Phương pháp lặp xoay vòng và đồng thời giải bài toán chấp nhận tách nhiều tập

Phương pháp lặp xoay vòng và đồng thời giải bài toán chấp nhận tách nhiều tập Phương pháp lặp xoay vòng và đồng thời giải bài toán chấp nhận tách nhiều tập Phương pháp lặp xoay vòng và đồng thời giải bài toán chấp nhận tách nhiều tập luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO ĐÌNH THOẢNG PHƯƠNG PHÁP LẶP XOAY VỊNG VÀ ĐỒNG THỜI GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH NHIỀU TẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Nguyễn Bường Thái Nguyên – 2020 ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường (Viện Công nghệ Thông tin-Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học Tốn, nhà trường phịng chức trường, khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Xin chân thành cảm ơn anh chị em lớp cao học bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert 1.2 Ánh xạ không giãn không gian Hilbert 12 1.3 Phương pháp CQ giải toán chấp nhận tách 14 Chương Phương pháp lặp xoay vòng lặp liên tiếp giải tốn (MSSFP) 18 2.1 Phương pháp lặp xoay vịng giải Bài toán (MSSFP) 18 2.2 Phương pháp lặp đồng thời giải Bài toán (MSSFP) 21 2.3 Phương pháp xoay vòng nới lỏng lặp liên tiếp nới lỏng để giải Bài toán (MSSFP) 23 Kết luận Tài liệu tham khảo 29 30 iv Một số ký hiệu viết tắt , tích vô hướng không gian Hilbert H chuẩn không gian Hilbert H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập số thực khơng âm A∗ tốn tử liên hợp toán tử A I toán tử đồng ∅ tập rỗng ∀x với x xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 x0 Mở đầu Cho C Q tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H1 H2 , tương ứng Cho A : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn Bài tốn chấp nhận tách (SFP) có dạng sau: Tìm phần tử x∗ ∈ C cho Ax∗ ∈ Q (0.1) Dạng tổng quát Bài toán (0.1) toán (0.2), toán phát biểu sau: Cho Ci , i = 1, 2, , N Qj , j = 1, 2, , M tập lồi đóng H1 H2 tương ứng −1 M Tìm phần tử x∗ ∈ S = ∩N i=1 Ci ∩ A (∩j=1 Qj ) = ∅ (0.2) Mơ hình tốn (SFP) lần giới thiệu nghiên cứu Y Censor T Elfving [6] cho mơ hình tốn ngược Bài tốn đóng vai trị quan trọng khơi phục hình ảnh Y học, điều khiển cường độ xạ trị điều trị bệnh ung thư, khơi phục tín hiệu (xem [4], [5]) hay áp dụng cho việc giải toán cân kinh tế, lý thu với i ∈ {1, 2, , t} nên theo chứng minh Định lý 2.1 ta nhận bất đẳng thức sau: ||xn+1 − p||2 ||xn − p||2 − ρn (4 − ρn ) p2 (xn ) || p(xn )||2 (2.23) Vậy ta có {xn } dãy đơn điệu Fejér lim ||xn − p|| tồn Từ (2.23) n−→∞ < ρ ≤ ρn ≤ ρ < ta suy ∞ n=0 Vì p2 (xn ) < ∞ || p(xn )||2 (2.24) p liên tục Lipschitz dãy {xn } bị chặn, nên { p(xn )} bị chặn Do từ (2.24) ta kết luận pn (xn ) −→ 0, n −→ ∞ Do ∂qj bị chặn tập bị chặn nên tồn η cho ηjn ≤ η với j Chú ý PQnj Axn ∈ Qnj , nên ta nhận qj (Axn ) ηjn , Axn − PQnj Axn ≤ η Axn − PQnj Axn −→ 0, n −→ ∞ (2.25) Tiếp theo chứng minh ωw (xn ) ⊂ Ω Thật vậy, dãy {xn } bị chặn nên tồn dãy {xnk } ⊂ {xn } cho xnk x Do tính nửa liên tục yếu hàm lồi qj (2.25) ta thu qj (Ax) ≤ lim inf qj (Axnk ) ≤ k−→∞ Khi Ax ∈ Qj , j = 1, 2, , r, hay Ax ∈ ∩rj=1 Qj Tiếp theo ta Ax ∈ ∩ti=1 Ci Đặt unk = xnk − λnk p(xnk ) ta có unk − xnk = λnk pnk (xnk ) ≤ 4pnk (xnk ) −→ 0, k −→ ∞ pnk (xnk ) (2.26) Vì p ∈ Ci ⊂ Cin với i = 1, 2, , t bất kỳ, với Bổ đề 1.2 bất đẳng thức unk − p ≤ xnk − p , ta có ||xnk +1 − p||2 ≤ ||unk − p||2 − (I − PC nk )(unk ) [nk ] ≤ xnk − p − (I − PC nk )(unk ) [nk ] (2.27) 26 Ta suy (I − PC nk )(unk ) −→ 0, k −→ ∞ (2.28) [nk ] Vì tập {Ci }ti=1 hữu hạn nên với i = 1, 2, , t chọn dãy {nkl } ⊂ {nk } cho [nkl ] = i, ta nhận ci (xnkl ) ≤ ξ nkl , xnkl − PC nkl (unkl ) i ≤ ξ ||xnkl − unkl || + ||unkl − PC nkl (unkl || −→ 0, l −→ ∞, (2.29) i n ξ thoả mãn điều kiện ξj kl ≤ ξ Từ tính nửa liên tục yếu hàm lồi ci ta thu ci (x) ≤ lim inf ci (xnkl ) ≤ k−→∞ Từ ta có x ∈ Ci , i = 1, 2, , t Ta suy x ∈ Ω Chú ý với p ∈ Ω bất kỳ, ta có lim ||xn − p|| tồn ωw (xn ) ⊂ Ω Theo Bổ đề 1.5 ta thấy n−→∞ dãy {xn } hội tụ yếu tới nghiệm toán (MSSFP) Do ta có điều phải chứng minh Tiếp theo, đề xuất dãy lặp liên tiếp nới lỏng với cỡ bước tự tương thích để giải tốn (MSSFP) thiết lập hội tụ Định lý 2.4 Giả sử tốn (MSSFP) có tập nghiệm Ω = ∅ điều kiện (A1), (A2) thoả mãn Với x0 ∈ H1 bất kỳ, dãy lặp liên tiếp nới lỏng {xn } xác định sau: n (xn − λn pn (xn )), n ≥ 0, xn+1 = PC[n] {ωi }ti=1 ⊆ [0, 1] cho (2.30) t ωi = cỡ bước {λn } tương tự i=1 Định lý 2.3 Khi dãy lặp {xn } hội tụ yếu tới nghiệm toán (MSSFP) Chứng minh Ý tưởng cho việc chứng minh Định lý 2.4 tương tự chứng minh Định lý 2.3 Thật vậy, cho p ∈ Ω, thay p(xn ) p(xn ) pn (xn ) pn (xn ) (2.12) Định lý 2.2 ta nhận bất đẳng thức sau: ||xn+1 − p||2 ||xn − p||2 − ρn (4 − ρn ) p2n (xn ) || pn (xn )||2 (2.31) 27 Vậy ta có {xn } dãy đơn điệu Fejér lim ||xn − p|| tồn Từ (2.31) n−→∞ < ρ ≤ ρn ≤ ρ < ta suy ∞ n=0 p2n (xn ) < ∞ || pn (xn )||2 (2.32) Do ∂qj bị chặn tập bị chặn nên với kỳ j = 1, 2, , r ta có qj (Axn ) ηjn , Axn − PQnj Axn ≤ ηj Axn − PQnj Axn −→ 0, n −→ ∞ (2.33) Vì dãy {xn } bị chặn nên tồn dãy {xnk } ⊂ {xn } cho xnk x Do tính nửa liên tục yếu hàm lồi qj (2.33) ta thu qj (Ax) ≤ lim inf qj (Axnk ) ≤ k−→∞ Khi Ax ∈ Qj , j = 1, 2, , r, hay Ax ∈ ∩rj=1 Qj Đặt unk = xnk − λnk pnk (xnk ) ta có unk − xnk = λnk 4pnk (xnk ) −→ 0, k −→ ∞ pnk (xnk ) pnk (xnk ) ≤ (2.34) Do unk − p ≤ xnk − p Theo