Bổ đề 2 là điều cần chứng minh của bài toán gốc sau khi đã biến đổi, lời giải của tác giả hơi nặng về tính toán nhưng nó lại luôn đem đến cho ta một kết quả hữu ích.. Bây giờ ta quay lại[r]
(1)Lời giải hình VNTST ngày năm 2019 Nguyễn Đăng Khoa - Trường THPT chuyên Hùng Vương
Ngày 30/3/2019
Bài toán (VNTST 2019, P5)
Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O) ngoại tiếp đường tròn (I) Giả sử BI cắt AC ởE CI cắt AB F Đường tròn qua E, tiếp xúc với OB B cắt (O) M Đường tròn qua F tiếp xúc với OC C cắt (O) N Các đường thẳng M E, N F cắt lại (O)
lần lượt tạiP, Q GọiK giao điểm EF BC Đường thẳng P Qcắt BC, EF G, H Chứng minh trung tuyến qua G tam giác GHK vng góc với đường thẳng OI
Ta xây dựng hai bổ đề sau
Bổ đề Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H Gọi E, F chân đường cao hạ từ B, C xuống cạnh đối diện Lấy M,N trung điểmAB,AC M N cắt EF K Khi AK ⊥OH
A
B C
E
F
M N
O H
K
Chứng minh Ta có PK/(AH)=KE·KF =KM ·KN =PK/(AO)
Suy AK trục đẳng phương hai đường tròn (AH) (AO) Mà đường nối tâm hai đường trịn đường trung bình tam giác AHO
Từ suy AK ⊥HO
Bổ đề Cho tam giác ABC có trực tâmH đường cao AD,BE,CF.DF cắt BH R,DE cắt CH S Gọi M,N trung điểm AB,AC Đường thẳng RS cắt BC,M N I J Lấy K giao điểm M N EF Khi AK chia đơi IJ
(2)Nguyễn Đăng Khoa - lời giải hình TST năm 2019 ngày
A
B C
E
F
M N
O H
K
D I
S
J P
R
Q
Chứng minh Ta dễ thấy EF, BC, RS đồng quy tạiI
Do M N đường trung bình tam giác ABC nên M N qua trung điểm AI Do ta cần chứng minh EF qua trung điểm AJ
Lấy IJ cắt AC Q Khi ta chứng minh tỉ số AE EQ =
IJ IQ =
N C QC ⇐⇒
2AE AC =
EQ QC Ta ý Q, R,I thẳng hàng nên ta có
EQ QC =
ER RB ·
IB IC =
SEF D SBF D ·
BD DC =
EF ·ED·sin 2∠ABC BF ·BD·sin∠ABC ·
BD DC =
EF ·ED·2 cosABC
BF ·BD ·
BD DC Từ ta hoàn toàn biến đổi tương đương dựa theo ba điểm D, E, F để đẳng thức
Vậy ta hoàn tất chứng minh
Nhận xét Bổ đề bổ đề kinh điển đường trịn Euler, bạn đọc tham khảo thêm cách khác tài liệu "Khám phá ứng dụng cực đối cực - Hoàng Quốc Khánh".Bổ đề điều cần chứng minh toán gốc sau biến đổi, lời giải tác giả nặng tính tốn lại ln đem đến cho ta kết hữu ích
Bây ta quay lại toán ban đầu
(3)Nguyễn Đăng Khoa - lời giải hình TST năm 2019 ngày
A
B C
O E
M
P
Ia Ic
Ib
Q F
G K
I
H
J
Chứng minh Ta cóBO tiếp tuyến (BM E) nên∠BM E =∠OBE, từ dễ dàng suy raP điểm cung lớn AC Tương tự Q điểm cung lớn AB
Một tự nhiên ta lấy Ia, Ib, Ic tâm đường tròn bàng tiếp đối diện góc A, B, C tam giác ABC
Theo bổ đề 2thì IaGđi qua trung điểmKH làJ, mà theo bổ đề 1thì ta có ngayIaG⊥OI hay GJ ⊥OI
Hồn tất chứng minh
Bình luận Bài hình ngày đáng giá dễ chịu ngày Giả thiết cho điểm M, N phức tạp ta lại đoán điểm P, Q điểm cung Từ thứ bắt đầu có tính triển khai bổ đề quen thuộc nên hầu hết bạn học sinh thi mắc chỗ qua trung điểm Ngoài đề cho tam giác nhọn nên ta vẽ hình tay khó, bạn phải vẽ tam giác tù để dự đoán P, Q trước xong vẽ lại hình Khi vượt qua rào cản bạn hướng tới lời giải đẹp hồn tồn có khoảng đến hai tiếng để giải khác