Đang tải... (xem toàn văn)
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.. Viết phương trình đường thẳng BC.[r]
(1)ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Mơn : TỐN; khối D
Câu (2,0 điểm): Cho hàm số y = x3 – 3x – (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M có hệ số góc Câu (1,0 điểm) : Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3z - z)(1 + i) – 5z = 8i – Tính mơđun z
Câu (1,0 điểm) : Tính tích phân I =
0
(x 1) sin 2xdx
Câu (1,0 điểm):
a) Giải phương trình: log2(x – 1) – 2log4(3x – 2) + =
b) Cho đa giác n đỉnh, n N n Tìm n biết đa giác cho có 27 đường chéo
Câu (1,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6x + 3y – 2z – = mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 6x – 4y – 2z – 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) Tìm tọa độ tâm (C)
Câu (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA, BC Câu (1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A điểm D (1; -1) Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y – = 0, tiếp tuyến A đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y – = Viết phương trình đường thẳng BC
Câu (1,0 điểm): Giải bất phương trình: (x 1) x 2 (x 6) x 7 x27x 12 Câu (1,0 điểm): Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện x 2; y Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
P = 2x 2y 2y 2x
x 3y y 3x 4(x y 1)
Bài giải Câu 1:
a) Tập xác định R y’ = 3x2 – 3; y’ = x = 1 lim
x
y
limx
y
x -1 + y’ + +
y +
CĐ -4
CT
Hàm số đồng biến (∞; -1) ; (1; +∞); hàm số nghịch biến (-1; 1) Hàm số đạt cực đại x = -1; y(-1) = 0; hàm số đạt cực tiểu x = 1; y(1) = -4 y" = 6x; y” = x = Điểm uốn I (0; -2)
Đồ thị :
y
0
-2 -4 -1
x
dethivn.com
(2)b) y’ (x) = 3x2 - = x = 2 y(-2) = -4; y(2) =
Vậy hai điểm M (-2; -4) (2; 0)
Câu 2: Giả thiết (3i – 2)z – (1 + i)z = 8i –
Gọi z = a + ib (3i – 2)(a + ib) – (1 + i) (a – ib) = 8i –
- 3a – 4b + (2a – b)i = 8i –
3a + 4b = 2a – b = a = b = -2 Vậy môđun z : 13
Câu 3:
/
0
I x s in2xdx
Đặt u = x+1 du = dx dv = sin2xdx, chọn v = –
2cos2x
I =
/ 4
0
1
( 1) cos cos
2
x x xdx
=
/
0
1
( 1) cos sin
2
0
x x x
=0 1
2 4
Câu : a) log2(x – 1) – 2log4(3x – 2) + =
log2(x – 1) – log2(3x – 2) = -2 x > log2 x log2
3x
x > 4(x – 1) = 3x – x = b) Số đoạn thẳng lập từ n đỉnh Cn2 Số cạnh đa giác n đỉnh n
Vậy số đường chéo đa giác n đỉnh là:
n
C -n Theo đề ta có
n
C -n = 27 1 27
n n n
3 54
n n n = hay n = -6 (loại) Câu 5: (S) : x2 + y2 + z2 – 6x – 4y – 2z – 11 =
I (3; 2; 1); R = 11 = (P) : 6x + 3y – 2z – = d(I, (P)) = |18 1| 21
7 36
(P) cắt (S) theo đường tròn (C) đường thẳng qua I (3; 2; 1) nhận n = (6; 3; -2) vectơ phương P Tâm đường tròn (C) giao điểm (P) thỏa hệ phương trình :
6x
x 6t (1) y 3t (2) z 2t (
3y – 2z )
–
3
1
Thế (1), (2), (3) vào (4) ta : 6(3 + 6t) + (2 + 3t) – 2(1 – 2t) – =
49t + 21 = t =
7
(3)
3
x
7
3
y
7
3 13 z
7
Câu :
Gọi I trung điểm BC SI BC SI mp(ABC)
ABC vuông cân AI = BC a
2
S(ABC) =
2
1 a a
a 2 VS.ABC=
2 ABC
1 a a a
SI.S
3 3 24
Kẻ IJ vng góc với SA, SIA vng góc I, IJ khoảng cách SA BC
12 12 12 12 12
3a a
IJ SI AI
4
IJ = a
4
Câu : Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình : 3x 2y
x 2y
A (1; 3)
Phương trình đường thẳng AD : x =
Gọi góc hợp AB AD cos = 13 Phương trình AC có dạng : a(x – 1) + b(y – 3) = Gọi góc hợp AD AC =
cos =
2 a a b
=
13 4a
= 9b2 Chọn b = a = 3
2 (loại a = 2)
Phương trình AC : -3x + 2y – =
Gọi góc hợp đường tiếp tuyến A với đường tròn ngoại tiếp ABC đường thẳng AC BC có pháp vectơ (m; n)
cos =
2 3m 2n
13 m n
= cosB =
1 65
5(9m2+4n2+ 12mn) = m2 + n2 44m2 + 19n2 + 60mn =
m = n
2
hay m = 19n 22
Vậy phương trình BC : x - 2y - = hay 19x - 22y – 41 = Câu :
Với Đk : x - bất pt (x 1)( x 2 2) (x 6)( x 7 3) x22x 8
(x 1)(x 2) (x 6)(x 2) (x 2)(x 4)
x 2 x
(x 2) x x (x 4)
x 2 x
(*)
S
A
B
C
I
J a
(4)Ta có: x x x x
2
x 2 x
=
5
x
6 2 = x+4
x
6
< x + x -2 Vậy (*) x – x Vậy -2 x nghiệm bất phương trình
Câu :
P = 2x 2y 2y 2x
x 3y y 3x 4(x y 1)
2
1 x (x 1)(x 2) x 3x
1 y (y 1)(y 2) y 3y
P x 2y y 2x
3(x y) 3(x y) 4(x y 1)
= x y t
x y 4(x y 1) t 4(t 1)
Đặt t = x + y, đk t f(t) = t
t 1 4(t 1) , t [2; 4] f’(t) = 2 2
(t 1) 4(t 1)
f’(t) = 2(t – 1) = (t + 1) 2t – = t + hay 2t – = -t –
t = hay t = 1/3 (loại) Ta có f(3) =
8
Khi t =
x x
y y
x y
x y x y
Vậy Pmin =
8
x y
hay
x y
Huỳnh Hoàng Dung, Trần Quang Hiển, Nguyễn Bá Chiêu, Nguyễn Trí Cường (Trường THPT Vĩnh Viễn – TP.HCM)