Ôn tập tứ giác

Tứ giác DEBF là hình bình hành nên EF và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.. Suy ra: EF đi qua trung điểm O của BD.[r]

ÔN TẬP TỨ GIÁC

Câu 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm AB, BC, CD, DA Tìm

điều kiện tứ giác ABGD để EFGH là: Hình chữ nhật

2 Hình thoi Hình vng Lời giải:

* Ta có EF đường trung bình ΔABC Suy ra: EF //AC EF = 1/2 AC (1)

* Trong ΔADC có HG đường trung bình Suy ra: HG // AC HG = 1/2 AC (2) Từ (l) (2) suy EF // HG EF // HG Vậy tứ giác EFGH hình bình hành

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông A, điểm D trung điểm BC Gọi M điểm đối xứng

với D qua AB, E giao điểm DM AB Gọi N điểm đối xứng với D qua AC, F giao điểm DN AC

a, Tứ giác AEDF hình gì? Vì sao? b, Các tứ giác ADBM, ADCN

c, Chứng minh M đối xứng với N qua A

d, Tam giác ABC có điều kiện gìthì tứ giác AEDF hình vng Lời giải:

a, Điểm M điểm D đối xứng qua trục AB

Suy AB đường trung trực đoạn thẳng MD ⇒ AB ⊥ DM ⇒ (AED) = 90o

Điểm D điểm N đối xứng qua trục AC ⇒ AC đường trung trực đoạn thẳng DN ⇒ AC ⊥ DN ⇒ (AFD) = 90o

Mà (EAF) = 90o (gt) Vậy tứ giác AEDF hình chữ nhật (vì có góc vng) b, Tứ giác AEDF hình chữ nhật

⇒ DE // AC; DF // AB

Suy ra: AE = EB (tỉnh chất đường trung bình tam giác) Lại có: DF // AB

Suy ra: AF = FC (tỉnh chất đường trung bình tam giác) Xét tứ giác ADBM, ta có: AE = EB (chứng minh trên) ED = EM (vì AB trung trực DM)

Suy tứ giác ADBM hình bình hành (vì có đường chéo cắt trung điểm đường)

Mặt khác: AB ⊥ DM

Vậy hình bình hành ADBM hình thoi (vì có hai đường chéo vng góc) Xét tứ giác ADCN, ta có: AF = FC (chứng minh trên)

DF = FN (vì AC đường trung trực DN)

Suy tứ giác ADCN hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt trung điểm đường)

Lại có: AC ⊥ DN

Vậy hình bình hành ADCN hình thoi (vì có hai đường chéo cắt trung điểm đường)

c, Tứ giác ADBM hình thoi ⇒ AM // DB AM = AD Hay AM // BC AM = AD (1)

Tứ giác ADCN hình thoi ⇒ AN // DC AD = AN Hay AN // BC AN = AD (2)

Vậy điểm M điểm N đối xứng qua điểm A

d, Hình chữ nhật AEDF trở thành hình vng AE = AF Ta có: AE = 1/2 AB; AF = 1/2 AC

Nên AE = AF ⇒ AB = AC

Vậy ∆ABC vng cân A tứ giác AEDF hình vng

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D điểm đối xứng với H qua AB,

gọi E điểm đối xứng với H qua AC

a, Chứng minh D đối xứng với E qua A b, Tam giác DHE tam giác gì? Vì sao? c, Tứ giác BDEC hình gì? VI sao? d, Chứng minh BC = BD + CE Lời giải:

Điểm D đối xứng điểm H qua trục AB Suy AB đường trung trực HD ⇒ AH = AD (tính chất đường trung trực) ⇒ ΔADH cân A

⇒ ∠(DAB) = ∠A1

Điểm H điểm E đối xứng qua trục AC ⇒ AC đường trung trực HE

⇒ AH = AE (tính chất đường trung trực) ⇒ ΔADE cân A Suy ra: AC đường phân giác (HAE) ⇒ ∠A2 = ∠(EAC)

∠(DAE) = ∠(DAH) + ∠(HAE) = 2(∠A1 + ∠A2) = 2.90o = 180o ⇒ D, A, E thẳng hàng

Ta có: AD = AE (vì AH)

Suy điểm A trung điểm đoạn DE Vậy điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A

Câu 4: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm AB, AC, CD, DB Tìm

điều kiện tứ giác ABCD để EFGH là: Hình chữ nhật

2 Hình thoi Hình vng Lời giải:

Ta có: EB = EA, FA = FC (gt) Nên EF // BC, EF = 1/2 BC Xét tam giác BDC có

HB = HD, GD = GC (gt) Nên HG // BC, HG = 1/2 BC Do EF //HG, EF = HG Tương tự EH // FG, EH = FG Vậy EFGH hình bình hành

a) EFGH hình chữ nhật ⇔ EH ⊥ EF ⇔ AD ⊥ BC b) EFGH hình thoi ⇔ EH = EF ⇔ AD = BC c) EFGH hình thoi ⇔ AD ⊥ BC AD = BC

Câu 5: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD, CE cắt G Gọi H trung điểm

của GB, K trung điểm GC

a, Chứng minh tứ giác DEHK hình bình hành

b, Tam giác ABC cần có điều kiện tứ giác DEHK hình chữ nhật

a, Ta có: GD = 1/2 GB (tính chất đường trung tuyến tam giác) GH = 1/2 GB (gt)

