Bài giải đề toán chuyên tuyển sinh vào 10 TP.HCM năm 2018 – 2019

Đường thẳng AC cắt (O) tại điểm thứ hai K. Đường thẳng BK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại L. các đường thẳng CL và KM cắt nhau tại E. Chứng minh rằng E nằm trên đường tròn ng[r]

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q.10 ĐỀ TOÁN CHUYÊN TUYỂN SINH 10 TP.HCM 2018 – 2019

Bài (1 điểm) Cho , ,a b c ba số thực thỏa điều kiện a b c  0

  

2 2 1 1

a  a c  a b  Tính giá trị biểu thức Aa2b2c2 Câu (2 điểm)

a) Giải phương trình x 4x x

   

b) Giải hệ phương trình

2

2

1 x y

x y x y

  

 

  



Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) vng A có đường cao AH, gọi E, F hình chiếu H lên AB, AC

a) Chứng minh BE CH CF BH AH BC

b) Gọi D điểm đối xứng B qua H gọi O trung điểm BC Đường thẳng qua D vng góc với BC cắt AC K Chứng minh BK  AO

Câu (1,5 điểm)

a) Chứng minh 0

2

x   x với số thực x

b) Cho ,x y số thực thỏa điều kiện x2xyy2 3 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 2

Px y

Câu (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Gọi M trung điểm BC O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB Đường thẳng AC cắt (O) điểm thứ hai K Đường thẳng BK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC L đường thẳng CL KM cắt E Chứng minh E nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM

Câu (2 điểm) Các số nguyên dương từ tới 2018 tô màu theo qui tắc sau: Các số mà chia cho 24 dư 17 tô màu xanh

Các số mà chia cho 40 dư tô màu đỏ Các số cịn lại tơ màu vàng

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q.10 b) Có cặp số a b;  cho a tô màu xanh, b tô màu đỏ a b 2 Gợi ý giải

Bài (1 điểm) Cho , ,a b c ba số thực thỏa điều kiện a b c  0

  

2 2 1 1

a  a c  a b  Tính giá trị biểu thức Aa2b2c2

Ta có : 0  2 2 2  2  2

a b c a b c ab bc ca ab bc ca a b c

               

Ta lại có: 2 1 1 2 1

a  a c a b   a ab bc ca b c    

 

2 2 2 2 2 0

a ab bc ca b c

       

2 2 2 2 2 0

a a b c b c

       

  2 2

1 0

1 b

b c a

c

 

      

 



Vậy 2 2

a b c  Câu (2 điểm)

a) Giải phương trình x 4x x

   

b) Giải hệ phương trình

2

2

1 x y

x y x y

  

 

  



Giải

a) x 4x x

    Điều kiện: x 3;x0

Phương trình 4 3 4 2 3 4 3 4 1

x x x x x x x x

          

 2

3

3

x x

x x

x x

   

     

   



+

 2

1

2

3 2

4

3

x x

x x

x x

x x

   

 

 

    

        

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q.10

41

8

3 41 41

8 x x x x                   (nhận) +

 2

1

2

3

5 57 57

3

8

x x

x x

x x x x

                        57 x 

  (nhận)

Vậy phương trình có nghiệm 41

x  ; 57 x 

b)  

 

2

1

2 x y

x y x y

  

 

  



Từ (1) 1

x  y

Từ (2) ta có: 3 21 3 2

x x  y y  y y y x

 

2 2

2

0

1

1

x

x x y x

x y          

Nếu x  0 y Nếu 1

x y

 

Từ (1) ta có: 1 1 1  2 1

1 y

y x x x y x

y x              

Nếu y  0 x

Nếu y x ta có:  12 0

3

x y

x x x x

x y                  

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q.10 Vậy hệ có ba nghiệm     0;1 , 1;0 , 3; 2  

Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) vng A có đường cao AH, gọi E, F hình chiếu H lên AB, AC

a) Chứng minh BE CH CF BH AH BC

b) Gọi D điểm đối xứng B qua H gọi O trung điểm BC Đường thẳng qua D vng góc với BC cắt AC K Chứng minh BK  AO

a)thay . AB2

AB BH BC BH BC

   . AC2

AC CH CB CH BC

   ta có:

BE CH CF BH AH BC

.

BE AC CF AB

AH BC

BC BC

  

BE AC CF AB AH BC

  

Tam giác BEH đồng dạng tam giác BAC ABH

BE BA

BE CA HE AB S

HE CA 

    

Tam giác CFH đồng dạng tam giác CAB CF CA CF AB HF AC 2S AHC

HF BA 

    

Ta có: BE CA CF AB  2SABH 2SACH 2SABC AH BC (điều phải chứng minh) b)Gọi giao điểm BK với AH G, HG đường trung bình tam giác BKD nên G trung điểm BK

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q.10 DG trung tuyến tam giác vuông ADK nên

2 BK DG

AG trung tuyến tam giác vuông ABK nên

2 BK AG

BG AG

 

Mà OB = OA (AO trung tuyến tam giác vuông ABC) Nên OG trung trực AB

Trong tam giác ABO ta có G trực tâm BG AO hay BK  AO Câu (1,5 điểm)

a) Chứng minh 0

2

x   x với số thực x

b) Cho ,x y số thực thỏa điều kiện x2xyy2 3 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 2

Px y Giải

a)

2

4 2 1 0

2 4 2

x   x x x  x   x x   x  

   

Dấu “ = “ xảy

2

2 x x

 

  

  

(vô nghiệm)

Vậy 0

2

x   x với số thực x

b)Ta có: 2 2 2

2 x y

x y  xy xy   Dấu “ = “ xảy  x y

Ta có:

2 2

2 2 2

3

2

x y x y

x xy y x y   x y

         

Dấu “ =” xảy 2 2

3

x y x

x xy y y



 

 

 

   

 

3 x y

    

 

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q.10 Vậy Pmax    6 x y x  y

Đặt  2 0 2 2 2

2 x y

xy   x y   xy xy  Dấu “ = “ xảy   x y

Ta có: 3 2 2 2 3 2 2 2

2

x y

x xy y x y  x y x y

          

dấu “ =” xảy 2 2

1

x y x

y x xy y

  

 

 

 

   

 hay

1 x y

  

 



Vậy

1

1 x P

y

 

    



1 x y

   





Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q.10 Vì 900

BAK  BK đường kính đường tròn (O) KM BM

  (1)

Vì BC đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC nên BLLC Trong tam giác EBC có K trực tâm nên suy EK BC (2)

Từ (1) (2) ta suy E, K, M thẳng hàng

Khi ta có: 900 ,

CAECME A M thuộc đường trịn đường kính CE hay E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC

Câu (2 điểm) Các số nguyên dương từ tới 2018 tô màu theo qui tắc sau: Các số mà chia cho 24 dư 17 tô màu xanh

Các số mà chia cho 40 dư tô màu đỏ Các số cịn lại tơ màu vàng

a) Chứng tỏ khơng có số tơ hai màu xanh đỏ Hỏi có số tơ màu vàng ?

b) Có cặp số a b;  cho a tô màu xanh, b tô màu đỏ a b 2 Giải

Gọi an 24n17 số tô màu xanh

40

m

b  m số tơ màu đỏ

Giả sử có số tô hai màu xanh đỏ, tức số chia 24 dư 17 chia 40 dư 7, tồn hai số nguyên ,n m cho 24n17 40 m7

20m 12n n

    ⋮ hay n5k với kℤ

Khi : 24 5 k 17 40 m 7 40m3k104m3k1 (vơ lí ,m k số ngun)

Vậy khơng có số tô hai màu xanh đỏ Ta có: 24 n17 2018   0 n 83

 có 84 số tơ màu xanh

Võ Tiến Trình – 0988270709 392/8/117 Cao Thắng, P.12, Q.10

 có 51 số tô màu đỏ

Vậy số tô màu vàng : 201884 51 1883 số

b)Tìm số n m,  thỏa an bm  2 12n20m 5

12 20

12 20

n m n m

  



    



Trường hợp 1: 12 20 83 50

3 m

n m   n   m

Mà | 2 1 3 50 33

3

m t

m m t m t m t

 

 ℤ            

Vì t

t



 ℤ lẻ  có 17 giá trị t hay có 17 n m,  hay có 17  , 

n m

a b

Trường hợp 12 20 10 83 50

6 m

n m   n   m

Mà 10 | 4 3 6 3 2 2

m

m m u m u u



 ℤ          ⋮ (vơ lí)