n n

x   x  

         

 Phương án A: xn2  5xn16xn 0

 Phương án B: 8.3 15.2

n n

n n n

x   x   x   

 Phương án C: 36.3 40.2

n n

n n n

x   x  x   

 Phương án D: 44.3 55.2

n n

n n n

x   x   x   

Câu 21. Đáp án D.

 Phương án A:

9

1

5

3

3

2

u u

u

 

  

 Phương án B:

6

3

3

2

u u

u

  

 Phương án C:

100

1 100 100

1

1

2 u

u u u u 

     

 Phương án D:

1 100 5050

1 .2 100 3 5050

u u u    u

  

Câu 22. Đáp án C.

 Phương án A:

 

12

3( 12) (3 1) (3 1)

2017 cos 2017 cos 2017 cos

6 6

n n

n n n

a             a  n

 

 Phương án B:

 

8

3( 8) (3 1) (3 1)

2017 cos 2017 cos 2017 cos

6 6

n n

n n n

a             a  n

 

 Phương án C:

 

9

3( 9) (3 4) (3 4)

2017 cos 2017 cos 2017 cos

6 6

n n

n n n

a             a  n

 

 Phương án D:

 

4

3( 4) (3 1) (3 1)

2017 cos 2017 cos 2017 cos

6 6

n n

n n n

a             a  n

Lưu ý: Quan sát vào số số hạng tổng quát, ta thấy C có khác biệt so với ba phương án nên ta kiểm tra phương án C trước

Câu 23. Đáp án A.

Sáu số hạng dãy 1;2;0;1;2;0

Từ ta dự đoán an3 an, n 1.Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh an3 an, n

Mặt khác 2018 3.672 2  nên a2018a2

Câu 24. Đáp án B.

Trước hết ta kiểm tra phương án với pnhỏ Viết 10 số hạng ( ) :an

1

8 10

1; 2; 1; 3; 2; 3; 1; 2; 3;

a a a a a a a

a a a

          

    

Dễ dàng thấy a10  1  a1 nên phương án A sai.

Cách 1: Ta viết thêm số hạng dãy ( ) :an ta được

1

8 10 11 12 13 14

( ) : 1; 2; 1; 3; 2; 3; 1; 2; 3; 4; 2 3; 2; 1; n

a a a a a a a a

a a a a a a a

          

          

Từ ta dự đoán an12an, n

Bằng phương pháp quy nạp toán học chứng minh an12 an, n Vậy số nguyên dương cần tìm p12

Cách 2: Sau viết 10 số hạng dãy ta đốn an6 an, n

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh an6 an, n 1.Như số nguyên dương nhỏ để an6 an, n Do an12 an6 6 an6 an, n

Suy số cần tìm p12

Câu 25. Đáp án D.

 Phương án A: Ta có

2018

1; 1;

1 2017

a  a   a 

 Từ ta dự đoán an   1, n Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh an   1, n 1.Suy ra

 an dãy số khơng đổi Do phương án A đúng.

 Phương án B: Ta có

 

2 tan 2( 2) tan (2 1) tan(2 1) ,

4 4

n n

b n  n   n  a n

 

            

 

Vậy bn2 bn, n Do đóphương án B

 Phương án C: Ta có cn   1, n 1.nên dãy số  cn là dãy số không đổi Suy  cn là dãy số bị chặn Do phương án C

 Phương án D: Ta có d2n cos(2n) cos(4  n)d4n Suy khẳng định  dn là dãy số giảm khẳng định sai

Câu 26. Đáp án C.

Ta có 1

1

( ) ( )

2

n n n n n

u   u  u  u     u  u

Từ ta tính 1

1

2

n n

Do

1 1

0,

2 2

n n n n n

u   u       n

nên  un là dãy số giảm

Ta có

1

1 2,

2

n n

u  n

     

nên  un dãy số bị chặn Suy phương án C.

Câu 27. Đáp án B.

Từ hệ thức truy hồi dãy số, ta có un12 un22, n Suy

2

1 2( 1)

n

u u  n  n Do Sn u12u22 un2 2(1   n) n n n ( 1) n n

Vậy S2018 2018

Câu 28. Đáp án A.

Dựa vào chu kì hàm số ysin ;x ycos ,x ta có zn12 zn, n Do tập hợp phần tử dãy số S z z1; ; ;2 z12  3; 2; 1;0;   

Suy M 2;m3.Do T 13

Câu 29. Đáp án C.

Dễ un 0, n 1.Từ hệ thức truy hồi dãy số, ta có

1

2 2,

n n

n n

u  u

    

Suy

2

1 1

2(1 1) 2( 1) ( 1) 2( 1)

( 1) n

n n

n n n n n n n u

u u         u         n n

Do

1

, 1

n

u n

n n

   



Vậy

1

1

n n

n

S u u u

n n

      

  Vì

2017 2018 n

S 

nên

2017

2017 2018

n

n

n   

Suy số nguyên dương lớn để

2017 2018 n

S 

CẤP SỐ CỘNG

A LÝ THUYẾT I ĐỊNH NGHĨA.

Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng đều số hạng đứng trước cộng với số khơng đổi d

Số không đổi d gọi công sai cấp số cộng

Đặc biệt, d 0 thì cấp số cộng dãy số khơng đổi (tất số hạng nhau). Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:

1) Nếu  un là cấp số cộng với công sai d, ta có cơng thức truy hồi

*

1 ,

n n

u  u d n   1

2) Cấp số cộng  un dãy số tăng công sai d 0. 3) Cấp số cộng  un dãy số giảm công sai d 0. STUDY TIP

Để chứng minh dãy số  un là cấp số cộng, cần chứng minh un1  u số vớin mọi số nguyên dương n

Ví dụ Chứng minh dãy số hữu hạn sau cấp số cộng: 2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19

 .

Lời giải

Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số 2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 cấp số cộng với công sai

d

Ví dụ Trong dãy số đây, dãy số cấp số cộng? Tìm số hạng đầu cơng sai nó. a) Dãy số  an , với an 4n 3; b) Dãy số  bn , với

2   n

n b

; c) Dãy số  cn , với cn 2018n; d) Dãy số  dn , với dn n2.

Lời giải

a) Ta có an1 4(n1) 4  n1 nên an1 an (4n1) (4 n 3) 4,  n Do  an cấp số cộng với số hạng đầu a1 4.1 1  cơng sai d 4.

b) Ta có

2 3( 1)

4



   

 

n

n n

b

nên

1 3

,

4 4

n n

n n

b b n

  

     

Suy  bn cấp số cộng với số hạng đầu

2 3.1

4



 

b

công sai

3  d

c) Ta có 2018

  

n n

c nên

1 2018 2018 2017.2018



    

n n n

n n

c c (phụ thuộc vào giá trị của

n) Suy  cn cấp số cộng. d) Ta có dn1 (n1)2 nên

2

1 ( 1)

      

n n

d d n n n (phụ thuộc vào giá trị n). Suy  dn cấp số cộng.

Ví dụ Cho cấp số cộng  un có số hạng với số hạng đầu  u

công sai

4  d

Viết dạng khai triển cấp số cộng

Lời giải

Ta có

2 10

; 2; ;

3

        

u u d u u d u u d

5

14 22

; 6; ;

3

        

u u d u u d u u d

Vậy dạng khai triển cấp số cộng  un

2 10 14 22

; ; 2; ; ; 6;       II SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ CỘNG.

Định lý

Nếu cấp số cộng  un có số hạng đầu u1 cơng sai d

số hạng tổng quát un xác định công thức:

1 ( 1) ,

    

n

u u n d n (2)

STUDY TIP Từ kết định lý 1, ta rút nhận xét sau:

Cho cấp số cộng  un biết hai số hạng up uq số hạng đầu cơng sai tính theo cơng thức:

(1) :

 



p q

u u

d

p q (2) : u1 up  (p1) d

a) Tìm u20.

b) Số 2018 số hạng thứ cấp số cộng? Lời giải

a) Ta có u20 u1(20 1) d  2 19.( 5) 93

b) Số hạng tổng quát cấp số cộng un u1 (n 1)d  7 n

Vì un 2018 nên 5 n2018 n405

Do n405 số nguyên dương nên số2018 số hạng thứ 405 cấp số cộng cho. III TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG.

Định lý

Trong cấp số cộng  un , số hạng (trừ số hạng đầu cuối) trung bình cộng hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa

1

2

  

 k k k

u u

u

với k2. (3)

STUDY TIP Một cách tổng quát, ta có:

Nếu  un cấp số cộng ,   

 p k p k  

p

u u

u k p

. Ví dụ

a) Cho cấp số cộng  un có u99 101 u101 99 Tìm u100.

b) Cho cấp số cộng 2, , 6, x y Tính giá trị biểu thức Px2 y2 Lời giải

a) Theo tính chất cấp số cộng, ta có

99 101

100

2  u u u

nên u100 100

b) Theo tính chất cấp số cộng, ta có

2 2  

 

x

 x y

Vì x2 nên y10

Vậy Px2 y2 22 102 104

IV TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG. Định lý

Cho cấp số cộng  un Đặt Sn u1u2  un Khi đó:

1

( )

2 

 n

n

n u u S

(4)

( 1)

   n

n n

S nu d

(5) STUDY TIP

1) Chúng ta thường sử dụng cơng thức (4) để tính Sn khi biết số hạng đầu số hạng thứ n cấp số cộng.

