Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB và phương trình mặt cầu tâm O, tiếp xúc với (P).. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, tính xác s[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số 1 x y
x − =
+
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho
b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp điểm có hồnh độ x =1 Câu 2.(1,0 điểm)
a) Cho góc α thỏa mãn: π α π < <
3 sin α
5
= Tính tan α2 tan α A =
+
b) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (1+i z) + (3−i z) = 2− i Tính mơđun z Câu 3.(0,5 điểm) Giải phương trình: log (3 x + 2)=1− log3x
Câu 4.(1,0 điểm) Giải bất phương trình: 2
2 3( 2)
x + x + x − ≥ x − x − Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân:
2
(2 ln ) d I =
∫
x + x xCâu 6.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AC = 2a, 30 ,o
ACB =
Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt đáy trung điểm cạnh AC SH = a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)
Câu 7.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác OAB có đỉnh A B thuộc đường thẳng ∆: 4x + 3y −12 =0 điểm K(6; 6) tâm đường trịn bàng tiếp góc O Gọi C điểm nằm ∆ cho AC = AO điểm C, B nằm khác phía so với điểm A Biết điểm C có hồnh độ 24,
5 tìm tọa độ đỉnh A, B
Câu 8.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (2; 0; 0)A (1; 1;B −1) Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) đoạn thẳng AB phương trình mặt cầu tâm O, tiếp xúc với (P)
Câu 9.(0,5 điểm) Hai thí sinh A B tham gia buổi thi vấn đáp Cán hỏi thi đưa cho thí sinh câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, phong bì đựng câu hỏi; thí sinh chọn phong bì số để xác định câu hỏi thi Biết 10 câu hỏi thi dành cho thí sinh nhau, tính xác suất để3 câu hỏi A chọn câu hỏi B chọn giống
Câu 10.(1,0 điểm) Xét số thực x Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:
2
3 2 1
3 2 3 3 3 2 3 3 3
+ +
= + +
+ − + + + +
( )
( ) ( )
x x
P
x x x x
- HẾT -
(2)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn: TỐN
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
Câu (2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)
● Tập xác định: D = \
{ }
−1● Giới hạn tiệm cận:
( 1) lim
x
y
+
→ −
= − ∞, ( 1) lim
x
y
−
→ −
= + ∞; lim lim
x→ − ∞y = x→ + ∞y =
Suy ra, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng x = −1 tiệm cận ngang đường thẳng y =
0,25
● Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y' = 2
(x +1) > ∀x ∈ D
Suy ra, hàm số đồng biến khoảng
(
− ∞ −; 1)
(
−1;+ ∞)
- Cực trị: Hàm số cho khơng có cực trị
0,25
Lưu ý: Cho phép thí sinh khơng nêu kết luận cực trị hàm số - Bảng biến thiên:
x – ∞ – + ∞ y' + +
y + ∞ – ∞
0,25
● Đồ thị (C):
0,25
O x
y
−1 −1
2
(3)b) (1,0 điểm)
Tung độ y0 tiếp điểm là: 0 (1)
y = y = 0,25
Suy hệ số góc k tiếp tuyến là: '(1)
k = y = 0,25
Do đó, phương trình tiếp tuyến là: 3( 1) 1;
4
y = x − + 0,25
hay
4
y = x − 0,25
Câu (1,0 điểm)
a) (0,5 điểm)
Ta có: tan α2 tan α.cos α2 sin α.cos α 3cos α
1 tan α
A = = = =
+ (1) 0,25
2
2 16
cos α sin α
5 25
= − = − =
(2)
Vì α ;
2 π
π
∈
nên cos α< Do đó, từ (2) suy
4
cos α
5
= − (3) Thế (3) vào (1), ta 12
25 A = −
0,25
b) (0,5 điểm)
Đặt z = a + bi, ( ,a b ∈ ); z = a −bi Do đó, kí hiệu (∗) hệ thức cho đề bài, ta có:
(∗) ⇔ (1+ i a)( + bi) + (3−i a)( − bi) = 2− 6i ⇔ (4a − 2b − 2)+ (6 − )b i =0
0,25
⇔
{
4 26
a b
b
− − =
− = ⇔
{
2 a b
= = Do | |z = 22+ 32 = 13
0,25
Câu (0,5 điểm)
● Điều kiện xác định: x >0 (1)
● Với điều kiện đó, ký hiệu (2) phương trình cho, ta có:
(2)
⇔log (3 x + 2) +log3x =1
⇔
log ( (3 x x + 2)) =log 330,25
⇔
2
x + x − = ⇔ x =1 (do (1)) 0,25
Câu (1,0 điểm)
● Điều kiện xác định: x ≥1+ (1) ● Với điều kiện đó, ký hiệu (2) bất phương trình cho, ta có:
(2) ⇔ 2
2 2 ( 1)( 2) 3( 2)
x + x − + x x + x − ≥ x − x −
0,25
⇔ x x( − 2)(x +1) ≥ x x( −2) − 2(x +1)
⇔
(
x x( − 2) −2 (x +1))(
x x( −2) + (x +1))
≤ (3) Do với x thỏa mãn (1), ta có x x( − 2) + (x +1) > nên(3) ⇔ x x( − 2) ≤ (x +1)
0,50
⇔
6
x − x − ≤
⇔ 3− 13 ≤ x ≤3+ 13 (4) Kết hợp (1) (4), ta tập nghiệm bất phương trình cho là:
1 ; 13
+ +
(4)Câu
(1,0 điểm) Ta có:
2
3
1
2 d ln d
I =
∫
x x +∫
x x (1) 0,25 Đặt2
1 d
I =
∫
x x 21
ln d
I =
∫
x x Ta có:2
1
1 15
2
I = x =
0,25
2
2
2 1 1
1
.ln d(ln ) ln d ln 2 ln
I = x x −
∫
x x = −∫
x = − x = −Vậy
13
2 ln 2
I = I + I = +
0,50
Câu (1,0 điểm)
Theo giả thiết,
2
HA= HC = AC = a SH ⊥ mp(ABC)
Xét ∆v ABC, ta có: o
.cos cos 30
BC = AC ACB = a = a
0,25
Do sin 1.2 sin 30o
2 2
ABC
S = AC BC ACB = a a = a
Vậy
3
1
3
S ABC ABC
a
V = SH S = a a =
0,25
Vì CA = 2HA nên d(C, (SAB)) = 2d(H, (SAB)) (1) Gọi N trung điểm AB, ta có HN đường trung bình ∆ABC
Do HN // BC Suy AB ⊥ HN Lại có AB ⊥ SH nên AB ⊥ mp(SHN) Do mp(SAB) ⊥ mp(SHN) Mà SN giao tuyến hai mặt phẳng vừa nêu, nên trong mp(SHN), hạ HK ⊥ SN, ta có HK ⊥ mp(SAB)
Vì d(H, (SAB)) = HK Kết hợp với (1), suy d(C, (SAB)) = 2HK (2)
0,25
Vì SH ⊥ mp(ABC) nên SH ⊥ HN Xét ∆v SHN, ta có:
2 2 2
1 1 1
HK = SH + HN = a + HN Vì HN đường trung bình ∆ABC nên
2
a HN = BC = Do 2 12 42 112
2
HK = a + a = a Suy
66 11
a
HK = (3)
Thế (3) vào (2), ta
(
, ( ))
66 11a d C SAB =
(5)Câu (1,0 điểm)
Trên ∆, lấy điểm D cho BD = BO D, A nằm khác phía so với B Gọi E giao điểm đường thẳng KA OC; gọi F giao điểm đường thẳng KB OD
Vì K tâm đường trịn bàng tiếp góc O ∆OAB nên KE phân giác góc
OAC Mà OAC tam giác cân A (do AO = AC, theo gt) nên suy KE là đường trung trực OC Do E trung điểm OC KC = KO
Xét tương tự KF, ta có F trung điểm OD KD = KO Suy ∆CKD cân K Do đó, hạ KH ⊥ ∆, ta có H trung điểm CD Như vậy:
+ A giao ∆ đường trung trực d1 đoạn thẳng OC; (1) + B giao ∆ đường trung trực d2 đoạn thẳng OD, với D điểm đối xứng C qua H H hình chiếu vng góc K ∆ (2)
0,50
Vì C ∈ ∆ có hồnh độ 0 24
x = (gt) nên gọi y0 tung độ C, ta có:
0 24
4 12
5 + y − = Suy 12
y = −
Từ đó, trung điểm E OC có tọa độ 12;
5
−
đường thẳng OC có phương trình: x + 2y =
Suy phương trình d1 là: 2x − y − 6=
Do đó, theo (1), tọa độ A nghiệm hệ phương trình:
{
4 122
x y
x y
+ − =
− − =
Giải hệ trên, ta A = (3; 0)
(6)Gọi d đường thẳng qua K(6; 6) vng góc với ∆, ta có phương trình d là: 3x − 4y + 6= 0. Từ đây, H giao điểm ∆ d nên tọa độ H nghiệm hệ phương trình:
{
4 123
x y
x y
+ − =
− + =
Giải hệ trên, ta 12;
5
H =
Suy
12 36
;
5
D = −
Do đó, trung điểm F OD có tọa độ 18;
5
−
đường thẳng OD có phương trình: 3x + y =0
Suy phương trình d2 là: x −3y +12=
Do đó, theo (2), tọa độ B nghiệm hệ phương trình:
{
4 123 12
x y
x y
+ − =
− + =
Giải hệ trên, ta B = (0; 4)
0,25
Câu
(1,0 điểm) Gọi M trung điểm AB, ta có
3 1
; ;
2 2
M = −
Vì (P) mặt phẳng trung trực AB nên (P) qua M AB = −( 1; 1; −1)
một vectơ pháp tuyến (P)
0,25
Suy ra, phương trình (P) là: ( 1) ( 1)
2 2
x y z
− − + − + − + =
hay: 2x − 2y + 2z −1=0
0,25
Ta có
2 2
| 1|
( , ( ))
2
2 ( 2)
d O P = − =
+ − + 0,25
Do đó, phương trình mặt cầu tâm O, tiếp xúc với (P) là: 2 12
x + y + z = hay 12x2+12y2+12z2−1=
0,25
Câu (0,5 điểm)
Không gian mẫu Ω tập hợp gồm tất cặp hai câu hỏi, mà vị trí thứ cặp câu hỏi thí sinh A chọn vị trí thứ hai cặp 3 câu hỏi thí sinh B chọn
Vì A B có C cách chọn câu hỏi từ 10 câu hỏi thi nên theo quy 310 tắc nhân, ta có n Ω =( )
(
C310)
20,25
Kí hiệu X biến cố “bộ câu hỏi A chọn câu hỏi B chọn giống nhau”
Vì với cách chọn câu hỏi A, B có cách chọn câu hỏi
giống A nên
(
)
310 10
C C
X
n Ω = =
Vì
(
)
(
)
3 10
2
3
10 10
C 1
( )
( ) C C 120
X
n P X
n Ω
= = = =
Ω
(7)Câu 10 (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, với số thực x, xét điểm ( ;A x x +1),
3
;
2
B −
3
;
2
C− −
Khi đó, ta có P OA OB OC,
a b c
= + + a = BC, b = CA c = AB
0,25
Gọi G trọng tâm ∆ABC, ta có:
a b c
OA GA OB GB OC GC OA GA OB GB OC GC
P
a GA b GB c GC a m b m c m
= + + = + +
,
trong ma, mb mc tương ứng độ dài đường trung tuyến xuất phát từ A,
B, C ∆ABC
0,25
Theo bất đẳng thức Cô si cho hai số thực khơng âm, ta có
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2 2
1
2
2
3 2
1
2
2 3
a
a m a b c a
a b c a a b c
= + −
+ + − + +
≤ =
Bằng cách tương tự, ta có:
2 2
2
b
a b c
b m ≤ + +
2 2
2
c
a b c
c m ≤ + +
Suy P 2 32 2
(
OA GA OB GB OC GC)
a b c
≥ + +
+ + (1)
0,25
Ta có: OA GA +OB GB + OC GC ≥OA GA +OB GB + OC GC
(2)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
(3)
9 a b c
OA GA OB GB OC GC
OG GA GA OG GB GB OG GC GC
OG GA GB GC GA GB GC
a b c
m m m
+ +
= + + + + +
= + + + + +
+ +
= + + =
Từ (1), (2) (3), suy P ≥
Hơn nữa, kiểm tra trực tiếp ta thấy P = 3 x = Vậy minP =