SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHÁNH HÒA TUYỂN SINH 10 BÀI THI TOÁN CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ BÀI Bài (2đ) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho (P) y x đường thẳng (d) y 2mx 2m a/ Chứng minh đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b/ Gọi y1 , y tung độ giao điểm đường thẳng (d) (P) Tìm t ất c ả giá trị m để y1 y2 �5 Bài (2đ) 2019 2020 a/ Cho A B Chứng minh rằng: A, B hai số tự nhiên liên tiếp 2x 3x 10 x 2x 3 x2 x2 b/ Giải phương trình: ) khơng bán kính, cắt hai điểm phân Bài (3đ) Cho hai đường tròn (O) (O� ) cắt (O� ) (O) C D Trên biệt A B Các tiếp tuyến A (O) (O� đường thẳng AB lấy M cho B trung điểm đoạn AM a/ chứng minh hai tam giác ABD CBA đồng dạng b/ Chứng minh MB BD.BC c/ Chứng minh ADMC tứ giác nội tiếp Bài (2đ) 1 2 a b2 � a b ab � a b a/ Chứng minh với số thực a,b ln có: x y2 z 9x y z 18yz x, y, z b/ Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức Q 2x y z yz Bài (1đ) Huyện KS có 33 cơng ty, huyện KV có 100 cơng ty Bi ết r ằng, m ỗi công ty c huyện KS hợp tác với 97 công ty huy ện KV Ch ứng minh r ằng có nh ất m ột cơng ty huyện KV hợp tác với tất công ty huyện KS HẾT LỜI GIẢI THAM KHẢO Bài (2đ) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho (P) y x đường thẳng (d) y 2mx 2m a/ Chứng minh đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b/ Gọi y1 , y tung độ giao điểm đường thẳng (d) (P) Tìm t ất c ả giá trị m để y1 y2 �5 Giải a/ Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) x 2mx 2m � x 2mx 2m (*) � Có: m 2m m 1 0, m �R Vì thế: phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt Hay: (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b/ Gọi x1 , x hoành độ hai giao điểm (d) (P) Khi đó: �y1 2m.x1 2m � �y 2m.x 2m Theo Vi-ét, có: x1 , x hai nghiệm (*) �x1 x 2m � �x1 x 2m y1 y �5 Có: � 2m.x1 2m 2m.x 2m �5 � 2m.(x1 x ) 4m �5 � 2m.2m 4m �0 � 4m 4m �0 � (2m 1) �0 � 2m ( (2m 1) �0, m �R ) �m Vậy Bài (2đ) m 1 1 2019 2020 a/ Cho A B Chứng minh rằng: A, B hai số tự nhiên liên tiếp 2x 3x 10 x 2x 3 x2 x2 b/ Giải phương trình: Giải a/ Có A 20 21 22 22019 2A 21 22 23 22020 Trừ vế theo vế, ta được: 2A A 21 2 23 2020 20 21 2 2019 � A 22020 2020 Lại có: B �� (lũy thừa 2020 theo số 2) Nên: Và b/ A 22020 1�� B A Vậy A, B hai số tự nhiên liên tiếp 2x 3x 10 x 2x 3 x2 x2 x 2x �0 x2 ĐK: x �0 (*) Phương trình tương đương: 2x 24 12 x x2 x2 24 12 x x2 x2 12 t x4 x2 Đặt (**) � 2t t � 2x � 1 �t � � 1 � t � � �� � �� t 1 � � � 2t �0 � �4t 5t �� �� t 9t 4t 4t � � � Khi t x4 � t 12 1 x2 � x x x 12 x 2(n) � �� x 1(n) � x 3x � (do ĐK (*) ) 12 t x4 x2 Khi � x x x 48 � 4x 9x 14 (Vô nghiệm) Vậy S 1;2 ) không bán Bài (3đ) Cho hai đường trịn (O) (O� kính, cắt hai điểm phân biệt A B Các tiếp tuyến ) cắt (O� ) (O) C D Trên A (O) (O� đường thẳng AB lấy M cho B trung điểm đoạn AM a/ Chứng minh hai tam giác ABD CBA đồng dạng b/ Chứng minh MB BD.BC c/ Chứng minh ADMC tứ giác nội tiếp t Giải a/ Xét VABD VCBA Có: � CAB � ADB (Góc nội tiếp góc tạo tt dây chắn � ACB � DAB (Góc nội tiếp góc tạo tt dây chắn O � AB ) � (O') AB ) �VABD đồng dạng VCBA (g.g) b/ Vì VABD đồng dạng VCBA (câu a) AB BC Nên: BD AB hay AB BD.BC 2 Mà: B trung điểm AM � MB AB BD.BC (đpcm) � � BDA � BAD c/ Có: MBD (Góc VABD ) Mà: � � BCA � MBC BAC (Góc ngồi VABC ) � BCA � � BAC � BAD BDA (ở câu a) MB BC MB2 BD.BC � � � BD MB Nên: MBD MBC Lại có: Suy ra: VBDM ∽ VBMC (c.g.c) � � � BDM BMC Xét tứ giác ADMC có: �M � BAD � BAC � M � A �M � BAD � BDA � M � �A �M � DBM � BMD � BMC � �A �M � 1800 BDM � BMC � �A �M � 1800 �A Vậy: ADMC tứ giác nội tiếp Bài (2đ) 1 2 a b2 � a b ab � a b a/ Chứng minh với số thực a,b ln có: x y2 z 9x y z 18yz b/ Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn Tìm giá Q 2x y z yz trị lớn biểu thức Giải a/ Ta chứng minh phép biến đổi tương đương Xét: a b2 � a b � 2a 2b �a 2ab b � a 2ab b �0 � a b �0(luondung) Xét: a b2 � a b Vậy: Dấu “=” xảy a b ab � a b 4ab a 2ab b ۣ � a 2ab b �0 � a b �0(luondung) b/ Có: ab � a b Vậy: Dấu “=” xảy a b x y z 9x y z 18yz � 5x y z 9x y z 18yz � 5x 9x y z 5 y z 18yz 5 2 y z � y z � 5 y z � y z 2 Mà theo câu a Có: 2 yz � y z �18yz � y z Nên: 5 y z 18yz �2 y z � 5x 9x. y z �2 y z 2 � 5x 9x y z y z �0 � 5x 10x y z x y z y z �0 � x y z 5x y z �0 � x y z �0 Hay Có: Q � Q max x �2. y z (do 5x y z ) 2.2 y z 2x y z 2x 1 � 1 yz yz yz �y z � x 4y 4z � Dấu “=” xảy khi: �x y z Vậy Q max x 4y 4z Bài (1đ) Huyện KS có 33 cơng ty, huyện KV có 100 cơng ty Bi ết r ằng, m ỗi công ty c huyện KS hợp tác với 97 cơng ty huy ện KV Ch ứng minh r ằng có nh ất m ột công ty huyện KV hợp tác với tất công ty huyện KS Giải Lời bình: Tư từ nguyên lý Dirichlet Quy ước, ta xem hợp tác công ty A với công ty B m ột liên k ết m ột chi ều t A vào B Và hiển nhiên, có liên kết chiều ngược từ B vào A Vì cơng ty huyện KS hợp tác 97 cơng ty huy ện KV Khi đó, s ố liên k ết t ối thi ểu từ KS vào KV là: 33.97 3201 (liên kết) Giả sử: tất công ty huyện KV có tối đa 32 liên k ết v ới cơng ty huy ện KS Khi đó, số liên kết tối đa từ KV vào KS là: 100.32 3200 3201 (liên kết) (MẪU THUẪN !) VẬY TỒN TẠI ÍT NHẤT MỘT CƠNG TY HUYỆN KV CĨ 33 LIÊN KẾT VỚI CÁC CÔNG TY HUYỆN KS (đpcm) ... 23 2202 0 Trừ vế theo vế, ta được: 2A A 21 2 23 202 0 20 21 2 201 9 � A 2202 0 202 0 Lại có: B �� (lũy thừa 202 0 theo số 2) Nên: Và b/ A 2202 0 1��... m 1 1 201 9 202 0 a/ Cho A B Chứng minh rằng: A, B hai số tự nhiên liên tiếp 2x 3x 10 x 2x 3 x2 x2 b/ Giải phương trình: Giải a/ Có A 20 21 22 2201 9 2A ... vào KV là: 33.97 3201 (liên kết) Giả sử: tất cơng ty huyện KV có tối đa 32 liên k ết v ới công ty huy ện KS Khi đó, số liên kết tối đa từ KV vào KS là: 100.32 3200 3201 (liên kết) (MẪU