3) Các toán cấp số cộng thường đề cập đến đại lượng u d n u S Chúng ta cần biết ba đại1, , , n, n lượng năm đại lượng tìm hai đại lượng cịn lại Tuy nhiên, theo cơng thức tính

, n n

u S tốn cấp số cộng quy việc tính ba đại lượng u d n1, ,

Ví dụ Cho cấp số cộng  un có u1 2 d 3

a) Tính tổng 25 số hạng cấp số cộng b) Biết Sn 6095374, tìm n

Lời giải

Ta có

2

( 1) 3( ) (3 7)

2

2 2

  

    

n

n n n n n n

S nu d n

a) Ta có 25

25(3.25 7) 850



 

S

b) Vì Sn 6095374 nên

2

(3 7)

6095374 12190748



    

n n

n n

Giải phương trình bậc hai với n nguyên dương, ta tìm n2017 B CÁC DẠNG TỐN VỀ CẤP SỐ CỘNG

Câu 1. Trong dãy số đây, dãy số cấp số cộng?

A Dãy số  an , với an 2 ,n   n *.

B. Dãy số  bn , với b1 1,bn1 2bn 1,  n *.

C. Dãy số  cn , với cn (2n 3)2  ,n2   n *.

D. Dãy số  dn , với

*

1

2018

1, ,

1



   

 

n n

d d n

d .

Lời giải Đáp án C.

Kiểm tra phương án đến tìm phương án - Phương án A: Ba số hạng dãy số 2, 4,

Ba số không lập thành cấp số cộng 2    2 - Phương án B: Ba số hạng dãy số 1, 3,

Ba số khơng lập thành cấp số cộng 2    4 - Phương án C: Ta có cn  9 12 ,n   n *

Do đó, cn1  cn 12,  n * nên ( )cn cấp số cộng. - Phương án D: Ba số hạng dãy số

1009 1, 1009,

505 Ba số không lập thành cấp số cộng

STUDY TIP

1) Để chứng minh dãy số  un là cấp số cộng, cần chứng minh un1  un một số với số nguyên dương n

Câu 2. Cho cấp số cộng  un có u1 123 u3  u15 84 Tìm số hạng u17.

A.u17 242. B.u17 235. C.u17 11. D. u17 4.

Lời giải Đáp án C.

Ta có cơng sai cấp số cộng

3 15 84 7

3 15 12 

  

 

u u

d

Suy u17 u1 (17 1) d 11

Vậy phương án C

STUDY TIP

Với việc biết số hạng đầu công sai cấp số cộng, hoàn toàn xác định yếu tố lại cấp số cộng số hạng tổng quát, thứ tự số hạng tổng n số hạng Tham khảo tập sau

Nhận xét: Cụ thể đề xuất câu hỏi sau đây:

Câu 1: Cho cấp số cộng  un có u1 123 u3 u15 84 Số 11 số hạng thứ của

cấp số cộng cho?

A 17. B 16 C 18 D 19

Câu 2: Cho cấp số cộng

 un có u1 123 u3  u15 84 Tìm số hạng tổng quát cấp số

cộng  un

A un 130 7 n. B un 116 7 n. C un 123 7 n. D un 123 7 n. Câu 3: Cho cấp số cộng  un có u1 123 u3  u15 84 Tính tổng S2017 2017 số hạng

đầu tiên cấp số cộng cho

A S2017 14487102,5. B S2017 13983861.

C S2017 13990920,5.D S2017 14480043

Câu 4: Cho cấp số cộng  un có u1 123 u3  u15 84 Biết tổng n số hạng đầu tiên

của cấp số cộng 18, tìm n

A n34. B n35. C n36. D.n37.

Câu 3. Cho cấp số cộng  un có u12u5 0 S4 14 Tính số hạng đầu u1 công sai d cấp

số cộng

A.u1 8,d 3. B. u1 8,d 3. C.u1 8,d 3. D. u1 8,d 3.

Lời giải Đáp án D.

Ta có u12u5  0 u12(u14 ) 0d   3u18d 0.

4

4(2 )

14 14

2 

  u d    

S u d

Ta có hệ phương trình

1

1

3 8

2

  

 



 

   



u d u

u d d

Vậy phương án D

A.um k un k um un, với k m k n ,  .

B. um k um k 2 ,um với k m

C.um uk (m k d ) , với k m.

D. u3n u2n un1

Lời giải Đáp án D.

Kiểm tra phương án đến tìm phương án sai

+ Phương án A: Ta có um k un k u1(m k 1)d u 1(n k  1)d

1 ( 1) ( 1)

u  m d u  n d um un.

Do A phương án

+ Phương án B: Ta có um k um k u1(m k 1)d u 1(m k  1)d

2[ ( 1) ]

 u  m d  um.

Do B phương án

+ Phương án C: Ta có um u1(m 1)d u1(k 1)d(m k d ) uk (m k d ) Do C phương án

+ Phương án D: Ta có u2n un1 u1 (2n 1)d u 1nd u1(3n1)d u u3n u1

Vậy phương án D sai

STUDY TIP

Qua ví dụ này, lưu ý số tính chất cấp số cộng như: 1) um k un k umun, với k m k n ,  .

2) um k um k 2 ,um với k m. 3) um uk (m k d ) , với k m. Do C phương án

+ Phương án D: Ta có u2n un1 u1 2n1d u 1nd u 1 3n1d u u3nu1u3n Vậy D phương án sai

Câu 5. Cho dãy số  un xác định u1 321 un1un với n * Tính tổng S 125 số hạng dãy số

A. S 16875. B. S 63375. C. S 63562,5. D. S 16687,5. Lời giải

Từ công thức truy hồi dãy số  un , ta có  un cấp số cộng với công sai d 3 Do tổng 125 số hạng cấp số cộng

 

1

125 125

16875

u d

S     

Vậy chọn phương án A

Câu 6. Cho cấp số cộng  un có cơng sai d 3 u22u32u42 đạt giá trị nhỏ Tính tổng S100

của 100 số hạng cấp số cộng

Lời giải Đặt a u 1 thì

 2  2  2  2

2 2

2 3 36 126 18 18

u u u  a d  a d  a d  a  a  a  

với a Dấu xảy a 0  a6.Suy u16

Ta có

 

1 100

100 100

14250

u d

S      

Vậy phương án C Nhận xét: Từ kết tập này, đề xuất câu hỏi sau đây:

Câu 1. Cho cấp số cộng  un có cơng sai d 3 u22u32u42 đạt giá trị nhỏ Tìm số hạng thứ

2017 cấp số cộng

A u20176042 B u2017 6045 C u2017 6044 D u20176054

Câu 2. Cho cấp số cộng  un có cơng sai d 3 u22u32u42 đạt giá trị nhỏ Số 2019 số

hạng thứ cấp số cộng cho?

A 676 B 675 C 672 D 674

Câu 3. Cho cấp số cộng  un có cơng sai d 3 u22u32u42 đạt giá trị nhỏ Tìm số hạng

tổng quát cấp số cộng

A un  9 3n B un  6 3n C un  5 3n D un  3 3n

Câu 4. Cho cấp số cộng  un có cơng sai d 3, m tham số Tìm giá trị nhỏ của biểu thức F u 22u32u42.

A minF 18 B minF 6 C minF 99 D minF117

Câu 7. Cho cấp số cộng 3,8,13, Tính tổng S   3 13 2018 

A. S 408422. B. S 408242. C. S 407231,5. D. S 409252,5. Lời giải

Cấp số cộng 3,8,13, có số hạng đầu a1 3 công sai d 5

Suy 2018 số hạng thứ

2018

1 404



 

cấp số cộng Do

 

404

404 2018

408242

S S   

Vậy B phương án

Nhận xét: Từ kết tập này, giải câu hỏi sau đây:

Câu 1. Cho cấp số cộng 3,8,13, Số 2018 số hạng thứ cấp số cộng đó?

A. 402 B. 403 C. 404 D. 405

Câu Cho cấp số cộng 3,8,13, , , x Tìm x biết 13     x 408242

A. x2017. B. x2016. C. x2019. D. x2018.

Câu Cần viết thêm vào hai số 2018 số hạng để thu cấp số

cộng hữu hạn có tổng số hạng 408242 ?

Câu Cho cấp số cộng  un có u1 3,uk 2018 Sk 408242 Số hạng thứ 2018 cấp số cộng số đây?

A. 10088 B. 10093 C. 10083 D. 10098

Câu 8. Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng: x3 3mx22m m  4x9m2 m0

A. m0. B.

17 265 12 m 

C.

17 265 12 m 

D. m1.

Lời giải Cách 1: Giải toán cách giải tự luận.