Suy ra: GD = GH

GE = 1/2 GC (tính chất đường trung tuyến tam giác) Suy GE = GK

Tứ giác DEHK hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt trung điểm đường)

b, Hình bình hành DEHK trở thành hình chữ nhật DH = EK Mà DH = 2/3 BD; EK = 2/3 CE

Nên DH = EK ⇒ BD = CE ⇒ ΔABC cân A

Vậy ΔABC cân A tứ giác DAHK hình chữ nhật c, Nếu BD ⊥ CE ⇒ DH ⊥ EK

Hình bình hành DEHK có hai đường chéo vng góc nên hình thoi

Câu 6: Cho hình bình hành ABCD có AB=2AD Gọi E F theo thứ tự trung điểm AB

và CD

a, Các tứ giác AEFD, AECF hình gì? Vì sao?

b, Gọi M giao điểm AF DE, gọi N giao điểm BF CE Chứng minh tứ giác EMFN hình chữ nhật

a, * Xét tứ giác AEFD, ta có: AB // CD (gt) hay AE // FD AE = 1/2 AB (gt)

FD = 1/2 CD (gt) Suy ra: AE = FD

Tứ giác AEFD hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song nhau) AD = AE = 1/2 AB Vậy tứ giác AEFD hình thoi

* Xét tứ giác AECF, ta có: AE // CF (gt) AE = 1/2 AB (gt)

CF = 1/2 CD (gt) Suy ra: AE = CF

Tứ giác AECF hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song nhau) b, Tứ giác AEFD hình thoi

⇒ AF ⊥ ED ⇒ ∠(EMF) = 90o

AF // CE (vì tứ giác AECF hình bình hành) Suy ra: CE ⊥ ED ⇒ ∠(MEN) = 90o

EB // FD (vì AB // CD)

Tứ giác EBFD hình bình hành (vì có cặp cạnh đổi song song nhau) ⇒ DE // BF Suy ra: BF ⊥ AF ⇒ (MFN) = 1v

Vậy tứ giác EMFN hình chữ nhật

c, Ta có: Hình chữ nhật EMFN hình thoi ⇒ ME = MF ME = 1/2 MF (tính chất hình thoi)

MF = 1/2 AF (tính chất hình thoi) Suy ra: DE = AF

⇒ Tứ giác AEFD hình vng (vì hình thoi có đường chéo nhau) ⇒ ∠A = 90o ⇒ Hình bình hành ABCD hình chữ nhật

Ngược lại: ABCD hình chữ nhật ⇒ ∠A = 90o

Hình thoi AEFD có ∠A = 90o nên AEFD hình vng ⇒ AF = DE ⇒ ME = MF (tính chất hình vng)

Hình chữ nhật EMFN hình vng (vì có cạnh kề nhau)

Vậy hình chữ nhật EMFN hình vng ABCD hình chữ nhật có AB = 2AD

Câu 7: Cho hình bình hành ABCD có E, F theo thứ tự trung điểm AB, CD

a, Tứ giác DEBF hình gì? sao?

b, Chứng minh đường thẳng AC, BD, EF cắt điểm

c, Gọi giao điểm AC với DE BF theo thứ tự M N Chứng minh tứ giác EMFN hình bình hành

a, Xét tứ giác DEBF, ta có: AB // CD (gt) hay DF // EB EB = 1/2 AB (gt)

DF = 1/2 CD (gt) Suy ra: EB = DF

Tứ giác DEBF hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song nhau) b, Gọi O giao điểm AC BD

Ta có: OB = OD (tính chất hình bình hành)

Tứ giác DEBF hình bình hành nên EF BD cắt trung điểm đường Suy ra: EF qua trung điểm O BD

Vậy AC, BD EF cắt O trung điểm đoạn c, Xét ΔEOM ΔFON có: ∠(MEO) = ∠(NFO) (so le trong) OE = OF (tính chất hình bình hành)

Suy ra: ΔEOM = ΔFON (g.c.g) ⇒ OM = ON

Vậy tứ giác EMFN hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt trung điểm đường)

Câu 8: Cho đoạn thẳng AB = a Gọi M điểm nằm A B Vẽ phía AB

a, Tính khoảng cách từ I đến AB

b, Khi M di chuyển đoạn thẳng AB I di chuyển đường thằng nào? Lời giải:

Kẻ CE ⊥ AB, IH ⊥ AB, DF ⊥ AB Suy ra: CE // DF // IH

IC = ID (gt)

Nên IH đường trung bình hình thang DCEF ⇒ IH = (DF + CE) / Vì C tâm hình vng AMNP nên ∆CAM vuông cân C

CE ⊥ AM ⇒ CE đường trung tuyến (tính chất tam giác cân) ⇒ CE = 12 AM

Vì D tâm hình vng BMLK nên ∆DBM vng cân D DF ⊥ BM ⇒ DF đường trung tuyến (tính chất tam giác cân) ⇒ DF = 1/2 BM

b, Gọi Q giao điểm BL AN Ta có:

AN ⊥ MP (tính chất hình vng) BL ⊥ MK (tính chất hình vng) MP ⊥ MK (tính chất hình vng) Suy ra:

BL ⊥ AN ⇒ ∆QAB vuông cân Q cố định

M thayđổi I thay đổi ln cách đoạn thẳng AB cố định khoảng không đổi a/4 nên I chuyển động trênđường thẳng song song với AB, cách AB khoảng a/4

Khi M trùng B I trùng với S trung điểm BQ Khi M trùng với A I trùng với R trung điểm AQ