các chuyên đề ôn thi đh

Töø 30 caâu hoûi ñoù coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu ñeà kieåm tra, moãi ñeà goàm 5 caâu hoûi khaùc nhau, sao cho trong moãi ñeà nhaát thieát phaûi coù ñuû ba loaïi caâu hoûi (khoù, tru[r]

(1)

 Chuyên đề 11:

ĐẠI SỐ TỔ HỢP VAØ XÁC SUẤT  Vấn đề 1: SỬ DỤNG CÔNG THỨC k k

n n n

P ,A ,C A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 HỐN VỊ

Số hoán vị n phần tử: Pn =n!

2 CHỈNH HỢP:

Số chỉnh hợp: Amn n(n 1)(n 2) (n m 1)   

 

m

n n!

A

(n m)!

 Điều kiện: n  m n, m nguyên dương 3 TỔ HỢP:

Số tổ hợp: Cmn n(n 1)(n 2) (n m 1)   

1.2.3 m





m

n n!

C

m!(n m)!

 Điều kiện:   

n m

n, m nguyên dương

Ta có cơng thức: 1/ m n m

n n

C C 2/ 

   

m m m

n n n

C C C

3/ C0nC1nC2n C nn 2n

Số tập hợp tập hợp n phân tử 2n B.ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008

Chứng minh 

 

 

  

 

  kn k 1n 1 kn

n 1 1

n C C C

(n, k số nguyên dương, k  n, Cnk số tổ hợp chập k n phần tử)

Giải

Ta có: 

 

 

        

 

  k k 1  

n n

n 1 n k!(n k)! (k 1)!(n k)!.

n C C n (n 1)!

       



1 .k!(n k)! (n k) (k 1)

n n!



  k

n

(2)

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A

Tìm k  {1, 2…, n} cho số tập gồm k phần tử A lớn

Giaûi

Số tập k phần tử tập hợp A k n

C

Từ giả thiết suy ra: C4n20C2n  n25n 234 0   n 18 (vì n  4)

Do    



k 18

C 18 k 1 k

C  k < neân       

1 9 10 18

18 18 18 18 18 18

C C C C C C

Vậy số tập gồm k phần tử A lớn k =

Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005 Tính giá trị biểu thức   



4

n n

A 3A M

(n 1)! , biết :

Cn 12 2Cn 22 2C2n 3 C2n 4 149

(n số nguyên dương, Akn số chỉnh hợp chập k n phần tử Ckn số tổ hợp chập k n phần tử)

Giải

Điều kiện: n 

Ta coù Cn 12 2C2n 2 2Cn 32 C2n 4 149

        

  

(n 1)! 2(n 2)! 2 (n 3)! (n 4)! 149 2!(n 1)! 2!n! 2!(n 1)! 2!(n 2)!

 n2 + 4n  45 =  n = hay n = 9 (loại)

suy M = 46 35   

6! 3.5! A 3A 2! 2!

6! 6!

Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005

Tìm số nguyên n lớn thỏa mãn đẳng thức: 2Pn6A2n P An n2 12 (Pnlà số hoán vị n phần tử Akn số chỉnh hợp chập k n phần tử)

Giải

Ta có: 2Pn 6A2nP An n2 12 (n  , n  2)

n! n!

2.n! n! 12 (n 2)! (n 2)!

n! (6 n!) 2(6 n!) 0 (6 n!) n! 2 0

(n 2)! (n 2)!

   

 

 

         

   

n! 0n! 2 0 n! n n(n 1) n (n 2)!

 

    



  

        

(3)

 Vấn đề 2: PHÉP ĐẾM VÀ XÁC SUẤT

A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 NGUYÊN TẮC ĐẾM biến cố A B A có m cách xảy B có n cách xảy

biến cố A B xảy có m  n cách Biến cố A B xảy có m + n cách

 Chú ý: Nguyên tắc áp dụng cho nhiều biến cố 2 CHÚ Ý

 Nếu thay đổi vị trí mà biến cố thay đổi ta có hốn vị chỉnh hợp

 Nếu thay đổi vị trí mà biến cố khơng đổi ta có tổ hợp

XÁC SUẤT

1 KHÔNG GIAN MẪU

Khơng gian mẫu tập hợp tất kết xảy Biến cố A tập khơng gian mẫu

2 XÁC SUẤT

Nếu phần tử khơng gian mẫu có khả xảy ra, h số phân tử biến cố A, n số phân tử không gian mẫu Xác suất để biến cố A xảy ra: p(A)h

n

3 CÁC CÔNG THỨC

 Không gian mẫu E biến cố chắn xảy ra: p(E) =

 Biến cố  biến cố xảy ra: p () =

 Biến cố kéo theo A  B biến cố A xảy biến cố B xảy ra: A  B P(A)  p(B)

 A  B biến cố (A xaûy hay B xaûy ra) p(A  B) = p(A) + p(B)  p(A  B)

 A  B biến cố A B xaûy

 Biến cố A B đối lập khơng xảy Khi đó, ta có A  B = ; p(A  B) = 0; p(A  B) = p(A) + p(B)

 Biến cố A đối lập A: p(A) =  p(A)

 Xác xuất có điều kieän:

Biến cố A xảy với điều kiện biến cố B xảy ra: p(A B)p(A B)

p(B)

hay p(A B) = p(B).p(AB)

 Biến cố A B độc lập biến cố B có xảy hay khơng xác suất A không đổi: p(AB)=p(A)

(4)

B ĐỀ THI

Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C

Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn vậy?

Giaûi

Số cách chọn học sinh từ 12 học sinh cho C124 495

Số cách chọn học sinh mà lớp có em tính sau:

 Lớp A có học sinh, lớp B, C lớp có học sinh Số cách chọn là: C C C2 15 4 31 120

 Lớp B có học sinh, lớp C, A lớp có học sinh Số cách chọn là: C C C15 32 190

 Lớp C có học sinh, lớp A, B lớp có học sinh Số cách chọn là: C C C1 15 32 60

Số cách chọn học sinh mà lớp có học sinh là: 120 + 90 + 60 = 270

Vậy số cách chọn phải tìm 495  270 = 225

Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ?

Giải

Có C C1 43 12 cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ

Với cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ có C C1 42 8

cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ hai

Với cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ tỉnh thứ hai có C C1 41 4 cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ ba

Số cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thỏa mãn yêu cầu toán là: C C C C C C13 124 12 44 4207900cách

Bài 3:

(5)

Giải

Có trường hợp xảy

 Trường hợp 1: dễ + 1trung bình + khó: C C C15 10 52 210.500

 Trường hợp 2: dễ + trung bình + khó:C C C15 10 52 23.625

 Trường hợp 3: dễ + trung bình + khó: C C C315 10 51 22750

Theo qui tắc cộng ta có: C C C15 10 52 + C C C15 10 52 + C C C15 10 53 1 = 56875 đề

Baøi 4:

Cho đa giác A1A2 A2n (n  2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O), biết

rằng số tam giác có đỉnh 2n điểm A1, A2, A2n nhiều gấp 20 lần

số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1, A2, , A2n Tìm n

Giải

 Số tam giác thỏa mãn đề C32n

 Số đường chéo qua tâm đường tròn n, đường chéo qua tâm có hình chữ nhật suy ta có C2n hình chữ nhật

Theo giả thiết ta có C22n 20C 2n n29n 0 

 n = V n = (loại) Kết luận n =

Baøi 5:

Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, có học sinh khối 12, học sinh khối 11 học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có em chọn

Giaûi

 Số cách chọn học sinh từ 18 học sinh đội tuyển là:

C188  18! 43758 8!10! cách

 Số cách chọn học sinh gồm có hai khối là: Số cách chọn học sinh khối 12 11 C138

Số cách chọn học sinh khối 11 10 laø C118

Số cách chọn học sinh từ khối 10 12 C128

(6)

 Vấn đề 3: NHỊ THỨC NIUTƠN

A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI

NHỊ THỨC NIUTƠN: (a + b)n = n n 1   n n

n n n

C a C a b C b

Chú yù: Số mũ a tăng dần, số mũ b giảm dần có tổng n Các hệ số đối xứng: Cmn Cn mn

Tam giaùc Pascal: n =

1 n =

n =

3 n =

 Chú yù: Dựa vào bảng Pascal ta viết khai triển Niutơn

B ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 Cho khai triển (1 + 2x)n = a

0 + a1x + … + anxn, n  N* hệ số a0,

a1, …, an thỏa mãn hệ thức a0a21  ann 4096

2 Tìm số lớn số

a0, a1, … , an

Giaûi

Từ khai triển: (1 + 2x)n = a

0 + a1x + … + anxn

 Choïn x1

2 ta được:        

n n 12

0 a an

2 a 4096 n 12

2

 Vậy biểu thức khai triển là: (1 + 2x)12

 Số hạng tổng quát C x12k k k (k  ,  k  12)  hệ số tổng quát ak 2 C ;k k12  

  k k

k 12

a C

ak < ak +  Ck k122 Ck k 1 12

  

   

k 12! k 12!

2

k!(12 k)! (k 1)!(12 k 1)!

 k + < 24 – 2k  k23

3

Mà k  Do đó: a0 < a1 < a2< … < a8

Tương tự: ak > ak + 1 k >

Do đó: a8 > a9> … > a12

(7)

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức    2n 1 

2n 2n 2n

C C C 2048 ( k

n

C số tổ hợp chập k n phân tử)

Giaûi

   2n 1 

2n 2n 2n

C C C 2048 (*)

Ta coù:   2n    2 3  2n 2n 1   2n 2n

2n 2n 2n 2n 2n 2n

1 x C C x C x C x C x C x

Với x = thay vào (*) ta được:

2n     2n 1  2n

2n 2n 2n 2n 2n

2 C C C C C (1) Với x = 1 thay vào (*) ta được:

      2n 1  2n

2n 2n 2n 2n 2n 2n

0 C C C C C C (2)

Lấy (1) trừ (2) ta được:22n2 C 12nC2n3   C2n 12n 4096 2 12 n

Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007

Chứng minh rằng:       



2n

1 2n

2n 2n 2n 2n

1C 1C 1C C

2 2n 2n

(n số nguyên dương, Ckn số tổ hợp chập k n phần tử)

Giaûi

Ta coù:

 2n 2n0  12n   2n 2n2n  2n 02n 12n   2n 2n2n

(1 x) C C x C x ,(1 x) C C x C x

(1 x) 2n (1 x)2n2(C x C x12n  2n3 3 C 2n 2n 12nx  )

           

1 2n 2n

1 3 5 2n 2n

2n 2n 2n 2n

0

(1 x) (1 x) dx (C x C x C x C x )dx

           

 

1 2n 2n 2n 2n 11 2n

0

(1 x) (1 x) dx (1 x) (1 x)

2 2(2n 1) 2n (1)

        

1

1 3 5 2n 2n

2n 2n 2n 2n

0

C x C x C x C x dx

      

 

1

2 2n

1 2n

2n 2n 2n 2n

0

x x x x

C C C C

2 2n

    2n 1

2n 2n 2n 2n

1C 1C 1C C

2 2n (2)

(8)

Tìm hệ số số hạng chứa x10trong khai triển nhị thức Niutơn (2 + x)n, biết:

n 0 n 1  n 2  n 3    n n

n n n n n

3 C C C C ( 1) C 2048

(n số nguyên dương, Cknlà số tổ hợp chập k n phần tử)

Giaûi

Ta coù: Cn 0n3 Cn 1 n 3n 2 Cn ( 1) C  n nn  (3 1)n 2n

Từ giả thiết suy n = 11

Hệ số số hạng chứa x10 khai triển Niutơn (2 + x)11 là: 10 1 11

C 22

Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức của: x(1 –2x)5 + x2(1 + 3x)10

Giải

Hệ số x5 khai triển x(1  2x)5 (2)4.

C

Hệ số x5 khai triển x2(1 + 3x)10 33C103

Hệ số x5 khai triển x(1  2x)5 + x2(1 + 3x)10 laø:

( 2) C 453 C3 3103320

Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006

Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển nhị thức Niutơn

  

 

 

n

1 x

x biết        

1 n 20

2n 2n 2n

C C C

(n nguyên dương, Ckn số tổ hợp chập k n phân tử)

Giaûi

 Từ giả thiết suy ra: C02n 1 C12n 1   Cn2n 1 220 (1)

Vì  

     

k 2n k 2n 2n

C C k, k 2n +1 neân:

  

            

0 n 2n

2n 2n 2n 1 2n 2n 2n

C C C C C C

2 (2)

Từ khai triển nhị thức Niutơn (1 1) 2n 1 suy ra:

C2n 10  C12n 1   C2n 12n 1  (1 1)2n 1 22n 1 (3) Từ (1), (2) (3) suy : 22n220 hay n = 10

 Ta coù:      

 

    

 

   

10 10 10 k k 10

7 k k 11k 40

10 10

4

k k

1 x C x x C x

x

Hệ số x26 k 10

C với k thỏa mãn: 11k  40 = 26  k = Vậy hệ số số hạng chứa x26 : 

10

(9)

Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005 Tìm số nguyên dương n cho:



          

1 2 3 2n 2n

2n 2n 2n 2n 2n

C 2.2C 3.2 C 4.2 C (2n 1).2 C = 2005 (Ckn số tổ hợp chập k n phần tử )