- Điều kiện cần: Giả sử phương trình cho có ba nghiệm phân biệt x x x1, ,2 3 lập thành cấp

số cộng Theo định lý Vi-ét phương trình bậc ba, ta có x1x2x3 3m Vì x x x1, ,2

lập thành cấp số cộng nên x1x32x2 Suy 3x2 3m x2 m Thay x2 m vào phương

trình cho, ta

 

3 3 2 4 9 0 0

1 m

m m m m m m m m m m

m

 

          

 

- Điều kiện đủ:

+ Với m0 ta có phương trình x3  0 x0 (phương trình có nghiệm nhất) Do đó

m khơng phải giá trị cần tìm

+ Với m1, ta có phương trình x3 3x2 6x  8 x1; x2; x4

Ba nghiệm 2; 1; lập thành cấp số cộng nên m1 giá trị cần tìm

Cách 2: Kiểm tra phương án chọn phương án Trước hết, ta kiểm tra phương án A D (vì m nguyên)

+ Với m0 ta có phương trình x3 0 x0 (phương trình có nghiệm nhất) Do đó

m khơng phải giá trị cần tìm.

+ Với m1, ta có phương trình x3 3x2 6x  8 x1; x2; x4

Ba nghiệm 2; 1; lập thành cấp số cộng nên m1 giá trị cần tìm

STUDY TIP

Phương trình bậc ba ax3bx2cx d 0a0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng điều kiện cần

b x

a 

nghiệm phương trình Giải điều kiện ta có hệ thức liên hệ hệ số phương trình 2b3 9abc27a d3 0 Trong thực hành giải toán, cần ghi nhớ điều kiện cần

b x

a 

nghiệm phương trình.

Câu 9. Biết tồn hai giá trị tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng: x410x22m27m0, tính tổng lập phương hai giá trị

A.

343 

B.

721

8 . C.

721 

D.

343 . Lời giải

Phương trình cho có 4nghiệm phân biệt phương trình (*) có 2 nghiệm

dương phân biệt

2

2

5 (2 )

0 25

2

m m

m m

m m

   



     

  



(do tổng hai nghiệm 10 0 nên không cần điều kiện này).

+ Với điều kiện (*)có hai nghiệm dương phân biệt t t t1, (1t2)

Khi phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt  t2; t1; t1; t2 .

Bốn nghiệm lập thành cấp số cộng

   

1 1 2

t t t t t t t t

         

Theo định lý Vi-ét ta có: t1t2 10; t t1 2m27m.

Suy ta có hệ phương trình

2 1

1 2

2

1

9 1

10 9

2

7

t t t m

t t t

m

t t m m m m

     

  

    

 

 

  

    

 .

Cả hai giá trị thỏa mãn điều kiện nên nhận

Do

3

3 721

1

2

     

  .

Suy phương án C

Câu 10. Một sở khoan giếng đưa định mức sau: Giá từ mét khoan 100000

đồng kể từ mét khoan thứ hai, giá mét sau tăng thêm 30000 đồng so với giá mét khoan trước Một người muốn kí hợp đồng với sở khoan giếng để khoan giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt gia đình Hỏi sau hồn thành việc khoan giếng, gia đình phải tốn cho sở khoan giếng số tiền bao nhiêu?

A. 7700000 đồng B. 15400000 đồng C. 8000000 đồng D. 7400000 đồng Lời giải

Gọi un giá mét khoan thứ n, 1 n 20

Theo giả thiết, ta có u1100000 un1un 30000 với 1 n 19

Ta có ( )un cấp số cộng có số hạng đầu u1100000 cơng sai d 30000.

Tổng số tiền gia đình tốn cho sở khoan giếng tổng số hạng cấp số cộng ( )un Suy số tiền mà gia đình phải tốn cho sở khoan giếng là

1

20 20

20[2 (20 1) ]

7700000

2

u d

S u u  u    

(đồng) Vậy phương án A

C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Dạng 1: Bài tập nhận dạng cấp số cộng

Câu 1. Trong dãy số sau, dãy số cấp số cộng?

A. 3,1,5,9,14 B. 5,2, 1, 4, 7   C.

5 1 ,1, , ,

3   . D.

7 1

, , 2, , 2 2    

A. Dãy số  an với an3n 5.

B. Dãy số bn với bn  3 5n.

C. Dãy số  cn với cn n2 n

D. Dãy số  dn với

4 1

2017cot 2018

2 n

n

d    

Câu 3. Cho số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện: Ba số

1 1

, ,

x y y z z x   theo thứ tự lập thành

cấp số cộng Mệnh đề mệnh đề đúng?

A. Ba số x y z2, ,2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng

B. Ba số y z x2, ,2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng

C. Ba số y x z2, ,2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng

D. Ba số z y x2, ,2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng Dạng 2: Bài tập xác định số hạng công sai cấp số cộng.

Câu 4. Cho cấp số cộng  un xác định u3 2; un1 un3,   n * Xác định số hạng tổng quát

của cấp số cộng

A. un 3n11. B. un 3n 8. C. un 2n 8. D. un  n 5.

Câu 5.Cho cấp số cộng  un có u2 2017;u51945 Tính u2018.

A. u2018 46367 B. u2018 50449 C. u2018 46391 D. u201850473

Câu 6. Cho cấp số cộng  xn có Sn 3n2  2n Tìm số hạng đầu u1 công sai d cấp số cộng

đó

A. u12;d7. B. u11;d 6. C. u11;d6. D. u12;d 6.

Câu 7. Cho cấp số cộng  un có Sn 7n 2n2 Tính giá trị biểu thức

2 2

3

P u u u .

A. P491. B. P419. C. P1089. D. P803.

Câu 8. Cho cấp số cộng  un với

3

3

5

u u u u

 

 



 Tìm số hạng đầu cấp số cộng.

A. u11 u14. B. u11 u14.C. u11 u14.D. u11 u11.

Câu 9. Cho cấp số cộng  un có cơng sai d 2 u22u32u42 đạt giá trị nhỏ Số 2018 số

hạng thứ cấp số cộng  un ?

A. 1012 B. 1011 C. 1014 D. 1013

Câu 10. Cho cấp số cộng 6, , 2,x  y Khẳng định sau đúng?

A. x2;y5 B. x4;y6 C. x2;y6 D. x4;y6

Câu 11. Viết sáu số xen 24 để cấp số cộng có tám số hạng Sáu số hạng cần viết

thêm

A. 6,9,12,15,18, 21 B. 21,18,15,12,9,6

C.

13 27 41 ,10, ,17, ,24

2 2 . D.

Câu 12. Cho hai cấp số cộng  xn : 4,7,10,  yn :1,6,11, Hỏi 2017 số hạng cấp số cộng có số hạng chung?

A. 404 B. 403 C. 672 D. 673

Câu 13. Cho cấp số cộng 1,7,13, ,x thỏa mãn điều kiện 13     x 280 Tính giá trị x.

A. x53. B. x55. C. x57. D. x59.

Câu 14. Biết tồn giá trị x0;2 để ba số sin ,sin ,1 sin 3 x 2x  x lập thành cấp

số cộng, tính tổng S giá trị x

A. S 5. B. S3 . C.

7 S  

D.

23 S 

Dạng 3: Bài tập tổng n số hạng cấp số cộng.

Câu 15. Cho cấp số cộng  un có u4 3 tổng số hạng S9 45 Cấp số cộng

có

A. S1092. B. S20980. C. S3 56. D. S16526.

Câu 16. Cho cấp số cộng  xn có x3x1380 Tính tổng S15 15 số hạng cấp số cộng.

A. S15600 B. S15 800 C. S15 570 D. S15630

Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất cấp số cộng.

Câu 17. Cho cấp số cộng  un Mệnh đề mệnh đề đúng?

A. n p u  mp m u  nm n u  p 0. B. m n u  mn p u  n p m u  p 0.

C. m p u  mn m u  n p n u  p 0. D.  p n u  mm p u  n m n u  p 0.

Câu 18. Cho ba số dương , ,a b c thỏa mãn điều kiện

1 1

, ,

  

b c c a a b lập thành cấp số cộng Mệnh đề đúng?

A Ba số , ,a b c lập thành cấp số cộng

B Ba số

1 1 , ,

a b c lập thành cấp số cộng.

C Ba số a b c2, ,2 lập thành cấp số cộng

D Ba số a, b, c lập thành cấp số cộng Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng.

Câu 19. Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x410x2m0 có bốn nghiệm phân

biệt lập thành cấp số cộng

A m16. B m9. C m24. D m21.

Câu 20. Biết tồn hai giá trị tham số m để phương trình  

4 2 1 2 1 0

    

x m x m

có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng, tính tổng bình phương hai giá trị

A

1312

81 B

1024

81 C

32

9 D

Câu 21. Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x3 3x2 x m 2 1 0 có ba nghiệm

phân biệt lập thành cấp số cộng

A m16. B m2. C m2. D m2.

Câu 22. Biết tồn ba giá trị m m m1, 2, 3 tham số m để phương trình

3 9 23 4 9 0

      

x x x m m m có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng, tính giá trị biểu thức P m 13m23m33

A P34. B P36. C P64. D P34.

Câu 23. Mặt sàn tầng nhà cao mặt sân 0,5m Cầu thang từ tầng lên tầng hai gồm 21 bậc, bậc cao 18cm Kí hiệu hn độ cao bậc thứ n so với mặt sân Viết cơng thức để tìm độ cao hn

A hn 0,18n0,32 m . B hn 0,18n0,5 m . C.

 

0,5 0,18

 

n

h n m

D hn 0,5n 0,32 m .

Câu 24. Người ta trồng 3003 theo hình tam giác sau: hàng thứ có cây, hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có cây,… Hỏi trồng hàng theo cách này?

