Đang tải... (xem toàn văn)
Từ điểm M trên cung nhỏ AB, vẽ tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt Ox, Oy lần lượt tại C và D.. Tính chu vi ∆COD theo R.[r]
(1)Đề kiểm tra 15 phút mơn Tốn lớp
Bài – Chương Hình học: Tính chất hai tiếp tuyến cắt Đề số
Cho đường tròn (O; R) điểm A cho OA = 2R Vẽ tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm) Đường thẳng OA cắt BC H, cắt cung nhỏ cung lớn BC M N
a Chứng minh : OA ⊥ BC R OA HM
b Vẽ cát tuyến ADE Gọi K trung điểm DE Chứng tỏ năm điểm A, B, O, K, C thuộc đường tròn
Giải:
a AB AC hai tiếp tuyến đường tròn (O) ta có AB = AC, lại có OB = OC (=R) nên OA đường trung trực đoạn BC ⇒ OA ⊥ BC
Ta có: OA = 2R (gt)
⇒ MA = OA – MO = 2R – R = R hay M trung điểm AO ∆ABO có BM trung tuyến nên:
2 AO BM MO R
Vậy ∆BMO Do đường cao BH đồng thời đường trung tuyến nên
R HM HO
∆ABO vng có BH đường cao nên
OB OA OH (hệ thức lượng) hay
R OA HM
b K trung điểm DE ⇒ OK ⊥ DE (định lí đường kính dây cung)
(2)Đề số
Cho góc xOy 60 Đường trịn tâm K bán kính R tiếp xúc với Ox A Oy B Từ điểm M cung nhỏ AB, vẽ tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến cắt Ox, Oy C D
a Tính chu vi ∆COD theo R Chứng tỏ chu vi khơng đổi M chạy cung nhỏ AB
b Chứng minh số đo CKD không đổi M chạy cung nhỏ AB Giải:
a Ta có: OA, OB hai tiếp tuyến (O) nên OA = OB OK phân giác
60
30
2
AOB
AOBAOK BOK
Do ∆OAK nửa tam giác có cạnh AK = R ⇒ OK = 2R nên
2
2 2
2
OAOB OK AK R R R
Lại có CD tiếp xúc với (K) M nên CM = CA DM = DB Gọi p chu vi ∆OCD, ta có:
p = OC + CM + MD + OD = OC + CA + DB + OD =2OA = 2R (khơng đổi)
b Ta có: CK phân giác AKM, DK phân giác BKM
mà AKM BKM AKB120 (vì O 60 va A B 90 )
1
.120 60
2
CKD AKB
(3)Đề số
Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến A B với nửa đường tròn Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến A B C D
a Chứng minh : CD = CA + BD; COD 90
b Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD Giải:
a Ta có: CA = CM, DB = DM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) mà CD = CM + DM ⇒ CD = CA + BD
Lại có CO DO tia phân giác góc kề bù AOM va BOM nenCOD 90 b Gọi I trung điểm CD, ta có: OI đường trung tuyến tam giác vuông COD nên IO = IC = ID
hay OI bán kính đường trịn đường kính CD
Dễ thấy tứ giác ABCD hình thang vng có OI đường trung bình nên IO // AC BD mà AC BD vng góc với AB (gt)
⇒ IO ⊥ AB Chứng tỏ AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD Đề số
Cho đường trịn (O) đường kính AB Lấy điểm C thuộc (O), tiếp tuyến A (O) cắt BC D Gọi M trung điểm AD
a Chứng minh MC tiếp tuyến (O)
b Chứng minh MO ⊥ AC trung điểm I AC Giải:
a Ta có: ACB 90 (chắn nửa đường tròn)
90
ACD
(kề bù)
(4)2 AD CM MA
Do hai tam giác vuông MCO MAO (c.c.c)
90
MCO MAO
hay MC tiếp tuyến (O) b Ta có: MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OA = OC (=R)
⇒ OM đường trung trực đoạn AC hay OM ⊥ AC Đề số
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB M điểm thuộc nửa đường tròn Kẻ MH ⊥ AB (H ∈ AB) Vẽ đường tròn (M; MH) Kẻ tiếp tuyến AC, BD với đường tròn (M) (C, D tiếp điểm)
a Chứng minh ba điểm C, M, D thẳng hàng CD tiếp tuyến (O) b Chứng minh M di chuyển (O) AC + BD khơng đổi Giải:
a Ta có: AC, AH tiếp tuyến đường tròn (M; MH) nên MA phân giác góc
CMH hay CMAAMH
Tương tự MB phân giác DMH HMBBMD mà AMHHMB AMB 90 (AB đường kính)
180
CMA AMH HMB BMD
hay ba điểm C, M, D thẳng hàng ⇒ CA // BD (⊥ CD) hay tứ giác ABCD hình thang vng, có OM đường trung bình nên OM // AC // BD ⇒ OM ⊥ CD
Chứng tỏ CD tiếp tuyến (O)
b Ta có: AC = AH, BD = BH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ AC + BD = AH + BH = AB = 2R không đổi
(5)Từ điểm P nằm ngồi đường trịn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến PA, PB (A, B tiếp điểm) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến đường kính BC Chứng minh PC cắt AH trung điểm I AH
Giải:
Gọi D giao điểm đường thẳng AC BP Ta có: BAC 90 (BC đường kính)
90
BAD
(kề bù) hay DAPPAB 90 (1) ∆ABD vuông A (cmt) ABDADB 90 (2) Mặt khác PA, PB hai tiếp tuyến cuả (O)
nên PA = PB PAB PBA (3) Từ (1), (2) (3) DAP ADP Do ∆APD cân P
⇒ PA = PD, mà PA = PB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ PD = PB
Lại có DB // AH (⊥ BC)
Xét ∆PBC có : IH // PB IH IC PB PC
(4) (Định lí Ta-lét)
Tương tự ∆PCD có : AI // PD AI IC DP PC
(5)
Từ (4) (5) IH AI IH IA PB DP