Giải

Ta có:     

    

 2n 1 2n 10  12n 1  2n 12 2 32n 1 3  2n 2n 12n 1  

1 x C C x C x C x C x x

Đạo hàm hai vế ta có:

  

   

  2n  12n 1 22n 1  32n 1 2   2n 2n2n 1  

(2n 1) x C 2C x 3C x (2n 1)C x x

Thay x = 2 ta coù:



            

1 2 n 2n

2n 2n 2n 2n 2n

C 2.2C 3.2 C 4.2C (2n 1).2 C 2n

Theo giả thiết ta coù 2n + = 2005  n = 1002

Bài 8:

Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức     

 

8

1 x x

Giaûi

                  1 x x2 8 C80 C x x1 28 C x x2 48 C x x3 68

 + C x x8 168   8

Số hạng chứa x8 khai triển có 6  3

C x x vaø C x x4 88   4 Suy hệ số x 3C8 38C48 238

Bài 9:

Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niutơn

  

 

7

4

1 x

x với x > Giải

 

  

 

      

   

     

7 k k

7 7 k k

k k

3 3

7

4

k k

1

x C x C x

x x

Số hạng không chứa x ứng với k k  0

3  28  4k  3k =  k =

Số hạng không chứa x Ck7  7! 35 3!4!

Baøi 10:

Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niutơn

       

 

n

5 n n

n n 3

1 x biết C C 7(n 3) x

(10)

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giaûi                      

n n

n n n + ! n !

C C n n

n !3! n!3!

 (n + 3) (3n  36) =  n = 12

Vaäy  

                    12 k

12 12 k

5 k 2

12

k

1 x C x x

x

Cho  

         12 k k

3 2

x x x x   3k5 12 k  

2 =  k =

Vậy hệ số x8 khai triển   

    12 x

x laø 

4 12

C 495

Baøi 11:

Cho n laø số nguyên dương Tính tổng:

       



2 n

0 n

n n n n

C C C C

2 n

(Ckn số tổ hợp chập k n phần tử)

Giải

Xét 1 x n Cn0C x C x1n  n2 2  C xn 4n

          

 

 

2

n 2 n n

n n n n

1

1 x dx C C x C x C x dx

  

   



     

   

n 2 3 n 1

0 n

n n n n

2

1 x C x C x C x C x

1

n n

            

 

n n n

0 n

n n n n

3 C 1C 1C 1C

n n

Baøi 12:

Với n số nguyên dương, gọi a3n3 hệ số x3n3 khai triển thành đa

thức của: (x2 + 1)n (x + 2)n Tìm n để a

3n 3 = 26n

Giaûi

     

 

 n  n n n

2 k 2n 2k h n h h

n n

k h

x x C x C x  

 

n n k h 3n (2k h)n n

k h

C C x

Ycbt  2k + h =  k = h = hay (k = vaø h = 3)

(11)

Baøi 13:

Cho khai triển nhị thức:

 x 12 3xn C0n   x 12 n C1n x 12 n 1 3x +

2

2 2



 

     



Cnn 1 x 12  x3 n Cnn x3 n

2 2

 

  

 

(n số nguyên dương) Biết khai triển C3n 5C1n số hạng thứ tư 20n Tìm n x

Giải

Ta coù

 

  



    

  



+

3

n n n Z , n

C 5C n = V n = (loại) n (n 1) 30

Số hạng thứ tư 20n nên ta có C37 x 12 4 x3 140

2

  

 2x 2  4 22  x  =  x =

Bài 14:

Tìm số nguyên dương n cho C0n2C1n4C2n  Cn nn 243

Giaûi

C0n2C1n4C2n  Cn nn243 (*) Ta coù 1 x n C0nxC1nx C2 2n  x Cn nn (* *) Theá x = vào (* *) ta có:

1 2 nCn02C1n4C2n  Cn nn 2433n = 243  n =

Baøi 15:

Giả sử n số nguyên dương 1 x n a0a x a x1  2 2  a xk k  a xn n

Bieát tồn số k nguyên (1  k  n  1) cho ak 1 a k ak 1 24

Hãy tính n

Giải

Ta có: (1 + x)n = a

0 + a1x + a2x2+ … + akxk+ … + anxn

Vì ak 1 ak ak 1 Cnk 1 Ckn Cnk 1

2 24 24

  

   





  

 

     

  

   

  



    



 



k k n n k k n n

C C k 2n

2 n k 9k

9 11

3n n k k

C C k

11 24

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	364,14 KB