A 77 hàng B 76 hàng C 78 hàng D 79 hàng

Câu 25. Trên bàn cờ có nhiều vng Người ta đặt hạt dẻ vào vng đầu tiên, sau đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt dẻ nhiều ô 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt dẻ nhiều ô thứ hai 5, … tiếp tục đến ô cuối Biết đặt hết số ô bàn cờ người ta phải sử dụng hết 25450 hạt dẻ Hỏi bàn cờ có ơ?

A 98 ô B 100 ô C 102 ô D 104 ô

Câu 26. Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực việc trả lương cho kỹ sư theo phương thức sau: Mức lương quý làm việc cho công ty 13,5 triệu đồng/quý, kể từ quý làm việc thứ hai, múc lương tăng thêm 500.000 đồng quý Tính tổng số tiền lương kỹ sư nhận sau ba năm làm việc cho công ty

A 198 triệu đồng B 195 triệu đồng C 228 triệu đồng D 114 triệu đồng.

Câu 27. Trên tia Ox lấy điểm A A1, 2, ,An, cho với số nguyên dương n, OAn n Trong nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa tia Ox, vẽ nửa đường trịn đường kính

n

OA , n1, 2, Kí hiệu u1 diện tích nửa đường trịn đường kính OA1 với n2, kí

hiệu un diện tích hình giới hạn nửa đường trịn đường kính OAn1, nửa đường trịn

đường kính OAn tia Ox Mệnh đề đúng?

A Dãy số  un cấp số cộng.

B Dãy số  un cấp số cộng có cơng sai

 

d

C Dãy số  un cấp số cộng có cơng sai

 

d

D Dãy số  un khơng phải cấp số cộng có công sai

 

Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị  C hàm số y3x Với số nguyên dương n, gọi An giao điểm đồ thị  C với đường thẳng :d x n 0 Xét dãy số  un với un tung độ điểm An Mệnh đề mệnh đề đúng?

A Dãy số  un cấp số cộng có cơng sai d 2.

B Dãy số  un cấp số cộng có cơng sai d 3.

C Dãy số  un cấp số cộng có cơng sai d 1.

D Dãy số  un cấp số cộng.

Câu 29. Cho cấp số cộng  u có số hạng đầu u1 2 công sai d 3 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy,

lấy điểm A A1, 2, cho với số nguyên dương n, điểm An có tọa độ n u; n Biết tất điểm A A1, 2, ,An, nằm đường thẳng Hãy viết phương trình đường thẳng

D HƯỚNG DẪN GIẢI

Dạng 1: Bài tập nhận dạng cấp số cộng

Câu 1. Đáp án B.

Kiểm tra phương án đến tìm đáp án - Phương án A: 1  3  5 14 5      - Phương án B: 5  1 2  4  1   7  4 3 Vậy dãy số phương án B cấp số cộng

Câu 2. Đáp án C.

Kiểm tra phương án đến tìm đáp án

- Phương án A: Ta có an1 an   3, n 1 nên  an cấp số cộng. - Phương án B: Ta có bn1 bn  5, n 1 nên  bn cấp số cộng. - Phương án C: Ta có cn1 cn 2 ,n n 1 nên  cn không cấp số cộng. - Phương án D: Ta có dn 2018, n 1(do

4 1

cot

2

 



n

) nên  dn cấp số cộng.

Câu 3. Đáp án C.

Theo giả thiết, ta có:

        2

1

2 2

           

   y z x y z x y x z y z x

x y z x y z .

Suy y x z2, ,2 z x y2, ,2 lập thành cấp số cộng Do phương án C Dạng 2: Bài tập nhận dạng cấp số cộng

Câu 4. Đáp án A.

Ta có  un cấp số cộng có cơng sai d 3 nên số hạng đầu u1u3 2d 8

Suy số hạng tổng quát un 3n11.

Câu 5. Đáp án A.

Gọi d công sai cấp số cộng Theo giả thiết, ta có:

1

1

2017 2041

4 1945 24

  

 



 

   



u d u

u d d

Suy u2018 u12017d 46367.

Câu 6. Đáp án B.

Ta có u1S11 u1u2 S2 8 Suy u2 7

Vậy d u 2 u16.

Câu 7. Đáp án A.

Ta có un Sn Sn1  9 4n.

Suy u3 3,u5 11,u7 19 Do P491.

Câu 8. Đáp án A.

Ta có

3

3 5

5

  

 



 

 

 

u u u

u u u

3

3

  

 

u

+ Giải

3

2

  

 

u

u , ta u11.

+ Giải

3

3

  

 

u

u , ta u1 4.

Câu 9. Đáp án A.

Ta có  

2

2 2

2   3 24 156 3 14  8

u u u u u u

Dấu xảy u1  4 u14

Số hạng tổng quát cấp số cộng un 2n Nếu un 2018 2n 2018  n1012. Vậy 2018 số hạng thứ 1012 cấp số cộng

Câu 10. Đáp án C.

Theo tính chất cấp số cộng, ta có

 

 

2 2

6 2

     





 



   

 

x x

y x y

Câu 11. Đáp án A.

Theo giả thiết, ta có u1 3,u8 24

Suy 7 d 24 d 3.

Vậy số cần viết thêm 6,9,12,15,18, 21

Câu 12. Đáp án B.

Ta có xn  4 n1 3  n1,1 n 2017

 

1 5 4,1 2017

      

n

y m m m

Để số số hạng chung hai cấp số cộng ta phải có

 

3n 1 5m 43n5 m1 .

Suy 5n , tức n5t  

*

3    

m t t

Lại 1 n 2017 nên 1 t 403.

ứng với 403 giá trị t, ta tìm 403 số hạng chung

Câu 13. Đáp án B.

Cấp số cộng 1,7,13, , x có số hạng đầu u1 1 cơng sai d6 nên số hạng tổng quát

6

 

n

u n

Giả sử x u n 6n Khi

6 4

1 13

2



   x n n  n  n

Theo giả thiết, ta có 3n2 2n280 n10 x u 1055.

Câu 14. Đáp án A.

  

2

3

3

2

1 sin sin 2sin 4sin 4sin 2sin 2sin sin 2sin

2sin sin 1 sin cos                        

x x x

x x x

x x x

x x x x +) sin 2                x k x x k

+) cos

 

   

x x k

Với nghiệm

 

 

x k

x0;2 , ta tìm 11

6

 

x

Với nghiệm     x k 0;2



x , ta tìm x76 Với nghiệm x2 k x0; 2

ta tìm nghiệm ; 2     x x Do

11

5

6 2

   



    

S

Dạng 3: Bài tập tổng n số hạng cấp số cộng.

Câu 15. Đáp án B.

Ta có u4  3 u13d 3

 

9

9

45 45

2



  u d    

S u d

Do ta có hệ phương trình

1

1

3 27

4

            

u d u

u d d .

Ta có

   

10 20

10 20 19

90; 980

2

 

 u d   u d 

S S

Vậy đáp án B

Câu 16. Đáp án A.

Ta có x3x13 80 x12d  x15 2d 80

 15

1 15 15

15

80 600

2



 x x   S  x x 

Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất cấp số cộng.

Câu 17. Đáp án A.

Kiểm tra phương án tìm phương án Ta có: um u1 m1 ;d un  u1 n1 ;d up u1p1d .

- n p u  1m1d  p m u  1n1dm n u  1p1d 0.

- Vậy đáp án A

Câu 18. Đáp án A.

Theo giả thiết ta có:

       

1

2 2

 

  

         

b c a b c a

c a a c b b c a b a c b

Suy ba số , ,a b c , ,c b a lập thành cấp số cộng Do đáp án A.

Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng.

Câu 19. Đáp án B.

Áp dụng kết phần lí thuyế, ta có phương trình cho có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng điều kiện cần 9b2 100achay 9.102 100.1.m m9.

Với m9 phương trình cho trở thành x410x2   9 x1;x3. Bốn số 3; 1;1;3  lập thành cấp số cộng nên m9 giá trị cần tìm.

Câu 20. Đáp án A.

ÁP dụng kết phần lý thuyết, ta có phương trình cho có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng điều kiện cần 9b2 100ac hay

 2  

4 2 100.1 32 16 4

9   

       

  

m

m m m m

m

Với m4, ta có phương trình x410x2 9 0 Phương trình nàu có nghiệm 3; 1;1;3 

lập thành cấp số cộng Với

4



m

, ta có phương trình 9x410x2 1 0 Phương trình có nghiệm

1 1; ; ;1

3

 

lập thành cấp số cộng Vậy

4 4;

9

 

m m

thỏa mãn yêu cầu tốn

Do

2

2 1312

4

9 81  

   

  .

Câu 21. Đáp án D.

Áp dụng kết phần lý thuyết, ta có phương trình cho có nghiệm phân biệt điều kiện cần

3

3a



 b  

nghiệm phương trình Suy 13 3.1 12 m2  1 m2.

Với m2, ta có phương trình x3 3x2 x 3 0.

x 3x2 1 x 1,x 1,x

       

Ba số 1,1,3 lập thành cấp số cộng

Vậy giá trị cần tìm m2 Do D phương án đúng.

