[r]
(1)PHÒNG GD & ĐT VĨNH YÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2012-2013LỚP Mơn: TỐN 9 Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
Câu (3,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức A x 410x22013, biết x 2 3. b) Cho a b c, , số dương thỏa mãn đẳng thức
1 1
a b c
Chứng minh rằng:
ab bc ca
c a b
c) Giả sử số a b c d, , , thỏa mãn a b c d a2b2 c2d2 Chứng minh rằng: a2013b2013c2013d2013
Câu (2,0 điểm)
a) Chứng minh x y z, , số nguyên dương thỏa mãn x2y2 z2 xy12 b) Tìm tất số nguyên dương x y, thỏa mãn phương trình 2x 1 3y.
Câu (2,0 điểm)
Cho a b c, , số dương Chứng minh
a) 2
a b c
b c c a a b .
b)
2 2 2
2 2
3 6
a b c b c a c a b
a b c
b c c a a b
.
Câu (3,0 điểm)
Cho đường tròn O R; , R 0 dây cung AB không qua O Hai đường tròn O1 , O2 nằm hai phía đường thẳng AB cho hai đường tròn tiếp xúc với đường thẳng AB lần lượt tại C, D tiếp xúc với đường tròn O R; E, F Đường thẳng CE cắt đường tròn
O R;
điểm thứ hai M đường thẳng DF cắt đường tròn O R; điểm thứ hai N. a) Chứng minh đường thẳngO C1 song song với đường thẳng OM.
b) Chứng minh MBN900.
(2)-Hết -ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM
Câu Nội dung trình bày Điểm
1
(3đ) (1,0đ)a
Ta có x2 5 6 x2 6 0,25
x2 52 24 x4 10x2 1 0
0,5
4 10 2013 2012
x x
Vậy A 2012 0,25
b (1,0đ)
Từ giả thiết ta có
1 a b ab
c
c ab a b
1 a b ab
c ab 0,25 Do
ab bc ca a b ab b ab a ab
ab
c a b ab a a b b a b
0,25 2
a b ab a a b b a b ab a ab b
ab ab a b ab ab
0,25 3
a b ab a ab b ab
ab ab
Vậy
ab bc ca
c a b .
0,25 c
(1,0đ)
Ta có
2
2 2 2 2
a b c d a b ab c d cd ab cd 0,25
Mặt khác a c a d a2 c d a cd a2 a a b ab0 suy a c hoặc
a d Ta xét hai trường hợp sau:
0,25
TH1 Nếu a c b d Do a2013b2013 c2013d2013 0,25 TH2 Nếu a d b c Do a2013b2013 c2013d2013 0,25 2
(2đ) a
(1,0đ) Nhận xét Nếu a số nguyên dương a2
chia cho số dư
0,25 +) Nếu hai số x y, khơng có số chia hết cho x2y2 chia cho dư
hay z2 chia cho dư 2, mâu thuẫn với nhận xét Vậy số x y, phải có số chia hết cho xy3 Suy xy3
0,25
+) Nếu hai số x y, khơng có số chia hết cho x2y2 chia cho dư hay z2 chia cho dư 2, mâu thuẫn với nhận xét Vậy số x y, phải có số chia hết cho Suy xy4
0,25
Từ chứng minh ta xy chia hết cho mà (3,4) = nên xy12 0,25 b
(1,0đ)
+) Nếu x 1 3 y y1 hay phương trình cho có nghiệm x y ; 1;1 0,25 +) Nếu x 2 2x1 chia dư suy 3y chia dư 1 y số chẵn, y2z 0,25 Từ phương trình ta :
2
3z 2x 3z 3z 2x
suy tồn số tự nhiên ,
a b cho 3z ;3a z 2b
.
0,25 Trừ vế đẳng thức ta :
2a 2b 2 2b a b 1, 2,
b a b a b
Do x y ; 3;2 Vậy x y ; 1;1 , 3; 2
(3)2 (2đ)
a (1,0đ)
Ta có
2 2
2 2 2
a b c a b c
b c c a a b a b c b c a c a b 0,25
2
2 2
a b c a b c
a b c b c a c a b ab bc ca
0,25
3
ab bc ca ab bc ca
=1 0,25
Dấu đẳng thức xảy a b c . 0,25 b
(1,0đ)
Nhận xét Nếu a b ,
2
2
3a 6b a2b 2 a b a 2b 0,5
Từ nhận xét ta có 3a26b2 a ; 3b b26c2 b ; 3c c26a2 c 2a 0,25 Do
2 2 2
2 2 2
2 2
3 6
a b c b c a c a b a b c b c a c a b
a b c
b c c a a b
b c c a a b
.
Dấu đẳng thức xảy a b c .
0,25 4 (3đ) H O2 O1 O N M F E D C B A a (1,5đ)
Do hai đường tròn O , O1 tiếp xúc với E nên O O E, ,1 thẳng hàng 0,5 Mặt khác ta có
1
1 ,
O E O C
O E O C OE OM
OE OM
0,5 Do theo định lí Talet đảo tam giác EOM ta O C1 song song với OM. 0,5 b
(1,0đ)
Do O C1 vng góc với AB theo phần a suy OM vng góc với AB (1). 0,5 Chứng minh tương tự ta O D2 song song với ON, từ suy ON vng góc với
AB (2) Từ (1) (2) ta M, O, N thẳng thàng hay MN đường kình đường tròn (O) suy MBN 900.
0,5 c
(0,5đ)
Gọi H giao điểm MN AB suy H trung điểm AB Do HB 2
(4)Mặt khác MN đường kính nên HM HN MN 8 (4) Từ (3) (4) ta
6,
HM HN HM 2,HN 6.
TH1 Nếu HM 6 MB2 MH MN 48 MB 48 3 . TH2 Nếu HM 2 MB2 MH MN 16 MB4.