Đa Thức Tuần Hoàn

Chuyên Khảo Đa Thức, Lê Hoành Phò.[r]

Võ Tiến Trình ĐA THỨC TUẦN HOÀN

Trong việc giải tốn phương trình hàm đa thức, đơi ta sử dụng tới kết quả khá đơn giản là: đa thức tuần hồn đa thức hằng,

dưới xin nêu số ví dụ áp dụng kết

Mệnh đề 1. Cho đa thức P x  đa thức tuần hoàn (nghĩa đa thức P x  thỏa

   

P xk P x với k 0 x), P x C (C số)

Giải

Giả sử P x a xn n a x1 a0 với an 0 chu kì k 0

Ta có 0P x kP x kna xn n1

Do knan 0n0, P x  đa thức

Ví dụ 1. Tìm tất đa thức P x  thỏa mãn

x1 P x1  x2  P x  x  Giải

Cho x1 ta có P 1 0

Cho x0 ta có P 0 0

Cho x 2 ta có P 1 0

Khi ta có: P x   x1 x x1  Q x Thay vào phương trình ta có :

x1 x x1x2 Q x1  x2x1 x x1  Q x

 1    

Q x Q x Q x C

Võ Tiến Trình

Vậy P x C x 1 x x1 với C số

Ví dụ 2. Cho hai số a0,b Đa thức P x  thỏa mãn: xP x a  xb P x    1

a) Chứng minh b

a khơng ngun dương P x 0

b) Giả sử b n

a  nguyên dương Tìm P x  Giải

a) Nếu P x 0 rõ ràng P x  thỏa mãn đề

Ta chứng minh : Nếu P x  đa thức bậc n1 thỏa (1) b

a phải

số nguyên dương

Ta có  1 bP x x P x  P x a  ,

Xét P x a xn n an1xn1 a x1 a0 an0

    1  1 

n n

n n

P xa a xa a  xa   a xa a

Do P x P x aanxn xana x1 n1 xan1

   

Vì xk xak a x k1xk2xa xak1

  đa thức bậc k 1

Do P x P x aanxn xanH x 

  (degH x  n 2)

    

1

deg

n n

a nax  K x K x n

   

Đồng hệ số cao (2) ta có: ban a nan b na b n a     

Do b

Võ Tiến Trình

b)Giả sử bna, hệ thức (1) trở thành xP x a  xna P x    * Cho x 0 P 0 0

Cho xaP a 0

Cho x2aP 2a 0

Giả sử với k nguyên 0k  n 1:P ka 0

Trong  * thay xk 1a ta

k 1aP ka  n k 1aPk1aPk 1a0

Qui nạp theo k ta có: P 0 P a P 2a  P n 1a0

Do P x  x x ax2a xn1a Q x  

Thay vào  1 :Q x aQ x Q x C

Vậy P x C x x  a xn1a

Ví dụ3 (Đề thi học sinh giỏi quốc gia 2003)

Tìm đa thức P x  thỏa x33x23x2P x 1x33x23x2P x  Giải.

Ta có: x2x2  x 1P x 1  x2x2 x 1P x 

Cho x2 ta có : P 1 0

Cho x1 ta có : P 0 0

Cho x 2 ta có : P 2 0

Võ Tiến Trình

Gọi P x x x 1x1x2  Q x Thay vào phương trình ta lại có:

        

2 1 1

x x  x x x x x Q x

        

2 1

x x x x x x x Q x

      

       

1 1

x x Q x x x Q x

      

Vì x2   x x12 x11

Đặt Q x x2 x 1R x  ta có:

   2         

1 1 1 1

x  x  x  x  R x  x  x x  x R x

 

 1  

R x R x

   , R x C

Do P x Cx x 1x1x2x2  x 1

Thử lại thấy thỏa Vậy P x Cx x 1x1x2x2 x 1

Bài tập áp dụng

Bài 1. Tìm tất đa thức P x  thỏa mãn:

a) x2   P x  x1 P x1  x 

b) x1   P x  x4 P x1 x 

c) x12P x 2  x12P x 4 x 

d) x27  P 3x 27x1  P x

(tổng quát : xmkP mx mkx1  P x ,m k, *) e) x1   P x  x2016 P x1

Võ Tiến Trình Bài 2. Tìm đa thức P x  thỏa    1  ,

2

P x  P x P x   x 

Bài 3. Tìm đa thức P x  thỏa 1 P x P x 1P x 1 ,  x  Bài 4. Tìm đa thức P x  thỏa x16  P 2x 16x1  P x , x 

Bài 5. Tìm đa thức P x  thỏa

       

1 1 ,

x  x P x  x  x  x g x  x  x 

Bài 6. Tìm đa thức P x  thỏa P P x  xP x P x   1 ,  x 

Bài (New York, 1996)

Tìm tất cảđa thức P x  thỏa mãn x1 P x1  x2  P x 0 x 

Tài liệu tham khảo