Đang tải... (xem toàn văn)
Sau khi đọc lại lời giải và từ tư tưởng của bài toán ấy, hai bạn đã nhận ra nó có dẫn tới một bài toán khá nổi tiếng như tiêu đề của bài viết.. Tiếp tục nghiền ngẫm và trao đổi một hồi l[r]
(1)Khi thì an + bn chia hết cho n2 ? Nguyễn Đăng Khoa, Đỗ Quang Mạnh ∗
30/12/2020
1 Giới thiệu
Trong buổi chiều học đội tuyển, hai bạn có bàn luận toán số học thầy Nguyễn Song Minh Sau đọc lại lời giải từ tư tưởng toán ấy, hai bạn nhận có dẫn tới tốn tiếng tiêu đề viết Tiếp tục nghiền ngẫm trao đổi hồi lâu cuối hai bạn giải trọn vẹn toán tổng quát Bài viết tổng hợp lại trình tìm tịi lời giải cho tốn
2 Bài toán lời giải
Bài toán.Với điều kiện hai số ngun dươnga, bthì tồn vơ hạn số nguyên dươngn thỏa mãn
n2 ước an+bn (1)
Lời giải Trước tiên ta phát biểu hai bổ đề sau
Bổ đề (bổ đề nâng bậc) Cho a, b, m số nguyên k số nguyên dương Khi a≡b (mod m) ta có
ak ≡bk+ (a−b)kbk−1 (mod m2)
Bổ đề chứng minh đơn giản cách chuyển vế dùng đẳng thức nên xin dành cho bạn đọc
Bổ đề Cho a, b số nguyên, p số nguyên tố Khi am ≡ bm
(mod p) vàan≡bn (mod p) thì ta có
agcd(m,n)≡bgcd(m,n) (mod p)
∗THPT chuyên Hùng Vương - Phú Thọ
(2)Khi an+bn chia hết cho n2? Nguyễn Đăng Khoa, Đỗ Quang Mạnh
Cách chứng minh cho bổ đề tương đối giống cách chứng minh tính chất cấp Tiếp tục xin để dành cho bạn đọc ta quay lại toán ban đầu
Trường hợp 1.Trong hai số a, b có số chẵn số lẻ Ta thấy với n= hiển nhiên thỏa mãn (1)
Giả sử ta có an+bn chia hết cho n2 thì ta đặt an+bn=kn2 với k là số nguyên
dương lẻ Do n lẻ nên ta có an≡(−b)n (mod kn)
Áp dụng bổ đề nâng bậc ta có
akn ≡(−b)kn+ (an+bn)kbn(k−1) mod (kn)2
Do (an+bn)k chia hết cho(kn)2 nên từ ta cóakn+bkn chia hết cho(kn)2 hay kn
là số nguyên dương thỏa mãn (1)
Tiếp tục trình ta có vơ hạn số ngun dương thỏa mãn (1)
Trường hợp 2.Cả hai số a, b số nguyên dương lẻ
Nhận thấy để có n2 | an+bn thì n phải số lẻ Ngược lại nếu n chẵn thì an+bn
chia dư cònn2 chia hết cho 4, điều mâu thuẫn.
Ta chia làm hai trường hợp nhỏ
• Xét a+b khơng lũy thừa
Khi ta viết a+b= 2s·t (với t số nguyên dương lẻ khác 1)
Ta lại thấy n = hiển nhiên thỏa mãn Giả sử ta có an+bn chia hết cho n2 Do n số lẻ nên ta cóv2(an+bn) = v2(a+b) = s
Và ta dễ dàng chứng minh tn ≥ 3n > n2, với số nguyên dương n nên suy
an+bn≥2
a+b
2
n
= 2·2(s−1)n·tn >2s·n2
Do vậy, a
n+bn
n2 ln có ước ngun dương lẻ k > Lập luận tương tự
trường hợp ta cóakn+bkn chia hết cho(kn)2 Tiếp tục ta có vơ
số số ngun dương n thỏa mãn đề
• Xét a+b lũy thừa
Giả sử tồn số nguyên dương n >1 đển2 |an+bn Vì a+b lũy thừa
nên ta dễ dàng có ba số n, a, b ba số đôi nguyên tố Ta gọi plà ước nguyên tố bé n Khi ta có
an≡(−b)n modp
Mặt khác theo định lý FLT ap−1 ≡(−b)p−1 (mod p), tính nhỏ của p
nên gcd(p−1, n) = Từ theo bổ đề 2, ta suy
a≡ −b modp,
(3)Khi an+bn chia hết cho n2? Nguyễn Đăng Khoa, Đỗ Quang Mạnh
hay ta có a+b chia hết chop điều mâu thuẫn doa+b lũy thừa
Vậy n= số nguyên dương thỏa mãn (1)
Trường hợp 3.Cả hai số nguyên dươnga, bđều số chẵn Ta viếta= 2a1,b = 2b1,
trong a1, b1 số nguyên dương
Với số n có dạng 2h, với h số nguyên dương n2 = 22h |22h = 2n Do
n2 |2n(an1 +bn1) =an+bn
Vậy có vơ số số nguyên dương n thỏa mãn (1)
Vậy ta đến kết luận nếua, blà số nguyên dương lẻ a+blà lũy thừa
2thì có n= số thỏa mãnan+bn chia hết cho n2, với trường hợp cịn lại tồn vô số số nguyên dươngn đểan+bn chia hết cho n2.
3 Các toán tương tự
Bài toán 1.Tìm điều kiện hai số nguyêna, bsao cho tồn vô số số nguyên dương
n thỏa mãn
n2 |an+bn
Bài toán Chứng minh với số nguyên dươngn >1
n-2n+
Bài tốn (VNTST 2020) Tìm tất số nguyên dương k cho tồn hữu hạn số nguyên dươngn lẻ thỏa mãn
n|kn+
Bài toán (Chọn ĐT KHTN 2021)Chứng minh tồn vô số số nguyên dương
n để
n2 |3n−1