Bổ đề 1.2 ta có t t ωi P n Ci k 2 ωi ||PC nk (unk ) − p||2 (unk ) − unk || ≤ ||unk − p|| − i=1 i i=1 = ||xnk − p||2 − ||xnk +1 − p||2 −→ 0, k −→ ∞ (2.35) Do với i ∈ {1, 2, , t} ta có (I − PC nk )(unk ) −→ 0, k −→ ∞ i (2.36) Chú ý vi phân ∂ci bị chặn tập bị chặn, theo (2.34) (2.36) ta biết ci (xnk ) ≤ ξ nk , xnk − PC nk (unk ) i 28 ≤ ξink ||xnk − unk || + ||unk − PC nk (unk || −→ 0, k −→ ∞, i (2.37) Từ tính nửa liên tục yếu hàm lồi ci ta thu ci (x) ≤ lim inf ci (xnk ) ≤ k−→∞ Suy x ∈ Ci , i = 1, 2, , t Do ta áp dụng Bổ đề 1.5 cho K := Ω ta nhận dãy lặp {xn } hội tụ yếu tới nghiệm tốn (MSSFP) Do ta có điều phải chứng minh 29 Kết luận Luận văn trình bày lại cách chi tiết hệ thống vấn đề sau: • Một số tính chất đặc trưng khơng gian Hilbert, ánh xạ khơng giãn nửa nhóm ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert; • Các kết Wen cộng tài liệu [7] phương pháp lặp xoay vòng phương pháp lặp đồng thời giải tốn chấp nhận tách đa tập khơng gian Hilbert 30 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Bauschke H.H., Combettes P.L (2010), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert spaces, Springer [3] Bertsekas, D.P., Nedié, A., Ozdaglar, A.E (2003), Convex Analysis and Optimization , Athena Scientific, Belmont [4] Byrne C (2002), “Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem”, Inverse Problems, 18(2), pp 441-453 [5] Byrne C (2004), “A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction”, Inverse Problems, 18, pp 103-120 [6] Censor Y., Elfving T (1994), “A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space”, Numer Algorithms, 8(2-4), pp 221-239 [7] Wen M., Peng J., Tang Y (2015), “A cyclic and simultaneous iterative method for solving the multiple-sets split feasibility problem”, J Optim Theory Appl, 166, pp 844–860 [8] Xu H.K (2006), “A variable Krasnosel’skii-Mann algorithm and the multipleset split feasibility problem”, Inverse Problems, 22, pp 2021–2034 [9] Xu H.K (2010), “Iterative methods for the split feasibility problem in infinite dimensional Hilbert spaces”, Inverse Problems, 26, 105018 ... Phương pháp CQ giải toán chấp nhận tách 14 Chương Phương pháp lặp xoay vòng lặp liên tiếp giải toán (MSSFP) 18 2.1 Phương pháp lặp xoay vịng giải Bài tốn (MSSFP) 18 2.2 Phương. .. tốn (MSSFP) 18 2.2 Phương pháp lặp đồng thời giải Bài toán (MSSFP) 21 2.3 Phương pháp xoay vòng nới lỏng lặp liên tiếp nới lỏng để giải Bài toán (MSSFP) ... giãn khơng gian Hilbert; • Các kết Wen cộng tài liệu [7] phương pháp lặp xoay vòng phương pháp lặp đồng thời giải tốn chấp nhận tách đa tập khơng gian Hilbert 30 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal