Đề +Đ.a thi HSG Toán 9 Tp Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc (2012-2013)

[r]

PHÒNG GD & ĐT VĨNH YÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2012-2013LỚP Mơn: TỐN 9 Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu (3,0 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức A x 410x22013, biết x  2 3. b) Cho a b c, , số dương thỏa mãn đẳng thức

1 1

a  b  c

Chứng minh rằng:

ab bc ca

c  a  b 

c) Giả sử số a b c d, , , thỏa mãn a b c d   a2b2 c2d2 Chứng minh rằng: a2013b2013c2013d2013

Câu (2,0 điểm)

a) Chứng minh x y z, , số nguyên dương thỏa mãn x2y2 z2 xy12 b) Tìm tất số nguyên dương x y, thỏa mãn phương trình 2x 1 3y.

Câu (2,0 điểm)

Cho a b c, , số dương Chứng minh

a) 2

a b c

b c c  a a  b .

b)













2 2 2

2 2

3 6

a b c b c a c a b

a b c

b c c a a b

  

    

   .

Câu (3,0 điểm)

Cho đường tròn



O R;



, R 0 dây cung AB không qua O Hai đường tròn

  

O1 , O2



nằm hai phía đường thẳng AB cho hai đường tròn tiếp xúc với đường thẳng AB lần lượt tại C, D tiếp xúc với đường tròn



O R;



E, F Đường thẳng CE cắt đường tròn



O R;



điểm thứ hai M đường thẳng DF cắt đường tròn



O R;



điểm thứ hai N. a) Chứng minh đường thẳngO C1 song song với đường thẳng OM.

b) Chứng minh MBN900.

-Hết -ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM

Câu Nội dung trình bày Điểm

1

(3đ) (1,0đ)a

Ta có x2  5 6 x2 6 0,25



x2 5



2 24 x4 10x2 1 0

       0,5

4 10 2013 2012

x x

    Vậy A 2012 0,25

b (1,0đ)

Từ giả thiết ta có

1 a b ab

c

c ab a b



  



1 a b ab

c ab    0,25 Do

ab bc ca a b ab b ab a ab

ab

c a b ab a a b b a b

                0,25





2

a b ab a a b b a b ab a ab b

ab ab a b ab ab

            0,25 3

a b ab a ab b ab

ab ab

    

  

Vậy

ab bc ca

c  a  b  .

0,25 c

(1,0đ)

Ta có









2

2 2 2 2

a b c d  a b  ab c d  cd  ab cd 0,25

Mặt khác



a c a d

 





a2



c d a cd



 a2 a a b







ab0 suy a c hoặc

a d Ta xét hai trường hợp sau:

0,25

TH1 Nếu a c b d Do a2013b2013 c2013d2013 0,25 TH2 Nếu a d b c Do a2013b2013 c2013d2013 0,25 2

(2đ) a

(1,0đ) Nhận xét Nếu a số nguyên dương a2

chia cho số dư

0,25 +) Nếu hai số x y, khơng có số chia hết cho x2y2 chia cho dư

hay z2 chia cho dư 2, mâu thuẫn với nhận xét Vậy số x y, phải có số chia hết cho xy3 Suy xy3

0,25

+) Nếu hai số x y, khơng có số chia hết cho x2y2 chia cho dư hay z2 chia cho dư 2, mâu thuẫn với nhận xét Vậy số x y, phải có số chia hết cho Suy xy4

0,25

Từ chứng minh ta xy chia hết cho mà (3,4) = nên xy12 0,25 b

(1,0đ)

+) Nếu x 1 3  y  y1 hay phương trình cho có nghiệm



x y ;

 

1;1



0,25 +) Nếu x 2 2x1 chia dư suy 3y chia dư 1 y số chẵn, y2z 0,25 Từ phương trình ta :

 



 



2

3z 2x 3z 3z 2x

     

suy tồn số tự nhiên ,

a b cho 3z ;3a z 2b

    .

0,25 Trừ vế đẳng thức ta :





2a 2b 2 2b a b 1, 2,

b a b a b



           

Do



x y ;

 

3;2



Vậy



x y ;

 

1;1 , 3; 2

 



2 (2đ)

a (1,0đ)

Ta có













2 2

2 2 2

a b c a b c

b c c  a a  b a b c b c a c a b 0,25

























2

2 2

a b c a b c

a b c b c a c a b ab bc ca

   

 

       0,25









3

ab bc ca ab bc ca

  

 

=1 0,25

Dấu đẳng thức xảy a b c  . 0,25 b

(1,0đ)

Nhận xét Nếu a b ,









2

2

3a 6b  a2b 2 a b  a 2b 0,5

Từ nhận xét ta có 3a26b2  a ; 3b b26c2  b ; 3c c26a2  c 2a 0,25 Do

























2 2 2

2 2 2

2 2

3 6

a b c b c a c a b a b c b c a c a b

a b c

b c c a a b

b c c a a b

     

       

  

   .

Dấu đẳng thức xảy a b c  .

0,25 4 (3đ) H O2 O1 O N M F E D C B A a (1,5đ)

Do hai đường tròn

   

O , O1 tiếp xúc với E nên O O E, ,1 thẳng hàng 0,5 Mặt khác ta có

1

1 ,

O E O C

O E O C OE OM

OE OM

   

0,5 Do theo định lí Talet đảo tam giác EOM ta O C1 song song với OM. 0,5 b

(1,0đ)

Do O C1 vng góc với AB theo phần a suy OM vng góc với AB (1). 0,5 Chứng minh tương tự ta O D2 song song với ON, từ suy ON vng góc với

AB (2) Từ (1) (2) ta M, O, N thẳng thàng hay MN đường kình đường tròn (O) suy MBN 900.

0,5 c

(0,5đ)

Gọi H giao điểm MN AB suy H trung điểm AB Do HB 2

Mặt khác MN đường kính nên HM HN MN 8 (4) Từ (3) (4) ta

6,

HM  HN  HM 2,HN 6.

TH1 Nếu HM 6 MB2 MH MN 48 MB 48 3 . TH2 Nếu HM 2 MB2 MH MN 16 MB4.