Áp dụng kết phần lý thuyết, ta có phương trình cho có nghiệm phân biệt điều kiện cần là:

9

3

b a

   

nghiệm phương trình Suy 33 9.3223.3m3 4m2 m 0

 m3 4m2m 6  m1,m2,m3

Với m1,m2,m3 m3 4m2m 6 0 nên m3 4m2m 915.

Do vậy, với m1,m2,m3 ta có phương trình

  

3 9 23 15 0 3 6 5 0

x  x  x   x x  x   x1,x3,x5 Ba số 1,3,5 lập thành cấp số cộng

Vậy m1,m2,m3 giá trị cần tìm Do  

3 3 3

1 34    

Câu 23. Đáp án A.

Ký hiệu hn độ cao bậc thứ n so với mặt sân.

Khi đó, ta có hn1hn0,18 (mét), h1 0,5 (mét) Dãy số  hn lập thành cấp số cộng có h10,5 cơng sai d0,18 Suy số hạng tổng quát cấp số cộng là

 

0,5 0,18 0,18 0,32 n

h   n  n

(mét)

Câu 24. Đáp án A.

Giả sử trồng n hàng Khi tổng số trồng

 1

1

2 n n

S    n 

Theo giả thiết ta có

 1

3003 77

2 n n

n



  

Câu 25. Đáp án B.

Kí hiệu un số hạt dẻ thứ n.

Khi đó, ta có u17 un1 un 5,n1

Dãy số  un cấp số cộng với u17 công sai d 5 nên có

 

1

2 5 9

2

n

n u n d n n

S       

Theo giả thiết, ta có

2

5

25450

n  n



100 n

  . Suy bàn cờ có 100 Do B đáp án

Câu 26. Đáp án B.

Kí hiệu un mức lương quý thứ n làm việc cho cơng ty Khi u113,5 và

1 0,5,

n n

u  u  n .

Dãy số  un lập thành cấp số cộng có số hạng đầu u1 13,5 công sai d 0,5.

Số tiền lương sau năm tổng số tiền lương 12 quý tổng 12 số hạng cấp số cộng  un Vậy, tổng số tiền lương nhận sau năm làm việc cho công ty kỹ sư

 

12

12 2.13,5 11.0,5 195

S   

(triệu đồng)

Câu 27. Đáp án B.

Bán kính đường trịn có đường kính OAn n n r 

Diên tích nửa đường trịn đường kính OAn

2

1

2

n

n n

S     

  .

Suy  

 

2

1

2

1 ,

8

n n n

n

u s  s   n  n     n

  .

Ta có

2

1

2

u       . Do un un 4, n



    

nên  un cấp số cộng với công sai d



 Suy B phương án

Câu 28. Đáp án B.

Ta có A n un ; n un 3n 2.

Do un1 un   3, n nên  un cấp số cộng với công sai d 3 Suy B phương án

Câu 29. Đáp án A.

Số hạng tổng quát cấp số cộng  un un  u1 n1d 3n5.

Nhận thấy toạ độ điểm An thoả mãn phương trình y3x5 nên phương trình đường thẳng qua điểm A A1, 2, ,An, y3x5

CẤP SỐ NHÂN

A LÝ THUYẾT 1 ĐỊNH NGHĨA.

Cấp số nhân dãy số (hữu hạn vô hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng tích số hạng đứng trước nhân với số không đổi q

Số không đổi q gọi công bộicủa cấp số nhân Đặc biệt:

1) Khi q1 cấp số nhân dãy số không đổi (tất số hạng nhau). 2) Khi q0 cấp số nhân có dạng u1,0, 0, 0, ,0, 

3) Khi u10 với q cấp số nhân có dạng 0, 0,0, 0, , 0, 

Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:

Nếu  un là cấp số nhân với cơng bội q, ta có cơng thức truy hồi

*

1 ,

n n

u  u q n 

(1) STUDY TIP

2) Trong trường hợp un   0, n 1 để chứng minh  un cấp số nhân, cần phải tỷ số

1

n n u

u



số không đổi với số nguyên dương n.

3) Để dãy số cấp số nhân, cần dãy số gồm số hạng liên tiếp của dãy số cho mà không lập thành cấp số nhân.

Ví dụ Chứng minh dãy số hữu hạn sau cấp số nhân. 1 1

3, 1, , , , 27 81      

Lời giải Ta có

1 1 1

1 3; ; ; ;

3 3 3

       

1 1 1

;

27 81 27

   

Theo định nghĩa cấp số nhân, dãy số

1 1 3, 1, , , ,

3 27 81      

cấp số nhân với cơng bội q

Ví dụ Trong dãy số đây, dãy số cấp số nhân?

a) Dãy số  xn , với xn n2; b) Dãy số  yn , với  

2

5 n ; n

y  

c) Dãy số  zn , với

; n z

n 

d) Dãy số wn , với

n n n w  

Lời giải

a) Cách 1: Ba số hạng đầu dãy số  xn 1, 4, Vì 1.4;9 4.4  nên dãy số  xn không phải cấp số nhân

Cách 2: Ta có  

2

1

n

x   n nên

 2

1

2

1

1 n

n n x

x n n n

 

   

(phụ thuộc vào n số không đổi) Do đó,  xn khơng phải cấp số nhân.

b) Ta có    

2( 1)

1 5

n n

n

y      

nên  

2

1 5 5

n n y

y

  

(là số khơng đổi) Do đó,  yn phải cấp số nhân với công bội q5

c) Ta có

1 n

z n

 

 nên

1

1 n

n

z n

z n





 (phụ thuộc vào n, số khơng đổi). Do  zn khơng phải cấp số nhân.

d) Ba số hạng đầu dãy số wn

4 10 28 , , 27 81 Vì

10 28 10 ,

27  9 8127 6 nên dãy số wn không phải cấp số nhân

Ví dụ Cho cấp số nhân  un có số hạng đầu u1 1 công bội q3 Viết số hạnh đầu cấp số

nhân tính tổng số hạng

Lời giải

4 3q ( 9)( 3) 27; 4q (27)( 3) 81;

u u     u u   

6 5q ( 81)( 3) 243;

u u    

Tổng số hạng cấp số nhân

1 ( 9) 27 ( 81) 243 182

S         

2 Số hạng tổng quát cấp số nhân. Định lý

Nếu cấp số nhân  un có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng qt un xác định

bởi công thức: 1q ,1

n n

u u  n

   (2) STUDY TIP

Từ kết định lý 1, ta rút kết sau:

Cho cấp số nhân  un với số hạng khác Khi ta có: 1) um u qk m k,k m



 

2)

, m k m

k u

q k m

u



 

Ví dụ Cho cấp số nhân  un có u13 q2

a) Tìm u7.

b) Số 12288 số hạng thứ cấp số nhân cho? Lời giải

a) Ta có u7 u q1 3.26 192



  

b) Số hạng tổng quát cấp số nhân 1 3.2

n n

n

u u q  

 

Vì un 12288 nên 3.2n112288 n13

Do n13 số nguyên dương nên số12288 số hạng thứ 13 cấp số nhân cho.

Ví dụ Cho cấp số nhân  xn có x3 18 x7 1458 Tìm số hạng tổng qt cấp số nhân

Lời giải Gọi q công bội cấp số nhân  xn .

Ta có

2

3 1 1

2

6

7 1

18 18 18 2

1458 1458 1458

x x q x q x x

x x q x q q q q

      

  

   

    

      

  

+ Với x12 q3, ta có số hạng tổng quát

1

1 2.3

n n

n

x x q  

 

+ Với x12 q3, ta có số hạng tổng quát

1

1 2.( 3)

n n

n

x x q  

  

3 Tính chất số hạng cấp số nhân Định lý

Trong cấp số nhân  un , bình phương số hạng (trừ số hạng đầu cuối) tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa

2

1 1,

k k k

u u  u  k 

(3) STUDY TIP

Nếu  un cấp số nhân um2 um k um k ,k m

Ví dụ

a) Cho cấp số nhân  an có a7 4 a9 12 Tìm a8.

b) Cho cấp số nhân 3, ,12,x y Tính giá trị biểu thức F x3y3 Lời giải

a) Theo tính chất cấp số nhân, ta có a82 a a7 4.12 48 Suy a8 4 3 a8 4 3.

b) Theo tính chất cấp số nhân, ta có x2 3.12 36 x y 122 144. Giải ta x 6; y24 x6;y24

+ Với x 6; y24 F x3y314040 + Với x6;y24 F x3y3 14040 Vậy F14040hoặc F 14040

4 Tổng n số hạng cấp số nhân. Định lý

Cho cấp số nhân  un với công bội q1. Đặt Sn u1u2  un Khi đó: (1 )

(4)

n n

n q

S

q  



1 (5)

1 n n

u u S

q



 

 STUDY TIP

1) Chúng ta thường sử dụng cơng thức (4) để tính S biết số hạng đầu n u công bội q cấp số 1

nhân.

2) Công thức (5) sử dụng để tính S trường hợp biết số hạng n u u1, n1 công bội q

cấp số nhân.

