Một số bài tập về lý thuyết xác suất và thống kê của đại học bao gồm đầy đủ các dạng cơ bản của phép đếm, quy tắc cộng, quy tắc nhân, không gian xác suất, xác suất có điều kiện (định lý Bayes), biến ngẫu nhiên liên tục và rời rạc, các loại phân phối như phân phối Ber, phân phối nhị thức, phân phối chuẩn, các dạng bài toán về ước lượng, kiểm định giả thiết thống kê...
trước mét lùi lại phía sau mét với xác suất (a) Tính xác suất để sau bước trở lại điểm xuất phát (b) Tính xác suất để sau bước cách điểm xuất phát mét HD Phân phối nhị thức Bài Một nhóm có 10 người gồm nam nữ Chọn ngẫu nhiên người Gọi X số nữ người chọn Lập bảng mật độ xác suất X tính trung bình, độ lệch chuẩn X ĐS: µX = 1.2, σX = 0.56 Bài 10 Cho X, Y hai biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng mật độ xác suất đồng thời sau: X Y −1 −1 1/6 1/4 1/6 1/8 1/6 1/8 Hãy tính E[X], E[Y ], E[XY ], Cov(X, Y ), ρ(X, Y ) Bài 11 Cho X, Y hai biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng mật độ xác suất đồng thời sau: X Y 2 0.12 0.15 0.03 0.28 0.35 0.07 (a) Chứng minh X Y độc lập (b) Xét biến ngẫu nhiên Z = X · Y Hãy tính E[Z] hai cách Bài 12 Cho X Y hai biến ngẫu nhiên độc lập, X ∼ BIN (2, 0.4), Y ∼ BIN (2, 0.7) Xét biến ngẫu nhiên Z = X + Y (a) Lập bảng mật độ xác suất Z (b) Chứng minh Z biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức Bài 13 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f (x) = C · x2 (1 − x), x ∈ [0, 1], x ∈ / [0, 1] 0, (a) Tìm số C (b) Tính P (0.4 < X < 0.6) (c) Tìm hàm phân phối X (d) Tính trung bình, độ lệch chuẩn, trung vị mode X [Mode biến ngẫu nhiên liên tục X điểm mà hàm mật độ xác suất f (x) đạt cực đại Trung vị biến ngẫu nhiên liên tục X điểm mà giá trị hàm phân phối xác suất F (x) 0.5.] ĐS: (a) 12 (b) 0.296 Bài 14 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối F (x) = − e−x /2 , x > 0, x ≤ 0, (a) Tìm hàm mật độ xác suất X (b) Tính E[X] trung vị X ĐS: E[X] = π/2, trung vị √ ln Bài 15 Cho X Y hai biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ đồng thời f (x; y) = C · x, 0, < y < x < 1, trường hợp cịn lại (a) Tìm số C (b) Tìm hàm mật độ biên X Y (c) Tính Cov(X, Y ) (d) X Y có độc lập khơng? Giải thích câu trả lời ĐS: C = Bài 16 Một trường đại học có tiêu tuyển sinh 300 sinh viên (a) Giả sử có 325 người dự thi xác suất thi đậu người 0.9 Tính xác suất để số người trúng tuyển không vượt tiêu (b) Cần cho phép tối đa người dự thi (xác suất thi đậu người 0.9) cho kiện "số người trúng tuyển không vượt tiêu" có xác suất khơng nhỏ 99% ĐS: (a) 0.9177 (b) 319 Bài 17 Tỉnh A báo cáo tỷ lệ đậu tốt nghiệp THPT tỉnh 80% Một vị tra Bộ vốn tin tỷ lệ phải nhỏ 80% nên làm điều tra Ông ta chọn ngẫu nhiên 72 học sinh tỉnh A thấy có 50 học sinh đậu tốt nghiệp (a) Nếu tỷ lệ 80% đúng, mẫu kích thước 72 học sinh, xác suất để số học sinh đậu tốt nghiệp không vượt q 50 bao nhiêu? (b) Ơng tra có sở để bác bỏ tỷ lệ 80% mà tỉnh báo cáo không? ĐS: (a) 0.022 Bài 18 Quan sát ngẫu nhiên 250 xe máy, người ta thấy có 185 hiệu Honda (a) Hãy ước lượng tỷ lệ p xe hiệu Honda tổng số xe máy với độ tin cậy 95% (b) Hãy xác định số C cho ta khẳng định p > C với xác suất 99% ĐS: (a) 0.6856 < p < 0.7944 (b) C ≈ 0.6754 Bài 19 Tiến hành khảo sát số gạo bán ngày cửa hàng, người ta có kết sau: Số kg gạo bán Số ngày 130 150 160 180 190 210 220 12 25 30 20 13 Ông chủ cửa hàng cho trung bình ngày bán khơng q 170 kg tốt nghỉ bán Từ số liệu trên, với mức ý nghĩa 5%, cho biết ông chủ cửa hàng có nên tiếp tục bán hay khơng?