Ví dụ

a) Tính tổng S 10 10   210 12

b) Cho cấp số nhân  un có u1 3 cơng bội q2 Tìm k, biết Sk 189 Lời giải

a) Ta có dãy số 1,10,10 , ,102  12lập thành cấp số nhân có số hạng đầu u11 cơng bội q10

Cấp số nhân có 13 số hạng Do

 

 

13

1 13

13

1 1

S 10

1

u q

S

q



   



b) Ta có

   

 

1

3

1

k k

k k

u q

S

q

 

   

 

Theo giả thiết, ta có  

6

3 2k 189 2k k

     

B CÁC DẠNG TOÁN VỀ CẤP SỐ NHÂN

A Dãy số  an , với  

1 *

1 3n n 1, n

a  n

     

B. Dãy số  bn , với

*

1

2017

1, b ,

2018

n n n

b  b b    n

C. Dãy số  cn , với cn n.52n 1, n * 

    .

D. Dãy số  dn , với d13,dn1dn2,  n * Lời giải Đáp án B

Kiểm tra phương án đến tìm phương án - Phương án A: Ba số hạng dãy số 8, 28, 80. Ba số khơng lập thành cấp số nhân

28 80 28

  

- Phương án B: Ta có

*

4035 , 2018

n n

b   b   n

nên  bn cấp số nhân

- Phương án C: Ta có

 

1 25

n n

n c

c n

  

(phụ thuộc vào n, không đổi) Do ( )cn khơng phải cấp số nhân

- Phương án D: Ba số hạng dãy số dn 3,9,81 Nhận thấy ba số không lập thành cấp số nhân nên dãy số dn không cấp số nhân.

Câu 2. Cho cấp số nhân  an có a1 3 a2 6 Tìm số hạng thứ năm cấp số nhân cho.

A.a5 24 B a5 48 C a5 48 D. a5 24

Lời giải Đáp án B

Ta có cơng bội cấp số nhân

2

2 a q

a  

Suy a5 a q1 3.( 2) 48

Vậy phương án B

Nhận xét: Với kiện ví dụ này, đề xuất câu hỏi sau đây:

Câu 1. Cho cấp số nhân  an có a1 3 a2 6 Tìm số hạng tổng quát cấp số nhân cho. A un 3.( 2) n. B

1

3.( 2)n n

u 

  . C un 3.(2)n1. D un 3.(2)n.

Câu 2.

Cho cấp số nhân

 an có a1 3 a2 6 Tìm tổng S của 50 số hạng cấp số nhân

cho

A S 2501. B S 2511. C S  1 250. D S  1 251.

Câu 3. Cho cấp số nhân  an có a1 3 a2 6 Biết Sk 16383, tính ak

Câu 3. Cho cấp số nhân  xn có

2

3

10 20

x x x

x x x

  

 

  

 Tìm x1 cơng bội q

A x11,q2. B x1 1,q2. C x1 1,q2. D x11,q2.

Lời giải

Ta có

 

 

2

2

2

2

3 2

1 10

10

20 1

x q q

x x x x

x x x x q q q q

   

   

  

 

  

      

 

Suy

2

1

x x

q

 

Vậy phương án A

Câu 4. Cho cấp số nhân  un có tổng n số hạng Sn 5n 1. Tìm số hạng đầu u1 cơng

bội q cấp số nhân

A u16,q5. B u1 5,q4. C u1 4,q5. D u15,q6.

Lời giải Ta có u1S1  5 4    

2

2 5 20

u S  S      STUDY TIP 1) Định lý Vi-ét phương trình bậc ba:

Nếu phương trình bậc ba ax3bx2cx d 0 có ba nghiệm x x x1, ,2 3 thì:

1

1 2 3

1

b

x x x

a c x x x x x x

a d x x x

a



  

  

  

  

 



2) Trong thực hành giải toán, sử dụng kết kết hợp với giả thiết toán để tìm nghiệm phương trình xác định mối liên hệ hệ số phương trình

Trường hợp d a



số điều kiện cần để phương trình bậc ba nói có ba nghiệm lập thành cấp số nhân

3 d

x

a  

nghiệm phương trình bậc ba

Câu 5. Cho cấp số nhân  un có u13 15u1 4u2u3 đạt giá trị nhỏ Tìm số hạng thứ 13 của

cấp số nhân cho

A u1324567. B u13 12288. C u13 49152. D u13 3072.

Lời giải Gọi q công bội cấp số nhân  un

Ta có  

2

1

15u  4u u 45 12 q3q 3 q 33 33  q Suy u13 u q1 12 12288. Phương án B.

Câu 15. Cho cấp số nhân  un có u13 15u1 4u2u3 đạt giá trị nhỏ Số hạng tổng quát của

cấp số nhân A un 3.2 n



 B un 3.2n1

C  

1

3 n n

u 

 

D un 3.4 n 



Câu 16. Cho cấp số nhân  un có u13 15u1 4u2 u3 đạt giá trị nhỏ Số 12288 số hạng

thứ cấp số nhân đó?

A 13 B 12. C 14. D 15

Câu 17. Cho cấp số nhân  un có u13 15u1 4u2u3 đạt giá trị nhỏ Tính tổng S15 15 số

hạng cấp số nhân

A S15 737235 B S15 2949075 C S15 1474515 D S15 2949075 Câu 18. Cho cấp số nhân  un có u13 15u1 4u2u3 đạt giá trị nhỏ Biết Sk 5898195,

tìm k

A k16 B k18 C k19 D k17

Câu 6. Số đo ba kích thước hình hộp chữ nhật lập thành cấp số nhân Biết thể tích khối hộp 125 cm3 diện tích tồn phần 175 cm2 Tính tổng số đo ba kích thước hình hộp chữ nhật

A 30cm B 28cm C 31 cm D 17,5cm

Lời giải

Vì ba kích thước hình hộp chữ nhật lập thành cấp số nhân nên ta gọi ba kích thước

, , a

q aq q

Thể tích khối hình hộp chữ nhật

3

125

a

V a qa a a

q

    

Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật

2 1

2 50

tp

a a

S a a aq aq a q q

q q q q

     

            

     

Theo giả thiết, ta có

2

2

50 175 1

2 q

q q q

q q

 

  

       

   

 



Với q2 q

kích thước hình hộp chữ nhật 2,5cm cm;5 ;10cm Suy tổng ba kích thước 2,5 10 17,5   cm

Vậy phương án D

Câu 7. Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành

cấp số nhân:  

3 7 2 6 8 0.

x  x  m  m x 

A m7 B m1

C m1 m7 D m1 m7

+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình cho có ba nghiệm phân biệt x x x1, ,2 3 lập thành

cấp số nhân

Theo định lý Vi-ét, ta có x x x1 8

Theo tính chất cấp số nhân, ta có x x1 x22 Suy ta có

2 2

x   x  + Điều kiện đủ: Với m1 m7 m26m7 nên ta có phương trình

3 7 14 8 0.

x  x  x 

Giải phương trình này, ta nghiệm 1, 2, Hiển nhiên ba nghiệm lập thành cấp số nhân với công bôị q2

Vậy, m1 m7 giá trị cần tìm Do phương án D

STUDY TIP Ta nghiệm x2 cách khác:

Theo định lý Vi-ét  

2

1 7; 2 3 ;

x x x  x x x x x x  m  m x x x 

Theo tính chất cấp số nhân x x1 x22 Suy

   

1 2 3 2

2 m 6m x x x x x x x x x x

Thay x1x2x3 7;

 

2

2

m m

x  

Thay vào x x x1 8 ta

 3

3

8

8

m  m



2 6 7 0.

m m

   

Nhận xét: Từ kêt ví dụ này, ta đề xuất câu hỏi sau đây:

Câu 1. Biết tồn hai giá trị tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân:  

3 7 2 6 8 0.

x  x  m  m x 

Tính tổng bình phương hai giá trị

A 48 B 64 C 36 D 50

Câu 2. Biết tồn hai giá trị tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân:  

3 2

x  x  m  m x 

Tính tổng bình phương ba số hạng cấp số nhân

A 49 B 21. C 14. D 13

Câu 8. Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.105 mét khối Biết tốc độ sinh trưởng khu rừng 4% năm Hỏi sau năm, khu rừng có mét khối gỗ

A  

5

4.10 0,05

B  

5

4.10 1,

C  

5

4.10 1, 04

D  

5

4 10, Lời giải

Đặt u0 4.105 r4% 0,04.

Gọi un trữ lượng gỗ khu rừng sau năm thứ n Khi ta có un1 unun1r n, N

Suy  un cấp số nhân với số hạng đầu u0 cơng bội q 1 r

Do số hạng tổng quát cấp số nhân  un 01 

n n

 5  5

4

1 4.10 0,04 10,

n

u u q    mét khối gỗ.

Vậy phương án D

Câu 9. Bài toán “Lãi kép”

Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7% /năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi lãi kép) Giả sử khoảng thời gian gửi người gửi không rút tiền lãi suất khơng thay đổi, hỏi sau 10 năm tổng số tiền vốn lẫn lãi mà người gửi nhận gần với số tiền số tiền đây?

A 196715000 đồng. B 196716000 đồng. C 183845000 đồng. D 183846000 đồng. Lời giải

Đặt M0 108 (đồng) r7% 0, 07.

Gọi Mn số tiền vốn lẫn lãi mà người gửi nhận sau n năm. Theo giả thiết, ta có Mn1 MnM r Mn  n1r, n

Do dãy số Mn cấp số nhân với số hạng đầu M0 công bội q 1 r. Suy ra

 

0

n n

M M r

Vì vậy, sau 10 năm tổng số tiền vốn lẫn lãi mà người gửi nhận

 10 8 10

10 10 1,07 196715000

M M r  

Vậy phương án A

Câu 10. Một người gửi ngân hàng 150 triệu đồng theo thể thức lãi kép, lãi suất 0,58% tháng (kể từ tháng thứ 2, tiền lãi tính theo phần trăm tổng tiền lãi tháng trước tiền gốc tháng trước đó) Sau tháng, người có 180 triệu đồng?

A 34 tháng. B 32 tháng. C 31 tháng. D 30 tháng. Lời giải

Theo ví dụ , sau n tháng gửi tiết kiệm, ta có

 

0 ,

n n

M M r M0 15.10 ,7 r0, 0058 Do 15.10 1, 0058 7 

n n

M 

Cách 1: Kiểm tra phương án đến tìm phương án đúng.

+ Phương án A:  

34

34 15.10 1,0058 182594000

M  

(đồng)

+ Phương án B:  

32

32 15.10 1,0058 180494000

M  

(đồng)

+ Phương án C:  

31

31 15.10 1,0058 179453000

M  

(đồng)

Vậy, phương án B (Không cần kiểm tra phương án D phương án D, số tháng phương án C nên số tiền nữa)

Cách 2: Theo giả thiết, ta có Mn 18.107 (đồng).

Do đó, ta có    

7

18.10 15.10 1, 0058 1,0058

n n

  

Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính  

log : log 1, 0058

n  

C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Dạng 1: Bài tập nhận dạng cấp số nhân.

Câu 1. Dãy số không cấp số nhân?

A.

1 1

1, , , 25 125    

B.

1 1 ; ; ;1   

C. 42; 2; 2;8 2.4 4 D.

1 1 1; ; ;

3 27

Câu 2. Trong dãy số cho đây, dãy số cấp số nhân?

A. Dãy số  un , với un  7 n B. Dãy số  vn , với vn  7 n

C. Dãy số wn, với wn 7.3 n D. Dãy số  tn , với

n t

n 

Câu 3. Trong dãy số cho công thức truy hồi sau, chọn dãy số cấp số nhân

A

2

2

n n

u u  u

  



 B

1

1

n n

u

u  u

  



 C

1

3

n n

u u  u

  

 

 D

1

3 n

n n

u

u  u

  

 

Dạng 2: Bài tập xác định số hạng công bội cấp số nhân.

Câu 4. Cho dãy số  un xác định u13 ,

n n

u

u    n

Tìm số hạng tổng quát dãy số

A un 3.4 n 

 B un 3.4 1n

 C un 3.4 n1

 D un 3.4 n



Câu 5. Cho cấp số nhân  xn có x2 3 x4 27 Tính số hạng đầu x1 cơng bội q cấp số

nhân

A x11,q3hoặc x11,q3 B x1 1,q3 hoặc x1 1,q3 C x13,q1 x1 3,q1 D x1 3,q1 x13,q1 Câu 6. Cho cấp số nhân  an có a38 a5 32 Tìm số hạng thứ mười cấp số nhân

A a10 1024 B a10 512 C a10 1024 D a10 1024 Câu 7. Cho cấp số nhân x,12, ,192.y Tìm x y

A x3,y48 x4,y36 B x3,y48 x2,y72

C x3,y48 x3,y48 D x3,y48 x3,y48

Câu 8. Cho cấp số nhân  un có u15,q3 Sn 200, tìm n un

A n5 và un 405 B n6 un 1215

C n7 un 3645 D n4 un 135

Câu 9. Cho cấp số nhân  an có a12 biểu thức 20a110a2a3 đạt giá trị nhỏ Tìm số hạng

thứ bảy cấp số nhân

A a7 156250 B a7 31250 C.a7 2000000 D a7 39062

Câu 10. Một tứ giác lồi có số đo góc lập thành cấp số nhân Biết số đo góc nhỏ

1

9 số đo góc nhỏ thứ ba Hãy tính số đo góc tứ giác đó.

Câu 11. Cho cấp số nhân  un có

4

3

540 180 u u u u

 

 

 

 Tìm số hạng đầu u1 công bội q cấp số nhân.

A u12,q3 B u1 2,q3 C. u1 2,q3 D u12,q3

Câu 12. Cho cấp số nhân  an có a17, a6 224 Sk 3577. Tính giá trị biểu thức

 1 k

T  k a

A T 17920 B T 8064 C T 39424 D T 86016

Dạng 3: Bài tập tổng n số hạng cấp số nhân.

Câu 13. Cho cấp số nhân  un có S2 4 S3 13. Tìm S5 A S5 121

181 16 S 

B. S5 121

35 16 S 

C. S5 114

185 16 S 

D S5 141

183 16 S 

Câu 14. Cho cấp số nhân  un có u18 biểu thức 4u32u2 15u1 đạt giá trị nhỏ Tính S10 A.

 11 

10

2 5.4

S  

B

 10 

10

2 5.4

S  

C

10

10

2

3.2

S  

D

11

10

2

3.2

S  

Câu 15. Cho cấp số nhân  un có u12, cơng bội dương biểu thức

7

1024 u

u 

đạt giá trị nhỏ Tính S u 11u12 u20

A S 2046 B S 2097150 C. S 2095104 D S 1047552

Câu 16. Cho cấp số nhân  un có

4

3

540 180 u u u u

 

 

 

 Tính S21

A  

21 21

1

3

S  

B. S213211 C.

21 21

S   D  

21 21

1

3

S  

Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân.

Câu 17. Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân: x3 3x1x25m4x8 0.

A m2 B. m2 C. m4 D m4

Câu 18. Biết tồn hai giá trị m1 m2 để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một

cấp số nhân:    

3 2

2x 2 m 2m1 x  m 2m x 54 0.

Tính giá trị biểu thức

3

1

P m m

A P56 B. P8 C. P56 D P8

Câu 19. Một hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng) Sau đó,

cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên 10% Nhưng sau thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng lên 10% Hỏi giá mặt hàng A cửa hàng sau hai tăng giá bao nhiêu?

A 120 B. 121 C.122 D 200

Câu 20. Một người đem 100 triệu đồng gửi tiết kiệm với kỳ han tháng, tháng lãi suất 0, 7% số tiền mà người có Hỏi sau hết kỳ hạn, người lĩnh tiền?

A  

5

10 0, 007

(đồng) B.  

5

10 1, 007

C.  

10 0,007 (đồng) D 10 1, 0078 6

(đồng)

Câu 21. Tỷ lệ tăng dân số tỉnh M 1, 2% Biết số dân tỉnh M triệu người Nếu lấy kết xác đến hàng nghìn sau năm số dân tỉnh M bao nhiêu?

A 10320 nghìn người B. 3000 nghìn người

C. 2227 nghìn người D 2300 nghìn người

Câu 22. Tế bào E Coli điều kiện ni cấy thích hợp 20 phút lại nhân đôi lần Nếu lúc đầu có 1012 tế bào sau phân chia thành tế bào?

A 1024.1012 tế bào B. 256.1012 tế bào C. 512.1012 tế bào D 512.1013 tế bào

Câu 23. Người ta thiết kế tháp gồm 11 tầng theo cách: Diện tích bề mặt tầng nửa diện tích mặt tầng bên diện tích bề mặt tầng nửa diện tích đế tháp Biết diện tích đế tháp 12288m2, tính diện tích mặt

A 6m2 B. 12m2 C. 24m2 D 3 m2

Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số nhân cấp số cộng.

Câu 24. Trong mệnh đề đây, mệnh đề sai?

A Dãy số  an , với a13 an1 an6,  n 1, vừa cấp số cộng vừa cấp số nhân

B. Dãy số  bn , với b11  

1 3,

n n

b b    n 1,

vừa cấp số cộng vừa cấp số nhân

C. Dãy số  cn , với c1 2

2

1 10

n n

c  c   n 1, vừa cấp số cộng vừa cấp số nhân.

D Dãy số  dn , với d13

2

1 15,

n n

d   d   n 1, vừa cấp số cộng vừa cấp số nhân

Câu 25. Các số x6 ,y 5x2 ,y 8x y theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đồng thời, số

, x

1,

y 2x 3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm x y

A x3,y1

3

,

8

x y

B. x3,y1

3

,

8

x y

C. x24,y8 x3,y1 D x24,y8 x3,y1

Câu 26. Ba số x y z, , lập thành cấp số cộng có tổng 21 Nếu thêm số 2;3;9 vào ba số (theo thứ tự cấp số cộng) ba số lập thành cấp số nhân Tính

2 2.

Fx y z

A F389.hoặc F395 B. F 395. F 179

C. F389. F 179 D F 441 hoặc F 357

D HƯỚNG DẪN GIẢI

Dạng 1: Bài tập nhận dạng cấp số nhân.

Câu 1. Đáp án B

Các dãy số phương án A C, D đảm bảo dấu cịn dãy số phương án B thì số hạng đầu âm số hạng thứ tư dương nên dãy số phương án B cấp số nhân

Câu 2. Đáp án C

Kiểm tra phương án đến tìm phương án

+ Phương án :A Ba số hạng đầu dãy số 4,1, 2 không lập thành cấp số nhân nên dãy số

+ Phương án :B Ba số hạng đầu dãy số 4; 2; 20  không lập thành cấp số nhân nên dãy số  vn cấp số nhân.

+ Phương án :C Ta có 7.3 ,

n

n n

w  w n

     nên dãy số wn cấp số nhân

+ Phương án :D Ba số hạng đầu dãy số

7 7 , ,

3 9 không lập thành cấp số nhân nên dãy số

 tn cấp số nhân.

Câu 3. Đáp án B

Các kiểm tra câu

Dạng 2: Bài tập xác định số hạng công bội cấp số nhân.

Câu 4. Đáp án B

Ta có:

1 4 n n n u

u    u

nên  un cấp số nhân có cơng bội

q

Suy số hạng tổng quát

1

1

1

1

3.4

n

n n

n u u q



   

    

  Vậy phương án B

Câu 5. Đáp án B

Ta có 27 x x      3 27 x q x q       1 x q     



1 .

3 x q     

Do B phương án

Câu 6. Đáp án A

Ta có: 32 a a      32 a q a q         2 a q     



1 a q     

Với a12,q2

9

10 1024

a a q  Với a12,q2

9

10 1024

a a q 

Vậy a10 1024. Suy A phương án đúng.

Câu 7. Đáp án C

Theo tính chất cấp số nhân, ta có:

2 12.192 2304

y    y48

Cũng theo tính chất cấp số nhân, ta có:

2

12 144 xy 

Với y48 x3; với y48 x3

Vậy phương án C

Câu 8. Đáp án D

Ta có: 1 n n q S u q  

 nên theo giả thiế, ta có:

1 200 n  

  3n 81 n4

Câu 9. Đáp án B

Gọi q công bội cấp số nhân  an .

Ta có  

2

1

20a 10a a 2 q 10q20 2q 52 1010,q Dấu xảy q5

Suy a7 a q1 2.56 31250

Vậy phương án B

Câu 10. Đáp án B

Cách 1: Kiểm tra dãy số phương án có thỏa mãn yêu cầu tốn khơng. + Phương án :A Các góc ,15 , 45 , 225 không lập thành cấp số nhân vì0 0

0

15 3.5 ; 450 3.15 ;0 2250 3.45 0



+ Phương án :B Các góc , 27 ,81 , 243 lập thành cấp số nhân và0 0

0 0 0

9 27 81 243 360 Hơn nữa,

0

9 81 

nên B phương án + Phương án C :D Kiểm tra phương án A

Cách 2: Gọi góc tứ giác a aq aq aq, , 2, 3, q1 Theo giả thiết, ta có

2

1 a aq

nên q3 Suy góc tứ giác a a a,3 ,9 , 27 a

Vì tổng góc tứ giác 3600 nên ta có:

0

3 27 360

a a a a  a9

Do đó, phương án B (vì ba phương án cịn lại khơng có phương án có góc

0

9 ).

Câu 11. Đáp án A

Ta có u4u6 540 u3u q5 540

Kết hợp với phương trình thứ hai hệ, ta tìm q3 Lại có u3u5 180  

2

1 180

u q q

  

Vì q3 nên u12

Vậy phương án A

Câu 12. Đáp án A

Ta có a6 224

5

1 224

a q

   q2 (do a17).

Do

 

 

1

7 1

k

k k

a q

S

q



  

 nên Sk 3577 2 1 3577 k

   2k 29

   k9

Suy T 10a9 10a q1 17920

Vậy phương án A

Dạng 3: Bài tập tổng n số hạng cấp số nhân.

Ta có u3 S3 S2 9

2

1

9

u q u

q

   

Vì S2 4 nên u1u q1 4 Do

9 q q 

2

4q 9q

     q3

3 q

+ Với q3 u11,

5

6 243

u u q 

Suy

1

5

1 243 121

1

u u S q        + Với q

u116,

243 64 u  Suy 181 16 u u S q    

Vậy phương án A

Câu 14. Đáp án B

Gọi q cơng bội cấp số nhân Khi

 2

3

4u 2u 15u 2 4q1 122122,q

Dấu xảy 4q 1

1 q   Suy ra:   10 10 10

10

1

1 2 4 1

1

1

1 1 5.4

4 q S u q                    

Vậy phương án B

Câu 15. Đáp án C

Gọi q cơng bội cấp số nhân, q0 Ta có 1024 512 u q u q   

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có:

3 3 3

3

6 6

512 512 512

2q q q q q 24

q q q

     

Suy

1024 u

u 

đạt giá trị nhỏ 24

3 512 q q  q   Ta có

 10

1 11 10 2; u q S q     

 20

1 21 10 2 u q S q     

Do S S20 S102095104. Vậy phương án C

Câu 16. Đáp án A

Kết hợp với phương trình thứ hai hệ, ta tìm q3 Lại có u3u5 180

 4

1 180

u q q

  

Vì q3 nên u12 Suy

 

 

21

1 21

21

1 1

3

1

u q

S

q



  



Vậy phương án A

Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân

Câu 17. Đáp án B

Cách 1: Ta có

8 d a

   

Điều kiện cần để phương trình choc ó ba nghiệm lập thành cấp số nhân x38 2 là

nghiệm phương trình

Thay x2 vào phương trình cho, ta được

4 2 m0  m2

Với m2, ta có phương trình x3 7x2 14x 0  x1;x2;x4

Ba nghiệm lập thành cấp số nhân nên m2 giá trị cần tìm Vậy, B phương án

Cách 2: Kiểm tra phương án đến tìm phương án đúng.

Câu 18. Đáp án A

Ta có

54 27

d a

   

Điều kiện cần để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân

3 27 3

x  phải nghiệm phương trình cho.

2

m m

     m2;m4

Vì giả thiết cho biết tồn hai giá trị tham số m nên m2 m4 giá trị

thỏa mãn

Suy  

3

2 56

P    Vậy phương án A

Câu 19. Đáp án B

Sau lần tăng giá thứ giá mặt hàng A là:

1 100 100.10% 110

M   

Sau lần tăng giá thứ hai giá mặt hàng A là:

2 110 110.10% 121

M   

Suy phương án B Suy phương án B.

Câu 15. Đáp án D.

Số tiền ban đầu M0 108 (đồng)

Đặt r0,7% 0, 007

Số tiền sau tháng thứ M1 M0M r M0  01r.

Số tiền sau tháng thứ hai  

2

2 1

Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu  

6

6

M M r .

Do  

6

6 10 1, 007

M 

Câu 16. Đáp án C.

Đặt P0 2000000 2.10 r1, 2% 0, 012

Gọi Pn số dân tỉnh M sau n năm Ta có: Pn1PnP r Pn  n1r.

Suy  Pn cấp số nhân với số hạng đầu P0 cơng bội q 1 r.

Do số dân tỉnh M sau 10 năm là:    

9 6 10

9 2.10 1, 012 2227000

P M r  

Câu 17. Đáp án C.

Lúc đầu có 1022 tế bào lần phân chia tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với u1 1022 công bội q2

Do 20 phút phân đơi lần nên sau có lần phân chia tế bào Ta có u10 số tế

bào nhận sau Vậy, số tế bào nhận sau u10 u q1 512.1012

Câu 18. Đáp án A.

Gọi u0 diện tích đế tháp un diện tích bề mặt tầng thứ n, với 1 n 11 Theo giả thiết, ta có

1

0 10

n n

u   u  n

Dãy số  un lập thành cấp số nhân với số hạng đầu u0 12288 công bội

1 q

Diện tích mặt tháp

11

11

11

1

12288 m

u u q    

  .

Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số nhân cấp số cộng.

Câu 19. Đáp án D.

Kiểm tra phương án đến tìm phương án sai

+ Phương án A:Ta có a2 3;a2 3; Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng chứng

minh an   3, n Do  an dãy số khơng đổi Suy vừa cấp số cộng (công sai ) vừa cấp số nhân (công bội 1).

+ Phương án B: Tương tự phương án A, bn   1, n 1 Do  bn dãy số khơng đổi Suy vừa cấp số cộng (công sai ) vừa cấp số nhân (công bội 1)

+ Phương án D: Ta có: d13,d2 3,d33 Ba số hạng không lập thành cấp số cộng

cũng không lập thành cấp số nhân nên dãy số  dn cấp số cộng không cấp số nhân

Câu 20. Đáp án A.

+ Ba số x6 ,5y x2 ,8y x y lập thành cấp số cộng nên

x6y  8x y  2 5 x2y  x3y + Ba số

5

, 1, 3

x y x y

lập thành cấp số nhân nên    

2

5

2

3

x x y y

 

   

 

  .

Thay x3y vào ta 8y27y1 0  y1 y

Với y1 x3; với

1 y

x

Câu 21. Đáp án C.

Theo tính chất cấp số cộng , ta có x z 2y

Kết hợp với giả thiết x y z  21, ta suy 3y21 y7

Gọi d cơng sai cấp số cộng x y d  7 d z y d  7 d Sau thêm số 2;3;9 vào ba số x y z, , ta ba số x2,y3,z9 hay

9 d,10,16d.

Theo tính chất cấp số nhân, ta có    

2

9 d 16d 10  d 7d 44 0

Giải phương trình ta d 11 d 4.